专题10轴对称（5知识点+14题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

专题10轴对称 （5知识点+14题型+过关检测） 【题型1 轴对称图形的识别】 2 【题型2 成轴对称的两个图形的识别】 4 【题型3 根据成轴对称图形的特征进行判断】 6 【题型4 根据成轴对称图形的特征进行求解】 8 【题型5 台球桌面上的轴对称问题】 12 【题型6 轴对称中的光线反射问题】 14 【题型7 折叠问题】 17 【题型8 求对称轴条数】 21 【题型9 作已知线段的垂直平分线】 24 【题型10 作角平分线（尺规作图）】 27 【题型11 画对称轴】 30 【题型12 画轴对称图形】 32 【题型13 作垂线（尺规作图）】 35 【题型14 设计轴对称图案】 38 1. 概念认知：准确区分轴对称图形、两个图形成轴对称两个核心概念，明晰二者的联系与区别；掌握对称轴、对称点、垂直平分线、角平分线的基础定义。 2. 性质掌握：熟练掌握轴对称图形、成轴对称图形的核心性质，理解对称轴与对应点连线、对应线段、对应角的关系。 3. 作图能力：掌握尺规作线段垂直平分线、角平分线、图形对称轴、轴对称图形、过点作垂线的标准作图方法，规范作图步骤。 4. 应用解题：能利用轴对称性质解决角度、边长计算问题，掌握折叠、光线反射、台球运动等轴对称实际模型的解题思路，会简单设计轴对称图案。 03 知识•梳理 知识点1. 轴对称相关核心概念 · 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。易错提醒：对称轴是直线，不是线段、射线。 · 成轴对称的两个图形：把两个图形沿着某一条直线折叠，如果它们能够完全重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线是对称轴，折叠后重合的点是对应点（对称点）。 · 区别与联系：轴对称图形是“一个图形自身的特征”，成轴对称是“两个图形的位置关系”；二者本质一致，都满足轴对称的性质，均可通过折叠重合。 知识点2. 轴对称的核心性质 · 成轴对称的两个图形（或轴对称图形的两部分）全等，对应线段相等，对应角相等。 · 对称轴垂直平分任意一组对应点的连线。 · 对应线段的交点、对应延长线的交点一定在对称轴上。 知识点3. 线段垂直平分线知识点 · 定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。 · 性质：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等。 · 判定：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 知识点4. 角平分线知识点 · 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 · 判定：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 知识点5. 常见图形对称轴条数 · 线段：2条（本身所在直线、垂直平分线）；直线：无数条；射线：1条 · 等腰三角形：1条；等边三角形：3条 · 长方形：2条；正方形：4条；圆：无数条 · 等腰梯形：1条；正n边形：n条 04 题型•汇总 【题型1 轴对称图形的识别】 解题技巧 1. 核心判断法：尝试寻找一条直线，将图形沿直线对折，若直线两侧部分能完全重合，即为轴对称图形。 2. 快速排除技巧：不规则、不对称的曲线图形、任意平行四边形（非矩形、菱形、正方形）一般不是轴对称图形。 3. 易错提醒：对称轴是直线，无需局限于竖直、水平，斜向直线也可作为对称轴；只需存在至少一条对称轴即可判定。 【典例1】．在一些中国新能源汽车品牌的标志中，有的标志是轴对称图形．下面4个标志中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此得到答案． 【详解】解：A符合轴对称图形的定义，是轴对称图形； B、C、D都不符合轴对称图形的定义，不是轴对称图形． 【变式1】．如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有 （    ）种． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质进行作图即可． 【详解】解：如图所示： 满足题意的涂色方式有4种． 【变式2】．以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有______个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】解：七个图标中，以下四个图形是轴对称图形，共 故答案为：4 【变式3】．如图，有5个小正方形，现从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，使剩余的四个小正方形组成的图形成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是__________． 【答案】2 【分析】本题考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可． 【详解】解：从四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形， 则应该拿走的小正方形的标号是． 故答案为： ． 【题型2 成轴对称的两个图形的识别】 解题技巧 1. 核心判定：针对两个独立图形，寻找一条直线，使两个图形沿直线折叠后完全重合，即为成轴对称。 2. 区分关键点：区别于轴对称图形（单个图形），本题型核心是两个图形的位置关系。 3. 辅助判断：两个图形全等是成轴对称的必要不充分条件，全等图形不一定成轴对称，还需满足位置对称。 【典例2】．如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了成轴对称图形的识别，根据成轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果两个平面图形沿一条直线折叠，两个图形能够互相重合，那么这两个图形叫做成轴对称图形． 【详解】解：由成轴对称图形的定义可知，编号为②和④的三角形都可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 编号为③的三角形不可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 故选：A． 【变式1】．下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．根据定义逐一分析即可． 【详解】解：A、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； B、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； C、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； D、两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称． 故选：D． 【变式2】．下图中各组图形，成轴对称的为_____（只写序号①，②等）． 【答案】①②④ 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称． 【详解】解：①②④中的图形沿着一条直线对折能够重合，因此成轴对称，③中的伞柄不对称， 综上，成轴对称的为①②④． 【变式3】．窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称． 故答案为：②③④． 【题型3 根据成轴对称图形的特征进行判断】 解题技巧 1. 性质套用三步法：①看对应点连线是否被对称轴垂直平分；②看对应线段是否相等、对应角是否相等；③看对应线段交点是否在对称轴上。 2. 正误快速判断：只要违背轴对称任意一条核心性质，即可直接判定结论错误。 3. 易错点规避：成轴对称的图形对应线段不一定平行，可能在同一直线上。 【典例3】．如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质逐项判断即可得解． 【详解】解：由题意可得，，，故A、B、C正确，不符合题意． 【变式1】．如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质；根据对称点所连线段被对称轴垂直平分，即可得到答案． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴对称点所连线段被对称轴垂直平分， ∴能被直线垂直平分的是， 故选：D． 【变式2】．如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有_____个． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据正方形的四条对称轴分别找到与阴影三角形成轴对称的三角形，即可求解． 【详解】解：如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有个， 故答案为：． 【变式3】．如图，将一张纸对折后用针扎出一系列小孔，展开后得到成轴对称的两个图形，的对应线段是________，的对应角是________． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称性质，根据轴对称性质求解即可． 【详解】根据题意得，的对应线段是，的对应角是． 故答案为：，． 【题型4 根据成轴对称图形的特征进行求解】 解题技巧 1.解题核心：利用“轴对称图形全等，对应边、对应角相等”，进行边长、角度、周长计算。 2.解题步骤：①找准对称轴，锁定对应点、对应边、对应角；②标注已知量，利用轴对称性质列式求解；③结合三角形内角和、线段和差等知识完成计算。 【典例4】．如图1是中国古代一种弓箭的箭头实物图，图2是其示意图，为轴对称图形，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作对称轴 FM（ 为 BC 中点），延长 GA 交 FM 于点 ；由轴对称性质，图形关于 FM 对称，结合 ，可得 ；再利用平行线的内错角相等和三角形外角的性质，建立 、、 之间的关系求解． 【详解】解：作对称轴 （ 为 BC 中点），延长 GA 交 FM 于点 ． 图形关于直线 FM 对称， ，（即原来的） （两直线平行，同位角相等）． 是 的外角， ． ． 【变式1】．在中，，于D，点B关于的对称点在上，若，则______． 【答案】36 【分析】根据轴对称的性质知，再计算，即可求解． 【详解】解：∵于D，点B关于的对称点在上， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式2】．如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是______． 【答案】/ 【分析】如图：连接，由轴对称的性质可得，即得，可知当时，的值最小，此时的长度的最小，利用三角形的面积求出的最小值即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上， ∴，， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的长度的最小， 当时，， ∴，解得：， ∴，即线段长度的最小值是． 【变式3】．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ∴ ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为． 【题型5 台球桌面上的轴对称问题】 解题技巧 1. 解题原理：台球反弹轨迹遵循轴对称光线反射规律，桌边为对称轴，反弹前后的线路关于桌边对称，入射角等于反射角。 2. 通用解题法：采用“对称找点法”，将目标球或撞击点沿台球桌边作轴对称点，连接起点与对称点，连线与桌边的交点即为撞击点。 3. 易错提醒：多次反弹问题需多次作对称，严格遵循每次反弹的对称轴为对应桌边，不可直接凭肉眼判断轨迹。 【典例5】．如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，结合求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】．如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． 过直线作点N的对称点，连接，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据题意可知球的两段运动轨迹与直线的夹角相等， 如图，过直线作点N的对称点，连接， 根据图形可知经过点C，且，， 符合题目要求， 反弹击中球的是点C． 故选：C． 【变式2】．2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是____________号袋． 【答案】3 【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是3号． 故答案为：3． 【变式3】．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 【题型6 轴对称中的光线反射问题】 解题技巧 1. 核心规律：光线反射问题本质为轴对称变换，反射面是对称轴，入射光线与反射光线关于反射面对称，入射角=反射角。 2. 解题步骤：①确定反射面（直线）；②将光源或接收点作关于反射面的对称点；③连接两点得到光线完整传播轨迹，结合角度关系求解。 3. 秒杀结论：光线经多次反射传播的总路径长度，等于起点到终点对称点的直线距离。 【典例6】．如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断反射光线． 根据入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角判断即可． 【详解】∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴其反射光线为， 故选：C． 【变式1】．小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的度数为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，证明，结合平行线的性质可得，，进而解得的值，再由镜面反射的特性，可知，即可求得的值，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：根据题意，可知，，， 如下图，过点作， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由镜面反射的特性，可知， ∴， ∴． 【变式2】．如图，光线经两个平行放置的平面镜反射，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据光的反射性质，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，结合平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设光线在上方平面镜的反射点为点A、在下方平面镜的反射点为点B， 根据光的反射性质，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角， ， 两个平面镜平行， ， 根据光的反射性质、光线在点B处再次反射， ， ． 【变式3】．如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 【答案】/64度 【分析】本题主要考查轴对称，平行线的性质的应用，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出，由光的反射定律得到，求出，由直角三角形的性质求出，即可求出的度数． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由光的反射定律得到：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型7 折叠问题】 解题技巧 1. 核心本质：图形折叠属于轴对称变换，折痕即为对称轴，折叠前后两部分图形全等，所有对应边、对应角完全相等。 2. 解题关键：锁定折叠重合的边和角，标注相等线段、相等角度，利用线段和差、三角形内角和、直角性质列等式计算。 3. 高频考点：折叠后出现的重叠部分为等腰图形；折痕垂直平分对应点的连线，可结合垂直平分线性质解题。 4. 易错规避：切勿主观默认折叠角度、边长关系，必须依据轴对称全等性质推导。 【典例7】．按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，余角的性质，直角的定义求解即可； 【详解】解：根据矩形的性质，得， ，， 根据折叠的性质，得， ， ，， 故A，B正确，不符合要求； C错误，符合要求； D正确，不符合要求； 【变式1】．如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点，的位置，的延长线与相交于点G．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由长方形对边平行，根据同旁内角互补，求出．利用平角定义算出，再由折叠性质，得．再次利用平行线性质得，对应，同时．结合折叠性质得，最后用，求出答案． 【详解】解：长方形中， ∴， ∵， ∴， ∴ 由折叠性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质得， ， ∴ 【变式2】．如图，把一块长方形纸条沿折叠，若，那么______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质以及平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴, 长方形沿折叠， ∴, ∴． 【变式3】．【中档】将长方形纸片沿折叠，折线交于点E，交于点F，点A、B的落点分别是交于G，再将四边形沿折叠，点的落点分别是，若恰好落在边上，当时，下列四个结论：①；②；③如图所示，当在线段上（不含端点）时，；④若，则，其中正确的结论是________ （填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】由折叠的性质得，故①正确；根据平行线的性质得到，故②正确；根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，推出，即可得到，计算可判断③正确；设，则，根据平行线的性质结合折叠的性质得到．得到等式，计算可判断④正确． 【详解】解：由折叠的性质得，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵在线段上，，， ∴， 由折叠的性质得， ∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 由折叠的性质得，， ∴，即， ∵，，则， ∴， 解得， ∴， ∴，故③正确； 设，则， 当在线段上时，． ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 解得， ∴； 当在线段上时，． ∵， ∴． 由折叠的性质得， ∴， ∴，解得， ∴； 综上，或，故④错误． 综上，①②③正确； 故答案为：①②③． 【题型8 求对称轴条数】 解题技巧 1. 判定方法：沿直线对折，图形完全重合即为有效对称轴，逐条排查，不重不漏。 2. 固定结论：正n边形有n条对称轴；不规则对称图形按实际重合直线计数。 3. 易错提醒：对称轴为直线，线段、射线不算；部分图形存在斜向对称轴，不可只数横竖对称轴。 【典例8】．如图，图中雪花的对称轴条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴． 【详解】解：依据轴对称图形的意义，沿着对称轴所在的直线对折，对折后的两部分能够完全重合， 雪花有6条对称轴． 故选C． 【变式1】．如图所示的图案，它的对称轴有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【详解】解：如图所示： 该图形有3条对称轴． 【变式2】．“圆形方孔钱”是中国古钱币的突出代表，图①是一种“圆形方孔钱”，图②是其轮廓图．已知古钱币的轮廓图是轴对称图形，则它的对称轴条数为_________．    【答案】4 【分析】根据轴对称图形的定义，分析图②的特征，确定对称轴的数量即可． 此题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解决此题的关键． 【详解】解：如图所示，    故答案为：4． 【变式3】．如图是轴对称图形，它的对称轴的条数是______条． 【答案】 【分析】本题考查了求对称轴条数，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：经过这两个圆的圆心的直线是该图形的对称轴，如图所示： ∴它的对称轴的条数是条， 故答案为：． 【题型9 作已知线段的垂直平分线】 解题技巧&作图步骤 1. 作图原理：到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上，两点确定一条直线。 2. 标准步骤：①分别以线段两个端点为圆心，以大于线段一半长度为半径画弧；②上下两段弧分别交于两点；③过两个交点作直线，即为线段垂直平分线。 【典例9】．如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线，直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】D 【分析】利用基本作图得到，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得， 即， 故选项D符合题意． 【变式1】．如图，在中，，，依据尺规作图的痕迹，计算______． 【答案】/度 【分析】根据三角形的内角和定理及角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质求解． 【详解】解：，， ， 由作图得：是的角平分线，是的垂直平分线， ∴， ． 【变式2】．尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可． 【详解】（1）解：如图，点，即为所求； （2）解：如图，点，即为所求． 【变式3】．如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作的垂直平分线； (2)在图2中作的外心O． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】（1）取格点E，F，由网格的特征可知，四边形是正方形，由正方形的性质可知，则的垂直平分线即为所求； （2）根据外心的定义，分别作三条边的垂直平分线，三条垂直平分线交于点O，则点O为的外心． 【详解】（1）解：如图所示，的垂直平分线即为所求： （2）解：如图所示，的外心O即为所求： 【题型10 作角平分线（尺规作图）】 解题技巧&作图步骤 1. 作图原理：SSS全等判定，保证分出的两个角大小相等。 2. 标准步骤：①以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；②分别以这两个交点为圆心，大于两点间距一半为半径画弧，两弧交于角内一点；③连接顶点与交点，即为角平分线。 【典例10】．如图，在中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧交于点F，作射线交边于点M，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据作图可得平分，从而求出，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 根据题意可得平分， ∴， ∴． 【变式1】．如图，直线，点E，F分别在直线，上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点H，画射线交于点C，若，则的度数为______ 【答案】/40度 【分析】由作图可得平分，再根据角平分线的定义以及平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，平分， ∴， ∵， ∴． 【变式2】．如图，是的外角． (1)分别作和的平分线，两条平分线的交点为E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法即可作图； （2）先根据角平分线得到，，由外角得到，代入即可得到，再由三角形的外角性质求解． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 【变式3】．如图，在中，，，于点． (1)请用圆规和无刻度的直尺作的平分线； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）以点为圆心，为半径作弧，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，在内部交于点，即可得的平分线； （2）由三角形的内角和定理，结合角平分线的定义，可得，由直角三角形的两个锐角互余，可得，即可得的度数． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：在中，，， ∴， 由作图知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型11 画对称轴】 解题技巧 1. 通用画法：①找出两组对应对称点；②连接对应点，作对应点连线的垂直平分线，该直线即为图形对称轴。 2. 简易技巧：规则图形可直接根据对称特征画横竖、斜向对称轴，不规则对称图形必须依托对应点作图。 规范要求：对称轴需画直线，两端延伸出图形，不可画成线段。【典例11】．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（   ） A．菱形 B．等腰三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴画法及不同图形的性质，解题关键是明确用无刻度直尺画对称轴需利用图形自身的几何特征（如对角线、顶点连线等）来确定对称轴位置． 根据轴对称图形的性质，分析各图形能否用无刻度的直尺画出对称轴． 【详解】A、菱形的对称轴是对角线所在的直线，可以用直尺连接对角顶点直接画出； B、等腰三角形的对称轴是底边上的高，但只用直尺无法准确找到底边中点或垂足，故不能画出； C、延长等腰梯形的两腰使其相交于一点，连接两条对角线使其相交于另一点，连接这两点的直线即为对称轴，故能用直尺画出； D、连接正五边形的一个顶点和不经过该顶点的两条对角线的交点，即可画出一条对称轴． 故选B． 【变式1】．如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是直线__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴识别，掌握长方形的对称轴是过对边中点的直线，而非对角线所在直线是解题的关键． 先根据轴对称图形的定义，判断图中哪条直线能使长方形沿其折叠后完全重合，从而确定长方形的对称轴． 【详解】解：长方形是轴对称图形，它的对称轴是过对边中点的直线． 图中直线是竖直方向过对边中点的直线，沿它折叠，长方形两边能完全重合，是对称轴； 直线是对角线所在直线，折叠后两边无法完全重合，不是对称轴； 沿折叠后两边无法完全重合，不是对称轴； 因此，对称轴可以是直线． 故答案为：． 【变式2】．如图，四边形和四边形关于直线成轴对称． (1)请你在图中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如果你只有一把无刻度的直尺，请你在图中画出对称轴．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，作出的垂直平分线即为所求作直线； （2）利用无刻度的直尺，通过连接对应点，依据对应点连线被对称轴垂直平分来确定对称轴．连接、交于点，延长、交于点，连接，所在直线即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 【变式3】．画出下列图形的对称轴 【答案】图象见解析 【分析】本题考查图形的轴对称．根据轴对称的定义画出直线即可． 【详解】解：如图： 【题型12 画轴对称图形】 解题技巧 1. 找点法核心步骤：①选取图形所有关键点（顶点、端点）；②过每个关键点作对称轴的垂线，延长截取等长线段，得到对称点；③依次连接所有对称点，形成完整轴对称图形。 2. 得分要点：关键点对称位置必须精准，线条平直，图形与原图完全对称、全等。 【典例12】．如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上（网格线之间的交点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形共有（   ）个（注：与重合的不计） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题考查作网格中的对称图形，利用对称性作出图形即可得到答案． 按照题意，在网格中作出与成轴对称的格点三角形即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在网格中与成轴对称的格点三角形共有个， 故选：C． 【变式1】．如图，在2×2的正方形网格中，网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，是一个格点三角形，图中与成轴对称的格点三角形共有（    ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题主要考查利用轴对称来设计轴对称图形，直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案． 【详解】符合题意的三角形如图所示：    满足要求的图形有5个 故选：A． 【变式2】．如图，在的正方形网格中，有一个格点（阴影部分），则在网格中可以画出的所有与其成轴对称的格点三角形共有_______个．（格点三角形是指所有顶点都在格点上的三角形） 【答案】5 【分析】本题考查了轴对称，画关于某条直线对称的图形，理解轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质画格点三角形即可． 【详解】解：如图所示，与成轴对称的格点三角形共有5个． 故答案为：5． 【变式3】．在数学漫步之旅第7集中可以设计一些复杂不可预测的图形游戏，也可以设计一些美的图形，在下列各图中的适当位置添加最少的小方格，使得到的图形关于虚线成轴对称（沿虚线折叠能完成重合）． 【答案】见解析 【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【详解】解：如图， ． 【题型13 作垂线（尺规作图）】 解题技巧&作图分类 1. 过直线上一点作垂线：以该点为圆心画弧交直线两点，再以两点为圆心画弧取交点，连线即为垂线。 2. 过直线外一点作垂线：以定点为圆心画弧交直线两点，再以两点画弧取下方交点，连接定点与交点即为垂线。 【典例13】．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，与交于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．则（   ） A． B． C． D．平分 【答案】A 【详解】解：由作图知，， 不能得到，，平分， 综上，只有选项A符合题意． 【变式1】．如图，已知点P和直线l，过点P作l的垂线，步骤如下： 第一步：以点P为圆心，a（）为半径作弧，交直线l于点A，B； 第二步：分别以点A，B为圆心，b为半径作弧，两弧交于点D； 第三步：作直线交于点O． 关于a，b，下列说法正确的是（    ） A．a的长有限制，b的长无限制 B．a的长无限制，b的长有限制 C．a，b的长均无限制 D．a，b的长均有限制 【答案】D 【分析】根据“以点为圆心作弧要与直线交于两点”得到的取值限制，再根据“分别以，为圆心作弧要交于直线两侧的点”得到的取值限制，进而判断，的长度是否均有限制． 【详解】解：1、关于的限制：第一步以为圆心、为半径作弧，要与直线交于两点，，则必须大于点到直线的距离（若等于该距离，弧与直线只有一个交点；若小于该距离，无交点），题目中，且点在弧上、位于直线下方，说明已经满足“大于到的距离”，因此的长度有下限限制，不能任意小； 2、关于的限制第二步分别以，为圆心、为半径作弧，两弧要交于点（与分别在直线两侧），则必须大于的长度（若，两弧无交点或交于中点，无法形成垂线），因此的长度有下限限制，不能任意小，即，的长均有限制． 【变式2】．如图，在直角中，，，，．按以下步骤作图：以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点；连接交与点；则______． 【答案】 【分析】本题考查垂线的基本作图，与三角形的高有关的计算． 根据基本作图，可得，利用三角形的面积计算即可． 【详解】解：根据题意，得， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式3】．利用无刻度的直尺和圆规，按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明． (1)将纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，在图1中作出折痕直线． (2)将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好落在边上的点处，在图2中作出点以及折痕直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）折叠后点与点重合，根据折叠性质，折痕是线段的垂直平分线，用尺规作出线段的垂直平分线，即为所求折痕直线； （2）根据折叠性质，点落在上的点处，满足，且过点的折痕平分． 用尺规作的平分线，即为所求折痕直线． 【详解】（1）如图1，直线m即为所求； （2）如图2，点N和直线n即为所求． 【题型14 设计轴对称图案】 解题技巧 1. 设计原则：确定一条对称轴，保证对称轴两侧图形形状、大小、位置完全对称。 2. 快速方法：先画一侧基础图案，再通过找对称点的方式复刻另一侧，组合成完整轴对称图案。 3. 评分标准：对称精准、图案整洁、符合题意要求，无不对称偏差。 【典例14】．2025年12月10日，春晚官方发布了2026马年总台春晚的主题：寓意“奇迹”的四匹骏马，具有齐头并进、拾级而上视觉意象的“骐骥驰骋纹”．实际上这些美丽的图案可以看作是由基本图形经过图形变换而得．下面哪个图案可以由如图经过轴对称变换得到的轴对称图形（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的概念依次分析各项即可得到结果． 【详解】解：观察四个选项，只有选项C中的图形是由题目图形经过轴对称变换得到． 【变式1】．如图是由3个相同的小正方形组成的图形，若再补画一个相同的小正方形，使补画后的图形是轴对称图形，则不同的补画方法一共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】首先正确理解轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；然后再结合所给图示分别补画一个同样大小的正方形，找出各自的对称轴，使之成为轴对称图形即可． 【详解】解：如图，要使补画后的图形是轴对称图形，补画的小正方形的位置有①，②，③，④，共4种． 【变式2】．在如图的正方形网格上画有两条线段．现在要再画一条，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，能满足条件的线段有______条． 【答案】4 【详解】解：如图所示： 能满足条件的线段有4条． 【变式3】．请你分别在下面四个图中的某个空白方格内补画1个小圆，使补画后的4个小圆组成的图形为轴对称图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，熟悉轴对称图形及基本作图是解题的关键． 补画出小圆，使画出的图形关于某条直线对称即可，该直线即为对称轴． 【详解】解：如图． 05 过关•检测 1．以下四款人工智能大模型图标，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2．如图，在一个等边三角形纸片中取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，图中阴影部分的面积是整个图形面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积得到，，再由折叠的性质得到点O为的中点，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，∵点D是的中点，点F是的中点， ∴，， ∴； 根据题意可得点O为的中点， ∴， ∴ 3．如图所示，长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】长方形纸带隐含的条件，通过平行得到和的度数，再通过折叠前后，角的度数不变，得到折叠后对应角的度数，计算即可． 【详解】解：由题意，得， ∴，， ∵， ∴，， 图2中，由折叠，可知， ∴， 图3中，由折叠，可知， ∴． 4．如图，直线，点E，F分别在直线上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部交于点H，画射线交于点G，若，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在中，已知，，，，将沿对折得到，连接，则长为（   ） A．3.6 B．4.8 C．6.4 D．8 【答案】B 【分析】令与相交于点，由折叠的性质可得，且，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，令与相交于点， ， 由折叠的性质可得，且， ∵在中，已知，，，， ∴， ∴， ∴． 6．如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下面有四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点P作于点E，连接，，则铺设管道的路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接，则铺设管道的路径是 方案3：作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道的路径是 方案4：作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道的路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案 B．方案 C．方案 D．方案 【答案】C 【分析】本题考查了作轴对称最短路线问题，运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路线的求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接， ∴, ∴, ∵长度不变， ∴此时管道路径最短， ∴最短路径为:, 这正好对应方案的作法． 7．如图所示为用镜子拼成的正八边形，点为上一点，现从点射出一束光线，经过两次反射后，到达边上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的内角，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和反射定理． 设上方的正八边形的顶点依次为，，，与的交点为，先求出正八边形每个内角的度数，再由光的反射定理得、、和的数量关系，再利用多边形是五边形，求出与的度数和，再求出的度数，然后求出答案即可． 【详解】解：如图，设上方的正八边形的顶点依次为，，，与的交点为， 八边形是正八边形， ， 设，， 由光的反射定理可知：， ， 多边形是五边形， ， 即， 化简得：， ， ， 多边形是四边形，， ， 故选：A． 8．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和问题. 求出的度数，角平分线的定义，得到的度数，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴． 故选：B． 9．如图所示的是一组按照某种规律摆放成的图案，则第2026个图案________轴对称图形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】本题考查了图形的变化规律以及轴对称图形，注意由特殊到一般的分析方法． 先作出前四个图形的对称轴，类推即可得出结论． 【详解】前4个图案的对称轴如图所示． 按此规律，摆放成的图案都是轴对称图形． 故第个图案是轴对称图形． 故答案为：是. 10．如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据对称可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；说明即可判定③错误． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴， ∴，故①正确． ∴， 由对称的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． 在和中，， ∵ ∴，故③错误； 综上所述，结论正确的是①②． 故答案为：①②． 11．如图，在中，是的平分线，若分别是和上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】按照动点最值问题的做法，作点关于的对称点，由对称性得，结合三角形三边关系及点到直线距离垂线段最短得出，由等面积法求出即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点，如图所示： 是的角平分线，与关于对称， ∴点在上，则， ，， ， ， 即的最小值为． 12．如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____ 【答案】673 【分析】如图，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：如图， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环， 经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次， ∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹， ∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 13．如图，将长方形纸片沿着折叠（折痕分别交，于点E，F），点B，C分别落到点，的位置，再将四边形沿着折痕折叠，点，分别落到，的位置．若，则的度数为______；若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 利用折叠的性质得到，根据平行线的性质得到，进而得到的度数，利用三角形内角和定理求出的度数，从而求出；根据平行线的性质得到、，进而求出的度数，从而求出的值即可． 【详解】解：由折叠的性质得，、， 四边形是长方形， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得：，， ； ， ， 、， 、， ， ， ， ． 14．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） (1)作出中的角平分线． (2)作出边的中线 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线和中线，熟练掌握作图方法，是解题的关键： （1）以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，即可； （2）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，交于两点，连接两点的直线交于点，连接，即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； 15．现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的性质及其尺规作图，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的性质及其作法是解题的关键．作出角平分线、线段的垂直平分线，交点就是所求． 【详解】解：如图，分别作出线段的垂直平分线和l1、l2夹角的角平分线，两者的交点即为点的位置． 16．【中档】如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，求线段的长． 【答案】15 【分析】根据轴对称的性质进行计算即可． 【详解】解：∵点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则______°； (2)折叠长方形纸片，，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为______°（用含m和n的式子表示）． 【答案】(1) (2)； ； 【分析】（1）由折叠得出，即可得出结论； （2）①由折叠得出，，再由点在上，进而求解即可； ②首先求出，然后由折叠得到，，然后求出，进而求解即可； ③首先由折叠得，，求出，，然后根据，得到，最后由折叠的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， 由折叠知，； （2）解：①由折叠知，，， ∴当点在上时， ； ②∵， ∴， 由折叠知，，， ∴， ∴； ③∵， ∴由折叠得，， ∴， ∴由折叠得，， ∵， ∴ ∴由折叠得，． 18．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ (1)【分析问题】为了解决这个问题，数学小组的同学提出了四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是________． (2)【解决问题】如图2，在中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若，，，求周长的最小值． (3)【类比探究】如图3，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．请在图3上画图：使将军走过的路程最短，（尺规作图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）并说明理由． 【答案】(1)④，两点之间，线段最短； (2)11 (3)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短． 【详解】（1）解：正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）解：过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点P， 由对称轴的性质可得：，， ，， 的周长最小值为： ； （3）解：如图，最短， 理由：过点P分别作的对称点，， 连接与交点即为点C，D． ，， 最短． 19．在数学课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含角的直角三角尺（A、B、C逆时针方向排列），其中，，为主题展开数学活动，B点始终在线段上． (1)如图1，当时，求的大小． (2)如图2，三角尺绕着点B旋转，当C点在下方，A点在两平行线之间时，延长线交线段于点D，与的平分线交于点O，请你探究是否为定值，并说明理由． (3)若直角三角尺的C点在线段上，边交线段于点E，将三角形沿翻折，C落在点F处，，点G为射线上一动点，连接，的平分线所在直线交线段于点K，求与的数量关系_______．（直接写答案） 【答案】(1) (2)是定值，理由见解析 (3) 【分析】（1）延长交于点，根据角的和差关系，求出的度数，再根据平行线的性质，求出的大小即可； （2）设交于点，交于点，设，根据平行线的性质和三角形的内角和为180度，推出即可； （3）根据折叠的性质，角的和差关系和倍数关系以及平角的定义，求出的度数，进而求出的度数，分点在上和的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：延长交于点， 由题意，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：是定值，理由如下： 设交于点，交于点， ∵与的平分线交于点O， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由题意，， ∴， ∴， ∵， 故是定值； （3）解：∵折叠， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴， 当点在线段的延长线上时，如图， ∵， ∴，， ∴， 设，则，， ∵的平分线所在直线交线段于点K， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图，设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ 综上：． 20．综合与实践 已知，在长方形中，，，，．点是边上一动点，将沿翻折，点的对应点为． 【初步探索】 (1)尺规作图：若点恰好落在对角线上，请在图1中作出点．此时________°． 【深入探究】 (2)如图2，若点落在内（包含的边）． ①直接写出的最大值与最小值的和________°． ②探究与的关系． 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，如图3，点是边上一动点，将沿翻折，点的对应点为．若点落在内（包含的边），当的其中一边与的某一边平行时，试探究与的关系________． 【答案】(1)图见详解，30 (2)①75；② (3)或或 【分析】（1）根据折叠可知，，且折痕与线段的垂直平分线重合，由此可找出点，并利用折叠的性质求出； （2）①通过极限思维可以确定的值最大时，落在上，的值最小时，落在上，即可得出答案；②设，，过点作，通过折叠的性质和平行的性质即可求得与的关系； （3）设，，利用折叠进行角度计算，然后根据当的其中一边与的某一边平行时分四种情况讨论，分别为，，，，最后借助平行的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：以点为圆心，为半径画弧，交于，分别以和为圆心，为半径画圆，连接两圆的交点，交于点，连接； 将沿翻折，点的对应点为， ， ， ； （2）解：①若点落在内（包含的边）， 的值最大时，落在上，的值最小时，落在上， 由（1）可知，落在上时，， 落在上时，由折叠得，， 则的最大值与最小值的和为； ②设，， 将沿翻折，点的对应点为， ， ， ，， ， ， 如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， 则，即； （3）设，， 则，， 若点落在内（包含的边）, 点落在内（包含的边），则与的边可能存在，，，四种情况, 情况一：当时，， ， ， 则，即； 情况二：当时，延长交于点，， ， ， 则，即； 情况三：当时，，则， 将沿翻折，点的对应点为， ， ， ， 则，即； 情况四：当时， ， ， ，， 此时，； 综上，或或 【点睛】本题考查平行的性质，角度的计算，折叠问题，以及设参求角方法，能够根据折叠找准相等角，并熟练掌握平行的性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10轴对称 （5知识点+14题型+过关检测） 【题型1 轴对称图形的识别】 2 【题型2 成轴对称的两个图形的识别】 4 【题型3 根据成轴对称图形的特征进行判断】 6 【题型4 根据成轴对称图形的特征进行求解】 8 【题型5 台球桌面上的轴对称问题】 12 【题型6 轴对称中的光线反射问题】 14 【题型7 折叠问题】 17 【题型8 求对称轴条数】 21 【题型9 作已知线段的垂直平分线】 24 【题型10 作角平分线（尺规作图）】 27 【题型11 画对称轴】 30 【题型12 画轴对称图形】 32 【题型13 作垂线（尺规作图）】 35 【题型14 设计轴对称图案】 38 1. 概念认知：准确区分轴对称图形、两个图形成轴对称两个核心概念，明晰二者的联系与区别；掌握对称轴、对称点、垂直平分线、角平分线的基础定义。 2. 性质掌握：熟练掌握轴对称图形、成轴对称图形的核心性质，理解对称轴与对应点连线、对应线段、对应角的关系。 3. 作图能力：掌握尺规作线段垂直平分线、角平分线、图形对称轴、轴对称图形、过点作垂线的标准作图方法，规范作图步骤。 4. 应用解题：能利用轴对称性质解决角度、边长计算问题，掌握折叠、光线反射、台球运动等轴对称实际模型的解题思路，会简单设计轴对称图案。 03 知识•梳理 知识点1. 轴对称相关核心概念 · 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。易错提醒：对称轴是直线，不是线段、射线。 · 成轴对称的两个图形：把两个图形沿着某一条直线折叠，如果它们能够完全重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线是对称轴，折叠后重合的点是对应点（对称点）。 · 区别与联系：轴对称图形是“一个图形自身的特征”，成轴对称是“两个图形的位置关系”；二者本质一致，都满足轴对称的性质，均可通过折叠重合。 知识点2. 轴对称的核心性质 · 成轴对称的两个图形（或轴对称图形的两部分）全等，对应线段相等，对应角相等。 · 对称轴垂直平分任意一组对应点的连线。 · 对应线段的交点、对应延长线的交点一定在对称轴上。 知识点3. 线段垂直平分线知识点 · 定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。 · 性质：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等。 · 判定：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 知识点4. 角平分线知识点 · 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 · 判定：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 知识点5. 常见图形对称轴条数 · 线段：2条（本身所在直线、垂直平分线）；直线：无数条；射线：1条 · 等腰三角形：1条；等边三角形：3条 · 长方形：2条；正方形：4条；圆：无数条 · 等腰梯形：1条；正n边形：n条 04 题型•汇总 【题型1 轴对称图形的识别】 解题技巧 1. 核心判断法：尝试寻找一条直线，将图形沿直线对折，若直线两侧部分能完全重合，即为轴对称图形。 2. 快速排除技巧：不规则、不对称的曲线图形、任意平行四边形（非矩形、菱形、正方形）一般不是轴对称图形。 3. 易错提醒：对称轴是直线，无需局限于竖直、水平，斜向直线也可作为对称轴；只需存在至少一条对称轴即可判定。 【典例1】．在一些中国新能源汽车品牌的标志中，有的标志是轴对称图形．下面4个标志中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有 （    ）种． A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】．以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有______个． 【变式3】．如图，有5个小正方形，现从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，使剩余的四个小正方形组成的图形成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是__________． 【题型2 成轴对称的两个图形的识别】 解题技巧 1. 核心判定：针对两个独立图形，寻找一条直线，使两个图形沿直线折叠后完全重合，即为成轴对称。 2. 区分关键点：区别于轴对称图形（单个图形），本题型核心是两个图形的位置关系。 3. 辅助判断：两个图形全等是成轴对称的必要不充分条件，全等图形不一定成轴对称，还需满足位置对称。 【典例2】．如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【变式1】．下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】．下图中各组图形，成轴对称的为_____（只写序号①，②等）． 【变式3】．窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 【题型3 根据成轴对称图形的特征进行判断】 解题技巧 1. 性质套用三步法：①看对应点连线是否被对称轴垂直平分；②看对应线段是否相等、对应角是否相等；③看对应线段交点是否在对称轴上。 2. 正误快速判断：只要违背轴对称任意一条核心性质，即可直接判定结论错误。 3. 易错点规避：成轴对称的图形对应线段不一定平行，可能在同一直线上。 【典例3】．如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有_____个． 【变式3】．如图，将一张纸对折后用针扎出一系列小孔，展开后得到成轴对称的两个图形，的对应线段是________，的对应角是________． 【题型4 根据成轴对称图形的特征进行求解】 解题技巧 1.解题核心：利用“轴对称图形全等，对应边、对应角相等”，进行边长、角度、周长计算。 2.解题步骤：①找准对称轴，锁定对应点、对应边、对应角；②标注已知量，利用轴对称性质列式求解；③结合三角形内角和、线段和差等知识完成计算。 【典例4】．如图1是中国古代一种弓箭的箭头实物图，图2是其示意图，为轴对称图形，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．在中，，于D，点B关于的对称点在上，若，则______． 【变式2】．如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是______． 【变式3】．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 【题型5 台球桌面上的轴对称问题】 解题技巧 1. 解题原理：台球反弹轨迹遵循轴对称光线反射规律，桌边为对称轴，反弹前后的线路关于桌边对称，入射角等于反射角。 2. 通用解题法：采用“对称找点法”，将目标球或撞击点沿台球桌边作轴对称点，连接起点与对称点，连线与桌边的交点即为撞击点。 3. 易错提醒：多次反弹问题需多次作对称，严格遵循每次反弹的对称轴为对应桌边，不可直接凭肉眼判断轨迹。 【典例5】．如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【变式1】．如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2】．2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是____________号袋． 【变式3】．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 【题型6 轴对称中的光线反射问题】 解题技巧 1. 核心规律：光线反射问题本质为轴对称变换，反射面是对称轴，入射光线与反射光线关于反射面对称，入射角=反射角。 2. 解题步骤：①确定反射面（直线）；②将光源或接收点作关于反射面的对称点；③连接两点得到光线完整传播轨迹，结合角度关系求解。 3. 秒杀结论：光线经多次反射传播的总路径长度，等于起点到终点对称点的直线距离。 【典例6】．如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的度数为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，光线经两个平行放置的平面镜反射，若，则的度数为______． 【变式3】．如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 【题型7 折叠问题】 解题技巧 1. 核心本质：图形折叠属于轴对称变换，折痕即为对称轴，折叠前后两部分图形全等，所有对应边、对应角完全相等。 2. 解题关键：锁定折叠重合的边和角，标注相等线段、相等角度，利用线段和差、三角形内角和、直角性质列等式计算。 3. 高频考点：折叠后出现的重叠部分为等腰图形；折痕垂直平分对应点的连线，可结合垂直平分线性质解题。 4. 易错规避：切勿主观默认折叠角度、边长关系，必须依据轴对称全等性质推导。 【典例7】．按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【变式1】．如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点，的位置，的延长线与相交于点G．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，把一块长方形纸条沿折叠，若，那么______． 【变式3】．【中档】将长方形纸片沿折叠，折线交于点E，交于点F，点A、B的落点分别是交于G，再将四边形沿折叠，点的落点分别是，若恰好落在边上，当时，下列四个结论：①；②；③如图所示，当在线段上（不含端点）时，；④若，则，其中正确的结论是________ （填写序号）． 【题型8 求对称轴条数】 解题技巧 1. 判定方法：沿直线对折，图形完全重合即为有效对称轴，逐条排查，不重不漏。 2. 固定结论：正n边形有n条对称轴；不规则对称图形按实际重合直线计数。 3. 易错提醒：对称轴为直线，线段、射线不算；部分图形存在斜向对称轴，不可只数横竖对称轴。 【典例8】．如图，图中雪花的对称轴条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【变式1】．如图所示的图案，它的对称轴有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【变式2】．“圆形方孔钱”是中国古钱币的突出代表，图①是一种“圆形方孔钱”，图②是其轮廓图．已知古钱币的轮廓图是轴对称图形，则它的对称轴条数为_________．    【变式3】．如图是轴对称图形，它的对称轴的条数是______条． 【题型9 作已知线段的垂直平分线】 解题技巧&作图步骤 1. 作图原理：到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上，两点确定一条直线。 2. 标准步骤：①分别以线段两个端点为圆心，以大于线段一半长度为半径画弧；②上下两段弧分别交于两点；③过两个交点作直线，即为线段垂直平分线。 【典例9】．如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线，直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【变式1】．如图，在中，，，依据尺规作图的痕迹，计算______． 【变式2】．尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【变式3】．如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作的垂直平分线； (2)在图2中作的外心O． 【题型10 作角平分线（尺规作图）】 解题技巧&作图步骤 1. 作图原理：SSS全等判定，保证分出的两个角大小相等。 2. 标准步骤：①以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；②分别以这两个交点为圆心，大于两点间距一半为半径画弧，两弧交于角内一点；③连接顶点与交点，即为角平分线。 【典例10】．如图，在中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧交于点F，作射线交边于点M，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，直线，点E，F分别在直线，上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点H，画射线交于点C，若，则的度数为______ 【变式2】．如图，是的外角． (1)分别作和的平分线，两条平分线的交点为E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 【变式3】．如图，在中，，，于点． (1)请用圆规和无刻度的直尺作的平分线； (2)求的度数． 【题型11 画对称轴】 解题技巧 1. 通用画法：①找出两组对应对称点；②连接对应点，作对应点连线的垂直平分线，该直线即为图形对称轴。 2. 简易技巧：规则图形可直接根据对称特征画横竖、斜向对称轴，不规则对称图形必须依托对应点作图。 规范要求：对称轴需画直线，两端延伸出图形，不可画成线段。【典例11】．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（   ） A．菱形 B．等腰三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 【变式1】．如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是直线__________． 【变式2】．如图，四边形和四边形关于直线成轴对称． (1)请你在图中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如果你只有一把无刻度的直尺，请你在图中画出对称轴．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式3】．画出下列图形的对称轴 【题型12 画轴对称图形】 解题技巧 1. 找点法核心步骤：①选取图形所有关键点（顶点、端点）；②过每个关键点作对称轴的垂线，延长截取等长线段，得到对称点；③依次连接所有对称点，形成完整轴对称图形。 2. 得分要点：关键点对称位置必须精准，线条平直，图形与原图完全对称、全等。 【典例12】．如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上（网格线之间的交点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形共有（   ）个（注：与重合的不计） A．7 B．9 C．11 D．13 【变式1】．如图，在2×2的正方形网格中，网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，是一个格点三角形，图中与成轴对称的格点三角形共有（    ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式2】．如图，在的正方形网格中，有一个格点（阴影部分），则在网格中可以画出的所有与其成轴对称的格点三角形共有_______个．（格点三角形是指所有顶点都在格点上的三角形） 【变式3】．在数学漫步之旅第7集中可以设计一些复杂不可预测的图形游戏，也可以设计一些美的图形，在下列各图中的适当位置添加最少的小方格，使得到的图形关于虚线成轴对称（沿虚线折叠能完成重合）． 【题型13 作垂线（尺规作图）】 解题技巧&作图分类 1. 过直线上一点作垂线：以该点为圆心画弧交直线两点，再以两点为圆心画弧取交点，连线即为垂线。 2. 过直线外一点作垂线：以定点为圆心画弧交直线两点，再以两点画弧取下方交点，连接定点与交点即为垂线。 【典例13】．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，与交于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．则（   ） A． B． C． D．平分 【变式1】．如图，已知点P和直线l，过点P作l的垂线，步骤如下： 第一步：以点P为圆心，a（）为半径作弧，交直线l于点A，B； 第二步：分别以点A，B为圆心，b为半径作弧，两弧交于点D； 第三步：作直线交于点O． 关于a，b，下列说法正确的是（    ） A．a的长有限制，b的长无限制 B．a的长无限制，b的长有限制 C．a，b的长均无限制 D．a，b的长均有限制 【变式2】．如图，在直角中，，，，．按以下步骤作图：以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点；连接交与点；则______． 【变式3】．利用无刻度的直尺和圆规，按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明． (1)将纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，在图1中作出折痕直线． (2)将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好落在边上的点处，在图2中作出点以及折痕直线． 【题型14 设计轴对称图案】 解题技巧 1. 设计原则：确定一条对称轴，保证对称轴两侧图形形状、大小、位置完全对称。 2. 快速方法：先画一侧基础图案，再通过找对称点的方式复刻另一侧，组合成完整轴对称图案。 3. 评分标准：对称精准、图案整洁、符合题意要求，无不对称偏差。 【典例14】．2025年12月10日，春晚官方发布了2026马年总台春晚的主题：寓意“奇迹”的四匹骏马，具有齐头并进、拾级而上视觉意象的“骐骥驰骋纹”．实际上这些美丽的图案可以看作是由基本图形经过图形变换而得．下面哪个图案可以由如图经过轴对称变换得到的轴对称图形（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图是由3个相同的小正方形组成的图形，若再补画一个相同的小正方形，使补画后的图形是轴对称图形，则不同的补画方法一共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【变式2】．在如图的正方形网格上画有两条线段．现在要再画一条，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，能满足条件的线段有______条． 【变式3】．请你分别在下面四个图中的某个空白方格内补画1个小圆，使补画后的4个小圆组成的图形为轴对称图形． 05 过关•检测 1．以下四款人工智能大模型图标，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在一个等边三角形纸片中取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，图中阴影部分的面积是整个图形面积的（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线，点E，F分别在直线上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部交于点H，画射线交于点G，若，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，已知，，，，将沿对折得到，连接，则长为（   ） A．3.6 B．4.8 C．6.4 D．8 6．如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下面有四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点P作于点E，连接，，则铺设管道的路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接，则铺设管道的路径是 方案3：作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道的路径是 方案4：作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道的路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案 B．方案 C．方案 D．方案 7．如图所示为用镜子拼成的正八边形，点为上一点，现从点射出一束光线，经过两次反射后，到达边上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 9．如图所示的是一组按照某种规律摆放成的图案，则第2026个图案________轴对称图形（填“是”或“不是”）． 10．如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是______（填序号）． 11．如图，在中，是的平分线，若分别是和上的动点，则的最小值为_____． 12．如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____ 13．如图，将长方形纸片沿着折叠（折痕分别交，于点E，F），点B，C分别落到点，的位置，再将四边形沿着折痕折叠，点，分别落到，的位置．若，则的度数为______；若，则的值为______． 14．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） (1)作出中的角平分线． (2)作出边的中线 15．现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置． 16．【中档】如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，求线段的长． 17．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则______°； (2)折叠长方形纸片，，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为______°（用含m和n的式子表示）． 18．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ (1)【分析问题】为了解决这个问题，数学小组的同学提出了四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是________． (2)【解决问题】如图2，在中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若，，，求周长的最小值． (3)【类比探究】如图3，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．请在图3上画图：使将军走过的路程最短，（尺规作图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）并说明理由． 19．在数学课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含角的直角三角尺（A、B、C逆时针方向排列），其中，，为主题展开数学活动，B点始终在线段上． (1)如图1，当时，求的大小． (2)如图2，三角尺绕着点B旋转，当C点在下方，A点在两平行线之间时，延长线交线段于点D，与的平分线交于点O，请你探究是否为定值，并说明理由． (3)若直角三角尺的C点在线段上，边交线段于点E，将三角形沿翻折，C落在点F处，，点G为射线上一动点，连接，的平分线所在直线交线段于点K，求与的数量关系_______．（直接写答案） 20．综合与实践 已知，在长方形中，，，，．点是边上一动点，将沿翻折，点的对应点为． 【初步探索】 (1)尺规作图：若点恰好落在对角线上，请在图1中作出点．此时________°． 【深入探究】 (2)如图2，若点落在内（包含的边）． ①直接写出的最大值与最小值的和________°． ②探究与的关系． 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，如图3，点是边上一动点，将沿翻折，点的对应点为．若点落在内（包含的边），当的其中一边与的某一边平行时，试探究与的关系________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $