精品解析：广东深圳市福田区深圳高级中学集团2025－2026 学年九年级数学模拟考试（5月）

深圳高级中学集团 2025—2026学年九年级数学模拟考试（5月） 说明： 1．本试卷共6页，满分100分，考试用时90分钟． 2．答题前请将姓名、考号和班级写在答题卡相应的位置，并将条形码贴在答题卡相应区域． 3．考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 4．答题卡必须保持清洁，不能折叠．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分 （选择题，共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每个小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的倒数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据倒数的定义， ∵ ， ∴ 的倒数是． 2. 发展新能源汽车是我国核心战略，比亚迪是技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部—六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】俯视图是从物体的上面看，所得到的图形，利用概念直接可得答案． 【详解】从几何体的上面可以看到图形如图所示： ． 3. 中国邮政于2025年3月14日发行《数学之美》特种邮票1套4枚，邮票图案名称分别为：圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．小明从上述4种不同图案的邮票中随机选择1种购买，购买的邮票图案恰好是莫比乌斯带的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵有4张邮票， ∴小明从上述4种不同图案的邮票中随机选择1种购买，购买的邮票图案恰好是莫比乌斯带的概率是． 4. 年月日起，市场监管总局（国家标准委）发布的《中小学生午休课桌椅通用技术要求》实施，规定午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到以上．图示为一款可躺睡椅子及其简化结构，椅座平行于地面，支点到地面的距离为厘米，靠背的长为厘米．若，则点到地面的距离的长是（ ）厘米． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可求，在中，，根据矩形的判定和性质得出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，，，， 如图： 则：， 在中，， ∵由题意可知， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 5. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方差公式，同底数幂的乘除法则，积的乘方法则，分别计算各选项判断正误． 【详解】解：A．，计算正确，符合题意． B．，计算错误，不符合题意． C．，计算错误，不符合题意． D．，计算错误，不符合题意． 6. 如图，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作，得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：如图，过作， ， ， ， ， ， ， ． 7. 《九章算术》中有如下分钱问题：第一次有x人，平分15元钱；第二次比第一次增加5人，平分40元钱，且第二次每人分得的钱与第一次相同，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“两次每人分得的钱数相同”这一等量关系，分别表示出两次每人分得的钱数，即可列出方程． 【详解】解：∵第一次有人，平分元钱， ∴第一次每人分得元. ∵第二次比第一次增加人， ∴第二次有人，平分元钱， ∴第二次每人分得元. ∵第二次每人分得的钱与第一次相同， ∴可列方程为． 8. 如图，把一张长方形纸片的一角沿折叠，使的点D的对应点F落在内部．若，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角的计算、折叠性质、数形结合思想等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．由折叠的性质得到，由长方形的性质得到，设，则，列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：折叠， ， 是长方形， ， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ． 故选：C． 第二部分 （非选择题，共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若是方程的一个根，则的值______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即 ∴ 10. 写出一个函数表达式，使它的图象经过，且时，y随x的增大而增大，这个函数表达式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设所求函数为一次函数，根据一次函数的增减性确定一次项系数的取值范围，再利用函数图象经过已知点求解未知参数，即可得到符合要求的函数表达式，答案不唯一． 【详解】解：设所求函数为一次函数，表达式为． 时，随的增大而增大， ． 令，可得函数为． 将点代入得，解得． 因此符合条件的函数表达式可以为（答案不唯一）． 11. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则图2中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求扇形面积，利用扇形面积公式，根据即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数，的图象上，连接，，，且，作轴于点．轴于点，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质得出，根据反比例函数的性质和三角形的面积公式得出，，即可列出方程，求出的值，结合点在第三象限，，即可求解． 【详解】∵，轴，轴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别在反比例函数，的图象上， 故， ， 则，， ∴， 即， 解得， 由图可知点在第三象限，， ∴． 13. 在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为边在上方作等边三角形，连接，由旋转的性质可得，，可证 ，从而证明，得到，再求出，设，可得 ，由勾股定理得到，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：以为边在上方作等边三角形，连接， 则 ， 由旋转的性质得，， ∴ ，即 ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 设， ∵， ∴ ， 在 中，， ∴， 令， ∵， ∴当时，有最小值，此时，有最小值， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据负整数指数幂、立方根、零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值化简，再进行计算即可求解． 【详解】解： ． 15. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 【答案】， 把解集在数轴上表示出来如图： 所有整数解为 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解集，然后确定这个范围内的整数解即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， 解得， 解集为：， 不等式组的所有整数解为． 16. 某校七、八年级各有名学生，为了调查学生对赋能课堂教学的满意度，随机抽取了七、八年级各名学生对赋能课堂教学满意程度赋分（百分制），将收集的赋分成绩按以下六组进行整理（得分用表示）：：，：，：，：，：，：， 并绘制了七年级赋分成绩频数直方图和八年级赋分成绩扇形统计图： 已知八年级样本中赋分成绩为分及以上的学生有人，组中的数据从小到大排列个如下：，，，，，，，，，．请根据以上信息，完成下列问题： （1）______，______，______； （2）八年级赋分成绩的中位数是______； （3）若赋分成绩不低于分，则认定学生对赋能课堂教学“满意”，请估计该校七、八年级对赋能课堂教学“满意”的学生一共多少人？ 【答案】（1），， （2） （3）该校七、八年级对赋能课堂教学“满意”的学生一共人 【解析】 【分析】（1）根据八年级样本中赋分成绩为分及以上的学生数及其百分比即可求出，用八年级样本中赋分成绩为分及以上的学生数除以总人数即可求出，根据总人数减去已知部分人数除以即可得到； （2）根据中位数的定义进行解答即可； （3）利用样本估计总体的方法列式计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 ， 八年级赋分成绩的中位数在组中，是，的平均数，即为； 【小问3详解】 （人）， 答：该校七、八年级对赋能课堂教学“满意”的学生一共人． 17. 如图，已知是的直径，点在上，点在外． （1）动手操作：作的角平分线，与圆交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）综合运用，在你所作的图中．若，求证：是的切线． 【答案】（1） 如图， （2） 证明：连接AD，如图 ∵为直径 ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵AB为直径 ∴AE是的切线． 【解析】 【分析】（1）如图，以点C为圆心BC为半径画弧交AC于点M；以B、M为圆心，大于为半径画弧，交点为N，连接CN交于点D即可． （2）连接AD ， ，，，，AB为直径，进而可得AE是的切线． 【小问1详解】 解：如图，以点C为圆心BC为半径画弧交AC于点M；以B、M为圆心，大于为半径画弧，交点为N，连接CN交于点D． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了角平分线的画法，圆周角，切线的判定等知识．解题的关键在于对知识的灵活熟练的运用． 18. 中华优秀传统文化是中华民族的精神命脉，是涵养社会主义核心价值观的重要源泉．为推进传统文化进校园，某校艺术社团计划采购汉服用于传统礼仪展演．已知采购件甲款汉服与件乙款汉服共需元；采购件甲款汉服与件乙款汉服共需元． （1）求甲、乙两款汉服的单价； （2）该社团计划采购两款汉服共件，且甲款汉服数量不低于乙款汉服数量的倍．请确定采购方案使总费用最少，并求出最少费用． 【答案】（1）甲款汉服单价为元，乙款汉服单价为元 （2）该社团购买甲款汉服件，乙款汉服件时费用最少，最少费用为元 【解析】 【分析】（1）设甲款汉服单价为元，乙款汉服单价为元，根据“采购件甲款汉服与件乙款汉服共需元；采购件甲款汉服与件乙款汉服共需元” 列出方程组，即可求解； （2）设购买甲款汉服件，总费用为元，则购买乙款汉服件，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设甲款汉服单价为元，乙款汉服单价为元， 根据题意得：， 解得：， 故甲款汉服单价为元，乙款汉服单价为元． 【小问2详解】 解：设购买甲款汉服件，总费用为元，则购买乙款汉服件， ∵甲款汉服数量不低于乙款汉服数量的倍， ∴， 故 解得：， 总费用， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，最小值为，此时， 故该社团购买甲款汉服件，乙款汉服件时费用最少，最少费用为元． 19. 综合与探究 【概念初识】 三隅同角四边形：在平面内，若一个四边形有三个内角的度数相等，则称这个四边形为三隅同角四边形，这三个相等的内角称为该四边形的“同角”，第四个内角称为“异角”． （1）如图1，在中，，点，分别为边，上的动点，若四边形为三隅同角四边形，则； 【图形判定】 （2）如图2，折叠平行四边形纸片，使顶点，分别落在边，上的点，处，折痕分别为，．求证：四边形是三隅同角四边形； 【综合深研】 （3）如图3，在三隅同角四边形中，且为锐角，，求长的最大值． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴； 同理，， ∴， ∴四边形是三隅同角四边形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据三隅同角四边形的定义，即可求解； （2）根据平行四边形的性质以及折叠的性质证明，结合三隅同角四边形的定义，即可得证； （3）过点作，，证明，设，，根据相似三角形的性质，表示出，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形为三隅同角四边形，，四边形的内角和为 ∴为“异角” ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，过点作，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴，，， 设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∴长的最大值为． 20. 综合与实践·校本研学探究——低空无人机物资空投的数学建模 【研学背景】 某校开展数学跨学科科创研学活动，探究低空无人机物资投放的运动规律．若忽略空气阻力、风力的影响，物资飞行轨迹为抛物线；无人机悬停投放口为抛物线轨迹的顶点． 【坐标系建构】 以投放口地面竖直投影为原点，水平投放方向为轴正方向，竖直向上为轴正方向，单位：． 无人机物资空投数学建模示意图 （1）【初战实测·个案建模】 如图，首次试飞无人机悬停投放高度为，物资水平飞行后在处落地，求本次物资飞行抛物线的函数解析式； （2）【校准实验·定点标定】如图，无人机仅竖直升降，抛物线形状、开口不变（与①相同），轨迹经过标定靶点，求此时无人机悬停投放口离地高度； （3）【全域探究·通用建模】 为探究不同投放参数影响，无人机调整水平初速度与机翼角度，建立全新通用投放轨迹：，场地中段设有高实训障碍墙；地面物资接收区为线段，端点，；要求物资全程飞越障碍墙且不触碰，落地点落在接收区内（含端点，），求投放口高度的取值范围． 【答案】（1） （2）此时悬停高度为米 （3）投放高度的取值范围是米 【解析】 【分析】（1）由题意设抛物线顶点式，将落地点代入顶点式，即可求解； （2）由题意设抛物线顶点式，将代入顶点式，即可求解； （3）根据落地区间，得出，根据越障要求：当时，，进而求得，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意设抛物线顶点式， 将落地点代入顶点式， 得， 解得． ∴所求解析式为 答：本次物资飞行抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 由题意设抛物线顶点式，将代入顶点式， 得， 解得 答：此时悬停高度为4米． 【小问3详解】 ①令，则， ∵落地区间， ∴ ②越障要求：当时， ，， ∵． ∴当时，随着x的增大而增大， 当时， ∴， 由①②得 答：投放高度h的取值范围是米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳高级中学集团 2025—2026学年九年级数学模拟考试（5月） 说明： 1．本试卷共6页，满分100分，考试用时90分钟． 2．答题前请将姓名、考号和班级写在答题卡相应的位置，并将条形码贴在答题卡相应区域． 3．考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 4．答题卡必须保持清洁，不能折叠．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分 （选择题，共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每个小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的倒数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 发展新能源汽车是我国核心战略，比亚迪是技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部—六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 中国邮政于2025年3月14日发行《数学之美》特种邮票1套4枚，邮票图案名称分别为：圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．小明从上述4种不同图案的邮票中随机选择1种购买，购买的邮票图案恰好是莫比乌斯带的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 年月日起，市场监管总局（国家标准委）发布的《中小学生午休课桌椅通用技术要求》实施，规定午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到以上．图示为一款可躺睡椅子及其简化结构，椅座平行于地面，支点到地面的距离为厘米，靠背的长为厘米．若，则点到地面的距离的长是（ ）厘米． A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 6. 如图，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中有如下分钱问题：第一次有x人，平分15元钱；第二次比第一次增加5人，平分40元钱，且第二次每人分得的钱与第一次相同，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把一张长方形纸片的一角沿折叠，使的点D的对应点F落在内部．若，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 第二部分 （非选择题，共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若是方程的一个根，则的值______． 10. 写出一个函数表达式，使它的图象经过，且时，y随x的增大而增大，这个函数表达式可以是______． 11. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则图2中阴影部分的面积为______．（结果保留） 12. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数，的图象上，连接，，，且，作轴于点．轴于点，若，则的值为______． 13. 在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算：． 15. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 16. 某校七、八年级各有名学生，为了调查学生对赋能课堂教学的满意度，随机抽取了七、八年级各名学生对赋能课堂教学满意程度赋分（百分制），将收集的赋分成绩按以下六组进行整理（得分用表示）：：，：，：，：，：，：， 并绘制了七年级赋分成绩频数直方图和八年级赋分成绩扇形统计图： 已知八年级样本中赋分成绩为分及以上的学生有人，组中的数据从小到大排列个如下：，，，，，，，，，．请根据以上信息，完成下列问题： （1）______，______，______； （2）八年级赋分成绩的中位数是______； （3）若赋分成绩不低于分，则认定学生对赋能课堂教学“满意”，请估计该校七、八年级对赋能课堂教学“满意”的学生一共多少人？ 17. 如图，已知是的直径，点在上，点在外． （1）动手操作：作的角平分线，与圆交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）综合运用，在你所作的图中．若，求证：是的切线． 18. 中华优秀传统文化是中华民族的精神命脉，是涵养社会主义核心价值观的重要源泉．为推进传统文化进校园，某校艺术社团计划采购汉服用于传统礼仪展演．已知采购件甲款汉服与件乙款汉服共需元；采购件甲款汉服与件乙款汉服共需元． （1）求甲、乙两款汉服的单价； （2）该社团计划采购两款汉服共件，且甲款汉服数量不低于乙款汉服数量的倍．请确定采购方案使总费用最少，并求出最少费用． 19. 综合与探究 【概念初识】 三隅同角四边形：在平面内，若一个四边形有三个内角的度数相等，则称这个四边形为三隅同角四边形，这三个相等的内角称为该四边形的“同角”，第四个内角称为“异角”． （1）如图1，在中，，点，分别为边，上的动点，若四边形为三隅同角四边形，则； 【图形判定】 （2）如图2，折叠平行四边形纸片，使顶点，分别落在边，上的点，处，折痕分别为，．求证：四边形是三隅同角四边形； 【综合深研】 （3）如图3，在三隅同角四边形中，且为锐角，，求长的最大值． 20. 综合与实践·校本研学探究——低空无人机物资空投的数学建模 【研学背景】 某校开展数学跨学科科创研学活动，探究低空无人机物资投放的运动规律．若忽略空气阻力、风力的影响，物资飞行轨迹为抛物线；无人机悬停投放口为抛物线轨迹的顶点． 【坐标系建构】 以投放口地面竖直投影为原点，水平投放方向为轴正方向，竖直向上为轴正方向，单位：． 无人机物资空投数学建模示意图 （1）【初战实测·个案建模】 如图，首次试飞无人机悬停投放高度为，物资水平飞行后在处落地，求本次物资飞行抛物线的函数解析式； （2）【校准实验·定点标定】如图，无人机仅竖直升降，抛物线形状、开口不变（与①相同），轨迹经过标定靶点，求此时无人机悬停投放口离地高度； （3）【全域探究·通用建模】 为探究不同投放参数影响，无人机调整水平初速度与机翼角度，建立全新通用投放轨迹：，场地中段设有高实训障碍墙；地面物资接收区为线段，端点，；要求物资全程飞越障碍墙且不触碰，落地点落在接收区内（含端点，），求投放口高度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $