精品解析：广东深圳市福田区红岭教育集团园岭中学2025-2026学年九年级第一次模拟考试数学试卷

初三数学第一次形成性练习 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列四个实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体，移走其中一个小正方体后，左视图发生了变化，则移走的小正方体是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2 4. 有五张质地、大小、反面都相同的不透明卡片，正面分别写着数字5，6，7，8，9，把它们的正面向下，随机摆放在桌面后任意抽取一张，则抽出的数字是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，从光源点照射到抛物线上的光线经反射以后分别沿着与所在直线平行的方向射出，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其意思是：“今有3人坐一辆车，则有2辆车是空的；2人坐一辆车，则有9人需要步行．问：人与车各多少？”若设有个人，辆车，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点射入，经过地板反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为，当时，光斑移动的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 定义符号的含义为：当时；当时． 如：，． 则的最大值是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 若关于的方程的解是，则的值为_____． 10. 将点向右平移3个单位长度得点Q，点Q刚好落在y轴上，则点P的坐标为______． 11. 如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交点，则的度数等于______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（－2，3），AD＝5，若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为________． 13. 如图，在中，，点为内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，点为的中点，连接，，若，则___________． 三、解答题 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中x＝． 16. 某校开展了“学宪法”知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的成绩（满分为分）进行整理、分析，现将得分（）分成四组：，，，，下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生成绩在C组的人数是D组人数的一半，在C组中的数据为：，； 八年级抽取的学生成绩为：． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七 八 七年级抽取的学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________． （2）根据以上数据，你认为哪一个年级参加竞赛活动的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）若该校七、八年级共人参加了此次竞赛活动，得分在分及以上为优秀，请你估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀的学生总数． 17. 为了能够更好地进行电路实验学习，某校八年级（1）班在电商平台上购买小电动机和小灯泡．已知该平台上一个小电动机与一个小灯泡的价格之和是12元，同学们决定用30元购买小灯泡，45元购买小电动机，其中购买的小灯泡数量正好是小电动机数量的2倍． （1）分别求出每个小灯泡和小电动机的价格； （2）若八年级（1）班决定购买小灯泡和小电动机共计90个，且满足小灯泡数量不超过小电动机数量的一半，请求出总费用的最小值． 18. 如图，在中，是钝角． （1）尺规作图：在上取一点，以为圆心，作出圆，使其过两点，交于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，若，，． 求证：是圆的切线； 求圆的半径长； 19. 【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）①点的“纵横值”为 ； ②求出函数的“最优纵横值”； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值． 20. 折纸之术，源远流长，古称“折矩 ”“叠方 ”，其中暗含几何之理．今鹿鸣数学兴趣小组取一四边形，沿某线翻折，进行探究活动： 【探究一】如图 1，在矩形 中，点 M，点 N 分别是边 的中点，连接 ，点 P 为边 上的一点，将 沿 翻折得到，恰好使得点 C 的对称点 E 落在 上． 已知，．①直接写出的长度；②求的值． 【探究二】在正方形中，点 N 是边的中点，将沿着直线翻折得到，点 B 的对称点落在点 F 处，连接，与 交于点 P，已知正方形的边长是 20，请在图 2 中补全图形，并求的长． 【探究三】如图 3，在菱形 中，，，点 M 为边上的一个动点，连接，将沿着直线翻折得到，点 D 的对称点为点 N．直线 与直线相交于点 G，直线与直线 相交于点 H．作 于点 P，已知 ，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学第一次形成性练习 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列四个实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算． 根据负数小于0和正数比较两负数大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵正数大于0，0大于负数， ∴最小的数是． 故选：A． 2. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体，移走其中一个小正方体后，左视图发生了变化，则移走的小正方体是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握：从左边看得到的图形是左视图．据此解答即可． 【详解】解：单独移开①或②或④，得到的几何体的左视图与原来的几何体的左视图相同，均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形， 移走③，得到的几何体的左视图为一层两列两个小正方形， ∴若移走一块小正方体，几何体的左视图发生了改变，则移走的小正方体是③． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据完全平方公式，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，分别运算即可判断求解，掌握以上运算法则是解题的关键．运用运算法则即可求解． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、和不是同类项，不能合并，故D不符合题意； 故选：C． 4. 有五张质地、大小、反面都相同的不透明卡片，正面分别写着数字5，6，7，8，9，把它们的正面向下，随机摆放在桌面后任意抽取一张，则抽出的数字是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率公式的应用，解题的关键是准确识别奇数的个数，熟练运用概率公式进行计算． 先确定总情况数与抽出数字为奇数的情况数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵总共有5张卡片，总情况数为5， 又∵正面数字是奇数的卡片有5、7、9，共3张，符合条件的情况数为3， ∴根据概率公式“概率所求情况数总情况数”，可得抽出数字是奇数的概率为， 故选：A． 5. 如图，从光源点照射到抛物线上的光线经反射以后分别沿着与所在直线平行的方向射出，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是关键． 根据题意得到，则，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵从光源点照射到抛物线上的光线经反射以后分别沿着与所在直线平行的方向射出， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其意思是：“今有3人坐一辆车，则有2辆车是空的；2人坐一辆车，则有9人需要步行．问：人与车各多少？”若设有个人，辆车，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意找出两个等量关系，分别列出方程即可得到方程组． 【详解】解：设有个人，辆车， ∵3人坐一辆车时，有2辆车是空的， ∴实际乘坐的车辆数为，总人数等于每车人数乘乘坐车辆数，可得方程； ∵2人坐一辆车时，有9人需要步行， ∴总人数等于乘车人数加步行人数，乘车人数为，步行人数为9，可得方程； 因此所列方程组为： 7. 如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点射入，经过地板反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为，当时，光斑移动的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，矩形的性质与判定，解直角三角形的应用；设中午和下午某时刻光线与地板的交点分别为，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，则四边形是矩形，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，设中午和下午某时刻光线与地板的交点分别为，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，则四边形是矩形，则， ∵， ∴， 根据对称性可得， ∴ 故选：B． 8. 定义符号的含义为：当时；当时． 如：，． 则的最大值是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，新定义，一次函数的性质，当时，则，可求出当时，，据此利用一次函数的性质求解即可；当或时，，则，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：当时，则， ∴， ∴， ∴或， 解不等式组，可知不等式组无解； 解不等式组得， ∴当时，， ∴此时的最大值为； 当或时，，则， ∴； 综上所述，的最大值为2， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 若关于的方程的解是，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据方程的解求参数，将方程的解 代入原方程，求解 a 的值即可． 【详解】解：将 代入方程， 解得． 故答案为：． 10. 将点向右平移3个单位长度得点Q，点Q刚好落在y轴上，则点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的平移，点在坐标轴上的特点，掌握平移规律，坐标轴上点的特点是关键． 根据点的平移规律“左减右加，上加下减”得到点的坐标，由点在轴上，横坐标为0，由此列式求解即可． 【详解】解：点向右平移3个单位长度， ∴， ∵点Q刚好落在y轴上， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为： ． 11. 如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交点，则的度数等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质，掌握轴对称的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质是正确解答的关键． 根据对称轴的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，则点在上，连接，，． 由翻折的性质可知，，，， ∵， ∴， ， ， 是的直径， ， 又， ， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（－2，3），AD＝5，若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由D（-2，3），AD=5，求得A（2，0），即得AO=2；设AD与y轴交于E，求得E（0，1.5），即得EO=1.5；作BF垂直于x轴于F，求证△AOE ∽△CDE，可得，求证△AOE∽△BFA，可得AF=2，BF=，进而可求得B（4，）；将B（4，）代入反比例函数，即可求得k的值． 【详解】解：如图，过D作DH垂直x轴于H，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F， ∵点D（-2，3），AD=5， ∴DH=3， ∴， ∴A（2，0），即AO=2， ∵D（-2，3），A（2，0）， ∴AD所在直线方程为：， ∴E（0，1.5），即EO=1.5， ∴， ∴ED=AD- AE=5-=， ∵∠AOE=∠CDE，∠AEO=∠CED， ∴△AOE ∽△CDE， ∴， ∴， ∴在矩形ABCD中，， ∵∠EAO+∠BAF=90°， 又∠EAO+∠AEO=90°， ∴∠AEO=∠BAF， 又∵∠AOE=∠BFA， ∴△BFA∽△AOE， ∴， ∴代入数值，可得AF=2，BF=， ∴OF=AF+AO=4， ∴B（4，）， ∴将B（4，）代入反比例函数，得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的系数、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识．解题关键是通过求证△AOE ∽△CDE，△AOE∽△BFA，得到B点坐标，将B点坐标代入反比例函数，即可得解． 13. 如图，在中，，点为内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，点为的中点，连接，，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至H，使得，连接，，利用三角形的中位线定理得到；然后利用旋转性质和等腰直角三角形的判定与性质推导出，，进而证明，利用相似三角形的性质可得到答案． 【详解】解：延长至H，使得，连接，， ∵点为的中点，， ∴是的中位线， ∴； 由旋转性质得，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算特殊角三角函数、二次根式、负整数次幂、绝对值，再进行加减运算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及特殊角三角函数、二次根式、负整数次幂、绝对值等知识点，正确计算是解题的关键． 15. 先化简，再求值：，其中x＝． 【答案】 【解析】 【分析】先对题目中的式子进行化简，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 当x＝时，原式＝． 【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 16. 某校开展了“学宪法”知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的成绩（满分为分）进行整理、分析，现将得分（）分成四组：，，，，下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生成绩在C组的人数是D组人数的一半，在C组中的数据为：，； 八年级抽取的学生成绩为：． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七 八 七年级抽取的学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________． （2）根据以上数据，你认为哪一个年级参加竞赛活动的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）若该校七、八年级共人参加了此次竞赛活动，得分在分及以上为优秀，请你估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀的学生总数． 【答案】（1），， （2） 八年级成绩更好，理由如下： ∵七八年级的平均数相同都是，七年级的中位数小于八年级的，七年级的众数小于八年级的， ∴八年级成绩更好； （3）人 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解即可，先算出七年级组人数，再算出所占总数的百分比即可求解； （2）比较七八年级的平均数、众数及中位数即可得出结论； （3）用总人数乘以样本中优秀学生所占百分比即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵七年级组人数是人， ∴七年级组人数是人， ∵七年级组人数是人， ∴七年级组：人， 即：， ∴， ∴人， ∵八年级抽取的学生成绩为：， ∴成绩出现次数最多的是， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀的学生总数是人． 17. 为了能够更好地进行电路实验学习，某校八年级（1）班在电商平台上购买小电动机和小灯泡．已知该平台上一个小电动机与一个小灯泡的价格之和是12元，同学们决定用30元购买小灯泡，45元购买小电动机，其中购买的小灯泡数量正好是小电动机数量的2倍． （1）分别求出每个小灯泡和小电动机的价格； （2）若八年级（1）班决定购买小灯泡和小电动机共计90个，且满足小灯泡数量不超过小电动机数量的一半，请求出总费用的最小值． 【答案】（1）每个小灯泡的价格是3元，每个小电动机的价格为9元 （2）630元 【解析】 【分析】（1）设每个小灯泡的价格为x元，则每个小电动机的价格为元，根据“购买的小灯泡数量正好是小电动机数量的2倍”列出分式方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设购买m个小灯泡，则购买个小电动机，根据“小灯泡数量不超过小电动机数量的一半”列出不等式，求出m的取值范围，设购买小灯泡和小电动机的总费用为w元，列出总费用的一次函数解析式，根据一次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每个小灯泡的价格为x元，则每个小电动机的价格为元， 根据题意得：， 解得， 经检验：是方程的根， ∴， 答：每个小灯泡的价格是3元，每个小电动机的价格为9元． 【小问2详解】 设购买m个小灯泡，则购买个小电动机， 由题意得， 解得：， 设购买小灯泡和小电动机的总费用为w元， 则， ∵， ∴w随着m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，此时， 答：总费用的最小值为630元． 【点睛】此题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，读懂题意，正确列出方程、不等式、一次函数解析式是解题的关键． 18. 如图，在中，是钝角． （1）尺规作图：在上取一点，以为圆心，作出圆，使其过两点，交于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，若，，． 求证：是圆的切线； 求圆的半径长； 【答案】（1） 点如图所示： （2）证明：如图所示，连接， 是直径， 即， 又是半径， 是的切线； ， 【解析】 【分析】（1）作出线段的垂直平分线确定圆心，再作出圆即可求解； （2）连接，得出，根据，结合已知条件得出，即可得证； 先证明，得到，求解，则半径可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ∴圆的半径长为． 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，相似三角形的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等知识，解题关键是正确作图并得出相似． 19. 【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）①点的“纵横值”为 ； ②求出函数的“最优纵横值”； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值． 【答案】（1）①8；②2 （2）4 （3）5或 【解析】 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解最优纵横值的定义是解题的关键． （1）①根据定义直接求解即可；②根据定义先求出，即可求解； （2）先确定函数的解析式为，再由的最优纵横值为5，得到，即可求解； （3）先求，再分类讨论若，若，两种情况即可求解； 【小问1详解】 解：①由题意得：点的“纵横值”为， 故答案为： ②， ∵， ∴ ∴函数的“最优纵横值”为2 【小问2详解】 解：由题意得：抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得： ∴ ∴ ∵最优纵横值为5， ∴ ∴ 【小问3详解】 解： 若，则当时，； 即：， 解得：或（舍去）； 若，则当时，； 即：， 解得（舍）或； 综上所述：b的值为5或． 20. 折纸之术，源远流长，古称“折矩 ”“叠方 ”，其中暗含几何之理．今鹿鸣数学兴趣小组取一四边形，沿某线翻折，进行探究活动： 【探究一】如图 1，在矩形 中，点 M，点 N 分别是边 的中点，连接 ，点 P 为边 上的一点，将 沿 翻折得到，恰好使得点 C 的对称点 E 落在 上． 已知，．①直接写出的长度；②求的值． 【探究二】在正方形中，点 N 是边的中点，将沿着直线翻折得到，点 B 的对称点落在点 F 处，连接，与 交于点 P，已知正方形的边长是 20，请在图 2 中补全图形，并求的长． 【探究三】如图 3，在菱形 中，，，点 M 为边上的一个动点，连接，将沿着直线翻折得到，点 D 的对称点为点 N．直线 与直线相交于点 G，直线与直线 相交于点 H．作 于点 P，已知 ，请直接写出的值． 【答案】【探究一】①；②【探究二】【探究三】的值为或 【解析】 【分析】【探究一】①利用勾股定理求出的长，再利用翻折得出，进而即可得解；②连，利用勾股定理得到，求出，进而即可得解； 【探究二】延长交于点，连，由得出，由勾股定理得出，由得，进而即可得解； 【探究三】分当点在之间和当点在之间时两种情况讨论即可得解． 【详解】【探究一】解：①∵点 N 是边  的中点，， ∴， ∵在矩形 中，， ∴，，， ∴， ∵将 沿  翻折得到，恰好使得点 C 的对称点 E 落在  上． ∴， ∴； ②如图，连， ∵将 沿  翻折得到，恰好使得点 C 的对称点 E 落在  上， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【探究二】解：如图，延长交于点，连， ∵正方形的边长是 20，点 N 是边的中点， ∴，， ∵将沿着直线翻折得到，点 B 的对称点落在点 F 处， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【探究三】解：∵在菱形 中，，， ∴，，， ∴都为等边三角形， ∴， ∵ 于点 P， ∴， 当点在之间时，设交于点，如图， ∵ ， ∴， ∵将沿着直线翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在之间时，如图， ∵ ， ∴， ∵将沿着直线翻折得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $