精品解析：广东深圳高级中学集团2025-2026学年九年级数学模拟考试（3月）

广东深圳高级中学集团2025-2026学年九年级数学模拟考试（3月） 说明： 1．本试卷共6页，满分100分，考试用时90分钟． 2．答题前请将姓名、考号和班级写在答题卡相应的位置，并将条形码贴在答题卡相应区域． 3．考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 4．答题卡必须保持清洁，不能折叠．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每个小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，反映出不同时期的风俗习惯．下列纹样的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形叫做轴对称图形；根据轴对称图形的定义依次判断选项即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义，能找到对称轴的图形即是轴对称图形，反之就不是， ∴A是轴对称图形，B、C、D都不是轴对称图形， 故选：A． 2. 氢氧化钠具有强碱性，用途广泛．已知该化合物中各元素的正负化合价代数和为0，下表是部分元素的化合价，则氢H元素的化合价应该为（ ） 元素 钠 氧O 氢H 化合价 ▲ A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据化合物化合价代数和为0的规则，先设未知数，再列方程求解，即可得到结果． 【详解】解：设氢元素的化合价为， ∵化合物中各元素正负化合价代数和为，且中钠、氧、氢各有个原子，钠元素化合价为，氧元素化合价为， ∴列方程得：， 解得：， 故氢元素化合价为， 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题主要考查了积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 4. 如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，据此估计图中椭圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，则点落在椭圆内部的概率为，再根据点落在椭圆内部的概率等于椭圆的面积与矩形纸片的面积的比值列式求解即可． 【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右， ∴点落在椭圆内部的概率为， ∴椭圆的面积与矩形纸片的面积的比值为， ∴椭圆的面积为． 5. 如图，甲、乙、丙三人分别沿图中所示的路线从地运动到地，他们所走的路程分别记为．对于，它们之间的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】设的长度为， ， 是等边三角形， 根据等边三角形的性质得，； 同理和是等边三角形， 设的边长为， 可得，， 根据等边三角形的性质得，； 丙路程中，延长与，交于点（如图）， ，两边同加得， ， ， ， ， 综上所述，． 6. 某种杜鹃花适宜生长在平均气温不低于的山坡．已知某山区山脚下的平均气温为，并且海拔每上升，气温下降．要在该山坡种植这种杜鹃花，应种在比山脚的海拔最多高多少的山坡上？设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高的山坡上，则列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列出不等式，先找出气温与海拔高度的关系，再结合杜鹃花适宜生长的气温条件列出不等式即可． 【详解】解：设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高的山坡上，那么海拔上升了， 则气温下降的度数为，此时的气温为， 由于杜鹃花适宜生长在平均气温不低于的山坡， 因此，可列出的不等式为：． 7. 如图，某饮水机在水温时开始通电加热，水温每分钟上升，当水温上升到时自动停止加热，此过程中水温与通电时间满足一次函数关系；随后水温开始下降，当水温降至时，饮水机再次自动加热，此过程中水温与通电时间成反比例函数关系，则从通电加热到首次自动加热所经历的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据初始水温与升温速度，求出加热阶段的一次函数，代入算出停止加热的时间为分钟；再设降温阶段的反比例函数，代入点求出，确定降温函数；最后代入算出水温回到的时间为分钟，得出从通电加热到首次自动加热的总时长为分钟． 【详解】解：由图可得：初始水温为（通电时间时，），水温每分钟上升， ∴加热阶段的一次函数为， ∵当水温达到停止加热， ∴代入得：， 解得， 即停止加热时，通电时间为， ∴得到反比例阶段经过的点， 降温阶段与成反比例，设反比例函数为， 代入点得， 即反比例函数为， 当水温降到时，饮水机开始首次自动再次加热， 代入得：， 解得， 因此从通电加热到首次自动加热所经历的时间为． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作矩形，边所在直线交轴于点．设点的坐标为，若矩形的面积始终为，则下列说法不正确的是（ ）． A. 当点在轴上时，点的坐标为 B. C. OE的长始终为 D. 的取值范围为 【答案】B 【解析】 【分析】对于A与B，画出点A在轴上的图，由图可得点的坐标为，同时，故A正确，B错误；对于C，作轴于点，容易证明，则，故C正确；对于D，由定弦定角可判断点在以为直径的圆上，从而得到． 【详解】解：对于A与B：如图， 由题意可知，点的坐标为， ∴， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∴此时点的坐标为，即，故B错误， 在矩形中，， ∴点的坐标为，故A正确； 对于C：如图，作轴于点， ∵轴， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故C正确； 对于D：∵，， ∴点在以为直径的圆上， 如图，设中点为， ∴， ∵点到轴的距离为， 又∵垂线段最短， ∴，即， ∴，故D正确． 第二部分（非选择题，共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定公因式为3，提取公因式后将多项式化为两个整式乘积的形式即可． 【详解】解：． 10. 已知点是直线上一点，则点的坐标可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：将代入，得， ∴点的坐标为．（答案不唯一） 11. 如图，在“扫雷”游戏中，中间的“3”表明相邻的8个空格中隐含有3个“雷”，那么随机点击这8个空格中的一个空格，恰好点击到“雷”的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用概率公式进行计算即可. 【详解】解：由题意，恰好点击到“雷”的概率为. 12. 如图，甲、乙两人和木杆依次直立在同一条直线上，甲、乙的视线恰好越过木杆的顶端看到对方的脚．已知甲、乙的眼睛距离地面高度分别为和，则木杆高为__________． 【答案】 【解析】 【分析】对各点进行标注，由甲、乙两人和木杆依次直立，得，即，，根据线段成比例关系得出方程，求解即可． 【详解】解：对图中各点进行标注，如下图所示： ∵甲、乙两人和木杆依次直立， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 13. 如图，在正方形中，点是边的中点，将边绕点旋转，当点的对应点恰好落在上时，连接，延长交于点，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，设正方形的边长为2，先证明，求出，再由旋转以及等腰三角形的性质得到，再证明，求出，再由求解即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 设正方形的边长为2，即， ∵点是边的中点， ∴， ∵正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 为了增强学生的阅读意识，某校在“世界读书日”组织了名著知识竞赛．竞赛结束后，数学小组从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分分）中各随机抽取了名学生的成绩进行整理，绘制了如下统计图表：根据以上信息，解答下列问题： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 93.2 95 八年级 92.5 97 （1）表格中的__________，__________，__________（填“”“”或“”）； （2）根据以上数据，你认为该校哪个年级的参赛学生名著知识掌握较好？请说明理由； （3）已知在这次竞赛活动中，七、八年级的参赛人数分别为人和人，得分分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 【答案】（1），， （2）理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】（）先统计七年级成绩中出现次数最多的数，确定众数；再将八年级成绩排序，取中间两个数的平均数得到中位数；最后通过观察成绩分布，判断七年级成绩更集中，得出七年级方差小于八年级方差的结论； （）可以从两个角度分析：一是认为七年级学生掌握更好，依据是七年级平均成绩更高且方差更小，成绩更稳定；二是认为八年级学生掌握更好，依据是八年级成绩的中位数更高、最高分更高，高分人数相对更多； （）先分别计算七年级、八年级样本中分及以上的优秀占比，再用各自的优秀占比乘以对应年级的参赛总人数，最后将两个年级的优秀人数相加，得到七、八年级参赛学生中“优秀”等级的总人数为人． 【小问1详解】 解：七年级名学生成绩： 出现次数最多的是， 因此众数； 列出八年级名学生成绩，从小到大排序： ， 中位数为第个数的平均数，即； 观察成绩分布：七年级成绩更集中，波动更小， 因此方差； 【小问2详解】 解：参考答案：我认为七年级的参赛学生掌握得较好．因为七年级的平均成绩大于八年级，方差小，更稳定； 参考答案：我认为八年级的参赛学生掌握得更好．因为八年级的中位数更高，最高分更高，高分人数较多． 【小问3详解】 解：样本中：七年级人里，分及以上有人，优秀 占比， 八年级人里，分及以上有人，优秀 占比， 因此估计总优秀人数：（人） ， 答：估计七八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为人． 17. 新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果． （1）已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘同样质量的水果所需的天数少1天．求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果？ （2）如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 【答案】（1）这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克 （2）道路宽度为 【解析】 【分析】（1）设这台智能机器人每天可采摘该种水果千克，则每名工人每天可采摘千克，然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设道路宽度为．然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设这台智能机器人每天可采摘该种水果千克，则每名工人每天可采摘千克， 依题意得，解得， 经检验，是原方程的解． 答：这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克． 【小问2详解】 解：设道路宽度为． 依题意得，解得（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 18. 如图1，在锐角中，． （1）在上求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，如图2，连接的外接圆交于点，连接，若，求E的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：作的平分线得到，再作交AC于点；解法二：过点作的垂线交于点；解法三：作的平分线交于中点，再以为直径作圆交于点． （2）先证明则是的外接圆的直径．根据，设，则，由解得，得出,进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【小问1详解】 解法一：作的平分线得到，再作交AC于点． 如图，点即为所求． 解法二：过点作的垂线交于点． 如图，点即为所求． 解法三：作的平分线交于中点，再以为直径作圆交于点． 如图，点即为所求． 【小问2详解】 解：， ． ， ， ， 是的外接圆的直径． 连接， ， 是中点． 由， 设，则， 由解得， ． ． 19. 综合与探究：菱形 中，，，连接，是上的动点，将绕点顺时针旋转得到． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，连接交于，当是等腰三角形时，求的长度； （3）如图3，连接交于，连接，记的面积为，的面积为，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得，可证出，即可证明； （2）对等腰三角形的相等边进行分类讨论，结合相似三角形和三角函数求得对应的的长度； （3）由于的面积与的面积相等，得，通过相似三角形面积比为相似比得平方，可得出的临界值，得出最终结果． 【小问1详解】 证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ， 又∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， 当重合时，， 此时重合，： ②， ∵， ， ∴， ∴， 此时， 连接，交于点，如下图所示： ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③， 此时， ∴， ∴， 综上所述，或或． 【小问3详解】 解：由菱形的对称性得：， 的面积与的面积相等， ∴， 当与，重合时，取得最大值， 所以， 当时，取得最小值， 所以， 综上所述． 20. 综合与实践 【问题背景】 在音频工程中，抛物线形音响能有效汇聚声波，提升传播距离与音质效果．学习小组发现它们的截面轮廓中的曲线部分均可看作抛物线，而且不同抛物线形音响的形状不同． 【初步探究】 学习小组将这些不同抛物线形音响竖直放置于桌面，抽象成如图1所示图形，扩音口A、B在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称；点是音响的最低点，即抛物线的顶点．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）．为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标，利用抛物线表达式（其中为常数，）对值进行了探究与求解． （1）第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，则此时的值为__________； （2）【建立模型】第二小组经过观察探究，提出如下猜想：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系．请你求出和的数量关系，帮小组验证这个猜想； （3）【应用模型】第三小组建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 【答案】（1） （2）这个小组的猜想是正确的，见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意得，，即抛物线表达式为，将代入即可求出； （2）由题意得，，将代入抛物线表达式得：，得到； （3）由题意得，则，，分两种情况进行讨论，当时，易得点不在轴下方，抛物线在对称轴处有最小值；当时，易得点在轴下方，当时，随的增大而减小，抛物线在处有最小值． 【小问1详解】 解：由题意得，，顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）， 则，， 抛物线表达式为（其中为常数，）， ， 将代入，可得， 解得； 【小问2详解】 由题意得，， 将代入抛物线表达式得：， ， ， ， ， 这个小组的猜想是正确的； 【小问3详解】 由题意得，则，， ， 由（2）可知， （i）当时，可得，点不在轴下方， 抛物线在对称轴处有最小值， 即当时，， ， ； （ii）当时，可得，点在轴下方， ， 当时，随的增大而减小， 点在轴下方， 抛物线在处有最小值， 即当时，， ， 解得； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东深圳高级中学集团2025-2026学年九年级数学模拟考试（3月） 说明： 1．本试卷共6页，满分100分，考试用时90分钟． 2．答题前请将姓名、考号和班级写在答题卡相应的位置，并将条形码贴在答题卡相应区域． 3．考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 4．答题卡必须保持清洁，不能折叠．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每个小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，反映出不同时期的风俗习惯．下列纹样的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 氢氧化钠具有强碱性，用途广泛．已知该化合物中各元素的正负化合价代数和为0，下表是部分元素的化合价，则氢H元素的化合价应该为（ ） 元素 钠 氧O 氢H 化合价 ▲ A. 0 B. C. D. 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，据此估计图中椭圆的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，甲、乙、丙三人分别沿图中所示的路线从地运动到地，他们所走的路程分别记为．对于，它们之间的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某种杜鹃花适宜生长在平均气温不低于的山坡．已知某山区山脚下的平均气温为，并且海拔每上升，气温下降．要在该山坡种植这种杜鹃花，应种在比山脚的海拔最多高多少的山坡上？设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高的山坡上，则列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某饮水机在水温时开始通电加热，水温每分钟上升，当水温上升到时自动停止加热，此过程中水温与通电时间满足一次函数关系；随后水温开始下降，当水温降至时，饮水机再次自动加热，此过程中水温与通电时间成反比例函数关系，则从通电加热到首次自动加热所经历的时间为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作矩形，边所在直线交轴于点．设点的坐标为，若矩形的面积始终为，则下列说法不正确的是（ ）． A. 当点在轴上时，点的坐标为 B. C. OE的长始终为 D. 的取值范围为 第二部分（非选择题，共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：__________． 10. 已知点是直线上一点，则点的坐标可以是__________． 11. 如图，在“扫雷”游戏中，中间的“3”表明相邻的8个空格中隐含有3个“雷”，那么随机点击这8个空格中的一个空格，恰好点击到“雷”的概率是__________． 12. 如图，甲、乙两人和木杆依次直立在同一条直线上，甲、乙的视线恰好越过木杆的顶端看到对方的脚．已知甲、乙的眼睛距离地面高度分别为和，则木杆高为__________． 13. 如图，在正方形中，点是边的中点，将边绕点旋转，当点的对应点恰好落在上时，连接，延长交于点，则的值为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 为了增强学生的阅读意识，某校在“世界读书日”组织了名著知识竞赛．竞赛结束后，数学小组从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分分）中各随机抽取了名学生的成绩进行整理，绘制了如下统计图表：根据以上信息，解答下列问题： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 93.2 95 八年级 92.5 97 （1）表格中的__________，__________，__________（填“”“”或“”）； （2）根据以上数据，你认为该校哪个年级的参赛学生名著知识掌握较好？请说明理由； （3）已知在这次竞赛活动中，七、八年级的参赛人数分别为人和人，得分分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 17. 新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果． （1）已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘同样质量的水果所需的天数少1天．求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果？ （2）如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 18. 如图1，在锐角中，． （1）在上求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，如图2，连接的外接圆交于点，连接，若，求E的长． 19. 综合与探究：菱形 中，，，连接，是上的动点，将绕点顺时针旋转得到． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，连接交于，当是等腰三角形时，求的长度； （3）如图3，连接交于，连接，记的面积为，的面积为，求的取值范围． 20. 综合与实践 【问题背景】 在音频工程中，抛物线形音响能有效汇聚声波，提升传播距离与音质效果．学习小组发现它们的截面轮廓中的曲线部分均可看作抛物线，而且不同抛物线形音响的形状不同． 【初步探究】 学习小组将这些不同抛物线形音响竖直放置于桌面，抽象成如图1所示图形，扩音口A、B在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称；点是音响的最低点，即抛物线的顶点．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）．为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标，利用抛物线表达式（其中为常数，）对值进行了探究与求解． （1）第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，则此时的值为__________； （2）【建立模型】第二小组经过观察探究，提出如下猜想：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系．请你求出和的数量关系，帮小组验证这个猜想； （3）【应用模型】第三小组建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $