精品解析：2026年湖南省衡阳市中考二模考试数学试题

衡阳市2026年初中学业水平考试适应性测试 数学 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 体育是提高人民健康水平的重要途径，是满足人民群众对美好生活的向往、促进人全面发展的重要手段．下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，3，6 D. 4，5，10 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 在元旦文艺汇演节目评选中，7位评委对某班节目打出的有效分数为：，，，，，，，这组数据的平均数与众数的差为（ ）． A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 7. 若关于x的不等式的解集如图所示，则m等于（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 如图，在中，，，尺规作图操作如下：（1）以点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交边，于点D，E；（2）以点B为圆心、长为半径画弧，分别交边，于点F，G；（3）再以点F为圆心、长为半径画弧，与弧交于点H；（4）画射线交边于点I．则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A，B，C，D在上，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 一次函数（）与反比例函数（，）的图象交于点P，点P的纵坐标为．过反比例函数图象上的点M（与点P不重合）作y轴垂线，垂足为点N，交的图象于点Q，其中O为坐标原点．若，则下列选项正确的是（ ） A. B. m的值为 C. 当时，反比例函数的值大于一次函数的值 D. 点M的坐标为 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：________． 12. 某足球联赛共进行了场比赛，现场观众人数累计约万人，将数据用科学记数法可表示为______． 13. 中国古代四大发明包括造纸术、指南针、火药和印刷术．若从中随机选取一种，则选中“指南针”的概率为_______． 14. 已知正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的内角和度数为______． 15. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，，，则的值为_____． 16. 定义∶为某个三角形的边，若与其边上的高相等，则称该三角形为边的“伴随三角形”．为边的“伴随三角形”，． ①若，则______． ②若，过点作直线的高，垂足为点，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，第17题6分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23、24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读总时间为x小时，将它分为4个等级：A（），B（），C（），D（），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图的信息，解决下列问题： （1）本次共调查了 名学生； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 ； （4）若全校共有3000名学生，请估计每周课外阅读总时间不少于4小时的学生有多少人？ 20. 某商店购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价贵元，用元购买甲商品的数量恰好与用元购买乙商品的数量相同． （1）求甲、乙两种商品的单价各是多少元？ （2）该商店计划购进这两种商品共件，甲商品的售价为元/件，乙商品的售价为元/件，若全部商品销售完毕，总利润不低于元，则至少购进多少件甲商品？ 21. 如图，在中，，E为上一点，以为直径作交于点D，交于点F，且D为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径及的长． 22. 如图1，在物理兴趣课上，老师演示了“尺子挂锤子”的平衡实验．同学们将实验装置抽象成如图2所示的几何模型．已知直尺斜靠在桌边，悬绳（A，B，C在同一直线上）的上端A点与桌边接触点D的连线，垂直于直尺下边，其中．请根据以上信息，求的长．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，） 23. 已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点，连接，，是此二次函数图象上的两个动点，且，连接，． （1）求二次函数的表达式； （2）如图，连接，．若，，且，求此时的值； （3）如图，延长，交于点．若，，求证：点在定直线上． 24. 已知和均为直角三角形，，．连接，F为的中点，过点E作的平行线交射线于点G． （1）当C，A，E三点在同一直线上时，如图1． ①求证：； ②连接，求证：； （2）将图1中的绕点A旋转到图2所在位置时，连接，判断的形状并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市2026年初中学业水平考试适应性测试 数学 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数和有理数的定义判断各选项即可，有理数是整数与分数的统称，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，无理数是无限不循环小数. 又是负整数，是分数，是整数，都属于有理数， 是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数． 2. 体育是提高人民健康水平的重要途径，是满足人民群众对美好生活的向往、促进人全面发展的重要手段．下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的判断，根据定义判断即可． 【详解】解：轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形．观察图形只有符合题意． 3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，3，6 D. 4，5，10 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，只需验证较短两边之和是否大于最长边，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：A、 ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； B、 ，满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意； C、 ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； D、 ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则、完全平方公式逐项分析，即可求解． 【详解】解：选项A，，，故A选项计算错误，不符合题意； 选项B，，，故B选项计算错误，不符合题意； 选项C，，故C选项计算正确，符合题意； 选项D，，，故D选项计算错误，不符合题意． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式，即可得到结果． 【详解】解：∵， 故． 6. 在元旦文艺汇演节目评选中，7位评委对某班节目打出的有效分数为：，，，，，，，这组数据的平均数与众数的差为（ ）． A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平均数与众数的概念，先根据定义确定众数，再计算出这组数据的平均数，最后计算两者的差即可得到结果． 【详解】解：这组数据中，出现的次数最多 这组数据的众数为 计算得这组数据的总和为， 平均数， 平均数与众数的差为． 7. 若关于x的不等式的解集如图所示，则m等于（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解不等式的能力及在数轴上表示不等式解集，表示出不等式解集是前提，得到关于的方程是关键．解关于的不等式得，结合不等式解集可得关于的方程，求解即可． 【详解】解：由不等式得：， 不等式解集为， ， 解得：， 故选：C． 8. 如图，在中，，，尺规作图操作如下：（1）以点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交边，于点D，E；（2）以点B为圆心、长为半径画弧，分别交边，于点F，G；（3）再以点F为圆心、长为半径画弧，与弧交于点H；（4）画射线交边于点I．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“作一个角等于已知角”的尺规作图可得，，再计算即可求解． 【详解】解：由题可知，， ， ． 9. 如图，点A，B，C，D在上，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆内接四边形得到，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：点A，B，C，D在⊙O上， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ． 10. 一次函数（）与反比例函数（，）的图象交于点P，点P的纵坐标为．过反比例函数图象上的点M（与点P不重合）作y轴垂线，垂足为点N，交的图象于点Q，其中O为坐标原点．若，则下列选项正确的是（ ） A. B. m的值为 C. 当时，反比例函数的值大于一次函数的值 D. 点M的坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知线段长度确定Q点坐标，求出一次函数的k，再结合P点纵坐标求P点坐标，得到反比例函数的m，接着求出M点坐标，最后结合函数的图象性质判断各选项即可． 【详解】解：， ，， 轴，，点Q在上，， ， ，解得，故选项A错误，不符合题意； ， 一次函数解析式为， 点P是两函数图象的交点，且纵坐标为， 当时，，解得，即， 则，故选项B错误，不符合题意； 反比例函数解析式为， 则两函数图象如图所示， 交点， 由图可知，当时，反比例函数的值小于一次函数的值，故选项C错误，不符合题意； 点M与Q纵坐标相同，， ， 点M在反比例函数上， ，即，故选项D正确，符合题意． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为：． 12. 某足球联赛共进行了场比赛，现场观众人数累计约万人，将数据用科学记数法可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，为整数，即可求解． 【详解】解：． 13. 中国古代四大发明包括造纸术、指南针、火药和印刷术．若从中随机选取一种，则选中“指南针”的概率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：从中国古代四大发明包括造纸术、指南针、火药和印刷术中随机选取一种，则选中“指南针”的概率为． 14. 已知正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的内角和度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和、外角和定理，掌握多边形的内角和、外角和定理是解题的关键．根据正多边形的外角和定理可求解多边形的边数，再由多边形的内角和定理可求解． 【详解】解：多边形的边数为：， 则这个正多边形的内角和度数为， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，，，则的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】设交于点，根据矩形的性质证明，证明四边形是菱形，再得到是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：设交于点， 矩形， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ． 16. 定义∶为某个三角形的边，若与其边上的高相等，则称该三角形为边的“伴随三角形”．为边的“伴随三角形”，． ①若，则______． ②若，过点作直线的高，垂足为点，则的长为________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】①根据“伴随三角形”的定义可得，根据等腰直角三角形的性质，即可求解； ②分为两种情况：当是锐角三角形时，根据“伴随三角形”的定义可得，根据勾股定理求得，根据线段的数量关系，即可求解；当是钝角三角形，，根据“伴随三角形”的定义可得，根据勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】解：①如图，∵为边的“伴随三角形” ∴上的高等于的长度， ∵, ∴是边的高， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②如图，是锐角三角形，交于点， ∵为边的“伴随三角形”， ∴上的高等于的长度， ∴ 在中，， ∴； ； 如图，是钝角三角形，交于点， ∵为边的“伴随三角形”， ∴上的高等于的长度， ∴， 在中，， ∴； 综上所述，的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，第17题6分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23、24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【解析】 【分析】合并同类项，化简，再代入即可得到解． 【详解】解：原式． 当时，原式． 19. 某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读总时间为x小时，将它分为4个等级：A（），B（），C（），D（），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图的信息，解决下列问题： （1）本次共调查了 名学生； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 ； （4）若全校共有3000名学生，请估计每周课外阅读总时间不少于4小时的学生有多少人？ 【答案】（1）50 （2） 补全条形统计图如下： （3）108 （4）1980人 【解析】 【分析】（1）由B等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数； （2）先求解C等级人数再补全图形即可； （3）用乘以D等级人数所占的百分比即得答案； （4）用样本中每周课外阅读总时间不少于4小时的学生人数占比去估算全校学生中每周课外阅读总时间不少于4小时的学生人数占比，再用总人数乘以这个百分比即可． 【小问1详解】 解：本次被抽取的学生人数为：（人）； 【小问2详解】 解：“C等级”的人数为：（人）； 补全条形统计图略 【小问3详解】 解：“D等级”所对应扇形的圆心角度数为：； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计每周课外阅读总时间不少于4小时的学生有1980人． 20. 某商店购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价贵元，用元购买甲商品的数量恰好与用元购买乙商品的数量相同． （1）求甲、乙两种商品的单价各是多少元？ （2）该商店计划购进这两种商品共件，甲商品的售价为元/件，乙商品的售价为元/件，若全部商品销售完毕，总利润不低于元，则至少购进多少件甲商品？ 【答案】（1）甲商品的单价为元，乙商品的单价为元 （2）至少购进8件甲商品 【解析】 【分析】（1）甲商品的单价乙商品的单价，甲商品的单价乙商品的单价； （2）购进甲商品数量购进乙商品数量，销售甲商品利润销售乙商品利润． 【小问1详解】 解：设甲商品的单价为x元，则乙商品的单价为元． 依题意得，解得， 检验，当时，，故是原方程的解，且符合题意， 乙商品的单价：（元）． 答：甲商品的单价为150元，乙商品的单价为125元； 【小问2详解】 解：设购进m件甲商品，则购进件乙商品． 依题意得， 解得， m的最小值为8． 答：至少购进8件甲商品． 21. 如图，在中，，E为上一点，以为直径作交于点D，交于点F，且D为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径及的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，则， ， D为的中点， ， ， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）半径为5， 【解析】 【分析】（1）连接，则，证明，求出，即，根据是的半径，即可得到结论； （2）根据题意求出，证明，根据相似三角形对应线段成比例得到，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ，解得， ， 的半径为5， ， ． ， ， ，即， ． 22. 如图1，在物理兴趣课上，老师演示了“尺子挂锤子”的平衡实验．同学们将实验装置抽象成如图2所示的几何模型．已知直尺斜靠在桌边，悬绳（A，B，C在同一直线上）的上端A点与桌边接触点D的连线，垂直于直尺下边，其中．请根据以上信息，求的长．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，） 【答案】的长约为． 【解析】 【分析】过点B作于点F，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，利用三角形内角和定理求出，在中，解直角三角形求出，再由即可求解． 【详解】解：如图，过点B作于点F． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 又∵， ∴在中，， ∴， ∴． 答：的长约为． 23. 已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点，连接，，是此二次函数图象上的两个动点，且，连接，． （1）求二次函数的表达式； （2）如图，连接，．若，，且，求此时的值； （3）如图，延长，交于点．若，，求证：点在定直线上． 【答案】（1） （2） （3） 证明：设直线的表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的表达式为． 同理可得直线的表达式为． ∵点是，的延长线的交点， ∴，且， 解得， ∴点在定直线上． 【解析】 【分析】 （1）根据待定系数法求抛物线的解析式，即可求解； （2）先求出点的坐标，求出直线的解析式，分别过点，作轴的平行线交直线于点，，则，．求出，，根据列出方程，求出或，结合题意，即可求解； （3）求出直线和直线的解析式，根据点是，的延长线的交点列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与x轴交于点，， 故将，代入，得， 解得， ∴二次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：将代入到中，得， 即点的坐标为． 设直线的表达式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的表达式为：． 如图，分别过点，作轴的平行线交直线于点，， 则，． ∵点，在二次函数的图象上， ∴，， ∴， ． ∵，， 即， ， ∵， ∴， ∴， 即， 解得或． 当时，点与点重合，此时不存在，故舍去； 根据题意可得，，， ∴． 当时，， 故． 【小问3详解】 略 24. 已知和均为直角三角形，，．连接，F为的中点，过点E作的平行线交射线于点G． （1）当C，A，E三点在同一直线上时，如图1． ①求证：； ②连接，求证：； （2）将图1中的绕点A旋转到图2所在位置时，连接，判断的形状并说明理由． 【答案】（1） 证明：①∵F为的中点， ∴． 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； 证明：②由①可知， ∴． 在中，， ∴． 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵在中，， ∴； （2） 解：为等边三角形．理由如下： 如图，连接，过点B作交的延长线于点H， ∴，． ∵， ∴， ∴， 即． 在四边形中， ， ∴． 又∵， ∴， ∴． 由（1）①同理可得：， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 【解析】 【分析】（1）①证明，即可得到； ②利用正切函数的定义求得，证明，求得，在中，利用正切函数的定义求解即可； （2）连接，过点B作交的延长线于点H，证明，求得，，在中，求得，据此计算即可得到为等边三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $