精品解析：2025年6月湖南省衡阳市船山实验中学中考二模数学试卷

湖南省衡阳市船山实验中学中考二模数学试卷 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号等信息填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题．在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意答题要求． 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 本试卷共3道大题，26道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 2. 深度求索（DeepSeek AI）的崛起，其意义涉及国家战略乃至全球AI竞争态势的重塑．从2025年1月20日发布DeepSeek-R1并开源，DeepSeek一度登顶苹果中国地区和美国地区应用商店免费APP下载排行榜，据统计截至2月9日，DeepSeek App 的累计下载量已超1.1亿次，周活跃用户规模最高近 9780 万．将9780万用科学记数法表示为（　　） A. B. 9 C. D. 3. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在5月份跳绳训练中，妍妍同学一周成绩记录如下：，，，，，，（单位：次／分钟），这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度． A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 7. 将一台带有保护套的平板电脑按题图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如题7图2所示．经测量．若移动支点的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（ ） A. B. C. 或 D. 8. 如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点M，N（注：画弧时，半径保持不变）；②作直线交于点D，连接． 如果，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______． 12. 计算的结果是_______． 13. 如图，已知直线，直线与交于点，与交于点，过作，交于点，若，则的度数为______． 14. 如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm． 15. 如图，利用一个半径为的定滑轮将砝码提起，如果定滑轮顺时针转动了，那么砝码被提起了 _______（结果保留π）． 16. 如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 17. 如图，在菱形中，为的中点，，则菱形的面积为______． 18. 如图，身高1.6米的小亮站在点测得旗杆的仰角为，小亮向旗杆走了6米到达点，测得旗杆的仰角为，则旗杆的高度为______米．（，，） 三、解答题（本大题共8小题，19、20题每小题6分，21、22题每小题8分，23、24题每小题9分，25、26题每小题10分，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图．请根据图中的信息解答下列问题： （1）九年级接受调查的同学共有多少名？并补全条形统计图； （2）九年级共有名学生，请你估计该校九年级听音乐减压的学生有多少名； （3）若喜欢“交流谈心”的名同学中有名男生和名女生，心理老师想从名同学中任选两名同学进行交流，请用画树状图或列表的方法求同时选出的两名同学都是女生的概率． 22. 因为我市体育中考改革，篮球、排球增选为运动技能选考项目，我校为更好开展球类课程，计划在某体育用品店购买一批篮球和排球，已知购买个篮球和个排球共需元，篮球的单价比排球单价的倍少元． （1）求篮球、排球的单价分别是多少元． （2）现学校准备购买篮球、排球共个，总费用不超过元，那么至多可以购买篮球多少个？ 23. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 24. 数学活动小组的同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动，如图①，在Rt中，，是中位线． （1）操作发现 如图②，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别是，，直线与边交于点（不与点，重合），小组同学发现：在绕点旋转的过程中，线段与始终会保持相等，请你对小组同学的发现加以证明． （2）探究迁移 若，在绕点旋转的过程中，当直线与边平行时，如图③，与交于点，求与重叠部分的四边形的面积． 25. 如图，在中，是锐角，，点为射线上一动点，连结，以为直径作． （1）当， ①如图（1），若与相切，求直径的长； ②如图（2），若经过点，求直径的长． （2）如图（3），交于点，交于点，将沿所在的直线翻折，点的对应点为，且恰好同时落在和边上，求此时的长． 26. 不妨约定，关于的二次函数（），若（为正整数），则称该函数为“函数”，为“值”．例如：二次函数，有，故该函数为“函数”，“值”． （1）下列二次函数是“函数”的______（填序号）． ①； ②； ③． （2）已知二次函数为常数，是“函数”，且“值”． ①求证：该函数图象与轴总有两个交点； ②该函数经过某一定点，求出该定点的坐标． （3）如图，在（2）的条件下，二次函数图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，过点作，交抛物线于点，对称轴交直线于点，过点作，垂足为点，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省衡阳市船山实验中学中考二模数学试卷 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号等信息填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题．在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意答题要求． 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 本试卷共3道大题，26道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正数与负数，绝对值的计算；熟练掌握相关的知识点是解题的关键．求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的砝码． 【详解】解：通过求4个砝码的绝对值得： ； 的绝对值最小，所以这个砝码是最接近标准的砝码； 故选：B． 2. 深度求索（DeepSeek AI）的崛起，其意义涉及国家战略乃至全球AI竞争态势的重塑．从2025年1月20日发布DeepSeek-R1并开源，DeepSeek一度登顶苹果中国地区和美国地区应用商店免费APP下载排行榜，据统计截至2月9日，DeepSeek App 的累计下载量已超1.1亿次，周活跃用户规模最高近 9780 万．将9780万用科学记数法表示为（　　） A. B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，先确定a，n，再写成的形式，其中，n为正整数． 【详解】解：根据题意，得9780万， ． 故选：C． 3. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，积的乘方，同底数幂相除，多项式乘以多项式，根据相关法则逐一计算即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：A、，故该选项正确，符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 5. 在5月份跳绳训练中，妍妍同学一周成绩记录如下：，，，，，，（单位：次／分钟），这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按照大小顺序排列后，处在中间位置或中间两个数的平均数叫做中位数，熟练掌握定义是解题的关键．根据众数和中位数的定义即可得到答案． 【详解】解：数据从小到大排列为，出现次数最多的是，共出现2次，众数是，中位数为． 故选：B． 6. 验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度． A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 【详解】解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了（度）， 故选：B 7. 将一台带有保护套的平板电脑按题图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如题7图2所示．经测量．若移动支点的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形定义，根据等腰三角形的定义分情况进行求解即可． 【详解】解：是一个等腰三角形，， 当时，周长为：， 当时，周长为：， 的周长为或． 故选：C． 8. 如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，由点是中点，可得，进而可得，根据，即可得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点M，N（注：画弧时，半径保持不变）；②作直线交于点D，连接． 如果，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题目中的作图方法确定是线段的垂直平分线，得到，即；接下来根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得以及的度数，然后根据三角形内角和定理计算即可得到答案． 【详解】∵由作图可知，垂直平分， ∴， ∴． ∴ ∵， ∴． ∴， 故选D． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质、三角形外角性质和三角形内角和定理． 10. 如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查方差．先比较甲、乙、丙的方差的大小，再找出方差最小的学生即可． 【详解】解：∵，，．， ∴， ∴成绩最稳定的学生是丙， 故答案为：丙． 12. 计算的结果是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查分式的加减，直接利用分式的加减运算的法则进行求解即可． 【详解】解：原式， 故答案为：2． 13. 如图，已知直线，直线与交于点，与交于点，过作，交于点，若，则的度数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，先由已知得，再根据平行线的性质得到，继而可得，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm． 【答案】64 【解析】 【分析】连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，求出 CE , EF , DF 即可解决问题； 【详解】解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F． ∵AB//EF，AE//BF， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵∠AEF＝90°， ∴四边形AEFB是矩形， ∴EF＝AB＝10（cm）， ∵AE//PC， ∴∠PCA＝∠CAE＝30°， ∴CE＝AC•sin30°＝27（cm）， 同法可得DF＝27（cm）， ∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm）， 故答案为64． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题． 15. 如图，利用一个半径为的定滑轮将砝码提起，如果定滑轮顺时针转动了，那么砝码被提起了 _______（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，根据砝码被提起的长度等于半径为，圆心角为的弧长，即可求解． 【详解】解：， ∴砝码被提起了． 故答案为：． 16. 如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得出，结合数轴即可求解． 【详解】解：正方形的面积为， 正方形的边长为， 则由题意可知， 点表示的数为， 点所表示的数为． 17. 如图，在菱形中，为的中点，，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，，，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而根据勾股定理求得，然后根据菱形的性质求得其面积，即可． 【详解】解：四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 18. 如图，身高1.6米的小亮站在点测得旗杆的仰角为，小亮向旗杆走了6米到达点，测得旗杆的仰角为，则旗杆的高度为______米．（，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用；在中，得到，在中，得到，再根据，计算即可求出． 【详解】解： 在中， ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 答：旗杆的高度为米； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，19、20题每小题6分，21、22题每小题8分，23、24题每小题9分，25、26题每小题10分，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据化简绝对值，二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，进行计算即可求解． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，单项式乘多形式，熟练掌握公式和运算法则是解答本题的关键．先根据乘法公式，单项式乘多形式的运算法则计算，再合并同类项，然后把，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 21. 某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图．请根据图中的信息解答下列问题： （1）九年级接受调查的同学共有多少名？并补全条形统计图； （2）九年级共有名学生，请你估计该校九年级听音乐减压的学生有多少名； （3）若喜欢“交流谈心”的名同学中有名男生和名女生，心理老师想从名同学中任选两名同学进行交流，请用画树状图或列表的方法求同时选出的两名同学都是女生的概率． 【答案】（1）九年级接受调查的同学共有名， 补全图形如下： （2）估计该校九年级听音乐减压的学生有名； （3）选取的两名同学都是女生的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树形图求随机事件的概率，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． （1）利用“享受美食”的人数除以所占的百分比计算即可求得总人数，求出听音乐的人数即可补全条形统计图； （2）用总人数乘以样本中“听音乐”人数所占比例即可求解； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出两名同学都是女生的情况，再利用概率公式即可求得答案 ． 【小问1详解】 解：九年级接受调查的同学总数为（名）， 则“听音乐”的人数为（名）， 补全图形略 【小问2详解】 解：估计该校九年级听音乐减压的学生约有（名）， 答：估计该校九年级听音乐减压的学生有名； 【小问3详解】 解：画树状图如图， ∵共有种等可能的结果，同时选出的两名同学都是女生得有种情况， ∴选取的两名同学都是女生的概率为 ． 22. 因为我市体育中考改革，篮球、排球增选为运动技能选考项目，我校为更好开展球类课程，计划在某体育用品店购买一批篮球和排球，已知购买个篮球和个排球共需元，篮球的单价比排球单价的倍少元． （1）求篮球、排球的单价分别是多少元． （2）现学校准备购买篮球、排球共个，总费用不超过元，那么至多可以购买篮球多少个？ 【答案】（1）篮球的单价是元，排球的单价是元 （2）个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，正确理解题意、列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设篮球的单价是元，排球的单价是元，根据购买个篮球和个排球共需元，篮球的单价比排球单价的倍少元，即可得到关于、的方程组，解方程组即可； （2）设购买篮球个，则购买排球个，根据购买总费用不超过元即可得出关于的不等式，解不等式即可求出的范围，再取解集中的最大整数即可． 【小问1详解】 解：设篮球的单价是元，排球的单价是元，根据题意可得： ， 解得：； 答：篮球的单价是元，排球的单价是元； 【小问2详解】 解：设购买篮球个，则购买排球个，根据题意可得： ， 解得：； 所以m的最大值为， 答：最多能够购买篮球个． 23. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为 （2）没有危险 理由如下： 过作，垂足为点     ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴． ∵平行线间的距离处处相等 ∴到地面的距离为． ∵ ∴没有危险． 【解析】 【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可； （2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可． 【小问1详解】 如图，作，垂足为点 在中 ∵， ∴ ∴ ∵平行线间的距离处处相等 ∴ 答：车后盖最高点到地面的距离为． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 24. 数学活动小组的同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动，如图①，在Rt中，，是中位线． （1）操作发现 如图②，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别是，，直线与边交于点（不与点，重合），小组同学发现：在绕点旋转的过程中，线段与始终会保持相等，请你对小组同学的发现加以证明． （2）探究迁移 若，在绕点旋转的过程中，当直线与边平行时，如图③，与交于点，求与重叠部分的四边形的面积． 【答案】（1） 如图，连接， 根据题意得，， ， ， ， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的键． （1）连接，可证明，即可得到结论； （2）根据题意得到，根据当时，四边形是矩形，证明，进而求得，根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，， ， 由折叠可知，， ， ， ， ，， 当时， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 25. 如图，在中，是锐角，，点为射线上一动点，连结，以为直径作． （1）当， ①如图（1），若与相切，求直径的长； ②如图（2），若经过点，求直径的长． （2）如图（3），交于点，交于点，将沿所在的直线翻折，点的对应点为，且恰好同时落在和边上，求此时的长． 【答案】（1）①；②； （2） 【解析】 【分析】（1）①利用切线的性质得到，利用三角函数的定义求得的长，再利用勾股定理求解即可； ②连结，，求得是的直径，利用三角函数的定义结合勾股定理即可求解； （2）过点作交的延长线于点，连结，，是直径，得到，求得和的长，再利用勾股定理求得． 【小问1详解】 解：①是的直径， 与相切于点， ． ，， ， 根据勾股定理，得； ②如图，过作于点，连接，， ， ∴是的直径，， 四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ，，，， ， 根据勾股定理，得， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点作交的延长线于点，连接，， ，， ， ， ， ， 是直径， ， ，， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质、折叠的性质．正确添加辅助线解决问题是解题的关键． 26. 不妨约定，关于的二次函数（），若（为正整数），则称该函数为“函数”，为“值”．例如：二次函数，有，故该函数为“函数”，“值”． （1）下列二次函数是“函数”的______（填序号）． ①； ②； ③． （2）已知二次函数为常数，是“函数”，且“值”． ①求证：该函数图象与轴总有两个交点； ②该函数经过某一定点，求出该定点的坐标． （3）如图，在（2）的条件下，二次函数图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，过点作，交抛物线于点，对称轴交直线于点，过点作，垂足为点，当时，求点的坐标． 【答案】（1）② （2） ①证明：根据题意得，得， 则二次函数（为常数，）， 令，则， ∵， ∴， ∴该函数与轴总有两个交点； ② （3） 【解析】 【分析】本题主要新定义考查二次函数的性质、等腰直角三角形的判定和性质、一次函数的性质等知识点，解题的关键是熟悉二次函数的性质、过定点的求解和解一元二次方程． （1）根据已知分别求得a，b和c，结合已知的定义即可判定是否属于“函数”； （2）①根据题意解得，则二次函数，令，求得，即可判定； ②二次函数，当，则即可； （3）根据二次函数求得点，，，，进一步求得直线的解析式，和直线的解析式，根据已知得出，求得，代入二次函数和直线，联立即可求解． 【小问1详解】 解：①，则，根据已知得， ∵不为正整数， ∴不是“函数”； ②，则，根据已知得， ∵为正整数， ∴是“函数”； ③，则，根据已知得， ∵不为正整数， ∴不是“函数”； 故答案为：②； 【小问2详解】 解：①略 ②二次函数， 当，则， ∴该函数经过定点； 【小问3详解】 解：二次函数（为常数，）， 令，解得， 当，， 则点，，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴, 设直线的解析式为，代入，， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， 则直线的解析式为， 如图，设交轴于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（负值舍去）， ∴， ∴二次函数为，直线的解析式为， 联立，解得或（点，故舍去）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $