精品解析：山东菏泽市牡丹区第二十二初级中学2025-2026学年北师大版七年级（下）数学质量检测试题

2025-2026学年北师大版七年级（下）数学质量检测试题 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 成语是中国传统文化的一大特色，它包含着丰富的智慧、哲理和象征意义．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 不期而遇 B. 竹篮打水 C. 水中捞月 D. 水涨船高 【答案】A 【解析】 【详解】一定条件下，必然会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件． 对选项逐一判断： A 、不期而遇是可能发生也可能不发生的事件，符合随机事件定义． B、 竹篮打水一定不会成功，是不可能事件． C 、水中捞月一定不可能发生，是不可能事件． D、 水涨船高一定发生，是必然事件． 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法和积的乘方． 分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法和积的乘方运算法则一一判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法正确，符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：B． 3. 2026年3月，中国科学技术大学潘建伟团队依托超导量子计算原型机“祖冲之三号”，首次完成大规模基于测量的量子计算实验验证，制备出史上最大二维簇态，量子相干时间达到0.000085秒．将数据0.000085用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 下列各图中，与是内错角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了内错角的判断，熟练掌握以上知识是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线截线的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断． 【详解】解：由内错角的定义可知：只有选项D中的与是内错角． 故选：D． 5. 下列各式中，应用乘法公式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式．根据平方差公式和完全平方公式，逐个判断选项的正确性即可． 【详解】解：A．，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 6. 跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离．下图是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图可得左脚的脚印距离起跳线的最短距离为， 故他的成绩为． 7. 等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 17或13 B. 13或21 C. 17 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况讨论腰长，再根据三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 情况2：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形. ∴三角形的周长为． 8. 如图1，从边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分（如图2）沿虚线剪开，按图3方式拼接成一个长方形（无缝隙不重合）则该长方形的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图形可知，长方形的长为两正方形的和，宽为两长方形的差，据此可得答案． 【详解】解：根据题意，长方形的面积为： [（a＋5）＋（a＋2）][（a＋5）−（a＋2）] ＝3（2a＋7） ＝6a＋21， 故选：D． 【点睛】本题主要考查平方差公式的几何背景，根据图形的变化得出面积的等量关系是解题的关键． 9. 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（ ） A. 掷一枚正方体的骰子，出现1点的概率 B. 抛一枚硬币，出现正面朝上的概率 C. 从一个装有4个黑球和2个白球的不透明口袋中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到白球的概率 D. 从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； C、从一个装有4个黑球和2个白球的不透明口袋中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到白球的概率为，故此选项符合题意； D、从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率为；故此选项不符合题意． 10. 如图，已知，、的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，；第二次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，；第三次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，，…；第次操作，分别作和的三等分线，交点为．若度，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，则，，从而可得，结合，得出，分别表示出、、，得出规律即可． 【详解】解：如图，过点作， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， …， ∴， ∵， ∴． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若，，则__________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方的逆用，解题的关键是掌握相关知识．根据同底数幂的除法和幂的乘方的逆用法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率．解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值． 根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为0.6，即黑色阴影的面积占整个面积的0.6，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右， ∴点落在黑色阴影的概率为0.6， ∴黑色阴影的面积占整个面积的0.6， ∴黑色阴影的面积为（）． 故答案为：． 13. 已知，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简代数式，再用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式的乘法，求代数式的值，熟练掌握整式化简及整体代入法是解决本题的关键． 14. 已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 【答案】1 【解析】 【分析】先写出从四条线段中任选三条的所有组合，再根据三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断组合是否符合要求，最后统计符合条件的组合个数即可． 【详解】从长度是、、、的线段中任选三条，共有以下种组合： ① ，，；② ，，；③ ，，；④ ，，． 根据三角形三边关系逐一判断： ① 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ② 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ③ 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ④ 因为 ，，，满足三角形任意两边之和大于第三边，能构成三角形． 综上，能构成三角形的组合只有个． 15. 若是一个完全平方式，则m的值为______． 【答案】7或 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型． 利用完全平方公式的结构特征判断出的值，即可确定出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 解得或． 故答案为：7或． 16. 小实想利用起吊机将太阳能板放置在人字屋顶上，于是绘制了相应草图如图，起吊机的伸展臂与屋脊线平行，此时支撑臂与地面垂直，横梁与点在同一水平直线上，即，若人字屋顶坡角为，即，则的度数为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角度的计算，平行线的性质，正确认识图形，掌握平行线的性质是解题的关键； 根据题意，利用，结合已知条件，求出的度数，结合与地面垂直，求得的度数． 【详解】解：如图，，， ， ，， ， 即， ， 故答案为：． 三、解答题 17. 计算、求值： （1）； （2）（用乘法公式计算）； （3）先化简，再求值，其中，． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先计算乘方、零指数幂和负整数指数幂，再计算加减即可； （2）把原式变形为，再利用平方差公式计算即可； （3）利用完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多项式的运算法则计算括号内的式子，在利用多项式除以单项式的运算法则化简，得出最简结果，再代入求值即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ； ∵，， ∴原式． 18. 作图题： （1）在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺． ①经过点P，画线段PQ平行于AB所在直线． ②过点C，画线段CN垂直于CB所在直线． （2）尺规作图：（用圆规直尺） 如图，点C在∠AOB的边OA上一点，请你使用直尺和圆规，过点C作直线OB的平行线．（保留作图痕迹，不要求写画法）． 【答案】（1）①PQ即为所求； ②CN即为所求； （2） 直线CF即为所求． 【解析】 【分析】（1）①在AB上取格点D，根据B到P的移动规律将D移动到Q，连接即可；②找到格点M，易找到点F，再通过M到E的移动规律，找到点N ，连接即可； （2）过点C作 的同位角即可． 【小问1详解】 解：①、在AB上取格点D，因为点B先向上1格，再向右平移4格到点P， 则将点D向上1格，再向右平移4格即为点Q，连接PQ，则PQ即为所求； ②、如图找到与点C在一条线上的格点M，则将点C竖直向上平移6个格点，记作点F，则MC垂直于FC，在BC上找到格点E，M向上平移一个格点到E，则将F向右平移一个格点即为N，连接CN，则CN即为所求； 【小问2详解】 作法：（1）、以O为圆心，任意长为半径化弧，分别交OA与OB于M、N， （2）、以点C为圆心，OM长为半径化弧，交OA于点E． （3）、以点E为圆心，以MN的长为半径画弧，交上一弧与点F， 【点睛】本题考查了格点作图，和平行线的尺规作图，熟练掌握基本作图方法是解题的关键． 19. 学生在学校里的实践环节是教学内容的重要组成部分，是巩固理论知识，汲取新的知识，发展智能的重要途径．某校为了提高学生的探究能力、科学素养和创新意识，特意修建了一个理化生实验中心，如图，长为，宽为的长方形是实验中心的场地示意图，校方计划在场地中间隔出两个边长为的正方形区域，用于摆放备用实验器材，其他区域（阴影部分）用于实验操作． （1）用含a、b的式子表示实验操作区的面积； （2）若米，米，求实验操作区的面积． 【答案】（1） （2）平方米 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法与图形面积；代数式求值； （1）根据长方形面积减去两个边长为的正方形面积，即可求解； （2）将米，米，代入（1）中的结论，进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，实验操作区的面积为 【小问2详解】 当米，米， 实验操作区的面积为平方米 20. 如图，点A、D、C、F在同一直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 又， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，利用，证明即可； （2）全等三角形的性质，推出，线段的和差关系求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴， ，即， ∵，即：， ∴． 21. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）上表中的________________； （2）“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到）； （3）若在一个口袋中只装有个白球和个红球，它们除颜色外完全相同． ①事件“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是________； ②现从口袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则取走了多少个红球？说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）①；②取走了个红球 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，频率与频数分布表，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据频率等于频数除以总数计算求解即可； （2）大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此可得答案； （3）①根据概率公式计算即可； ②设从口袋中取走个红球，根据概率公式列出算式，求出的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由表格可知， 随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， ∴“摸到白球的”的概率的估计值是； 故答案为：． 【小问3详解】 解：①事件“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是 ②设取走了个红球， 根据题意得 解得：， 答：取走了个红球． 22. 如图，已知，垂足分别为点，且 （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1）解：，理由： ∵，， ∴， ∴根据同位角相等，两直线平行，可得， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵， ∴， 根据内错角相等，两直线平行，可得． （2） 【解析】 【分析】（）先由垂直得同位角相等，判定；再由平行线性质得，结合等量代换得；最后由内错角相等判定； （）由得；再由知为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余，算出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）得， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴， 又， ∴是直角三角形，， ∴． 23. 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图2的一个大正方形． （1）用两种不同的方法表示出图2阴影正方形的面积． （2）观察图2，写出、、之间的数量关系式． （3）利用（2）的结论，尝试解决以下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值： 【答案】（1）， （2） （3）①，② 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式和图形面积． （1）将阴影部分看做一个小正方形以及一个大正方形减去4个小长方形，即可解答； （2）根据（1）中两种表示阴影面积的方法，即可得出结论； （3）①根据（2）中结论得出，即可得出；②设，则，，根据完全平方公式得出，即可解答． 【小问1详解】 解：方法一：将阴影部分看做一个小正方形时，边长为， ∴， 方法二：将阴影部分看做一个大正方形减去4个小长方形，大正方形的边长为， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得：，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①∵，， ∴， ∴； ②设， ∴，， ∴， 整理得：， ∴． 24. 同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动． 如图1，已知直线，将直角三角尺的直角顶点放在直线上，，，． （1）在图中，若，则的度数为___________ （2）如图，把直线向上平移，并改变的位置，发现，请说明理由； （3）在（2）的结论的基础上，将图中的图形继续变化得到图，平分，此时与又存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】（1） （2） 理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） ，理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】1）根据、及的和为可求出，再根据平行线的性质即可得出答案； （2）过点作，根据平行线的性质得到，，结合图形即可推出结论； （3）过点作，根据角平分线的定义、平行线的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查角平分线定义、平行线的性质，平行公理的推论，解题的关键是掌握平行线的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版七年级（下）数学质量检测试题 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 成语是中国传统文化的一大特色，它包含着丰富的智慧、哲理和象征意义．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 不期而遇 B. 竹篮打水 C. 水中捞月 D. 水涨船高 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年3月，中国科学技术大学潘建伟团队依托超导量子计算原型机“祖冲之三号”，首次完成大规模基于测量的量子计算实验验证，制备出史上最大二维簇态，量子相干时间达到0.000085秒．将数据0.000085用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各图中，与是内错角的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，应用乘法公式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离．下图是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（ ） A. B. C. D. 7. 等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 17或13 B. 13或21 C. 17 D. 13 8. 如图1，从边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分（如图2）沿虚线剪开，按图3方式拼接成一个长方形（无缝隙不重合）则该长方形的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 9. 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（ ） A. 掷一枚正方体的骰子，出现1点的概率 B. 抛一枚硬币，出现正面朝上的概率 C. 从一个装有4个黑球和2个白球的不透明口袋中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到白球的概率 D. 从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 10. 如图，已知，、的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，；第二次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，；第三次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，，…；第次操作，分别作和的三等分线，交点为．若度，那么（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若，，则__________． 12. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为________． 13. 已知，则代数式的值为________． 14. 已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 15. 若是一个完全平方式，则m的值为______． 16. 小实想利用起吊机将太阳能板放置在人字屋顶上，于是绘制了相应草图如图，起吊机的伸展臂与屋脊线平行，此时支撑臂与地面垂直，横梁与点在同一水平直线上，即，若人字屋顶坡角为，即，则的度数为______ 三、解答题 17. 计算、求值： （1）； （2）（用乘法公式计算）； （3）先化简，再求值，其中，． 18. 作图题： （1）在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺． ①经过点P，画线段PQ平行于AB所在直线． ②过点C，画线段CN垂直于CB所在直线． （2）尺规作图：（用圆规直尺） 如图，点C在∠AOB的边OA上一点，请你使用直尺和圆规，过点C作直线OB的平行线．（保留作图痕迹，不要求写画法）． 19. 学生在学校里的实践环节是教学内容的重要组成部分，是巩固理论知识，汲取新的知识，发展智能的重要途径．某校为了提高学生的探究能力、科学素养和创新意识，特意修建了一个理化生实验中心，如图，长为，宽为的长方形是实验中心的场地示意图，校方计划在场地中间隔出两个边长为的正方形区域，用于摆放备用实验器材，其他区域（阴影部分）用于实验操作． （1）用含a、b的式子表示实验操作区的面积； （2）若米，米，求实验操作区的面积． 20. 如图，点A、D、C、F在同一直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）上表中的________________； （2）“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到）； （3）若在一个口袋中只装有个白球和个红球，它们除颜色外完全相同． ①事件“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是________； ②现从口袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则取走了多少个红球？说明理由． 22. 如图，已知，垂足分别为点，且 （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 23. 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图2的一个大正方形． （1）用两种不同的方法表示出图2阴影正方形的面积． （2）观察图2，写出、、之间的数量关系式． （3）利用（2）的结论，尝试解决以下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值： 24. 同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动． 如图1，已知直线，将直角三角尺的直角顶点放在直线上，，，． （1）在图中，若，则的度数为___________ （2）如图，把直线向上平移，并改变的位置，发现，请说明理由； （3）在（2）的结论的基础上，将图中的图形继续变化得到图，平分，此时与又存在怎样的数量关系，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $