21.3.2菱形自主训练检测卷 2025—2026学年人教版八年级数学下册

21.3.2菱形自主训练检测卷人教版2025一2026学年八年级数学下册（含答案） 总分：120分 时间：90分钟 姓名： 班级： 成绩： 一.单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1.下列条件中，不能判定口ABCD为菱形的是() A.∠A=90° B.∠BAC=∠DAC C.AB=BC D.AC⊥BD 2.矩形具有而菱形不具有的性质是() A.对角线相等 B.两组对边分别相等 C.对角线垂直 D. 两组对角分别相等 3.如图，菱形ABCD中，若∠C=II0°，则∠ABD的度数是() A.20° B.35° C.40° D.45 4.如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC,EF∥AB,若AB=10,BF=16,平行 四边形ABCD的面积为144，则线段CE的长为() A.4 B.5 C.6 D.8 5.如图，菱形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,点E在BD上，AD=DE, AC=12,AD=10,则AE的长为() A.2V10 B.6 C.8 D.45 6.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点P为AB边上一动点（不与点A, B重合)，PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,若AC=8,BD=6,则EF的最小值为() 试卷第1页，共3页 A.4.8 B.4 C.3.2 D.2.4 7.如图，在边长为2的菱形ABCD中，对角线交于点O,BE⊥AD于点E,F为CD上一 点，LCF0=∠BAD<90°，延长FO交AB于点G,记AG=x,AE=y,当∠BAD的大小 发生变化时，则下列代数式的值不变的是() G A.x B.x+y C.x-y D.x2+y2 8.如图，菱形ABCD和菱形AEFG,AB=4,∠ABC=60°，点E是AD的中点，点G在 BA的延长线上，连接AC,AG,CF,则CF的长为() B A.27 B.2√13 C.√万 D.13 二.填空题（每小题5分，满分20分） 9.已知一个菱形有一个内角等于120°，一条对角线长是6，那么这个菱形的面积是 lO.如图，菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是菱形各边的中点，连接EF、FG、 GH、HE,若菱形ABCD的对角线之和为20，则四边形EFGH的周长为 E D G 11.己知菱形的一条边与它的两条对角线所成的两个角的度数之比为1：2，则这个菱形的较 大内角为 12.如图，在边长为5的菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,BD=6,E,F分别是 BC,BO的中点，P是AC上的动点，则PE+PF的最小值为 试卷第1页，共3页 B 三.解答题（共7小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） l3.如图，菱形ABCD,过点A,C分别作AF⊥CD,CE⊥AB,交CD,AB的延长线于点 F,E. D 】 B (I)求证：四边形AECF为矩形 (②)连接AC,BD交于点O,若FC=6,CE=2√5，求菱形ABCD的周长， 14.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DE∥AC且2DE=AC, 连接AE交OD于点F,连接OE (I)求证：AF=EF; (②)已知AB=2,若AB=2DE,求AE的长 15.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，∠ADE=∠CBF,EF与 BD相交于点O. F E B (1)求证：B0=D0. (2)如果∠ADB=90°，∠ADE=∠A.求证：四边形EBFD是一个菱形. 试卷第1页，共3页 16.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF与AD相交于点E,与BC 相交于点F,连接AF,CE. (I)求证：四边形AFCE是菱形； (2)若四边形AFCE的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形AFCE的面积. 17.如图，在ABC中，∠ACB=90°，D,O分别为AB,AC的中点，延长D0至点E,使 E0=D0,连接CD,CE,AE. A B (I)求证：四边形ADCE是菱形： (2)若ABC的两直角边之和为14，之差为2(BC>AC),求四边形ADCE的边长. I8.如图，在矩形ABCD中，点P、Q分别是AD、BC上一点，AP=a(a是常数)，BP平 分∠APQ. A P B B 备用图 (1)求证：PQ=BQ; (2)若a=2 ①当AB=6,AD=10,判断点Q与点C是否重合？说明理由； ②连接DQ,当AD=6,当四边形BPDQ是菱形时，求AB长； 1 (3)设AB=m,BQ=n,是否存在常数a,使得无论m、n取何值，n-二a=m2恒成立？若 2 存在，请求出a的值；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 19.如图，把一张矩形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合， D E A C (I)连接CE,求证：四边形AECF是菱形： (2)若BC为9，AB为3，求EF的长. 试卷第1页，共3页 参考答案 一、选择题 1.A 【详解】解：如图所示， 当∠A=90°时，可以判定口ABCD为矩形，不能判定口ABCD为菱形，选项A符合要求； 当∠BAC=∠DAC时，由平行四边形对边平行得AD与BC平行，可得∠DAC=∠ACB,因 此LBAC=∠ACB,推出AB=BC,可判定口ABCD为菱形，B不符合要求； 当AB=BC时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定口ABCD为菱形，C不符合 要求： 当AC⊥BD,根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定。ABCD为菱形，D不符合 要求。 2.A 【详解】解：A选项：对角线相等，是矩形具有而菱形不具有的性质，故本选项符合题意： B选项：两组对边分别相等，矩形和菱形都具有该性质，故本选项不符合题意； C选项：对角线垂直，是菱形具有而矩形不具有的性质，故本选项不符合题意； D选项：两组对角分别相等，矩形和菱形都具有该性质，故本选项不符合题意； 3.B 【详解】解：四边形ABCD是菱形， .AB‖CD, .∠ABC+∠C=180°， :∠C=110°， .∠ABC=180°-110°=70°， :四边形ABCD是菱形， .BD平分∠ABC, :∠ABD=1∠ABC=1x70°=35°. 4.B 【详解】解：过点A作AG⊥BC于点G,如图所示： A F D G :四边形ABCD为平行四边形， .AD∥BC, :∠AFB=∠EBF, :BF平分∠ABC, .∠ABF=∠EBF, .∠ABF=∠AFB, 试卷第1页，共3页 :AB=AF, AB∥EF,AF∥BE, .四边形ABEF为平行四边形， AB=AF, .四边形ABEF为菱形， :BE=AB=10,BO=OF=BF=8,AO=OE,AE LBF, 2 .A0=VAB2-B02=6, .AE=2A0=12, :S菱Br=BE×AG=AExBF, Γ2 1 AEx BF 1 ×12×16 ·AG=2 s2* -=9.6 BE 10 :S。ABcD=BC×AG=144, ·BC=14 =15, 9.6 CE=BC-BE=15-10=5. 5.A 【详解】解：：四边形ABCD是菱形，AC=I2, AC L BD,OA=TAC=6, 2 在Rt△AOD中，AD=10, .0D=VAD2-0A2=V102-62=8, :DE=AD=10, 0E=DE-0D=10-8=2, 在R1aA0E中，AE=V0E2+0A2=V22+62=2√10. 6.D 【详解】解：：四边形ABCD是菱形，AC=8,BD=6, 4C18D,0M=0c-4C=4,0B=0D-BD=3, 在RtaA0B中，AB=V0A2+0B2=V42+32=5, 如图所示： D 试卷第1页，共3页 :PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F, 四边形OEPF是矩形，则EF=OP, 当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小， .S.0=04.0B=-AB.OP 2 0P=01:0B-4x3-24, AB 5 EF的最小值为2.4. 7.C 【详解】解：过G作GM⊥CD于M,过B作BN⊥CD于N, G :边长为2的菱形ABCD, :AB=BC=CD=AD=2,∠BCD=∠BAD,AB∥CD,OA=OC, .四边形BGMN是矩形， :BG=MN,GM =BN :∠CFO=LBAD, .∠CFO=∠BCD=∠BAD, :BE⊥AD, .∠AEB=LFMG=∠BNC=90°， :GM=BN,∠FMG=∠BNC=90°，∠CFO=LBCD, △GFM≌ABCN(AAS), .FM=CN, AB=BC,LAEB=∠BNC=90°，LBCD=∠BAD, .△BAE≌△BCN(AAS), .AE =FM =CN, .AE=CN :AB∥CD, .LCF0=∠AG0,LFC0=∠GA0, :△CFO≌△4GO(AAS, :CF=AG, AG=x,AE=y, :CF=AG=x,AE=FM=CN=y,MN=BG=AB-AG=2-x, CF=MN FM +CN .x=y+y+2-x, 整理得x-y=1, 即当∠BAD的大小发生变化时，代数式的值不变的是x-y=1. 试卷第1页，共3页 8.A 【详解】解：如图，连接EG交AF于点O, E O八、 B A G :四边形ABCD和AEFG都是菱形， :AF=20A,∠EAF=∠EAG,AD=CD=AB=4,AD1IBC，,AE=AG,AF1EG. 2 :∠ABC=60°， .LEAG=LABC=60°，△ACD为等边三角形. △EAG为等边三角形，∠CAD=60°，AC=AD=4. LEAF=30°，EG=AE, ∠CAF=∠CAD+∠EAF=90°. :点E是AD的中点， :EG=AE =2. 0E=EG=1. 2 ∴OA=√AE2-OE2=V5, AF=20A=2V5. ...CF=AC2+AF2=27. 二、填空题 9.6√5或18√5 【详解】解：设菱形ABCD中，∠BAD=I20°，对角线AC,BD交于点O, 由菱形的性质可得：∠4BC=60,AC1BD,40-4C,B0=BD,AC平分∠BD, BD平分∠ABC,AB=BC, 分两种情况讨论： 1.当长度为6的对角线是较短对角线AC时，如图所示，AC=6, D A :AB=BC,∠ABC=60°， △ABC是等边三角形， 试卷第1页，共3页 :AB=AC=6,A0=4C=3, 2 在R1△AOB中，由勾股定理得： B0=√AB2-A02=V62-32=3V5, BD=2B0=6V5, 菱形面积S=AC.BD=x6×65=185, 2 2.当长度为6的对角线是较长对角线BD时，如图所示，BD=6, D y B :.BO=BD=3, 2 设AO=x,在RtaA0B中，∠AB0=30°， AB=2A0=2x, 由勾股定理得：AO+BO2=AC2, 即x2+32=(2x)2, 解得x=√5（舍去负根）， A0=V3,AC=2A0=2V3, 菱形面积S=}4CBD=x25x6=6N5, 2 2 10.20 【详解】解：如图，连接AC,BD, B G :点E、F、G、H分别是菱形各边的中点， EF=GH=BD,EH=FG=AC, 2 四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+EH=2EF+2FG=AC+BD, 菱形ABCD的对角线之和为20， .AC+BD=20, .四边形EFGH的周长为20. 试卷第1页，共3页 11.120°/120度 【详解】解：如图所示： D B 四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD,∠ADC=LABC=2∠CBD,∠BAD=∠BCD=2∠BCA, 设∠CBD=x,则∠BCA=2x, .∠B0C=90°， .∠CBD+LBCA=90°，即x+2x=90°， 解得x=30°， ∠BCA=2×30°=60°，LCBD=30°， 菱形的较大角∠BAD=∠BCD=2LBCA=120°. 12.13 【详解】解：四边形ABCD是菱形，边长为5， .ACLBD OB-OD--BD-3,4B-BC-CD-AD-5, 在Rta0BC中，OC=VBC2-OB2=V52-32=4, 作点F关于AC的对称点F',连接EF'交AC于点P,此时PE+PF最小，最小值为EF'的 长度， :点F与点F关于AC对称，AC⊥BD, :点F在0D上，且0F'=0F, :F是BO的中点， 60F=BF=,0B=1.5 .0F'=1.5, FF'=3, 连接EF, :E,F分别是BC,BO的中点， :EF IOC,EF=T0C=2, 2 .EF⊥BD, 在RtaEFF′中，EF'=VEF2+FF2=V22+32=√3， PE+PF的最小值为√13 试卷第1页，共3页 三、解答题 13.【详解】(1)证明：：四边形ABCD为菱形， AE∥CF. :AF⊥CD,CE⊥AB, .AF⊥AB,CE⊥CD, ,∠E=∠F=∠EAF=∠FCE=90°， 四边形AECF是矩形. (2)解：：四边形ABCD是菱形， :AB=BC=CD=AD. 设AB=BC=CD=AD=x,（x>0), :四边形AECF是矩形， .AE=FC=6, 在Rt△BCE中，BE=AE-AB=6-x, BC2=BE2+CE2 ·2=(6-x)2+2W3)月 解得：x=4 菱形ABCD的周长是16. 14.【详解】(1)证明：：四边形ABCD为菱形， 0f=0c-号4c. :2DE=AC,即DE= 4c, :DE=0A 又：DE∥AC, 四边形OADE为平行四边形， :AF EF; (2)解：如图所示，连接CE, D :四边形ABCD为菱形， 0A-OC-AC.ACLBD.AB=BC. 试卷第1页，共3页 :2DE=AC,即DE=三 2 :DE=OC, 又：DE∥AC, .四边形OCED为平行四边形， :AC⊥BD, ∴OCED为矩形， :∠0CE=90°，CE=0D; .AB=BC =2DE=AC, “△ABC为等边三角形， :AC=AB=2, .OA=1, B0=0D=VAB2-0A2=5, CE=5, 在RIAACE中，由勾股定理得AE=√AC2+CE2=√7· 15.【详解】(1)解：：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD,AD=BC,∠A=∠C, :∠A=∠C, 又：AD=CB,LADE=∠CBF, ADE≌CBF, .AE =CF, AB=CD,AE=CF, :BE DF, 又AB∥CD, .BE∥DF, .四边形EBFD是平行四边形， B0=D0. (2)解：：∠A=∠ADE, :AE=DE, :∠ADB=90°， .∠ADE+∠BDE=90°， .∠A+∠ABD=90°， 又：∠ADE=∠A, .∠BDE=90°-∠A, .∠ABD=90°-∠A, .∠BDE=∠ABD, .DE EB, :四边形EBFD是平行四边形， 四边形EBFD是菱形 16.【详解】(1)证明：：EF是AC的垂直平分线， A0=C0,LA0E=∠C0F=90°； :四边形ABCD是平行四边形， 试卷第1页，共3页 :AD∥BC, :∠EA0=LFC0, 在△A0E和△COF中， ∠AOE=∠COF=90° OA=OC ∠EAO=∠FCO △A0E≌aC0F(ASA), .E0=F0, 四边形AFCE是平行四边形， :AC⊥EF, 四边形AFCE是菱形 （2)解：：四边形AFCE是菱形， :AF=FC=CE=AE, :四边形AFCE的周长是40， .AF=FC=CE=AE=10, 设AC=2a、EF=2b, 则有2a+2b=28,0A=0C=a,0E=0F=b, a+b=14, 在Rt△A0E中，由勾股定理得：OA2+OE2=AE2, .a2+b2=102, (a+b)2=a2+b2+2ab, .102+2ab=142, 整理可得：ab=48, :S菱形AFCE=2 C.EF=1x4ab=2ab=96 2 17.【详解】(1)证明：：D,O分别为AB,AC的中点， :AO=CO,AD=BD :E0=D0, .四边形ADCE是平行四边形， ∠ACB=90°， :CD=1AB=AD, 2 .四边形ADCE是菱形； (2)解：设AC=x,BC=y(x<y, :ABC的两直角边之和为14，之差为2(BC>AC), x+y=14 y-x=2 x=6 解得 y=8 试卷第1页，共3页 即AC=6,BC=8, .AB=V62+82=10, D为AB的中点， .AD=5, 四边形ADCE的边长为5， 18.【详解】(1)证明：：BP平分∠APQ, .LAPB=∠QPB, :四边形ABCD是矩形， .AD∥BC, :ZAPB=Z0BP LQPB=∠QBP, :PO=BO; (2)解：①点Q与点C重合，理由如下： 如图所示，过点Q作QE⊥AD于点E, ∠PEQ=∠DEQ=90°， :四边形ABCD是矩形， ∠C=∠D=90°，BC=AD=10, :四边形CDEQ是矩形， :CD=OE=AB=6,CO=DE, :AD=10,a=2, .DP=AD-AP=10-2=8, 假设CQ=DE=x,则PE=8-x,PQ=BQ=10-x, 由勾股定理得PE2+QE2=PQ, 即(8-x2+62=10-x), 解得x=0, 即点Q与点C重合； ②如图所示，连接DQ, P D B Q :四边形ABCD是矩形， .∠A=90°， 试卷第1页，共3页 :AD=6,AP=a=2, :PD=AD-AP=4, :四边形BPDQ是菱形， :PB=PD=4, 由勾股定理得AB=√PB2-AP2=V16-4=2√5； (3)解：当a=号时，无论m、n取何值，：0=m恒成立，理由如下： 如图所示，过点P作PF⊥BC于点F, D B F ∠PFB=∠PFQ=90°， :四边形ABCD是矩形， .LC=LABF=90°， .四边形ABFP是矩形， :BF=AP=a,PF AB=m, .PO=BO=n,FO=BO-BF =n-a, 由勾股定理得PF2+FQ=PQ, 即m2+(n-a2=n2, 整理得m2=2an-a2, 要使方0=恒成立 :2a=1,且d=2a, 1 解得a=2' 1 当a=，时，无论m、n取何值，n-二a=m2恒成立] 2 19.【详解】(1)证明：连接AC, :矩形ABCD, AD‖BC, LAEF=∠CFE, :折叠， EF垂直平分AC,∠CFE=∠AFE, AE=CE,AF=CF,∠AFE=∠AEF, .AE=AF, :AE=CE=AF CF, .四边形AECF为菱形： 试卷第1页，共3页 D D B (2)解：：矩形ABCD, .∠ABC=90°， :AB=3,BC=9, :AC=AB2+BC2=310, 由(1)可知，四边形AECF为菱形： :AF=CF,OC=1AC-310,EF =20F,EF LAC, 21 设AF=CF=x,则BF=BC-CF=9-x, 在RtABF中，由勾股定理，得x2=32+(9-x, 解得x=5, .CF=5, ·0F=VCF2-OC-i 2 .EF=20F=V10 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页