21.3.2菱形同步训练2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.3.2 菱形 同步训练 一、单选题 1．下列命题，是真命题的是（   ） A．邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．四边相等的四边形是菱形 D．对角线互相平分的平行四边形是菱形 2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为40，则的长为（    ） A．4 B．5 C．8 D．20 3．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得、之间的距离为，、之间的距离为3，则线段的长为（    ）． A． B．3 C． D．4 4．如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 5．如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作对角线，的平行线，两两相交于点M，N，P，Q，则四边形的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 6．如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的高为（   ） A． B． C． D． 7．如图，菱形的对角线相交于点，平分交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．9 二、填空题 9．菱形的对角线，，则菱形的面积是________． 10．如图，菱形的两条对角线相交于点O，若，，则菱形的面积是___________． 11．如图，四边形是菱形，，，点E是菱形内部一点，连接，若，，则的长为________． 12．如图，菱形的边长为，，点在边上，，点、在对角线上，，连接、，则的最小值是______． 13．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，点B和点D都与点O重合，得到菱形．若，则菱形的边长为_____． 三、解答题 14．如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作对角线的垂线交的延长线于点． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，求的周长． 15．如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，联结、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 16．如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交边于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的长． 17．如图，在四边形中，对角线、交于点O，，，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 18．如图，矩形中，垂直平分对角线，垂足为O，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)取边中点，连接，若，求菱形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 《21.3.2 菱形 同步训练 2025-2026学年人教版数学八年级下册》参考答案 1．C 【分析】根据菱形的判定定理分别判断即可． 【详解】解：A、邻边相等的四边形不一定是菱形，只有邻边相等的平行四边形才是菱形，故A错误； B、对角线互相垂直的四边形，对角线不一定互相平分，无法判定是菱形，只有对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，故B错误； C、∵四边相等的四边形符合菱形的判定定理，∴四边相等的四边形是菱形，故C正确； D、对角线互相平分是平行四边形本身的性质，对角线互相垂直平分的平行四边形才是菱形，故D错误． 2．B 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质．由菱形四边相等，对角线垂直，可得，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且其周长为40， ∴，， ∴， ∵点为边的中点， ∴． 故选：B． 3．A 【分析】本题考查菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定定理与性质是解题关键． 连接与，交于点，作，垂足为，作，垂足为，由题意可判断出四边形是平行四边形．由于两张纸条等宽，可以推断出，则平行四边形是菱形．根据菱形的性质和勾股定理，计算出线段的长即可． 【详解】解：如图，连接与，交于点，作，垂足为，作，垂足为， 由题意可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∵两张纸条等宽， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， 在直角中，． 故选：A． 4．A 【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴． 5．C 【分析】先证明四边形、、、是平行四边形，得到，，再证明四边形为矩形，根据勾股定理和直角三角形的性质求出，，得出，，最后求出矩形的面积即可． 【详解】解：连接，，与相交于点，如图所示：   ，， 四边形、、、是平行四边形， 四边形是菱形 ，，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ，， ， ，， 四边形的面积为：． 6．B 【分析】先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长，再通过菱形面积的两种计算方法（对角线乘积的一半、底乘高）建立等式，从而求出菱形的高． 【详解】解：如图，令交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ． ∵菱形面积， 设边上的高为h， ∵菱形面积， ∴， ． 7．C 【分析】如图，过点D作交延长线于点F，设，表示出，然后表示出，证明出四边形是平行四边形，得到，，表示出，进而利用求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交延长线于点F， 设 ∵平分交于点 ∴ ∵四边形是菱形 ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 8．B 【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．首先根据菱形的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ，， ， ， 菱形的面积， 故选B． 9．24 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，代入已知对角线的长度即可求解． 【详解】解：由菱形的面积公式得，代入，，得． 10． 【分析】由菱形的性质可得，由勾股定理求出的长，再根据菱形的性质即可得到答案． 【详解】∵在菱形中，对角线相交于点， ， ， 则菱形的面积是． 11．/ 【分析】连接，在上截取，连接，结合菱形的性质证明为等边三角形，易得，，再证明为等边三角形，可得，，进而证明，，由全等三角形的性质可得，过点A作于点G，利用勾股定理解得，的长度，然后可得的长度，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接，在上截取，连接， 四边形是菱形， ， ， 为等边三角形， ，， ，， 为等边三角形， ，， ，即， ， ， 如图，过点A作于点G，则， ， 在中，， ， ． 12． 【分析】在上截取线段，以、为边构造平行四边形，边交于点，连接，交于点，交于点，连接，容易判断是等边三角形，则，，．容易证明，则，结合平行四边形的性质可得，因此，当、、三点共线时，取得最小值．容易证明是等边三角形，则，，从而计算出，，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，在上截取线段，以、为边构造平行四边形，边交于点，连接，交于点，交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴，，， 由勾股定理可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 在直角中，， ∴的最小值为． 13．/ 【分析】根据折叠的性质，推出为含30度角的直角三角形，设，得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形，菱形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，即菱形的边长为． 14．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据已知证明，结合菱形的性质，根据平行四边形的判定证明即可； （2）利用勾股定理求得，再利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ，， ，即， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是菱形，，， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， 的周长为． 15．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等可得，由线段中点的定义可推出，则可证明四边形是平行四边形；再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，据此可证明结论； （2）由菱形的性质得到，则由等边对等角和已知条件证明，得到；则可证明四边形是平行四边形；证明，进而可证明，则可证明平行四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵E、F分别是边和的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）证明：由（1）可得四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用矩形的性质证明，得到，进而即可求证； （）由得四边形是菱形，即得，，，再利用矩形的性质和勾股定理求出和即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴，，， ∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查菱形的判定定理以及菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边对等角，熟练掌握菱形的判定定理和性质是解题的关键． （1）根据平分得到，证明，得到，证明四边形是平行四边形，再根据即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，根据勾股定理，在中，求得，即可得到答案． 【详解】（1）证明： 平分， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ， ， ， 在中，是的中点， ， ， ， 在中，， ， ． 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由线段的垂直平分线可得，然后证明，得到，再由四边相等的四边形是菱形证明即可； （2）先由三角形中位线定理得到，设，则，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴ ∵垂直平分对角线， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵为的中点， ∴ 设，则， ∵矩形中，， ∴， ∴， 解得， ∴ ∴菱形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $