精品解析：广东清远市清新区第一中学2025-2026学年高一第二学期期中教学诊断数学试题

2025—2026学年高一级第二学期期中教学诊断 数学科 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数对应的点得出复数，再应用复数除法计算化简求解. 【详解】复数在复平面内对应的点为，则复数， 复数，则复数的虚部为. 2. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】. 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦定理得， 即，解得， 因为，故或. 4. 用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直观图画法得底不变，再研究高，最后根据三角形面积公式求结果. 【详解】根据斜二测画法的特征，可得底不变，为4，高为 ， 所以直观图的面积是. 故选：A 5. 平面向量满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合向量的模长公式和运算法则即可求解. 【详解】由可得， 又，所以，所以 所以. 故选：D. 6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，，， 则向量在向量上的投影向量为. 7. 在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有，，，， 设，则，且，， ， 因，当时，，当时，， 故． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）（多选） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A，设（为实数），则， ，则无解，所以不共线， 所以能作为它们所在平面内所有向量的基底，故A正确； 选项B，因为，所以共线， 所以不能作为它们所在平面内所有向量的基底，故B不正确； 选项C，设（为实数），则， ，则无解，所以不共线， 所以能作为它们所在平面内所有向量的基底，故C正确； 选项D，是零向量，与任何向量都共线， 所以不能作为它们所在平面内所有向量的基底，故D不正确. 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可. 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确； 故选：ABD 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的一个对称中心为 C. 在区间内单调递增 D. 将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】辅助角公式化简函数，根据三角函数的基本性质即可求解. 【详解】因为， A选项，的最小正周期为，故A选项正确； B选项，，故B选项错误； C选项，因为，则， 所以函数在区间内单调递增，故C选项正确； D选项，将函数的图象上所有点向右平移个单位长度得，的图象，故D选项正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【详解】依题意，该圆锥的侧面展开图扇形的弧长为， 设圆锥的底面半径为，则由可得， 故该圆锥的侧面积为. 12. 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，C，D两地相距，则电视塔的高度是____________m． 【答案】500 【解析】 【分析】根据题意，设塔高，可得出； 在中，由，则可得出； 在中，结合余弦定理可得出方程，计算即可求出值. 【详解】设塔高，在中，，则， 在中，，则， 在中，，， 由余弦定理可得， 即，解得或（不符合题意舍去）， 故答案为：500. 13. 已知函数在上的图象有且仅有3个最高点．则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数性质可得，解出即可得. 【详解】当时，， 则有，解得， 即的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知复数（i为虚数单位），． （1）若z为虚数，求实数m的取值范围； （2）若z为纯虚数，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据z为虚数，即可求解； （2）根据z为纯虚数即可求解. 【小问1详解】 若为虚数，则，且， 解得且， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 若为纯虚数，则， 解得，即， 所以实数的值为． 15. 设向量，，. （1）若A、B、C三点共线，求实数x的取值； （2）若，的夹角为锐角，求实数x的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用共线向量的坐标表示求解即得. （2）利用向量夹角的余弦，结合共线向量求解即得. 【小问1详解】 向量，，，则， 由A、B、C三点共线，得，则，解得， 所以实数x的取值为. 【小问2详解】 由，，得， 由，的夹角为锐角，得，且与不共线， 于是，解得且， 所以实数x的取值范围是. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调增区间； （3）当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简函数，根据最小正周期公式计算即可求解； （2）根据正弦型函数性质列不等式计算即可求解； （3）根据，得，再结合正弦函数性质计算即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以函数的最小正周期为； 【小问2详解】 令，， 解得，， 所以的单调递增区间为. 【小问3详解】 当时，， 因为，所以， 故函数的值域为. 17. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求的周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用辅助角法求解； （2）由，结合余弦定理得到，再利用基本不等式得到求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，所以， 即，即， 所以， 因为，所以，； 【小问2详解】 由余弦定理及， 得，即， 即，又，即， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以周长， 所以周长最大值为． 18. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（）于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点．在锐角中，角的对边分别为，且．若是锐角的“费马点”，． （1）求角； （2）若；求的面积； （3）若，且． ①求的周长； ②求的值． 【答案】（1） （2） （3）①；③ 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合已知条件求解； （2）利用正三角形的性质，结合费马点定义、余弦定理构造方程求出，进而利用三角形面积公式求解； （3）利用费马点性质结合余弦定理及三角形面积公式构造方程求出，进而求出三角形周长；再结合余弦定理求出． 【小问1详解】 由结合正弦定理可得， ， ， 为锐角三角形， ． 【小问2详解】 中，且， 为正三角形，边长， 费马点满足，且等边三角形费马点与重心、垂心重合， 设，由余弦定理，， 即，故，解得， 的面积． 【小问3详解】 ①设，由费马点性质，，故 ． ， 由得： ，即， 由余弦定理得，， 即，即， 又，联立，解得， 的周长为； ②由在中，由余弦定理得， 联立可得， 则， 即， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高一级第二学期期中教学诊断 数学科 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 平面向量满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）（多选） A. B. C. D. 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的一个对称中心为 C. 在区间内单调递增 D. 将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为______． 12. 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，C，D两地相距，则电视塔的高度是____________m． 13. 已知函数在上的图象有且仅有3个最高点．则的取值范围是________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知复数（i为虚数单位），． （1）若z为虚数，求实数m的取值范围； （2）若z为纯虚数，求实数m的值． 15. 设向量，，. （1）若A、B、C三点共线，求实数x的取值； （2）若，的夹角为锐角，求实数x的取值范围. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调增区间； （3）当时，求函数的值域. 17. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求的周长的最大值． 18. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（）于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点．在锐角中，角的对边分别为，且．若是锐角的“费马点”，． （1）求角； （2）若；求的面积； （3）若，且． ①求的周长； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $