精品解析：广东省清远市清新区第一中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题

清新一中2025—2026学年第一学期高一级11月月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是（ ） A. B. 任意两个无理数之和仍是无理数 C. D. 至少存在两个质数的平方是偶数 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）. A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 4 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么等于（　　） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 2 8. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面各组中的函数为同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若函数定义域是，则的定义域是 B. 已知，，则的取值范围是 C. 已知，则的最大值等于 D. 已知，，且，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数（且）的图象恒过定点______. 13. 设函数是定义在上的偶函数，，当时，单调递增，则不等式的解集为______. 14. 若，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）已知，（），求的值. 16. 已知集合，集合或. （1）若，求，； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 17. 某公司带来了高端智能家属产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场已知该产品年固定研发成本50万元，每生产一台需另投入60元.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万合的销售收入为G(x)万元，. （1）求年利润s(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润=销售收入-成本) （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润. 18. 函数为定义在上的奇函数，已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求的取值范围. 19. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； （2）已知函数（），若图象关于点成中心对称图形，求实数的值； （3）对于函数（），设，为方程的两个非零实根，若，使不等式成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清新一中2025—2026学年第一学期高一级11月月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】，解得或， 所以或， 所以. 故选：C 2. 下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是（ ） A. B. 任意两个无理数之和仍是无理数 C. D. 至少存在两个质数的平方是偶数 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题、存在量词命题以及真假命题的定义即可求解. 【详解】AB是全称量词命题，排除，CD是存在量词命题， C，存在使得，故C正确； 对于D，质数中，只有2的平方是偶数，故D错误. 故选：C. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，，解得， 所以的定义域是. 故选：D 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质进行推理分析即可. 【详解】由，两边同时除以得：，故A错误； 由，两边同时乘以得：，故B错误； 由，两边同时平方得：，故C错误； 由，两边同时乘以得：，故D正确； 故选：D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分析两个区间的包含关系及推导关系，判断充分必要条件. 【详解】若“”，则一定有“”，充分性成立； 若“”，取，不满足“”，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，代入点坐标求出解析式再代入值. 【详解】设幂函数，由于图象经过点，所以，即， 所以，则. 故选：D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么等于（　　） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到，再结合函数的奇偶性，得到，即可求解. 【详解】因为时，，可得， 又因为函数是定义在上的奇函数，可得. 故选：A. 8. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性，分别比较与、与的大小，进而得出三者的大小关系. 【详解】比较和：函数单调递减，因，故，即. 比较和：函数在上单调递增，因，故，即. 综上，. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面各组中的函数为同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】分别对选项中两函数的定义域、值域、对应关系进行逐一判断可得结论. 【详解】对于A，易知的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，即A错误； 对于B，两函数定义域均为，值域为，对应关系相同，因此两函数为同一个函数，即B正确； 对于C，两函数定义域为，值域为，对应关系相同，所以函数为同一个函数，即C正确； 对于D，定义域为，的定义域为，不是同一个函数，即D错误. 故选：BC 10. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性确定正确答案. 【详解】A选项，是奇函数，但在上分别递减， 不是在定义域上单调递减，A选项错误. B选项，是非奇非偶函数，B选项错误. C选项，是奇函数，且在上单调递减，C选项正确. D选项，是奇函数，当时，， 在上单调递减，则在上单调递减，D选项正确. 故选：CD 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若函数定义域是，则的定义域是 B. 已知，，则的取值范围是 C. 已知，则的最大值等于 D. 已知，，且，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】逐一分析各选项，结合函数定义域、不等式范围、函数单调性及基本不等式判断命题正确性. 【详解】选项A：函数定义域为，则， 故的定义域是，A错误. 选项B：由得，由得， 故，B正确. 选项C：令（），则，在时单调递增， 当时，最大值为，C正确. 选项D：由得， 则（当且仅当时取等），D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数（且）的图象恒过定点______. 【答案】 【解析】 【分析】利用求得正确答案. 【详解】当时，， 所以定点坐标为. 故答案为： 13. 设函数是定义在上的偶函数，，当时，单调递增，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数性质得到，又结合，将转化为，再利用函数的单调性求得解集即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以， 又，由得到，即， 又当时，单调递增，得到，解得，故解集为. 故答案为： 14. 若，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得. 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）已知，（），求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）分别化简指数幂各项后进行加减运算； （2）利用指数幂运算法则将所求式转化为已知幂的形式计算； （3）通过设元结合完全平方公式求解. 【详解】（1），，， 故原式. （2）. （3）设（），则，解得， 所以. 16. 已知集合，集合或. （1）若，求，； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1），或 （2）或. 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再根据交集和并集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而根据包含关系求解. 【小问1详解】 当时，，而或， 则，或. 【小问2详解】 若命题“，都有”是真命题，则， 由题意，则或，即或， 故的取值范围为或. 17. 某公司带来了高端智能家属产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场已知该产品年固定研发成本50万元，每生产一台需另投入60元.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万合的销售收入为G(x)万元，. （1）求年利润s(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润=销售收入-成本) （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1）； （2）当年产量为29万台时，该公司获得的最大利润万元. 【解析】 【分析】(1)根据题意，每万台的销售收入是一个分段函数，分和两种情况讨论，根据生产产品的数量求出对应的解析式即可求解； (2)分段讨论函数的最值，最后比较大小得出结果. 【小问1详解】 当时，； 当时，， 所以函数解析式为. 【小问2详解】 当时，因为， 又因为函数在上单调递增， 所以当时，取最大值，； 当时， (当且仅当，即时等号成立) 因为，所以时，的最大值为万元. 所以当年产量为29万台时，该公司获得的最大利润万元. 18. 函数为定义在上的奇函数，已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 在上是增函数. 证明：任取，且， 则. 由，得，，故，即， 所以在上是增函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）借助奇函数性质，通过时的解析式推导时的解析式； （2）利用单调性定义，作差分析符号判断上的单调性； （3）结合奇偶性与单调性，将函数不等式转化为一元二次不等式求解. 【小问1详解】 当时，令，则. 因是奇函数，故， 即当时，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得. 因是奇函数，故，即. 由（2）知在上是增函数，且是奇函数， 结合函数解析式可得函数的图象是连续的， 故在上是增函数， 所以，即，解得. 所以的取值范围是. 19. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； （2）已知函数（），若图象关于点成中心对称图形，求实数的值； （3）对于函数（），设，为方程的两个非零实根，若，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助中心对称点的坐标关联求解函数值； （2）依据中心对称的性质构建等式求参数； （3）结合韦达定理与函数单调性确定参数取值范围. 【小问1详解】 由函数图象关于点中心对称，得. 令，则. 当时，，故. 令，则，故. 【小问2详解】 由图象关于点中心对称，得为奇函数. 设. 因函数为奇函数，所以， 故. 【小问3详解】 将方程整理为（）， 由韦达定理得，. . 因，故. 令（），函数在时单调递减，故. 所以，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $