第四章 数列单元测试卷(提升版)-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列单元测试卷(提升版) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．记为等比数列的前n项和，若，，，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合等比数列通项及性质列式求出即可. 【详解】记的公比为q，由，得， 由，得，则， 由，得，即，联立解得， 所以． 2．在等比数列中，，是方程的两个解，则（    ） A． B． C．25 D． 【答案】A 【详解】由韦达定理得，得，， 因为，所以. 由等比数列的性质得，得（正根舍去）. 3．已知递增的等比数列满足，，则的公比（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质，可得，根据条件，求出的值，计算求解，即可得答案. 【详解】因为为等比数列，所以， 又，联立解得或， 又单调递增，则，所以， 则，解得. 4．已知等比数列的公比大于1，前项和为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为 ，令，则可由求出，，关于的表达式，再由条件求出，进而得到． 【详解】设等比数列的首项为，公比为，其中． 则，由，得． 令，则．由上式可得， ，，由题意得， 因为，所以． 化简得．解得或． 又，所以，故． 5．某科技公司研发人工智能大模型， 训练该模型每月消耗的算力 (单位:千 PFLOPS・天)是前一个月的固定倍数，且始终保持增长. 观测到第4个月消耗的算力为4， 第3个月与第5个月消耗的算力之和为10 . 则（   ） A．第3个月消耗的算力为1 B．前5个月消耗的总算力为16 C．第7个月消耗的算力比第4个月增长300% D．前8个月消耗的总算力与第4个月消耗的算力比值为 【答案】D 【详解】对于A：因为每月消耗的算力是前一个月的固定倍数，且始终保持增长， 说明每月消耗的算力构成了一个公比的等比数列， 设第个月消耗的算力为，则；已知，， 得：，即，解得或， 又因为，所以，，故A错误； 对于B：已知，，所以，，，， 前个月消耗的总算力为，故B错误； 对于C：，增长率，故C错误； 对于D：，，故D正确. 6．已知数列是首项为3的正项数列，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】整理不等式可得，利用“累乘法”可得，进而证明必要性，再利用特殊值验证充分性. 【详解】， 由，，可得，得. 由，得， 又，所以， 故“”是“”的必要条件. 取（满足），（满足），（满足）， 此时对，原不等式要求：，但，原不等式不成立， 因此：推不出原不等式成立，不是充分条件， 综上，是原不等式成立的必要不充分条件. 7．设等比数列的前n项和为，则“，”是“公比”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，满足，此时，与中必有一个为零，所以，即不成立， 所以“公比”推不出“，”； 当时，若，则，，所以，即； 若，则，，所以，即. 因为等比数列的公比， 所以“，”，能推出公比. 综上所述，等比数列的前n项和为，则“，”是“公比”的充分不必要条件. 8．已知数列满足，则数列的前100项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用累加法得到，代入得到，再利用分组求和法计算得到答案. 【详解】，即. . . 故 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列满足，是的前项和，则（    ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．当为偶数时， D．若，则满足的的最小值为64 【答案】ACD 【分析】A选项，利用递推公式和等差数列的定义即可求得； B选项，构造函数数列关系，注意首项为0时，不是等比数列； C选项，相邻两项结合形成一个新的数列，计算新数列的前项和； D选项，注意区分为偶数和为奇数，进行求和. 【详解】A选项，由，可得， 所以， 对偶数项：，即：是等差数列，所以A选项正确； B选项，因为， 所以， 数列 首项为，若，则数列的首项为0，不符合等比数列的定义，所以B选项错误； C选项，当为偶数时，，因为，， 所以，所以，所以C选项正确； D选项，若，则，由A选项解析得：， 当为偶数时，由C选项可知，， 当为奇数时，，， 若为偶数，， ，所以满足的最小偶数为64； 若为奇数，，，所以满足的最小奇数为65， 综上所述，满足的的最小值为64，所以D选项正确. 10．我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”.我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长，记为，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长，记为，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长.把上述依次得到的弦长组成的数列记为（）.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．，使得 D．，都有 【答案】ABD 【分析】根据题意可得数列的递推公式，分析可知数列是以首项，公比为的等比数列，即可得，，进而逐项分析判断. 【详解】由题意可知：，，，， 则， 可知数列是首项为，公比为的等比数列，则，， 所以，故A正确； 因为，则，即，故B正确； 因为， 即，所以不存在，使得，故C错误； 由等比数列性质可知，即，都有，故D正确. 11．已知数列满足，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．设数列满足，则的最大项为 C．设数列的前项和为，则 D．设数列的前项和为，若，则正整数的最小值为1012 【答案】ACD 【分析】A选项，变形得到，得到通项公式；B选项，，B错误；C选项，错位相减法求和得到C正确；D选项，变形后，分为奇数和偶数两种情况，得到，解不等式，得到答案 【详解】A选项，，即， 故， 又，故，所以，A正确； B选项，， 显然，，，的最大项不为，B错误； C选项，，则①， ②， 式子①-②得， 所以，C正确； D选项，， ， 若为偶数，则， ，即，解得且为偶数， 故且为偶数， 若为奇数，则， ，即，解得且为奇数， 故且为奇数， 综上，若，则正整数的最小值为1012，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知为等差数列，记公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题可得，据此可得答案. 【详解】因，且存在最大值，则，又仅在时取最大值，则前7项为正数，从第8项开始为负数， 从而. 13．已知数列满足点在直线上，数列的前项和为，则的最小值为______． 【答案】15 【分析】由题意求出，进而判断其为等差数列，然后根据等差数列求和公式求出，最后将目标式合理转化，进而结合基本不等式求解最值即可. 【详解】数列满足点在直线上，， ， 数列是首项为，公差为的等差数列， ，， 则，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为15． 14．已知数列的通项公式是.设为数列的前n项和，当时，______；若存在n，使得，则m的最小值为______. 【答案】 6 16 【分析】①分和两种情况讨论求解即可；②利用周期性，则的正负只需考查，分奇偶项求和即可求解. 【详解】当，即时，，不符合题意； 当，即时，又为偶数，所以， 即，，，解得； 综上，当时，. 当时，，则数列是周期数列，周期为， 所以的正负，只需考查即可， 当时，奇数项构成首项，公差为的等差数列， 偶数项构成首项为，公比为的等比数列， 当，时， ， ， ∵时，，， 时，，， 所以若存在，使得，则，故的最小值为16. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在数列和中，，，. (1)证明：是递增数列. (2)证明：是等比数列，是等差数列. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由递增数列定义，利用作差法，分为偶数与为奇数进行讨论即可得证； （2）计算可得与的通项公式，再利用等比数列与等差数列定义即可得证. 【详解】（1）， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 则，所以是递增数列； （2）由题意得，， 由，得， 则， 两式相减得，得， 得， 因为，所以，得， 则， 有，， 则，， 所以是首项为，公比为4的等比数列， 是首项为，公差为2的等差数列. 16．已知数列满足：，且对任意，有. (1)求，，并比较大小； (2)证明：数列是等比数列； (3)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)，, (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接代入即可求解， （2）利用等比数列的定义，代入化简即可求解， （3）利用放缩法得，即可由等比数列求和公式得解. 【详解】（1），， ，故. （2），因此是等比数列，且公比为， （3）由（2）可知是等比数列，且公比为，首项为， 故，故，故， 由于，故， 因此. 17．记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由，得，将这两个等式作差结合等差中项法可证得结论成立，在等式中令，可求出的值，结合可求得该数列的公差，再利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可求得的表达式，得出，结合题意得出对恒成立，于是得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由①，得②， ②−①得③，则④， ④−③得，即， 所以是等差数列，设其公差为， 由，得，所以． 因为，所以公差， 所以． （2） ， 所以． 由对恒成立，得，即． 设，由对恒成立， 得，解得或，故的范围为． 18．已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若表示不超过的最大整数，如，，记，求的值； (3)记，记数列的前项和为，若对，都有成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)1 (3) 【分析】（1）利用数列中与的关系将条件所给的关系式转化，然后根据等比数列的定义证明即可，进而求出通项公式； （2）先求出的解析式，再利用放缩法，裂项相消法及数列的单调性，求出的前项和的取值范围，再取整即可； （3）先求出的解析式，再利用裂项相消求出其前项和，然后分奇偶讨论分别求出的最小值，即可求出的取值范围. 【详解】（1）在数列中，， 当时，，解得； 当时，， 两式相减得， 即，即， 所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列， 所以，所以， 并且当时，依然成立， 所以的通项公式为； （2）令， 由（1）知，，所以， 则当时，； 当时，因为， 所以 . 又因为数列单调递增，所以，， 所以； （3）由（1）知，，所以， 当为奇数时， . 因为数列单调递增，且， 所以当时，取到最小值； 当为偶数时， . 因为数列单调递减，且， 所以当时，取到最大值， 且随着的增大，逐渐递减趋近于. 因为对，都有成立，所以要小于等于的最小值， 所以的取值范围为. 19．若数列对于任意的，满足（，为非零常数），称数列为“型数列”.已知数列是“型数列”，数列是“型数列”，且，. (1)求数列，的通项公式； (2)设是数列的前项的和，求数列的前项的和； (3)若，是否存在实数，，，使得数列为“型数列”？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意，，所以数列是等差数列，可得通项公式，根据题设得，数列是以1为首项，2为公比的等比数列； （2）设，利用并项求和法得解； （3）利用错位相减法求得，假设存在实数，使得数列为“型数列”，则，利用待定系数法得到方程组，求解即可. 【详解】（1）因为为“型数列”， 所以， 即，所以数列是等差数列， 又，，所以的公差为， 故数列的通项公式为. 因为数列是“型数列”，所以， 又因为，也成立，所以为等比数列， 公比，因此. （2）由（1）可得， 设， 因为， 故数列的前项的和为 . （3）由，得，① 所以，② 由①－②，得， 所以. 又，， 假设存在实数，，，使得数列为“型数列”， 则， 即， 整理得， 所以解得，，，不满足，为非零常数， 因此不存在实数，，，使得数列为“型数列”. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列单元测试卷(提升版) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．记为等比数列的前n项和，若，，，则（    ） A．3 B． C．6 D． 2．在等比数列中，，是方程的两个解，则（    ） A． B． C．25 D． 3．已知递增的等比数列满足，，则的公比（    ） A．5 B．3 C． D． 4．已知等比数列的公比大于1，前项和为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 5．某科技公司研发人工智能大模型， 训练该模型每月消耗的算力 (单位:千 PFLOPS・天)是前一个月的固定倍数，且始终保持增长. 观测到第4个月消耗的算力为4， 第3个月与第5个月消耗的算力之和为10 . 则（   ） A．第3个月消耗的算力为1 B．前5个月消耗的总算力为16 C．第7个月消耗的算力比第4个月增长300% D．前8个月消耗的总算力与第4个月消耗的算力比值为 6．已知数列是首项为3的正项数列，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．设等比数列的前n项和为，则“，”是“公比”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知数列满足，则数列的前100项的和为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列满足，是的前项和，则（    ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．当为偶数时， D．若，则满足的的最小值为64 10．我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”.我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长，记为，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长，记为，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长.把上述依次得到的弦长组成的数列记为（）.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．，使得 D．，都有 11．已知数列满足，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．设数列满足，则的最大项为 C．设数列的前项和为，则 D．设数列的前项和为，若，则正整数的最小值为1012 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知为等差数列，记公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为______． 13．已知数列满足点在直线上，数列的前项和为，则的最小值为______． 14．已知数列的通项公式是.设为数列的前n项和，当时，______；若存在n，使得，则m的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在数列和中，，，. (1)证明：是递增数列. (2)证明：是等比数列，是等差数列. 16．已知数列满足：，且对任意，有. (1)求，，并比较大小； (2)证明：数列是等比数列； (3)记数列的前项和为，证明：. 17．记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若表示不超过的最大整数，如，，记，求的值； (3)记，记数列的前项和为，若对，都有成立，求的取值范围. 19．若数列对于任意的，满足（，为非零常数），称数列为“型数列”.已知数列是“型数列”，数列是“型数列”，且，. (1)求数列，的通项公式； (2)设是数列的前项的和，求数列的前项的和； (3)若，是否存在实数，，，使得数列为“型数列”？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $