4.3等比数列练习1-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

等比数列练习 一、单选题 1.已知实数是2、8的等比中项,则( ) A. B. C.4 D.5 2.在等比数列中,,公比,则与的等比中项是( ) A.1 B.3 C. D. 3.记等比数列的前项和为,若,则( ) A.1 B.2 C.4 D.8 4.若等比数列的第2项和第6项分别为3和12,则的第4项为( ) A.4 B. C.6 D. 5.数列1,1,1,…,1,…必为( ) A.等差数列,但不是等比数列 B.等比数列,但不是等差数列 C.既是等差数列,又是等比数列 D.既不是等差数列,也不是等比数列 6.在等比数列中,已知,,则等于( ) A.128 B.128或-128 C.64或-64 D.64 7.在等比数列中,,,则( ) A.8 B.16 C.32 D.64 8.在等比数列中,,,则和的等比中项为( ) A.10 B.8 C. D. 二、多选题 9.设数列的前项和为,,,则( ) A.是等比数列 B.是单调递增数列 C.是单调递减数列 D.的最大值为 10.已知数列为等比数列,则下列说法正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 11.已知数列是等比数列,则下列结论中正确的是( ) A.若,,则 B.数列是等比数列 C.若数列的前n项和,则 D.若首项,公比,则数列是递减数列 三、填空题 12.设是等比数列的前项和,若,则 . 13.递增等比数列的各项均为正数,且,则 ; 14. 某公司第1年年初向银行贷款1000万元投资项目,贷款按复利计算,年利率为10%,约定一次性还款.贷款一年后每年年初该项目产生利润300万元,利润随即存入银行,存款利息按复利计算,年利率也为10%,则到第年年初该项目总收益为 万元,到第 年的年初,可以一次性还清贷款. 四、解答题 15.已知等比数列的前5项和为10,前10项和为50,求这个数列的前15项和. 16.已知等差数列的前项和为,且. (1)求数列的通项公式; (2)设数列满足,求的前项和. 17.求下列等比数列前8项的和: (1); (2),,. 18.记为等比数列的前n项和,. (1)若,求的值; (2)若,求证:. 19.已知数列中,且点在函数的图像上. (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足,求数列的前项和. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案 1.A 【分析】 由等比中项的定义列方程求解即可. 【详解】因为实数是2、8的等比中项, 所以,得, 故选:A 2.D 【分析】先求,结合等比中项的定义可得答案. 【详解】因为,所以与的等比中项是 3. 故选:D. 3.C 【分析】根据等比数列前项和公式的形式,可以得到。从而得到,当时,得. 【详解】显然,等比数列前项和公式为, 因为为等比数列的前项和,所以, 所以 所以. 故选:C 4.C 【分析】根据等比数列性质和等比数列通项公式求出答案. 【详解】由题意得, 又,故. 故选:C 5.C 【分析】根据等差数列和等比数列的定义即可判断. 【详解】数列1,1,1,…,1,…是公差为0的等差数列,也是公比为1的等比数列. 故选:C. 6.D 【分析】根据等比数列的通项公式计算可得结果. 【详解】设公比为, 由已知得,解得, 所以. 故选:D 7.D 【分析】根据及等比数列的通项公式求出公比,再利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为, 因为,,所以,解得. 所以. 故选:D. 8.C 【分析】根据等比中项的定义可得结果. 【详解】根据等比中项的定义可得和的等比中项为. 故选:C 9.CD 【分析】根据题意,依次分析选项是否正确,即可得答案. 【详解】根据题意,数列中,,则有, 对于A,是等差数列,A错误; 对于B,,是公差为负的等差数列,是单调递减数列,B错误; 对于C,由B的结论,C正确; 对于D,是等差数列,,公差为, 则, 令,可得, 则或时,最大,且的最大值为,D正确. 故选:CD. 10.AC 【分析】根据等比数列的通项公式即可判断AB;根据等比中项的应用即可判断CD. 【详解】设等比数列的公比为. A:若,即,得,所以,故A正确; B:若,即,得,所以,故B错误; C:若,得,故C正确; D:若,得,所以,故D错误. 故选:AC 11.BC 【分析】根据等比数列的知识对选项进行分析,从而确定正确答案. 【详解】设等比数列的首项为,公比为,, A选项,由于,所以与的符号相同,所以A选项错误. B选项,, 所以数列是首项为,公比为的等比数列,B选项正确. C选项,, 当时,, 则, 由于是等比数列,所以,C选项正确. D选项,若首项,公比,则,所以D选项错误. 故选:BC 12.28 【分析】由题意知成等比数列,结合等比数列的定义即可求解. 【详解】由题意知成等比数列,且公比为, 所以, 所以. 故答案为:28. 13. 【分析】应用等比数列的通项公式及已知可得,再由即可求值. 【详解】由题设且公比,则,整理得, 所以,而. 故答案为:9 14. 【分析】根据题意列出第年年初时借贷总额和总收益,即可求解. 【详解】由题知,到第年年初, 借贷总额为, 总收益为, 当时,, 当时,, 故第年年初该项目总收益为, 到第年的年初,可以一次性还清贷款. 故答案为:; 15. 【分析】根据等比数列的性质可知成等比代入求解即可. 【详解】解:设等比数列前项和为 根据等比数列的性质可知:成等比 由等比中项性质可知: 由可得 解得: 所以这个数列的前15项和为. 16.(1) (2) 【分析】(1)根据等差数列定义由前项和公式计算可得; (2)易知是公比为4的等比数列,代入等比数列前项和公式可得结果. 【详解】(1)设的公差为, 由可得, 解得, 所以. (2)由(1)可知, 易知是公比为4的等比数列, 所以可得. 17.(1) (2). 【分析】由等比数列的前项和两种形式的公式分别求解可得. 【详解】(1)因为,, 所以; (2)由,,可得. 又由,可得, 所以 . 18.(1)60; (2)证明见解析. 【分析】(1)根据等比数列前项和的性质列方程求得,然后可得; (2)利用等比数列前项和的性质求出,然后整理变形即可得证. 【详解】(1)设等比数列的公比为q, 因为,所以, ,所以, 故,,成等比数列,且公比为, 所以, 整理得, 因为,故, 解得, 所以. (2)因为,所以,由(1)知,, 因为数列是以为首项,为公比的等比数列, 所以 又, 则 所以 19.(1) (2)答案见解析 【分析】(1)依题意可得,即,从而得到是首项为1,公差为1的等差数列,即可得解; (2)首先得到的解析式,再对分奇偶讨论,利用分组求和法计算可得. 【详解】(1)解:由已知得:,即, 根据等差数列的定义知数列是首项为1,公差为1的等差数列, 所以. (2)由已知得:, ①为偶数时, ; ②为奇数时, , 所以. 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $