第四章 数列单元测试卷(基础版)-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列单元测试卷(基础版) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列数列是单调递减数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】数列是单调递减数列，都是单调递增数列． 2．已知为正项等比数列，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由数列为正项等比数列，得， 所以. 3．已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，推出数列的周期为3，由此求解即可. 【详解】因为， 所以，， ，， …… 所以数列为周期数列，周期为3， 又因为， 所以. 4．设为等比数列的前n项和，且，则的值为（   ） A．2 B． C． D．15 【答案】B 【详解】当时，，此时，不符合题意； 当时，由题意得，则， 所以，解得， 所以，， 所以. 5．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 【答案】C 【详解】因为，所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 所以. 6．设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】由与的关系及等差中项的性质结合题意计算可得. 【详解】因为，所以， ，所以， 因为是等差数列，则，即是递增数列， 因为所以， 又，， 所以当时，；当时，； 所以仅有，即满足的正整数n的值为16. 7．已知数列的前项和为 ，且，则“”是“数列为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据与的关系求出，进而求得，结合数列为递增数列，求出的范围；结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 要使数列为递增数列，则， 即，解得； 若，则一定满足且，数列递增，充分性成立； 若数列递增，则必有，必要性成立； 所以“”是“数列为递增数列”的充要条件. 8．记等差数列的前项和为，数列满足，若，，则数列的前10项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的基本量运算求得通项，进而求得，再根据分组求和，裂项相消求和得解. 【详解】因为数列为等差数列，设公差为， 由，得，所以，解得， 所以， ， 所以 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D．当或5时，最大 【答案】AC 【分析】由题意列方程组求得，根据等差数列通项公式计算可判断AB；根据等差数列前项和公式计算可判断C；根据等差数列性质可判断D. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由题意可得，解得， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， 所以数列单调递增， 当时，，当时，，且， 所以当或5时，最小，故D错误. 10．已知数列满足，则下列结论正确的有（   ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．的通项公式为 D．数列是递增数列 【答案】AC 【详解】由，得，则， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，故A正确，B错误； 则，即，即数列是递减数列，故C正确，D错误. 11．已知递增等差数列的前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则的值为36 D．数列的前2026项和为2026 【答案】ABD 【分析】首先根据条件求和，再求等差数列的通项公式，以及前项和，再去绝对值求和，判断C，利用并项求和法判断D. 【详解】，即，又因为， 所以，或，， 又因为数列单调递增，所以，， 则，，故A正确； ，故B正确； ，设数列的前项和为， 当时，，当时，， 所以， ，故C错误； 数列的前2026项和为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知为等比数列，，.若，则______；若，则的前4项和为_____. 【答案】 8 【分析】利用等比数列的通项公式求出公比，结合前两项的大小关系确定通项公式，然后可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，则，因为，，所以，解得或. 若，则，此时，所以. 若，则，此时前4项分别为：，，，； 其和为. 13．已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 【答案】 【分析】由，可设，，再利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，， 则，，所以. 14．数列中，，，记数列的前n项和为，则______． 【答案】 【分析】先根据累乘法求出的通项公式，然后根据裂项法求出，最后再计算. 【详解】，. ，又，. . . . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列的前项和为. (1)写出数列的前3项：，，； (2)当取最小值时，求的值； (3)求出的通项公式. 【答案】(1),, (2)当或时，取最小值. (3) 【分析】（1），再利用退位相减法可求，， （2）根据对称轴可求取最小值时的值； （3）根据可求通项. 【详解】（1），， . （2）， 故当或时，取最小值. （3）当时，， 故. 16．已知数列为等差数列，且，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助等差数列性质计算即可得； （2）借助等比数列求和公式计算即可得. 【详解】（1）设数列的公差为，则有， 解得， 故； （2）， 则. 17．设为数列的前n项和，已知，与的等比中项为3，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用等差数列基本量运算结合等差数列求和公式计算，再应用计算求解； （2）应用等比数列求和公式及对数运算分组求和计算求解. 【详解】（1）因为与的等比中项为3，，所以，所以，即， 设等差数列的公差为d，因为，所以，即，， 所以，即. 当时，， 当时，，满足上式， 所以. （2）由（1）知， 则 . 所以数列的前项和为. 18．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用已知递推式得出数列是等比数列，进而求出的通项公式； （2）先求出，再利用裂项相消法求和，进而证明结论． 【详解】（1），则， ，又， 故是首项为，公比是的等比数列， ，即， 成立， 数列的通项公式为． （2）， ， ， ， ， ， ，故． 19．已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，若. （i）求； （ii）设为数列的前项和，证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用数列的通项公式的解法进行求解，注意验证是否成立； （2）(i)方法一：构造一个新的数列进行求解；方法二：利用错位相减法进行求解； (ii)利用裂项相消，然后放缩即可求解. 【详解】（1） 当时，， 当时， ， 验证当时，，所以 （2） （i）由得，时，， 相减得：， 化简得：，所以，则， 又已知，当时，，所以，即， 所以，即， 法一：利用原题中关系式求. . 法二：利用乘公比错位相减求. 因为， 所以， 则， 所以， 两式相减得： 即：，化简得：. （ii）由（1）和（i）知. 所以 由（i）知， 所以 ， 又因为，所以. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列单元测试卷(基础版) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列数列是单调递减数列的是（   ） A． B． C． D． 2．已知为正项等比数列，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 4．设为等比数列的前n项和，且，则的值为（   ） A．2 B． C． D．15 5．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 6．设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 7．已知数列的前项和为 ，且，则“”是“数列为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．记等差数列的前项和为，数列满足，若，，则数列的前10项和（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D．当或5时，最大 10．已知数列满足，则下列结论正确的有（   ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．的通项公式为 D．数列是递增数列 11．已知递增等差数列的前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则的值为36 D．数列的前2026项和为2026 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知为等比数列，，.若，则______；若，则的前4项和为_____. 13．已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 14．数列中，，，记数列的前n项和为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列的前项和为. (1)写出数列的前3项：，，； (2)当取最小值时，求的值； (3)求出的通项公式. 16．已知数列为等差数列，且，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 17．设为数列的前n项和，已知，与的等比中项为3，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 18．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求证：． 19．已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，若. （i）求； （ii）设为数列的前项和，证明：. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $