导数运算及几何意义分层作业-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第 1 页 共 4 页 3-1 导数运算及几何意义 分层作业 一、单项选择题 1.已知 f(x)＝xa，若 f ′(－1)＝－4，则 a的值等于( ) A．4 B．－4 C．5 D．－5 2.下列函数求导正确的是( ) A．  cos sinx x  B．   1ln 2 2   C．  4 3x x  D．  2 2 ln 2x x  3．若函数   ln 2 1f x x x   ，则 12f       ( ) A．0 B． 12 C． 3 2 D． 5 2 4.曲线   9f x x  在点  3,3 处的切线的倾斜角为( ) A． π 4 B． π 3 C． 3π 4 D． 2π 3 5．函数 ( )f x 的导函数  f x ，满足关系式    2 2 2 lnf x x xf x   ，则  2f  的值为( ) A． 7 2  B． 7 2 C． 1 2  D． 12 6．函数 ( ) exf x x 的图象与 x轴相交于点 P，则该曲线在点 P处的切线方程为( ) A． ey x B． y x C． e 1y x  D． 1y x  7．已知曲线 2 3ln 4 xy x  的一条切线的斜率为 12 ，则切点的横坐标为( ) A．3 B．2 C．1 D．3或 2 8．已知函数 ( ) ( 2022)( 2023)( 2024)( 2025)f x x x x x     ，则 ( )f x 的图象在 2024x  处的切线方程为( ) A． 2 4048 0x y   B． 2024 0x y   C． 2 4048 0x y   D． 2024 0x y   二、多项选择题 9.下列求导正确的是( ) A． (2�2 + 3)(3�－1) ' = 18�2－4� + 6 B． 2��� ' = 2 1 + � �� C． ln � � ' = 1−ln � �2 D．[���2(2� + � 3 )]' = 2���(4� + 2� 3 ) 第 2 页 共 4 页 10．(2024四川德阳三模改编)函数 ( ) sin cosf x x x  ，且 0 0 ) 1 ()( 2 f x f x ，则下列不是 0tan 2x 的值的有( ) A． 2 3  B． 3 4 C． 2 3 D． 4 3  11.(2022·福建漳州)已知函数   xf x e ，则下列结论正确的是( ) A．曲线  y f x 的切线斜率可以是 1 B．曲线  y f x 的切线斜率可以是 1 C．过点  0,1 且与曲线  y f x 相切的直线有且只有 1条 D．过点  0,0 且与曲线  y f x 相切的直线有且只有 2条 三、填空题 12．(2024·湖北武汉·模拟)曲线   2 ln xf x x a   在点   1, 1f 处的切线的倾斜角为 π 3 ,则 a的值为 . 13．(2024·陕西安康·模拟预测)已知函数  f x 的图象在点   1, 1f 处的切线方程是 2 1 0x y   ，若    f xh x x  ，则  1h 的值为 . 14．(2024·四川·模拟)已知 0, 0m n  ，直线 1 1 e y x m   与曲线 ln 3y x n   相切，则m n  ． 第 3 页 共 4 页 一、单项选择题 1．(2024·贵州六盘水·三模)已知曲线 2 3lny x x  的一条切线方程为 y x m   ，则实数m  ( ) A． 2 B． 1 C．1 D．2 2．(2024·内蒙古呼伦贝尔·二模)已知曲线 2 3 ay x x x    在 1x  处的切线与直线 2 1 0x y   垂直，则 a ( ) A．3 B． 9 2 C．7 D． 11 2 3．(2024·四川德阳·二模)已知直线 1y ax  与曲线    ln ef x x 相切，则 a的值为( ) A． 1 e B．1 C． e D． e 4．(2024·河南·模拟预测)函数   2lnf x x x  与直线 0x y  相切于点A，则点A的横坐标为( ) A． 1 e B．1 C．2 D． e 5．   2 3 4lnf x x x x   ，点 P是  y f x 上任意一点，则点 P到直线 : 3 0l x y   的距离的最小值为( ) A．4 2 B． 3 2 2 C．3 2 D． 6 2 6．(2024·河北保定·三模)已知二次函数 ( )y ax x b  ( 0b  且 1b  )的图象与曲线 lny x 交于点 P，与 x轴交 于点 A(异于点 O)，若曲线 lny x 在点 P处的切线为 l，且 l与 AP垂直，则 a的值为( ) A． 1e  B． 1 C． e D． 2 7．若点 P是曲线 2 lny x x  上任意一点，则点 P到直线 4y x  的最小距离为( ) A．1 B． 2 C． 2 2 D． 4 2 8．(2024·浙江金华·三模)若存在直线与曲线   3f x x x  ，   2g x x a  都相切，则 a的范围为( ) A． 1,  B． 51, 27     C． 5 , 27    D． 5, 27     二、多项选择题 9、(2023·安徽·模拟预测多选)已知直线 l与曲线 2( ) lnf x x x  相切，则下列直线中可能与 l垂直的是( ) A． 04  yx B． 2 5 0x y  C． 2 3 0x y  D． 2 0x y  第 4 页 共 4 页 10.（22-23高三·安徽·阶段练习）过点 ( 2,1)P  的直线与 3( ) 1f x x  相切于点 0 0( , )Q x y ，则 0x 的值可以是（ ） A． 0 B． 2 C．3 D． 3 11、(2023·广东·二模)已知函数   3 23 1f x x x   的图象在点   ,m f m 处的切线为 ml ，则( ) A． ml 的斜率的最小值为 2 B． ml 的斜率的最小值为 3 C． 0l 的方程为 1y  D． 1l 的方程为 9 6y x  三、填空题 12.（2023·江苏南通·二模）过点 ( 1,0) 作曲线 3y x x  的切线，则切线的方程为 . 13．(2024·山西朔州·模拟预测)已知 A，B分别为曲线 2exy x  和直线 3 3y x  上的点，则 AB 的最小值 为 . 14．(2024·陕西安康·模拟预测)已知 0 1a  ，若曲线 lnxy a a 与直线 ey x 相切，则 a ． 3-1 导数运算及几何意义 分层作业 一、单项选择题 1.已知f(x)＝xa，若f ′(－1)＝－4，则a的值等于( ) A．4 B．－4 C．5 D．－5 2.下列函数求导正确的是(    ) A． B． C． D． 3．若函数，则(    ) A．0 B． C． D． 4.曲线在点处的切线的倾斜角为( ) A． B． C． D． 5．函数的导函数，满足关系式，则的值为(   ) A． B． C． D． 6．函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为(    ) A． B． C． D． 7．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( ) A．3 B．2 C．1 D．3或 8．已知函数，则的图象在处的切线方程为(    ) A． B． C． D． 二、多项选择题 9.下列求导正确的是(    ) A． B． C． D． 10．(2024四川德阳三模改编)函数，且 ，则下列不是的值的有(   ) A． B． C． D． 11.(2022·福建漳州)已知函数，则下列结论正确的是(   ) A．曲线的切线斜率可以是1 B．曲线的切线斜率可以是 C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条 D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条 三、填空题 12．(2024·湖北武汉·模拟)曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为 . 13．(2024·陕西安康·模拟预测)已知函数的图象在点处的切线方程是，若，则的值为 . 14．(2024·四川·模拟)已知，直线与曲线相切，则 ． 一、单项选择题 1．(2024·贵州六盘水·三模)已知曲线的一条切线方程为，则实数(　　) A． B． C．1 D．2 2．(2024·内蒙古呼伦贝尔·二模)已知曲线在处的切线与直线垂直，则(    ) A．3 B． C．7 D． 3．(2024·四川德阳·二模)已知直线与曲线相切，则的值为(    ) A． B．1 C． D． 4．(2024·河南·模拟预测)函数与直线相切于点，则点的横坐标为(    ) A． B．1 C．2 D． 5．，点是上任意一点，则点到直线的距离的最小值为(    ) A． B． C． D． 6．(2024·河北保定·三模)已知二次函数(且)的图象与曲线交于点P，与x轴交于点A(异于点O)，若曲线在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为(    ) A． B． C． D． 7．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为(   ) A．1 B． C． D． 8．(2024·浙江金华·三模)若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为(    ) A． B． C． D． 二、多项选择题 9、(2023·安徽·模拟预测多选)已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是(    ) A． B． C． D． 10.（22-23高三·安徽·阶段练习）过点的直线与相切于点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 11、(2023·广东·二模)已知函数的图象在点处的切线为，则(    ) A．的斜率的最小值为 B．的斜率的最小值为 C．的方程为 D．的方程为 三、填空题 12.（2023·江苏南通·二模）过点作曲线的切线，则切线的方程为 . 13．(2024·山西朔州·模拟预测)已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为 . 14．(2024·陕西安康·模拟预测)已知，若曲线与直线相切，则 ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3-1 导数运算及几何意义 分层作业 一、单项选择题 1.已知f(x)＝xa，若f ′(－1)＝－4，则a的值等于( ) A．4 B．－4 C．5 D．－5 【答案】A【解】f(x)＝xa 2.下列函数求导正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【解】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；故选：D 3．若函数，则(    ) A．0 B． C． D． 【答案】A【解】，所以；故选：A. 4.曲线在点处的切线的倾斜角为( ) A． B． C． D． 【答案】C【解】,所以, 所以曲线在点处的切线的斜率,所以。 5．函数的导函数，满足关系式，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【解】由进行求导得：， 当时，可得：，解得：；故选：A. 6．函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】求出点的坐标，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【解】函数，由，得，则点，由，求导得， 则，于是，所以该曲线在点处的切线方程为；故选：B 7．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( ) A．3 B．2 C．1 D．3或 【答案】A【解】().设切点横坐标为，则，解得或(舍去).故选：A 8．已知函数，则的图象在处的切线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】求出导函数后计算出切线斜率，然后写出切线方程． 【解】由题意知， 所以，又， 所以的图象在处的切线方程为，即；故选：A. 二、多项选择题 9.下列求导正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得. 【解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确；对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确；故选：BCD 10．(2024四川德阳三模改编)函数，且 ，则下列不是的值的有(   ) A． B． C． D． 【答案】ACD【解】，由，得， 解得，所以.故选：ACD 11.(2022·福建漳州)已知函数，则下列结论正确的是(   ) A．曲线的切线斜率可以是1 B．曲线的切线斜率可以是 C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条 D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条 【答案】AC【解】,所以且，所以A正确，B错误； 因为点在上，且单调递增，故过点且与曲线相切的直线有且只有1条，C正确； 设过点且与曲线相切的直线的切点为P(m,n)，则：可得：所以切点， 切线斜率,故只有一条切线，D错误；故选AC. 三、填空题 12．(2024·湖北武汉·模拟)曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为 . 【答案】/【分析】对原函数进行求导,代入得出切线斜率.曲线在处的切线倾斜角为可得出斜率.构造关于的方程，解方程即可. 【解】曲线的导数；∵曲线在处的切线的倾斜角为, ∴,∴,∴；故答案为: . 13．(2024·陕西安康·模拟预测)已知函数的图象在点处的切线方程是，若，则的值为 . 【答案】【分析】通过切线方程将，算出，再求出，将代入计算即可. 【解】将代入切线方程，得，故 ， 由切线方程斜率可知，，，故答案为: . 14．(2024·四川·模拟)已知，直线与曲线相切，则 ． 【答案】2【分析】根据导数的几何意义设切点坐标为，求导由斜率可得的值，从而代入曲线方程与切线方程可得，即可得的值. 【解】设切点坐标为，对函数求导得，则切线斜率，得， 所以，且，则，即．故答案为：2. 一、单项选择题 1．(2024·贵州六盘水·三模)已知曲线的一条切线方程为，则实数(　　) A． B． C．1 D．2 【答案】D【分析】根据切线的斜率的几何意义可知，求出切点，代入切线即可求出. 【解】设切点为；因为切线，所以，解得(舍去) 代入曲线得，所以切点为；代入切线方程可得，解得.故选：D. 2．(2024·内蒙古呼伦贝尔·二模)已知曲线在处的切线与直线垂直，则(    ) A．3 B． C．7 D． 【答案】C【分析】利用导数求出切线斜率，再结合垂直关系列式计算即得. 【解】由，求导得，当时，， 由曲线在处的切线与直线垂直，得，所以；故选：C 3．(2024·四川德阳·二模)已知直线与曲线相切，则的值为(    ) A． B．1 C． D． 【答案】D【分析】求出函数的导函数，设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可得到方程组，解答即可. 【解】由，可得，设切点为，则， 则切线方程为，即，又直线与曲线相切， 所以，解得；故选：D 4．(2024·河南·模拟预测)函数与直线相切于点，则点的横坐标为(    ) A． B．1 C．2 D． 【答案】B【分析】设出，求导，直线的斜率为，根据导数的几何意义得到方程，求出横坐标 【解】设函数与直线相切于点，直线的斜率为， ，所以，所以．故选：B． 5．，点是上任意一点，则点到直线的距离的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】利用导数的几何意义求出与直线平行且与曲线相切的直线与曲线相切的切点坐标，利用点到直线的距离公式即可求解. 【解】的定义域为，由函数，可得， 令，可得，负值舍去， 又，所以平行于直线且与曲线相切的直线与曲线的切点坐标为． 点到直线的距离，即点到直线的距离的最小值为.故选：C． 6．(2024·河北保定·三模)已知二次函数(且)的图象与曲线交于点P，与x轴交于点A(异于点O)，若曲线在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】利用导数求直线l斜率，根据垂直关系得，结合，即可求解. 【解】易知，设，联立与可得，故， 由得，所以，，因为，所以，即， 又，所以.故选：B. 7．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为(   ) A．1 B． C． D． 【答案】C【分析】由导数的几何意义求得曲线上与直线平行的切线方程的切点坐标，求出切点到直线的距离即为所求最小距离． 【解】直线的斜率，函数定义域为，点是曲线上任意一点， 设，由，令，解得或(舍去)， ，此时，∴曲线上与直线平行的切线的切点为， 所以曲线上点到直线的最小距离，为点到直线的距离 ；故选：C. 8．(2024·浙江金华·三模)若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】利用导数分别求得与相切的切线方程，可得，进而可得有解，从而利用导数可求的范围. 【解】设直线与相切与点，因为，所以切线方程， 即，设直线与相切与点， 因为，所以切线方程，即，， 所以有解， 令，， 所以函数在，上单调递减，在，上单调递增， 因为，，所以，所以，的范围为；故选：A. 二、多项选择题 9、(2023·安徽·模拟预测多选)已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AB【解】的定义域为，，即直线的斜率， 设与垂直的直线的斜率为，则，所以，．故选：AB． 10.（22-23高三·安徽·阶段练习）过点的直线与相切于点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD【分析】根据过函数图象上一点处的切线与导数之间的关系求解. 【详解】因为，所以，由题意得直线的斜率， 即，解得或故选:AD. 11、(2023·广东·二模)已知函数的图象在点处的切线为，则(    ) A．的斜率的最小值为 B．的斜率的最小值为 C．的方程为 D．的方程为 【答案】BCD【解】，所以的斜率的最小值为. 因为，所以的方程为. 因为，所以的方程为，即；故选：BCD. 三、填空题 12.（2023·江苏南通·二模）过点作曲线的切线，则切线的方程为 . 【答案】或【解】，则． 设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为， 代入点，得，即，解得或． 当时，切线方程为；当时，切线方程为． 故答案为：或 13．(2024·山西朔州·模拟预测)已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为 . 【答案】/【分析】利用数形结合思想可知切点到直线的距离是最小值，从而利用导数来求出切点，再用点到直线的距离公式求出最小值即可. 【解】由题意的最小值为曲线上点A到直线距离的最小值， 而点A就是曲线与直线相切的切点，因为曲线上其它点到直线的距离都大于， 对求导有，由可得，即， 故.故答案为：. 14．(2024·陕西安康·模拟预测)已知，若曲线与直线相切，则 ． 【答案】【分析】设出切点，利用切点在曲线上也在直线上和切点处的导数等于斜率列方程求解。 【解】设，与直线相切的切点为，则， 故在点处的切线方程可写为， 即， 若切线为，则且，得， 所以，设则，所以， 所以，所以又因为，所以解得．故答案为： 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 7 页 3-1 导数运算及几何意义 分层作业 一、单项选择题 1.已知 f(x)＝xa，若 f ′(－1)＝－4，则 a的值等于( ) A．4 B．－4 C．5 D．－5 【答案】A【解】f(x)＝xa , �'(�) = ���−1 , �'( − 1) = �( − 1)�−1 =− 4 , � = 4 2.下列函数求导正确的是( ) A．  cos sinx x  B．   1ln 2 2   C．  4 3x x  D．  2 2 ln 2x x  【答案】D【解】对于 A：  cos sinx x   ，故 A错误；对于 B：  ln 2 0  ，故 B错误； 对于 C：  4 34x x  ，故 C错误；对于 D：  2 2 ln 2x x  ，故 D正确；故选：D 3．若函数   ln 2 1f x x x   ，则 12f       ( ) A．0 B． 12 C． 3 2 D． 5 2 【答案】A【解】   1 2f x x    ，所以 1 2 2 0 2 f         ；故选：A. 4.曲线   9f x x  在点  3,3 处的切线的倾斜角为( ) A． π 4 B． π 3 C． 3π 4 D． 2π 3 【答案】C【解】f(x) = 9 ∙ x−1,所以�'(�) = 9 ∙ ( − 1)�−1−1 =− 9�−2, 所以曲线在点  3,3 处的切线的斜率 k = f'(3) =− 9 ∙ 3−2 =− 1,所以 tanα =− 1 , α = 3π4。 5．函数 ( )f x 的导函数  f x ，满足关系式    2 2 2 lnf x x xf x   ，则  2f  的值为( ) A． 7 2  B． 7 2 C． 1 2  D． 12 【答案】A【解】由    2 2 2 lnf x x xf x   进行求导得： 1( ) 2 2 (2)f x x f x     ， 当 2x  时，可得： 1(2) 4 2 (2) 2 f f    ，解得：   72 2 f    ；故选：A. 6．函数 ( ) exf x x 的图象与 x轴相交于点 P，则该曲线在点 P处的切线方程为( ) A． ey x B． y x C． e 1y x  D． 1y x  【答案】B【分析】求出点 P的坐标，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【解】函数 ( ) exf x x ，由 ( ) 0f x  ，得 0x  ，则点 (0,0)P ，由 ( ) exf x x ，求导得 ( ) ( 1)e xf x x   ， 则 (0) 1f   ，于是 y x ，所以该曲线在点 P处的切线方程为 y x ；故选：B 7．已知曲线 2 3ln 4 xy x  的一条切线的斜率为 12 ，则切点的横坐标为( ) 第 2 页 共 7 页 A．3 B．2 C．1 D．3或 2 【答案】A【解】 1 32y x x   ( 0x  ).设切点横坐标为m，则 1 3 1 2 2 m m   ，解得 3m  或 2m   (舍去).故选：A 8．已知函数 ( ) ( 2022)( 2023)( 2024)( 2025)f x x x x x     ，则 ( )f x 的图象在 2024x  处的切线方程为( ) A． 2 4048 0x y   B． 2024 0x y   C． 2 4048 0x y   D． 2024 0x y   【答案】A【分析】求出导函数 ( )f x 后计算出切线斜率，然后写出切线方程． 【解】由题意知      ( ) 2022 2023 2025 2024f x x x x x         2022 2023 2025x x x     ， 所以 (2024) 2 1 ( 1) 2f        ，又 (2024) 0f  ， 所以 ( )f x 的图象在 2024x  处的切线方程为 0 2( 2024)y x    ，即 2 4048 0x y   ；故选：A. 二、多项选择题 9.下列求导正确的是( ) A． (2�2 + 3)(3�－1) ' = 18�2－4� + 6 B． 2��� ' = 2 1 + � �� C． ln � � ' = 1−ln � �2 D．[���2(2� + � 3 )]' = 2���(4� + 2� 3 ) 【答案】BCD【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得. 【解】对于 A： (2�2 + 3)(3�－1) ' = 6�3 − 2�2 + 9� − 3 ' = 18�2－4� + 9，故 A错误； 对于 B： 2��� ' = 2 �� + ��� = 2 1 + � ��，故 B正确；对于 C： ln � � ' = 1−ln� �2 ，故 C正确； 对于 D：[���2(2� + � 3 )]' = 2��� 2� + � 3 ∙ [��� 2� + � 3 ]' = 2���(2� + � 3 )���(2� + � 3 ) ⋅ 2 = 2���(4� + 2� 3 )，故 D正确；故选：BCD 10．(2024四川德阳三模改编)函数 ( ) sin cosf x x x  ，且 0 0 ) 1 ()( 2 f x f x ，则下列不是 0tan 2x 的值的有( ) A． 2 3  B． 3 4 C． 23 D． 4 3  【答案】ACD【解】 ( ) cos sinf x x x   ，由 0 0 ) 1 ()( 2 f x f x ，得 0 0 0 0 1cos sin (cos sin ) 2 x x x x   ， 解得 0 1tan 3 x  ，所以 00 2 20 122 tan 33tan 2 11 tan 41 ( ) 3 xx x       .故选：ACD 11.(2022·福建漳州)已知函数   xf x e ，则下列结论正确的是( ) A．曲线  y f x 的切线斜率可以是 1 B．曲线  y f x 的切线斜率可以是 1 C．过点  0,1 且与曲线  y f x 相切的直线有且只有 1条 D．过点  0,0 且与曲线  y f x 相切的直线有且只有 2条 【答案】AC【解】�'(�) = ��,所以�'(0) = 1且�'(�) > 0，所以 A正确，B错误； 因为点(0,1)在 f(x)上，且 f(x)单调递增，故过点  0,1 且与曲线  y f x 相切的直线有且只有 1条，C正确； 设过点(0,0)且与曲线  y f x 相切的直线的切点为 P(m,n)，则： � = ��, � = �� = �−0 �−0 可得： � = 1, � = �,所以切点 P(1, e)， 切线斜率 k = e,故只有一条切线，D错误；故选 AC. 第 3 页 共 7 页 三、填空题 12．(2024·湖北武汉·模拟)曲线   2 ln xf x x a   在点   1, 1f 处的切线的倾斜角为 π 3 ,则 a的值为 . 【答案】 3 1 /1 3 【分析】对原函数进行求导, 1x  代入得出切线斜率.曲线  f x 在 1x  处的切线倾斜角 为 π 3 可得出斜率.构造关于 a的方程，解方程即可. 【解】曲线   2 ln xf x x a   的导数   1 2xf x x a   ；∵曲线  f x 在 1x  处的切线的倾斜角为 π 3 , ∴   21 1 3f a    ,∴ 2 3 1 a   ,∴ 3 1a   ；故答案为: 3 1 . 13．(2024·陕西安康·模拟预测)已知函数  f x 的图象在点   1, 1f 处的切线方程是 2 1 0x y   ，若    f xh x x  ，则  1h 的值为 . 【答案】 1 2  【分析】通过切线方程将 (1)f ， (1)f  算出，再求出 2 ( ) ( )( ) xf x f xh x x    ，将 =1x 代入计算即可. 【解】将 =1x 代入切线方程 2 1 0x y   ，得 1y  ，故 (1) 1f ， 由切线方程斜率可知 1(1) 2 f   ， 2 ( ) ( )( ) xf x f xh x x    ， 2 (1) (1) 1(1) 1 2 f fh      ，故答案为: 1 2  . 14．(2024·四川·模拟)已知 0, 0m n  ，直线 1 1 e y x m   与曲线 ln 3y x n   相切，则m n  ． 【答案】2【分析】根据导数的几何意义设切点坐标为  0 0,x y ，求导由斜率可得 0x 的值，从而代入曲线方程 与切线方程可得 0y ，即可得m n 的值. 【解】设切点坐标为  0 0,x y ，对函数 ln 3y x n   求导得 1y x   ，则切线斜率 0 1 1 e k x   ，得 0 ex  ， 所以 0 ln e 3 4y n n     ，且 0 1 e 1 2 e y m m      ，则 4 2n m   ，即 2m n  ．故答案为：2. 第 4 页 共 7 页 一、单项选择题 1．(2024·贵州六盘水·三模)已知曲线 2 3lny x x  的一条切线方程为 y x m   ，则实数m  ( ) A． 2 B． 1 C．1 D．2 【答案】D【分析】根据切线的斜率的几何意义可知 0 0 0 3| 2 1x xy x x      ，求出切点，代入切线即可求出m . 【解】设切点为 0 0( , )x y ；因为切线 y x m   ，所以 0 0 0 3| 2 1x xy x x      ，解得 0 0 31, 2 x x   (舍去) 代入曲线 2 3lny x x  得 0 1y  ，所以切点为  1,1 ；代入切线方程可得1 1 m   ，解得 2m  .故选：D. 2．(2024·内蒙古呼伦贝尔·二模)已知曲线 2 3 ay x x x    在 1x  处的切线与直线 2 1 0x y   垂直，则 a ( ) A．3 B． 9 2 C．7 D． 11 2 【答案】C【分析】利用导数求出切线斜率，再结合垂直关系列式计算即得. 【解】由 2 3 ay x x x    ，求导得 22 3 ay x x     ，当 1x  时， 5y a   ， 由曲线 2 3 ay x x x    在 1x  处的切线与直线 2 1 0x y   垂直，得5 2a   ，所以 7a  ；故选：C 3．(2024·四川德阳·二模)已知直线 1y ax  与曲线    ln ef x x 相切，则 a的值为( ) A． 1 e B．1 C． e D． e 【答案】D【分析】求出函数的导函数，设切点为   0 0, ln ex x ，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可 得到方程组，解答即可. 【解】由    ln ef x x ，可得   e 1 e f x x x    ，设切点为   0 0, ln ex x ，则  0 0 1f x x   ， 则切线方程为    0 0 0 ln e 1y x x x x   ，即  0 0 11 l eny x x x   ，又直线 1y ax  与曲线    ln ef x x 相切， 所以   0 0 1 ln e 1 1 a x x        ，解得 0 1 e e x a      ；故选：D 4．(2024·河南·模拟预测)函数   2lnf x x x  与直线 0x y  相切于点A，则点A的横坐标为( ) A． 1 e B．1 C．2 D． e 【答案】B【分析】设出  0 0,A x y ，求导，直线 0x y  的斜率为 1 ，根据导数的几何意义得到方程，求出 横坐标 【解】设函数   2lnf x x x  与直线 0x y  相切于点  0 0,A x y ，直线 0x y  的斜率为 1 ，   1 2f x x x    ，所以 0 0 1 2 1x x    ，所以 0 1x  ．故选：B． 第 5 页 共 7 页 5．   2 3 4lnf x x x x   ，点 P是  y f x 上任意一点，则点 P到直线 : 3 0l x y   的距离的最小值为( ) A．4 2 B． 3 2 2 C．3 2 D． 6 2 【答案】C【分析】利用导数的几何意义求出与直线 l平行且与曲线  y f x 相切的直线与曲线  y f x 相切 的切点坐标，利用点到直线的距离公式即可求解. 【解】   2 3 4lnf x x x x   的定义域为  0,  ，由函数   2 3 4lnf x x x x   ，可得   42 3f x x x    ， 令 42 3 1x x    ，可得 1x  ，负值舍去， 又  1 4f  ，所以平行于直线 l且与曲线  y f x 相切的直线与曲线  y f x 的切点坐标为  1,4 ． 点  1,4 到直线 l的距离 1 4 3 3 2 2 d     ，即点 P到直线 l的距离的最小值为3 2 .故选：C． 6．(2024·河北保定·三模)已知二次函数 ( )y ax x b  ( 0b  且 1b  )的图象与曲线 lny x 交于点 P，与 x轴交 于点 A(异于点 O)，若曲线 lny x 在点 P处的切线为 l，且 l与 AP垂直，则 a的值为( ) A． 1e  B． 1 C． e D． 2 【答案】B【分析】利用导数求直线 l斜率，根据垂直关系得 1l PAk k   ，结合 ln ( )t at t b  ，即可求解. 【解】易知  ,0A b ，设  , lnP t t ，联立 lny x 与 ( )y ax x b  可得 ln ( )x ax x b  ，故 ln ( )t at t b  ， 由 lny x 得 1y x   ，所以 1 lk t  ， ln PA tk t b   ，因为 l PA ，所以 ln 1 ( )l PA tk k t t b      ，即 ln ( )t t t b   ， 又 ln ( )t at t b  ，所以 1a   .故选：B. 7．若点 P是曲线 2 lny x x  上任意一点，则点 P到直线 4y x  的最小距离为( ) A．1 B． 2 C． 2 2 D． 4 2 【答案】C【分析】由导数的几何意义求得曲线上与直线 4y x  平行的切线方程的切点坐标，求出切点到直 线的距离即为所求最小距离． 【解】直线 4y x  的斜率 1k  ，函数 2 lny x x  定义域为  0,  ，点 P是曲线 2 lny x x  上任意一点， 设   , 0P x y x  ，由  12 0y x x x    ，令 12 1y x x     ，解得 1x  或 1 2 x   (舍去)， 1x  ，此时 1y  ，∴曲线上与直线 4y x  平行的切线的切点为  0 1,1P ， 所以曲线 2 lny x x  上点 P到直线 4y x  的最小距离，为点  0 1,1P 到直线 4y x  的距离 |1 1 4 | 2 2 2 d    ；故选：C. 8．(2024·浙江金华·三模)若存在直线与曲线   3f x x x  ，   2g x x a  都相切，则 a的范围为( ) A． 1,  B． 51, 27     C． 5 , 27    D． 5, 27     【答案】A【分析】利用导数分别求得与    ,f x g x 相切的切线方程，可得 2 2 1 2 3 2 1 2 3 1 2 x x x a x         ，进而可得 第 6 页 共 7 页 4 3 2 1 1 1 9 3 12 4 2 4 a x x x    有解，从而利用导数可求 a的范围. 【解】设直线与  f x 相切与点  31 1 1,x x x ，因为   23 1f x x   ，所以切线方程     3 21 1 1 13 1y x x x x x     ， 即  2 31 13 1 2y x x x   ，设直线与  g x 相切与点  22 2,x x a ， 因为   22g x x  ，所以切线方程    22 2 22y x a x x x    ，即 22 22y x x x a   ， 2 2 1 2 3 2 1 2 3 1 2 x x x a x         ， 所以 22 2 3 3 4 3 21 2 1 1 1 1 1 3 1 9 3 12 2 2 2 4 2 4 xa x x x x x x              有解， 令   4 3 29 3 12 4 2 4 h x x x x    ，     3 29 6 3 3 3 1 1h x x x x x x x       ， 所以函数  h x 在 1, 3       ，  0,1 上单调递减，在 1 ,0 3      ，  1, 上单调递增， 因为   1lh   ， 1 5 3 27 h       ，所以    min 1 1h x h   ，所以 1a   ， a的范围为 [ 1, )  ；故选：A. 二、多项选择题 9、(2023·安徽·模拟预测多选)已知直线 l与曲线 2( ) lnf x x x  相切，则下列直线中可能与 l垂直的是( ) A． 04  yx B． 2 5 0x y  C． 2 3 0x y  D． 2 0x y  【答案】AB【解】 ( )f x 的定义域为  0, ， 1( ) 2 2 2f x x x     ，即直线 l的斜率 2 2k  ， 设与 l垂直的直线的斜率为m，则 1k m   ，所以 1 2 2 m   ， 2 0 4 m   ．故选：AB． 10.（22-23高三·安徽·阶段练习）过点 ( 2,1)P  的直线与 3( ) 1f x x  相切于点 0 0( , )Q x y ，则 0x 的值可以是（ ） A． 0 B． 2 C．3 D． 3 【答案】AD【分析】根据过函数图象上一点处的切线与导数之间的关系求解. 【详解】因为 3( ) 1f x x  ，所以 2( ) 3f x x  ，由题意得直线 PQ的斜率 00 0 1( ) 2 yk f x x    ， 即 3 2 0 0 0 3 2 xx x   ，解得 0 0x  或 0 3.x   故选:AD. 11、(2023·广东·二模)已知函数   3 23 1f x x x   的图象在点   ,m f m 处的切线为 ml ，则( ) A． ml 的斜率的最小值为 2 B． ml 的斜率的最小值为 3 C． 0l 的方程为 1y  D． 1l 的方程为 9 6y x  【答案】BCD【解】   2 23 6 3( 1) 3 3f x x x x       ，所以 ml 的斜率的最小值为 3 . 因为    0 0, 0 1f f  ，所以 0l 的方程为 1y  . 因为    1 9, 1 3f f     ，所以 1l 的方程为  3 9 1y x   ，即 9 6y x  ；故选：BCD. 三、填空题 12.（2023·江苏南通·二模）过点 ( 1,0) 作曲线 3y x x  的切线，则切线的方程为 . 第 7 页 共 7 页 【答案】 2 2 0x y   或 4 1 0x y   【解】 3y x x  ，则 23 1y x   ． 设切点坐标为  30 0 0,x x x ，则切线斜率为 203 1x  ，切线方程为     3 20 0 0 03 1y x x x x x     ， 代入点 ( 1,0) ，得 3 20 02 3 1 0x x   ，即     2 0 01 2 1 0x x   ，解得 0 1x   或 0 1 2 x  ． 当 0 1x   时，切线方程为 2 2 0x y   ；当 0 1 2 x  时，切线方程为 4 1 0x y   ． 故答案为： 2 2 0x y   或 4 1 0x y   13．(2024·山西朔州·模拟预测)已知 A，B分别为曲线 2exy x  和直线 3 3y x  上的点，则 AB 的最小值 为 . 【答案】 10 2 / 1 10 2 【分析】利用数形结合思想可知切点到直线的距离是最小值，从而利用导数来求出切点， 再用点到直线的距离公式求出最小值即可. 【解】由题意 AB 的最小值为曲线上点 A到直线 3 3y x  距离的最小值， 而点 A就是曲线与直线 3y x m  相切的切点，因为曲线上其它点到直线 3 3y x  的距离都大于 AB ， 对 2exy x  求导有 2e 1xy   ，由 3y¢ = 可得 0x  ，即  0,2A ， 故   min 22 3 0 2 3 10 23 1 AB        .故答案为： 10 2 . 14．(2024·陕西安康·模拟预测)已知 0 1a  ，若曲线 lnxy a a 与直线 ey x 相切，则 a ． 【答案】 1 e 【分析】设出切点，利用切点在曲线上也在直线上和切点处的导数等于斜率列方程求解。 【解】设   lnxf x a a ，与直线 ey x 相切的切点为   0 0,x f x ，则    2lnxf x a a  ， 故  y f x 在点   0 0,x f x 处的切线方程可写为    0 02 0ln lnx xy a a x x a a    ， 即    0 0 02 20ln ln lnx x xy a a x x a a a a   ， 若切线为 ey x ，则  0 020 ln ln 0x xx a a a a   且  0 2e lnxa a ，得 0 1 ln x a  ， 所以   1 2ln ln eaa a  ，设 1 lnaa m 则 1 lnln lnaa m ， 1 ln ln 1 ln a m a   所以 em  ， 所以  2e ln ea  ，  2ln 1a  所以又因为 0 1a  ，所以 ln 1a   解得 1 e a  ．故答案为： 1 e