第四章 数列 单元检测试卷（范围§4.1-§4.3）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列单元检测试卷（范围§4.1-§4.3） （时间50分钟，分值100分） 班级 学号 姓名 一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式为(　　) A．an＝2n B．an＝2n＋1 C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1 2．记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＋a21＝a12，则S27＝(　　) A．2015 B．2014 C．2013 D．0 3．若等比数列{an}的公比为q，则“an＋2>an”是“q>1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝，且an＋1＝（n∈N*），则S201＝（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 5．某人从2025年起每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期，到2033年5月10日将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱数(元)为(　　) A．a(1＋p)9 B．a(1＋p)8 C.[(1＋p)9－(1＋p)] D.[(1＋p)8－(1＋p)] 6．在数列{an}中，a1＝且(n＋2)an＋1＝nan，则{an}的前30项和S30＝(　　) A. B. C. D. 二、多选题(本大题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7．等差数列{an}中，S6<S7，S7>S8，则下列结论中正确的是(　　) A．公差d<0 B．S9<S6 C．a7是各项中最大的项 D．S7是Sn的最大值 8 已知数列满足，，则下列说法正确的是（       ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 9.已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝　　　　. 10．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来的(n＝1，2，3，…)，则第n－2(n≥3)个图形中共有________个顶点． 11.已知数列{an}中，a1＝1，an＝（n≥2），则数列{an}的通项公式为　　　　；若＋＋…＋<10，则n的最大值为　　　　. 四、解答题(本大题共3小题，共43分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 12. (13分)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－26n. (1)求数列{an}的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由； (2)记数列{|an|}的前n项和为Tn，若Tn＝108，求n. 13. (15分)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （1）求Sn和Tn； （2）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值． 14. (15分)在等比数列{an}中，a1＝2，a3，a2＋a4，a5成等差数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足b1＋＋…＋＝an（n∈N*），{bn}的前n项和为Sn，求使Sn－nan＋6≥0成立的正整数n的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列单元检测试卷（范围§4.1-§4.3）参考答案 （时间50分钟，分值100分） 班级 学号 姓名 一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式为(　　) A．an＝2n B．an＝2n＋1 C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1 【答案】B 【解析】由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是an＝2n＋1.(或特值法，当n＝1时只有B项符合．) 2．记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＋a21＝a12，则S27＝(　　) A．2015 B．2014 C．2013 D．0 【答案】D 【解析】设等差数列{an}的公差为d.∵a5＋a21＝a12，∴2a1＋24d＝a1＋11d， ∴a1＋13d＝0，即a14＝0.∴S27＝＝＝27a14＝0.故选D. 3．若等比数列{an}的公比为q，则“an＋2>an”是“q>1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】因为an＋2＝anq2>an，所以或故不一定有q>1，充分性不成立； 当q>1时，an＋2＝anq2，若an<0，则an＋2<an，若an>0，则an＋2>an，必要性不成立． 所以“an＋2>an”是“q>1”的既不充分也不必要条件．故选D. 4.已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝，且an＋1＝（n∈N*），则S201＝（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】A 【解析】因为an＋1＝（n∈N*），a1＝，所以a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝－4，a5＝＝＝a1，可知数列{an}是周期为4的周期数列， 所以S201＝50（a1＋a2＋a3＋a4）＋a1＝50×＋＝2. 5．某人从2025年起每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期，到2033年5月10日将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱数(元)为(　　) A．a(1＋p)9 B．a(1＋p)8 C.[(1＋p)9－(1＋p)] D.[(1＋p)8－(1＋p)] 【答案】C 【解析】设所有存款和利息的总和为S元，由题意知第一年存入的a元到2033年本息和为a(1＋p)8元，以此类推， 2032年存入的a元到2033年本息和为a(1＋p)元， 所以S＝a(1＋p)8＋a(1＋p)7＋a(1＋p)6＋…＋a(1＋p) ＝a[(1＋p)8＋(1＋p)7＋(1＋p)6＋…＋(1＋p)]＝a· ＝[(1＋p)9－(1＋p)]．故选C. 6．在数列{an}中，a1＝且(n＋2)an＋1＝nan，则{an}的前30项和S30＝(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵(n＋2)an＋1＝nan，∴＝， ∴an＝a1×××…×＝×××…×＝＝－， ∴S30＝1－＋－＋…＋－＝.故选A. 二、多选题(本大题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7．等差数列{an}中，S6<S7，S7>S8，则下列结论中正确的是(　　) A．公差d<0 B．S9<S6 C．a7是各项中最大的项 D．S7是Sn的最大值 【答案】ABD 【解析】 由S6<S7，S7>S8，得a7>0，a8<0，d<0，各项中最大的项是a1，A正确，C错误；S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，故S9<S6，B正确；S7是Sn的最大值，D正确． 故选ABD. 8 已知数列满足，，则下列说法正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】 ，A正确； 对于，有，两式相加得，C正确； 由知，则，B错误； 由偶数项均为可得为偶数时，， 则 ， 则，D正确. 故选：ACD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 9.已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝　　　　. 【答案】－2 【解析】设{an}的公比为q（q≠0），则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，显然an≠0， 则a4＝q2，即a1q3＝q2，则a1q＝1，因为a9a10＝－8，则a1q8·a1q9＝－8， 则q15＝（q5）3＝－8＝（－2）3，则q5＝－2， 则a7＝a1q·q5＝q5＝－2. 10．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来的(n＝1，2，3，…)，则第n－2(n≥3)个图形中共有________个顶点． 【答案】n2＋n 【解析】观察5个图形可知， 第n个图形是由正n＋2边形的每条边都向外“扩展”一个新的正n＋2边形而得到的，故第n个图形的顶点个数为(n＋2)＋(n＋2)2＝(n＋2)(n＋3)． 从而第n－2(n≥3)个图形中的顶点个数为n(n＋1)＝n2＋n. 11.已知数列{an}中，a1＝1，an＝（n≥2），则数列{an}的通项公式为　　　　；若＋＋…＋<10，则n的最大值为　　　　. 【答案】an＝　119 【解析】∵a1＝1，an＝（n≥2），∴a－a＝1. ∴数列{a}为等差数列，首项为1，公差为1. ∴a＝1＋（n－1）＝n.又an>0， ∴数列{an}的通项公式为an＝.又＝＝－， ∴＋＋…＋＝－1＋－＋…＋－ ＝－1<10.∴<11，解得n<120，∴n的最大值为119. 四、解答题(本大题共3小题，共43分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 12. (13分)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－26n. (1)求数列{an}的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由； (2)记数列{|an|}的前n项和为Tn，若Tn＝108，求n. 【答案】（1）an＝4n－28，是；（2）10. 【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝－24， 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝2n2－26n－[2(n－1)2－26(n－1)]＝4n－28， 又因为4×1－28＝－24，所以当n＝1时，an＝4n－28也成立， 因此数列{an}的通项公式为an＝4n－28. {an}是等差数列，理由如下： 因为an－an－1＝4n－28－[4(n－1)－28]＝4(n≥2)，所以{an}是等差数列． (2)令4n－28≤0，解得n≤7， 故当n≤7时，an≤0，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－a1－a2－…－an＝－2n2＋26n，所以T7＝84， 又因为Tn＝108，所以n≥8， 当n≥8时，an>0， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋a7)＋(a8＋a9＋…＋an) ＝－S7＋Sn－S7＝Sn－2S7＝2n2－26n＋168， 令2n2－26n＋168＝108，解得n＝10或n＝3(舍去)，所以n＝10. 13. (15分)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （1）求Sn和Tn； （2）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值． 【答案】（1），；（2）4. 【解析】（1）设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得． 因为，可得，故．所以，． 设等差数列的公差为．由，可得． 由，可得从而，故， 所以． （2）由（1），有 由可得， 整理得解得（舍），或．所以n的值为4． 14. (15分)在等比数列{an}中，a1＝2，a3，a2＋a4，a5成等差数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足b1＋＋…＋＝an（n∈N*），{bn}的前n项和为Sn，求使Sn－nan＋6≥0成立的正整数n的最大值. 【答案】（1）an＝2n.；（2）3. 【解析】（1）设数列{an}的公比为q，∵a3，a2＋a4，a5成等差数列， ∴2（a2＋a4）＝a3＋a5， ∴2（a1q＋a1q3）＝a1q2＋a1q4， ∴2q（1＋q2）＝q2（1＋q2），∴q＝2， ∴an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n. （2）由题意，得b1＋＋…＋＝an，① b1＋＋…＋＝an－1（n≥2），② ①－②得＝an－an－1＝2n－2n－1＝2n－1， ∴bn＝n×2n－1（n≥2）. 当n＝1时，b1＝a1＝2不符合上式.∴bn＝ ∴当n≥2时，Sn＝2＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，③ 2Sn＝2×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，④ ③－④得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－n×2n＝－n×2n＝2n－2－n×2n， ∴Sn＝（n－1）2n＋2. 当n＝1时，S1＝b1＝2，符合上式， ∴Sn＝（n－1）2n＋2（n∈N*）. Sn－nan＋6＝（n－1）2n＋2－n×2n＋6＝－2n＋8， ∴－2n＋8≥0，即2n≤8，∴n≤3， ∴n的最大值为3. 学科网（北京）股份有限公司 $