8.1.2 三角形的内角和与外角和（第2课时：直角三角形的两个锐角互余） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

8.1.2 三角形的内角和与外角和 （第2课时：直角三角形的两个锐角互余） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3．如图，，将一直角三角板的直角顶点放在直线上，点放在直线上．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线，直线c与a、b分别相交于点A、B，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在中，于点，平分交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，则（   ） A． B． C．140° D．145° 二、填空题 7．如图，平分，，，，则是____三角形． 8．如图，在中，，，垂足为．，则________度． 三、解答题 9．如图，于点于点与相交于点． (1)写出图中所有的直角三角形． (2)猜想和有什么关系？并说明理由． (3)若，求和的度数． 10．已知． (1)如图①，当时，请判断与之间的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若，求的度数． 【B能力提升】 1．光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫做光的折射．如图所示，将某玻璃的两个界面抽象为两条直线，，且，一束光线从空气斜射入该玻璃，为入射点，为法线，为折射光线，为入射光线的延长线，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．将一副三角板和按照如图所示的方式放置，与交于点G．已知，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，直角和，，，，点D在上，将图中的绕点 O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边恰好与边平行． 4．如图，在中，是的高，点在边上，过点作于点，过点作交于点．下列结论：①；②；③平分；④．正确的是__________．（填出所有正确结论的序号） 5．已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． (1)如图1，，，则与之间的数量关系是___________． (2)如图2，，，则与之间的数量关系是___________． (3)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的倍少，求这两个角的度数． 6．如图①，平分，，，． (1)求的度数； (2)如图②，若把“”变成“点F在DA的延长线上，”，，，请用含，的代数式表示． 【C综合与实践】 1．综合与实践 将两个完全相同的直角三角板（），按图1的方式放置，使边和边与直线重合，和的顶点O重合． (1)如图1， 度； (2)如图2，若平分，求的度数； (3)如图3所示，把三角板和绕点O同时以相同的速度顺时针旋转，当平分时，和的度数之间有怎样的数量关系，请直接写出结论． 2．数学课上，在复习“三角形”这一章时，老师提出如下问题：如图，在中，，为的角平分线，点为角平分线上的一点并在（包括点，不包括点）上运动，过点向边作垂线，垂足为，请你猜想在点运动过程中，，，的数量关系，并说明理由． (1)一组同学通过画图的方式探究点运动到点时的情况（如图），尝试改变，，具体的数值求的值，对应值如下： /度 /度 /度 由表中数据可得， ______， ______； (2)二组同学受到启发，开始研究点在线段上（不包括端点、）运动时的情况（如图），很快发现了，，之间的数量关系：______； (3)三组同学提出：如果点在直线上（不包括点、）运动（如图），，，之间有什么样的数量关系呢？请你帮助他们解答并证明． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1.2 三角形的内角和与外角和 （第2课时：直角三角形的两个锐角互余） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 2．在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故选：B． 3．如图，，将一直角三角板的直角顶点放在直线上，点放在直线上．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，然后根据两直线平行内错角相等即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 4．如图，直线，直线c与a、b分别相交于点A、B，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，从而求出的度数． 【详解】解：， ， 在中，， ， ． 5．如图，在中，于点，平分交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直，可得，进而可求，，再根据角平分线，可得，最后根据三角形内角和，计算即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 平分， ， ． 6．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，则（   ） A． B． C．140° D．145° 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， ， ， 在中，， ． 二、填空题 7．如图，平分，，，，则是____三角形． 【答案】直角 【分析】通过三角形的内角和等于，计算，再利用角平分线的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：， ∵平分， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 8．如图，在中，，，垂足为．，则________度． 【答案】 【分析】由题意可得，，，则有． 【详解】解：， ， ， 又有， ． 三、解答题 9．如图，于点于点与相交于点． (1)写出图中所有的直角三角形． (2)猜想和有什么关系？并说明理由． (3)若，求和的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，垂直的定义，余角的计算，熟知三角形的相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的定义进行求解即可； （2）根据等角的余角相等即可得出结论； （3）根据余角的定义即可求出，进而得到，由（2）知，根据对顶角相等得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）知是直角三角形， ， ． （3）解：∵， ， ， ． 10．已知． (1)如图①，当时，请判断与之间的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若，求的度数． 【答案】(1)．理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据内错角相等两直线平行可求解； （2）延长线段交于点H，由平行线的性质可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，延长线段交于点H， ， ． ， ． ， ， ． 【B能力提升】 1．光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫做光的折射．如图所示，将某玻璃的两个界面抽象为两条直线，，且，一束光线从空气斜射入该玻璃，为入射点，为法线，为折射光线，为入射光线的延长线，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用对顶角相等的性质得，通过角度差计算出，接着依据 “一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条” 的平行线性质，由 且 推导出 ，得到直角，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出角 的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为法线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．将一副三角板和按照如图所示的方式放置，与交于点G．已知，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，由得，在中求出，再在中利用内角和求出，最后由对顶角相等得． 【详解】解：如图，延长交于点，设与交于点， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 在中，， ， 与是对顶角， ． 3．如图，直角和，，，，点D在上，将图中的绕点 O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边恰好与边平行． 【答案】16或52/52或16 【分析】分两种情况：①旋转的角度小于；②旋转的角度大于；进行讨论即可求解． 【详解】解：①旋转的角度小于时，如图，设与相交于点E， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； ②旋转的角度大于时，如图，延长与相交于点E， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴旋转角， ∴旋转时间（秒）； 综上所述，在第16或52秒时，边恰好与边平行． 4．如图，在中，是的高，点在边上，过点作于点，过点作交于点．下列结论：①；②；③平分；④．正确的是__________．（填出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据垂直的定义和平行线的判定定理可判断①；根据平行线的性质和同角的余角相等可判断②；根据角平分线的定义和已知条件可判断③；根据直角三角形的两锐角互余和平行线的性质可判断④. 【详解】解：∵是的高， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，故②正确； 若平分，则， ∴， 题目未给出，故③错误； 在中，， ∵， ∴，故④正确； 综上可知，正确的是：①②④． 5．已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． (1)如图1，，，则与之间的数量关系是___________． (2)如图2，，，则与之间的数量关系是___________． (3)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的倍少，求这两个角的度数． 【答案】(1) (2) (3)，或， 【分析】（1）根据垂直可得，由直角三角形的两锐角互余可得，，再结合对顶角相等等量代换即可得解； （2）根据垂直可得，由四边形的内角和列式计算即可得解； （3）设其中一个角的度数为，则另一个角的度数为，根据这两个角相等或者互补列方程计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，设与的交点为，与的交点为， ，， ， ，， ， ． （2）解：如图所示，设与的交点为，与的交点为， ，， ， ， ． （3）解：设其中一个角的度数为，则另一个角的度数为． 根据题意，得或， 解得或． 当时，； 当时，， 这两个角的度数为，或，． 6．如图①，平分，，，． (1)求的度数； (2)如图②，若把“”变成“点F在DA的延长线上，”，，，请用含，的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义求出，由三角形外角的性质得到，再由垂直的定义得到，由此即可求解； （2）同（1）进行求解即可； 【详解】（1）解：∵，， ， 平分， ， ． ， ， ． （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， ． 【C综合与实践】 1．综合与实践 将两个完全相同的直角三角板（），按图1的方式放置，使边和边与直线重合，和的顶点O重合． (1)如图1， 度； (2)如图2，若平分，求的度数； (3)如图3所示，把三角板和绕点O同时以相同的速度顺时针旋转，当平分时，和的度数之间有怎样的数量关系，请直接写出结论． 【答案】(1)90 (2) (3)或，见解析 【分析】（1）根据直角三角形的性质可得，再根据即可求解； （2）根据平角的定义求得，再根据角平分线的定义可得，再利用求解即可； （3）由可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，再利用求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：， ， 平分， ， ； （3）解：或， 理由： ． 2．数学课上，在复习“三角形”这一章时，老师提出如下问题：如图，在中，，为的角平分线，点为角平分线上的一点并在（包括点，不包括点）上运动，过点向边作垂线，垂足为，请你猜想在点运动过程中，，，的数量关系，并说明理由． (1)一组同学通过画图的方式探究点运动到点时的情况（如图），尝试改变，，具体的数值求的值，对应值如下： /度 /度 /度 由表中数据可得， ______， ______； (2)二组同学受到启发，开始研究点在线段上（不包括端点、）运动时的情况（如图），很快发现了，，之间的数量关系：______； (3)三组同学提出：如果点在直线上（不包括点、）运动（如图），，，之间有什么样的数量关系呢？请你帮助他们解答并证明． 【答案】(1)，； (2)，证明见解析； (3)结论不变，证明见解析． 【分析】本题考查了三角形的角平分线性质、直角三角形的性质以及角度之间的等量代换，解题的关键是通过作辅助线（如过点A作的垂线），将所求角度与已知角（）建立联系，利用角的和差关系进行推导． （1）观察表格数据，发现与的差值存在倍数关系，通过前两组数据推测出规律，代入数值计算得出 和的值．； （2）过点 A 作 的垂线，利用角平分线性质表示出，结合直角三角形中与的关系，通过进行等量代换，推导出； （3）同样过点A作BC的垂线，借鉴小问2的推导思路，通过角度之间的和差关系，证明即使点F在直线上（不包括），仍有． 【详解】（1）由表中数据推测： ，． 故答案为：，； （2）结论：． 理由：如图，过点作于点． 则，① 平分， ，② ， ，③ 由①②③得， 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图中，过点作于点． 与（2）证法过程完全相同可得结论：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $