精品解析：山东德州市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

高一数学试题 2026.5 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1-2页，第II卷3-4页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第I卷选择题（共58分） 一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则是的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. 5 D. 5. 已知不共线的平面向量，两两夹角相等，，则（ ） A. 3或36 B. C. 或6 D. 6 6. 如图所示，在中，是的中点，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 若角，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，“六芒星”是由两个边长为6的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则为钝角 C. 若为非零向量，且，则 D. 若，则存在唯一的实数使得 10. 已知，其中为锐角，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知两个非零向量的夹角为，定义运算.设，则（ ） A. B. 在上的投影向量的模为 C. ，均有 D. 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，若，则与的夹角为__________. 13. 已知，且，则__________. 14. 如图正方形的边长为分别为边上的点，若为的中点且，则__________；若的周长为2，则的大小为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知平面向量，且. （1）求； （2）求与的夹角. 16. 已知平面向量，函数. （1）求的单调递增区间； （2）若锐角满足，求的值. 17. 如图，在扇形中，半径，圆心角是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形.其中在半径上，记. （1）当时，求矩形的面积； （2）角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大值. 18. 如图1，在中，为直角，与相交于点，连接，记. （1）用表示向量； （2）设，求的值； （3）如图2，过点的直线与边分别交于点，设（均为非零实数），求的值. 19. 把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”.如图1，，分别为正方向上的单位向量.若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记.已知向量的“广义坐标”分别为. （1）求的“广义坐标”； （2）求向量与的夹角的余弦值； （3）以为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题 2026.5 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1-2页，第II卷3-4页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第I卷选择题（共58分） 一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 已知向量，则是的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行坐标关系结合充分必要条件定义判断即可. 【详解】向量，若，则，即， 若,则，解得：或， 综上,是的充分不必要条件。 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由辅助角公式，，其中，则. 4. 已知，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，则， 即且， ， 解得. 5. 已知不共线的平面向量，两两夹角相等，，则（ ） A. 3或36 B. C. 或6 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据不共线的平面向量，，两两夹角相等得出夹角为，平方应用数量积计算模长即可. 【详解】向量，，两两所成的角相等且不共线， 向量，，两两夹角为，又， ， 则. 6. 如图所示，在中，是的中点，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用表示向量，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得. 由是的中点，则，又， 所以， 则， 则 . 7. 若角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法1：利用辅助角公式得出，结合角的范围得出，再利用半角公式、两角和差公式即可求出；法2：将进行平方得出即可. 【详解】法1：因为，所以， 因为，所以，则， 因为，所以， 所以，， 则. 法2：因为，，所以， 因为，所以， 则， 因为，所以. 8. 如图，“六芒星”是由两个边长为6的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点的坐标，设，然后表示出，再根据的取值范围可求得结果. 【详解】 如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 因为“六芒星”是由两个边长为的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行， 所以， 所以， 设，则， 所以， 因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界）， 所以，所以， 所以，即的取值范围是. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则为钝角 C. 若为非零向量，且，则 D. 若，则存在唯一的实数使得 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，当，时，满足，，但不一定平行，故A错误； 对于B，由，则， 因为，则为钝角或，故B错误； 对于C，由，得， 即，则，故C正确； 对于D，当，时，不存在使得，故D错误. 10. 已知，其中为锐角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】因为为锐角，所以，得， 则，故A错误； 因为为锐角，所以，则， ，故B正确； 由，得， 则，故C正确，D错误. 11. 已知两个非零向量的夹角为，定义运算.设，则（ ） A. B. 在上的投影向量的模为 C. ，均有 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】取，可判断A，根据投影向量的计算公式，可判断B，根据新定义和数量积公式可判断CD. 【详解】当，， ，A正确， 在上的投影向量的模为，不一定成立，B错误； ，C正确； 若，，则， 因为，所以， 所以，D正确. 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，若，则与的夹角为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由，则， 即，又， 则，即， 又，则. 13. 已知，且，则__________. 【答案】##0.5 【解析】 【详解】由，则， 由，则（负值舍去）， 所以，则. 14. 如图正方形的边长为分别为边上的点，若为的中点且，则__________；若的周长为2，则的大小为__________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据题设可得，进而结合两角和的正切公式及诱导公式求解即可；设，易得，，再根据的周长求得，即可得解. 【详解】由题意，，， 则， 所以， 则 . 设，则， 所以，. 因为的周长为2，所以， 则， 将上式两边平方，整理得，即， 因为，所以，即. 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知平面向量，且. （1）求； （2）求与的夹角. 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行和垂直可得,，结合向量数量积的坐标运算即可求解； （2）利用向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，解得 所以 因为，所以，所以 所以 所以， 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， ， 设的夹角为，则： 因为，所以即向量与向量的夹角为 16. 已知平面向量，函数. （1）求的单调递增区间； （2）若锐角满足，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平面向量的数量积的坐标表示、三角恒等变换公式化简可得，再结合正弦函数的单调性求解即可； （2）由可得，再根据诱导公式、二倍角公式求解即可. 【小问1详解】 由 ， 取，解得， 故的单调增区间为， 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以. 17. 如图，在扇形中，半径，圆心角是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形.其中在半径上，记. （1）当时，求矩形的面积； （2）角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大值. 【答案】（1） （2）当时，矩形的面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】（1）由题设，在中，易得，，进而得到，可得，进而求解即可； （2）根据题设表示出，，进而结合三角恒等变换公式表示出矩形的面积为，进而求解即可. 【小问1详解】 在中，，则， 在中，， 所以， 所以， 设矩形的面积为，则. 【小问2详解】 在中，. 在中，， 所以， 所以， 设矩形的面积为， 则， ， 由，得， 所以当，即时. 因此，当时，矩形的面积最大，最大面积为. 18. 如图1，在中，为直角，与相交于点，连接，记. （1）用表示向量； （2）设，求的值； （3）如图2，过点的直线与边分别交于点，设（均为非零实数），求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算求解即可； （2）解法一：设，，结合题设利用平面向量共线定理得到，，进而求解即可； 解法二：结合题设利用三点共线的推论得到，，进而求解即可； （3）解法一：设，可得，结合可得，进而求解即可； 解法二：结合（2）可得，再根据三点共线的推论求解即可. 【小问1详解】 由题意，. 【小问2详解】 解法一：由，因为三点共线， 所以存在非零实数使得， 所以， 所以，解得①， 又因为三点共线， 所以存在非零实数使得. 所以. 又，所以，解得②. 由①②解得. 解法二：因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以， 而， 因为三点共线，所以 由，得. 【小问3详解】 解法一：由（2）知， 因为三点共线， 所以存在非零实数使得， 因为，所以. 消去得，所以. 解法二：由（2）知， 因为，所以, 所以, 因为三点共线，所以，则. 19. 把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”.如图1，，分别为正方向上的单位向量.若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记.已知向量的“广义坐标”分别为. （1）求的“广义坐标”； （2）求向量与的夹角的余弦值； （3）以为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），故，得到“广义坐标”为； （2）计算出，，，故； （3）平面直角坐标系中，，设，得到方程组，求出，故向量的“广义坐标”为. 【小问1详解】 由题意得， 故， 故的“广义坐标”为； 【小问2详解】 由题意得， 故 ， ，故， ，故， 所以向量与的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 在平面直角坐标系中，， 设，向量在平面直角坐标系中的坐标为， 所以， 所以，解得， 故向量的“广义坐标”为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $