阶段专题培优：长方形和正方形应用题（专项练习）-2025-2026学年三年级下册数学苏教版

**基本信息** 聚焦长方形和正方形特征及应用，以几何直观为核心，通过实际问题系统训练空间观念与推理意识，形成“概念-原理-应用”的完整解题体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形特征与计算|15题（如第1、10、23题）|正方形边长关系、周长公式推导|从边与角的特征（概念）到周长计算（原理应用）| |最短路径应用|20题（如第3、5、12题）|垂线段最短、两点之间线段最短|以平行/垂直概念为基础，解决实际路径优化问题| |图形计数|6题（如第30、34题）|分类计数（按边长/组合）|从单一图形识别到复杂图形组合的空间想象拓展|

阶段专题培优：长方形和正方形应用题 1．如图是由5个小长方形拼成的大正方形，已知大正方形的边长是20厘米，那么一个小长方形的宽是多少厘米？ 2．下图是A市某街区的平面示意图。 （1）和解放路互相平行的是（    ）路，（    ）路和花园路互相平行。 （2）胜利小区需要铺设天然气管道，主管道在滨江路上，怎样铺设最节省材料？请你在图中画出来。 3．桃花村在荷沙公路南侧。为了方便村民，村里决定从A处修一条路通往荷沙公路，怎样修路线最近？请你画出这条最近的路线。 4．两条直线在什么情况下会互相垂直？请你用画一画、写一写的方式进行简要说明。 5．一只鸭子从点A处游到河的对岸，怎么游路线最短？请在图中画出最短路线。 说一说这样画的理由：_______________________________________。 6．你能用学过的知识说明下图中包含的道理吗？ 7．如图，乐乐、明明、丽丽家在同一条直线上，现在要经过公园修一条自来水管道，使他们三家到这条自来水管道的距离都相等，应该怎样修？ 8．两只小狗赛跑，它们以相同的速度分别从同一直线上的点A、点B跑到小房子处，谁先跑到小房子处，谁就获胜。你认为它们谁会获胜？为什么？ 9．小美的爸爸是一名工程师，他设计的大桥很美观（如图）。请用你学过的知识分析一下桥梁为什么要设计成平行线？ 10．下图中一个是长方形，一个是正方形，求∠1和∠2的度数。 11．画一画。在方格纸上画出一个正方形和一个长方形，说一说它们各有什么特点。 12．（1）“村村通工程”施工队计划从王家庄修一条柏油路通向李家庄，请你画出最近的路。 （2）如果从李家庄修一条柏油路通向国道。怎样修最近？请你画出这条路，这样修的原因是（    ）。 13．在下面图中分别找出两组相交或垂直的线段。 14．如图，两个正方形重叠在一起，∠1和∠2有什么关系？ （1）正方形的四个角有什么特点？ （2）∠1、∠2与∠3分别有什么关系？ （3）∠1和∠2有什么关系？请说明理由。 15．学校要修一条水泥路到公路，怎样修最近？请你在图上画出来，并说明理由。 16．请你为红星工厂设计一条污水排放管道，在下图中画一画，并说明理由。 设计理由： 17．如图，按要求作答。 （1）新校区到洛神北路的距离是（    ）米。 （2）计划从新校区铺一条排水管道到洛神南路，怎样铺才能使所用的排水管道长度最短？请在图上画出来。 18．下面是一组平行线，请在一条直线上选几个点，作另一条直线的垂线，量一量，点到垂足间的距离，你能发现什么？ 我的发现是： 19．同学们在公园里划船，从公园西岸的点划到东岸，怎样划船路程最短，请你把最短的路线画出来并说明理由。 20．找一张长方形纸折一折再打开，你能让折痕互相垂直或互相平行吗？把你的方法说给同学听。 21．下图是人行横道线。如果从点A穿过马路，怎样走路线最短？请把最短的路线画出来，并从数学的角度说明理由。 理由： 22．护士阿姨从药房去病房送药，有两条路可以走（如图）。她走哪条路比较近？要走多少米？ 23．用一根铁丝做了一个边长为200厘米的正方形框架，还剩下300厘米，这根铁丝原来长多少厘米？ 24．如下图，木材加工厂要修一条水泥路与公路相连，你认为怎样修最省钱？在图中画出来，并说明你的理由。 25．菜园在明明家的东北面，小河在他家北面（如图）。爸爸想从家修一条路到菜园，再从河边修条水渠到菜园。请你帮明明设计一下，并说明理由。 理由1： 理由2： 26．诸城恐龙公园已成为诸城市“城市绿肺”、“森林氧吧”，成为多功能地域级的中国北方最大恐龙文化主题公园，其中的诸城恐龙博物馆与龙立方成为人们科普科研、观光旅游胜地。请按要求画图并解释。 （1）请你画一条从恐龙博物馆到龙立方最近的路。 （2）请你画一条从恐龙博物馆通向小河最近的路，并从数学的角度说明这样画的理由：（    ）。 27． （1）请你设计一条从楼房到小屋最近的路，在图中画一画。 （2）请你设计一条从小屋到大街最近的路，在图中画一画。 （3）请你从数学的角度简要说明（1）（2）设计的理由。 28．足球场上，飞飞和杨杨在进行足球训练，如果他们以同样的速度分别从A点和B点跑向足球，你认为谁能先踢到足球？用你喜欢的方式说明理由。 29．丹丹如果从A点穿过马路，怎样走路线最短？为什么？把最短的路出来。 30．下图中一共有多少个正方形？ 31．数一数，图中一共有几个平行四边形？ 32．如图，四只小鸡同时发现了一条害虫，于是以同样的速度向害虫跑去，哪只小鸡能吃到害虫？请把它圈出来，并说一说你判断的依据。 33．（1）过A点画出直线L的平行线。 （2）如果A点表示幸福镇，距离公路L有一段距离。政府计划从幸福镇修一条通往公路的水泥路，怎样修路最近呢？请你在图上画出来，并写出这样画的理由。 34．数一数，下图中共有多少个长方形？ 35．鸭子在河里游泳很轻松，可在岸上行走却很吃力。一只小鸭子想从A点到河对岸的B点去。你能帮它设计一条最短的路线吗？（尽可能使小鸭子在陆地上走的路线最短）    这样设计的理由是： 36．从直线L外一点A画几条不同的线段与这条直线相交，量一量这些线段的长度，你能发现什么？ 我的发现： 37．过A点画已知直线的垂线量一量，A点到已知直线的距离是（    ）厘米。 38．（1）在下面的两条平行线之间画三条与平行线垂直的线段。 （2）从数学角度观察所画的三条线段，你有哪些发现？请写在下面。 39．过A点画出已知直线的平行线。    A点到已知直线的距离是（    ）厘米。（一个方格的边长是1厘米） 40．操作。 （1）请你画出从艺术楼到教学楼最近的路。 理由： （2）请你画出从艺术楼到操场最近的路。 理由： 41．我会画。 （1）如图，要从东村挖一条水渠与小河相通，要使水渠最短，应该怎样挖？请在图上画出来。 （2）你能用数学知识说一说，你这样画的理由是什么？ 42．下图中右边画框挂正了吗？说明其中的道理。 43．体育课上，大家分组玩夺宝游戏，工具箱在A点，宝藏在下图的直线上。淘气先拿工具箱再挖宝（不回到原点）。请你画出淘气行走的最近路线，再说说你这样画的理由。 我的理由：①_______________    ②____________ 44．要从幸福小区向小河挖一条通水管道，要使管道最短，应该怎样挖？请你在图上画出来。 45．运动会跳远比赛中，每名运动员有三次试跳机会，最好的一次成绩作为最终的成绩，小刚在运动会跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中位置。 （1）用线段画出两次跳远的距离。 （2）你所画的两条线段互相（    ）。（填“垂直”或“平行”） 46．淘气用同样长的小棒摆长方形和正方形。下图是他摆出的一部分，要摆完各图形至少还需要多少根小棒？画“√”。 摆长方形 摆正方形 3根 4根 6根 3根 4根 6根 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．4厘米 【分析】正方形的4条边相等，根据题图可知，小长方形的长等于大正方形的边长，5个小长方形的宽等于大正方形的边长，则用大正方形的边长除以5，求出小长方形的宽。 【详解】20÷5＝4（厘米） 答：一个小长方形的宽是4厘米。 【点睛】本题考查正方形的特征，关键是明确5个小长方形的宽等于大正方形的边长。 2．（1）滨江；光明；（2）见详解 【分析】（1）永不相交的两条直线互相平行，延长滨江路所在的直线与解放路所在的直线不会有交点，所以滨江路与解放路互相平行，花园路与解放路相交、也与滨江路相交，与光明路不会相交，由此可以知道花园路与光明路互相平行。 （2）要使天然气管道最节省材料，即从胜利小区到滨江路铺设的管道最短，要使其最短，即从胜利小区向滨江路作垂线段，将直角三角尺的一条直角边与滨江路重合，使得胜利小区在另一条直角边上，沿着这条直角边过胜利小区所在点的位置向滨江路画线段，即为垂线段，这条垂线段即为铺设管道的路线。 【详解】（1）和解放路互相平行的是滨江路，光明路和花园路互相平行。 （2） 3．过A点作公路这条直线的垂线段即可，沿着这条垂线段修路最近。图见详解 【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。据此过A点作公路这条直线的垂线段即可，沿着这条垂线段修路最近。 【详解】过A点作公路这条直线的垂线段，如下： 答：过A点作公路这条直线的垂线段即可，沿着这条垂线段修路最近。 【点睛】根据垂直的性质：从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短；由此解答即可。 4．相交成直角时 见详解 【详解】 如上图：直线CD与直线AB互相垂直，所以两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 （答案不唯一） 5．图见详解； 直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。 【分析】直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。 【详解】 说一说这样画的理由：直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。 6．见详解 【分析】在同一平面内，当两条直线相交成90度（即直角）时，这两条直线互相垂直；据此进行解答。 【详解】根据垂直的定义：因为门框的角是直角，所以门框是垂直的。 【点睛】此题考查了垂直的定义，注意基础知识的积累。 7．使乐乐、明明、丽丽三家到这条自来水管道的距离都相等，则根据平行线间的垂线段处处相等可知这条自来水管道应经过公园且修在和他们三家在同一条直线的平行线上。 【分析】根据平行线间的垂线段处处相等，这些垂线段的长度叫做这两条平行线之间的距离解答。 【详解】由分析知，应修在和他们三家在同一条直线的平行线上。 答：这条自来水管道应经过公园且在他们三家在同一条直线的平行线上。 8．小黑获胜；原因见详解 【分析】根据垂线的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，据此判断解答。 【详解】两只小狗赛跑，它们以相同的速度分别从同一直线上的点A、点B跑到小房子，小黑先到达，获胜，因为小黑是沿垂直线段跑的，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 【点睛】本题考查了垂线的性质。 9．因为平行线间的距离处处相等，所以桥梁要设计成平行线。 【分析】平行线是指在同一平面内永不相交的两条直线，平行线间的距离处处相等，像画格子一样，保证桥面宽度不变，车开起来较稳，同时桥架形成三角形，利用三角形的稳定性让大桥更牢固，据此解答。 【详解】根据分析：因为平行线间的距离处处相等，让路更平，使车开起来较稳，所以桥梁要设计成平行线。 10．45°；45° 【分析】长方形和正方形的四个角都是直角，直角是90°。长方形的长刚好把正方形平均分成两个三角形。所以中间共用的角是45°，据此可以算出∠1和∠2的度数。 【详解】∠1＝90°－45°＝45° ∠2＝90°－45°＝45° 答：∠1是45°，∠2也是45°。 11．（画法不唯一） 长方形的对边相等，四个角都是直角；正方形的四条边相等，四个角都是直角。 【详解】略 12．（1）（2）见详解 （2）理由见详解 【分析】（1）根据两点之间线段最短，修一条从王家庄到李家村的最近路，只沿着王家庄到李家村的线段修即可。 （2）直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，从李家村作国道的垂线段，沿垂线段修最短，据此画图即可。 【详解】 （1）（2）如图： （2）答：从李家村作国道的垂线段，沿垂线段修最短，这样修的原因是因为直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短。 13．见详解 【分析】在同一平面内，两条直线互相交叉在一起，交于一点叫做相交，在同一平面内相交成直角的两条直线叫做互相垂直。据此解答。 【详解】第一幅图中上面的烟囱的一条横线和左右两条竖线是两组相互垂直的线段；房顶的交叉处是一组相交的线段，右下角也是一组相交的线段。 第二幅图中，车头中的中间的一条横线和第二条第三条竖线是两组互相垂直的线段；方向盘前面一条斜线和上下两条横线是两组相交的线段。 第三幅图中两个帆的中间一条竖线和船的上面一条横线左右两边形成两组互相垂直的线段；船身的左右两条斜线和下面一条横线是两组相交的线段。 14．（1）正方形的四个角都是90度。 （2）∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°或∠1＋∠3＝∠2＋∠3。 （3）∠1＝∠2，因为∠1＝∠2＝90°－∠3。 【分析】（1）四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形。正方形的四个角都是90度。 （2）∠1和∠3组成一个正方形的直角，即∠1＋∠3＝90°；∠2和∠3成一个正方形的直角，即∠2＋∠3＝90°；或∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝90°。 （3）∠1＋∠3＝90°可得出∠1＝90°－∠3； ∠2＋∠3＝90°可得出∠2＝90°－∠3； 可得出∠1＝∠2。 【详解】（1）正方形的四个角都是90度。 （2）∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°或∠1＋∠3＝∠2＋∠3。 （3）∠1＋∠3＝90°可得出∠1＝90°－∠3； ∠2＋∠3＝90°可得出∠2＝90°－∠3； 可得出∠1＝∠2。 【点睛】看出∠1和∠3、∠2和∠3成一个正方形的直角是解答此题的关键。 15．图见详解；直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短 【分析】直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以只要作出学校到公路的垂线段即可。 【详解】直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，作学校到公路和垂线段，图如下： 【点睛】本题主要考查学生对垂线特征的掌握和灵活运用。 16．见详解 【分析】设计的污水排放管道要是最短的，即工厂到污水处理厂的距离最短，要使距离最短即作垂线段。 【详解】 理由：直线外一点到直线上所有连线中垂直线段最短。 【点睛】点到直线的最短距离为从这点到直线的垂线段。 17．（1）50 （2）见详解 【分析】（1）观察上图可知，新校区到洛神北路的垂线段长度即是新校区到洛神北路的距离。 （2）根据直线外一点直线上各点的连线中垂线段最短可知，作新校区到洛神南路的垂线段，沿垂线段铺，所用的排水管道长度最短。 【详解】（1）新校区到洛神北路的距离是50米。 （2） 【点睛】本题主要考查学生对垂线段知识和画垂线方法的掌握。 18．见详解 【分析】根据平行和垂直的性质和特征可知：两条平行线中可以画无数条垂线段，这些线段的长度都相等，据此解答即可。 【详解】画法如下： （画法不唯一） 我的发现是：平行线之间的垂线段的长度都相等。 【点睛】此题考查了垂直和平行的特征和性质。 19．见详解 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。依此画图即可。 【详解】如下图所示 点到直线的距离，垂线段最短。 【点睛】此题考查的是通过直线外一点画已知直线的垂线，熟练掌握垂直的特点是解答此题的关键。 20．见详解 【分析】长方形相邻的两条边是互相垂直的。把一张长方形纸沿着同一个方向连续对折几次，所得的折痕是互相平行的；先把这个长方形沿着长对折一次，再沿着宽对折一次，此时的折痕是互相垂直的。 【详解】答：可以让折痕互相平行或互相垂直，沿着同一个方向连续对折几次，折痕互相平行；沿着长对折一次，再沿着宽对折一次，折痕是互相垂直的。 21．见详解 【分析】直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短，过A点作马路对边的垂线段，沿垂线段走路线最短。 【详解】 理由：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短。 【点睛】本题主要考查学生对垂线特征的掌握和灵活运用。 22．她走两条路一样近；要走100米 【分析】长方形的两组对边分别相等，观察上图，路线①和路线②的长度相等，用70加上30，即可求出要走多少米。 【详解】70＋30＝100（米） 答：她走两条路一样近；要走100米。 23．1100厘米 【分析】正方形的4条边一样长，用边长乘4算出正方形框架用去的长度，然后加上剩下的长度即可求出这根铁丝原来长多少厘米。 【详解】200×4＋300 ＝800＋300 ＝1100（厘米） 答：这根铁丝原来长1100厘米。 24．见详解 【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。据此过木材加工厂这点作公路这条直线的垂线段即可。 【详解】根据分析，过木材加工厂这点作公路这条直线的垂线段，如下： 理由：因为从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短；所以这样修最省钱。 【点睛】根据垂直的性质：从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短；由此解答即可。 25．图见详解； 点与点之间，线段最短，这样明明家到菜园的距离最短（答案不唯一） 点与直线之间，垂线段最短，这样从河边到菜园的距离最短（答案不唯一） 【分析】线段：直线上任意两点之间的一段叫做线段；连接两点的线段的长度叫做两点间的距离；两点之间，线段最短； 过直线外一点作垂线：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离；过直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线；据此解答。 【详解】如图： 理由1：点与点之间，线段最短，这样明明家到菜园的距离最短。（答案不唯一） 理由2：点与直线之间，垂线段最短，这样从河边到菜园的距离最短。（答案不唯一） 26．（1）（2）见详解 【分析】（1）根据两点之间线段最短，直接用线段连接恐龙博物馆和龙立方即可得出最近的路； （2）根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短。把小河看作一条直线，恐龙博物馆看作一个点，由点向直线画垂直线段即可。 【详解】（1）一条从恐龙博物馆到龙立方最近的路。作图如下： （2）一条从恐龙博物馆通向小河最近的路。作图如下：这样画的理由：垂线段最短。 【点睛】熟练掌握两点之间，线段最短和垂线段最短的知识，是解答此题的关键。 27．（1）（2）见详解 （3）两点之间线段最短；从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。 【分析】（1）连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间线段最短。据此可知，过楼房和小屋这两个点画一条线段，这条线段就是从楼房到小屋最近的路。 （2）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要求从小屋到大街最近的路，则从小屋向大街作垂线，这条垂线即为所求。 （3）根据两点之间线段最短，以及从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这两个性质进行说明。 【详解】（1）（2） （3）（1）设计的理由是两点之间线段最短。（2）设计的理由是从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。 28．见详解 【分析】直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短，据此即可解答。 【详解】如下图，飞飞先踢到足球，因为直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。 【点睛】本题主要考查学生对垂线特征的掌握和灵活运用。 29．画图见详解；从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 【详解】画图如下： 理由：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 【点睛】此题考查的是过直线外一点作已知直线的垂线，熟练掌握垂直的特点，是解答此题的关键。 30．30个 【分析】正方形的4条边都相等，把最小的正方形的边长看成1，图中可以数出3类正方形，边长分别是1、2、3、4，求出每一类正方形的数量，相加得到总数。 【详解】边长为1的正方形：16个； 边长为2的正方形：9个； 边长为3的正方形：4个； 边长为4的正方形：1个。 16＋9＋4＋1＝30（个） 答：图中一共有30个正方形。 31．12个 【分析】平行四边形有4条直直的边，对边相等，有2对同方向的斜边。根据图形的特征数一数即可。 【详解】单独1个：5个   2个组合：4个   3个组合：2个   5个组合：1个   一共：5＋4＋2＋1＝12（个） 答：图中一共有12个平行四边形。 32．见详解 【分析】两点之间所有连线中线段最短，从直线外一点到直线所画的线段中垂线段最短；根据所有小鸡到害虫的距离，以同样的速度，哪只小鸡与害虫的距离越短，哪只小鸡就能吃到害虫，找出小鸡到害虫的线段与四只小鸡的出发线成直角的垂线段即可。 【详解】根据分析，观察图片可知，从右数第二只小鸡到害虫的距离线段与小鸡的出发线成直角，所以这只小鸡能吃到害虫。 垂线段最短。 33．（1）图见详解过程 （2）图见详解过程；因为从直线外一点到直线所有的线段中垂线段最短，即幸福镇离公路最近 【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线L重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线L重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可。 （2）这条水泥路设在A点向直线L作的垂线的垂足上即可；因为从直线外一点到直线所有的线段中垂线段最短；用三角板的一条直角边与已知直线L重合，沿重合的直线L平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿直角边向已知直线L画直线即可。 【详解】（1）（2）如下图所示： 因为从直线外一点到直线所有的线段中垂线段最短，即幸福镇离公路最近。 【点睛】本题主要考查了学生利用直尺和三角板作垂线和作平行线的能力。 34．18个 【分析】长方形是由长和宽两对线段围成的，例题图中共有多少个长方形与长的线段数有关，与宽的线段数也有关。像这类横竖规范分割的图形，数长方形的时候，可以先看长边上共有几条线段，宽边上共有几条线段，如下图所示，再用“长边上的线段总数×宽边上的线段总数”求出这个图形所包含的长方形的总个数。 【详解】 长边上的线段总数：3＋2＋1＝6（条） 宽边上的线段总数：2＋1＝3（条） 长方形的总个数：6×3＝18（个） 答：图中共有18个长方形。 【点睛】本题考查的是几何计数问题，类似于这样的方法，我们称为对应法计数。 35．图见详解；这样设计的理由是：因为小鸭子在岸上行走很吃力，所以在岸上走的路程要尽量短。因为从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段的长度最短，所以分别从A、B两点作到岸边的垂线，这时小鸭子在岸上走的路线最短，因为两点之间线段最短，所以在河里的路线就是连接岸边两个垂足的线段。 【分析】两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直；在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。点到直线的距离，垂线段最短，据此解答。 【详解】如图所示：    这样设计的理由是：因为小鸭子在岸上行走很吃力，所以在岸上走的路程要尽量短。因为从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段的长度最短，所以分别从A、B两点作到岸边的垂线，这时小鸭子在岸上走的路线最短，因为两点之间线段最短，所以在河里的路线就是连接岸边两个垂足的线段。 【点睛】本题考查最短路线问题，熟练掌握过直线外一点作直线的垂线的方法是解答本题的关键。 36．见详解 【分析】从直线外一点到一条直线画几条线段，通过测量可知，从直线外一点能向这条直线画无数条线段，其中垂线段最短。并且这点到直线只能画一条垂线段。据此解答即可。 【详解】 通过测量可得： 线段AB＝7厘米 线段AC＝4厘米 线段AD＝5厘米 线段AE＝6厘米 AC＜AB，AC＜AD，AC＜AE 我发现：从直线外一点能向这条直线画无数条线段，其中垂线段最短，并且这点到直线只能画一条垂线段。 37．图见详解；2 【分析】把直角三角尺一条直角边与已知直线重合，使得点A在另一条直角边上，沿着这条直角边过点A向已知直线画线段即为所求的垂线；再把直尺的零刻度线与点A重合，垂线段与直线的交点指向直尺的哪个刻度，那么这条垂线段的长度就是几厘米。 【详解】 A点到已知直线的距离是2厘米。 38．（1）见详解（2）垂直于两条平行线的线段互相平行。 【分析】（1）用三角尺直角的两边，一边与其中一条线重合，另一条边即是垂线，据此画出三条即可。 （2）发现三条线段互相平行，因此垂直于两条平行线的线段互相平行。 【详解】 （1）如图： （2）垂直于两条平行线的线段互相平行。 39．见详解；3； 【分析】过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可；依此画图。 从直线外一点到这条直线的垂直线段的长度叫作点到直线的距离，依此观察图形即可解答。 【详解】根据分析，画图如下：   通过观察可知，A点到已知直线的距离是3厘米。 【点睛】此题考查的是过直线外一点画平行线，应熟练掌握垂直与平行的特点。 40．（1）图见详解 理由：两点间线段最短 （2）图见详解 理由：直线外一点到这条直线所画的垂线段最短 【分析】（1）两点间线段最短，连接艺术楼和教学楼即可； （2）直线外一点到这条直线所画的垂线段最短，过艺术楼向操场作垂线，则艺术楼与交点间的距离就是艺术楼到操场最近的路。 【详解】 （1） 理由：两点间线段最短。 （2） 理由：直线外一点到这条直线所画的垂线段最短。 41．（1）见详解； （2）点到直线的距离，重线段最短。 【分析】（1）从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。据此过东村这点作小河这条直线的垂线段即可。 （2）根据垂直的性质说说这样画的理由即可。 【详解】（1）根据分析，过东村这点作小河这条直线的垂线段，如下： （2）我这样画的理由是：点到直线的距离，重线段最短。 【点睛】根据垂直的性质：从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短；由此解答即可。 42．画框挂正了；道理见详解 【分析】根据平行线的含义，观察画框下面的那条边和地面间的距离是不是处处相等，如果相等则那条边就和地面平行，画框就挂得正，如果不是，则挂得不正。 【详解】画框挂正了，因为画框的一边与地面间的距离处处相等，说明这边和地面互相平行，所以画框挂正了。（道理合理即可） 43．图见详解 ①两点间线段最短；②点到直线距离，垂线段最短 【分析】淘气拿工具箱时行走的最近路线：直接连接淘气所在的位置与A点，此线段就是最短距离；两点间线段最短。 淘气拿着工具箱去挖宝行走的最近路线：过A点作图中直线的垂线段，此垂线段就是最短距离；点到直线距离，垂线段最短。 【详解】 我的理由：①两点间线段最短。    ②点到直线距离，垂线段最短。 44．从幸福小区到小河作垂线段；画图见详解 【分析】根据从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，要从幸福小区向小河挖一条通水管道，要使管道最短，就要从幸福小区到小河作垂线段。 【详解】要使管道最短，就要从幸福小区到小河作垂线段；画图如下： 【点睛】本题考查了学生对垂线段最短的掌握情况，同时检查了学生的作图能力，及利用数学知识解决实际问题的能力。注意垂线段最短。 45．（1）见详解 （2）平行 【分析】（1）把起跳线看作一条直线，跳到的位置看作一个点，画出点到直线的距离，就是两次跳远的距离； （2）根据在同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可知所画的两条线段互相平行。 【详解】 （1）如图： （2）所画的两条线段互相平行。 46．见详解 【分析】长方形的两组对边分别相等；读图可知，这个长方形的长是2根小棒，宽是1根小棒，需要摆成一个完整的长方形，需要2根小棒摆长边（长），1根小棒摆短边（宽），即需要3根小棒； 正方形的四条边长度都相等。这个正方形的边长是2根小棒，还需要3个2根，才能围成一个正方形。据此解答。 【详解】2＋1＝3（根） 2×3＝6（根） 摆如图中的长方形还需要3根小棒；摆如图中的正方形还需要6根小棒。 作答如下： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $