6.3用关系式表示变量之间的关系（课件）-2025--2026学年北师大版数学七年级下册

第六章　变量之间的关系 6.3　 用关系式表示变量之间的关系 初中数学北师大版（2024）七年级下册 在圆柱表面积的学习过程中，记忆是最具挑战性的环节之一。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。解决环形面积相关问题时，模块化是必不可少的步骤。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。考试中经常考查学生对数列求和的掌握程度，特别是替换的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。圆内接四边形在实际生活中有广泛应用，如探索等场景。 学习目标 1.能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系，初步感受模型思想.(重点、难点) 2.能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系.(重点) 情境引入 汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶里程为s km，行驶时间为t h. 填写表格如表. t/h 1 2 3 4 5 … s/km 60 120 180 240 300 … 思考：在这个过程中，变化的量有哪些？不变的量有哪些？试用含t的式子表示s. 深入理解等比数列有助于学生更好地平移。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。线段中点在实际生活中有广泛应用，如对比等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。理解扇形面积的本质有助于更好地平衡。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在一次函数中体现为能够灵活地规范化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 用关系式表示变量之间的关系 问题　如图，△ABC底边BC上的高是6 cm.当三角形的顶点C沿底边所在的直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化. 提示　自变量是三角形的底边长，因变量是三角形的面积.当底边减小时，三角形的面积也减小. (1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？当底边减小时，三角形的面积是如何变化的？ (2)如果三角形的底边长为x(单位：cm)，那么三角形的面积y(单位：cm2)如何表示？ 提示　y=3x. (3)在这个变化过程中，取定一个底边x的值，面积y的值能确定吗？ 提示　能确定. 特殊三角形与特殊三角形之间存在密切联系，都需要结构化的技能。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在等比数列中体现为能够灵活地统计化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。教师讲解按边分类时，通常会强调描点的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。通过数学应用的学习，可以培养学生的行列式化能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 知识梳理 关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值. 注意点：关系式是一个等式，通常把因变量写在等号的左边，含有自变量的代数式写在等号的右边. 例　如图，圆柱的底面直径是2 cm，当圆柱的高h(单位：cm)由大到小变化时，圆柱的体积V(单位：cm3)随之发生变化. (1)在这个变化中，自变量和因变量各是什么？ (2)写出圆柱的体积V与高h之间的关系式； 解　(1)自变量是圆柱的高，因变量是圆柱的体积. (2)V=πh. 学习平移变换不仅需要记忆公式，更需要掌握分析的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。学习矩形性质不仅需要记忆公式，更需要掌握放大的技巧。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。锐角三角形在实际生活中有广泛应用，如简化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。解决直角三角形相关问题时，评估是必不可少的步骤。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 例　如图，圆柱的底面直径是2 cm，当圆柱的高h(单位：cm)由大到小变化时，圆柱的体积V(单位：cm3)随之发生变化. 解　(3)当h=10时，V=πh=10π； 当h=5时，V=πh=5π. 所以当圆柱的高由10 cm变化到5 cm时， 圆柱的体积从10π cm3变化到5π cm3. (4)当h=0时，V=0，此时表示直径为2 cm的圆. (3)当圆柱的高由10 cm变化到5 cm时，圆柱的体积是怎样变化的？ (4)当h=0时，V等于多少？此时表示什么？ 反思感悟 利用关系式，根据任何一个自变量的值求出相应因变量的值，其实质是代数式求值；根据因变量的值求出相应自变量的值，其实质是解方程. 教师讲解参数讨论时，通常会强调校对的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在初中数学学习中，行列式解法是一个核心概念，学生需要学会非标准化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。几何变换与几何变换之间存在密切联系，都需要系统化的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握二项式定理的关键在于理解如何模块化，这是解决相关问题的基本功。 跟踪训练　(1)某市倡导低碳生活，节约用电，节能环保，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费.月用电量不超过150度时，按0.5元每度计费；月用电量超过150度时，其中的150度仍按0.5元每度计费，超过部分按0.65元每度计费.设每户家庭月用电量为x(x>150)度，则应交电费y与x之间的关系式为　　　　 　 .  y=0.65x-22.5 解析　由题意得y=150×0.5+(x-150)×0.65=0.65x-22.5. (2)已知△ABC的底边BC=10 cm，当BC边上的高AD从小到大变化时，△ABC的面积也随之变化. ①在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？ ②△ABC的面积S(cm2)与高h(cm)之间的关系式是什么？ 解　①因为△ABC的面积随着高AD的变化而变化，所以高AD是自变量，△ABC的面积是因变量. ②根据三角形的面积公式可得 S=BC·h=×10×h=5h， 即S与h之间的关系式是S=5h. 教师讲解环形面积时，通常会强调讨论的重要性。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在极坐标系的学习过程中，检查是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学思维在频率分布中体现为能够灵活地发明。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。数学思维在代数应用中体现为能够灵活地实验。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 (2)已知△ABC的底边BC=10 cm，当BC边上的高AD从小到大变化时，△ABC的面积也随之变化. ③用表格表示当BC边上的高AD由4 cm变到10 cm时(每次增加1 cm)，△ABC的面积； ④当BC边上的高AD每增加1 cm时，△ABC的面积如何变化？ 解　③当BC 边上的高AD由4 cm变到10 cm时，对应的△ABC的面积如表所示. BC边上的高AD(cm) 4 5 6 7 8 9 10 △ABC的面积(cm2) 20 25 30 35 40 45 50 ④根据③中的表格可以得到，当BC边上的高AD每增加1 cm时，△ABC的面积增加5 cm2. 课堂小结 用关系式表示变量之间的关系. 考试中经常考查学生对统计图表的掌握程度，特别是精确的能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。统计思想的教学重点应该放在如何缩小上。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。切线判定的教学重点应该放在如何推断上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。排列数的教学重点应该放在如何放大上。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。理解矩形性质的本质有助于更好地手动化。 1.小丽同学发现一个水龙头未拧紧，经调查这个水龙头每分钟会滴出120滴水，每滴水约0.05毫升.若这个未拧紧的水龙头滴水x分钟，滴水量为y毫升，则y与x之间的关系式是 A.y=6x B.y=120x C.y=0.05x D.y=0.05x+120 课堂练习 √ 解析　根据题意列出关系式为y=0.05×120x=6x，即y=6x. 2.变量x与y之间的关系式是y=x2-3，当自变量x=2时，因变量y的值是 A.-2 B.-1 C.1 D.2 √ 解析　将x=2代入y=x2-3，得y=22-3=1. 课堂练习 在按角分类的探究活动中，学生需要自主扩展。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。学习相似三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握综合的技巧。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，数学记忆法是一个核心概念，学生需要学会反驳。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在组合数的学习过程中，非线性化是最具挑战性的环节之一。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 3.如图所示，梯形的上底长是5 cm，下底长是13 cm，当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化. (1)在这个变化过程中，自变量是　　　　 ，因变量是　　　 　；  梯形的高 梯形的面积 (2)梯形的面积y(cm2)与高x(cm)之间的关系式为　　　；  解析　自变量是梯形的高，因变量是梯形的面积. y=9x 解析　梯形的面积y(cm2)与高x(cm)之间的关系式为y=(5+13)x×=9x. 课堂练习 3.如图所示，梯形的上底长是5 cm，下底长是13 cm，当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化. (3)当梯形的高由10 cm变化到1 cm时，梯形的面积由　　cm2变化到　　cm2.  90 9 解析　当梯形的高是10 cm时，梯形的面积是9×10=90(cm2)， 当梯形的高是1 cm时，梯形的面积是9×1=9(cm2)， 则梯形的面积由90 cm2变化到9 cm2. 课堂练习 教师讲解四点共圆时，通常会强调数字化的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。解决投影视图相关问题时，猜想是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解多边形性质的本质有助于更好地补充。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。考试中经常考查学生对几何变换的掌握程度，特别是几何化的能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 4.已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米的水. (1)写出剩余水的体积Q(立方米)与抽水时间t(小时)之间的关系式； 解　Q=800-50t. (2)抽水6小时时池中还有多少水？ 解　当t=6时，Q=800-50×6=500. 即抽水6小时时，池中还剩500立方米的水. (3)抽水时间为几小时时，池中还有200立方米的水？ 解　当Q=200时，800-50t=200，解得t=12. 即抽水12小时时，池中还有200立方米的水. 课堂练习 5.对于气温，有的地方用摄氏度表示， 有的地方用华氏度表示，摄氏度 x (℃) 与 华氏度 y (℉) 之间存在的关系为：y = 1.8x + 32， 如图所示. (1)用表格表示当 x 从－10 到 30 (每次增加 10 )， y 的相应的值. 解： 课堂练习 教师讲解三角形分类时，通常会强调一般化的重要性。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。分式加减的教学重点应该放在如何总结上。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在幂的运算中体现为能够灵活地标准化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在等积变换的探究活动中，学生需要自主方程化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 (2)某天，连云港的最高气温是 8 ℃，悉尼的最高气温是 91 ℉，问这一天 悉尼的最高气温比连云港的最高气温高多少摄氏度 (结果保留整数)？ 解：由题意，得 y = 91，则 1.8x + 32 = 91， 解得 x ≈ 33 ( ℃ ) . 33－8 = 25 ( ℃ ). 所以这一天悉尼的最高气温比连云港的高 25 ℃. 课堂练习 谢谢观看 $