精品解析：山东济南市槐荫区2025—2026学年第二学期期中考试七年级数学试题

2025～2026学年度第二学期期中质量检测七年级数学 本试题分试卷和答题卡两部分．第I卷满分为40分；第II卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图是杠杆受力示意图，重力与拉力的方向均竖直向下（两力所在直线互相平行）．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四个图形中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 3. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. B.     C. D. 4. 数学课上老师用双手形象地表示了“三线八角”图形，如图所示两大拇指代表被截直线，食指代表截线，则图中表示的是（ ） A. 同旁内角 B. 同位角 C. 内错角 D. 补角 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 面积相等的两个三角形全等 C. 同旁内角互补 D. 相等的两个角是对顶角 6. 如图，已知，且，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当（　　）时，木条a与b平行． A. B. C. D. 8. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，要说明添加的条件可以是 （ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AD是∠BAC的平分线，则∠ADC的大小为(　　) A. 25° B. 50° C. 65° D. 70° 10. 如图，，的平分线交于点，是上一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有2个；④若，则；其中正确的有（ ）． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 已知与互余，若，则__________． 12. 如图，如果，那么，其依据是______． 13. 如图，在中，是边的中线，若面积为10，则的面积为__________． 14. 如图所示，已知点在直线上，和是射线，若，，那么和的位置关系是_____． 15. 已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长是________________． 16. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为________． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 如图，两条直线相交，．求的度数． 18. 如图，，请根据要求解决下列问题： （1）作直线交直线于点，交直线于点（请在图中标注交点）； （2）找出图中的一组同位角（请用数字表示，并标注在图中）； （3）找出图中的一组内错角（请用字母表示）． 19. 如图，在中，，． （1）画出的角平分线； （2）求的度数． 20. 如图，已知，试说明：． 21. 请完成以下定理的证明：同旁内角互补，两直线平行． 已知：如图，和是直线被直线截出的同旁内角，且与互补． 求证：． 证明：与互补（已知）， _____（互补的定义）， _____（等式的基本性质）， _____（平角的定义）， _____（等式的基本性质）， （_______________）， __________（_____________）． 22. 如图，在中，，，的平分线交于点，点在上，且．求的度数． 23. 如图，已知四边形，点 E 是射线上一点，连接交线段于点F， 若，． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，平分， 求的大小． 24. 如图，，，，点在边上． （1）求证：； （2）判断与的数量关系，并说明理由． 25. 小亮和同学一起探究下面的问题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角满足什么数量关系．大家通过讨论画出了如图的两个图形，结合图1、图2进行探究． （1）如图1，已知与，，，与的数量关系是______；（请将如下证明补充完整） 证明：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （______）， ______（等量代换）． （2）如图2，已知与，与的数量关系是______；（请写出证明过程） （3）综上所述，我们发现如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角______． 26. 如图，，求度数． 小明的思路是：过点作，如图2，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，求得的度数为______度； （2）如图3，，点在射线上运动，，，当点在、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请证明你的结论． （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出间的数量关系．（本题的解答过程不需要写理由．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期中质量检测七年级数学 本试题分试卷和答题卡两部分．第I卷满分为40分；第II卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图是杠杆受力示意图，重力与拉力的方向均竖直向下（两力所在直线互相平行）．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可. 【详解】解：∵两力所在直线互相平行，， ∴. 2. 下面四个图形中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对顶角的定义：如果两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角．结合图形逐个选项判断即可． 【详解】解：A、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； C、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； D、符合对顶角的定义，故本选项符合题意． 3. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. B.     C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质，根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可．熟记垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：A、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； C、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意； D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 数学课上老师用双手形象地表示了“三线八角”图形，如图所示两大拇指代表被截直线，食指代表截线，则图中表示的是（ ） A. 同旁内角 B. 同位角 C. 内错角 D. 补角 【答案】A 【解析】 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案． 【详解】解：图中表示的是同旁内角． 故选：A 【点睛】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 面积相等的两个三角形全等 C. 同旁内角互补 D. 相等的两个角是对顶角 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质，全等三角形的性质，对顶角的性质等逐一对选项进行分析即可. 【详解】A选项中，两直线平行，同位角相等，说法正确，是真命题； B选项中，一个三角形底为3，高为4，另一个三角形底为6，高为2，面积相等但不全等，是假命题； C选项中，只有两直线平行时，同旁内角才互补，是假命题； D选项中，相等的两个角不一定是对顶角，也可能是同位角，内错角等，是假命题. 故选：A. 【点睛】本题主要考查真命题，会判断命题的真假是解题的关键. 6. 如图，已知，且，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质以及线段的和差求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 7. 如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当（　　）时，木条a与b平行． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据题意可知，再结合“同位角相等，两直线平行”得出答案． 【详解】解：如图， 木条转动时． 当时，． ∴当时，木条a与b平行． 故选：A． 8. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，要说明添加的条件可以是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， 、当添加时，对应条件为，不能证明，该选项不合题意； 、当添加时，不能证明，该选项不符合题意； 、当添加时，不能证明，该选项不符合题意； 、当添加时，，即，根据能证明，该选项符合题意． 故选：D． 9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AD是∠BAC的平分线，则∠ADC的大小为(　　) A. 25° B. 50° C. 65° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC，再根据AD是角平分线求出∠BAD，最后再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出． 【详解】解：∵∠C=90°，∠B=40°， ∴∠BAC=90°−40°=50°， ∵AD是角平分线， ∴∠BAD=∠BAC=25°， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+25°=65°， 故选C． 【点睛】此题考查了角平分线的定义和三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 10. 如图，，的平分线交于点，是上一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有2个；④若，则；其中正确的有（ ）． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出和的关系，再根据角平分线的性质找出图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论． 【详解】解：， ，， 又， ， 平分，故①正确； ， ， 平分， ， ， ， ，故②正确， ， ， ， 与互余的角有，，，，有个， 故③错误， ，， 又， ，故④正确， 综上，正确的有①②④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，关键是要牢记平行线的三个性质，即两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补． 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 已知与互余，若，则__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】用减去，即可求解． 【详解】解：∵与互余，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义是解题的关键． 12. 如图，如果，那么，其依据是______． 【答案】两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质，即可解答． 【详解】解：如果，那么，其依据是两直线平行，同位角相等， 故答案为：两直线平行，同位角相等． 13. 如图，在中，是边的中线，若面积为10，则的面积为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据三角形的中线与面积的关系可进行求解． 【详解】解：∵是边的中线，且面积为10， ∴； 故答案为5． 【点睛】本题主要考查三角形的中线与面积的关系，熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 14. 如图所示，已知点在直线上，和是射线，若，，那么和的位置关系是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平角的定义，求出的度数，即可得出结果. 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 15. 已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长是________________． 【答案】11或13##13或11 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的定义与三角形三边关系．此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．由等腰三角形两边长为3、5，分别从等腰三角形的腰长为3或5去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形． 【详解】解：①若等腰三角形的腰长为3，底边长为5， ， 能组成三角形， 它的周长是：； ②若等腰三角形的腰长为5，底边长为3， ， 能组成三角形， 它的周长是：， 综上所述，它的周长是：11或13． 故答案为：11或13 16. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为________． 【答案】##150度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．过顶点O作直线，直线l将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过顶点O作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 如图，两条直线相交，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据对顶角相等，邻补角互补，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴. 18. 如图，，请根据要求解决下列问题： （1）作直线交直线于点，交直线于点（请在图中标注交点）； （2）找出图中的一组同位角（请用数字表示，并标注在图中）； （3）找出图中的一组内错角（请用字母表示）． 【答案】（1） 由题意，作图如下： （2） 如（1）图，、、、为四组同位角； （3） 由图可知，和是一组内错角，和是一组内错角. 【解析】 【分析】（1）根据题意，画出直线即可； （2）根据同位角的定义，进行作答即可； （3）根据内错角的定义，进行作答即可. 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：略， 19. 如图，在中，，． （1）画出的角平分线； （2）求的度数． 【答案】（1） 由题意，画图如下： （2） 【解析】 【分析】1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可. 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：∵，，为的角平分线， ∴， ∴． 20. 如图，已知，试说明：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，邻补角求出的度数，进而得到，即可得证． 【详解】略 21. 请完成以下定理的证明：同旁内角互补，两直线平行． 已知：如图，和是直线被直线截出的同旁内角，且与互补． 求证：． 证明：与互补（已知）， _____（互补的定义）， _____（等式的基本性质）， _____（平角的定义）， _____（等式的基本性质）， （_______________）， __________（_____________）． 【答案】 证明：与互补（已知）， （互补的定义）， （等式的基本性质）， （平角的定义）， （等式的基本性质）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 【解析】 【分析】根据互补的定义，等式的基本性质，等量代换和同位角相等，两直线平行，进行作答即可. 【详解】略． 22. 如图，在中，，，的平分线交于点，点在上，且．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】三角形的内角和定理，求出的度数，角平分线求出的度数，根据平行线的性质，求出的度数. 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴. 23. 如图，已知四边形，点 E 是射线上一点，连接交线段于点F， 若，． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，平分， 求的大小． 【答案】（1） ，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角互补，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合邻补角互补相等，则，结合可得，即可作答． （2），平分，所以，因为，则．即可作答． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：∵，平分， ∴， ∵， ∴． 24. 如图，，，，点在边上． （1）求证：； （2）判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴； （2） 解：，理由如下： 由（1）知： ， ∴. 【解析】 【分析】（1）利用证明两个三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质，即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 小亮和同学一起探究下面的问题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角满足什么数量关系．大家通过讨论画出了如图的两个图形，结合图1、图2进行探究． （1）如图1，已知与，，，与的数量关系是______；（请将如下证明补充完整） 证明：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （______）， ______（等量代换）． （2）如图2，已知与，与的数量关系是______；（请写出证明过程） （3）综上所述，我们发现如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角______． 【答案】（1）；两直线平行，同旁内角互补；； （2） 解：与的数量关系是； 证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）． （3）互补或相等 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和等量代换进行作答即可； （2）根据平行线的性质和等量代换进行作答即可； （3）由（1）（2）直接得出结论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）（2）可知，两个角互补或相等. 26. 如图，，求度数． 小明的思路是：过点作，如图2，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，求得的度数为______度； （2）如图3，，点在射线上运动，，，当点在、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请证明你的结论． （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出间的数量关系．（本题的解答过程不需要写理由．） 【答案】（1） （2） 解：，证明如下： 如图3所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当点在直线左侧时，；当点在直线右侧时， 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定和性质求解； （2）过点作，根据平行线的判定和性质证明； （3）分两种情况进行讨论，根据平行线的判定和性质求解． 【小问1详解】 解：过点作， ∵， ∴， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当点在直线左侧时， 如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点在直线右侧时， 如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，当点在直线左侧时，；当点在直线右侧时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $