精品解析：山东省济南市槐荫区2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷

2024～2025学年度第二学期期中质量检测 七年级数学 （2025.4） 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小美、小好两人同时出“布”的事件是（　　） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：“石头、剪刀、布”的游戏中，小美、小好两人同时出“布”的事件是随机事件， 故选：． 2. 在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有0.000015米，将数据0.000015用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数据0.000015用科学记数法表示为， 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式运算，根据同底数幂的乘除法、积的乘方与积的乘方运算法则，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，故原运算错误，不符合题意； B、，故原运算正确，符合题意； C、，故原运算错误，不符合题意； D、，故原运算错误，不符合题意． 故选：B． 4. 如图，利用工具测量角，则的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】A 【解析】 【分析】利用对顶角相等求解． 【详解】解：量角器测量的度数为30°， 由对顶角相等可得，． 故选A． 【点睛】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键． 5. 在两千多年前，我们的祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴（两直线平行同位角相等）． 故选：C． 6. 若，则m、n的值分别为（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】将左边的式子展开，然后与右边的式子进行对比，从而确定和的值．本题主要考查了多项式乘法法则，熟练掌握多项式乘法法则是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：B． 7. 综合实践课上，同学们做用频率估计概率的试验．如图，一个质地均匀的转盘被平均分成等份，分别标有，，，，，，，，，．转盘的指针每次停止转动后，记录下指针指向的数字（指针指向边界时不记录结果，重新转动一次）．其中有一个小组将记录的试验数据进行整理，绘制的频率随试验次数变化趋势图如图所示，则这个小组记录的试验可能是（ ） A. 指针指向的数字能被整除 B. 指针指向的数字是偶数 C. 指针指向的数字比大 D. 指针指向的数字能被整除 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据图可知，试验的概率为，逐一进行判断即可，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题的关键． 【详解】解：由图可知，当转动次数为次时，频率为，故该事件的概率约为． 、转动转盘后，出现能被整除的数有个，概率为，符合题意； 、转动转盘后，数字是偶数的有个，概率为，不符合题意； 、转动转盘后，数字比大的数有个，概率为，不符合题意； 、转动转盘后，数字能被整除的数有个，概率为，不符合题意； 故选：． 8. 如图，，若，，则等于（　　） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 9. 四边形边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ∴，即， 当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去； 若时，为等腰三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 10. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．请用此规律解决如下问题：若今天是星期三，经过天后是星期几？（ ） 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …… …… A. 星期二 B. 星期三 C. 星期四 D. 星期五 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，能将2025改写为及熟知展开式的特征是解题的关键．将2025改写为，再根据展开式的特征即可解决问题． 【详解】解：由题知，． 因为展开式中出了除了最后一项，其余项都是2023的倍数，且2023能被7整数， 所以余1， 所以若今天是星期三，经过天后是星期四． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 一个角的度数是63度，则这个角的补角的度数是_______度． 【答案】117 【解析】 【分析】本题考查求一个角的补角，根据两个角的和是，那么这两个角互为补角求解即可． 【详解】解：∵一个角的度数是63度， ∴这个角的补角的度数是（度）， 故答案为：117． 12. 计算的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，根据进行运算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 13. “二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动而形成的时间知识体系，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“谷雨”，4张“立夏”，1张“小满”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“谷雨”的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了随机事件可能性的大小，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题关键．根据在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“谷雨”，进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵在一个不透明盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“谷雨”， ∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“谷雨”的概率为． 故答案为：． 14. 如图，中，，为边上的中线，若的周长为22，则的周长是______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵的周长为22， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长， 故答案为：24． 15. 若，则的值为_______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，代数式求值．先运用平方差公式与合并同类项法则对式子化简，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴． 故答案为：17 16. 如图，已知．不添加辅助线，请再添加一个条件，使成立．四位同学分别给出了答案，①；②；③；④．你认为正确的有________（请填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 由平行线的性质得，结合等式的性质可判断①；由得，从而可判断②；添加无法证明，可判断③；由可知，从而可判断④． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ②∵， ∴，故正确； ③添加无法证明，故错误； ④∵， ∴，故正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及多项式除以单项式、同底数幂的乘法、积的乘方，正确求解是解答的关键． （1）根据多项式除以单项式的运算法则求解即可； （2）先根据同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则求解，再合并同类项即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂和绝对值，然后计算加减． 【详解】解： ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟记乘法公式并正确求解是解答的关键．先利用完全平方公式和平方差公式化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时，． 20 请完善以下说明过程：如图，已知，试说明：． 证明：因为， 根据_________（填写推理依据） 所以_________． 因为， 根据等量代换， 所以_______， 根据_______（填写推理依据） 所以． 【答案】两直线平行，内错角相等；C；；同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键．根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：证明：因为， 根据两直线平行，内错角相等； 所以． 因为， 根据等量代换， 所以， 根据同旁内角互补，两直线平行， 所以． 故答案为：两直线平行，内错角相等；C；；同旁内角互补，两直线平行． 21. 如图是某汽车标志图案的简化图形，其中蕴含这一些几何知识，根据下面的条件解决问题． 如图，， （1）与平行吗？为什么？ （2）若，求的度数 【答案】（1）平行，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判断与性质，灵活运用平行线的判断与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质证明，从而得到，继而得解； （2）利用平行线的性质得到，继而得解． 【小问1详解】 解：平行，理由如下： 因为 所以 因为 所以 所以 【小问2详解】 解：因为 所以 所以 22. 如图为网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点O、点A、点B均在格点上，请利用网格，用无刻度的直尺根据下列要求完成画图． （1）画线段； （2）过点A画线段的平行线m； （3）过点O画线段的垂线，垂足为D； （4）在线段中，最短的线段为_______，判断理由是_____． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4），垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查作图，垂线段最短． （1）连接，，即可； （2）点O可以看作由点B向上平移1个单位长度，向左平移3个单位长度得到，将点A也作同样的平移，得到点，则由平移的性质得到，作过点A，的直线m即为所求； （3）根据网格特点可直接解答； （4）根据垂线段最短进行解答． 【小问1详解】 解：如图，线段为所求； 【小问2详解】 解：如图，直线m为所求； 【小问3详解】 解：如图，为所求垂线． 【小问4详解】 解：在线段中，最短的线段为，判断理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 23. 下表是某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子粒数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 473 954 1906 4745 发芽频率 0.940 0.955 0.946 b 0.953 0.949 （1）上表中的__________，__________； （2）任取一粒这种植物种子，它能发芽的既率的估计值是__________（精确到0.01）； （3）若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【答案】（1）191；0.954 （2）0.95 （3）10000粒 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量： （1）根据频率等于频数除以总数，进行计算即可； （2）利用频率估算概率即可； （3）利用概率计算数量即可． 【小问1详解】 解：； ； 故答案为：191；0.954 【小问2详解】 由表格可知：它能发芽的概率的估计值是0.95； 【小问3详解】 粒； 答：估算需要准备10000粒种子进行发芽培育． 24. 已知中，，为边上的高，平分，分别交于点F、E． （1）试说明； （2）若，试着求出的度数； （3）猜想与的数量关系：______（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】（1）见解析 （2） （3）= 【解析】 【分析】（1），为边上的高，得 ，，即得； （2）根据， ，平分，可得； （3）根据. . ，，即得． 【小问1详解】 解：∵中，， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴. ∵， ∴. ∵平分， ∴， ∴. ∵， ∴， 即． 故答案为：=． 【点睛】本题考查了三角形内角和．熟练掌握直角三角形两锐角性质，角平分线定义，余角性质，三角形外角性质，是解题的关键． 25. 【阅读材料】 我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．例如，教材在探究平方差公式与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法． 【类比探究】 （1）利用图1中面积的等量关系可以得到的数学公式为_______（请填序号）． ① ② ③ ④ 【解决问题】 （2）利用【类比探究】中得到的结论，解决下列问题： ①已知，则_______； ②若，求的值； 【拓展应用】 （3）如图，点E是线段上的一点，在线段的同侧作以为边的正方形，设，两正方形的面积和为50，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）②；（2）①；②50；（3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练地进行计算是解题的关键． （1）阴影部分是边长为的正方形，可以看作大正方形面积减去空白部分的面积，根据面积相等可得； （2）①根据完全平方公式变形，即可求解; ②设，，则，，进而根据完全平方公式变形计算即可求解; （3）设长为长为y，根据题意得到，然后求出，然后利用完全平方公式的变形求解即可. 【详解】解：（1）利用图1中面积的等量关系可以得到的数学公式为; 故答案为：②; （2）①，，而， ， ， 故答案为：； ②设，，则，， ； （3）设长为长为y， 两正方形的面积和为50， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积 26. 【问题初探】 数学课上，老师出示了这样一道题目：如图1，已知，点E、F分别在上，为垂足，，求的度数．经过讨论，创新小组、勤奋小组、超越小组用不同的方法添加了辅助线，并进行了交流： 创新小组：“如图2，过点E作，交于点O，经过推理，能求出的度数．” 勤奋小组：“如图3，过点P作，经过推理，可以求出的度数．” 超越小组：“如图4，过点F作，交于点Q，经过推理，能求出的度数．” 【问题解决】 （1）请你根据同学们所画的图形，猜想：_______度； （2）如图2，请你结合创新小组的方法，完成验证结论的过程； 过点E作，交于点Q， ， ， ∴________， ． 在上，， ，_______， ，∴_______， ， ∴______， _______． （3）根据勤奋小组所画的图3或超越小组所画的图4，请你选择其中一种方法，求出的度数； （4）回顾借助添加平行线分析和解决问题的过程，你得到了哪些解决此类问题的策略？（30字以内） 【类比分析】 （5）为帮助同学更好的运用以上解题策略，老师又提出了一个问题：如图5，平分，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）见解析；（5） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加辅助线，利用平行线的性质探究角度的关系是解答的关键． （1）根据平行线的性质可得结论； （2）根据平行线的性质推导填空即可； （3）选图3，过点P作，利用平行线的性质和垂直定义可求解；选图4，过点F作，交于点Q，利用平行线的性质和垂直定义可求解； （4）三种解题思路都利用了平行线的“等角转化”的功能，它体现了转化数学思想； （5）设，过点P作，利用平行线性质得到，，则有，进而可得结论． 【详解】解：（1）可以猜测：， 故答案为：30； （2）过点E作，交于点Q， ， ， ∴， ． 在上， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ． 故答案为：； （3）选图3，过点P作， ， ， ， ， ， ， ， ． 选图4，过点F作，交于点Q， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 在上， ， ， ． （4）三种解题思路都利用了平行线的“等角转化”的功能，它体现了转化数学思想．（意思正确即可） （5） 证明：设，过点P作， ， ， ， ， ， ∵，， ， ， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期期中质量检测 七年级数学 （2025.4） 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小美、小好两人同时出“布”的事件是（　　） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 2. 在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有0.000015米，将数据0.000015用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，利用工具测量角，则的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 5. 在两千多年前，我们的祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则m、n的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 综合实践课上，同学们做用频率估计概率的试验．如图，一个质地均匀的转盘被平均分成等份，分别标有，，，，，，，，，．转盘的指针每次停止转动后，记录下指针指向的数字（指针指向边界时不记录结果，重新转动一次）．其中有一个小组将记录的试验数据进行整理，绘制的频率随试验次数变化趋势图如图所示，则这个小组记录的试验可能是（ ） A. 指针指向的数字能被整除 B. 指针指向的数字是偶数 C. 指针指向的数字比大 D. 指针指向的数字能被整除 8. 如图，，若，，则等于（　　） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 9. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 我国古代数学许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．请用此规律解决如下问题：若今天是星期三，经过天后是星期几？（ ） 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …… …… A. 星期二 B. 星期三 C. 星期四 D. 星期五 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 一个角的度数是63度，则这个角的补角的度数是_______度． 12. 计算的结果为______． 13. “二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动而形成的时间知识体系，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“谷雨”，4张“立夏”，1张“小满”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“谷雨”的概率为_______． 14. 如图，中，，为边上的中线，若的周长为22，则的周长是______． 15. 若，则的值为_______． 16. 如图，已知．不添加辅助线，请再添加一个条件，使成立．四位同学分别给出了答案，①；②；③；④．你认为正确的有________（请填序号）． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 18. 计算： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 请完善以下说明过程：如图，已知，试说明：． 证明：因为， 根据_________（填写推理依据） 所以_________． 因为， 根据等量代换， 所以_______， 根据_______（填写推理依据） 所以． 21. 如图是某汽车标志图案的简化图形，其中蕴含这一些几何知识，根据下面的条件解决问题． 如图，， （1）与平行吗？为什么？ （2）若，求的度数 22. 如图为网格，每个小正方形边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点O、点A、点B均在格点上，请利用网格，用无刻度的直尺根据下列要求完成画图． （1）画线段； （2）过点A画线段平行线m； （3）过点O画线段的垂线，垂足为D； （4）在线段中，最短的线段为_______，判断理由是_____． 23. 下表是某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子粒数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 473 954 1906 4745 发芽频率 0.940 0.955 0.946 b 0.953 0.949 （1）上表中的__________，__________； （2）任取一粒这种植物种子，它能发芽的既率的估计值是__________（精确到0.01）； （3）若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 24. 已知中，，为边上的高，平分，分别交于点F、E． （1）试说明； （2）若，试着求出的度数； （3）猜想与的数量关系：______（填“>”、“<”或“=”）． 25. 【阅读材料】 我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．例如，教材在探究平方差公式与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法． 【类比探究】 （1）利用图1中面积等量关系可以得到的数学公式为_______（请填序号）． ① ② ③ ④ 【解决问题】 （2）利用【类比探究】中得到的结论，解决下列问题： ①已知，则_______； ②若，求的值； 【拓展应用】 （3）如图，点E是线段上的一点，在线段的同侧作以为边的正方形，设，两正方形的面积和为50，求图中阴影部分面积． 26. 【问题初探】 数学课上，老师出示了这样一道题目：如图1，已知，点E、F分别在上，为垂足，，求的度数．经过讨论，创新小组、勤奋小组、超越小组用不同的方法添加了辅助线，并进行了交流： 创新小组：“如图2，过点E作，交于点O，经过推理，能求出的度数．” 勤奋小组：“如图3，过点P作，经过推理，可以求出的度数．” 超越小组：“如图4，过点F作，交于点Q，经过推理，能求出的度数．” 【问题解决】 （1）请你根据同学们所画的图形，猜想：_______度； （2）如图2，请你结合创新小组的方法，完成验证结论的过程； 过点E作，交于点Q， ， ， ∴________， ． 在上，， ，_______， ，∴_______， ， ∴______， _______． （3）根据勤奋小组所画的图3或超越小组所画的图4，请你选择其中一种方法，求出的度数； （4）回顾借助添加平行线分析和解决问题的过程，你得到了哪些解决此类问题的策略？（30字以内） 【类比分析】 （5）为帮助同学更好的运用以上解题策略，老师又提出了一个问题：如图5，平分，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $