江西永丰三中、欧阳修学校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试卷

江西永丰三中、欧阳修学校2025-2026学年高一下学期期中考试联考数学试卷 一、单选题 1.已知两点A(2,-1),B(3,1),与AB平行且方向相反的向量a可能是（) A.a=(L,-2)B.a=(9,3) C.a=(-1,2) D.a=(-4,-8) 2.已知向量a,6满足|d=5,1b=6,a.b=-6,则cos(a,a+b)=() A是 B.8 D号 3.己知等腰梯形ABCD中，AB=2DC，,E,F分别为AD,BC的中点，G为EF的中点，若记AB=a, AD=b,则AG=() C. 3 D.a 48 4,达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将 画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角A、B间的圆弧长为1，嘴角间的距离为d,圆弧所对的圆 心角为0(0为弧度角)，则1、d和0所满足的恒等关系为() d B A.sin B.2sin 2-d C.cos -d D. 2cos -d 1 0 -1 5.已知函数/()-m2x-引：则() A.f(x)的最小正周期为2π B.点后0是了()图象的一个对称中心 C.直线x=正是f(x)图象的一条对称轴 D.副 上单调递增 12 6.°ABC中，AB=5,AC=4,AD=AB+(1-2)AC(0<<),且AD.AC=16,则DA.DB的最小值 等于() A.、5 D.-21 4 B.、21 4 C.9 4 7元.已知函数)=n(20r君)(0<o<1D的图象关于点（行0对称，格隔数）的图象向左平移骨个 3 单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)的一个单调递增区间是() B.[-π，π] π3π C·2’2 D.[0,2π] 试卷第1页，共4页 8.如图所示，在eABC中，设AB=a,AC=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为P,则护 A.28+25 B. 1 C.+4 2 D.a+26 4 二、多选题 9.设ā，6都是非零向量，下列四个条件中，一定能使日+。=0成立的是《） alb A.a=-26 B.a+b-0 C.allb D.alb 10.如图所示，在ABC中，点D在边BC上，且CD=2DB,点E在边AD上，且AD=3AE,则() A.正-号0+aC B.亚-号0-4C C.CE-24B+AC 9 D.C正-84C 11.已知△4BC是边长为2a(a>0)的等边三角形，P为△4BC所在平面内一点，则PA(PB+PC)的值可能 是()A.-2a2 2 D.-a2 三、填空题 12.已知平面向量a,i,a=l,bl=2,a1(a-2b),则2a+= 1B.已知aeRs如a+4 io+4eosa=,则ama= 14.已知蓝数了=a心2x+o0≤0}布[君引上单调递指，若f(任}恒皮立，则实数m的 取值范围为一 四、解答题 sin(π-a)cos(π+a） 15.已知角a的终边经过点P25.小，且如a-5,(求！和cosa的值： (2)求 13π 2+a jcos2-a 的值. 16.设ā，b是不共线的两个非零向量， (1)若OA=2a-b,OB=3ā+b,OC=ā-36，求证：A,B,C三点共线：(2)若8a+kb与ka+2b共线， 求实数k的值. 试卷第2页，共4页 I7.如图，平行四边形ABCD中，AB=a,D=b,H,M分别是AD,DC的中点，F为BC上一点， 且BF=8C. B (1)以ā，b为基底表示向量AM与HF: M (2)若同=3，=4，ā与万的夹角为120°，求AMH正· H 18.如图所示，在金4BC中，0-OC,孤-丽，B0与cCR相交于点hAN的延长线与边BC交于点 P. (1)用AB和AC分别表示BQ和CR;(2)如果Ai=AB+BQ=AC+uCR,求实数1和4的值； (3)在(2)的条件下，确定点P在边BC上的位置. R 0 试卷第3页，共4页 19.在eABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，且满足AD=2DB,AE=3EC.设BE与CD交于 点P,连接AP并延长交BC于点F.设AB=ā，AC=b. (1)用a,b表示CD,BE; (2)若AP=xa+yb,求y: G (3)若点G在线段AP上，且满足DG/1EF,求|AG:GP的值. D 试卷第4页，共4页 高一联考数学试卷答案与解析 1.D 【分析】根据向量的坐标运算得AB=L,2),再根据向量共线的坐标关系逐项判断即可得结论. 【详解】因为A(2,-1),B(3,1),所以AB=(L,2), 对于A,因为1×2-（-2)x1≠0，所以a=(1,-2)与AB不平行，故A错误： 对于B,因为9×2-3×1≠0，所以a=(9,3)与AB不平行，故B错误： 对于C,因为-1×2-2×1≠0，所以a=(-l,2)与AB不平行，故C错误： 对于D,因为ā=(-4，-8)=-41,2)=-4AB,所以a=(-4,-8)与AB平行且方向相反，故D正确. 故选：D. 2.D 【分析】计算a(a+b)、|a+b,再利用向量的夹角公式计算. 【详解】由题意得，：(a+b)a+a-b=25-6=19,1a+5=Va+b)-后2+2a-6+b2=25-12+36=7, mmm 所以cos(a,a+b)=aa+b1919 aa+b5×735· 故选：D 3.B 【分析】根据三角形法则可知，G=正+G=}D+号F=+F,再根据梯形的中位线定理可知， E.8o8的8·所似F-丽- 0，即可求出4G. 4 【详解】优题意得，G=正+G=}0+F+乐，再根据楼形的中位线定赛可如， B士Cn防以际浴君，改G新+孕 21 2 4 故选：B. 答案第1页，共9页 D G 【点睛】本题主要考查用基底表示平面向量，考查平面向量的线性运算，属于基础题. 4.B 【分析】由三角函数定义得r、 者之间关系，另有弧长公式，两式 【详解】 0 d 设该圆弧所对应的圆的半径为r,则2rsin9=d,0,=1,两式相除得2si血2_d 故选：B。 【点睛】本题主要考查扇形弧长公式 5.D 【分析】利用正弦函数的性质即可逐一检验 【详解】对于A,由f()=sm2x-)可得周期T=2 =元，故A不正确： 6 2 对于B,当x=元时，2x-刀=交， sin 2x- 元)1 6 66 620, 则点名0不是f()图象的一个对称中心，故B不正确： 对于C.当x=晋时，2x-君-0，m2x- =0≠1， 则直线x=沿不是/()图象的一条对称辅，故C不正确： 对FD,当个到时，2：（引，来米正孩高数的单调性可视儿在（智 62'2 上单调递增，故D正确， 故选：D 6.C 【分析】由向量的数量积的运算，可得△ABC时以C为直角的直角三角形，以D为原点建立平面直角坐标系，设 A(x,4),则(x-3,0),则DA·DB=x(X-3),即可得DADB最小值， 【详解】由题意知，向量AD=AB+(1-)AC(0<<I),且AD.AC=16, 答案第2页，共9页 可得点D在边BC上，ADACcos.∠DAC=16, 所以AD cos∠DAC=4,则coS∠DAC=1,即BC⊥AC, 所以△ABC时以C为直角的直角三角形. 如图建立平面直角坐标系，设A(x,4),则(x-3,0), 则DAD丽=xk-3),0<x<,当x=时，则DD死最小，最小值为-} 故选C. D C 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积运算及其应用，其中解答中根据向量的数量积的运算，求 得△ABC时以C为直角的直角三角形，以D为原点建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算是解答的关键，着重 考查了运算与求解能力，属于中档试题. 7.B 【分析】首先确定函数f(x),g(x)的解析式，再利用正弦函数单调性求解即可. 【详解】自题可得（得】m。0.令行a-若=ae7列. 整理得0= 3 k+4 k∈Z,结合0<0<1，得K=0时，0=4 此时/(d=sm台) (e=+）m{+)=n吃 令一 +2≤ )+2k缸，kEZ,解得-元+4红≤x≤元+4k,kE 当k=0时，g(x)的一个单调递增区间为[-π，π] 8.C 【分析】由向量的三角形法则以及向量中点关系结合向量的基本定理可表示出AP, 【详解】如图，连接BP,则 AP=AC+CP=b+PR,① AP=AB+BP=a+RP-RB.② ①+②，得2AP=a+b-RB.③ 答案第3页，共9页 又画-0-而-0长}P小@ 将③代入国，得24P=i+6--P,解得亚-号部 故选C. B 【点睛】本题考查平面向量基本定理，属中档题. 9.AB 【分析】由单位向量的运算得出ā，b方向相反即可判断. 【详解】由题意知， 司是与a同响的单位向量，云是与6同向的单位向量，这两个向量互为相反向品 所以ā，b方向相反. 因此，使得a a 石=0成立的条件有a+万-0，a=-2万： 故选：AB. 10.BD 【分析】根据向量的加减的几何意义和三角形法则即可求出. 【详解】解：：CD=2DB,点E在AD边上，AD=3AE 而=-c+而=c+号C-C+而-40写C+号而 3 3 :C正=A花-AC=D-AC=1AC+2B-AC-2B-8AC, 3 9 g 故选：BD. 11.BCD 【分析】通过建系，用坐标来表示向量，根据向量的乘法运算法则以及不等式，可得结果. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系 y A B 答案第4页，共9页 设P(x,y),又A0,V3a,B(-a,0), c(a,0),则PA=(-x,5a-y) PB=(-a-x,-y),PC=(a-x,-y). PB+PC=(-a-x,-y)+(a-x-y) 即PB+PC=(-2x,-2y) 所以 PA.(PB+PC)=(-x.a-y)(-2x,-2y) PA.(PB+PC)=2x2+2y2-23ay 所以Pm(PB+Pc)20 故选：BCD, 【点睛】本题主要通过建系的方法求解几何中向量的问题，属中档题. 12.√10 【分析】首先根据a1d-2西得到6=)再计算a+矿即可得到答案 【详解】因为a1d-20,所以0a-20=d2-2a6=0,即a5= 2a+=4a+6+4cb=10,所以2a+=10. 故答案为：V0 【点睛】本题主要考查向量模长的计算，同时考查了向量的数量积，属于简单题. 8.3月 【详解】试题分析：sin2a+4 sin+4cos2a=sim'a+4 sin+4cos2a-tan2aw+4tana+4_5 sin-a +cos-a tana+1 Γ21 解得：ama=诚号 考点：三角恒等变换. 14.[0,+o0) 【分析】根据单调区间求出9的取值范用，由于(Sm恒成立，即求f 4 ，从而得出m的取值范围. max 答案第5页，共9页 【详解】解：f()-cos(2x+0)0s0≤引 当时. 3r+0≤2x+0≤-7+0， 由质数答- 上是增函数得 -π+2kπ≤ 3亚+0 k∈Z, π+0≤2kπ 则2r-年s0≤2r+keZ列. 4 又0≤0s 故取k=0得，0≤日≤ 3, 所以T≤0+π≤5r 2 2-6 =0, .m20 【点睛】本题考查了三角函数的单调性、不等式恒成立等问题，解决的关键是要能将恒成立问题要转化为函数的最 值问题来进行求解。 15.④0t=5,eosa=25 5 (2)-1 【分析】(1)根据任意角三角函数值的定义解得t=√5，进而可求cosa的值； (2)根据题意结合诱导公式运算求解即可 【详解】(1D因为角a的终边经过点P(25,,且sina=5 则5，且>0，解得1-5. N20+t2 即P25,5),所以cosa= 2W52W5 V20+55 sin(π-a)cos(π+a) sina(cosa） (2)由题意可得： =-1 (-cosa)(-sina）. 2 16.(1)证明见解析 (2)±4 【分析】(1)要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可； 答案第6页，共9页 (2)由共线向量定理求出参数即可. 【详解】(1)证明：AB=0B-0A=(3ā+b)-(2a-b)=a+2b, 而BC=0C-0B=(a-36)-(3a+b)=-(2ā+4b)=-2AB, .AB与BC共线，且有公共点B, A,B,C三点共线。 (2)8ā+kb与ka+2b共线， ∴.存在实数2，使得8a+kb=(kā+2b),即(8-2k)a+(k-22)b=0. 「8-k=0 ~ā与6不共线，-2元-0，解得元=2， ∴.k=2元=±4. d-5+,亦=i若：2胃 【分析】（由愿可得：8F=写8C,利用向量的加法法则和减法法则，以及向量的中点表示，即可得到： (2)先求出āb=3×4×cos120°=-6，再由(1)得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积. 【详解】(I):平行四边形ABCD中，B=a,D=6,H,M是AD,DC的中点，BF=!BC, 3 M-0=而*0c=D时a=6+0, m=-H=B+B-,D=a+五-b=a-方 31 2 (2):d=3,=4,a与6的夹角为120°，ā.6=3×4×cos120°=-6， 座-(6+a66-*9-6-吕-列=号 6 12 2 【点睛】本题考查了向量的加法，减法法则，考查了向量数量积的运算，属于较易题 1800c-孤，顾兮孤-c 4 λ=4 5 (2) 5 (3)P为线段BC上靠近点C的三等分点. 答案第7页，共9页 【分析】(1)利用向量减法的三角形法则求解； (2)根据已知将Ai用AB,AC进行表示，元，4的方程组计算得到2，“的值； (3)设BP=mBC,AP=nAi.将BP用AB,AC进行表示，得到m,n的方程组，计算出m,n的值，从而得到点P 为线段BC上靠近点C的三等分点. 【详解】(1)B0=A0-=)AC-B,C顾=R-AC=4B-AC. 2)由知，而-+3c-丽丽+C, =c+目丽-C号丽-， 0-丽+子元-号+0-川C, 1-1=4 3 :AB,AC不共线， =4 解得 3 = (3)设BP=mBC,AP=nAi. 由(2)知，A=AB+2AC, :BP=AP-AB=nAi-AB =传+号c西 -3B BP=mBC=m(AC-AB)=mAC-mAB, -(g-丽+24c=m4c-m, -1=-m :AB,AC不共线， 15 2n [2 m= 解得 3 n=- 3 ∴BP-BC,即B =2 3 PC 答案第8页，共9页 ∴点P为线段BC上靠近点C的三等分点. 190⑦-品-死=5+： 3 【分析】(1)根据给定条件，利用向量减法及数乘向量求解. (2)利用共线向量定理的推论及向量基本定理求解。 (3)利用共线向量定理及向量基本定理列式求解 【详解】(1)在EABC中，AD=2DB,AE=3EC, 所以而=而-c号孤-C号a-元丽=形-丽=C-丽=+子 3 4 4 (2)由点P在线段BE上，设AP=元AB+(1-)AE,0<元<1， 则P=D+0-》4C而+-刘而CRD共线. 4 因此+0-小=1，解得片于是不-西+号正-6-号C-+, 3 3 而而--：且6个头酸：则x- 所以石 3)设亦=丽1>1，由(2)得=写孤+号C,而8F,C共线，则写+号1， 5 由点G在线段AP上，设AG=uAP,则AG=:a+6, 3 2 G-G-0-台+经-多-“子经，曲DG际，月6不共找 2 -24 得号=子，架行“子因此花-号孤，0亚， 5 20 所以AGHGPI= 3 D B 答案第9页，共9页