21.3.3 正方形的判定与性质 专项训练（九）2025--2026学年人教版八年级数学下册

人教版八年级数学下册正方形性质与判定方法总结 正方形是特殊的平行四边形，同时具备矩形和菱形的所有性质，是几何中综合性较强的内容。 学习本节重点要从定义、性质、判定三个方面把握： 1.正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直、平分且相等，并且每条对角线平分一组对角。 2.判定正方形时，可先判定四边形是矩形，再证明一组邻边相等；或先判定是菱形，再证明有一个角是直角，思路清晰即可快速解题。 3.与正方形相关的计算常涉及边长、周长、面积、对角线长度及角度问题，解题时注意运用勾股定理、全等三角形等知识综合分析。 4.解决正方形几何证明与计算题时，要规范书写步骤，明确推理依据，做到有理有据、逻辑严谨。 人教版八年级数学下册正方形性质与判定专项训练 题型一、基础选择专项训练（8题） 1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是(    ) A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 每一条对角线平分一组对角 2.下列结论： 有一组对边平行，且两个角是直角的四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 有一个角是的平行四边形是菱形 有两边相等的平行四边形是菱形 有一个角是直角的菱形是正方形。 其中正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3.如图，四边形是正方形，延长到点，使，则的大小是(    ) A. B. C. D. 4.如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则的度数为    ． A. B. C. D. 5.如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，延长正方形的一边至点，使，连接交于点，则的度数是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是(    ) A. B. C. D. 8.如图，边长分别为和的两个正方形和并排放在一起，连接并延长交于点，交于点，则(    ) A. B. C. D. 题型二、重点填空训练（4题） 1.如图，在矩形中，对角线，相交于点，试添加一个条件     ，使得矩形为正方形． 2.如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为          ． 3.如图，在四边形中，是边的中点，是边的中点，是边的中点，是边的中点．当对角线与满足          时，四边形是正方形． 4.如图，在正方形中，，是的中点，是上的一个动点，则的最小值为          ． 三、解答题综合突破(4题) 1.已知：如图，在中，，是的角平分线，，，垂足分别为，求证：四边形是正方形． 2.如图，四边形是菱形，点，分别在边，上，且，过点作的平行线交对角线的延长线于点，连结． 求证：四边形是菱形． 如果，求证：四边形是正方形． 3.如图，在正方形中，已知点是上一点，点是延长线上一点，且． 求证： 连接，若，求的长． 4.如图，四边形是正方形，点是边上任意一点．于点，且交于点． 求证：； 如图，如果点是延长线上一点，其余条件不变，则线段、、有什么数量关系？请证明出你的结论． 人教版八年级数学下册正方形性质与判定专项训练 答 案 和 解 析 题型一、基础选择专项训练（8题） 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  【解析】解：四边形是正方形， ． 中，， 则； ． 故选B． 4.【答案】  【解析】【点拨】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线，，，，，故选C． 5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  题型二、重点填空训练（4题） 1.【答案】 答案不唯一  【解析】四边形是矩形，当一组邻边相等或者对角线互相垂直时，该矩形是正方形，故可填答案不唯一． 2.【答案】  3.【答案】垂直且相等  4.【答案】  三、解答题综合突破(4题) 1.【答案】证明：在中，，平分，． ，． 在中， ， ． ，． ． 四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形． 又，矩形是正方形有一组邻边相等的矩形是正方形．   2.【答案】【小题】 证明：四边形是菱形， ，， ． 在和中， ≌， ，， ． ， ， ， ． ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 【小题】 四边形是平行四边形， ， ． ，≌， ． 又， ． 四边形是菱形， 四边形是正方形． 3.【答案】【小题】 证明：四边形是正方形， ，． 点是延长线上一点， ． 在和中， ．． 【小题】 解：由知，， ． 又， ． 又，，． 4.【答案】证明：四边形是正方形，，， ，， ， 在和中，， ≌， ， ； 四边形是正方形，，， ，， ， 在和中，， ≌， ，， ．  【解析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记正方形的四条边都相等，每一个角都是直角，然后求出三角形全等是解题的关键． 根据正方形的四条边都相等可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得答案； 根据题意作出图形，然后根据的结论可得，，然后结合图形写出结论即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $