江苏南菁高级中学2025-2026学年第二学期高二数学周练4

**基本信息** 2025-2026学年高二数学周练卷，聚焦概率统计、函数导数、排列组合等核心知识，通过分层设题与真实情境（如AI软件测试、航天任务选派）考查数学思维与应用能力，适配高二阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|导数定义、正态分布、组合数计算|单选基础巩固（如第3题正态分布应用），多选综合辨析（如第10题概率与随机变量）| |填空题|3题/15分|期望计算、二项式系数、导数解不等式|第14题构造函数解抽象不等式，考查数学抽象能力| |解答题|5题/77分|二项式定理、排列组合应用题、概率统计案例、函数单调性与极值证明|第17题结合AI软件测试情境分析概率，体现科技前沿；第18题函数极值点证明，注重逻辑推理与数学表达|

2025-2026学年第二学期高二数学周练4 2026.5.9 命题人：刘峻言 审题人：丁强生 本试卷满分133分 考试时间90分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（    ） A． B． C． D．2 2．一批产品共100件，其中有5件不合格品，从中随机抽取10件产品，则恰有2件不合格品和8件合格品的取法种数是（    ） A． B． C． D． 3．某市高三年级共有男生20000人，已知他们的身高（单位：）近似服从正态分布，则身高落在区间内的男生人数约为（    ） （参考数据：若，则） A．3413 B．5120 C．6827 D．10328 4．函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（    ） A． B． C． D． 5．有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（    ） A．40 B．48 C．52 D．60 6．20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 7．已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有两个红球，一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球，一个黄球；黄色口袋内装有三个红球，两个绿球（球的大小质地相同）．若第一次先从红色口袋内随机抽取1个球，然后将取出的球放入与球同颜色的口袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为（    ） A． B． C． D． 8．设函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．展开式中二项式系数最大的项是第项 D． 10．一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球1个，黑球2个，则下列选项正确的有（    ） A．从该口袋中任取3个球，则取出的球中至少有1个黑球的概率是 B．从该口袋中任取3个球，则取出的球的颜色恰有2种的概率是 C．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，则取出的黑球的次数X是一个随机变量，且 D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，取出红球即停，则取出的球中恰有2个黑球的概率是 11．某数学研究小组在研究牛顿三叉戟曲线时通过数学软件绘制出其图象（如图），并给出以下几个结论，则正确的有（    ） A．函数的极值点有且只有一个 B．当时，恒成立 C．过原点且与曲线相切的直线有且仅有2条 D．若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量的期望为3，则______. 13．已知，则的值为______________. 14．已知函数的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分） （1）已知二项式的展开式共有6项． ①求此二项展开所有项的二项式系数和； ②求此二项展开式中二项式系数最大的项． （2）已知．求的值． 16．（本小题15分） （1）一排10个空位，四人就坐其中的4个位子.若6个空位中，4个相连，另2个也相连，但6个不连在一起，有几种坐法？ （2）为了某次的航天飞行，现准备从10名预备队员中选4人参加航天任务.若选四个航天员分配到A、B、C三个实验室去，其中每个实验室至少一个航天员，共有多少种选派法？ （3）已知从1，3，5，7，9任取两个数，从0，2，4，6，8中任取两个数，组成没有重复的数字的四位数，可以组成多少个四位偶数？（注：结果用数字作答） 17．（本小题15分） 为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 （1）分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率； （2）小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小明应该用哪款软件解决这道试题? （3）现在道类似试题，其中几何、函数试题各道．小明比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，用表示这试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 18．（本小题17分） 已知函数 (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当函数有两个极值点且．证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年5月9日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C D B A D C ABD ACD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】根据条件，利用导数的定义，即可求解. 【详解】根据导数的定义可知， ， 故选：D 2．B 【分析】利用组合的概念及组合数公式求解. 【详解】随机抽取10件产品，恰有2件不合格品和8件合格品的取法种数是. 故选：B. 3．C 【详解】，则，， ， 因此身高落在区间内的男生人数为. 4．D 【分析】利用导数求的取值范围，利用二次函数的性质求的取值范围，依题意有，解不等式得实数a的范围. 【详解】函数，因为，，所以， 故在上单调递增，所以. 又，所以在上也是单调递增，所以. 因为对任意的，总存在，使成立，等价于， 所以，解得，故实数a的范围是. 故选：D. 5．B 【分析】由题意，根据分步乘法原理，可得答案. 【详解】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择； 然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎， 这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择. 根据乘法原理，总共有种选法. 故选：B. 6．A 【分析】将问题化为17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中，再应用组合数求不同的放法数. 【详解】先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球， 将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可， 共有（种）方法． 故选：A 7．D 【分析】根据条件概率公式和概率的乘法公式以及全概率公式即可求解. 【详解】记第一次抽到红、绿、黄球的事件分别为， 则， 记第二次在红、绿、黄色口袋内抽到黄球的事件分别为， 而两两互斥，其和为， 所以， 记第二次抽到黄球的事件为B， 则， 故选:D． 8．C 【分析】通过分析与的符号情况，结合临界值，进行、、三类讨论，即可得出恒成立，等价于，然后构造函数，利用导数即可求解. 【详解】要使得在上恒成立，则，且无变号零点， 分析与的符号情况如下： 当时，，当时，，令，即， ①当时，，所以且，又，所以 所以，满足题意； ②当时，，所以且，又，所以 所以，满足题意； ③当时，，所以且，又，所以 所以，满足题意； 综上，当时，在上恒成立. 所以，令，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，即 故选：C 9．ABD 【分析】根据赋值法即可求解AB，根据二项式系数的性质即可求解C，根据通项特征即可求解D. 【详解】对于A令得 ，故A正确 ； 对于B,令得， 而由A知：，因此，故B正确 ； 对于C，因为的展开式中二项式系数最大为，为第项，故C不正确 ； 对于D,因为的展开式中，， 所以，，， 因此，，所以，故D正确， 故选:ABD 10．ACD 【分析】求得取出的球中至少有1个黑球的概率判断选项A；求得取出的球的颜色恰有2种的概率判断选项B；判定出随机变量X的属性判断选项C；求得取出的球中恰有2个黑球的概率判断选项D. 【详解】选项A：从该口袋中任取3个球，则取出的球中至少有1个黑球的概率是 .判断正确； 选项B：从该口袋中任取3个球，则取出的球的颜色恰有2种的概率是 .判断错误； 选项C：每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，则取出的黑球的次数X是一个随机变量，且.判断正确； 选项D：每次从该口袋中任取一个球，不放回，取出红球即停，则取出的球中恰有2个黑球的取球情况为：黑黑红，黑白黑红，黑黑白红，白黑黑红. 其概率是.判断正确. 故选：ACD 11．ABD 【分析】由确定极值点的个数（可由图象得极值点个数），判断A，由绝对值的性质判断B，设切点为，利用导数的几何意义求出切点坐标，判断C，由得，然后表示出，用换元法求得最小值后判断D． 【详解】，＝0，，，极值点有且只有一个，A正确； （实际上，由图象知函数的极值点有且只有一个） 时，，B正确； ，设切点为，则，又切线过原点， 所以，即，，，只有一个切点，过原点的切线只有1条，C错； ，且，则，， ，设，，， ，， 当时，，递减，时，，递增， 所以，所以 的最小值为，此时．D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数的应用，导数的几何意义，用导数研究函数的极值、最值．在求过某点的切线方程时，一般要设切点坐标为，写出切线方程，利用切线所过的点求出切点坐标，得切线方程． 12． 【分析】根据满足线性关系的变量间的期望的计算公式，即可求解. 【详解】由题意知，所以. 故答案为：. 13．80 14． 【分析】由题意构造函数，再由导函数的符号判断出函数的单调性，不等式，构造为，问题得以解决． 【详解】设， 则 = ， 函数在上是减函数， ，， ， ， ， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性的关系对不等式进行判断．属中档题. 15．（1）①②，（2） 【分析】（1）①根据二项式展开式的性质，结合二项式系数之和公式进行求解即可； ②根据二项式系数的性质进行求解即可； （2）利用赋值法进行求解即可. 【详解】（1）①因为二项式的展开式共有6项， 所以，因此二项展开所有项的二项式系数和为； ②因为二项展开式中二项式系数最大的项为第和第项， 所以，； （2）在中， 令，得， 所以. 16．（1）480（2）7560（3）1120 【分析】（1）将坐人的4个位置全排列，再将4个相连的空位、另2个相连的空位分别视为一个整体插入5个间隙中的两个即可得解. （2）先选4名航天员并按分组，再分配到三个实验室即可得解. （3）选出奇数，并按有0和无0选出偶数，再按有限制条件的排列问题列式计算即可. 【详解】（1）将坐人的4个位置全排列，有种方法， 再将4个相连的空位、另2个相连的空位分别视为一个整体插入5个间隙中的两个，有方法， 所以所求不同坐法有（种）. （2）从10名预备队员中选4人有种方法， 将选得的4人按分成3组，并分配到三个实验室，有种方法， 所以不同选派方法有（种）. （3）选出2个奇数有种方法，选含有0的2个偶数有种方法， 将选出的4个数字排列成偶数有，此时符合要求的偶数有个； 选出2个奇数有种方法，选不含0的2个偶数有种方法， 将选出的4个数字排列成偶数有，此时符合要求的偶数有个， 所以可组成无重复数字的四位偶数个数是. 17．(1)、 (2)小明应该使用软件来解决这道试题 (3)， 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求出软件、软件能正确解答数学问题的概率； （2）记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， “该题为几何题”为事件．利用全概率公式求出、的值，比较大小后可得出结论； （3）分析可知选择几何试题用软件解答，函数试题用软件解答，由二项分布可知，，且，则，，结合二项分布的方差和期望公式求解即可. 【详解】（1）记、软件能正确解答数学问题的概率分别为和， 由题中数据可得，. （2）记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， “该题为几何题”为事件． 则，，，， ，， 由全概率公式可得， ， 因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小明应该使用软件来解决这道试题. （3）因为，， 故选择几何试题用软件解答，函数试题用软件解答， 用、分别表示这道几何试题与3道函数试题被正确解答的个数，． 则，， 所以，， ，， 因为、相互独立，则， . 18．(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义结合题意求解即可； （2）先对函数求导后，再分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出的单调区间； （3）由（2）知，当时，有两个极值点，则得，，然后化简，构造函数，利用导数求解其最大值，从而可证得结论. 【详解】（1）当时，，则 所以，又， 所以函数在处的切线方程为， 即. （2）函数的定义域为， 则， 令，即，则 当，即时，，此时在上单调递减； 当，即当或时， 若，方程的两根为，则两根均为正根，且， 则时，，则在上单调递减， 时，，则在上单调递增， 时，，则在上单调递减， 若，恒成立，所以在上单调递减； 综上，当，在上单调递减； 当时，在，上单调递减， 在上单调递增. （3）证明：由（2）知，当时，有两个极值点，满足， 则， 所以 令，其中，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以， 因为， 所以， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $