12.4 定理（第1课时）课件2025-2026学年苏科版七年级数学下册

12.4定理 （第1课时三角形内角和定理及其推论） 苏科版（2024）七年级数学下册 第12章 定义 命题 证明 学生能够准确阐述定理的概念，清晰区分定理与定义、命题的差异。 熟练掌握常见数学定理的内容、推导过程及适用范围，能运用定理进行简单的证明和计算。 学会从实际问题中抽象出数学模型，运用定理解决相关问题。 学习目标 　　在小学里，我们已经知道“三角形的内角和等于180°”， 你是用什么方法说明的？ （1）量一量 ∠A ＋∠B＋∠C ＝80°＋40°＋60° ＝180°． （3）折一折 情境引入 （2）拼一拼 新知探究 下面，我们来证明这个命题: 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. A B C E D 证明：作边BC的延长线CD，过点C 作CE∥AB. ∵CE∥AB， ∴∠1＝∠A (两直线平行，内错角相等)， ∠2＝∠B (两直线平行，同位角相等). ∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°(平角的定义)， ∴ ∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代换). 1 2 这样添辅助线是从“拼图”得 到的启发. 5 活动一：探究三角形内角和定理 证明：三角形三个内角的和等于180°. 思考：证明命题的基本步骤是什么？ 1.理解题意，分清命题的已知条件，求证结论. 2.需要画图的画出图形，写出已知、求证. 3.写出证明过程. 证明的一般步骤 从“撕角”拼图得到启发，需要添加辅助线， 将三个角合并成一个平角． 活动一：探究三角形内角和定理 A B C 已知：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明：三角形三个内角的和等于180°. 过某一顶点作该顶点所对的边所在直线的平行 线，利用平行线的性质，将三个角合并成一个平角． 活动一　探索并证明三角形内角和定理 已知：如图，△ABC有三个内角∠A，∠B和∠C． 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°． 证明：画边BC的延长线CD，过点C作CE∥AB . ∵CE∥AB， ∴∠1＝∠A（两直线平行，内错角相等），　　　　　 ∠2＝∠B（两直线平行，同位角相等）． ∵∠1＋∠2＋∠ACB ＝ 180°（平角的定义）， ∴∠A＋∠B＋∠ACB ＝ 180°（等量代换）． 数学活动 活动一：探究三角形内角和定理 A B C 已知：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. D E 证明：延长BC到点D，过点C作CE∥AB. ∵CE∥AB， ∴∠1= ∠A (两直线平行，内错角相等)， ∠2= ∠B (两直线平行，同位角相等). ∵∠1+∠2+∠ACB =180° (平角的定义)， ∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换). 2 1 你还能用其他方法证明 三角形内角和定理吗? 活动一：探究三角形内角和定理 A B C 已知：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. F E 证明：过点A作EF∥BC，如图. ∵EF∥BC， ∴∠B =∠2(两直线平行，内错角相等)， ∠C =∠1(两直线平行，内错角相等). ∵∠2+∠1+∠BAC = 180°(平角的定义)， ∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换). 2 1 经过证明之后，就可以把这个命题叫作三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于180° 概念归纳 A B C 符号语言： 在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°. 讨论 你还能用其他方法证明三角形的内角和定理吗? A B C D 1 2 证法2：如图，过点C作CD∥AB. ∵ CD∥AB， ∴∠B＝∠1，∠A＝∠2 (两直线平行,内错角相等). ∵∠1＋∠ACB＋∠2＝180°(平角的定义) ∴∠B＋∠ACB＋∠A＝180°(等量代换). 活动一：探究三角形内角和定理 A B C 已知：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. E 证明：过点A作AE∥BC，如图. ∵AE∥BC， ∴∠B =∠EAB (两直线平行，内错角相等), ∠EAC+∠C =180°(两直线平行，同旁内角互补) , ∴∠EAB +∠BAC +∠C =180°. ∴∠B +∠BAC +∠C =180°(等量代换). 活动一：探究三角形内角和定理 已知：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 运用平行线的性质，将三角形的三个角转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法. 总结 A B C D E 2 1 A B C F E 2 1 E A B C 　　在△ABC中延长BC至D，∠ACD是△ABC的一个外角，猜想∠ACD与 ∠A，∠B的数量关系． 活动二　 探索并证明三角形内角和的推论 猜想：∠ACD等于∠A和∠B的和. 该命题的条件、结论分别是什么？怎么证明？怎么用文字语言描述？ 数学活动 A D B C 活动二　证明三角形内角和的推论 　　已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，∠A，∠B是与它不相邻的两个内角．求证：∠ACD ＝∠A＋∠B． 证明：∵∠ACD＋∠ACB ＝ 180 ° （平角的定义）， 　　　∠A ＋∠B＋∠ACB ＝ 180°（三角形内角和定理）． 　　　∴∠ACD ＝180 °－∠ACB     　　∠A ＋∠B＝ 180°－∠ACB （等式的性质）． 　　　∴∠ACD ＝∠A＋∠B（等量代换）． 　　像这样，由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的推论． 它和定理一样，也可以作为后续证明的依据． 三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 数学活动 A D B C 证明：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角， ∠A，∠B 是与它不相邻的两个内角. 求证：∠ACD=∠A+∠B. ∵∠ACD+∠ACB=180°(平角的定义)， ∠A+∠B+∠ACB =180°(三角形内角和定理)， ∴∠ACD =180°－∠ACB，∠A+∠B=180°－∠ACB(等式的性质). ∴∠ACD=∠A+∠B(等量代换). 证明： 活动二：探究三角形内角和定理的推论 方法二：∵∠AOD是△AOB，△COD的外角，           ∴∠AOD ＝ ∠A＋∠B ，            ∠AOD ＝ ∠C＋∠D （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）． ∴∠A＋∠B ＝∠C＋∠D（等量代换）． 例题分析 A D B C O 例1 　已知：AC，BD 相交于点O， 求证：∠A＋∠B ＝∠C＋∠D．  如图，在△ABC 中，∠1＝∠B，∠C＝60°，求∠BAC的大小．  解： 已知：AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°． 在△ADC 中， ∠DAC＝180°－∠ADC－∠C 　　　＝180°－90°－60° 　　　＝30°． 问题探究 在△ABD 中， ∵∠1＝∠B，且∠ADB＝90°， ∴∠1＝∠B=45°． ∴∠BAC＝∠1＋∠DAC 　　　　＝45°＋30° 　　　　＝75°． 根据三角形内角和定理推出了一个新结论. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形内角和定理的推论 由一个定理直接推出的重要结论,一般叫作这个定理的推论. 它和定理一样,也可以作为后续证明的依据 . 符号语言： ∵∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD=∠A+∠B. 活动二：探究三角形内角和定理的推论 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. 注意 拓展 名称 定义 作用 定理 推论 人们在长期生产和生活实践中总结出来的，公认的一些真命题称为基本事实. 基本事实是不需要推理论证的真命题，也可以作为判定其它命题真假的依据. 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理. 由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的推论. 定理、推论和基本事实可以 作为后续证明的依据. 活动二：探究三角形内角和定理的推论 由例1，我们根据三角形内角和定理推出了一个新结论，像这样，由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的推论.它和定理一样，也可以作为后续证明的依据. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 概念归纳 要证明AD∥BC，只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”. 经典例题 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC. A C D B E 如何利用“同位角相等”或 “同旁内角互补” 证明？ 要证明AD∥BC，只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”. 经典例题 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC. A C D B E 证明：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻 的两个内角的和)，∠B=∠C (已知)，∴∠EAC=2∠C(等式的性质). ∵AD平分 ∠EAC(已知).∴∠EAC=2∠DAC(角平分线的定义). ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形内角和定理). ∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180°,即 ∠B+∠DAB =180°(等量代换). ∴ AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行). 补充例题 例 如图12.4－1，AD 是∠ CAE 的平分线，∠ B=35°， ∠ DAE=60°，求∠ ACD 的度数. 解题秘方：利用三角形外角的性质，将求∠ ACD的度数转化为求∠ B＋∠ BAC的度数进行求解. 要证明AD∥BC，只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”. 经典例题 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC. A C D B E 问题探究 A C B 三角形内角和定理的另一个推论： 直角三角形的两个锐角互余 有两个角互余的三角形是直角三角形 符号语言： ∵ ∠A+∠B=90° ∴△ABC是直角三角形 1. 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的 　真命题　叫作定理.由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的 　论　. 2. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 　180°　. 3. 三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它 　不相邻　的两个内角的和. 真命题　 推论　 180°　 不相邻　 课堂小结 $