2026年中考数学复习讲义 第三讲 二次根式、分式【重点难点突围专项练】（江苏专用）

第三讲 二次根式、分式『重点难点突围专项练（江苏专用）』 【原卷版】 简介 蓄力升学 逐梦前行 『真题溯源·江苏专版』本资料深度剖析江苏省近两年中考真题及前沿模拟题，直击中考高频考点，精准锁定每年必考的常考题型与思想方法，让你的练习不偏科、不做无用功。 【第一部分 题型讲练·模型拆解】采用“例题精讲+变式训练”模式，对每类重难点题型进行标准化拆解。配套详尽的解题思路与规范步骤，不仅教会你如何解题，更传授得分技巧，帮你建立满分思维。 【第二部分 能力分层·稳步提升】科学设置20题分层训练： 1. 基础能力提升（10题）：快速夯实核心考点，确保基础分不丢分； 2. 拔尖突破冲刺（10题）：聚焦易错题与综合压轴题，挑战思维极限，实现分数阶梯式增长。 『助力升学·决胜考场』依托真题本源，对标中考难度。这套讲义是你通往理想高中的坚实阶梯，愿你以梦为马，提笔为剑，在中考战场上披荆斩棘，金榜题名！ 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 二次根式有意义的条件 题型二 二次根式的运算 题型三 二次根式的化简求值 题型四 分式有意义的条件 题型五 分式的值为零及求分式的值 题型六 分式的化简求值 题型七 分式的化简运算 第一部分 精讲变式 融会贯通 【题型一 二次根式有意义的条件】 【典例精讲】（2026·江苏徐州·一模）代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 【变式训练1】（2026·江苏徐州·一模）代数式有意义，则x的取值范围是______． 【变式训练2】根据要求求值： (1)若x，y都是实数，且，求的值． (2)函数与函数的图象的交点坐标为，求的值． (3)已知，求的值． 【变式训练3】（2026·江苏扬州·一模）已知函数，则自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【题型二 二次根式的运算】 【典例精讲】（2026·江苏徐州·一模）计算、解不等式组 (1) (2) 【变式训练1】（2025·江苏苏州·一模）计算： (1) (2) (2) (4) 【变式训练2】（2026·江苏扬州·一模）计算与解不等式组： (1) (2) 【变式训练3】（2025·江苏泰州·三模）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【题型三 二次根式的化简求值】 【典例精讲】若，则______． 【变式训练1】（2023·江苏宿迁·三模）已知，则代数式的值是________． 【变式训练2】（2023·江苏盐城·一模）先化简，再求值：，其中，． 【变式训练3】解答题： (1)计算：． (2)先化简，再求值，其中． 【题型四 分式有意义的条件】 【典例精讲】（2026·江苏南通·一模）计算： (1)一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解： 第一步 ……第二步 ……第三步 请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． (2)计算：． (3)先化简，再求值：．求值时请在内取一个使原式有意义的(为整数)． 【变式训练1】（25-26九年级上·山东威海·期末）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【变式训练2】（2026·江苏无锡·一模）先化简：，再从0、3、4中选一个合适的m的值代入求值． 【变式训练3】（2025·江苏无锡·模拟预测）（1）先化简，再求值：，请在2，，0，3当中选一个合适的数代入求值． （2）解不等式组： 【题型五 分式的值为零及求分式的值】 【典例精讲】若，则的值为___________． 【变式训练1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若，，则______． 【变式训练2】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是__________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________＋__________； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【变式训练3】（2023·河北石家庄·模拟预测）已知，下列结论正确的是（　　） A．当时，A的值是0 B．当时，A的最小值为1 C．若A的值等于1，则 D．若A的值等于2，则 【题型六 分式的化简求值】 【典例精讲】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：，其中 【变式训练1】（2025·江苏南京·二模）化简：． 【变式训练2】（2026·江苏扬州·一模）计算： (1)； (2)化简：． 【变式训练3】（2026·江苏徐州·一模）计算、化简： (1) 计算：； (2)化简：． 【题型七 分式的化简运算】 【典例精讲】（2026·江苏扬州·一模）先化简，再求值：，其中． 【变式训练1】（25-26九年级上·广东茂名·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式训练2】（2026·江苏南通·模拟预测）计算与化简求值： (1)计算： (2)化简：． (3)先化简，再求值：，并从中选一个合适的数作为的值代入求值． 【变式训练3】（25-26九年级下·江苏泰州·月考）先化简，再求值: 其中 第二部分 分层训练 实战攻坚 基础能力提升 1．（2026·江苏徐州·一模）下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（2026·江苏南通·模拟预测）计算 的结果是（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 3．（2026·江苏无锡·二模）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏扬州·一模）若，则的值是（        ） A． B．0 C．1 D． 5．（2026·江苏南京·模拟预测）计算：的结果是______． 6．（2026·江苏徐州·一模）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 7．（2025九年级·山东·专题练习）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为______． 8．（2026·江苏扬州·一模）计算与解方程： (1)计算：； (2)用配方法解方程：． 9．（2026·江苏徐州·一模）计算及化简 (1)计算：； (2)化简：． 10．（2025·江苏连云港·模拟预测）计算： (1)计算：． (2)解不等式组： 拔尖突破冲刺 1．（2026·江苏南通·模拟预测）若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 2．（2025·山东烟台·中考真题）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 3．（2026·江苏宿迁·一模）已知、、三点，点、在反比例函数图像上，点在反比例函数图像上，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏徐州·一模）已知且，则 _____． 6．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是____________． 7．（2026·江苏扬州·一模）计算与解不等式组： (1) (2) 8．（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 9．（2026·江苏南通·模拟预测）计算和化简 (1)； (2)； (3)． 10．（2026·江苏扬州·一模）对x，y定义一种新运算，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知， ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围． (2)若对任意实数x，y都成立（这里，都有意义），则a、b应满足怎样的关系式？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三讲 二次根式、分式『重点难点突围专项练（江苏专用）』 【解析版】 简介 蓄力升学 逐梦前行 『真题溯源·江苏专版』本资料深度剖析江苏省近两年中考真题及前沿模拟题，直击中考高频考点，精准锁定每年必考的压轴题型与思想方法，让你的练习不偏科、不做无用功。 【第一部分 题型讲练·模型拆解】采用“例题精讲+变式训练”模式，对每类重难点题型进行标准化拆解。配套详尽的解题思路与规范步骤，不仅教会你如何解题，更传授得分技巧，帮你建立满分思维。 【第二部分 能力分层·稳步提升】科学设置20题分层训练： 1. 基础能力提升（10题）：快速夯实核心考点，确保基础分不丢分； 2. 拔尖突破冲刺（10题）：聚焦易错题与综合压轴题，挑战思维极限，实现分数阶梯式增长。 『助力升学·决胜考场』依托真题本源，对标中考难度。这套讲义是你通往理想高中的坚实阶梯，愿你以梦为马，提笔为剑，在中考战场上披荆斩棘，金榜题名！ 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 二次根式有意义的条件 题型二 二次根式的运算 题型三 二次根式的化简求值 题型四 分式有意义的条件 题型五 分式的值为零及求分式的值 题型六 分式的化简求值 题型七 分式的化简运算 第一部分 精讲变式 融会贯通 【题型一 二次根式有意义的条件】 【典例精讲】（2026·江苏徐州·一模）代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 【答案】 【考点剖析】根据二次根式的非负性计算即可得到结果． 【完整解答】解：∵代数式在实数范围内有意义， ，解得， 则实数x的取值范围是． 【变式训练1】（2026·江苏徐州·一模）代数式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【考点剖析】本题代数式同时包含二次根式和分式，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式求解即可． 【完整解答】解：由于代数式有意义， 则 解不等式①得：， 解不等式②得：， 结合两个不等式的解，可得的取值范围是． 【变式训练2】根据要求求值： (1)若x，y都是实数，且，求的值． (2)函数与函数的图象的交点坐标为，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)8 【考点剖析】（1）根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值即可得到答案； （2）根据题意可得，则，，再把所求式子变形为，据此可得答案； （3）把所求式子可变形为，进一步变形为，据此代入求值即可． 【完整解答】（1）解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵函数与函数的图象的交点坐标为， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 【变式训练3】（2026·江苏扬州·一模）已知函数，则自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】D 【完整解答】解：， 解得． 【题型二 二次根式的运算】 【典例精讲】（2026·江苏徐州·一模）计算、解不等式组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【考点剖析】（1）根据二次根式的性质、绝对值的性质、零次幂法则，结合，进行计算即可； （2）先分别得到两个不等式的解集，再得到不等式组的解集即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 因此，原不等式组的解集为． 【变式训练1】（2025·江苏苏州·一模）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【考点剖析】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各式是解题关键． （1）首先计算绝对值、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可； （2）首先计算乘方、开方，再计算乘除，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可； （3）首先计算绝对值、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可； （4）首先计算乘方、开方、去绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【完整解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式训练2】（2026·江苏扬州·一模）计算与解不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【考点剖析】（1）需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果； （2）分别解出两个不等式的解集再求其公共解． 【完整解答】（1）解：原式， （2）解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 则原不等式的解集为：． 【变式训练3】（2025·江苏泰州·三模）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【考点剖析】（1）分别计算三角函数值、负指数幂、绝对值和二次根式，再进行加减运算． （2）先对括号内的式子通分，再将除法转化为乘法，因式分解后约分，最后代入求值． 【完整解答】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 【考点剖析】本题主要考查了实数的混合运算、分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则和公式是解题的关键． 【题型三 二次根式的化简求值】 【典例精讲】若，则______． 【答案】 【考点剖析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，先根据二次根式有意义的条件得到，由此化简绝对值推出，进而可得． 【完整解答】解；∵要有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】（2023·江苏宿迁·三模）已知，则代数式的值是________． 【答案】2 【考点剖析】此题考查了二次根式的化简求值，利用完全平方公式把所求式子化简为，再代值计算即可． 【完整解答】解： ， 当时，原式， 故答案为：2． 【变式训练2】（2023·江苏盐城·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【考点剖析】本题考查分式的运算，把分式的除法转化为乘法，然后约分即可化简题目中的式子，再将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题． 【完整解答】解： ； 把，代入得： 原式 【变式训练3】解答题： (1)计算：． (2)先化简，再求值，其中． 【答案】(1)； (2)； 【考点剖析】（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的混合运算计算即可； （2）先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再将代入进行计算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： 当时， 原式． 【考点剖析】本题考查特殊角的三角函数值，分式的加减乘除混合运算，二次根式的混合运算，零指数幂，正确计算是解题的关键． 【题型四 分式有意义的条件】 【典例精讲】（2026·江苏南通·一模）计算： (1)一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解： 第一步 ……第二步 ……第三步 请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． (2)计算：． (3)先化简，再求值：．求值时请在内取一个使原式有意义的(为整数)． 【答案】(1)第一步开始出现错误，正确结果为； (2)； (3)化简结果为，当时，值为 【考点剖析】本题考查有理数的混合运算、实数的混合运算及分式的化简求值，涉及乘法分配律、绝对值的性质、分式有意义的条件等知识点．关键是掌握运算律、绝对值的性质、分式有意义的条件及分式的运算法则． （1）关键是注意负数与括号内各项相乘时的符号，错误出现在第一步，正确应用乘法分配律计算即可； （2）先算绝对值、乘方，再算括号内的减法，接着算乘法，最后算减法，注意绝对值的化简要判断绝对值内式子的正负； （3）先根据分式除法法则将除法转化为乘法，约分后通分计算化简，再根据分式有意义的条件选取合适的整数(需保证所有分母不为0，除数不为)代入求值． 【完整解答】（1）解：第一步开始出现错误，错误原因是应用乘法分配律时，将与括号内第二项相乘，以及与第三项相乘时，均出现了符号错误． 正确解答： ； （2）解： ； （3）解： ； 根据分式有意义的条件：，，， 在的整数中取， 将代入得：． 【变式训练1】（25-26九年级上·山东威海·期末）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【考点剖析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件进行解答即可． 【完整解答】解：∵ 有意义， ∴， ∴， ∵ 是分式， ∴， ∴， 综上可知， 故选C． 【变式训练2】（2026·江苏无锡·一模）先化简：，再从0、3、4中选一个合适的m的值代入求值． 【答案】， 【完整解答】解： ， ∵且， ∴且， ∴， 则原式． 【变式训练3】（2025·江苏无锡·模拟预测）（1）先化简，再求值：，请在2，，0，3当中选一个合适的数代入求值． （2）解不等式组： 【答案】（1），当时，原式；（2） 【考点剖析】本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先根据分式的运算法则化简分式，再选择一个让原式的所有分母都不为0的值代入求值即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，即可求解． 【完整解答】（1）解：原式 ， ∵， ∴和0， ∴当时， 原式； （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是． 【题型五 分式的值为零及求分式的值】 【典例精讲】若，则的值为___________． 【答案】 【考点剖析】本题考查比例的基本性质，将拆分为，再结合已知条件求解． 【完整解答】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式训练1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若，，则______． 【答案】7 【考点剖析】本题主要考查了完全平方公式变形求值，分式的加减运算，根据代入求解即可． 【完整解答】解：∵，， ∴， 故答案为：7． 【变式训练2】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是__________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________＋__________； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2)， (3)， 【考点剖析】本题主要考查分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． （1）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （2）由原式可得； （3）将原式变形为，据此得出或，再根据分式有意义的条件，据此可得答案． 【完整解答】（1）解：①是和谐分式； ②不是分式，不是和谐分式； ③，是和谐分式； ④，是和谐分式； 故答案为：①③④； （2）解：， 故答案为：，； （3）解： ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 【变式训练3】（2023·河北石家庄·模拟预测）已知，下列结论正确的是（　　） A．当时，A的值是0 B．当时，A的最小值为1 C．若A的值等于1，则 D．若A的值等于2，则 【答案】D 【考点剖析】A、C和D选项可直接代入计算，B选项根据不等式的性质判断即可． 【完整解答】解：当时，，A选项错误； 当时，，，，，即A的最小值小于1，B选项错误； 当时，，解得，此时分式无意义，故不合题意，C选项错误； 当时，，解得，D选项正确， 故选：D． 【考点剖析】本题是分式的综合题，主要考查了分式无意义的条件、分式方程的求解、分式的运算以及不等式的性质等知识，熟练掌握分式的相关知识、准确计算是解题的关键． 【题型六 分式的化简求值】 【典例精讲】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：，其中 【答案】； 【考点剖析】本题考查了分式的化简求值．根据分式的混合运算法则化简，然后把x的值代入计算即可求出值，熟练掌握运算法则是解题关键． 【完整解答】解： ， 当时， 原式． 【变式训练1】（2025·江苏南京·二模）化简：． 【答案】 【考点剖析】本题考查分式的混合运算、因式分解，熟练掌握运算法则和因式分解的方法是解答本题的关键． 先通分括号内的式子，同时将除法转化为乘法，然后约分即可． 【完整解答】解： ． 【变式训练2】（2026·江苏扬州·一模）计算： (1)； (2)化简：． 【答案】(1)0 (2) 【考点剖析】（1）根据零指数幂、特殊锐角三角函数值以及绝对值的定义进行计算即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练3】（2026·江苏徐州·一模）计算、化简： (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【考点剖析】（1）先计算乘方，化简二次根式，三角函数，零指数幂，再把各项结果相加即可； （2）先通分，再因式分解，然后转化成乘法约分即可． 【完整解答】（1）解： （2）解： 【题型七 分式的化简运算】 【典例精讲】（2026·江苏扬州·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【考点剖析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，化简得，最后代入计算，即可作答． 【完整解答】解： ， 当时，原式． 【变式训练1】（25-26九年级上·广东茂名·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【考点剖析】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方公式，运用相关公式、法则正确进行分式的化简是解题的关键．先根据分式的混合运算法则进行化简，然后将代入计算即可． 【完整解答】解：， ， ， ； 将代入，原式． 【变式训练2】（2026·江苏南通·模拟预测）计算与化简求值： (1)计算： (2)化简：． (3)先化简，再求值：，并从中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】(1) (2) (3)，当时，原式 【考点剖析】（1）先计算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，再计算加减即可； （2）先对括号里的式子通分，对括号外的式子进行因式分解，然后把除法变成乘法运算，再化简求解即可； （3）先根据分式的混合运算法则进行化简，再代入一个使分式有意义的值，计算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： 原式 ； （3）解： ， ∵当或时，原分式无意义， ∴， 当时，原式． 【变式训练3】（25-26九年级下·江苏泰州·月考）先化简，再求值: 其中 【答案】， 【考点剖析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再代入求值． 【完整解答】解： ， 当时，原式． 第二部分 分层训练 实战攻坚 基础能力提升 1．（2026·江苏徐州·一模）下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【考点剖析】本题考查幂的基本运算，根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则，逐个判断选项即可得到正确结果． 【完整解答】根据幂的运算法则逐一判断： 对于A，同底数幂相除，底数不变，指数相减，∵ ，∴ A错误； 对于B，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∵，∴ B错误； 对于C，同底数幂相除，底数不变，指数相减，∵ ，∴ C正确； 对于D，幂的乘方，底数不变，指数相乘，∵ ，∴ D错误． 2．（2026·江苏南通·模拟预测）计算 的结果是（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【考点剖析】将异分母分式转化为同分母分式，再根据同分母分式加减法则计算 本题考查了分式的运算法则，能熟记分式的运算法则是解此题的关键． 【完整解答】解：∵ ∴原式 = = 故选：A． 3．（2026·江苏无锡·二模）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【考点剖析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式求解即可． 【完整解答】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数满足， 解不等式 ，即． 4．（2026·江苏扬州·一模）若，则的值是（        ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【考点剖析】本题先根据已知等式变形得到，再对所求多项式降次变形，代入计算即可得到结果． 【完整解答】解：∵ 两边平方得 展开得 整理得，等式两边同除以得 ∴ = 5．（2026·江苏南京·模拟预测）计算：的结果是______． 【答案】 【考点剖析】先拆分指数，逆用积的乘方法则，再结合平方差公式化简计算，即可得到结果． 【完整解答】解： ， ∴的结果是． 6．（2026·江苏徐州·一模）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】 【考点剖析】根据二次根式有意义的条件得到，即可得到答案． 【完整解答】解：式子在实数范围内有意义， 即， 解得． 7．（2025九年级·山东·专题练习）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【考点剖析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于，分母不等于，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【完整解答】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2026·江苏扬州·一模）计算与解方程： (1)计算：； (2)用配方法解方程：． 【答案】(1)3 (2)， 【考点剖析】（1）先根据绝对值的定义计算，再根据零指数幂的性质计算，最后根据负整数指数幂的性质计算，再将结果进行加减运算； （2）首先要把常数项移到方程右边，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，最后利用直接开平方法求解方程． 【完整解答】（1）解：原式 ； （2）解：， 移项，得， 配方，得， ∴， 开平方，得， 移项，得， ，． 9．（2026·江苏徐州·一模）计算及化简 (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1)3 (2) 【考点剖析】（1）分别计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，化简二次根式，再进行实数的混合运算； （2）先计算括号内加法，再将除法化为乘法计算． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 10．（2025·江苏连云港·模拟预测）计算： (1)计算：． (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【考点剖析】本题主要考查了实数混合运算，解不等式组，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式性质，零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行求解即可； （2）先求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 拔尖突破冲刺 1．（2026·江苏南通·模拟预测）若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【考点剖析】本题考查二次根式有意义的条件．先根据被开方数非负求出x的值，再代入求出y的值，最后计算即可． 【完整解答】解：∵，且， ∴，解得， 将代入中得：． ∴． 故选:C． 2．（2025·山东烟台·中考真题）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【考点剖析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，先证明，，设，可得，，求解，过作于，再进一步求解即可． 【完整解答】解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 过作于， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D 3．（2026·江苏宿迁·一模）已知、、三点，点、在反比例函数图像上，点在反比例函数图像上，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【考点剖析】根据函数图像上点的坐标特征得，，，结合已知等式逐步推导，即可求出的值． 【完整解答】解：∵点，在图像上， ∴，， ∵点在图像上， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【考点剖析】本题考查分式的加减运算，根据分式的加减运算法则，先通分再化简即可． 【完整解答】解： ． 故选：B． 5．（2026·江苏徐州·一模）已知且，则 _____． 【答案】1 【考点剖析】利用完全平方公式展开分母，再将已知代入分式化简，即可得到结果． 【完整解答】解：∵， ∴ ． 6．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是____________． 【答案】2 【考点剖析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减． 【完整解答】解： ． 故答案为：2． 7．（2026·江苏扬州·一模）计算与解不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【考点剖析】（1）根据求解即可； （2）根据解不等式组的基本步骤求解即可； 【完整解答】（1）解：原式 ； （2）解：， 解不等式得； 解不等式得， 故不等式组的解集为． 8．（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【考点剖析】（1）根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据，，可以证明，从而得出，由此即可得出结论； （2）连接、，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，再根据正方形对角线相等和菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【完整解答】（1）证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形为菱形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 菱形为正方形． （2）解：连接、，如图所示：   于点，点为的中点， 为线段的垂直平分线， ， 四边形为正方形， ∴， 正方形的面积． 9．（2026·江苏南通·模拟预测）计算和化简 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【考点剖析】（1）根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则进行计算即可； （2）根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则，结合绝对值性质，进行计算即可； （3）利用完全平方公式化简括号内的部分，再将除法转化为乘法，进行计算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 10．（2026·江苏扬州·一模）对x，y定义一种新运算，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知， ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围． (2)若对任意实数x，y都成立（这里，都有意义），则a、b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①，；② (2) 【考点剖析】（1）①已知两对值代入中计算求出与的值； ②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有2个整数解，求出的范围即可； （2）由列出关系式，整理后即可确定出与的关系式． 【完整解答】（1）解：①∵，，， ∴，， 解得，； ②解，即， 解得； 解，即， 解得； ∴不等式的解集为， ∵关于m的不等式组恰好有2个整数解， 即， ∴， 解得； （2）解：∵对任意实数x，y都成立， ∴， 整理得， 展开得， 化简得， 再整理得， 由于上式对于任意实数x，y都成立， ∴， ∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $