2026年中考数学复习 第一讲 实数【重点难点突围专项练】-（江苏专用）

第一讲 实数『重点难点突围专项练（江苏专用）』 【原卷版】 简介 蓄力升学 逐梦前行 『真题溯源·江苏专版』本资料深度剖析江苏省近两年中考真题及前沿模拟题，直击中考高频考点，精准锁定每年必考的压轴题型与思想方法，让你的练习不偏科、不做无用功。 【第一部分 题型讲练·模型拆解】采用“例题精讲+变式训练”模式，对每类重难点题型进行标准化拆解。配套详尽的解题思路与规范步骤，不仅教会你如何解题，更传授得分技巧，帮你建立满分思维。 【第二部分 能力分层·稳步提升】科学设置20题分层训练： 1. 基础能力提升（10题）：快速夯实核心考点，确保基础分不丢分； 2. 拔尖突破冲刺（10题）：聚焦易错题与综合压轴题，挑战思维极限，实现分数阶梯式增长。 『助力升学·决胜考场』依托真题本源，对标中考难度。这套讲义是你通往理想高中的坚实阶梯，愿你以梦为马，提笔为剑，在中考战场上披荆斩棘，金榜题名！ 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 正数和负数 题型二 与数轴上的有关问题 题型三 相反数、绝对值 题型四 科学计数法 题型五 平方根、立方根 题型六 无理数的概念理解 题型七 无理数的估算 题型八 实数的运算 第一部分 精讲变式 融会贯通 【题型一 正数和负数】 【典例精讲】如果零上记作，那么零下记作________． 【变式训练1】（2025·江苏扬州·一模）我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·江苏镇江·中考真题）如果汽车加油30升记作升，那么用去油10升，记作_____． 【变式训练3】（2025·山东济南·中考真题）下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 【题型二 与数轴上的有关问题】 【典例精讲】（2026·湖北·一模）如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】如图，在中，，，边在数轴上．点Q表示的数为1，点R表示的数为3，以Q为圆心，为半径画弧交数轴负半轴于点，则表示的数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】如图1，数轴上O点与C点对应的数分别是0、90（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当点A移动到点B的位置时，B与C重合；当点B移动到点A的位置时，A与O重合． (1)直尺的长为_____个单位长度． (2)若直尺在数轴上移动，且满足，请借助图2求此时点A对应的数； (3)如图3，在数轴前面放一个以为边不透明的长方形挡板，将直尺放在挡板后数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺沿数轴以5个单位/秒的速度分别向左、向右移动，直到直尺完全被看到． ①若向左移动所经历时间是向右移动所经历时间的2倍，求直尺起初放置时点A对应的数为多少？ ②若不透明的挡板与直尺同时出发，挡板沿数轴以1个单位/秒的速度向右移动，当点A对应的数为多少时，向左、向右移动所经历的时间相差2秒？ 【题型三 相反数、绝对值】 【典例精讲】（2026·江苏扬州·一模）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”，的相反数为（   ） A．-2026 B．2026 C． D． 【变式训练1】（2026·江苏徐州·一模）年是农历丙午马年，的相反数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·江苏宿迁·一模）计算：． 【变式训练3】（2026·江苏徐州·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型四 科学计数法】 【典例精讲】（2026·江苏扬州·一模）3月29日扬州半程马拉松鸣枪开跑，23000名跑者穿越“世界运河之都、世界美食之都、东亚文化之都”的千年画卷，将23000用科学记数法表示为_____________． 【变式训练1】（2026·安徽阜阳·一模）2025年12月，国家统计局发布权威数据：2025年全国粮食总产量达14298亿斤，较2024年增加167.5亿斤，同比增长，连续两年稳定在1.4万亿斤以上．其中数据“14298亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·福建厦门·期末）2025年9月，中芯国际开始测试国产浸没式 光刻机，标志着中国在制程核心设备领域实现里程碑式进展．已知．将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）石墨烯是目前已知最薄的材料，其理论厚度仅为米，这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【题型五 平方根、立方根】 【典例精讲】的平方根是___________． 【变式训练1】4的平方根是（   ） A． B． C．2 D． 【变式训练2】（2026·江苏盐城·一模）计算：； 【变式训练3】（2026·江苏扬州·一模）计算： (1) ； (2)． 【题型六 无理数的概念理解】 【典例精讲】（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【变式训练1】（2025·江苏淮安·一模）下面各数中是无理数的是（ ） A．2025 B． C． D． 【变式训练2】（2025·江苏扬州·三模）下列实数是无理数的是（   ） A．1 B． C． D．2024 【变式训练3】（2025·江苏南京·三模）下列各数中的无理数是（   ） A． B． C． D． 【题型七 无理数的估算】 【典例精讲】（2026·江苏扬州·一模）图1是由6个全等的正方形组成的图形，每个小正方形的边长为1，则图2中线段长度最接近的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026·江苏南京·模拟预测）整数a满足，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·江苏盐城·一模）如图，数轴上的点A表示的无理数可能是（） A． B． C． D． 【变式训练3】（2026·江苏徐州·一模）如图，估计的值所对应的点可能落在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【题型八 实数的运算】 【典例精讲】（2026·江苏扬州·一模）计算与解方程： (1)计算：； (2)用配方法解方程：． 【变式训练1】（2026·江苏扬州·一模）计算与解不等式组： (1) (2) 【变式训练2】（2026·江苏徐州·一模）计算及化简 (1) 计算：； (2)化简：． 【变式训练3】（2026·江苏盐城·一模）计算：． 第二部分 分层训练 实战攻坚 基础能力提升 1．（2026·江苏无锡·二模）的相反数是（    ） A．3 B． C． D． 2．（2026·江苏盐城·模拟预测）我国很早就开始使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，其中．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·重庆九龙坡·开学考试）比较大小：______（填“>”、“<”或“=”） 5．（2022·江苏宿迁·三模）若，则的值等于 _____． 6．（2025·江苏扬州·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则____． 7．（2026·江苏苏州·一模）如图，等腰中，，，点D为斜边上一点（不与A，B重合），，连接，将线段绕点C顺时针方向旋转至，连接、．若，，求________． 8．（23-24八年级上·四川成都·期中）比较：________（填“”“ ”或“”）． 9．（2026·江苏南通·模拟预测）计算和化简 (1)； (2)； (3)． 10．（2026·江苏扬州·一模）谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 拔尖突破冲刺 1．（2025·四川成都·一模）如图所示，实数a，b在数轴上的对应点分别为点A，B，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北武汉·三模）黑板上有按规律排列的20个整数：1，，3，，5，，7，，，19，．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同，然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，，，则添写数字．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是（    ） A．6或4 B．2或8 C．或6 D．2或 3．史料证明：我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．古籍中记载了利用算筹实施“正负术”的方法，若图表示的是计算的过程，则图表示的过程是（   ）    A． B． C． D． 4．已知为非负整数，关于的方程至少有一个整数根，则的可能取值的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知，则的值是__________． 6．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为_______． 7．（2025·广东深圳·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点，，则__________． 8．（2023·江苏徐州·模拟预测）计算： (1)； (2)． 9．（2023·江苏淮安·模拟预测）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按成人价的六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按成人价的八折优惠． 设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为（元），按照方案二所需费用为（元），其函数图象如图所示． (1)学生暑期专享卡每张 元； (2)成人健身每次需要 元； (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由． 10．（2025·江苏宿迁·二模）通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 【阅读材料】 例如，比较与的大小． 解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）． （构造图形）， （三角形任意两边之和大于第三边）． ，，（勾股定理），． 【问题解决】 （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）； A．类比思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由； 【拓展探究】 （3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________． （要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一讲 实数『重点难点突围专项练（江苏专用）』 【解析版】 简介 蓄力升学 逐梦前行 『真题溯源·江苏专版』本资料深度剖析江苏省近两年中考真题及前沿模拟题，直击中考高频考点，精准锁定每年必考的压轴题型与思想方法，让你的练习不偏科、不做无用功。 【第一部分 题型讲练·模型拆解】采用“例题精讲+变式训练”模式，对每类重难点题型进行标准化拆解。配套详尽的解题思路与规范步骤，不仅教会你如何解题，更传授得分技巧，帮你建立满分思维。 【第二部分 能力分层·稳步提升】科学设置20题分层训练： 1. 基础能力提升（10题）：快速夯实核心考点，确保基础分不丢分； 2. 拔尖突破冲刺（10题）：聚焦易错题与综合压轴题，挑战思维极限，实现分数阶梯式增长。 『助力升学·决胜考场』依托真题本源，对标中考难度。这套讲义是你通往理想高中的坚实阶梯，愿你以梦为马，提笔为剑，在中考战场上披荆斩棘，金榜题名！ 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 正数和负数 题型二 与数轴上的有关问题 题型三 相反数、绝对值 题型四 科学计数法 题型五 平方根、立方根 题型六 无理数的概念理解 题型七 无理数的估算 题型八 实数的运算 第一部分 精讲变式 融会贯通 【题型一 正数和负数】 【典例精讲】如果零上记作，那么零下记作________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【完整解答】解：如果零上记作，那么零下记作 故答案为：． 【变式训练1】（2025·江苏扬州·一模）我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查正负数的应用． 在一对具有相反意义的量中，规定一个方向为正，则相反方向为负． 【完整解答】解：∵气温升高记作， ∴气温下降记作． 故选：B． 【变式训练2】（2025·江苏镇江·中考真题）如果汽车加油30升记作升，那么用去油10升，记作_____． 【答案】升 【思路引导】本题主要考查了具有相反意义的量，根据题意准确分析可得结果． 根据加油记作，则用去油记作即可得解． 【完整解答】汽车加油30升记作升， 用去油10升记作升； 故答案是：升． 【变式训练3】（2025·山东济南·中考真题）下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查负数的识别．小于0的数即为负数，据此即可求得答案． 【完整解答】解：和2均大于0，是正数，0既不是正数也不是负数，，是负数， 故选：D ． 【题型二 与数轴上的有关问题】 【典例精讲】（2026·湖北·一模）如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了数轴．由题意得，手掌遮住的数大于且小于0，据此可得答案． 【完整解答】解：由题意得，手掌遮挡住的数大于且小于0， ∴四个选项中只有C选项中的数符合题意， 故选：C． 【变式训练1】如图，在中，，，边在数轴上．点Q表示的数为1，点R表示的数为3，以Q为圆心，为半径画弧交数轴负半轴于点，则表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了用数轴表示无理数，关键是利用勾股定理求出直角三角形的斜边长. 首先利用勾股定理计算出的长，进而可得出的长度，再由点表示的数为1可得答案. 【完整解答】解：根据题意可得：在中，，，， ∵点Q表示的数为1，点R表示的数为3， ∴， ∴， ∵点Q表示的数为1， ∴表示的数为， 故选：C. 【变式训练2】有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了数轴，能够根据有理数在数轴上对应点的位置进行判断是解题的关键．根据有理数，在数轴上对应点的位置进行判断即可． 【完整解答】解：∵， ∴，，， 故选：D． 【变式训练3】如图1，数轴上O点与C点对应的数分别是0、90（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当点A移动到点B的位置时，B与C重合；当点B移动到点A的位置时，A与O重合． (1)直尺的长为_____个单位长度． (2)若直尺在数轴上移动，且满足，请借助图2求此时点A对应的数； (3)如图3，在数轴前面放一个以为边不透明的长方形挡板，将直尺放在挡板后数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺沿数轴以5个单位/秒的速度分别向左、向右移动，直到直尺完全被看到． ①若向左移动所经历时间是向右移动所经历时间的2倍，求直尺起初放置时点A对应的数为多少？ ②若不透明的挡板与直尺同时出发，挡板沿数轴以1个单位/秒的速度向右移动，当点A对应的数为多少时，向左、向右移动所经历的时间相差2秒？ 【答案】(1)30 (2)或10 (3)①50；②或 【思路引导】此题考查了数轴上的动点问题，线段的和差倍分、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是关键． （1）线段长度相等以及线段的长度，求出线段的长度； （2）需对直尺与点O、点C的位置进行分类讨论，表示出线段与的长度，利用方程求点A表示的数； （3）①由“速度×时间=路程”，结合线段长度求A对应的数； ②利用追击问题和相遇问题，求点A表示的数． 【完整解答】（1）解：∵将直尺在数轴上水平移动，当点A移动到点B的位置时，B与C重合；当点B移动到点A的位置时，A与O重合， ∴， ∵O点与C点对应的数分别是0、90， ∴， ∴（单位长度）， 故答案为：30． （2）设点A表示的数为x,则：点B表示的数为， ①如图（1），当点A在点O左侧时，, ∵， ∴, 解得：， ∴点A表示的数为． ②如图（2），当点A在点O右侧，点B在点C左侧时，, ∵， ∴, 解得：， ∴点A表示的数为10． ③如图（3），当点B在点C右侧时， 很显然，， ∴不成立． 综上所述：当点A对应的数为或10时，． （3）①∵向左、向右移动的速度相同，向左的时间是向右时间的2倍， ∴向左的路程是向右路程的2倍，即：， 设,则：， 解得：， ∴， ∴， ∴点A表示的数为50． ②设点A对应的数为m,点B对应的数为，则：, （i）当左移时间大于右移时间时， ，解得：， （ii）当左移时间小于右移时间时， ，解得：， 综上所述：点A对应的数为46.8或37.2时，右移和左移时间相差2秒． 【题型三 相反数、绝对值】 【典例精讲】（2026·江苏扬州·一模）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”，的相反数为（   ） A．-2026 B．2026 C． D． 【答案】C 【思路引导】根据相反数的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解． 【完整解答】解：的相反数是． 【变式训练1】（2026·江苏徐州·一模）年是农历丙午马年，的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【完整解答】解：， 的相反数是． 【变式训练2】（2026·江苏宿迁·一模）计算：． 【答案】1 【思路引导】根据求解即可； 【完整解答】解：原式． 【变式训练3】（2026·江苏徐州·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】由数轴可得，，再判断各选项即可． 【完整解答】解：由数轴可得，， ∴，，，． 【题型四 科学计数法】 【典例精讲】（2026·江苏扬州·一模）3月29日扬州半程马拉松鸣枪开跑，23000名跑者穿越“世界运河之都、世界美食之都、东亚文化之都”的千年画卷，将23000用科学记数法表示为_____________． 【答案】 【完整解答】解：． 【变式训练1】（2026·安徽阜阳·一模）2025年12月，国家统计局发布权威数据：2025年全国粮食总产量达14298亿斤，较2024年增加167.5亿斤，同比增长，连续两年稳定在1.4万亿斤以上．其中数据“14298亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【完整解答】解：14298亿． 【变式训练2】（25-26八年级上·福建厦门·期末）2025年9月，中芯国际开始测试国产浸没式 光刻机，标志着中国在制程核心设备领域实现里程碑式进展．已知．将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【完整解答】解：． 故选：B． 【变式训练3】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）石墨烯是目前已知最薄的材料，其理论厚度仅为米，这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 科学记数法，将原数表示为的形式，其中，为整数． 【完整解答】解：， 故选：D． 【题型五 平方根、立方根】 【典例精讲】的平方根是___________． 【答案】 【思路引导】本题考查的是平方根，准确把握平方根的定义是解题的关键．根据平方根的定义：若一个数的平方等于，则这个数是的平方根，结合平方运算的结果特征，得出正数的平方根有两个且互为相反数． 【完整解答】解：． 故答案为：． 【变式训练1】4的平方根是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【思路引导】根据平方根的定义，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【完整解答】解：∵ ， ∴ 的平方根是． 故选D． 【变式训练2】（2026·江苏盐城·一模）计算：； 【答案】 【思路引导】先分别计算负整数指数幂、立方根、绝对值、特殊角的三角函数值和乘方，然后再计算加减即可． 【完整解答】解：原式 ． 【变式训练3】（2026·江苏扬州·一模）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 【题型六 无理数的概念理解】 【典例精讲】（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比大的无理数解答即可． 【完整解答】解：， ∵是无理数， 故答案为：C． 【变式训练1】（2025·江苏淮安·一模）下面各数中是无理数的是（ ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查无理数，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【完整解答】解：是分数，2025，，是整数，它们不是无理数， 是无限不循环小数，它是无理数， 故选：C． 【变式训练2】（2025·江苏扬州·三模）下列实数是无理数的是（   ） A．1 B． C． D．2024 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了无理数的概念，零指数幂，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②含有与有理数的和差积商；③有规律但无限不循环的小数．据此判断即可． 【完整解答】解：A、1是有理数，不符合题意； B、是无理数，符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、2024是有理数，不符合题意； 故选：B． 【变式训练3】（2025·江苏南京·三模）下列各数中的无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题主要考查了无理数．熟练掌握无理数的定义，0指数，特殊角的三角函数，算术平根性质，是解题的关键．无限不循环小数为无理数．如带根号开不尽方的，化简结果含π的，特殊构造的，像0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0），等形式的数才是无理数． 分别根据无理数、有理数的定义即可判断． 【完整解答】解： A. ，是无理数，符合题意： B. ，是有理数，不符合题意； C. ，是有理数，不符合题意； D. ，是有理数，不符合题意． 故选：A． 【题型七 无理数的估算】 【典例精讲】（2026·江苏扬州·一模）图1是由6个全等的正方形组成的图形，每个小正方形的边长为1，则图2中线段长度最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】由勾股定理计算出各条线段的长度，再估算出每条线段长度的范围，即可得出结果． 【完整解答】解：由题意可得：，，，， ∵，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴线段长度最接近的是． 【变式训练1】（2026·江苏南京·模拟预测）整数a满足，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先估算和的整数范围，再根据不等式性质得到和的范围，最后找出区间内的整数即可得到结果. 【完整解答】解：∵ ，， ∴ ，， 即 ，， 不等式两边同乘，不等号方向改变，可得 ，， ∵ ， ∴ ， 又∵是整数， ∴， 【变式训练2】（2026·江苏盐城·一模）如图，数轴上的点A表示的无理数可能是（） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据数轴确定点的取值范围，再估算各选项的数值进行判断． 【完整解答】解：由图可知，点在和之间，即． A．，，故A不符合； B．，，故B符合； C．，，，，即，故C不符合； D．，故D不符合． 【变式训练3】（2026·江苏徐州·一模）如图，估计的值所对应的点可能落在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】D 【思路引导】先估算的取值范围，进而确定的取值范围，从而判断其对应的点的位置． 【完整解答】解：∵， ∴， ∴， ∴的值所对应的点可能落在点D处． 【题型八 实数的运算】 【典例精讲】（2026·江苏扬州·一模）计算与解方程： (1)计算：； (2)用配方法解方程：． 【答案】(1)3 (2)， 【思路引导】（1）先根据绝对值的定义计算，再根据零指数幂的性质计算，最后根据负整数指数幂的性质计算，再将结果进行加减运算； （2）首先要把常数项移到方程右边，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，最后利用直接开平方法求解方程． 【完整解答】（1）解：原式 ； （2）解：， 移项，得， 配方，得， ∴， 开平方，得， 移项，得， ，． 【变式训练1】（2026·江苏扬州·一模）计算与解不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据求解即可； （2）根据解不等式组的基本步骤求解即可； 【完整解答】（1）解：原式 ； （2）解：， 解不等式得； 解不等式得， 故不等式组的解集为． 【变式训练2】（2026·江苏徐州·一模）计算及化简 (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1)3 (2) 【思路引导】（1）分别计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，化简二次根式，再进行实数的混合运算； （2）先计算括号内加法，再将除法化为乘法计算． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练3】（2026·江苏盐城·一模）计算：． 【答案】 【思路引导】本题分别计算负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值与二次根式的化简，再计算加减即可得到最终结果． 【完整解答】解： 第二部分 分层训练 实战攻坚 基础能力提升 1．（2026·江苏无锡·二模）的相反数是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【完整解答】解：的相反数是3． 2．（2026·江苏盐城·模拟预测）我国很早就开始使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【完整解答】 解：由题意得，黑色算筹“”表示的数是． 3．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，其中．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据数轴上点的位置确定的大小关系，结合得出互为相反数，进而逐一判断选项即可． 【完整解答】解：由数轴可知：， ， 互为相反数，即， ， ， A、， ，故结论正确，A错误； B、，， ，故结论正确，B错误； C、， ， 又， ，故结论正确，C错误； D、， ， ， ． 两个负数比较大小，绝对值大的反而小， ，即，故结论错误，D正确． 4．（23-24七年级下·重庆九龙坡·开学考试）比较大小：______（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较方法判断即可，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【完整解答】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2022·江苏宿迁·三模）若，则的值等于 _____． 【答案】1 【思路引导】本题主要考查了绝对值的非负性，代数式求值，求出是解题的关键． 先根据非负性得到，求出，再代入求值即可． 【完整解答】解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 6．（2025·江苏扬州·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则____． 【答案】/ 【思路引导】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，如图，先计算，，可得，，再进一步求解即可． 【完整解答】解：如图， ∵，， ∴，， ∵点A表示的数为，点B表示的数为b， ∴， 故答案为：． 7．（2026·江苏苏州·一模）如图，等腰中，，，点D为斜边上一点（不与A，B重合），，连接，将线段绕点C顺时针方向旋转至，连接、．若，，求________． 【答案】 【思路引导】根据旋转的定义得到，，证明，求出，再根据勾股定理即可求出答案． 【完整解答】解：由旋转可知，，， ， ， ． 在和中，， ，． 是等腰直角三角形， ，， ． 又 ， 则在中，． 8．（23-24八年级上·四川成都·期中）比较：________（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【思路引导】利用分母相同的正分数比较大小的规则，通过比较分子的大小来判断两个分数的大小关系，先确定的取值范围，进而得到分子的大小关系． 【完整解答】解：∵，， ∴，即， ∵两个正分数分母相同，分子大的分数值大， ∴． 9．（2026·江苏南通·模拟预测）计算和化简 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则进行计算即可； （2）根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则，结合绝对值性质，进行计算即可； （3）利用完全平方公式化简括号内的部分，再将除法转化为乘法，进行计算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 10．（2026·江苏扬州·一模）谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 【答案】(1)总体看刘奶奶更划算 (2)总体看刘奶奶更划算 【思路引导】对于（1），因为已知两次大米的具体单价，所以分别根据刘奶奶和张奶奶的购买习惯，计算两人两次购买的总花费和总质量，再利用平均单价公式算出各自的平均单价，最后比较大小． 对于（2），因为单价是字母和，所以同样按照（1）的思路，用含、的代数式表示出两人的总花费、总质量，进而得到平均单价的代数式，再通过作差法比较两个代数式的大小，判断谁的平均单价更低． 【完整解答】（1）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 总体看刘奶奶更划算． （2）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 又购买大米的价格都在波动，即，， ， ， 总体看刘奶奶更划算． 拔尖突破冲刺 1．（2025·四川成都·一模）如图所示，实数a，b在数轴上的对应点分别为点A，B，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查利用数轴比较数的大小、有理数的加减运算等知识点．熟练掌握数轴上左边点表示的数总大于右边点表示的数是解题的关键． 先根据数轴确定a、b的取值范围，然后逐项判断即可． 【完整解答】解：由数轴可知：， A． ，故A选项错误，不符合题意； B．由，，则，故B选项错误，不符合题意； C． ，则，所以，故C选项正确，符合题意； D．由，故D选项错误，不符合题意． 故选C． 2．（2025·湖北武汉·三模）黑板上有按规律排列的20个整数：1，，3，，5，，7，，，19，．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同，然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，，，则添写数字．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是（    ） A．6或4 B．2或8 C．或6 D．2或 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了有理数加减运算，数字规律探索，解题的关键是理解题意，找出数字运算规律．根据题意可分析出这20数的和的个位数为0，经过9次操作后剩下两个数，一个是，另一个一定是一个个位数，据此即可确定答案． 【完整解答】解：， 这20数的和的个位数为0， 经过9次操作后剩下两个数，一个是，另一个一定是一个个位数， 或， 另一个数是或6． 故选：C． 3．史料证明：我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．古籍中记载了利用算筹实施“正负术”的方法，若图表示的是计算的过程，则图表示的过程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了有理数的加法、正负数的定义，解题的关键是理解图表示的计算． 由图可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图即可列式． 【完整解答】解：由图知：白色表示正数，黑色表示负数， 所以图表示的过程是：， 故选：A． 4．已知为非负整数，关于的方程至少有一个整数根，则的可能取值的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【思路引导】本题考查了含二次根式的一元方程整数根的求解及非负整数参数的确定，解题的关键是先根据二次根式有意义的条件确定未知数的取值范围，再结合整数根的特征列举可能的整数解，代入方程求解参数并验证其非负整数属性． 由二次根式有意义得，即，列举的整数；将每个整数代入方程解出；判断是否为非负整数，统计符合条件的的个数，进而确定选项． 【完整解答】解：∵有意义， ∴，即；又方程至少有一个整数根，故为的整数，代入方程求： 当时，，即，解得，是非负整数，符合条件； 当时，，即，解得，是非负整数，符合条件； 当时，，即，解得，非整数，不符合； 当时，，即，解得，是非负整数，符合条件； 当时，代入方程得为负数或非整数，均不符合． 综上，符合条件的的值有、、，共个． 故选：D． 5．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知，则的值是__________． 【答案】 【思路引导】本题考查了完全平方公式，实数的运算，以及分式的混合运算． 利用完全平方公式将化为，进而计算即可． 【完整解答】解：∵， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【思路引导】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换—旋转，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，然后根据勾股定理并利用偶次方非负数的性质即可解决问题． 【完整解答】解：作轴于点，轴于， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设， ， ， ， ， 当时，有最小值为5， 的最小值为， 故答案为：． 7．（2025·广东深圳·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点，，则__________． 【答案】3 【思路引导】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式． 根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【完整解答】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ∵抛物线与x轴交点处， ∴令，即． ∴或， 解得：∴，， ， 故答案为：3． 8．（2023·江苏徐州·模拟预测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先计算零指数幂和负整数指数幂，绝对值，再算加减即可； （2）先进行括号内的分式的加法运算，再计算分式的除法即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 9．（2023·江苏淮安·模拟预测）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按成人价的六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按成人价的八折优惠． 设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为（元），按照方案二所需费用为（元），其函数图象如图所示． (1)学生暑期专享卡每张 元； (2)成人健身每次需要 元； (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由． 【答案】(1)30 (2)25 (3)应选择方案一所需费用更少，理由见解析 【思路引导】本题考查了从函数图象获取信息，有理数混合运算的应用，理解图象是解题关键． （1）根据图象直接作答即可； （2）根据图象求出成人价的六折价格，再求出成人票价格即可； （3）当时，分别求出两种方案的费用，比较即可求解． 【完整解答】（1）解：由图象可得， 学生暑期专享卡每张30元， 故答案为：30； （2）解： ＝25（元）， 故答案为：25； （3）解：八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择方案一所需费用更少． 理由：当时， 方案一需要花费：（元）， 方案二需要花费：（元）， ∵， ∴八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择方案一所需费用更少． 10．（2025·江苏宿迁·二模）通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 【阅读材料】 例如，比较与的大小． 解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）． （构造图形）， （三角形任意两边之和大于第三边）． ，，（勾股定理），． 【问题解决】 （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）； A．类比思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由； 【拓展探究】 （3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________． （要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形） 【答案】（1）D；（2），理由见解析；（3） 【思路引导】本题主要考查了实数大小比较、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键． （1）依据题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想，故可得解； （2）依据题意，在正方形网格中，构造线段，再利用两点之间，线段最短，从而可以判断得解； （3）依据题意，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则，从而，，，又是A关于的对称点，故．再根据两点之间线段最短，，可得当P在F时，取最小值为．又，可得．进而可以判断得解． 【完整解答】解：（1）由题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想． 故答案为：D； （2）由题意，在正方形网格中，如图1，构造线段． ∵两点之间，线段最短， ∴． ∵，， ，， ∴． ∴； （3）由题意，如图2，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则， ∴， ， ． 又∵是A关于的对称点， ∴． 又根据两点之间线段最短，， ∴． ∴． ∴当P在F时，取最小值为． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴当时，取最小值为． 故答案为：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $