二次函数压轴题之矩形、菱形、正方形存在问题点拨与精练-2026年中考数学二轮复习专题讲义

二次函数压轴题之矩形、菱形、正方形存在问题点拨与精练 点拨： 一、考向点拨 中考二次函数压轴题的拔高设问，多为解答题第3-4问，是平行四边形性质的延伸应用： 1.矩形存在性：在平行四边形的基础上，探究对角线相等或有一个角为直角的情况。 2.菱形存在性：在平行四边形的基础上，探究邻边相等或对角线互相垂直的情况。 3.正方形存在性：同时满足矩形和菱形的条件，难度更高。 二、思路点拨 1.矩形存在性解题技巧： ①先按平行四边形存在性问题求出所有可能的点； ②再根据 “对角线相等” 或 “有一个角为直角” 的条件，筛选出符合矩形的点； ③利用勾股定理或斜率垂直列方程，求解并检验。 2.菱形存在性解题技巧： ①先按平行四边形存在性问题求出所有可能的点； ②再根据 “邻边相等” 或 “对角线互相垂直” 的条件，筛选出符合菱形的点； ③利用两点间距离公式或斜率垂直列方程，求解并检验。 3.关键技巧：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，解题时先利用平行四边形的中点坐标法，再叠加特殊条件，避免直接讨论的复杂性。 精练 1．如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； (3)若点P是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，有最大值，且最大值为 (3)存在，或或或 【分析】（1）根据，，运用待定系数法即可求解； （2）根据，，求出直线的解析式，根据点的横坐标为，可用含的式子表示点，，的坐标，由此可得的长关于的二次函数，根据最值的计算方法即可求解； （3）首先求出，且，然后设，表示出，，，然后分，，三种情况讨论，然后分别根据菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为， ∴， ∵， ∴，则， 把，代入二次函数解析式得， ，解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点， ∴点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为； （3）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，且， ∴令时，，则，， ∴，且 ∵直线的解析式为，点P是直线上的一个动点， ∴设 ∴，， ∴当时 ∴ ∴ ∴， ∴当时， ∴ ∴如图所示，当四边形是菱形时 ∴ ∴；∴ ∴； 当时， ∴ ∴如图所示，当四边形是菱形时 ∴ ∴ ∴ ∴； ∴时 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴如图所示，四边形是菱形 ∴；∴ ∴ ∴； 当时， ∴ ∴ ∴或（舍去） ∴当时， ∴ ∴如图所示，四边形是菱形 ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，且Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数与特殊四边形的综合，勾股定理，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像的性质，菱形的判定和性质等知识是解题的关键． 2．（2025·贵州贵阳·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为时，的最大值为4 (3)存在，的坐标是 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质． （1）将，分别代入，得到二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设，由由，，可得直线的表达式为，设，得，即可求解； （3）由四边形为菱形，得，，进而得，则，即可求解． 【详解】（1）解：将，分别代入， 得， 解这个方程组，得， 所以二次函数的表达式为； （2）解：设， 由，，可得直线的表达式为， 设， ∴ ， 当时，， 故点的坐标为时，的最大值为4； （3）解：存在，理由如下： 如图，连接，交于点， 设点， 若四边形为菱形， 则，， ∴， ∴，即，解得， ∵点在第一象限， 故当点的坐标是时，四边形为菱形． 3．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）存在； 当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点D，且． (1)判断ΔABC的形状，并说明理由； (2)设点是抛物线在第四象限部分上的点，设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求使S最大时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标． 【答案】(1)为直角三角形． (2)，当时，四边形的面积为最大， ． (3)或或或或． 【分析】（1）先求解抛物线为：，可得，，结合，证明，即可得到结论． （2）由题意可得：，如图，连接，结合，再进一步求解即可． （3）设，分情况讨论：当时，如图， 当时，如图，当时，再结合菱形性质建立方程可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ． ∴， 解得：， ∴抛物线为：， 当时，， ∴， 当时，则， 解得：，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴为直角三角形． （2）解：点是抛物线在第四象限部分上的点， ∴， 如图，连接， ∴ ， 其中：， ∴当时，四边形的面积为最大，最大面积为， 此时． （3）解：∵抛物线的对称轴为直线， 设， ∵以、、、为顶点的四边形是菱形，分情况讨论如下： 当时，如图， ∴， 解得：， ∴， 当时，如图， ∴， 解得：， ∴或， 如图，当时， ∴， 解得：， ∴或， 综上：或或或或． 【点睛】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，列函数关系式，菱形的性质的应用，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 5．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，连接和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上是否存在一点使得的周长最小，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点是轴上的动点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请 直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，点的坐标为，或或或 【分析】（1）根据线段，的长度，判断出，的坐标，代入抛物线解析式，求出，的值，解析式即可求出； （2）求出对称轴为，当点，，在同一直线上时，的周长最小，列出关系式求解，即可求出点坐标； （3）分两种情况，若为菱形的边长或若为菱形的对角线来讨论，根据平行关系，求出坐标值． 【详解】（1）解：，， ，， 抛物线过点，， ，， 抛物线的解析式为； （2）如图所示，    当时，，解得，， ，抛物线的对称轴为直线， 点在直线上，点，关于直线对称， ，， 当点，，在同一直线上时，的周长最小， 设直线的解析式为， ，解得， 直线， ， ，； （3）存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形． ，， ， ①若为菱形的边长，如图所示，    则，且， ，，，； ②若为菱形的对角线，如图所示，    则，，设， ，解得， ， 综上所述，存在，点的坐标为，或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，轴对称的性质，菱形的性质等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用二次函数的图象及性质．解题关键是找特殊点，充分利用对称轴，顶点坐标等知识． 6．（2025·山东济宁·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和点．与y轴交于点C，连接，． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于D． ①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线交于点N．当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①存在，点E的坐标为或；②3 【分析】（1）把A、B的坐标代入抛物线，可求得a，b的值，即可得函数表达式； （2）①设点D的坐标为，其中，可得，，，分两种情况画出图形，根据菱形的性质即可求解； ②设点D的坐标为，其中，由直线可设直线的解析式为,由点D的坐标可得，则，根据的函数表达式可得，求出，根据可求得m，求出点D，点M的坐标，即可得的长． 【详解】（1）解：把点和点代入抛物线， 得，解得， ∴抛物线的函数解析式； （2）①存在： ∵抛物线的函数解析式交y轴于C， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， 设点D的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图， 当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图， 当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； ②设点D的坐标为，其中， ∵，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵直线的函数表达式为，直线， ∴设直线l的解析式为， ∵点D的坐标， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴与直线交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得： ， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∴点M的坐标为， ∴， 答：的长为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质，三角形的面积是解题的关键． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线与轴相交于点，对称轴为直线．坐标原点为点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)抛物线的关系表达式； (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点H 的坐标为或或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求点的坐标以及设点的坐标的能力，同时还考查了二次函数图象平移的性质与数形结合分析图形并求解点的坐标的能力． （1）由对称轴方程可求出，由点代入可求出，从而可得抛物线的解析式为； （2）求出点E坐标，设，分为邻边，为对角线；为邻边，为对角线；为邻边，为对角线三种情况，以邻边相等求出，根据中点坐标公式求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线：与y轴相交于点， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线． ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵ 向左平移两个单位后抛物线的解析式为， 联立，解得， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴可设 ①如图，为邻边，为对角线时； ；， 又， ∴， 解得，， ∴， 又的中点坐标为，即， ∴，， ∴， ∴； ②为邻边，为对角线时，如图， 同理： 又 ∴， 解得，， 当时，， 的中点坐标为， ∴， ∴， ∴； 当时，， 的中点坐标为， ∴， ∴， ∴； ③为邻边，为对角线，如图， 同理：， 又， ∴ 解得，（C、E、F三点共线，不符合题意舍去）， ∵， ∴的中点坐标为， ∴， 解得，， ∴， 综上，点H 的坐标为或或或． 8．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图1，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的动点． 图1                         图2 (1)求该抛物线的解析式． (2)当点P在直线下方运动时，四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出四边形面积的最大值，若不存在，请说明理由． (3)如图2，M是对称轴上一点，平面内是否存在一点N，使得四边形是菱形，若存在，请求出N的坐标，若不存在，请说明理由． (4)抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，16 (3) (4)存在， 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，分割法列出关于四边形面积的表示式，利用二次函数求最值，进行求解即可； （3）设，根据菱形的邻边相等，对角线互相平分，进行求解即可； （4）分点在直线下方和点在直线上方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：设函数解析式为：，把代入解析式， 得：，解得， ∴； （2）存在； ∵，， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∵， ∴， 设点，过点作轴，交于点，则：， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴当时，四边形的面积最大为：16； （3）∵， ∴对称轴为直线， ∴设， ∵，， ∴，， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵菱形的对角线互相平分， ∴； （4）∵， ∴， ∴； ①当点在直线下方时，过点作，交于点，过点作轴，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同（2）法可得：直线的解析式为：， 联立，解得：或； ∴； 当点在直线上方时，过点作，交于点，作轴，过点作， 同法可得：，直线的解析式为：， 联立，解得或； ∴， 综上或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 9．（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴相交于点C．连接AC，BC． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，线段（点在点左侧）是直线上一段长度为的动线段，y轴上点下方有点，试判断在抛物线第一象限图象上是否存在点，使得四边形是菱形，若存在则求出该菱形面积，若不存在则说明理由； (3)如图2，点为抛物线第一象限图象上点，若，求点坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，两个函数的交点问题，坐标与图形，特殊四边形、特殊角的求法，采用数形结合的思想及正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式即可； （2）连接，与交于点，过点 作，先证明是等腰直角三角形，进而可得，设，可得，再根据中点坐标公式求出，代入解析式即可求出点，即可得出，，根据两点距离公式求出对角线，结合菱形面积公式可得. （3）先构造，根据，求出,由三角形是等腰直角三角形，所以，求出，进而可得直线解析式是，联立抛物线与直线解析式即可求出. 【详解】（1）解：已知点，代入抛物线解析式为 解得 ∴抛物线解析式为 （2）连接，与交于点，过点 作， 由抛物线解析式为可得， 又∵， ∴直线解析式为，， 若四边形为菱形，则，且 ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 代入抛物线解析式得： 解得（舍），， ∴，，， ∴ 所以菱形的面积 （3）延长至，过点作，与直线交于点，作轴，与x轴交于点H， 因为，即 ∴， 因为，，所以 又， ∴， 又∵， ∴， ∴三角形是等腰直角三角形，所以 又∵，所以， 又，所以直线解析式是 联立抛物线与直线解析式得 解得（舍）， 所以． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3, 4）．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒．过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N． （1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？ （3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？ 【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）或． 【详解】（1）由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，把点C的坐标代入即可求得a的值； （2）由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN，然后根据△ACM的面积是△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1； （3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四边形PNCQ为平行四边形，所以当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到，解得t值；②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2＝CQ2，得：，解得t值． 解：（1）由矩形的性质可得点A（1，4）， ∵抛物线的顶点为A， 设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4， 代入点C（3, 0），可得a＝－1． ∴y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3． （2）∵P（，４）， 将代入抛物线的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝， ∴M（，）， 设直线AC的解析式为， 将A（１,４），C（３,０）代入，得：， 将代入得， ∴N（，）， ∴MN ， ∴， ∴当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1． （3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时， ∵Ｎ（，），P（，４）， ∴PＮ＝４—（）＝＝CQ， 又∵PN∥CQ， ∴四边形PNCQ为平行四边形， ∴当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形， PQ2＝PD2+DQ2 ＝， ∴， 整理，得．解得，（舍去）； ②如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时， NH=CQ=，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形， NQ2＝CQ2，得：． 整理，得．．所以，（舍去）． “点睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键. 11．如图，抛物线交y轴于点，并经过点，过点A作轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线，D点的坐标为，连接，，.点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作于F，以为对角线作正方形． 　　 (1)求抛物线的解析式； (2)当点G随着E点运动到达上时，求此时m的值和点G的坐标； (3)在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或（3，-3）或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）求出直线BC解析式，通过△EGF为等腰直角三角形表示出G点坐标，将G点代入BC解析式即可求得m的值，从而求得G点坐标； （3）将矩形转化为直角三角形，当△BGC是直角三角形时，当△BCG为直角三角形时，当△CBG为直角三角形时，分情况讨论分别列出等式求得m的值，即可求得G点坐标． 【详解】（1）将点A（0，-4）、C（6，0）代入解析式中，以及直线对称轴，可得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵A（0，-4），D， ∴△AOD为等腰直角三角形， ∵轴交抛物线于点B， ∴B（4，-4）， 设直线BC解析式为y=kx+b′， 将B（4，-4），C（6，0）代入解析式得， ，解得， ∴直线BC解析式为y=2x-12， 由题意可得，△ADB为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形EGFH为正方形， ∴△EGF为等腰直角三角形， ∴， 点G随着E点运动到达上时，满足直线BC解析式y=2x-12， ∴， ∴，此时； （3）B（4，-4），C（6，0），， ∴,，, 要使以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形， 需满足： 当△BGC是直角三角形时，， ， 解得，，， 此时G或（3，-3）； 当△BCG为直角三角形时，， ， 解得，， 此时G； 当△CBG为直角三角形时，， ， 解得，， 此时G； 综上所述：点G坐标为或（3，-3）或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、等腰直角三角形的性质和判定，动点运动问题，存在矩形问题，利用数形结合，注意分情况讨论是解题的关键． 12．如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4)． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形， ①求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ②当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？ ③是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y=(x-)2-，顶点为(，-)；(2)①S=-4(x-)2+25(1＜x＜6)；②平行四边形OEAF不是菱形；③不存在这样的点E. 【分析】(1)已知抛物线的对称轴解析式，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将A、B两点坐标代入求解即可． (2)平行四边形的面积为三角形OEA面积的2倍，因此可根据E点的横坐标，用抛物线的解析式求出E点的纵坐标，那么E点纵坐标的绝对值即为△OAE的高，由此可根据三角形的面积公式得出△AOE的面积与x的函数关系式进而可得出S与x的函数关系式． ①将S=24代入S，x的函数关系式中求出x的值，即可得出E点的坐标和OE，OA的长；如果平行四边形OEAF是菱形，则需满足平行四边形相邻两边的长相等，据此可判断出四边形OEAF是否为菱形． ②如果四边形OEAF是正方形，那么三角形OEA应该是等腰直角三角形，即E点的坐标为(3，-3)将其代入抛物线的解析式中即可判断出是否存在符合条件的E点． 【详解】解：(1)因为抛物线的对称轴是x=， 设解析式为y=a(x-)2+k． 把A，B两点坐标代入上式，得，解得a=，k=-． 故抛物线解析式为y=(x-)2-，顶点为(，-)． (2)①∵点E(x，y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y=(x-)2-， ∴y＜0， 即-y＞0，-y表示点E到OA的距离． ∵OA是OEAF的对角线， ∴S=2S△OAE=2××OA•|y|=-6y=-4(x-)2+25． 因为抛物线与x轴的两个交点是(1，0)和(6，0)， 所以自变量x的取值范围是1＜x＜6． ②根据题意，当S=24时，即-4(x-)2+25=24． 化简，得(x-)2=． 解得x1=3，x2=4． 故所求的点E有两个， 分别为E1(3，-4)，E2(4，-4)， 点E1(3，-4)满足OE=AE， 所以平行四边形OEAF是菱形； 点E2(4，-4)不满足OE=AE， 所以平行四边形OEAF不是菱形； ③当OA⊥EF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形， 此时点E的坐标只能是(3，-3)， 而坐标为(3，-3)的点不在抛物线上， 故不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形． 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的性质、菱形和正方形的判定等知识．综合性强，难度适中． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，经过A（0，﹣4），B（，0），C（，0）三点，且． （1）求b，c的值； （2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形； （3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）D（，）；（3）存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH为菱形，不能为正方形． 【分析】（1）把A（0，﹣4）代入可求c，运用根与系数的关系及，可求出b； （2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点； （3）由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即可． 【详解】解：（1）∵抛物线，经过点A（0，﹣4）， ∴c=﹣4， 又∵由题意可知，、是方程的两个根，∴，，由已知得，∴，∴，∴，解得：， 当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去． ∴b=； （2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，又∵=， ∴抛物线的顶点（，）即为所求的点D； （3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（﹣6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=﹣3与抛物线的交点， ∴当x=﹣3时，=4， ∴在抛物线上存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH为菱形． 四边形BPOH不能成为正方形， 因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（﹣3，3），但这一点不在抛物线上． 【点睛】本题考查二次函数综合题；题目综合性较强，属于中考压轴题． 14．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；（3）存在最小值，最小值为，此时点M的坐标为． 【分析】（1）由题意易得，进而可得，则有，然后把点B、D代入求解即可； （2）设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当时，②当时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可； （3）由题意可得如图所示的图象，连接OM、DM，由题意易得DM=EM，四边形BOMP是平行四边形，进而可得OM=BP，则有，若使的值为最小，即为最小，则有当点D、M、O三点共线时，的值为最小，然后问题可求解． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形，， ∴，， ∴， ∴OB=1， ∴， 把点B、D坐标代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）由（1）可得，抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线， ∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴由两点距离公式可得， 设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分： ①当时，如图所示： ∴由两点距离公式可得，即， 解得：， ∴点F的坐标为或； ②当时，如图所示： ∴由两点距离公式可得，即， 解得：， ∴点F的坐标为或； 综上所述：当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或； （3）由题意可得如图所示： 连接OM、DM， 由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，， ∴，DM=EM， ∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为， ∴， ∴四边形BOMP是平行四边形， ∴OM=BP， ∴， 若使的值为最小，即为最小， ∴当点D、M、O三点共线时，的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示： ∵， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为， 设线段OD的解析式为，代入点D的坐标得：， ∴线段OD的解析式为， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线DC交于一点E． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为y轴上一点，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点F为抛物线对称轴上一点，点Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在，最小值，点P坐标 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）求出点B的坐标为（1，0），再用待定系数法即可求解； （2）先求出点E的坐标，再利用轴对称求出点坐标，求出直线的表达式，得到点P的坐标，利用勾股定理求出即可得到最小值； （3）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，故设点F的坐标为，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，OA＝4， ∴，故点B的坐标为， 把B、D两点代入抛物线的解析式得 则，解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：存在，理由： ∵DCx轴 ∴ 点E与点的纵坐标相同 当y＝5时，，解得，， ∴ 点E的坐标为（2，5） ∵点E关于y轴对称点为 ∴点坐标为． 如图1，连接，交y轴于点P，连接EP，则此时为最小值， 由点B的坐标为，点坐标为 设直线的表达式为y＝mx＋n， ;解得 则直线的表达式为， 当x＝0时，y＝， ∴点P坐标为． 则为最小值． （3）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，故设点F的坐标为， 由点B、E的坐标得，， ∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形， 当时，;解得， 如图2所示， 当时，则，解得，， 如图3所示， 故点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 16．（2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以或边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或或 (3)存在，的最小值为， 【分析】（1）由四边形为正方形及点D的坐标，可求得点B的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）由抛物线解析式求出抛物线的对称轴，则可得点E的坐标，从而求得； 分两种情况：①当吋；②当时，设点F坐标为，利用或建立关于a的方程，求出a的值，即可求得点F的坐标； （3）连接，易得四边形BOMP是平行四边形，则，从而有 ，故当的值最小时，则值最小，当点三点共线时，的值为最小，此时与抛物线对称轴的交点为M，且由勾股定理可求得的值，即可求得的最小值；再求出的解析式，即可求得它与对称轴的交点M的坐标，从而求得点P的坐标． 【详解】（1）解:四边形为正方形，， ， ， ； 把点B、D坐标代入得：，解得：， 拋物线的解析式为： （2）解：由（1）得，抛物线解析式为， 则抛物线的对称轴为直线， 点与点关于抛物线的对称轴对称， ， ， 设点，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：①当吋，如图所示： 由两点距离公式可得，即， 解得:， 点的坐标为或； ②当时，如图所示: 由两点距离公式可得，即， 解得:， 点的坐标为或； 综上所述：点的坐标为或或或； （3）解：由题意可得如图所示： 连接， 由(2)可知点D与点关于抛物线的对称轴对称，， ； 过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 若使的值为最小，即为最小， ∴当点三点共线时，的值为最小，此时与抛物线对称轴的交点为M，如图所示： ， ， 的最小值为，即的最小值为， 设线段的解折式为，代入点的坐标得：， 线段的解析式为， ， ． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，综合性强，注意分类讨论及数形结合． 17．（23-24九年级上·广东中山·期中）定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形ABCD“梦之点”的是______； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，判断ΔABC的形状并说明理由． (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)ΔABC是直角三角形 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或者边上即可得到答案； （2）根据“梦之点”的定义求出的坐标，再求出顶点的坐标，计算出的长，根据勾股定理逆定理得出ΔABC是直角三角形，最后由三角形面积公式计算即可得到答案； （3）由（2）可得，，求出直线的解析式为，由菱形的性质可得点、在直线上，联立，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：矩形的顶点坐标分别是，， 矩形的“梦之点”满足，， 点是矩形的“梦之点”，不是矩形的“梦之点”． （2）点是抛物线上的“梦之点”， ， 解得：，， 当时，，当时，， ，， ， 顶点， ，，， ， 是直角三角形． （3）由（2）可得，， 设直线的解析式为：， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， 以为对角线，以为顶点的四边形是菱形， ， 点、在直线上， 点在二次函数上， 联立， 解得：，， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、勾股定理以及勾股定理逆定理、菱形的性质、一次函数等知识，熟练掌握以上知识点，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标． （2）在坐标平面内有一点N，若以A、B、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标． （3）在抛物线上有一点P，过点P作轴交直线AC于点Q，若以O、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标． （4）在对称轴上有一点Q，在抛物线上有一点P，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标． （5）在x轴上有一点Q，在抛物线上有一点P，若以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标． （6）在对称轴上有一点Q，在抛物线上有一点P，若以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标． （7）在对称轴上有一点N，在平面内存在点M，若以A、C、M、N为顶点的四边形是矩形，求点M的坐标． （8）在对称轴上有一点Q，在抛物线上有一点P，若以C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标． （9）在y轴上有一点M，在坐标平面内有一点N，若以A、C、M、N为顶点的四边形是正方形，求点N的坐标． 【答案】（1），对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）；（2）N点坐标为：（－4，－3）或（－2，3）或（4，－3）；（3）P点坐标为：，；（4）N点坐标为：（－1，－4）或（3，12）或（－5，12）；（5）P点坐标为：（－2，－3）；或（，3）或（，3）；（6）N点坐标为：（－2，－3）或（2，5）或（－4，5）；（7）点M坐标为（2，－1）或（－4，－1）或或；（8）以C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为（－1，－2）；（9）点N坐标为（－3，－3）或（3，0） 【详解】答案：（1）解：∵， ∴A（－3，0），C（0，－3）， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）． （2）解：设点N的坐标为 ∵点A坐标为（－3，0），点C坐标为（0，－3），点B坐标为（1，0）， I、当AC、BN为对角线时， 则有：即： 解得：，即：N坐标（－4，－3）； II、当AB、CN为对角线时， 有：，解得： 即：N坐标（－2，3）； III、当AN、BC为对角线时， 有：，解得： 即：N坐标（2，－3）； 综上所述：满足条件的N点坐标为：（－4，－3）或（－2，3）或（4，－3）． （3）解：如图： ∵轴，设点Q的坐标为，则P坐标为， ∴， ∵点C坐标为（0，－3），以O、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 即：， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴P点坐标为：，． （4）解：设点Q的坐标为，P点坐标为， ∵点A坐标为（－3，0），点B坐标为（1，0）， 以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形， I、当AB、PQ为对角线时， 则有 解得：， 当x＝－1时，， 即：P坐标（－1，4）； II、当AP、BQ为对角线时， 有：，解得： 当x＝3时，， 即：P坐标（3，12）； III、当AQ、BP为对角线时， 有：，解得： 当x＝－5时，， 即：N坐标（－5，12）； 综上所述：满足条件的N点坐标为：（－1，－4）或（3，12）或（－5，12）． （5）解：设点Q的坐标为，P点坐标为， ∵点A坐标为（－3，0），点C坐标为（0，－3）， 以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形， I、当AC、PQ为对角线时， 则有 解得：， 当x＝0时，，P、C重合，不合题意，舍去； 当x＝－2时，，即：P坐标（－2，－3）； II、当AP、CQ为对角线时， 则有 解得：， 当x＝0时，，P、C重合，不合题意，舍去； 当x＝－2时，，即：P坐标（－2，－3）； 设点Q的坐标为，P点坐标为， ∵点A坐标为（－3，0），点C坐标为（0，－3）， III、当AQ、CP为对角线时， 有：，解得：， 当时，，即：P坐标（，3）； 当时，，即：P坐标（，3）； 综上所述：满足条件的P点坐标为：（－2，－3）；或（，3）或（，3）． （6）解：设点Q的坐标为，P点坐标为， ∵点A坐标为（－3，0），点C坐标为（0，－3）， 以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形， I、当AC、PQ为对角线时， 则有 解得：， 当x＝－2时，， 即：P坐标（－2，－3）； II、当AP、CQ为对角线时， 有：，解得： 当x＝－2时，， 即：P坐标（2，5）； III、当AQ、CP为对角线时， 有：，解得： 当x＝－4时，， 即：N坐标（－4，5）； 综上所述：满足条件的N点坐标为：（－2，－3）或（2，5）或（－4，5）． （7）解：设点N坐标为（－1，y），M点坐标为， ∵点A坐标为（－3，0），点C坐标为（0，－3） 则：，，， I、如图：当以A、C、M、N为顶点的四边形是矩形ACMN时， 则为直角三角形，CN为斜边， 则：， 即：，解得：，即点N为（－1，2）； ∴ ，解得：， 此时M点坐标为（2，－1） II、如图， 当以A、C、M、N为顶点的四边形是矩形ACNM时， 则为直角三角形，AN为斜边，则：， 即：，解得：，即点N为（－1，－4）； ∴ ，解得：， 此时M点坐标为（－4，－1） III、如图， 当以A、C、M、N为顶点的四边形是矩形AMCN时， 则为直角三角形，AC为斜边时，则：， 即：，解得：，即点N为或． ∴当点N为时， ，解得：， 此时M点坐标为， ∴当点N为时， ，解得：， 此时M点坐标为， 综上所述：点M坐标为（2，－1）或（－4，－1）或或． （8）解：I、以C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形CQPD时，DQ，PC对角线，如图， ∴P点是C点（0，－3）关于抛物线的对称轴的对称点，故P坐标为（－2，－3）， Q点是点D（－1，－4）关于直线PC的对称轴点，故Q坐标为（－1，－2）； II、以C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形， DQ、CP是对边时， ∵轴，， ∴轴， 又∵C、P都在抛物线上， ∴P点不存在； 综上所述：以C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为（－1，－2）． （9）解：∵， ∴， 以A、C、M、N为顶点的四边形是正方形，则是等腰直角三角形，有3种情况， I．当时，则， 如图： ∴M点与O点重合，即M点坐标为（0，0）， ∴点N坐标为（－3，－3）， II．当时，则， 如图： ∴N点是A点（－3，0）关于y轴的对称点，故N坐标为（3，0）， 综上所述：点N坐标为（－3，－3）或（3，0）． 19．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，抛物线的对称轴绕其与x轴交点M顺时针旋转得到直线l，点A关于l的对称点为B，点C为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为线段下方抛物线上任意一点，点Q为y轴上一点，当面积最大时，求的最小值； (3)线段与关于y轴对称，点E是抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点D，使得以点D、E、C、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点D的坐标为或或或． 【分析】（1）把点和点代入抛物线，求解即可； （2）先根据对称性计算点B的坐标，可得的解析式，设点P的坐标为，则，计算的面积并确定其最大值时点P的坐标，通过画图可得的最小值，最后根据两点的距离公式可得结论； （3）存在三种情况：①如图2，四边形为菱形，②如图3，四边形是菱形，③如图4，四边形是菱形，根据菱形的性质边长相等列等式可得结论． 【详解】（1）解：把点和点代入抛物线中得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：如图1，连接 ∵， ∴对称轴是直线， ∴直线l的解析式为：， 设， ∵A与B关于直线l对称， ∴， ∴ 得， 即， 将代入得， 解得：， ∴， 即（舍），， ∴， 过点P作轴，交于H， ∵的解析式为： 设点P的坐标为，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，此时； 在第四象限作，过点P作于F，交y轴于Q，过点F作轴，过点P作于D，则和是等腰直角三角形， 则的最小值， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值是； （3）解：存在三种情况： ∵线段与关于y轴对称，， ∴， ①如图2，四边形为菱形， ∴轴， ∵， ∴， ∴； ②如图3，四边形是菱形， ∵，对称轴为直线， ∴； ③如图4，四边形是菱形， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，点D的坐标为或或或． 20．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线关系式； (2)已知P是直线下方抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E，M是直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积最大值是16，此时P的坐标为 (3)存在，点N的坐标为，，， 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的关系式； （2）连接，设P点坐标，根据，可得，然后利用二次函数的性质即可求得四边形面积的最大值； （3）分情况进行解答并利用菱形的性质即可求出点N的坐标． 【详解】（1）解：将，两点代入解析式得，， 解得：， ∴抛物线关系式， （2）连接， 对于抛物线， 当时，可有，即， 又∵，， ∴， 设P点坐标，则 ， ∵，此函数有最大值， ∵， ∴当时，四边形面积有最大值，最大面积是16． 当时，，此时P的坐标为． （3）存在， 此时点N的坐标为：；；；． 由，可知，对称轴为直线， ∴，连接，可得， 设直线解析式为， 将点，代入， 可得，解得， 所以直线解析式为， ①当为边，且四边形为菱形时，如图所示， 此时， 过点作轴于点G， 设，则，，， ∴， 解得（舍去），或， ∴，； ②当为边，且四边形为菱形时，如图所示， 此时，过点作轴于点H，过点作轴于点T， ∵， ∴，， ∴， ， ∴，， ∴，， ∴，； ③当为对角线，且四边形CNEM为菱形时，如图所示， 取的中点K，过点K作，交于点M， ∴， 设直线的表达式为：，把，代入可得， 解得 ∴直线的表达式为：， ∵直线与直线垂直，且过的中点， ∴直线的表达式为：， 联立，解得， ∴， ∴， 综上可知，此时点N的坐标为：，，，． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、四边形的面积、菱形的存在性等，分类讨论思想；利用数形结合思想和分类讨论思想进行正确的讨论是解题的关键． 21．综合与实践 如图，已知正方形OCDE中，顶点，抛物线经过点C、点D，与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线交x轴于点F． (1)求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B的坐标； (2)若点G是抛物线的对称轴上一动点，且使最小，则G点坐标为：______； (3)在直线（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与全等，请你直接写出点P的坐标； (4)点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式是；点、点 (2) (3)、、 (4)存在，或或 【分析】（1）根据E点坐标再结合正方形的性质即可求出C、D点坐标，在利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，令y=0，即可求出抛物线与x轴的坐标； （2）先求出抛物线的对称轴，再根据C、D两点的坐标可知C、D关于抛物线的对称轴对称，即有AG+CG=AG+GD，则有当A、G、D三点共线时，AG+GD最小，设抛物线的对称轴与x轴交于T点，则有T(,0)，连接AD交于对称轴于G点，连接CG，根据，可得，则GT可求，G点坐标即可得； （3）分两种情况讨论：第一种情况时，又分和，两种情况，根据全等三角形的性质：对应边相等，即可求出t的值和PF的值，即可得到P点坐标；第二种情况时，也分和，两种情况，同理可求得P点坐标； （4）设射线AC的解析式为：，利用待定系数法即可求出射线AC的解析式，再设M点坐标为：(m,-m-1)，且，同时设N点坐标为：(a,b)，再分三种情况讨论：第一种情况：当AO为菱形的对角线时，MN也为菱形的对角线；第二种情况：当AN为菱形的对角线时，MO也为菱形的对角线；第三种情况：当AM为菱形的对角线时，ON也为菱形的对角线．三种情况的解答均是利用菱形的性质――四条边相等以及两条对角线互相平分来列等式；运用中点坐标公式将N点的坐标用m表示出来，根据菱形的四条边相等再结合勾股定理求出m，则N点坐标可得． 【详解】（1）解：∵E(1,0)， ∴OE=1， ∵四边形OCDE是正方形， ∴OC=CD=CE=OE=1，∠CDE=∠DEO=∠OCD=90°， ∴C(0,-1)，D(1,-1)， ∵C(0,-1)，D(1,-1)在， ∴ ， ∴， 即抛物线解析式为：， 令y=0，即有：， 整理得：， ∴，， ∴A点坐标为(-1,0)，B点坐标为(2,0)； （2）解：∵， 即：， ∴可得抛物线方程的对称轴为， 设抛物线的对称轴与x轴交于T点，则有T(,0)，连接AD交于对称轴于G点，连接CG， 如图： ∵C(0,-1)，D(1,-1)， ∴可知C、D点关于对称轴对称， ∴根据对称的性质可知CG=DG， ∵要求AG+CG的最小值， ∴根据AG+CG=AG+GD求出AG+GD的最小值即可， 当A、G、D三点共线时AG+GD最小， ∵A(-1,0)，B(2,0)，T(,0)， ∴AO=1，OB=2，OT=， ∴AT=OA+AT=， 根据对称轴的性质可知GT⊥x轴， ∵∠EDC=90°， ∴ED⊥x轴， ∴， ∴， ∴， ∴G点坐标为：， （3）解：根据题意P点在第一象限，即t＞0，即有P点坐标为：(t，PF)， 分情况讨论： 第一种情况：时，如图， ∵OF=t， ∴BF=OB-OF=2-t， 若， ∴PF=BO=2，BF=OC=1， ∴2-t=1，即t=1，即：p点坐标为：(1,2)， 若， ∴PF=OC=1，BF=OC=2， ∴2-t=2，即t=0，此时不合题意，舍去； 第二种情况：时，如图， 则有：OF=t, ∴BF=OF-OB=t-2， 若， ∴PF=BO=2，BF=OC=1， ∴t-2=1，即t=3，即：p点坐标为：(3,2)， 若， ∴PF=OC=1，BF=OC=2， ∴t-2=2，即t=4， 即：p点坐标为：(4,1)， 综上：P点坐标为：(1,2)、(3,2)、(4,1)； （4）解：∵A(-1,0)，C(0,-1)， ∴设射线AC的解析式为：， 即有：， ∴射线AC的解析式为：，且（）， ∵M点在射线AC上， ∴设M点坐标为：(m,-m-1)，且，同时设N点坐标为：(a,b)， ∵A(-1,0)，O(0,0)， 分情况讨论： 第一种情况：当AO为菱形的对角线时，MN也为菱形的对角线， 如图： 根据中点坐标公式有：， 解得：， ∴N点坐标：(,)， ∵根据菱形的性质有OM=ON， 又∵，， ∴， 解得， 则 ∴N点坐标为(,)， 第二种情况：当AN为菱形的对角线时，MO也为菱形的对角线， 如图： 根据中点坐标公式有：， 解得：， ∴N点坐标：(,)， ∵根据菱形的性质有OA=ON， 又∵，， ∴， 整理得：， ∵， ∴， 解得， 则 ∴N点坐标为(,)， 第三种情况：当AM为菱形的对角线时，NO也为菱形的对角线， 如图： 根据中点坐标公式有：， 解得：， ∴N点坐标：(,)， ∵根据菱形的性质有OA=OM， 又∵，， ∴， 整理得：， ∵， ∴， 则 ∴N点坐标为(,)， 综上：N点坐标为：(,)、(,)、(,)． 【点睛】本题考查了正方形的性质、用待定系数求解抛物线的解析式、抛物线的对称轴、轴对称的性质、全等三角形的性质、菱形的性质、中点坐标公式以及勾股定理等知识，注重分类讨论的思想是解答本题的关键． 22．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中存在两条抛物线，抛物线交轴于点，，顶点坐标为．抛物线交轴于点，，顶点坐标为，（）． (1)求线段的长； (2)若点在抛物线上，点在抛物线上．试讨论和大小； (3)若点，在抛物线上，且满足，求的取值范围； (4)若S、T分别为、上的动点，当为菱形时，是否存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出S和T的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2);(3)或;(4)不存在，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的综合应用： （1）根据对称性，求出两个函数的对称轴，求出的横坐标，进而求出线段的长即可； （2）两点式设出两个抛物线的解析式，根据两个顶点的纵坐标相同，求出两个函数的二次项的系数之间的关系，进而求出，比较大小即可； （3）根据增减性，得到点距离对称轴近，列出不等式进行求解即可； （4）根据菱形的性质，求出的坐标，进而求出两条抛物线的解析式，分为矩形的边和矩形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线， ∴，， ∴； （2）设抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：， ∵，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：， ∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， ∵两条抛物线的开口向上， ∴， ∴； （3）∵抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，在抛物线上，且满足， ∴点距离对称轴近， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，解得：或， ∵抛物线的开口向下， ∴当时，或； ∴当或时，； （4）不存在，理由如下： ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由图象可知：， ∴， ∴，， 把，，分别代入和， 得：， ∴抛物线的解析式为， 抛物线的解析式为 当以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形时，分两种情况： ①当为边时，不存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形； ②当为对角线时，则的中点也是的中点， ∵，设的中点为，则：， 以为圆心，的长为半径画圆，当以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形时，则：都在圆上，且也为圆的直径， 如图：    由图可知，不存在点分别在两条抛物线上且为圆的直径， 故不存在以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形； 综上：不存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，利用二次函数求不等式的解集，圆周角定理，等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 试卷第10页，共73页 试卷第9页，共73页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数压轴题之矩形、菱形、正方形存在问题点拨与精练 点拨： 一、考向点拨 中考二次函数压轴题的拔高设问，多为解答题第3-4问，是平行四边形性质的延伸应用： 1.矩形存在性：在平行四边形的基础上，探究对角线相等或有一个角为直角的情况。 2.菱形存在性：在平行四边形的基础上，探究邻边相等或对角线互相垂直的情况。 3.正方形存在性：同时满足矩形和菱形的条件，难度更高。 二、思路点拨 1.矩形存在性解题技巧： ①先按平行四边形存在性问题求出所有可能的点； ②再根据 “对角线相等” 或 “有一个角为直角” 的条件，筛选出符合矩形的点； ③利用勾股定理或斜率垂直列方程，求解并检验。 2.菱形存在性解题技巧： ①先按平行四边形存在性问题求出所有可能的点； ②再根据 “邻边相等” 或 “对角线互相垂直” 的条件，筛选出符合菱形的点； ③利用两点间距离公式或斜率垂直列方程，求解并检验。 3.关键技巧：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，解题时先利用平行四边形的中点坐标法，再叠加特殊条件，避免直接讨论的复杂性。 精练 1．如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； (3)若点P是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·贵州贵阳·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点D，且． (1)判断ΔABC的形状，并说明理由； (2)设点是抛物线在第四象限部分上的点，设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求使S最大时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标． 5．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，连接和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上是否存在一点使得的周长最小，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点是轴上的动点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请 直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2025·山东济宁·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和点．与y轴交于点C，连接，． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于D． ①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线交于点N．当时，请直接写出的长． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线与轴相交于点，对称轴为直线．坐标原点为点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)抛物线的关系表达式； (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图1，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的动点． 图1                         图2 (1)求该抛物线的解析式． (2)当点P在直线下方运动时，四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出四边形面积的最大值，若不存在，请说明理由． (3)如图2，M是对称轴上一点，平面内是否存在一点N，使得四边形是菱形，若存在，请求出N的坐标，若不存在，请说明理由． (4)抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标，若不存在，请说明理由． 9．（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴相交于点C．连接AC，BC． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，线段（点在点左侧）是直线上一段长度为的动线段，y轴上点下方有点，试判断在抛物线第一象限图象上是否存在点，使得四边形是菱形，若存在则求出该菱形面积，若不存在则说明理由； (3)如图2，点为抛物线第一象限图象上点，若，求点坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3, 4）．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒．过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N． （1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？ （3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？ 11．如图，抛物线交y轴于点，并经过点，过点A作轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线，D点的坐标为，连接，，.点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作于F，以为对角线作正方形． 　　 (1)求抛物线的解析式； (2)当点G随着E点运动到达上时，求此时m的值和点G的坐标； (3)在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由． 12．如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4)． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形， ①求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ②当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？ ③是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，经过A（0，﹣4），B（，0），C（，0）三点，且． （1）求b，c的值； （2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形； （3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形，若不存在，请说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线DC交于一点E． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为y轴上一点，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点F为抛物线对称轴上一点，点Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； 16．（2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以或边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（23-24九年级上·广东中山·期中）定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形ABCD“梦之点”的是______； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，判断ΔABC的形状并说明理由． (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标． （2）在坐标平面内有一点N，若以A、B、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标． （3）在抛物线上有一点P，过点P作轴交直线AC于点Q，若以O、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标． （4）在对称轴上有一点Q，在抛物线上有一点P，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标． （5）在x轴上有一点Q，在抛物线上有一点P，若以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标． （6）在对称轴上有一点Q，在抛物线上有一点P，若以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标． （7）在对称轴上有一点N，在平面内存在点M，若以A、C、M、N为顶点的四边形是矩形，求点M的坐标． （8）在对称轴上有一点Q，在抛物线上有一点P，若以C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标． （9）在y轴上有一点M，在坐标平面内有一点N，若以A、C、M、N为顶点的四边形是正方形，求点N的坐标． 19．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，抛物线的对称轴绕其与x轴交点M顺时针旋转得到直线l，点A关于l的对称点为B，点C为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为线段下方抛物线上任意一点，点Q为y轴上一点，当面积最大时，求的最小值； (3)线段与关于y轴对称，点E是抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点D，使得以点D、E、C、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线关系式； (2)已知P是直线下方抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E，M是直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 21．综合与实践 如图，已知正方形OCDE中，顶点，抛物线经过点C、点D，与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线交x轴于点F． (1)求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B的坐标； (2)若点G是抛物线的对称轴上一动点，且使最小，则G点坐标为：______； (3)在直线（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与全等，请你直接写出点P的坐标； (4)点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中存在两条抛物线，抛物线交轴于点，，顶点坐标为．抛物线交轴于点，，顶点坐标为，（）． (1)求线段的长； (2)若点在抛物线上，点在抛物线上．试讨论和大小； (3)若点，在抛物线上，且满足，求的取值范围； (4)若S、T分别为、上的动点，当为菱形时，是否存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出S和T的横坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $