2026年中考数学考前最后一课（含PDF，可直接打印|含36大考点+42种几何模型全解+15种万能解题技巧+48种热点题型解密+11种压轴题突破+36种易错避坑指南）

。学科网 2026 中考考前 最后一课 考点无遗漏·热点早预见 技巧稳掌握·预测明考向 心态全护航·考后细疏导 刊首语 以青春之名，赴梦想之约 致即将奔赴考场的你 亲爱的同学们： 当凤凰花开满枝头，当蝉鸣唤醒盛夏，你们将执笔为剑，在考场上书写青春 的答卷。这三年，你们见过彼此晨光熹微时的早读身影，听过自己深夜笔尖划 过纸贡的沙响，既有过“直挂云帆济沧海”的意气风发，也曾因“路漫漫其修 远兮”而彷徨。但请记住，每一滴汗水都是成长的印记，每一次跌倒都是为腾 飞蓄力。 以信念为帆，破浪前行 中考是人生的第一个重要渡口，它检验的不仅是知识，更是意志。那些挑灯 夜战的夜晚、反复演算的习题，终将凝聚成“天道酬勤”的力量。无论结果如 何，只要拥有梦想并为之奋斗，你们已是自己的英雄。请带着“舍我其谁”的 气魄踏入考场，因为“自信是成功的基石，沉着是飞翔的翅膀”。 以坚韧为刃，披荆斩棘 学习之路从无捷径，或许你们曾因一次失利而怀疑自已，但请明白：“只有 经历地狱般的磨炼，才能炼出创造天堂的力量。”就像梅花经苦寒而芬芳，宝 剑因磨砺而锋利。此刻，你们只需凝神静气，将三年积淀化作笔下星河 一“静下来，铸我实力；拼上去，亮我风采”！ 以初心为灯，照亮未来 中考不是终点，而是新篇章的起，点。这个世界从不会辜负认真耕耘的人，在 你的笔下有一个色彩绚丽的世界，而未来定会还你另一幅灿烂图景。愿你们像 雄鹰搏击长空，如猛虎声震山谷，在考场上“以平常心面对挑战，以非凡心成 就自我” 殷般的嘱托 亲爱的同学们，“长风破浪会有时”是你们的信念，“不达目的誓不罢 休”是你们的誓言。愿你们“从容不迫，潇洒凯旋”；愿你们“金榜题名时， 言笑亦晏晏”；更愿你们永远记得一这场考试的意义，在于让你们发 现：“生命中最快乐的，是拼搏而非成功；最痛苦的，是惰性而非失败。” 希望学科网《最后一课》系列，能助你在中考的考场上擘画自己的明天↓相 信你们终将“一举成名天下知”，让青春的光芒照亮未来的每一步！ 学科网总经理陈学艺 2026年4月20日于北京 学科网 执笔为刃，智启巅峰 数学 2026·终极寺魁 中考数学冲刺最后一课 目录 考前冲刺篇 解密题型10~22（函数） 79 考前必看：抓热点、扫考点、补漏洞 解密题型23~47（图形与儿何） 94 解密题型48数据分析 128 冲刺复习备考指导 一◇核心·高频点速查◇ ◇冲利·压轴动向预测◇ 压轴题型01新定义问题 132 速查01数与式(6大核心考点) 2 压轴题型02阅读理解类问题 132 速查02方程与不等式(5大核心考点) 压轴题型03综合与实践类问题 136 速查03函数(5大核心考点) 12 压轴题型04现实热点问题 137 速查04三角形与四边形(6大核心考点) 17 压轴题型05跨学科问题 139 速查05圆(7大核心考点) 22 压轴题型06动点问题 141 速查06图形变换(3大核心考点) 28 压轴题型07最值问题 142 速查07统计与概率(4大核心考点) 33 压轴题型08多结论正误判断题 144 ◇锦囊·几何模型全解◇ 压轴题型09图形变换综合题（折叠/旋转） 145 几何模型01三角形热考28种模型 38 压轴题型10函数综合压轴题 146 几何模型02四边形热考6种模型 41 压轴题型11几何模型综合题 148 几何模型03圆热考8种模型 42 ◇套押·临考抢分卷 ◇技法·得分加速器 领航卷·最新模拟精选 150 15种辅助线解题技巧 43 必刷卷·名校好题重组 157 ◇排雷·易错点清零 实战卷·中考真题重组 164 种避坑指南 考中实战篇 易错题型01~10（数与式、方程与不等式） 53 临场提分：控节奏、稳心态、破危局 易错题型11~18（函数) 56 【考前准备1】学生科学备考篇 172 易错题型19~32（图形与几何） 60 【考前准备2】考前一天终极准备 173 易错题型33~36（统计乌機率） 68 【考前准备3】考场全程应对策略 174 ◇热点·命题风向标 【考前准备4】考场应急与难题突破 175 48大热点（包会命题解码、解题大招、押题预则） 考后辅导篇 解密题型01~06（数与式） 71 平稳收官：慎择校、启新程、向未来 177 解密题型07~09（方程与不等式） 76 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考前冲刺篇 考前必看：抓热点、扫考点、补漏洞 冲刺复习备考指导 核心原则：基础+中档题占80%，冲刺不钻偏题怪题，只做能提分、能控分的事 一、高效复习规划 1.复习优先级（提分效率从高到低） ☑第一梯队：基础题错题复盘+限时基础训练（保分核心) 。第二梯队：中档题高频题型专项突破（提分关键） △第三梯队：压轴题前两问训练（只抓步骤分，放弃最后一问) 2.每日时间分配 1)课内：紧跟老师节奏，当天错题当天标注、当天解决 2)晚间(2小时)：1小时基础限时练保手感，1小时攻克1类中档题型 3)碎片：只看公式定理、易错点提醒，不做新题 二、错题整改核心方法 1)粗心失误：做题时圈画所有题干条件，计算不跳步，复盘时标注“粗心点” 2)概念模糊：直接回归课本原文，默写相关定义、定理，理清易混点 3)方法不会：总结同类题通用解题步骤，整理成模板，集中练3-5道同类题巩固 三、心态与情绪调节 1)拒绝“假努力”：不盲目刷新题，80%的提分来自错题复盘 2)接受不完美：不用追求所有题都会做，把能拿的分拿满就是胜利 3)建立可控感：每天只定1-2个可完成的小目标，完成即打勾，拒绝模糊焦虑 4)快速平复：紧张时用“4秒吸气-2秒屏息-6秒呼气”呼吸法，重复5次 四、考场答题策略 1)按顺序答题，单题耗时不超过5分钟，卡住先跳过 2)步骤写完整，按得分点作答，几何证明不跳关键步骤 3)优先检查选择填空和计算大题，减少低级失分 4)难题不空卷，写出相关公式、定理或第一步推导，争取步骤分 五、考前一周关键动作 1)全面停止刷新题、难题，只看错题本和高频易错点 1/180 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)每日默写一遍核心公式、定理和常用结论 3)按中考时间做1套基础卷，保持做题手感 4)调整作息，保证每天7-8小时睡眠，避免熬夜 最后提醒：中考拼的不是谁会的题多，而是谁错的题少。稳住心态，把会做的题全部做对，你就赢了！ ◇ 核心·高频点速查◇ 速查01数与式(6大核心考点) 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与 选择 1.实数的概念与分类（无理数、相反数、绝对值、倒数、科学记数 运第辨析 法辨析) 2.二次根式的概念与性质（有意义的条件、最简二次根式、同类二 次根式) 3.整式的相关概念（单项式/多项式的次数、系数，同类项的判 断) 4分式有意义/无意义/值为0的条件辨析 核心运算与 填空 重 1.实数的运算（含零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值、 性质应用 绝对值化简) 2.因式分解（提公因式法、公式法、十字相乘法的直接应用） 3.分式的化简求值（含整体代入、因式分解约分） 4.二次根式的化简与估值 难 综合运算与 解答 1.分式/二次根式的混合运算（含化简求值、分母有理化、含参数 非负性应用 的分式化简) 2.因式分解的综合应用（结合方程、代数式求值、恒等变形） 3.与整式/分式相关的规律探究题（数字规律、图形规律） 4含绝对值、二次根式的非负性综合题（如“几个非负数和为0求 参数”) 情境与形式创新 选择/填空 1.含新定义的数与式运算（如自定义运算规则、新定义数） 变 2.结合数轴的数与式问题（绝对值的几何意义、整式大小比较、动 点问题) 3.跨情境数与式应用（用代数式表示实际问题中的数量关系） 4含参数的分式/二次根式取值范围问题 跨学科与开放探 选择/填空/ 1.结合跨学科情境的数与式问题（如统计数据、科技/文化热 究新 解答 点背景下的数与式计算) 2.开放型数与式问题（如“写出一个满足条件的无理数/代数 式”) 3.数与式与函数/几何的综合题（如结合函数图像、几何图形 的代数式求值) 2/180 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.与数论相关的创新题（如整除性、奇偶性、数的分类拓 展) 洞一图串考法 常考易黄 0先看该数是有限小数还是无限小数 有理数/无理数的区别 2再看是循环小数还是不循环小数 常考热哮 有理数的运算法则及运算律等同样适用 实数运算 0先进行乘方和开方运算 ②再算乘除 运算顺序 目最后算加减 ④如果遇到括号，则先进行括号里的运算 常考热考 0al20 非负数的表现形式 日a2≥0 ③a≥0(a≥0) am.an 三am+） 底数不为0 数与式 (am)namn 幂的运算 a"bn= 常考/热考 考内 Γa°=1(a≠0) 整式的常见运算 Lat=2a≠0)l 常在计算题中出现 r(a+b)(a-b)=a2-2 乘法公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 提取公 观察剩 两项 平方差 因式 余项 公式 观察是否 检查每个多 项式是否都 因式分解的一般步骤 有公因式 没有 观察多 完全平 分解彻底。 顶 方公式 一超 二套 三检查 有括号一先算括号里面的 运算顺序 L无括号一先乘方一再乘除一最后加减 二次根式的混合运算 运算律一有理数的运篇律仍适用 r平方差公式-(a-Vb)(Wa+V⑤)=a-b(a≥0，b≥0) 运算公式 L完全平方公式-(a±V⑦2=a+b士2Wad(a≥0，b≥0) 先乘方，再乘除，最后加减 分式的混合运算 有括号时，先算括号内的运算 同级运算，按照从左到右的顺序进行 3/180 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点清单 考点01实数 1.实数的相关裰念及性质（表格版） 名称 定义 性质 数轴 在数学中，通常用一条直线上的点表示数， 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.反 这条直线叫做数轴 之，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数 与数轴上的点是一一对应的. 相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数， 1)若a,b互为相反数，则atb=0 我们称其中一个数是另一个数的相反数， 2)0的相反数是0 3)互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到 原点的距离相等且位于原点的两侧 绝对值 数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a 「a(a>0) 的绝对值，记作la. 0(a=0) -a(a<0)） 倒数 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫 1)0没有倒数，倒数等于它本身的数是1和-1： 做另一个数的倒数 2)若ab=1÷a,b互为倒数： 若ab=-1分a,b互为负倒数： 2.实数的混合运算 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算 实数计算的易错点： 1)负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数： 2)一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数： 1 (a≠0，n为正整数)a'=1(a≠0，n为正整数) 3.补充知识（特殊角的锐角三角函数值） 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° 4/180 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 sina 1-2 3 2 cosa 3 1 2 tana 3 3 考点02整式运算 1.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项 2.幂的运算 法则(m,n都是整数) 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，即ama”=am+n x2.x3=x7 幂的乘方 底数不变，指数相乘， 即(a"”-am (=3 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的 (x)=x'x 积相乘，即(ab)”=a"b" 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即am÷a”=am(a≠0) x÷x2=x3(x≠0) 3.整式的乘法 单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂 (-2x3y2)3.4y2=-32x0y8 乘单项 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母， 式 则连同它们的指数作为积的一个因式 单项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式 (-3x2y)-x+3x2)=3.x2y-9xy2 乘多项 的每一项，再把所得的积相加.即 式 na+b+c)=ma+mb+mc. 多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项 65m-4n2m+30=5mr2+7n-6m 乘多项 乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相 式 加.即(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 5/180 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 乘法 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 公式 完全平方公式：（a士b)2=a2±2ab+b 4整式的除法 单项式除 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的 12ab2x3÷3ab2=4a2x 以单项式 因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的 指数作为商的一个因式 多项式除 般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每 12a3-6a2+3a÷3a=4a2-2a+1 以单项式 项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 1+bm-cm)÷1=a+b-c 考点03因式分解 有 提取公 观察剩 两项 平方差 因式 余项 公式 观察是否 检查每个多 有公因式 项式是否都 没有 观察多 三项 完全平 分解彻底。 项式 方公式 一提 二套 三检查 考点04分式的运算 加减运算 1) 同分母分式：分母不变，把分子相加减，即b±9_b士c aaa 2)异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减，即二士 b,cbd±ac a d ad 乘除运算 1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的 b c bc 分母，即。9 a d ad 2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相 乘， 即b.c-b,d_bd a d a c ac 6/180 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 乘方运算 分式的乘方是把分子、分母分别乘方， (n为正整数，且b≠0) 混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减： 有括号时，先 进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 考点05二次根式的运算 加减运算 般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次 根式合并，即aN阮+bNm=(a+b)Vm,am-bm=(a-b)Vm 乘法运算 Vab=√ab(a≥0，b20) 除法运算 6V (a≥0，b>0）】 混合运算 二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算. 考点06比较数的大小 (1)数轴比较法：将实数在数轴上表示出来，左边的数小于右边的数： (2)绝对值比较法：设a,b是两负实数，若|a>|b÷a<b: 「a-b0台ab a-b=0台a=b (3)求差比较法：设a,b是两实数， 若(a-次0台K6 81⊙心0 8到1台a6 (4)求商比较法：设a,b是两正实数，若6 <1台Kb (5)平方比较法：设a,b是两负实数，若a>b2÷a<b: (6)估算法：设a,b为任意两个正实数，先估算出a,b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较. 例如V2≈1.414，V3≈1.732，V5≈2.236：【总结】比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒 数法、数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a,b,若a>b2一a>b;对任 意负实数a,b,若a2>b2台a<b. 7/180 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 速查02方程与不等式(5大核心考点) 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.一元一次方程、二元一次方程（组）的解的概念辨析 析 2.一元二次方程的根的判别式、根与系数关系（韦达定理）的 基本应用 3.不等式（组）的解集表示、整数解判断 4.分式方程的增根与无解的条件辨析 重 核心运算与性质应 填空 1.一元一次方程、二元一次方程组的求解 用 2.一元二次方程的求解（配方法、公式法、因式分解法） 3.分式方程的求解（含检验步骤） 4.一元一次不等式（组）的求解与解集表示 难 综合应用与含参讨 解答 1.含参数的方程（组）/不等式（组）的解的情况讨论（如解 论 的正负性、整数解个数) 2.一元二次方程与几何、函数的综合应用（如根的分布、面积 问题) 3.分式方程的实际应用（工程、行程、销售问题，含检验） 4.不等式（组）与函数结合的方案设计、最值问题 情境与形式创新变 选择/填 1.含新定义的方程与不等式问题（如自定义方程、新定义不等 空 式) 2.结合数轴、函数图像的不等式解集分析（如一次函数与不等 式的关系) 3.跨情境方程建模（如结合统计、几何背景列方程/不等式） 4.含绝对值的方程与不等式 跨学科与开放深究新 选择/填 1.结合跨学科情境的方程与不等式问题（如物理、化学、科技 空/解答 热点背景下的建模) 2.开放型方程与不等式问题（如“写出一个解为x=2的一元二 次方程”) 3.方程与不等式的规律探究题（如数列递推、周期性问题） 4.方程（组）与函数、几何的综合压轴题（如动点问题中的方 程建模) 8/180 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 丽一图串考法 解方程的基础 相同的数 等式的性质]一等号两边同时一加（或减） 等式仍然成立 相同式子 等式的性质 等式的性质2一等号两边同时 乘一同一个数 等式仍然成立 除以一同一个不为0的数 代入消元法一用一个未知数表示易一个，代入消去未知数 解二元—次方程组 加减消元法一通过方程加减消去某一未知数 小提示一优先消系数为1或绝对值小的未知数，简化计算 0去分母一两边同乘最简公分母一化成整式方程 2解整式方程一求出整式方程的解 解分式方程 易错易混 值0一有解 代入最简公分母 ③验根 值=0一无解 增根一分式方程化整式方程后，使原分母为0的解 常用方法 直接开方法一特征一ax2=b(a≠0，b≥0) r(ax+b)2=c(a≠0) 配方法一特征 一适用于所有一元二次方程，是推导求根公式的基础 程与不等式 判别式一△=b2-4ac一使用条件一△≥0 -b±√/△ 一元二次方程的解法 公式法 求根公式一当△≥0时，根为= 2a △>0令两个不相等的实数根 -解（根） 十△=0位两个相等的实数根 a0 易忽略 L△<0台无实数根 提公因式法一提取公共因式 因式分解法一 常见方法 公式法一利用平方差/完全平方公式 十字相乘法一拆分二次项、常数项配系数 前提一△之0 根与系数的关系一关系 b ax2+bc+c=0(a≠0) 1+= 解不等式组基础 加或减一同-个数（式子） 不等号方向不变 不等式的性质 不等式两边同时 乘或除以)一同一个正数 乘或除以)一同一个负数一不等号方向改变 求各个不等式的解集 元一次不等式组的解法 再求公共部分 9/180 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点清单 考点01解一元一次方程 步骤 具体做法 变形的依据 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最 等式的 1)不要漏乘不含分母的项： 小公倍数 性质2 2)当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再 去分母 3)如果分子是多项式，去分母后要将分子作为一 个整体加上括号： 去括号 先去小括号，再去中括号，最 去括号法 1)去括号时，括号前的数不要漏乘括号内的每一 后去大括号 则，分配律 项： 2)当括号外的因数是负数时，去括号后原括号内 的各项均要变号. 移项 把含有未知数的项移到方程一 等式的 1)移项时不要丢项： 边，其它项都移到方程另一边 性质1 2)将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在 【易错点】移项过程中未变号 方程同一边改变项的位置时不变号。 合并同 把方程变为ax=b(a≠0)的形 合并同类项 1)系数的符号处理要得当： 类项 式 法则 2)未知数及其指数不变. 系数化 将方程两边都除以未知数的系 等式的 不要将分子，分母的位置颠倒 为1 数a,得到方程的解x日 性质2 考点02解二元一次方程组 解二元一次方程组的一般步骤 1)把二元一次方程组中的一个未知数消掉（代入消元或加减消元）使其变成一元一次方程： 2)解一元一次方程，求出一个未知数的值： 3)将求出的未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值： 4)写出方程组的解. 【注意】 1)消元时要根据方程组的特点决定首先消去哪个未知数： 2)原方程组的每个方程在求解过程中至少要用到一次； 3)将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组的每一个方程中进行检验，看每个方程等号左、右两边的 值是否相等，若都相等，则是原方程组的解，只要有一个方程等号左、右两边的值不相等，就不是原方程组 的解. 10/180 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点03解分式方程 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程，即分式方程母)整式方程。 转化 具体作法：将分式方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程，再求根验根 1)去分母一方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 2)解整式方程→去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3)验根→将整式方程的解代入最简公分母， 若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，（可将这个解代入分式方程看左右两边是 否相等) 若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解 【易错点】 1)去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误. 2)方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根. 考点04解一元二次方程 根据方程的特点，选择适当的求根方法： 1)若方程具有(x+n)=a(a≥0)的形式，可用直接开平方法求解： 2)当一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法求解 3)公式法是一种最常用的方法，用时一定要把一元二次方程化为一般形式，确定，b,c的值，在 △=b2-4ac≥0的条件下代入公式求解. 方法 说明 直接开平方法 方程没有一次项时用直接开平方法较为简单（最直接的方法） 配方法 二次项系数为1，一次项系数为偶数时，用此方法较为简单（最基本的方法） 公式法 在配方法和公式法中，当各项系数均为整数，且绝对值较小时，首选公式法（万能 方法) 因式分解法 方程没有常数项时用因式分解法较为简单；当方程中含有括号时，不要急于去括 号，应观察是否能看作整体，直接因式分解（最简便的方法） 【总结】对于配方法、公式法和因式分解法，一般来说因式分解法较为简单，应优先考虑：对于整系数的 一元二次方程，若一次项系数为偶数，则可以考虑用配方法；若以上两种方法都不太方便的话，则用公式 法 考点05解一元一次不等式组 一般步骤 11/180 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一步：求出不等式组中各不等式的解集： 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集 【易错点】 1)利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分 2)当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变 x≥a 3)关于x的不等式组 的解集为x=a,关于x的不等式组 x无解. x≤a x<a 速查03函数(5大核心考点) 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.函数的定义与自变量取值范围（分式、二次根式、零指数幂 析 综合) 2.一次/反比例/二次函数的图像与基本性质辨析(k、a、b、c 的作用) 3.函数值的计算、增减性判断与大小比较 4.函数图像的识别（实际问题图像、动点图像） 5.函数的对称性、平移规律辨析 重 核心运算与性质应 填空 1.待定系数法求函数解析式（一次、反比例、二次函数） 用 2.函数图像的平移、对称、旋转变换计算 3.反比例函数k的几何意义（面积相关计算） 4.二次函数的顶点、对称轴、最值计算 5.一次函数与坐标轴的交点、与反比例函数的交点问题 难 综合应用与含参讨 解答 1. 次函数与反比例函数的综合（交点、面积、不等式解集） 论 2.二次函数与几何综合（存在性问题：等腰/直角三角形、平 行四边形、菱形等) 3.二次函数的最值问题（顶点最值、区间最值、面积最值） 4含参数的一次/二次函数问题（参数对图像、交点、性质的 影响) 5.函数与方程、不等式的综合（利用图像解不等式、方程根的 分布) 情境与形式创新变 选择/填 1.分段函数的实际应用（阶梯计费、行程分段问题） 空/解答 2.函数建模的实际问题（一次/二次函数解决利润、方案选 择) 3.函数图像的信息解读（图表、图像结合的实际问题） 4.反比例函数与几何图形的非常规综合（比例、相似、面积） 5.函数性质的变式探究（自定义函数、新运算） 跨学科与开放探究新 选择/填 1.跨学科情境的函数建模（物理运动轨迹、跨学科实际问题） 空/解答 2.函数的新定义与开放探究题（自定义函数、规律探究) 3.二次函数的实际应用（抛物线型建筑、运动轨迹、优化问 题) 4.函数与统计、大数据结合的图表分析题 12/180 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.多模块融合的开放题（函数+几何+代数的综合探究） 丽一图串考法 r×轴一b-0 轴上的点 y轴一a=0 L原点一0,0) 到x轴距离一b 点到坐标轴的距离十到y轴距离一a 特殊点坐标特征一a,b) L易错点一距离是正数，取坐标的绝对值 象限角平分线上的点「一， 三象限一a=b 四象限一a+b=0一即a=-b 平行于轴的线 与×轴平行一纵坐标相等，横坐标不等 与y轴平行一横坐标相等，纵坐标不等 b>0一在正半轴 x=0一与y轴交点(0，b) b50一在负半轴 与坐标轴交点 -b=0一过原点 Ly=0一与x轴交点（←0）一与x轴交点 一次函数 k一上升k>O)/下降k<0)趋势 直线位置 b一与y轴交点的纵坐标 由k,b的符号确定一示例：k>0,b>0一一、二、三象限 函数 双曲线一 关于原点中心对称的两条分支组成一补充双曲线还关于直线y=X、y=-X轴对称 双曲线位于第一、三象限一X,y同号 反比例函数 在每个象限内，y随x的增大而减小 双曲线位于第二、四象限一×，y异号 k<0= 性质 在每个象限内，y随x的增大而增大 重难点 所得矩形的面积为k k的几何意义一双曲线上任一点向x、y轴作垂线 所得直角三角形的面积为州 厂地物线=aa2+bm+ca≠0)一若点（巴1，、(c2,)在抛物线上一对称转为：x=1十2 2 0a的作用一a>0开口向上，a<0开和向下 ab>0一在y轴左侧 二次函数 包系数a、b的配合作用 ab<0一在y轴右侧 b=0一y轴 c>0一与y轴正半轴相交 ③系数c的作用 c=0一经过原点 与系数a、b、c的关系 c<0一与y轴负半轴相交 r△>0有2个交点 0与x轴交点的关联一由判别式△=2-4ac决定△=0→有1个交点 L△<0÷无文点 厂X=1:y=a+b+c一判断a+b+c的符号 -x=-1:y=a-b+c一判断a-b+c的符号 6 特殊值对应的函数值 X=2:y=4a+2b+c一判断4a+2b+c的符号 X=-2:y=4a-2b+c一判断4a-2b+c的符号 13/180 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点清单 考点01一次函数的图像与性质 k>0 k<0 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 图像 之 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴 交点的 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 位置 经过 第一、二、 第一、三、 第一、二、 第二、三、 第一、三象限 第二、四象限 的象限 三象限 四象限 四象限 四象限 1)直线y=kx+b,(k≠0)与直线y=k2x+b,(k,≠0)平行台 =店，4≠b 拓展 2)直线y=kx+b(k≠0)与直线y=k,x+b,(k2≠0)垂直÷ =-1 【补充说明】一次函数y=+b(k≠O)的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的 符号有关，与b的符号无关。 考点02反比例函数的图像与性质 k的符号 k>0 k<0 图像 图像位置 图像分别位于第一、第三象限(x、y同 图像分别位于第二、第四象限(x、y异 号) 号) 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 图像特征 1)图像是关于直线y=x和y=-x对称的双曲线： 2)图像是关于原点对称的双曲线： 3)图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交. 【易带易混】 1.反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前 提.当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x 14/180 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的增大而减小，同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大。 2.反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函 数的增减性，也可以推断出k的符号。 3.双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个 分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）. 考点03二次函数的图像与性质 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)+k y=ax2+bx+c 2 y h>0,k>0 a>0 10 h<0,k<0 图 像 y h<0k>0 a<0 h>0.k<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点坐标 (0,0) (0,k) (h,0) (h,k) ( 、4ac-b2 2a 4a a>0 开口向上，顶点是最低点， 此时y有最小值： 最 a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值 值 【小结】二次函数最小值（域曼大值）为0(k或4ac-b二 4a 增 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. 减 性 a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小， 考点04二次函数的图像特征与各项系数之间的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 15/180 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口 的大小(a越大，开口越小). a<0 开口向下 b=0 对称轴是y轴，即-品。0 b 对称轴在y轴左侧，即一品<0 左同右异中间0 a,b同号 a,b异号 对称轴在y轴右侧，即-品0 c=0 图像过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c决定了抛物线与y轴交点的位置. c<0 与y轴负半轴相交 b2-4ac>0 与x轴有两个不同的交点 b2-Aac b2-4ac的正负决定抛物线与x轴交点个数 考点05函数的平移 1.一次函数的平移变换 平移变换 平移方式(m>0) 函数解析式 向上平移m个单位 y=kx十b+m 向下平移m个单位 y=kx+b-m y=kx+b 向左平移m个单位 y=k(x+m)+b 向右平移m个单位 y=k(x-m)+b 【总结】一次函数图象平移后，k值不变因此可求出原函数图象上任意一点平移后得到的点的坐标，再利用 待定系数法即可求出平移后的解析式 2.二次函数图像的平移 平移方式(n>0) 般式y=ax+bx+c 顶点式y=a(x-h)2+k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)+b (x-n)+c y=a(x-h-n)+k 右减 向上平移n个单位 y-ax +bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax +bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移口决：左加右减（只改变x)，上加下减（只改变y). 16/180 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 速查04三角形与四边形(6大核心考点) 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.三角形的分类、三边关系、内角和定理辨析 析 2.特殊三角形（等腰、等边、直角三角形）的性质与判定辨析 3.三角形的高、中线、角平分线、中位线的性质应用 4.多边形内角和、外角和公式的直接应用 5.平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义与性质辨析 6.轴对称、中心对称图形的识别（结合三角形/四边形） 重 核心运算与性质应 填空 1.三角形角度计算（含外角定理、直角三角形两锐角互余） 用 2.等腰/直角三角形的边长、周长、面积计算（含勾股定理） 3.三角形中位线定理的相关计算 4平行四边形、矩形、菱形、正方形的边长、对角线、面积计 算 5.特殊四边形的对称性、边长/角度的性质应用计算 6.多边形的边数、内角和/外角和的逆向计算 难 综合应用与含参讨 解答 1.三角形全等/相似的证明与性质应用（含多步证明、线段/角 论 度转化) 2.特殊三角形（等腰/直角）与四边形的综合证明与计算 3.平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质综合题 4.三角形/四边形的动点问题（点动、线动、面动，含存在性 讨论) 5.含参数的三角形/四边形问题（如边长含参、角度含参的分 类讨论) 6.几何最值问题（如将军饮马模型、折叠问题中的最值） 情境与形式创新变 选择/填 1.三角形/四边形的折叠、旋转、平移等几何变换问题 空/解答 2.以实际情境为载体的几何建模题（如测量、拼接问题） 3.开放性几何题（如条件开放、结论开放的三角形/四边形证 明) 4.几何图形的变式探究（如条件弱化、结论推广的多问探究） 5.结合网格、坐标系的三角形/四边形问题（坐标法解几何） 跨学科与开放探究新 选择/填 1.跨学科情境的几何问题（如物理受力分析、工程测量中的三 空/解答 角形/四边形应用) 2.几何新定义问题（如自定义“等邻边四边形”“奇异三角 形”等) 3.几何规律探究题（如多边形分割、图形拼接的规律总结） 4.多模块融合题（三角形/四边形与函数、方程、统计的综 合) 5.开放探究类压轴题（如条件探究、结论探究、方法探究的多 问压轴) 17/180 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 园一图串考法 三边性质一关系一两边之差<第三边<两边之和 三角形的性质 内角和=180 角度性质 外角不相的两个内角之和 等边对等角 一性质 三线合一 等腰三角形 两腰相等 定义法一有两边相等的 判定 等角对等边 三个角相等且为60 性质 三边相等 等边三角形 三个角相等 般三角形 特殊三角形 判定 ,三条边相等 等腰三角形中，有一个角是60 角的性质一两锐角互余 性质 边的性质一两直角边的平方和-斜边的平方（向股定理） 中线-斜边的一半 特殊线段的性质 直角三角形 若∠A=30,则a=0 三 有一个角是直角 角的判定 两个内角互余 角形与四边 判定 线段判定一中线斜边的一半 勾殷定理逆定理一a2+b2=c2 热考点 边一两条直角边a.b以.斜边(cl】 核心元素 角一两个锐角（∠A∠B) 三边关系一a2+b2=c2 两锐角关系一∠A+∠B-90 基本关系 解直角三角形 sinA=C0sB= 边角关系 sinB=COSA=b 1 tanA= B 珠结论（∠A=30时一 选承平行四边形所有性质 四个角都是直角 性质 对角线相等 既是中心对称图形，又是轴对称图形 柜形 有一个角是直角的平行四边死 判定 有三个角是直角的四边形 对角线{对角线相等的平行四边形 待殊平行四边形 四条边都相等 性质 对角线互相垂直且平分一组对角 羡形 边{ 有一组邻边相等的平行四边形 判定 四条边都相等的四边形 对角线{互相垂直的平行四边形 四条边相等，四个角是直角 性质 对角线相等且互相垂直平分，平分一组对角 有4冬对称轴（既是中心/轴对称图形） 正方形 边{ 有一组邻边相等的矩形 判定 角【有一个角是直角的形 对角线互相垂直的矩形 对角线 对角线相等的姜形 18/180 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 色考点清单 考点01特殊三角形的性质与判定 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 性 (1)两腰相等 (1)三边相等 (1)两锐角之和等于90°. 质 (②)两底角相等（简写成“等边 (2)三个内角相等，都等于60°· (②)斜边上的中线等于斜边的 对等角”). (3)是轴对称图形，有三条对称 一半 (3)顶角的平分线、底边上的中 轴 (3)30°角所对的直角边等于 线、底边上的高线互相重合（简 (4)等边三角形三条角平分线的 斜边的一半 称“三线合一”) 交点、三条高线的交点、三条中 (4)勾股定理：两直角边的平方 (4)是轴对称图形，有一条对称 线的交点重合： 和等于斜边的平方，即a2+ 轴. b2=c2(a,b为直角边，c为 斜边) 判 (1)有两条边相等的三角形是等 (1)三边相等的三角形是等边三 (1)有一个角为90°的三角形 定 腰三角形 角形 是直角三角形 (2)有两个角相等的三角形是等 (2)三个角都相等的三角形是等 (2)有两个角互余的三角形是 腰三角形（依据“等角对等 边三角形， 直角三角形 边”). (3)有一个角等于60°的等腰三 (3)勾股定理的逆定理：若a2+ 角形是等边三角形 b2=c2,则以a,b,c为三边 的三角形是直角三角形， 面 S=二h(a为等腰三角形的 S= a (a为等边三角形的 sb=2cm(a,b为直角 2 积 2 边，c为斜边，m为斜边上的 底边长，h为底边上的高) 边长). 高)· 考点02全等三角形的性质与判定 全等三角形的性质： 1)全等三角形的对应边相等，对应角相等 2)全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等 3)全等三角形的周长相等，面积相等（注意：周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形） 判定两个三角形全等的思路：证明两个三角形全等时，要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了 哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法，一般可按下面的思路 进行： 19/180 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 找第三边 SSS 已知两边 找夹角 SAS 定两个三 找直角 HL 一边为角的对边 找另一角 AAS 已知一边、一角 找夹角的另一边 SAS 一边是角的邻边 找夹边的另一角 ASA 找边的对角 AAS 等 找夹边 ASA 已知两角 思 找其中一角的对边 AAS 考点03相似三角形的性质与判定 1.相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等 ②相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比. ③相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方 ④三角形的相似具有传递性：若△ABC∽△BDC,△AC∽△ADB,则△BDC∽△ADB 【易错点】对相似三角形的面积比不清而出错 2.相似三角形的判定 判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交， 有一个锐角相等的两个直角三角形相似， 所构成的三角形与原三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似 两组直角边成比例的两个直角三角形相似 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似， 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 4 两角分别相等的两个三角形相似. 考点04解直角三角形 已知条件 解法步骤 图示 斜边和一直角边 =sinA→∠A→∠B=90°-∠4 两 (如a,c) a,c→ c 边 b=vc-a 两直角边 (如a,b) a,b→ =tamA→∠A→∠B=90°-∠4 b c-va+b 20/180 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 斜边、锐角 ∠B=90°-∠A (如c,∠A) c,∠A→ a=csin A,b=ccosd 一直角 对边，锐角 ∠B=90°-∠A A 边 边，一 (如a,∠A) a,∠A→ a a 6=- 一 锐角 nd :C=_ sind 6 角 邻边，锐角 ∠B=90°-∠A (如b,∠A) b,∠A→ b a=btan A,c=- B cosd 考点05特殊四边形的性质 四边形 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称图形 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形、中心对 称图形 菱形 对边平行且四条边 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且 轴对称图形、中心对 都相等 每一条对角线平分一组对角 称图形 正方形 对边平行且四条边 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分且相 轴对称图形、中心对 都相等 等，每一条对角线平分一组对 称图形 角 考点06特殊四边形的判定 四边形 边 角 对角线 平行四 1)两组对边分别平行 两组对角分别相等 两组对角线互相平分 边形 2)两组对边分别相等 3)一组对边平行且相等 矩形 1)平行四边形+一直角 平行四边形+两条对角线相等 2)四边形+三直角 菱形 1)平行四边形+一组邻边相等 平行四边形+两条对角线互相垂直 2)四边形+四条边都相等 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 矩形+对角线互相垂直 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 菱形+对角线相等 21/180 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 速查05圆(7大核心考点) 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.圆的基本概念辨析（圆心、半径、弦、弧、圆心角、圆周角 析 的定义与关系) 2.垂径定理及其推论的辨析与直接应用 3.圆周角定理（直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相 等)的辨析 4.点与圆、直线与圆的位置关系判定（与r的数量关系） 5.圆的对称性（轴对称、中心对称）的识别与应用 6.正多边形与圆的基本概念辨析（中心角、边心距） 重 核心运算与性质应 填空 1. 垂径定理相关计算（弦长、半径、弦心距的勾股定理应用） 用 2.圆心角、圆周角的角度计算（含多步转化） 3.弧长、扇形面积的公式直接计算 4.圆锥的侧面积、全面积与展开图相关计算 5.切线的性质应用（切线与半径垂直）的基础计算 6.圆内接四边形的性质（对角互补）相关角度计算 难 综合应用与含参讨 解答 1.切线的判定与性质综合题（证明切线、利用切线性质计算线 论 段/角度) 2.圆与三角形/四边形的综合（圆内接三角形、四边形的证明 与计算) 3.圆的综合证明与计算（垂径定理、圆周角定理、切线性质的 多步综合) 4圆与函数的综合（坐标系中圆与一次/二次函数的交点、切 线问题) 5.含参数的圆的问题（如圆心坐标、半径含参的位置关系讨 论) 6.圆中的最值问题（如线段最值、弧长最值、面积最值） 情境与形式创新变 选择/填 1.圆的折叠、旋转等几何变换问题（如折叠后形成的圆的相关 空/解答 计算) 2.实际情境中的圆建模问题（如圆形零件、扇形零件的测量与 计算) 3.结合网格、坐标系的圆的问题（坐标法解决圆的位置关系、 切线问题) 4.圆的变式探究题（如条件弱化、结论推广的多问探究） 5.与相似、勾股定理结合的圆的综合题（圆中线段比例、长度 计算) 跨学科与开放探究新 选择填 1.跨学科情境的圆的问题（如物理中的圆周运动、工程中的圆 空/解答 形构件问题) 2.圆的新定义问题（如自定义“等弧圆”“伴随圆”等） 3.圆的开放探究题（如条件开放、结论开放的圆的证明与计 算) 4.多模块融合压轴题（圆+函数+几何变换的综合探究） 5.与大数据、实际应用结合的圆的优化问题（如扇形面积的最 值设计) 22/180 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 丽一图串考法 垂径定理的五个元素 过圆心垂直弦平分弦（非直径）平分优弧平分劣弧 垂径定理模型 知二推三目一任意2个元素一另外3个一平分的弦不能是直径 公式一弦长一半：+弦心距=半径 构造Rt~计算线设长度 《题型一已知半径/弦长/弦心距，求另外个量 一所对的弧相等 ·基本结论一相等的圆心角 所对的弦相等 弧、弦、圆心角的关系 一所对的圆心角相等 同弧或等弧 前提：同圆/等圆中 性质 L所对的弦相等 推论 所对的圆心角相等 两条弦相等 L所对的弧（同类型）相等 一定理一一条弧所对圆周角=所对圆心角的一半 圆周角定理 广半圆（或直径所对的圆周角是直角 准论 90的圆周角所对的弦是直径 一对角互补 圆内接四边形一 性质L任意一个外角等于它的内对角 符号说明一d为点到圆心的距离，r为圆的半径 点和圆 点在圆内台d<r 位置关系 点在圆上分d= L点在圆外分d>r 广符号说明一d为直线到圆心的距离，为圆的半径 相交一关系一d<r 位置关系 关系一d-r 性质一圆的切线垂直过切点的半径 圆 热专 经过半径外端且垂直于这条半径的直线，是圆的切线 直线和圆十相切 判定 有明确交点，连半径，证直线与半径垂直 证明直线与圆相切 无明确的交点，过圆心作垂线段，证其等于半径 圆外一点圆的2条切线，切线长相等 切线长一切线长定理 点与圆心的连线平分切线夹角 r关系一d>r 相离 特征一直线和圆无公共点 正多边形必有外接圆，一个圆有无数个内接正多边形 正多边形与圆 ΓAC2+0C2=A02 中心边中点、顶点组成Rt之 性质 3A0B 符号说明一n是圆心角度数，r为圆的半径 弧长公式 nar 公式 180 LL,n,r三个变量，知二推 与圆有关的计算 面积一S= nm R2 S- 扇形 360 周长一C=2R+1=2R+ 3r几 扇（弓）形面积 180 23/180 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点清单 考点01园的基本性质 1.垂径定理及推论 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，CD D 是⊙0的直径，AB为弦，CD⊥AB于点E,则AE=BE, AC=BC.AD=BD 推论 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，CD是⊙0的直径，AE= BE,则CD⊥AB,AC=BC,AD=BD 延伸 (1)平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧. (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧， 小技巧 条直线如果具备：①经过圆心；②垂直于弦，③平分弦（非直径），④平分弦所对的优弧， ⑤平分弦所对的劣弧，上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其它三个结论，简称“知 推三” 2.弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 如图所示，，∠A0B=∠COD,AB=CD,AB=CD B 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量 都分别相等 【注意】不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果遗漏了这个前提条件，即使圆心角相等，所对的 弧、弦也不一定相等 3.圆周角定理及推论 定理 条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 24/180 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 常见图 形 0 结论 1 LBAC=2∠BOC 推论 1)同弧或等弧所对的圆周角相等 2)半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径 4.圆内接四边形的概念及性质 概念 如果一个四边形的所有顶点均在同一个圆上，那么这个四边 形叫做圆内接四边形， 性质 圆内接四边形对角互补 ∠BAD+∠BCD=180°， ∠ABC+∠ADC=180° 延伸 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角 ∠1=∠2 相邻的内角的对角) 考点02切线相关 1.切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点. 2性质与判定： 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 判定 1)定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切： 2)数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切： 3)判定定塑法：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线， 3.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.如图中的PA, PB两条线段的长为点P到⊙0切线长(PA,PB与⊙0相切). 4切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹 角。 考点03三角形的内心和外心 三角形的内切圆 三角形的外接圆 25/180 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 圆心的确 三角形三条角平分线的交点， 三角形三边垂直平分线的交点， 定 叫三角形的内心 叫三角形的外心 图示 圆心的性 1)内心到三角形三边的距离相等， 1)外心到三角形三个顶点的距离相等， 质 即OD=OE=OF 即OA=0B=OC 2)0A、OB、0C分别平分 2)∠4=1∠B00 ∠BAC、∠ABC、∠ACB. 3)∠B0C=90°+ 1 2 ∠BAC 圆心的位 定在三角形的内部 锐角三角形：在三角形的内部： 置 直角三角形：为三角形的斜边的中点： 钝角三角形：在三角形的外部 考点04正多边形与圆有关计算 (n-2)×180° 1)内角：正n边形的每个内角和为 =180° 360° n n 360° 2)外角/中心角：正n边形的每个外角/中心角为 3)周长：正n边形的周长1=na(a为边长). 中心角 4)面积：正n边形的面积S=二l(r为边心距，为周长) 华径 5)正多边形的半径，边长和边心距之间的关系为R2=r2+ 内角 边心距 6)正多边形的半径，边长和中心角之间的关系为a=2R·i 180° 7)正多边形的半径，边心距和中心角之间的关系为r=R·C0 180° n 【技巧总结】 1)正六边形的边长等于正六边形的外接圆的半径. 26/180 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)正方形的边长等于正方形的外接圆的半径的√2倍， 3)正三角形的边长等于正三角形的外接圆的半径的V3倍. 考点05弧长与扇形面积 弧长公式：1= nnR (n为圆心角的度数，R为圆的半径)： 180 扇形的面积公式：S扇形 n元Ra为圆心角的度数，R为圆的半径)R(1是n的圆心角所对的弧 360 2 长) 【补充】 1)根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，1，n,R中的任意两个量，都可以求出另外两个量. 2)在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然 后直接代入公式3#影或SR中求解即可。 3当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时，可以选用公式S扇形= nπR2 当已知半径R和弧长1求 360 扇形的面积时，可以选用公式S能R 考点06圆锥的相关计算 圆锥常见量之间的关系（如图） 设圆锥的母线长为1，底面圆的半径为r,高为h (1)这个扇形的弧长为2Tr; (2)r2+h2=12; (3)S圆锥侧= 11-2πr=元l (4)S圆维全=rl+πr2=r(1+r2） (5)圆锥侧面展开图的圆心角度数为n= 7360←-2m= 360 【补充】求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个 扇形的驭长等于原罢维底面的周长，扇形的半径等于原圆维的母线长，即2， 来建立圆锥底面圆的 半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系. 考点07阴影部分面积计算 1,弓形面积的求法 27/180 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当弓形所含的弧是劣弧 当弓形所含的弧是优弧 当弓形所含的弧是半圆 A B B S号=S躺形408 △AOB S号=S扇形4o+S.4O3 2.求不规则图形面积的常用方法 1)求和（差）法：把图形适当分割，将不规则图形的面积转化成几个规则图形面积的和或差 如图(1)，S阴影=S扇形OAB一SAODE 2)等积转化法：通过等面积转化，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算. 如图(2)，点D为AB的中点，则S阴影=SA4BD· 如图3，己知扇形A0B,DO/AB,则S阴影=S。4B+S号形4B=SO4B+S号形AB-S扇形4OB 3)容斥原理法：当阴影部分由几个图形叠加而成时，利用“阴影部分的面积=叠加前的几个图形的面积之和 一（多加部分的面积+空白部分的面积）”求解 如图(4)，阴影部分是扇形ABE和扇形ACD的重叠部分，则 S阴影=S崩形ABB+S扇形ACD一S。AaC B 图(1)图(2)图(3)图(4) 速查06图形变换(3大核心考点) 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.轴对称、中心对称图形的识别（含三角形、四边形、圆等基 析 础图形) 28/180 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.平移、旋转、轴对称的基本概念辨析（对应点、对应线段、 对应角的性质) 3.图形变换的坐标变化规律辨析（平移、对称、旋转后的坐标 变化) 4.三视图与投影的概念辨析（主视图、左视图、俯视图，平行 投影与中心投影) 5.图形变换的对称性判断（如正多边形的对称轴数量、中心对 称的判定) 重 核心运算与性质应 填空 1.平移变换的坐标计算（沿x轴、y轴平移后的点坐标、图形 用 面积变化) 2.轴对称变换的计算（对称点坐标、对称轴方程、折叠问题中 的角度/边长计算) 3.旋转变换的计算（旋转中心、旋转角、对应点距离、旋转后 图形的边长/角度) 4.三视图相关计算（由三视图还原几何体、计算几何体的表面 积与体积) 5.图形变换中的面积、周长计算（如平移/旋转后图形的面积 不变性应用) 难 综合应用与含参讨 解答 1.折叠问题综合（三角形、四边形、圆的折叠，含多步推理、 论 存在性问题) 2.旋转问题综合（以三角形、四边形为载体的旋转，含全等/ 相似证明、最值问题) 3.图形变换与函数综合（坐标系中平移、对称、旋转与一次/ 二次函数的结合) 4.含参数的图形变换问题（如旋转中心、平移距离含参的分类 讨论) 5.图形变换中的几何最值问题（如将军饮马、胡不归模型，利 用轴对称求最值) 情境与形式创新变 选择/填 1.网格背景下的图形变换问题（在网格中作平移、对称、旋转 空/解答 后的图形) 2.图形变换的实际情境建模（如剪纸、拼图、图案设计中的轴 对称/中心对称) 3.多变换组合问题（平移+旋转、轴对称+旋转的复合变换问 题) 4.结合相似、勾股定理的图形变换问题（如旋转构造全等/相 似三角形) 5.图形变换的信息解读题（结合生活场景的变换规律分析） 跨学科与开放探究新 选择/填 1.跨学科情境的图形变换问题（如物理运动轨迹、建筑设计中 空/解答 的图形变换应用) 2.图形变换的新定义问题（如自定义“旋转变换”“反射变 换”的规则探究) 3.开放探究类图形变换题（如给定部分变换条件，探究变换规 律或结论) 4.多模块融合压轴题（图形变换+函数+几何的综合探究题） 29/180 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.图案设计与优化问题（利用图形变换设计对称图案，探究最 优方案) 厨一图串考法 向右平移a个单位一(x+a,y) 向左平移a个单位一(x-a,y) 平移一平移后坐标 右加左减横坐标，上加下减纵坐标 图形变换 向上平移a个单位一(x,y+a) 向下平移a个单位一(x,y-a) 关于x轴对称一(x,y) 一(xy) 对称一对称点坐标 关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变 坐 关于y轴对称一(x,y) 关于原点对称一(×，y) 系综 绕原点顺时针旋转90°一y,-x刈 旋转一旋转点坐标 绕原点逆时针旋转90°一(-y,刈 绕原点顺时针/逆时针旋转180°一（←×，-y) 考点 0 平移前后图形全等 2 对应线段：平行/共线+相等，对应角：相等 平移的性质 目对应点连线平行/共线+相等 形变 ④对应点距离=平移距离 对应点所连线段被对称轴垂直平分 轴对称的性质 对应线段相等、对应角相等 旋转前后图形全等一△ABC兰△ADE 对应点到旋转中心距离相等一AB=AD 对应点与旋转中心的连线夹角=旋转角一∠DAB=旋转角 解决旋转问题的关键一找旋转角、对应点，用旋转性质 旋转的性质 两个图形全等一△ABC兰△A'BC 经过中心一AA过点O 对应点的连线 中心对称的性质 被对称中心平分一AO=A'O 考点清单 考点01图形的对称 1.轴对称图形与轴对称 轴对称图形 轴对称 概念 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它 两旁的部分能够互相重合，那么这个图形 能够与另一个图形重合，那么称这两个图 30/180 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称形关于这条直线对称，也称这两个图形成 轴 轴对称，这条直线叫做对称轴 图示 性质 被对称轴分成的两部分是全等图形. 1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分： 2.对应线段相等，对应角相等： 3.两个图形全等 区 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 具有特殊形状的图形 别 对象不同 两个图形 个图形 对称轴的 在两个图形之间 过图形的某条直线 位置不同 对称轴的 只有一条 不一定只有一条 数量不同 联系 1)沿对称轴折叠，两个图形重合： 1)沿对称轴折叠，图形的两部分重合 2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整 2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图 体，那么它就是一个轴对称图形 形，那么这两个图形成轴对称. 特别提醒：折叠的实质是轴对称变换，折痕所在的直线是对称轴，折叠前后的图形全等，对应点的连线被折 痕所在直线垂直平分. 2.中心对称图形与中心对称 中心对称图形 中心对称 楞念 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果 把一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另 旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么 一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点 这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它 对称或中心对称，这个点叫做对称中心 的对称中心. 图形 0 B 性质 过对称中心的直线把中心对称图形分成的两 1)中心对称的两个图形是全等图形： 31/180 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 部分的周长与面积分别相等 2)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对 称中心，而且被对称中心所平分： 3)中心对称的两个图形，对应线段平行（或在一条 直线上)且相等 区别 指具有某种性质的一个图形 指两个图形的（位置）关系 考点02图形的平移 楞念 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移.它具 移动方向和距离决定的， 图示 平移方向 D B平移距离 性质 1)平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2)平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等 3)任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移 距离 作图步骤 1)定：根据题目要求，确定平移的方向和距离； 2)找：找出确定图形形状的关键点： 3)移：过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段， 得到关键点的对应点： 4)连：按原图顺序依次连接各对应点 【注意】确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置：②平移的方向；③平 移的距离 考点03图形的旋转 概念 把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度，叫图形的旋转，点0叫做旋转中心，转 动的角叫旋转角。 要素 旋转中心、旋转方向、旋转角 图示 旋转方向 旋转角 32/180 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 性质 1)旋转前后的两个图形全等； 2)对应点到旋转中心的距离相等； 3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角， 作图步骤 1)根据题意， 确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2)找出原图形的关键点： 3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点： 4)按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形. 速查07统计与概率(4大核心考点) 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.普查与抽样调查的适用场景辨析 析 2.总体、个体、样本、样本容量概念识别 3.平均数、中位数、众数、方差的意义与判断 4.必然事件、不可能事件、随机事件的区分 5.频率与概率的概念辨析 6.常见统计图（条形、折线、扇形）特点判断 重 核心运算与性质应 填空 1.平均数、加权平均数、中位数、众数计算 用 2.方差、极差的计算与数据稳定性判断 3.扇形统计图圆心角度数计算 4.简单随机事件概率直接计算 5根据频数、频率求总数或某组频数 6.用样本估计总体的简单计算 难 综合应用 解答 1.统计图综合补全与信息分析（条形+扇形+表格) 2.统计推断与决策类问题（根据数据提建议） 3.列表法或画树状图求两步及以上随机试验概率 4概率与统计结合的实际应用题 5.游戏公平性判断与方案设计 6.统计图表与方程、不等式的简单综合 情境与形式创新变 选择/填 1.结合生活实际的统计图表信息题 空/解答 2.重复试验下用频率估计概率 3.几何概型（面积、长度类概率计算） 4.多组数据对比分析与综合评价 5.统计量变化对数据结果的影响分析 跨学科与开放探究新 选择/填 1.结合环保、体育、健康等真实背景的统计题 空/解答 2.新定义统计量或概率规则的阅读理解题 3.数据收集、整理、描述、分析的完整流程考查 4.开放设问：根据统计数据提出合理建议 33/180 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.概率与函数、几何图形结合的综合探究题 丽一图串考法 「优点一数据全面、结果精准 全面调查 缺点一花费多、工作量大、耗时长，部分情况无法普查 方式 优点一花费少、省时、易操作 一抽样调查 一缺点一样本若不具代表性，结果可能偏离真实情况 数据的收集整理与描述 9 一特点一用扇形面积表示各部分占总体的比例 扇形统计图 常用统计图 一特点一用长方形高度表示数据的数量多少，直观对比 条形统计图 空 一特点一用折线起伏表示数据的变化趋势 折线统计图 平均数一易受极端值影响，适合数据分布均匀的情况 计与概 中位数一不受极端值影响，适合数据有异常值的情况 统计量的选择与应用 众数一反映数据的多数水平”，适合市场调研 比较两组数据的稳定性 方差一 公式法古典概型)一PA)=严厂m:事件A出现的次数 n1n:所有事件的总数 ~适用条件一涉及两个因素、可能性相等、结果数目较少 直接列举法 注意 ·按顺序列举，保证不重不漏 列表法一适用条件一涉及两个因素、可能性相等、结果数目较多 概率的 计算方法 树状图法一适用条件一涉及因素23个、可能性相等 适用场景一结果有无限个，且每个结果发生的可能性相等 ·几何概率 公式一P(A)= 事件A对应的区域面积 整个图形的总面积 通过大量重复试验，用事件发生的频率估计概率 用频率估计概率一方法 频率= 发生次数 试验总次数 色考点清单 考点01数据的收集 1.普查与抽样调查 概念 优缺点 举例 普查 考察全体对象的调查叫 优点：收集到的数据全面、准确 1)检测“神舟十六号”飞船的零 做全面调查. 缺点：一般花费多、工作量大，耗 部件 2)了解全班50名同学每天体育锻 34/180 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 时长 炼的时间。 只抽取一部分对象进行 优点：调查范围小，花费少、工作 1)测试一批灯泡的使用寿命或炮 抽祥 调查，然后根据调查数 量较小，省时 弹的杀伤半径等 调查 据推断全体对象的情况 缺点：抽取的样本是否具有代表 2)调查某批中性笔的使用寿命 叫做抽样调查 性，直接关系到对总体估计的准确 3)了解全国中学生的视力和用眼 程度 卫生情况. 2.总体、个体、样本、样本容量与简单随机抽样 分类 概念 注意事项 举例 总体 要考察的全体对象 考察一个班学生的身高，那么总 对全市2.3万名初中毕业生升学考试的数 称为总体 体就是指这个班学生身高的全 学成绩进行统计调查，为了了解这2.3万 体，不能错误地理解为学生的全 体为总体 学生的数学成绩，从中抽取1000名学生的 个体 组成总体中的每 总体包含每一个个体，所有的个 数学成绩进行统计.那么： 个考察对象 体组成总体 总体指的是2.3万名学生的数学成绩： 样本 被抽取的个体组成 样本是总体的一部分，一个总体 个体指的是每一个学生的数学成绩： 一个样本 中可以有许多样本，样本能够在 定程度上反映总体 样本指的是1000名学生的数学成绩； 样本 样本中个体的数目 样本容量是一个数字，不带单 样本容量是1000. 容量 称为样本容量 位 考点02平均数、中位数、众数、方差 分类 定义 特点/意义 应用 平均 算术平均数：一般地，对于n个数X1,X2,…, 反映一组数据的平均 根据两组数据的平 数 水平，容易受到极端 均数评价、比较两 xn,则这n个数的平均数为 值的影响 组数据的整体水平. x=++x, 记作“x”,读作“x拔”. 加权平均数：若n个数x1,x2,…,xn的权分别 是w1w2,,wn,则t2w2++xnw w1+W2+…+Wn 35/180 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 叫做这n个数的加权平均数 中位 一般地，将一组数据按大小顺序排列后，处于中 反映一组数据的“中 判断某个数据在某 数 间位置的数叫做这组数据的中位数.如果数据的 等水平” 组数据中所处的位 个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数 置，比中位数大，位 据的中位数， 于前50%：比中位数 小，位于后50%. 众数 ·组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的 反映一组数据的“多 常与“最受欢迎” 众数 数水平”，只与数据 “最满意”“最佳” 出现的次数有关 有关. 方差 设有n个数据x1,x2,…,x,各个数据与平均 方差是用来衡量数据 在平均数相同的情 数的差的平方分别是(x1-x)2,(x2-x)2， 在平均数附近波动大 况下，比较两组数据 ,(n-)，我们用这些值的平均数，即用 小的量，方差越大， 的稳定性 s2=[01-刘2+62-刀2+…+6n-刘9来 数据的波动性越大， 方差越小，数据的波 衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据 动性越小。 的方差，记作s2 考点03统计图/表的分析 类型 图示 特点 扇形统计图 1)各百分比之和为1： B C 2)扇形圆心角的度数=该部分所占百分比 30% /D X360°； /10% 3)特点：能清楚地表示出各部分在总体中所 占的百分比. 条形统计图 人数 1)能清楚地表示出各部分的具体数目： 以 2)各部分数量之和等于抽样数据总数（样本容 量) 36/180 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 折线统计图 气温/℃ 1)能清楚地反映事物的变化情况。 32 2 30 -.30 8 26 2627 24 周日周一周二周三周四周五周六日期 频数分布表 分组 频数 频率 1)各组频率之和等于1 151.5-156.5 0.15 156.5-161.5 2 0.10 161.5166.5 a 166.5-171.5 5 0.25 171.5-176.5 0.20 频数分布直方图 个频数 1)能清晰、直观地显示各组频数的分布情况 20 30 6 16 及数据的整体状况： 14 12 2)各组频数之和等于抽样数据总数（样本容 量) 102030405060使角次数 考点04概率的计算 1.计算概率的公式：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等， 事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(4)-,即 P(随机事件A)=随机事件A可能出现的结果数 所有可能出现的结果数 2.列举法求概率 1)列举法：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等， 我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法 2)列表法：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的 结果，这种方法叫列表法 3)画树状图法：当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可采用画树状图法不重不漏地列举出所有 可能出现的结果，再根据概率公式计算。 3.用颜率估计樱率：一般地，在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率心会稳定于 n 37/180 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 某个常数p,我们称事件A发生的概率为p. ◇锦囊·几何模型全解◇ 几何模型01三角形热考28种模型 A字模型 8字模型 飞镖模型 ∠1+∠2=180°+∠A ∠A+∠B=∠C+∠D ∠BCD=∠A+∠B+∠D 老鹰抓小鸡模型 向内翻折 向外翻折 点0为∠A内部的一点 ∠1+∠2=∠A+∠0 2∠C∠1+∠2 2∠C-∠2-∠1 两内角平分线模型 两外角平分线模型 一内一外角平分线 己知BD、DC分别平分∠ABC、∠ 已知BD、DC分别平分∠EBC、∠BCF BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD ACB ∠0-90+∠A ∠B∠a 2 线三垂直模型 手拉手模型 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°， ∠ABC∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE △OAB,△OCD均是等腰三角形， AC=CE OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠C0D=a 38/180 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B △ABC≌△CDE △ABC≌△CDE BD=AB-DE △OAC≌△OBD,AC=BD, BD-DE+AB ∠AEB=a,EO平分∠AED 正方形内含型半角 等腰直角三角形内含型半角 对角互补模型 A G B A C 过点B作BD⊥BC,且BD=EC,连接 点C在∠AOB的平分线上 延长BC至点G,使DE=GB,连 AD,DF 接AG 1)旋转全等△4DE≌△ABG 1)旋转全等△4DB≌△4EC 1.△CGD=△CFE 2)对称全等△AEF≌△AGF 2)对称全等△ADF≌△4FF 2.CD=CE 3)EF=DE+BF 3.0D+0E=√50C 3)在Rt△DBF中，BD2+BF2=DF2 10c2 4.SODCE= 即EC2+BF2=EF2 A字模型 共边反A字模型 8字模型 D B B A=∠D或∠B=∠C DE∥BC ∠1=∠B △ADE∽△ABC △ACD∽△ABC △AOB∽△DOC AC"=AD-AB 射影定理 一线三等角模型 角含半角相似模型 39/180 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D ∠B=∠D=∠ACE=a ∠BAC=90°，∠DAE=45°，BA=AC 1)△ABD∽△ACB∽△BCD △ABC∽△CDE △BAEP△ADE∽ACDA 3 AB2=AC.AD 铝-能-答或0~GD-ABE BC2=AC.DC BD2=AD-CD 3)ABBC=BDAC(面积法) 双腰上的高求定值 等腰三角形动点与存在性问题 将军饮马（特例） B P3、PPP B D AB=AC 如图在直线AB、BC上分别找点 M、N,使得△PMN周长最小， 如图，己知线段AB,在直线1上找点 P使得△ABP为等腰三角形 ∠ABC=a DE+DF-BG P1,P2,P3,P4,P5 P'P",∠NPM=180°-2c 两个直角三角形靠墙 两个直角三角形背靠背 角平分线+垂直，构造中位线 D B D AE平分∠BAC,且AE⊥BE,点D 为BC的中点 AD2-CD2=AB2-BC2 AB2-BD2=AC2-CD AC-AB DE= 2 12345模型 胡不归模型 40/180 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 6 已知tana=1/2,tanB=1/3, 求a+B 。11 M 己知A,B为定点，其中点A在定直线m上，点P在直线m上一动点，求k ·PA+PB(k<1)的最小值 ∠1+∠2=45°（知二推一） 对形如a-PAtb-PB(ab的式子，可以先将式子变形为aPA+bPB 再 求出PA+bPB的最小值，此时只需要构造in∠PBM-b,作垂线即 b a a 可求出最小值 几何模型02四边形热考6种模型 矩形对角相等求最值 利用菱形的对称求最值 正方形十字架模型 D E B E C 在菱形ABCD中，E,F分别是 在正方形ABCD中，E,F分别是 在Rt△ABC中，过斜边AC上一点 AC,CD上的点，求线段长度和 BC,DC上的点，AE与BO相交 D作直角边的垂线段，求EF长的 DE+EF的最小值 于点O,互相推导①B-CF,② 最小值 AE=BF,③AE⊥BF EFsi =BG=2S AuC 连接BF,当BF⊥CD时BF取最小 相等则垂直，垂直则相等 AC 值 正方形风车模型 含60°角的菱形 中点四边形 D G 四边形ABCD是菱形， 已知点E、F、G、H分别为各边 中点 ∠ABC=60° 己知正方形ABCD,点O是对角线 的交点，∠MON=90° 1)△OAE≌△OBF,△OBE≌△ 1)∠ABD=∠CBD=30°； 矩中菱，菱中矩，正中正 41/180 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OCF2)BE+BF=AE+FC=AB 2)△ABC,△ACD为等边三角形 3)△E0F为等腰直角三角形4) 3)AB:AD:BD=1:1:V3;4) SWMACBD=BC 1 AE2+CF2=EF2 5〉S四边形B0= S正方形ABcD 6》C边形E的最小值为2AB (当OE⊥AB时OE取最小值) 几何模型03圆热考8种模型 垂径定理模型 双切线模型 角分图模型 在⊙0中，AB为⊙0的直径，CD AD,AB是⊙0的切线，切点分别 为弦，且AB⊥CD与点E 为A,B AB是⊙0的直径，AE与⊙0交于 点C,点D在BC上 CE=DE, 1)△AOD≌△B0D(HL),△A0C≌ ①AD平分∠BAC(点D为BC的中 BC=BD,AC=AD 点)；②AE⊥DE:③DE是⊙0的 △BOC(SAS);△ACD≌△BCD 切线 2)∠A0B+∠ADB=180°： 三个条件知二推一 3)OD平分∠AOB,∠ADB: 4)0D垂直平分AB. 5)△DAB,△OAB为等腰三角形 弦切角定理 相交弦定理 切割线定理 E C 14 0 B 在⊙0中，弦AB、CD相交于点P 在⊙0中，弦CD的延长线与⊙0 直线BC与⊙0相切，线段AB是 的切线AB交于点A ⊙0的弦 弦切角的度数等于它所夹的弧所 AP·DP=BP·CP AB2=AD·AC 对的圆心角度数的一半，等于它 所夹的弧所对的圆周角度数 割线定理 阿氏圆模型 42/180 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 点A,B均在圆内，r=kOB(k>1) 点A,B均在圆外，r=k0B(k<1) AP·BP=CP·DP AD的长即为PA+kPB的最小值 ◇技法·得分加速器 方法技巧01平行线中的辅助线作法 条件：己知AB∥DE 己知 平行线+“外拐点” 平行线+“外拐点” 平行线+“线外拐点” 辅助 B -.p 线图 A。 示 B D D …E 解题大招：过拐点作平行线. 【总结】在平行线相关问题中，若平行线间出现折线，则常常过折线的拐点作已知直线的平行线，构造 “三线八角”进行求解。 方法技巧02三角形遇垂线 己知 描述 图示 结论 一边的高及该边边长 作另一边的高（如作 AD-BC=BE-AC BE⊥AC) 过一边中点的垂线 连接交点与顶点（如连 △BEC是等腰三角形 接点E与点C) 边的高 作高的平行线（如过点 EF⊥BC E作EF∥AD) 43/180 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直角三角形 作斜边上的高（如作 △ABD、△ADC均为直角 AD⊥BC) 三角形且ADBC=AB·AC 【总结】本表格梳理了三角形中四类基础条件对应的辅助线作法与直接结论，核心思路是通过构造高、垂 线、平行线，实现“等面积转化”“等腰/直角三角形判定”等解题目标。 方法技巧03三角形遇中点 类型 描述 图示 结论 等腰三 条件：在等腰△ABC中，D是底 ∠BAD=∠CAD 角形底 边BC的中点 AD⊥BC 边中点 思路：连接顶点A与底边中点D, BD=CD 利用等腰三角形“三线合一” B 直角三 条件：在Rt△ABC中，∠B=90° 角形斜 D是斜边AC的中点 边中点 思路：连接顶点B与斜边中点D, 利用直角三角形斜边中线定理 B 一边中 条件：在△ABC中，D是AB边的 DE‖BC,DE= 点及另 中点，己知BC边的相关条件 一边相 思路：作DE∥BC,交AC于E, 关条件 利用三角形中位线定理 中点及 条件：在△ABC中，D是AB边的 SAACD-SABCD- -SAABC 面积 中点 思路：连接顶点C与中点D,利 用中线等分面积 B 多个中 条件：在△ABC中，D、E分别是 点0为△ABC的重心 点（三 AB、AC边的中点 线交 思路：连接各边中点，交于点0， 点) 利用三角形重心定义 多个中 条件：在△ABC中，D、E、F分 △DEF是△ABC的中点三角形 点（中 别是三边的中点 点三角 思路：连接各边中点D、E、F, 形) 利用三角形中位线定理 【总结】本表格梳理了三角形中与“中点”相关的常见辅助线作法，核心是利用等腰三角形三线合一、直角 三角形斜边中线、中位线定理、中线分面积、重心及中点三角形等性质，通过连接中点、作平行线等方式， 44/180 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 快速得到线段相等、平行、倍分关系或面积等分等关键结论。 方法技巧04与角平分线有关的辅助线 类型 描述 图示 结论 见角平分线， 己知BD平分∠ABC,PELBC △BFP≌△BEP, 用性质定理 作法：过点P作PP⊥AB于点F PE=PF, BF=BE 角平分线+垂 已知BD平分∠ABC,PE⊥BD △BFP≌△BEP, 直→三线合 作法：延长PE,交AB于点F △BEF为等腰三角形 平行线+平行 BD平分∠ABC,PE∥BC BE=PE →等腰△ 角平分线上点 在BC上截取BF=BE,连接PPF(截 △BFP≌△BEP,EP=FP +边上一点→ 取法) 作对称 方法技巧05三角形遇特殊角 类型 条件描述+操作（作辅助线） 图示 结论 含45°角的 在△ABC中，∠B=45°， △ABD是含45°的直 三角形 作AD⊥AB交BC于D 角三角形 D 在△ABC中，∠B=45°， A △ABE是含45°的直 作AE⊥BC于E 角三角形 B45 E 含 在△ABC中，∠B=30°， △ABD是含30°的直 30°+45°角 ∠C=45°，作AD⊥BC于D 角三角形，△ACD是含 的三角形 B30°4@C 45°的直角三角形 D 45/180 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在△ABC中，∠B=30°， △ABD是含30°的直 ∠ACB=135°（即∠C的补角 角三角形，△ACD是含 为45°)，作AD⊥BC的延长 45°的直角三角形 线于D 30°X45」 d B D 含120°角 在△ABC中，∠BAC=120°， D △ACD是含60°的直 的三角形 作CD⊥AB的延长线于D A 角三角形，△BCD是直 角三角形 120° B 含 在△ABC中，∠BAC=15°， △ACD是含30°的直 15°+30°角 ∠C=30°，作AD⊥BC的延长 AN 15° 角三角形，△ABD是含 的三角形 线于D 45°的直角三角形 30 B 含 在△ABC中，∠BAC=60°， △ADC是含60°的直 60°+75°角 ∠C=75°，作CD⊥AB于D 角三角形，△BDC是含 的三角形 D60 45°的直角三角形 73c 其它 如图，作DE LAC于E △ADE是含30°的直 角三角形 D<130 ---9E 方法技巧06三角形遇二倍角 基础图形 B 其中∠B=2∠C 操作方法 图示 结论 过A作AD⊥BC于D,在DC上截取 △ABE、△ACE为等腰三角形， DE=BD,连接AE AB=AE-EC B 46/180 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 以B为圆心，AB长为半径画弧， △ABE、△ACE为等腰三角形， 交BC的延长线于E,连接AE ∠E=∠C 延长CB到D,使BD=AB,连接AD △ABD、△ACD为等腰三角形， △BAD~△ACD D 以C为顶点，CB为一边作 △DBC为等腰三角形， ∠BCD=∠ACB,交BA的延长线于D △ABC~△ACD D 作∠ABC的角平分线BD,交AC于 △DBC为等腰三角形，△ABC~△ADB 0 B 以点C为顶点，CB为一边，在 D △DBC为等腰三角形， △ABC外作∠BCD=∠B,交BA的延 长线于D AC=(AB+BC)(CD-AD) B 方法技巧07三角形遇绝配角 类型/图示 操作方法 结论 非共顶点共边的绝配角 翻折或延长 △AED、△AEC都是等腰三角 形 A 90°-号 90°-g 90°-号 BD C EBD C 条件：∠C=2∠BAD 共顶点共边的绝配角 延长 A ∠AOD=∠B0C=B 0 47/180 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B B ∠C0D=∠B0C=a a 0 C 0 C D 条件：a+2β=180° 【总结】三角形中遇到绝配角（α+2B=180°）时，核心思路是构造等腰三角形，将角度互补关系转化为等 角关系，再结合全等或相似三角形，实现线段的等量转化与求解。 方法技巧08倍长中线模型 条件 在△ABC中，AD是△ABC的中线 图示 B 辅助线作 延长AD至点E,使AD=DE,连接BE 延长AD至点E,使AD=DE,连接CE 法 E E 结论 △4DC≌△EDB,AC=BE且AC∥BE △ADB≌△EDC,AB=CE且AB∥CE 方法技巧09截长补短模型 截长法 补短法 题 在△ABC中AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求证：AB=AC+CD 目 图 示 2 B D 辅 在AB上截取AE=AC,连接 延长AC到点E,使CD=CE,连接DE 延长AC到点E,使AB=AE,连接 助 DE DE 48/180 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线 作 法 E 20 20 D E 结 △ACD≌△4AED △ABD≌△AED △ABD≌△AED 论 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 方法技巧10构造一线三等角/手拉手模型 题目 己知等腰Rt△ABC,直线1经过其直角顶点B 特征 图示 解题 1)过点A,C分别AD⊥1，CE⊥1 方法 2)根据已知条件可证明△ABD≌△BCE 3)从而得到AD=BE,BD=CE 结论 △ABD≌ABCE,AD=BE,BD=CE 类 构双等边三角形 构双等腰直角三角形 型 图 E E E 示 B B D B 条 等边△ABC 等腰直角△ABC,∠BAC=90 件 方 作等边△ADE 作等腰直角△ADE,∠DAE=90° 法 结 论 △ABD≌△ACE 49/180 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法技巧11一般四边形 类型 操作说明 图示 结论 邻边相等的四 连接对角线（如连接 D △ABD是等腰三角形 边形 BD) B 邻角相等的四 延长对边（如延长AB、 △EBC是等腰三角形 边形 CD交于点E) 一个内角为直 延长对边（如延长DC、 △ADE是直角三角形 角的四边形 AB交于点E) 一一组对边平 过顶点作平行线（如过A D 四边形AECD是平行四 行的四边形 作AE∥DC交BC于E) 边形 含四边中点的 顺次连接各边中点（连接 四边形EFGH是平行四 四边形 E,F,G,H) 边形 方法技巧12平行四边形 类型 操作说明 图示 结论 平行四边形 连接对角线（连接AC、 D C OA=OC,OB=OD BD交于点O) B 作垂线（过D作DE⊥AB △ADE和△BCF均为直角 于E,过C作CR⊥AB于 三角形，且DE=CP 50/180 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 F) 平行四边形及 作平行线（过C作 四边形DBEC为平行四边 对角线 CE∥BD交AB的延长线于 形 E) 方法技巧13与圆有关的辅助线 类型 条件与辅助线 图示 结论 圆周角 条件：A,B,C在圆上，0为 BAC= ∠BOC 圆心 辅助线：连接OB,OC 条件：AB为直径，C在圆 ∠ACB=90° 上 辅助线：连接AC,BC 条件：A,B,C,D在圆上，同 ∠BAC=∠BDC 弧BC 辅助线：连接BD,CD 条件：BC=CD ∠BAC=∠CAD 辅助线：连接AD B 圆周角及劣 条件：D是AC上一点 B ∠B+∠ADC=180° 弧上一点 辅助线：连接AD,CD 弦（不是直 条件：AB为非直径弦， △A0C、△B0C均为直角三角形 径)及垂直 OC⊥AB 0 于弦的半径 辅助线：连接OA,OB B 51/180 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 弦（不是直 条件：AB为非直径弦 △AOC、△B0C均为直角三角形： 径)及过弦 辅助线：过圆心0作 AC-B0AB:∠A0C-∠B0c 端点的半径 OC⊥AB B 方法技巧14与切线有关的辅助线 类型 条件+辅助线 图示 结论 切线及 条件：直线1与⊙0相切于点A,点P △AOP为直角三角形， 切线上 在直线1上 0A⊥1 一点 辅助线：连接OA,OP 圆与直 条件：点A在⊙0上，直线1经过点A 若0AL1,则直线1是 线求证 辅助线：连接OA ⊙0的切线 切线 条件：直线1与⊙0无已知交点 若OA=r（半径)，则直 辅助线：过圆心0作OA⊥1于A 线1是⊙0的切线 方法技巧15遇正多边形内切圆与外接圆 类型 条件+辅助线 图示 结论 正多边形 条件：正多边形有内切圆⊙0，D,E OD⊥AB,OP⊥AC;若为 的内切圆 为切点 正三角形，则 D 辅助线：连接圆心0与两切点D,E ∠D0E=120° 条件：正多边形有内切圆⊙0，D为 △BOD是直角三角形 切点 辅助线：连接圆心0与顶点B及切 点D 正多边形 条件：正多边形有外接圆⊙0 △BOC是等腰三角形： 的外接圆 辅助线：连接圆心0与两顶点B,C 若为正三角形，则 ∠B0C=120° 52/180 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 条件：正多边形有外接圆⊙0 △BOD是直角三角形： 辅助线：连接圆心0与顶点B,作边 BD-DC-BC BC的垂线OD ◇ 桃雷·易错点清零◇ 易错题型01数轴与绝对值化简易错题 避坑指南 ①化简绝对值时，未判断绝对值内式子的正负；②数轴上点的位置与符号判断错误；③含参数绝对值漏分 类讨论。 1.（2026·山东滨州·一模)己知数a,b在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是 () a 0 b ①lbl>d；②la+bl=a+b;③la-bl=b-a;④b-a>ab A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 2.（2026·重庆·一模)已知xy=-2,且y+x=6,则x的值为 易错题型02平方根/算术平方根、无理数判定出错 避坑指南 ①混淆平方根与算术平方根的非负性；②误将带根号的数直接判定为无理数：③计算平方根时漏写正负 %° 1.(24-25七年级下·全国·单元测试)如图为小亮的答卷，他的得分应是() AAAAAAAAAAAAAUAAAAAAAAAAA 姓名：小亮 得分：？ 填空（每小题2分，共10分） ①√9的平方根是±3 ②1-√2的绝对值是√2-1 ③-3)3=-3 ④V-5)2=-5 ⑤8的相反数是2 A.10分 B.8分 C.6分 D.4分 53/180 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2026·陕西榆林·一模)在0，√6， 子，，8中，无理数有 个 易错题型03同底数幂、积的乘方、负指数幂记错 避坑指南 ①公式混淆：②负指数幂运算错误；③积的乘方漏给每个因式乘方。 1.(2026·云南文山·一模)下列计算正确的是（) A.(xy)‘=x6y B.x2+2x2=3x4 C.x3.x3=xl5 D.x8÷x2=x 2.(2025·安徽卓m·一硬)计算：(a-202+ 易错题型04分式有意义、分式值为0条件混淆 避坑指南 ①分式值为0时，只考虑分子为0，忽略分母不为0：②混淆分式有意义与无意义的条件；③含多个分母 时漏写限制条件。 1.(2026·甘肃平凉·一模)关于分式-2 x2-4 ,下列说法正确的是() A化为最简分式等于 x-2 B.分式无意义的条件是x=-2 C.当x=2时，分式的值为零 D.当x=2时，分式无意义 2302·江苏盐城·一模》若分式气5有意义.则度满足的条件是 易错题型05分式基本性质变形易错 避坑指南 ①分式变形时，同乘/除的整式未强调不为0；②约分、通分漏考虑分母不为0；③符号变形错误。 1.(2025·贵州遵义·模拟预测)下列各式从左到右的变形，是分式化简的是() B.b+2b b2b C.ai_a D.atbatb a+2 a b2b 2.(2025·安徽宣城·一模)下列化简运算不正确的是() A.-11 B.-1+n。1+n m2-1m+1 54/180 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2-y2 C. 0.5a+b5a+10b D. x-y 0.2a-0.3b2a-3b x2+2x+yx+y 易错题型06分式方程漏检验易错题 避坑指南 ①解完分式方程不检验：②未理解增根的产生原因；③解的范围与检验步骤遗漏。 2=1的解为一· 1.2026·北京平谷·一模)方程x1=1 2,(2026·福建泉州·二模)已知关于x的分式方程号2有增根，则m的值 x-1 易错题型07一元二次方程概念辨析易错 避坑指南 ①忽略二次项系数不为0：②误将一次方程、分式方程判定为一元二次方程；③未整理成一般形式就判 断。 1.(21-22九年级上·山东德州·月考)已知关于x的方程(m-2)x网+5.x=0是一元二次方程，则m的值 为 易错题型08判别式取值范围忽略隐含条件 避坑指南 ①利用判别式求参数时，忽略二次项系数不为0：②未考虑方程根的实际意义；③多解情况漏写限制条 件。 1.(2026·山东德州·一模)己知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x-1=0有实数根，则m的取值范围 是 易错题型09公式法解一元二次方程时公式记错 避坑指南 ①求根公式记错（符号、系数顺序错误）：②代入时未将方程整理为一般形式；③根号下判别式计算错 误。 1.(2026·黑龙江齐齐哈尔·一模)解方程：3x(x-5)=10-2x 55/180 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错题型10不等式两边同除负数忘记变号 避坑指南 ①系数化为1时，除以负数忘记改变不等号方向；②含参数不等式，未对系数正负分类讨论：③解不等式 组时解集取错。 1.(2026·四川泸州·模拟预测)若a>b,则下列结论正确的是() A.-ax-b B.2a>a+b C.1-a>1-b D.2a+1<2b+1 2.(2026·江苏盐城·一模)已知x>y,要使不等式(k-3)x<(k-3)y成立，写出一个符合条件的k的 整数值： 易错题型11点到坐标轴距离概念混淆 避坑指南 ①点到x轴距离是纵坐标的绝对值，到y轴距离是横坐标的绝对值，易记反；②混淆点到坐标轴与到原点 的距离。 1.(2025·贵州贵阳·模拟预测)已知点A(2-9,-3)到两条坐标轴的距离相等，则点A的坐标为0 A.(3,3)和(-1,1) B.(3,-3)和(-1,1) C.(3,3)和(1，-1) D.(3,3)和(-1，-1) 2.(2025·江西南昌·模拟预测)在平面直角坐标系xQy中，点A(a,2)和B(b,-3)之间的最短距离为 () A.2 B.3 C.5 D.6 易错题型12点的象限与坐标符号判断易错 避坑指南 ①象限符号记错：②坐标轴上的点不属于任何象限，误判；③含参数点的象限漏分类讨论。 1.(2026·陕西西安·三模)在平面直角坐标系xOy中，点P(V2,-a2-1)所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(2025·四川广安·中考真题)在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(a,b),且a,b满足 56/180 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (a-2)+b+3=0,则点A在第 象限. 易错题型13坐标平移、对称变换坐标写错 避坑指南 ①平移时“上加下减、左加右减”搞反：②对称变换（关于x轴、y轴、原点对称）的坐标变化记错；③ 复合变换顺序错误。 1.(2025·辽宁铁岭·一模)如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A,B的坐标分别为(1,2)， (4,0),将△AOB沿x轴负方向平移后，得到△CDE.若BD=6,则点A的对应点C的坐标是一， D E B 2.(2026·江苏徐州·一模)在平面直角坐标系xOy中，点P(1,-4)关于y轴对称的点的坐标是() A.(-1,-4) B.(-1,4) C.(1,4) D.(1,-4) 易错题型14自变量取值范围遗漏限制条件 避坑指南 ①函数自变量范围只考虑分式、根式，漏考虑实际意义；②含多个限制条件时，取交集错误：③二次根式 被开方数漏写非负性。 1.(2026·黑龙江佳木斯·一模)函数y=√x-2+x的自变量x的取值范围是 易错题型15反比例函数与几何面积综合易错 避坑指南 ①反比例函数k的几何意义误用（未注意象限符号）：②面积与k的关系搞反；③图形分割计算漏情况。 1.(2026·江西上饶·一模)如图，一次函数y=x+4-2m(>0)的图象与x轴交于点C,交y轴于点D (点c与点D不重合)，与反比例函数y=k≠0的图象交于A(2,m）,8两点，已知C0=OD. 57/180 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P(a,O)是x轴上一点，若△PAC的面积是△COD面积的6倍，求点P的坐标. 易错题型16二次函数系数a,b,c符号判断错 避坑指南 ①a的符号由开口方向判断错误；②b的符号与对称轴位置判断错误；③c的符号由与y轴交点判断错误； ④组合式（如a+btc)符号误判。 1.(2026·安徽阜阳·一模)已知二次函数y=2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对于这个函数有下列四 个结论：①3a+b>0;②ab<0;③5a+c=0;④4a+b+1<0.则结论正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(2026·湖北襄阳·一模)二次函数y=2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则 次函数y=ax+b与反比例函数y=C在同一平面直角坐标系中的图象可能是() 1 58/180 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易错题型17二次函数最值含范围讨论遗漏 避坑指南 ①忽略自变量取值范围，直接用顶点纵坐标作为最值；②区间端点与项点的大小关系讨论不全；③开口方 向判断错误导致最值搞反。 1.(2026·山东聊城·一模)已知二次函数y=-x2+2心+1，当1≤x≤3时，函数的最大值为4，则m的 值为 2.(2026·陕西西安·二模)已知二次函数y=-x2+2x+a(a为常数)，当≤x≤3时，y有最大值 a+1,最小值a-3,则m的取值范围是() A.m≤-1 B.1≤≤2 C.-1≤m≤1 D.-1≤m≤2 易错题型18动点函数图象拐点、分段分析不全 避坑指南 ①拐点对应的动点位置判断错误：②不同阶段的函数解析式类型（一次/二次）判断错误；③漏写各段自 变量的取值范围。 1.(2026·浙江·模拟预测)为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板 布置：如图1，固定展板ABCD(顶点A、C在直线展台MN上)与移动展板EFGH(顶点E、G在直线 展台MN上)，移动展板可沿MN平移.设固定展板顶点C与移动展板顶点E的距离为x(单位：m) (0≤x≤8)，两个展板重叠部分的面积为y(单位：m2),y关于x的函数图像如图2所示.下列选项正 确的是() (图1) (图2) A.正方形的对角线长为2√5m B.当x=2时，重叠面积y=2m2 C.当x=5时，重叠面积y=6m2 D.函数图像的最高点的坐标为(4,10) 2.(2026·安微合肥·一模)如图，口ABCD中，AB=3,AD=4,P,Q两点同时从点A出发，均以1个 单位每秒的速度分别沿着A-B-C,A-D-C运动，则△APQ的面积y与运动时间x之间的函数图象是 59/180 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 034 34 易错题型19等腰三角形分类讨论漏解 避坑指南 ①未指明腰和底，漏分类讨论；②未指明顶角和底角，漏情况：③三边关系验证遗漏，导致无效解。 1.(2026·河南·一模)己知三角形两边长分别为4和8，第三边长是方程x2-10x+24=0的解，则这个 三角形的周长是() A.12 B.16 C.16或18 D.18 2(2026·江苏南京·一模)等腰△ABC的周长是10Cm,腰长AB=4cm,则底边BC=一 cm 3.(25-26八年级上·安徽阜阳·期末)锐角等腰三角形腰上的高与另一个腰的夹角为50°，则这个等腰 三角形的底角为 易错题型20全等/相似三角形判定条件误用 避坑指南 ①全等判定误用SSA、AAA:②相似判定条件混淆；③找错对应边、对应角，导致比例式列错。 1.(2026·河北张家口·一模)如图，己知AM=CN,∠AND=∠CMB,添加下列一个条件后，仍无法 判定△ADN≌△CBM的是() A.∠D=∠B B.AD∥BC C.DN=BM D.AD=BC 2.(25-26九年级上·福建漳州·期末)如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是() A.∠ABD=∠C B.∠ADB=∠ABC 60/180 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AD AB C.AB'=AD.AC D. AB BC 易错题型21特殊四边形综合判定 避坑指南 ①矩形、菱形、正方形的判定条件混淆；②判定定理使用不完整（如只证平行，未证特殊条件）：③反例 举错，误判命题真假。 1.(2026·安徽毫州·一模)如图，点D是△ABC的边AB的中点，按下列方法尺规作图：先以点D为角 的顶点，以DA所在射线为角的一边，在DA的右侧作∠ADM=∠ABC,然后在射线DM上截取 DB=BC,最后连接CD,CE,AE.根据以上条件和作法，下列判断不正确的是() A.若AC⊥BC,则四边形ADCE是菱形 B.若四边形ADCE是菱形，则△ABC是直角三角形 C.若AC=BC,则四边形ADCE是矩形 D.若△ABC是直角三角形，则四边形ADCE是正方形 2.(2026·湖北襄阳·一模)如图，两个含有30°角且完全相同的三 角 板ABC和三角板DEF,沿直线FC滑动，下列说法错误的是() A.四边形ACDF是平行四边形 B.当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形 C.四边形ACDF不可能是正方形 B D.当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形 易错题型22直角三角形边角关系陷阱题 避坑指南 ①未指明直角顶点，漏分类讨论：②勾股定理应用时，未分清斜边与直角边：③三角函数定义中对边、邻 边混淆。 1.(2026·湖北襄阳·一模)在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.下列所给数据中， 不能判定△ABC是直角三角形的是() A.a=2,b=2,c=1B.a2+b2=c2 C.∠A-∠B=∠C D.a:b:c=3:4:5 2.（2025·云南昆明·模拟预测)如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点 上，则下列结论不正确的是() A.△ABC是直角三角形 B.sinB 5 2W5 C.cos C= D.tan C=2 5 61/180 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易错题型23相似三角形与动点问题 避坑指南 ①动点运动过程中相似对应关系不唯一，漏解；②未结合动点的位置限制讨论；③相似比与线段长度计算 错误。 1.(2026·辽宁铁岭·二模)如图，∠MON=90°，△ABC的顶点A,B分别在射线OM和射线ON上，点 C与点O在AB的同侧，D为AB边的中点，AC=BC=5,AB=8.若△ACD与△AOB相似时，则OA的长 M D B 2.(23-24八年级上·四川南充·月考)如图，在△ABC中，AB=AC=24cm,∠B=∠C,BC=16cm, 点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以8cI/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由 C点向A点运动.若在某一时刻能使△BPD与△CQP全等.则点P的运动速度为() A.4cm/s B.8cm/s C.4cm/s或8cm/sD.8cm/s或12cm/s 易错题型24计算菱形的面积 0避坑指南 ①混淆菱形面积公式（底×高Vs对角线乘积的一半）：②对角线计算错误；③与菱形周长、边长混淆。 1.(2026·四川绵阳·二模)如图，菱形ABCD中，AB=3,AC=2,则菱形ABCD的面积是() D A.4V2 8.3V C.2W2 D.3 2 62/180 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26八年级下·重庆·月考)如图，四边形ABCD是菱形，AC=4,DB=3,DH⊥AB于H,则DH 等于() 24 A. 8.12 5 5 c.2 6 D. 易错题型25平行线分线段成比例误用 ①避坑指南 ①未在平行条件下乱用比例式：②线段对应关系找错，导致比例式列反；③混淆平行线分线段成比例定理 与相似。 1.(2026·上海黄浦·一模)如图，D、E是△ABC边AB、AC上的两点，在下列条件中，能够判定 DE∥BC的是() B A.DB=1,CE=2,AD=3,AE=4 B.DB=1,CE=2,AB=3,AC=4 C.DB=1,CE=2,AD=3,AC=4 D.DB=1,CE=2,AB=3,AE=4 2.(25-26九年级上·安徽合肥·期中)如图，B,FC三点共线，AC与BD交于点E,EF∥AB∥DC, 若AE:EC=5:7, S贮的值为(） S。pac D B 5 A.7 B.1 c 25 D. 福 63/180 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错题型26相似三角形周长与面积比混淆 避坑指南 ①面积比等于相似比的平方，易直接用相似比；②周长比、对应线段比与相似比的关系记混；③多步相似 时比例传递错误。 1.(2026·河北石家庄·一模)如图△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O,OA:AD=1:2,下列结 论不正确的有() A。△MBC与aD5P的相似比为 △OBC的周长1 B. △OEF的周长3 C. S2= D. AC1 DF 2 2.(2026·内蒙古包头·一模)如图，在点光源O的照射下，一块面积为5cm的三角形硬纸板（记为 △ABC)平行于投影面时，形成的投影是△DEF.若AD:AO=1:2,则△DEF的面积是() 0 B D 15 A. 2c3 4 B. -cm 2 C.10cm2 D.15cm2 4 易错题型27特殊角三角函数值记忆错误 避坑指南 ①30°、45°、60° 的正弦、余弦、正切值记混：②互余角的三角函数关系误用；③三角函数的增减性记 错。 1.(2026·天津·一模)2sim45°+√5tam30°-√2的值等于() A.1 B.√2 C.5 D.2 2.(2026·河南许昌·一模)若规定sin(a+β)=sina cosB+-cosasinB,则sin75°=sin(45°+30）=() A. √6+√2 B.6-V5 c.5+1 D.2-1 4 4 2 2 64/180 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错题型28无图几何题，多解分类讨论不全 避坑指南 ①未根据题意画出所有可能的图形；②漏考虑点的位置、图形的不同构造方式：③多解情况的结果验证遗 漏 1.(2026·辽宁沈阳·一模)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,∠C=30°，点D是边BC的中点， 点E是边AC上一点，作点C关于直线DE的对称点R,点F与点E在直线BC的同侧.当DF⊥AC时，在 平面内找点G,使以A,D,F,G为顶点的四边形为平行四边形，则AG的长为 2.(2026·江西吉安·一模)己知点A,B,C分别在从上往下相互平行的直线马，12,1上，4与2之间的 距离是1,12与1，之间的距离是2.若△ABC是等腰直角三角形，则它的面积是 3.(2026·黑龙江·一模)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6,D为BC的中点，2为 AB的边上一动点，把△BDQ翻折得到△PD2,若PO与△ABC的直角边平行，则BC的长为一一： B 易错题型29弧、弦、圆心角、圆周角关系混淆 避坑指南 ①未强调“同圆或等圆”的前提，乱用关系；②弧、弦、圆心角的对应关系搞错：③圆周角与圆心角的倍 数关系漏写。 1.(2026·四川成都·一模)如图，AB是⊙0的直径，点C,D在⊙0上，BD=CD,已知∠D=40°，则 ∠ABD=() A.20° B.40° C.50° D.70° 65/180 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2025·四川广元·一模)如图，在⊙O中，BD=CA下列结论不正确的是() B A.AB=CD B.∠BOC=∠BOD C.AB=CD D.S.uo8=S.coD 易错题型30圆周角定理分类讨论漏解 避坑指南 ①一条弦所对的圆周角有两种情况（同侧/异侧），漏解：②直径所对的圆周角是直角，忽略逆用③圆周 角定理推论应用错误。 1.(2026·河南周口·一模)定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”.如图，等边 △ABC的边长为a,点D在以C为圆心，a为半径的优弧上，若△ABD为“反直角三角形”，则AD= 2.(2026·黑龙江哈尔滨·一模)△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC,若∠BOC=100°，则 ∠BAC的度数为_一· 3.(23-24九年级上·黑龙江佳木斯·月考)直线AB与⊙O相切于点B,C是⊙O与线段OA的交点，D是 ⊙O上的动点（点D与B,C不重合），若∠BAO=30°，则BDC的度数为 易错题型31弧长、扇形面积公式混淆错用 避坑指南 ①弧长公式与扇形面积公式记混：②圆心角的单位未用弧度导致计算错误：③圆锥侧面积与扇形面积关系 混淆。 1.(2026·吉林·一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=63°，AB=5.将△ABC绕点A逆 时针旋转(0°<<I80)得到△AB'C',使点B恰好落在线段BC的延长线上，在旋转过程中，点B所经 过路径的长度为 (结果保留兀)， 66/180 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(2026·河南·一模)如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8,∠BAC=90°，以AB为直径的 ⊙O切AC于点A,交BC于点D则图中阴影部分的面积为 B 3.(2026·黑龙江哈尔滨·一模)已知扇形的面积为25元cm',半径是5am,则此扇形的圆心角度数为 6 易错题型32阴影部分不规则面积求解易错 避坑指南 ①割补法应用错误：②未正确转化为规则图形的和差：③计算过程中重复或遗漏部分面积。 1.(2026·河南南阳·模拟预测)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A,B, C都在格点上，以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交BC于点P,则阴影部分的面积为 2.(2026·广西柳州·一模)如图，在扇形AOB中，OA=2,∠AOB=90°，点C为AB的三等分点，连接 OC,过点B作BD⊥OC交OA于点D.连接CD.则阴影部分的面积为 A D 3.(2026·河南驻马店·一模)如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个 底面半径r为6cm,高h为8c的圆锥体，那么这个扇形的面积是 .cm2. 67/180 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 h 易错题型33.总体、个体、祥本、祥本容量概念混淆 避坑指南 ①混淆调查对象的总体与个体；②样本容量带单位：③抽样调查与普查的适用场景判断错误。 1.(2026·湖南株洲·一模)某市为了解40000名初中毕业生的身高情况，随机抽查了其中2000名学生 的身高进行统计分析，下列说法正确的是() A.40000名初中毕业生是总体 B.每名初中毕业生是个体 C.2000名学生是样本容量 D.本次调查属于抽样调查 2.(2026·重庆·一模)磁器口古镇为了解游客对特色小吃的喜爱程度，对前来游玩的2000名游客随机抽 取400名游客进行调查，下列说法正确的是() A.该调查方式是全面调查 B.样本容量是400 C.400名游客是总体的一个样本 D.2000名游客是总体 易错题型34加权平均数权重遗漏计算错误 避坑指南 ①未考虑各数据的权重：②权重计算错误；③算术平均数与加权平均数混淆。 1.(2026·河北石家庄·一模)“这么近，那么美，周末到河北”.某校组织了“古韵今传·最美河北” 演讲比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分I0分.已知嘉嘉的“演讲内容”、“语言表 达”、“演讲技巧”三项得分分别是9分，10分，8分，则嘉嘉的最终得分为() 语言 表达 演讲 30% 内容 演讲 50% 技巧 20% A.8.8分 B.8.9分 C.9.1分 D.9.3分 68/180 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错题型35条形、折线、扇形统计图信息提取错误 避坑指南 ①扇形统计图圆心角与百分比的关系计算错误；②条形图的刻度看错；③折线图的变化趋势判断错误。 1.(2026·浙江·一模)图1是某品牌手机2025年9到12月四个月的总销量统计图，图2是该品牌的A 型号手机销量的分析统计图，下列对该品牌手机2025年9到12月销售情况分析错误的是（). 某品牌2025年第四季度销量统计图 某品牌A型号手机销量占比统计表 小销量（万台） ◆百分比 300 30% 25% 200 200 20%----- 15 100 80 120100 10%---- 0% 2 10% 9月10月11月12月月份 9月10月11月12月 月份 图1 图2 A.该品牌手机9到12月共销售手机500万台 B.10月A型号手机销售了20万台 C.四个月A型号手机的销量逐月增高 D.四个月中12月份A型号手机的销量最高 2.(2026·云南昆明·一模)某学校图书室将要采购一批图书，现以“我最喜欢的书籍”为主题，对全校 学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型(A:科普，B:文学，C:艺术，D:生物科学，B:其他) 数据后，绘制出两幅不完整的统计图，如图所示，注：该校每位学生被抽到的可能性相等，每位被抽样调 查的学生选择且只选择一种喜欢的书籍 人数/人 3026 B A 26% i0- A B C D E书籍类型 则下列说法错误的是() A.此次调查共抽查了100名学生 B.类型B所占百分比为15% C.类型C的人数为24人 D.类型D所对应的扇形的圆心角为56.7 3.(2026·广东深圳·二模)甲、乙两名同学一周内五次引体向上的测试成绩（单位：个）如图所示，则 下列结论中错误的是() 成绩/个数 11 A.乙的成绩的方差比甲的小 。—甲 10 9 -●-…乙 B.乙的最好成绩比甲的最好成绩好 C.乙的后三次测试成绩都比甲高 D.该周测试中乙的总成绩与甲的总成绩一样高 5次序 69/180 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错题型36放回与不放回模型混淆易错 0避坑指南 ①概率计算时，放回与不放回的总情况数搞错：②树状图/列表法列举不全；③混淆独立事件与互斥事 件。 1.(2026·辽宁铁岭·二模)不透明的袋子中装有红、白小球各2个，小球除颜色外无其他差别.从中随 机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸到球的颜色不同的概率是() 4日 B.} 2.(2026·山西吕梁·一模)从“中国戏曲之乡”到“民间工艺宝库”，山西非遗以最厚重的底蕴，呈现 着最生动的传承.小慧将下面四张非遗图片背面朝上放在桌面上（图片背面完全相同），从中随机抽取一 张（不放回），再从中随机抽取一张，则抽到的两张图片恰好是“绛州鼓乐”和“孝义皮影”的概率是 () 绛州鼓乐 天塔狮舞 孝义皮影 平遥推光漆器 A号 B. 1 C. 6 D. 8 70/180 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◇ 热点·命题风向标 解密题型01实数的性质 命题解码 实数的性质是中考基础必考内容，常以选择、填空形式考查相反数、倒数、绝 对值、数轴与无理数辨识，核心围绕概念辨析、符号判断、运算性质展开，侧重基础应用，难度低但易 因概念混淆失分，是必须稳拿的送分考点。 2解题大招 1)相反数：实数a的相反数是-a,这里a表示任意一个实数， 2)绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；0的绝对值是0：一个负实数的绝对值是它的相反数，即设 a(a>0) 表示一个实数，则lal=0(a=0) -a(0) 3)倒数：实数a的倒数是】 (a≠0)，若a与b互为倒数，则ab=l:若ab=1,则a与b互为倒数. 4)要判断一个数是有理数还是无理数，首先看该数是有限小数还是无限小数，再看是循环小数还是不 循环小数.分数和整数是有理数，无限不循环小数是无理数.区分有理数和无理数既是一个重要的知识 点，也是易错的问题！ 念押题预测 1.(2026·山东淄博·一模)下列运算结果为正有理数的是() A.-2026 B.√2026 C.20261 D.--2026 2.(2026·江苏徐州·一模)下列说法正确的个数是() ①-2026的相反数是2026：②-2026的绝对值是2026：③，L的倒数是2026. 2026 A.3 B.2 C.1 D.0 71/180 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解密题型02比较有理数大小 ⊙命题解码中考常以选择、填空考查有理数大小比较，核心方法有数轴法、作差法、绝对 值法，正数大于0、0大于负数，两负数比较时绝对值大的反而小，题型基础、思路直接，是必拿分考 点。 ≥解题大招 比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、 估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a,b,若>b2片a>b;对任意负实数a,b,若 a2>b2÷a<b, 念押题预测 1.(2026·四川南充·一模)在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示，其中凝固点最低的物质是 物质 铝 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：℃） 660 -117 -218 0 2.(2026·安徽阜阳·一模)比较大小：√5-1√5-√2. 3.(2025·江苏宿迁·二模)通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构 造某些图形可以发现和解决一些数学问题. 【阅读材料】例如，比较√5+5与√3的大小. 解：在正方形网格中，如图1，构造△ABC（点A,B,C都为小正方形的顶点). :△ABC(构造图形)， ∴AB+BC>AC(三角形任意两边之和大于第三边). AB=+=V2,BC=V+22=√5，AC=√22+3=√13（勾股定理），.√2+√5>√13 【问题解决】(1)在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是 (填写 正确选项的字母代号)： A.类比思想B.整体思想C.分类讨论思想D.数形结合思想 (2)参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较√2+√0与√41-√5的大小，并说明理由： 72/180 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【拓展探究】(3)问题：当x为 时，V10+V9+x2+√4+(3-x)2的值最小，且最小值为 (要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形) B 图1 图2 图3 解密题型03科学记数法 命题解码科学记数法是中考高领基础考点，主要考查大数与小数的表示形式，关键在于 确定a×10n中a的范围与指数n的取值，题型简单、计算直接，属于易得分基础题型。 解题大招 用科学记数法表示数时，确定a,n的值是关健，具体方法为： 1)a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a<10: 2)确定n的两种方法：①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1： ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面 所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 3)用科学记数法表示带单位的大数的技巧：1万=104,1亿=108 念押题预测 1.(2026·浙江杭州·一模)2026年4月，国际能源署(EA)发布报告指出，全球数据中心的年度 总耗电量已突破950000000000千瓦时，将数950000000000用科学记数法表示为() A.95×10 B.9.5×1010 C.9.5×10 D.0.95×101 2.(2026·河南周口·一模)据悉，某国产高端A1单台服务器搭载的自研芯片，每秒可以完成8600亿次 浮点运算，能支撑超大规模工业仿真计算.数据8600亿用科学记数法表示为() A.8.6×101 B.8.6×1022 C.0.86×102 D.8.6×100 3.(2026·山东济宁·一模)据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验 73/180 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 室、芯片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”，“破晓”存储器擦写速 度提升至400皮秒实现一次擦或写.一皮秒仅相当于一万亿分之一秒.400皮秒用科学记数法表示为 一秒 解密题型04实数的混合运算 命题解码 实数混合运算为中考必考计算题，核心考查零指数、负指数、绝对值、根式与 三角函数的综合计算，按运算顺序逐步化简即可，注重步骤规范与符号判断。 解题大招 1)负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数： 2)一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数： 3)n= 1 (a≠0，n为正整数)，a°=1(a≠0，n为正整数) 在计算中常用的锐角三角函数值： 三角函数 30° 45° 60 1 sina 2 2 2 cos a 3 2 2 2 2 tan a 3 1 3 3 押题预测 1.(2026·黑龙江佳木斯·一模)计算：(-1)6+V16-2-√3+2sm60°. 2.(226·广东深圳·一模)计算：-1+2斗+2xo60+(红-39-（得) 74/180 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解密题型05整式的化简求值 命题解码 整式化简求值是中考常考解答题，先利用公式与运算法则化简，再代入数值计 算，步骤规范、思路固定，是典型的基础得分题型。 解题大招 整式化简求值一般分两步，先化简，然后代入求值，其中化简是解决问题的关 键.整式的化简应遵循先乘方，再乘除，最后加减的顺序，能运用乘法公式的运用公式.未直接给出字母 的取值时，考虑整体代入 念押题预测 1.(2026·广东阳江·一模)已知x2+2x=4,则代数式5-x2-2x的值为一一· 1+2xy 2.(2026·江苏徐州·一模)已知x2+y2=1且x+y≠0，则 + 3.(2026·陕西西安·模拟预测)已知x-y-2=0,求代数式x+y-4 (x+y)的值. x+v 解密题型06因式分解 命题解码 因式分解是中考基础必考内容，常结合分式运算考查，核心掌握提公因式法与公式法，遵循“一提二套 三检查”步骤，是代数运算的重要基础。 念押题预测 1.(2026·重庆·一模)下列因式分解正确的是() A.2x2-4x=2x(x-4) B.x3y-9xy=xy(x2-9） C.x2-16=(x-4)(x+4) D.x2+x-6=x(x+1)-6 2.(2026·陕西西安·三模)因式分解：ab2-4a=- 75/180 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解密题型07解方程（组）/不等式（组） 命题解码 解方程（组）与不等式（组）是中考必考基础题，侧重步骤规范与解集表示，方程组用代入或加减消 元，不等式注意变号问题，属于必拿满分题型。 解题大招 解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是 否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的 念押题预测 3(x-1)>2x+1① 1.(2026·江苏扬州·一模)解不等式组： {2x+3≥x-1② ,并求出它的所有整数解的和. 3 2.(2026·江苏南京·模拟预测)解方程（组） (1)解方程： 3 -=-2;(2)解方程组 4x+y=15 x-12-2 x-2y=6 3.（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模)解方程：3x(x-5)=10-2x 解密题型8解方程（组）/不等式（组）的含参问题 &命题解码解方程（组）不等式（组）合参问题是中考中档热点，先按常规方法求解再结 合解集、整数解、交点等条件列不等式，关键注意分类讨论与不等号方向，侧重逻辑严谨性。 念押数预测 1.(2025·四川绵阳·三模)若关于x的方程(a-1)x2+3x-2=0有实数根，则a的取值范围是 [2x-y=3m-1 2.(2025·四川南充·三模)若关于x,y的方程组 的解满足x+y=0,则m的值为 x-2y=+5 3.(2025·四川眉山·一模)已知x,x2是方程x2-3x+2=0的两个根，则x(x-2x2)+x号的值为一一。 76/180 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.（2026·山东日照·一模)如果关于x的分式方程m+x =2无解，那么实数m的值是 1-xx-1 5.(2026·四川绵阳·二模)己知关于x的分式方程”+2=一，3的解为正数，则m的取值范围是 x-1 1-x x+a<1 6.(2026·黑龙江·一模)若关于x的不等式组 1-2x≤5有4个整数解，则a的取值范围为 解密题型09解方程（组）/不等式（组）与实际问题 命题解码 解方程（组）/不等式（组）与实际问题是中考必考应用题，关键是找准等量或 不等关系列方程（组）、不等式（组）求解，注意检验结果是否符合实际意义，侧重建模与应用能力。 ◆押题预测 1.(2026·江苏连云港·一模)某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接 温水再接开水，打算接500L的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开 水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度). 生活经验：饮水适宜温度是37℃-44℃（包括37℃与44℃）. 温水 开水 水流速度 ◎ ◎ 水流速度 20ml/s 1068 15ml/s 出水口 (1)若小明先接温水10s,则还需再接开水的时间为_一_s: (2)设小明接温水的时间为xs, ①若最终杯子中水的温度是58℃，求x的值： ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求x的取值范围. 2.(2026·海南省直辖县级单位·一模)某商店销售A、B两种水果.A水果标价14元/千克，B水果标 价18元/千克. (1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A、B两种水果共3千克，合计付款46元.这两种水果各买了多少 千克？ (2)妈妈让小明再到这家商店买A、B两种水果，要求B水果比A水果多买1千克.小明到这家商店后，发 现A、B两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折：一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千 77/180 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 克后，超过1千克的部分打七五折.（注：“打七五折”指按标价的7%出售.）若小明合计付款48元，求 小明买A水果多少千克？ 3.(2026·湖南娄底·一模)2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人 产业发展的关注.某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元. (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率： (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目 标？ 3.(2026·重庆·模拟预测)2026年3月28日和3月29日，中国摩托车品牌“张雪机车”在2026年世 界超级摩托车锦标赛(WSBK)中实现两回合夺冠，这是中国摩托车品牌首次在WSBK顶级赛事中夺 冠.张雪机车的崛起对整个摩托车行业产生了积极的影响.某经销商计划购进甲、乙两种型号的摩托车进 行销售。 (1)若购进甲型摩托车3台，乙型摩托车2台，共耗资21万元：若购进甲型摩托车2台，乙型摩托车5 台，共耗资25万元.求甲、乙两种型号摩托车的进价各是多少万元？ (2)在(1)的条件下，若公司对甲、乙两种型号的摩托车各投入40万元分别进行采购，因技术升级，甲 型摩托车的进价每台降低10a万元，乙型摩托车的进价每台降低8a万元.则所购甲型摩托车的数量是所 2 购乙型摩托车的数量的亏，求a的值。 4.(2026·广东深圳·二模)综合与实践 2026年央视春晚节目《武B0T》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界.某市科技馆为普及 科技文化，计划采购宇树科技G02四足机器人与G1人形机器人用于科普展示.根据以下素材，完成任 务： 宇树科技机器人采购方案设计 购买6台G02四足机器人和5台G1人形机器人共需57万元： 素材1 5台G1人形机器人的售价比11台G02四足机器人贵23万元. 每台G02四足机器人每日可服务观众150人次： 素材2 每台G1人形机器人每日可服务观众280人次. 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元. 问题解决 78/180 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求每台Go2四足机器人、每台G1人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购G02四足机器人和G1人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 解密题型10一次函数的性质 命题解码 一次函数的性质是中考高频考点，重点考查k、b对图像位置与增减性的影响， 结合图像判断取值范围，侧重数形结合与性质应用。 解题大招 正比例函数y=(k≠O)和一次函数y=x+b(k≠O)的性质主要是指函数的 增减性，即y随x的变化情况，它只与k的符号有关，与b的符号无关.当k>0时，y随x的增大而增 大；当k<O时，y随x的增大而减小 押题预测 1.(2026·湖南长沙·模拟预测)已知点(5，L,4)(2y)都在直线=-号+b上，则%，的大 小关系是() A.y2<y3<y B.y2<<y3 C.y1<y3<y2 D.y3<y<y 2.(2026·四川德阳·模拟预测)一次函数y=-2x+b,已知当-1≤x≤2时，函数的最大值为0，则b等 于() A.-2 B.0 C.2 D.4 3.(2026·贵州遵义·一模)已知一次函数y=x+3(k为常数，且k≠0)，如果函数值y随着自变量x 的增大而减小，那么在平面直角坐标系中，这个函数的图象经过() A.第一、三、四象限 B.第二、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第一、二、三象限 4.(2025·江苏南通·模拟预测)在平面直角坐标系中，一次函数y=(x+1)+1和y2=a(x-1)+2,无 论x取何值始终有y>y2,则m的取值范围是 79/180 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解密题型11反比例函数的性质 Q命题解码反比例西数的性质是中考常考内容，重点考查k的几何意义、图像所在象限与 增减性，注意在每个象限内讨论单调性，常结合面积、交点综合命题。 押题预测 1.(2026·黑龙江佳木斯，一模)若点4(-2，)、B1,）、C(2,y)都在反比例函数y=上(k为常数， k≠0)的图象上，且y>y>y2,则k的取值范围是一一 2.(2026·安徽芜湖·一模)数轴上点M表示数为u,若反比例函数y=m-1 的图象在第二、四象限， 则关于点M位置描述一定正确的是() A.一定在原点左侧 B.一定在原点右侧 C.一定在1的左侧 D.一定在1的右侧 3.(2026·河南驻马店·一模)关于反比例函数y=-2026,下列说法正确的是() A.图象在第一、三象限 B.图象与x轴有一个交点 C.当x>0时，y随x的增大而减小 D.如果点A(-1,y)和点B(-3,y2)均在该函数的图象上，那么>y2 解密题型12二次函数的性质 ⑨命题解码二次函数的性质是中考核心考点，重点考查开口方向、对称销、顶点坐标、增 减性及最值，常结合图像与代数综合考查，侧重数形结合与综合分析能力。 心押题预测 1.(2026·安徽合肥·一模)已知抛物线y=ax2-5ax+a2+1(a≠0)图象上有两点A(,乃)、B(:2,乃2)， 当x1<x2<2时，有<y2;当-1≤x≤3时，y最小值是8.则a的值为() A.-7 B.-1 C.1或-7 D.-1或-7 2.(2026·陕西汉中·一模)已知一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数y的几组对应值如 下表： 80/180 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 … -2 -1 0 1 -2 -3 -6 -11 … 下列关于该二次函数的结论正确的是() A.图象的开口向上 B.对称轴为直线x=2 C.y有最大值-2 D.图象与x轴有两个交点 3.(2026·江苏盐城·模拟预测)二次函数y=x2+3x+m的图象与一次函数y=x-6的图象至少有一个交 点，则实数的取值范围是 解密题型13反比例系数k的几何意义 命题解码反比例系数k的几何意义是中考高频考点，核心为双曲线上任意一点向坐标轴 作垂线，围成矩形面积为|k|、三角形面积为2/|k|,常与面积、坐标结合考查。 押题预测 1.(2026·陕西西安·模拟预测)如图，点A在反比例函数y=生的图象上，点B在反比例函数y=-2的 图象上，连接OA,OB,AB.若AO⊥BO,则tan∠BAO的值为 2.(2026·安徽合肥·一模)如图，O为坐标原点，点A,B在坐标轴上，四边形OACB是矩形，且点C在 函数y=4(任>0)的图象上，边AC,BC与函数y=1的图象分别交于点M,N. (1)△AOM与△CON的面积之和为； (2)若△MON为直角三角形，则该三角形的直角顶点的横坐标为一一一· V= 0 A 81/180 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2026·陕西西安·二模)如图，平面直角坐标系的原点0O是菱形ABCD的中心，经过B、D两点的反 比例函数解析式y=-9 .若AC=8,BD=6,则经过A、C两点的反比例函数解析式是 B 解密题型14二次函数图像与各项系数的关系 命题解码 二次函数图像与各项系数的关系是中考必考重难点，由a、b、c及判别式判断 开口、对称轴、与坐标轴交点等，侧重数形结合与符号推理。 解题大招 1)根据抛物线的开口方向判断ā的正负性； 2)根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0)· 3)根据抛物线与y轴的咬点位置，判断c的正负性.~ 4)根据抛物线与x轴有无交点，判断b2-4ac的正负性. 5)根据抛物线的顶点，判断“。“的大小，“ 6)根据抛物线的对称轴可得-与±1的大小关系，可得2a±b的正负性. 7)特殊点代入确定a,b,c的关系. 念押题预测 1.(2026·江苏宿迁·一模)如图，抛物线y=2+bx+c的对称轴是直线x=1,其中抛物线图像与x轴 负半轴交点横坐标-1<x<0,则以下五个结论中，正确的有() ①abc>0;②2a+b=0;③b2>4ac;④4a+2b+c>0;⑤3a+c>0. 82/180 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(2026·陕西宝鸡·一模)己知二次函数y=m2+bx+c(α≠0)的图象如图所示，对称轴为直线 X=-2,有下列五个结论：①e<0:②4a=b:国若点(8)，(1g)[3 是抛物线上的三点，则 y,<y2=y;④x,x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标，若1<x,<2,则-6<x2<-5;⑤ 16a-4b+c<0.其中正确的个数为() 123 A.2 B.3 C.4 D.5 解密题型15一次函数与实际问题 命题解码 一次函数与实际问题是中考数学的高颜中档应用题，以成本、行程、方案选 择、分段收费等生活情境为载体，考查从实际问题中抽象出一次函数模型的能力，核心是利用函数的增 减性、定义域及与不等式的结合，解决最值、最优方案与实际取值范围问题，侧重建模思想与实际应用 检验。 念押题预测 1.(2026·黑龙江佳木斯·一模)为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已 知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元. (1)求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型 设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？ 83/180 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2026·黑龙江绥化·二模)端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗.端午节前夕，某超市 打算购进甲、乙两种畅销的粽子，已知购进2箱甲种粽子和1箱乙种粽子需用128元：购进1箱甲种粽子 和4箱乙种粽子需用176元. y/仟米 D 300-- 150 A B E 22.5 小时 (1)求甲种粽子每箱的进价和乙种粽子每箱的进价各是多少元： (2)超市计划用不超过7680元的资金购进甲、乙两种粽子共200箱，其中甲种粽子的数量不低于乙种粽子 数量的：则超市共有几种购进方案？当购进两种粽子各多少箱时，所需资金最少？最少资金是多少元？☐ (3)该超市租用大、小两辆货车运输粽子，两车同时出发，途经休息区时大货车休息1小时后加速行驶， 而小货车没有休息继续原速行驶，结果大货车比小货车早到达超市0.5小时，大、小两车离出发地的路程 y(单位：千米)与小货车出发的时间x(单位：小时)的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问 题： ①大货车休息前的速度为 千米/时；小货车的速度为」 千米/时： ②请直接写出小货车出发多少小时两车相距30千米. 解密题型16二次函数与实际问题 命题解码二次函数与实际问题是中考必考解答感。常以利最值、抛物线拱桥、抛射物 体、几何面积等为背景，考查建立二次函数模型的能力，核心是利用开口方向、顶点坐标求最值，并结 合自变量实际范围确定合理结果，侧重数学建模与数形结合应用。 押题预测 1.（2026·山西吕梁·一模)综合与实践 如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑AB与抛物线形建筑组成，且AB=60,如 图2，以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，已知 OC=100m. 84/180 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 YA O B O B 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的解析式。 (2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道MN,且点M,点N到AB的距离均为80，求过道MN的 长 (3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点C构成以C为直角顶点的等腰直 角三角形，求出这两盏路灯的坐标， 2.(2026·陕西西安·模拟预测)某林区消防大队利用无人机进行消防演练，无人机升空后在点C所在高 度水平匀速飞行，到达指定位置A时，空投一枚模拟灭火干粉罐.干粉罐灭火弹离开无人机后，在空中做 平抛运动，轨迹为一段抛物线，如图所示，空投点A即为抛物线的最高点，若无人机程序设计空投点坐标 A(20,48),投放目标点坐标B(42,0). (1)求抛物线的函数关系式： (2)如果在距离空投点A水平距离20米处有一棵高10米的树木.请通过计算判断干粉罐是否会撞到树 木：如果干粉罐会碰到树木，保持无人机原有速度不变（即平抛运动轨迹抛物线形状不变）且水平位置不 变，仅调整无人机空投点高度，求调整后空投点的高度至少为多少米时，干粉罐才能避开树木（结果保留 整数) 3.(2026·安微阜阳·模拟预测)综合与实践 【项目背景】点茶是中国古代的一种沏茶方法，始于唐，盛于宋，是宋代斗茶与文人雅士日常品饮的核心 沏茶技艺，其中“分茶”更是将沏茶升华为兼具实用性与观赏性的艺术.茶艺师复刻“分茶”技艺时，倒 茶的水流轨迹、茶壶壶嘴造型、茶碗的移动与承接，看似是行云流水的技艺展现，实则暗藏着丰富的数学 规律 【项目准备】模型抽象：在一次茶会上，我们将茶艺师表演“分茶”技艺时倒茶的情景抽象为如图所示的 85/180 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数学模型.己知茶壶壶嘴由线段AB与曲线BC组成，壶口为点C,曲线BC与茶水轨迹CF在同一条抛物线 上；点BC所在直线与x轴（桌面）平行，茶碗边沿点E与壶口C的连线垂直于x轴。 G H 核心条件： ①AB=10cm,BC=8cm; ②壶柄与竖直方向夹角为a,tana= 4,线段B与壶柄平行： 3 ③茶碗的底面直径为4cm,碗口直径为8cm,高度为4cm,茶碗的侧内壁剖面图可以抽象为二次函数的部 分图象，茶碗底部中心初始坐标为(18,0)，茶碗碗口中心F与底部中心的连线垂直于桌面： ④当点A相对桌面的高度OA=20c时，点A的横坐标为O,抛物线水流恰好经过F点，且抛物线的顶点 在BC线段的垂直平分线上. 【项目任务】 (1)任务一：求曲线BC所在抛物线的解析式： (②)任务二：点茶时，前期调膏要低注慢淋，避免冲散茶末，因此要求茶艺师在前期注水时水流距离茶碗 壁的竖直高度不得超过25c.判断此次倒茶过程中，水流距离茶碗壁的竖直高度是否符合要求； (3)任务三：若为了节目效果，茶碗盛水后会匀速上浮，上浮速度为lc/s,同时沿x轴正方向以2cm/s的 速度平移.茶艺师手持茶壶竖直向上平移（横坐标不变），平移高度为hc,平移后茶水轨迹为原抛物线 竖直平移后的图形，设茶碗移动时间为ts(0≤t≤8)，当茶水轨迹经过茶碗上沿点E处时，分茶效果最佳， 因此要求茶水落点始终在茶碗边沿E,求h与t的函数关系式，并求出当t=4.5时，点A距离桌面的高 度 解密题型17函数与图形交换问题 命题解码函数与图形变换间题是中考俗考中档给合感，以平移、对称、旋转、位似为青 景，考查函数图像变换后解析式的变化规律，核心是抓住关键点坐标变换，再用待定系数法求新函数解 析式，侧重数形结合与空间想象能力。 念押题预测 1.(2026·四川绵阳·一模)如图，已知锐角△ABC的边BC的长为6，面积为12，PQ‖BC,点P在AB 86/180 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上，点Q在AC上，四边形RPOS为正方形(RS与A在PQ的异侧)，其边长为x,正方形RP2S与△ABC 的公共面积为y. B 备用图 (1)当正方形RPQS的边RS恰好落在BC上时，求边长x. (2)当RS不落在BC上时，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围.（可以将图形画在备用的图 形中) (3)求y的最大值. 2.(2026·山东济南·一模)将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系xQy中，含30°角的三角板 OAB的直角边OA落在y轴上，∠BOA=30°，含45°角的三角板QAC的直角顶点C的坐标为(2,2)，反比 例函数y=(k≠0)的图象经过点C. D B A2 B B 图1 图2 (1)求反比例函数的表达式： (2)将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°至△OAB, ①如图1，点D为三角板AB边上一点，旋转后点D的对应点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点 D的坐标： ②如图2，若将三角板AOC绕点O顺时针旋转至△A,OC,使点C,落在边OB,上，请判断点A旋转后的对 应点A,是否在反比例函数图象上，并说明理由. 3.(2026·广东惠州·一模)如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,直 线y=x-3经过A,C两点，其中A(3,0),C(0,-3) 87/180 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 ☒2 图3 (1)求抛物线的表达式： (2)如图2，若点P为第四象限抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，PF∥x轴分别交直线AC于点E, F,求EF的最大值； (3)如图3，将二次函数y=x2+bx+c的图象沿x轴向上翻折形成W图象，将直线AC向上平移m个单位长 度得到直线1，若1与W图象有两个交点，直接写出的取值范围， 解密题型18函数与图形面积问题 命题解码 函数与图形面积问题是中考高颜中档压轴题，以一次、反比例、二次函数图像 为载体，考查图像与坐标轴、直线围成图形的面积计算，核心是利用坐标法、割补法、铅垂高公式及反 比例函数k的几何意义求解，常结合交点坐标、最值问题综合考查，侧重数形结合与转化思想。 令押题预测 1.(2026·广东中山·模拟预测)学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有 趣现象：如图，直线1：y=-x+2与抛物线交于A、B两点.点P为抛物线y=x2-4x+2上的动点，过点P 且平行于y轴的直线交直线I于点E.当点P在直线y=-x+2下方时，连接AP、BP得到△APB,当△APB 面积最大时，点P在什么位置？ y=x2-4x+2 y=-x+2 (1)数学兴趣小组成员很快就求出点P的坐标，请你也求出点P的坐标。 (2)机智的小涛同学通过计算发现，当△APB面积最大时，点E与线段AB有特殊的位置关系，请你写出小 涛的结论. 88/180 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当△APB面积取最大值时，动点 P的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论. 2.(2025·河南郑州·模拟预测)如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象相交于 A(m,1),B(2,-3)两点，与y轴交于点C B (1)求反比例函数和一次函数的解析式： (②)根据图象直接写出不等式瓜+b≥的解集 1北 (3)设D为线段AC上的一个动点（不包括A,C两点），过点D作DE∥y轴交反比例函数图象于点B,当 △CDE的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值 解密题型19函数与特殊三角形存在性问题 命题解码 函数与特殊三角形存在性问题是中考几何压轴高颜考点，以函数图像为背景， 结合等腰三角形、直角三角形、等边三角形等判定条件，核心是分类讨论+坐标运算+勾股定理/距离公 式，通过设点坐标列方程求解，侧重数形结合、分类思想与代数几何综合能力。 押题预测 1.(2026·海南省直辖县级单位·一模)如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(-1,0), B(3,0),与y轴交于点C (1)求抛物线的解析式： (2)点D为抛物线的顶点，求△BCD的面积： 89/180 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)抛物线上是否存在点P,使△BCP是以BC为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明理 由： (4)在第一象限的抛物线上是否存在点N,使点W到BC的距离最大，若存在，求出点W的坐标：若不存 在，说明理由. 2.(2026·陕西西安·模拟预测)已知如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点 C,OA=OC=3,顶点为D. D (1)求此抛物线的解析式： (2)在线段AC上是否存在一点M,使△AOM和△ABC相似？若存在，请求出M点的坐标：若不存在，请说 明理由， 3.(2026·广东广州·一模)如图，抛物线y=m2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3). 0 (1)求抛物线的解析式及顶点E的坐标： (2)将抛物线沿y轴向下平移m(m>0)个单位长度，平移后的抛物线与直线BC恰好只有一个公共 点.求的值； (3)点P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P,使得△PBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在， 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由， 90/180 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解密题型20函数与特殊四边形存在性问题 命题解码 函数与特殊四边形存在性问题是中考压轴高颜考点，以函数图像为载体，考查 平行四边形、菱形、矩形、正方形的存在性判定，核心是利用对边平行且相等、对角线互相平分/垂直/ 相等等性质，结合坐标平移、中点公式、距离公式列方程求解，关键是按顶点顺序或边/对角线分类讨 论，侧重数形结合、分类思想与代数几何综合运算能力。 押题预测 1.(2026·陕西·一模)如图，抛物线y=2+bx+3与x轴交于点A(-3,0),B(1,0),与y轴交于点C,连 接AC,点P为抛物线上一动点（不与点A,C重合），图中虚线是抛物线的对称轴. (1)求该二次函数的表达式： (2)若点M在抛物线的对称轴上，是否存在点M,使得以点P,A,M,C为顶点的四边形是以AC为边的平 行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由， 2.(2025·四川绵阳·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=x(≠0)的图象与反比例 函数y=《(k≠0)的图象交于4(-2，m-9),B两点，点C在反比例函数的图象上，且在第一象限内点B的右 1 侧，连接BC,OC,△BOC的面积为5. (1)求点A,B的坐标及反比例函数的解析式： (2)探究在x轴上是否存在点M,使得以点O,C,MW为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点N的坐 标；若不存在，请说明理由. 91/180 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3(25-26九年级上·河南开封·月考)如图，一次函数y=kx+3的图象与坐标轴相交于点A(-2,0)和点 B,与反比例函数y=上x>0)相交于点C(2,m). B (1)求出一次函数与反比例函数的表达式： (2)若点P是反比例函数y=上(K>0)图象上的一点且在点C下方，连接CP并延长，交x轴正半轴于点 D,若PD:CP=1:2时，求△COP的面积： (3)在(2)的条件下，若M为一次函数y=kx+3的图象上一点，是否存在平面内一点N使得以B,P, M,W为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点M的横坐标，若不存在，请说明理由. 解密题型21函数与特殊角存在性问题 命题解码函数与特殊角存在性问愿是中考几何压轴难点题型，带以一次、二次函数为背 景，围绕45°、 60°、90°、135°等特殊角展开探究，核心是利用三角函数、相似三角形、斜率关 系、构造直角三角形转化角度条件，结合坐标列方程求解，侧重分类讨论、数形结合与角度转化能力。 押题预测 1.(2026·黑龙江·一模)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，与y轴交 于点C,连接AC,BC B主 (1)求抛物线的解析式： (2)在抛物线上是否存在点D,使∠CBD=∠ACB-2∠ACO？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存 92/180 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在，请说明理由. 2.(25-26九年级下·江苏常州·月考)如图，己知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象交x轴 3 于A,B两点，交y轴于点C,点B的坐标为(9，O),点C的坐标为(0，-3)，连接AC,BC. 备用图 (1)求抛物线的解析式 (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接PC,当∠PCB=∠OBC时，求点P的横坐标 (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点2，使△BC9为直角三角形？若存在，请求出点2的坐标；若不存 在，请说明理由. 解密题型22整点问题 命题解码 整点问题是中考函数与几何中小压轴常见题型，主要考查平面直角坐标系内 横、纵坐标均为整数的点。常结合一次函数、二次函数、反比例函数及几何图形出现，核心方法是被举 取值、分类讨论、利用不等式确定范围，侧重有序枚举与严谨筛选，避免漏解或多解。 押题预测 1.(2026·河北衡水·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点.已知 点A的坐标为(-2,1)，点B的坐标为(3,1)，点M(0,m)为y轴上一点，且m>0.现连接OA,OB,AM, BM,若四边形AOBM所围成的封闭区域内（不含边界）有6个整点，则m的取值范围是() M B 93/180 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 A.2<m<3 B.2<≤3 C. 2<ms3 <m<3 D. 2.(2025·广东深圳·三模)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数y=2-2+1(a≠0)的图象为抛物 线G抛物线G与抛物线G的图象关于x轴对称. 5 5 4 3 3 2 2 1 -5-4-3-2-10L12345x -5-4-3-2-10L12345x 2 2 3 -3 -4 4 -5 -5H 备用图 (1)抛物线G与y轴的交点坐标为，抛物线G的对称轴为直线x=-一一： (2)当a=3时，求抛物线G的表达式： (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线G围成的中间封闭区域（不包括边界）为W. ①当a=3时，直接写出区域W内的整点个数： ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围. 解密题型23正方形展开图 命题解码 正方体展开图是中考基础几何必考点，主要考查11种标准展开图的识别、折叠 还原及相对面判断，核心是通过“一四一、一三二、三三、二二二”四种模型快速判断，侧重空间想象 与面的对应关系。 ≥解题大招 由正方体平面展开图的特点可知，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形或 位于“Z”字形的两端，且没有公共边和公共顶点，即“对面无邻点” 念押题预测 1.(2026·河南周口·二模)新情境河南南阳拥有南北过渡、东西交融的独特地理位置，素有“中国玉雕 之乡”的美誉，一个不透明的正方体的六个面上分别写着“中”“国”“玉”“雕”“之”“乡”六个汉 字，如图是我们能看到的三种情况，那么“中”的对面汉字是() 94/180 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 父 乡 雕 中 玉 玉 之 A.国 B.玉 C.雕 D.乡 2.(2026·河南·一模)如图是一个正方体纸盒的展开图，若正方体相对面上的两个数字互为相反数；则 x+y的值为() 5 31 -3 A.-4 B.-2 C.3 D.6 3.(2026·河北保定·模拟预测)将如图1所示的正方体按如图2所示的方式展开，则在展开图中表示棱 a的线段可以是() F G H P 图1 图2 A.FG B. EF C.GO D.FP 解密题型24三角形内角和与外角和综合 命题解码 三角形内角和与外角和综合是中考几何基础必考题型，核心围绕三角形内角和 180°、外角等于不相邻两内角和、外角和360°展开，常结合角平分线、平行线、折叠问题进行角度计 算与推理，侧重角度转化与简单逻辑证明。 押题预测 1.(2026·福建三明·一模)将一副分别含30°角和45°角的直角三角板按如图所示方式摆放，点D在AB 边上，保持点D位置不动，将ADEF绕点D旋转，始终保持DE边与BC边相交，则∠I和∠2的数量关系是 45 30>E B 95/180 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.∠1+∠2=759 B.∠1+∠2=90° C.∠1-∠2=309 D.∠1-∠2=459 2.(2026·广西南宁·二模)如图，在△ABC中，∠BAC=80°，把△ABC沿着AD对折，使得点C落在 AB边上的点C'处，再把△BDC'沿着C'D翻折得到△B'DC',若B'C'∥AD,则∠B的度数是() B- D A.60° B.45 C.40° D.30° 3.(2026·辽宁营口·一模)如图，△ABC中，BO与CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，相交于点 O,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点P,且∠BPC=108,则∠BOC的度数为 () F B A.112° B.118 C.126° D.128 解密题型25三角形中位线 命题解码 三角形中位线是中考几何基础常考点，核心定理：三角形中位线平行于第三边 且等于第三边的一半，常用于求线段长度、证明平行关系、判断中点四边形，侧重等量转化与简单几何 推理。 念押题预测 1.(2026·四川达州·一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点M,N分别是边 AD,CD的中点，连接N,OM.若N=4,S形cD=48,则OM的长为() 96/180 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.5 C.2√13 D.√3 2.(2026·海南省直辖县级单位·一模)如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC,垂足为 M,M交BD于点N,OM=2,BD=8,则MN的长为 B 解密题型26半角模型 命题解码 半角模型（角含半角模型）是初中几何压轴必考模，核心是共顶点、大角含 半角、邻边相等，通过旋转构近全等，解决线段和差、角度、周长、面积问题。 解题大招 1)90°的半角模型 已知正方形ABCD中，B,F分别是BC、CD上的点，∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点0、P,则： ①EF=BB+DR②AE平分∠BEF,AR平分∠DFE ③Cae=2倍正方形边长 ④SAm+SAuF=SA ⑤AB=AG=AD(过点A作AG⊥ER,垂足为点G) ⑥0P=0B+0D ⑦若点E为BC中点，则点F为CD三等分点 ③AAPOCAAEFCADPFCABEOCADA0∽ABPA ②ABEP四点共圆、AOFD四点共圆、OECRP 五点共圆 @△APE、△AOF为等腰直角三角形 (11)EF=V20P (12)SAN=2SA0O (13)AB=BPXOD- (14)CE·CR=2BEDF (15)△EPC为等腰三角形 (16)PX=Bx+DP过点E作EX⊥BD,垂足为点xX) 押题预测 1.(2026·江苏盐城·一模)主题式学习：实验初中九年级某学习小组围绕“半角”问题开展主题学习活 动. 如图1，BF分别为正方形ABCD的边BC、CD上的动点，连接AE、AF、EF,且满足∠EAF=45°. 97/180 目 录 学科网（北京）股份有限公司 冲刺复习备考指导 1 核心・高频点速查 速查01数与式（6大核心考点） 2 速查02方程与不等式（5大核心考点） 8 速查03函数（5大核心考点） 12 速查04三角形与四边形（6大核心考点） 17 速查05圆（7大核心考点） 22 速查06图形变换（3大核心考点） 28 速查07统计与概率（4大核心考点） 33 锦囊・几何模型全解 几何模型01三角形热考28种模型 38 几何模型02四边形热考6种模型 41 几何模型03圆热考8种模型 42 技法・得分加速器 15种辅助线解题技巧 43 排雷・易错点清零 36种避坑指南 易错题型01~10（数与式、方程与不等式） 53 易错题型11~18（函数） 56 易错题型19~32（图形与几何） 60 易错题型33~36（统计与概率） 68 热点・命题风向标 48大热点（包含命题解码、解题大招、押题预测） 解密题型01~06（数与式） 71 解密题型07~09（方程与不等式） 76 解密题型10~22（函数） 79 解密题型23~47（图形与几何） 94 解密题型48数据分析 128 冲刺・压轴动向预测 压轴题型01新定义问题 132 压轴题型02阅读理解类问题 132 压轴题型03综合与实践类问题 136 压轴题型04现实热点问题 137 压轴题型05跨学科问题 139 压轴题型06动点问题 141 压轴题型07最值问题 142 压轴题型08多结论正误判断题 144 压轴题型09图形变换综合题（折叠/旋转） 145 压轴题型10函数综合压轴题 146 压轴题型11几何模型综合题 148 密押・临考抢分卷 150 157 164 【考前准备1】学生科学备考篇 172 【考前准备2】考前一天终极准备 173 【考前准备3】考场全程应对策略 174 【考前准备4】考场应急与难题突破 175 177 冲刺复习备考指导 核心原则：基础+中档题占80%，冲刺不钻偏题怪题，只做能提分、能控分的事 一、高效复习规划 1.复习优先级（提分效率从高到低） ✅第一梯队：基础题错题复盘+限时基础训练（保分核心） ⭕第二梯队：中档题高频题型专项突破（提分关键） ⚠️第三梯队：压轴题前两问训练（只抓步骤分，放弃最后一问） 2.每日时间分配 1) 课内：紧跟老师节奏，当天错题当天标注、当天解决 2) 晚间（2小时）：1小时基础限时练保手感，1小时攻克1类中档题型 3) 碎片：只看公式定理、易错点提醒，不做新题 二、错题整改核心方法 1) 粗心失误：做题时圈画所有题干条件，计算不跳步，复盘时标注“粗心点” 2) 概念模糊：直接回归课本原文，默写相关定义、定理，理清易混点 3) 方法不会：总结同类题通用解题步骤，整理成模板，集中练3-5道同类题巩固 三、心态与情绪调节 1) 拒绝“假努力”：不盲目刷新题，80%的提分来自错题复盘 2) 接受不完美：不用追求所有题都会做，把能拿的分拿满就是胜利 3) 建立可控感：每天只定1-2个可完成的小目标，完成即打勾，拒绝模糊焦虑 4) 快速平复：紧张时用“4秒吸气-2秒屏息-6秒呼气”呼吸法，重复5次 四、考场答题策略 1) 按顺序答题，单题耗时不超过5分钟，卡住先跳过 2) 步骤写完整，按得分点作答，几何证明不跳关键步骤 3) 优先检查选择填空和计算大题，减少低级失分 4) 难题不空卷，写出相关公式、定理或第一步推导，争取步骤分 五、考前一周关键动作 1) 全面停止刷新题、难题，只看错题本和高频易错点 2) 每日默写一遍核心公式、定理和常用结论 3) 按中考时间做1套基础卷，保持做题手感 4) 调整作息，保证每天7-8小时睡眠，避免熬夜 最后提醒：中考拼的不是谁会的题多，而是谁错的题少。稳住心态，把会做的题全部做对，你就赢了！ 核心・高频点速查 速查01数与式（6大核心考点） 考向 出题形式 命题角度 基础概念与运算辨析 选择 1.实数的概念与分类（无理数、相反数、绝对值、倒数、科学记数法辨析） 2.二次根式的概念与性质（有意义的条件、最简二次根式、同类二次根式） 3.整式的相关概念（单项式/多项式的次数、系数，同类项的判断） 4.分式有意义/无意义/值为0的条件辨析 核心运算与性质应用 填空 1.实数的运算（含零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值、绝对值化简） 2.因式分解（提公因式法、公式法、十字相乘法的直接应用） 3.分式的化简求值（含整体代入、因式分解约分） 4.二次根式的化简与估值 综合运算与非负性应用 解答 1.分式/二次根式的混合运算（含化简求值、分母有理化、含参数的分式化简） 2.因式分解的综合应用（结合方程、代数式求值、恒等变形） 3.与整式/分式相关的规律探究题（数字规律、图形规律） 4.含绝对值、二次根式的非负性综合题（如“几个非负数和为0求参数”） 情境与形式创新 选择/填空 1.含新定义的数与式运算（如自定义运算规则、新定义数） 2.结合数轴的数与式问题（绝对值的几何意义、整式大小比较、动点问题） 3.跨情境数与式应用（用代数式表示实际问题中的数量关系） 4.含参数的分式/二次根式取值范围问题 跨学科与开放探究 选择/填空/解答 1.结合跨学科情境的数与式问题（如统计数据、科技/文化热点背景下的数与式计算） 2.开放型数与式问题（如“写出一个满足条件的无理数/代数式”） 3.数与式与函数/几何的综合题（如结合函数图像、几何图形的代数式求值） 4.与数论相关的创新题（如整除性、奇偶性、数的分类拓展） 考点01实数 1.实数的相关概念及性质（表格版） 名称 定义 性质 数轴 在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的. 相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，我们称其中一个数是另一个数的相反数. 1）若a，b互为相反数，则a+b=0 2）0的相反数是0 3）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧. 绝对值 数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 倒数 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. 1）0没有倒数，倒数等于它本身的数是1和-1； 2）若ab=1a，b互为倒数； 若ab=-1a，b互为负倒数； 2.实数的混合运算 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 实数计算的易错点： 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 3.补充知识（特殊角的锐角三角函数值） 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sinα cosα tanα 1 考点02整式运算 1.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2.幂的运算 法则（m，n都是整数） 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，即 幂的乘方 底数不变，指数相乘，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即（a≠0） 3.整式的乘法 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 乘法 公式 平方差公式： 完全平方公式： 4.整式的除法 单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 考点03因式分解 考点04分式的运算 加减运算 1）同分母分式：分母不变，把分子相加减，即. 2）异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减，即. 乘除运算 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 乘方运算 分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，且b≠0） 混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 考点05二次根式的运算 加减运算 一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即. 乘法运算 除法运算 混合运算 二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算. 考点06比较数的大小 （1）数轴比较法：将实数在数轴上表示出来，左边的数小于右边的数； （2）绝对值比较法：设a，b是两负实数，若|a|＞|b|a＜b； （3）求差比较法：设a，b是两实数，若 （4）求商比较法：设a，b是两正实数，若 （5）平方比较法：设a，b是两负实数，若a＜b； （6）估算法：设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较.例如≈1.414，≈1.732，≈2.236；【总结】比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a，b，若a＞b；对任意负实数a，b，若a＜b. 速查02方程与不等式（5大核心考点） 考向 出题形式 命题角度 基础概念与运算辨析 选择 1.一元一次方程、二元一次方程（组）的解的概念辨析 2.一元二次方程的根的判别式、根与系数关系（韦达定理）的基本应用 3.不等式（组）的解集表示、整数解判断 4.分式方程的增根与无解的条件辨析 核心运算与性质应用 填空 1.一元一次方程、二元一次方程组的求解 2.一元二次方程的求解（配方法、公式法、因式分解法） 3.分式方程的求解（含检验步骤） 4.一元一次不等式（组）的求解与解集表示 综合应用与含参讨论 解答 1.含参数的方程（组）/不等式（组）的解的情况讨论（如解的正负性、整数解个数） 2.一元二次方程与几何、函数的综合应用（如根的分布、面积问题） 3.分式方程的实际应用（工程、行程、销售问题，含检验） 4.不等式（组）与函数结合的方案设计、最值问题 情境与形式创新 选择/填空 1.含新定义的方程与不等式问题（如自定义方程、新定义不等式） 2.结合数轴、函数图像的不等式解集分析（如一次函数与不等式的关系） 3.跨情境方程建模（如结合统计、几何背景列方程/不等式） 4.含绝对值的方程与不等式 跨学科与开放探究 选择/填空/解答 1.结合跨学科情境的方程与不等式问题（如物理、化学、科技热点背景下的建模） 2.开放型方程与不等式问题（如“写出一个解为x=2的一元二次方程”） 3.方程与不等式的规律探究题（如数列递推、周期性问题） 4.方程（组）与函数、几何的综合压轴题（如动点问题中的方程建模） 考点01解一元一次方程 步骤 具体做法 变形的依据 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 等式的 性质2 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要将分子作为一个整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则，分配律 1)去括号时，括号前的数不要漏乘括号内的每一项; 2)当括号外的因数是负数时，去括号后原括号内的各项均要变号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 【易错点】移项过程中未变号 等式的 性质1 1）移项时不要丢项； 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0)的形式 合并同类项法则 1）系数的符号处理要得当； 2）未知数及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x= 等式的 性质2 不要将分子，分母的位置颠倒 考点02解二元一次方程组 解二元一次方程组的一般步骤 1）把二元一次方程组中的一个未知数消掉(代入消元或加减消元)使其变成一元一次方程； 2）解一元一次方程，求出一个未知数的值； 3）将求出的未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值； 4）写出方程组的解. 【注意】 1）消元时要根据方程组的特点决定首先消去哪个未知数； 2）原方程组的每个方程在求解过程中至少要用到一次； 3）将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组的每一个方程中进行检验，看每个方程等号左、右两边的值是否相等，若都相等，则是原方程组的解，只要有一个方程等号左、右两边的值不相等，就不是原方程组的解. 考点03解分式方程 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程，即. 具体作法：将分式方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程，再求根验根. 1）去分母→方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 2）解整式方程→去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3）验根→将整式方程的解代入最简公分母， 若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，（可将这个解代入分式方程看左右两边是否相等） 若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【易错点】 1）去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误. 2）方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 考点04解一元二次方程 根据方程的特点，选择适当的求根方法： 1）若方程具有的形式，可用直接开平方法求解； 2）当一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法求解. 3）公式法是一种最常用的方法，用时一定要把一元二次方程化为一般形式，确定a，b，c的值，在的条件下代入公式求解. 方法 说明 直接开平方法 方程没有一次项时用直接开平方法较为简单（最直接的方法） 配方法 二次项系数为1，一次项系数为偶数时，用此方法较为简单（最基本的方法） 公式法 在配方法和公式法中，当各项系数均为整数，且绝对值较小时，首选公式法（万能方法） 因式分解法 方程没有常数项时用因式分解法较为简单；当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解（最简便的方法） 【总结】对于配方法、公式法和因式分解法，一般来说因式分解法较为简单，应优先考虑;对于整系数的一元二次方程，若一次项系数为偶数，则可以考虑用配方法；若以上两种方法都不太方便的话，则用公式法. 考点05解一元一次不等式组 一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【易错点】 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 速查03函数（5大核心考点） 考向 出题形式 命题角度 基础概念与运算辨析 选择 1.函数的定义与自变量取值范围（分式、二次根式、零指数幂综合） 2.一次/反比例/二次函数的图像与基本性质辨析（k、a、b、c的作用） 3.函数值的计算、增减性判断与大小比较 4.函数图像的识别（实际问题图像、动点图像） 5.函数的对称性、平移规律辨析 核心运算与性质应用 填空 1.待定系数法求函数解析式（一次、反比例、二次函数） 2.函数图像的平移、对称、旋转变换计算 3.反比例函数k的几何意义（面积相关计算） 4.二次函数的顶点、对称轴、最值计算 5.一次函数与坐标轴的交点、与反比例函数的交点问题 综合应用与含参讨论 解答 1.一次函数与反比例函数的综合（交点、面积、不等式解集） 2.二次函数与几何综合（存在性问题：等腰/直角三角形、平行四边形、菱形等） 3.二次函数的最值问题（顶点最值、区间最值、面积最值） 4.含参数的一次/二次函数问题（参数对图像、交点、性质的影响） 5.函数与方程、不等式的综合（利用图像解不等式、方程根的分布） 情境与形式创新 选择/填空/解答 1.分段函数的实际应用（阶梯计费、行程分段问题） 2.函数建模的实际问题（一次/二次函数解决利润、方案选择） 3.函数图像的信息解读（图表、图像结合的实际问题） 4.反比例函数与几何图形的非常规综合（比例、相似、面积） 5.函数性质的变式探究（自定义函数、新运算） 跨学科与开放探究 选择/填空/解答 1.跨学科情境的函数建模（物理运动轨迹、跨学科实际问题） 2.函数的新定义与开放探究题（自定义函数、规律探究） 3.二次函数的实际应用（抛物线型建筑、运动轨迹、优化问题） 4.函数与统计、大数据结合的图表分析题 5.多模块融合的开放题（函数+几何+代数的综合探究） 考点01一次函数的图像与性质 k＞0 k＜0 图像 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 拓展 1）直线与直线平行 2）直线与直线垂直 【补充说明】一次函数的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的符号有关，与b的符号无关. 考点02反比例函数的图像与性质 k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像位置 图像分别位于第一、第三象限（x、y同号） 图像分别位于第二、第四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 图像特征 1）图像是关于直线y=x和y=-x对称的双曲线； 2）图像是关于原点对称的双曲线； 3）图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交. 【易错易混】 1.反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2.反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3.双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 考点03二次函数的图像与性质 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 考点04二次函数的图像特征与各项系数之间的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a＞0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a＜0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个不同的交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 考点05函数的平移 1.一次函数的平移变换 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 【总结】一次函数图象平移后，k值不变因此可求出原函数图象上任意一点平移后得到的点的坐标，再利用待定系数法即可求出平移后的解析式. 2.二次函数图像的平移 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h)2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移口诀：左加右减（只改变x），上加下减（只改变y）. 速查04三角形与四边形（6大核心考点） 考向 出题形式 命题角度 基础概念与运算辨析 选择 1.三角形的分类、三边关系、内角和定理辨析 2.特殊三角形（等腰、等边、直角三角形）的性质与判定辨析 3.三角形的高、中线、角平分线、中位线的性质应用 4.多边形内角和、外角和公式的直接应用 5.平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义与性质辨析 6.轴对称、中心对称图形的识别（结合三角形/四边形） 核心运算与性质应用 填空 1.三角形角度计算（含外角定理、直角三角形两锐角互余） 2.等腰/直角三角形的边长、周长、面积计算（含勾股定理） 3.三角形中位线定理的相关计算 4.平行四边形、矩形、菱形、正方形的边长、对角线、面积计算 5.特殊四边形的对称性、边长/角度的性质应用计算 6.多边形的边数、内角和/外角和的逆向计算 综合应用与含参讨论 解答 1.三角形全等/相似的证明与性质应用（含多步证明、线段/角度转化） 2.特殊三角形（等腰/直角）与四边形的综合证明与计算 3.平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质综合题 4.三角形/四边形的动点问题（点动、线动、面动，含存在性讨论） 5.含参数的三角形/四边形问题（如边长含参、角度含参的分类讨论） 6.几何最值问题（如将军饮马模型、折叠问题中的最值） 情境与形式创新 选择/填空/解答 1.三角形/四边形的折叠、旋转、平移等几何变换问题 2.以实际情境为载体的几何建模题（如测量、拼接问题） 3.开放性几何题（如条件开放、结论开放的三角形/四边形证明） 4.几何图形的变式探究（如条件弱化、结论推广的多问探究） 5.结合网格、坐标系的三角形/四边形问题（坐标法解几何） 跨学科与开放探究 选择/填空/解答 1.跨学科情境的几何问题（如物理受力分析、工程测量中的三角形/四边形应用） 2.几何新定义问题（如自定义“等邻边四边形”“奇异三角形”等） 3.几何规律探究题（如多边形分割、图形拼接的规律总结） 4.多模块融合题（三角形/四边形与函数、方程、统计的综合） 5.开放探究类压轴题（如条件探究、结论探究、方法探究的多问压轴） 考点01特殊三角形的性质与判定 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 性质 (1)两腰相等. (2)两底角相等（简写成“等边对等角”）. (3)顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）. (4)是轴对称图形，有一条对称轴. (1)三边相等. (2)三个内角相等，都等于60°. (3)是轴对称图形，有三条对称轴. (4)等边三角形三条角平分线的交点、三条高线的交点、三条中线的交点重合. (1)两锐角之和等于90°. (2)斜边上的中线等于斜边的一半. (3)30°角所对的直角边等于斜边的一半. (4)勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方，即（a，b为直角边，c为斜边）. 判定 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形. (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形（依据“等角对等边”）. (1)三边相等的三角形是等边三角形. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形. (2)有两个角互余的三角形是直角三角形. (3)勾股定理的逆定理：若，则以a，b，c为三边的三角形是直角三角形. 面积 （a为等腰三角形的底边长，h为底边上的高）. （a为等边三角形的边长）. S=（a，b为直角边，c为斜边，m为斜边上的高）. 考点02全等三角形的性质与判定 全等三角形的性质： 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（注意：周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 判定两个三角形全等的思路：证明两个三角形全等时，要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法，一般可按下面的思路进行: 考点03相似三角形的性质与判定 1.相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. ②相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比. ③相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. ④三角形的相似具有传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 【易错点】对相似三角形的面积比不清而出错 2.相似三角形的判定 判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 2 三边成比例的两个三角形相似. 两组直角边成比例的两个直角三角形相似. 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 4 两角分别相等的两个三角形相似． 考点04解直角三角形 已知条件 解法步骤 图示 两 边 斜边和一直角边 (如a，c) 两直角边 (如a，b) 一 边 一 角 斜边、锐角 （如c，∠A） 一直角边，一锐角 对边，锐角 （如a，∠A） 邻边，锐角 （如b，∠A） 考点05特殊四边形的性质 四边形 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称图形 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形、中心对称图形 菱形 对边平行且四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 轴对称图形、中心对称图形 正方形 对边平行且四条边都相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 轴对称图形、中心对称图形 考点06特殊四边形的判定 四边形 边 角 对角线 平行四边形 1）两组对边分别平行 2)两组对边分别相等 3)一组对边平行且相等 两组对角分别相等 两组对角线互相平分 矩形 1）平行四边形+一直角 2）四边形+三直角 平行四边形+两条对角线相等 菱形 1）平行四边形+一组邻边相等 2）四边形+四条边都相等 平行四边形+两条对角线互相垂直 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 矩形+对角线互相垂直 菱形+对角线相等 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 速查05圆（7大核心考点） 考向 出题形式 命题角度 基础概念与运算辨析 选择 1.圆的基本概念辨析（圆心、半径、弦、弧、圆心角、圆周角的定义与关系） 2.垂径定理及其推论的辨析与直接应用 3.圆周角定理（直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等）的辨析 4.点与圆、直线与圆的位置关系判定（d与r的数量关系） 5.圆的对称性（轴对称、中心对称）的识别与应用 6.正多边形与圆的基本概念辨析（中心角、边心距） 核心运算与性质应用 填空 1.垂径定理相关计算（弦长、半径、弦心距的勾股定理应用） 2.圆心角、圆周角的角度计算（含多步转化） 3.弧长、扇形面积的公式直接计算 4.圆锥的侧面积、全面积与展开图相关计算 5.切线的性质应用（切线与半径垂直）的基础计算 6.圆内接四边形的性质（对角互补）相关角度计算 综合应用与含参讨论 解答 1.切线的判定与性质综合题（证明切线、利用切线性质计算线段/角度） 2.圆与三角形/四边形的综合（圆内接三角形、四边形的证明与计算） 3.圆的综合证明与计算（垂径定理、圆周角定理、切线性质的多步综合） 4.圆与函数的综合（坐标系中圆与一次/二次函数的交点、切线问题） 5.含参数的圆的问题（如圆心坐标、半径含参的位置关系讨论） 6.圆中的最值问题（如线段最值、弧长最值、面积最值） 情境与形式创新 选择/填空/解答 1.圆的折叠、旋转等几何变换问题（如折叠后形成的圆的相关计算） 2.实际情境中的圆建模问题（如圆形零件、扇形零件的测量与计算） 3.结合网格、坐标系的圆的问题（坐标法解决圆的位置关系、切线问题） 4.圆的变式探究题（如条件弱化、结论推广的多问探究） 5.与相似、勾股定理结合的圆的综合题（圆中线段比例、长度计算） 跨学科与开放探究 选择/填空/解答 1.跨学科情境的圆的问题（如物理中的圆周运动、工程中的圆形构件问题） 2.圆的新定义问题（如自定义“等弧圆”“伴随圆”等） 3.圆的开放探究题（如条件开放、结论开放的圆的证明与计算） 4.多模块融合压轴题（圆+函数+几何变换的综合探究） 5.与大数据、实际应用结合的圆的优化问题（如扇形面积的最值设计） 考点01圆的基本性质 1.垂径定理及推论 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，CD是O的直径，AB为弦，CD⊥AB于点E，则AE＝BE， 推论 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，CD是O的直径，AE＝BE，则CD⊥AB，. 延伸 （1）平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧. （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 小技巧 一条直线如果具备：①经过圆心；②垂直于弦，③平分弦（非直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其它三个结论，简称“知二推三”. 2.弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 如图所示，∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【注意】不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果遗漏了这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等. 3.圆周角定理及推论 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 常见图形 结论 推论 1）同弧或等弧所对的圆周角相等. 2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径. 4.圆内接四边形的概念及性质 概念 如果一个四边形的所有顶点均在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形. 性质 圆内接四边形对角互补. ∠BAD+∠BCD=180°， ∠ABC+∠ADC=180° 延伸 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻的内角的对角）. ∠1=∠2 考点02切线相关 1.切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 2.性质与判定： 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径. 判定 1）定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切； 2）数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切； 3）判定定理法：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.如图中的PA，PB两条线段的长为点P到⊙O切线长（PA，PB与⊙O相切）. 4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 考点03三角形的内心和外心 三角形的内切圆 三角形的外接圆 圆心的确定 三角形三条角平分线的交点， 叫三角形的内心 三角形三边垂直平分线的交点， 叫三角形的外心 图示 圆心的性质 1）内心到三角形三边的距离相等， 即OD=OE=OF. 2）OA、OB、OC分别平分 ∠BAC、∠ABC、∠ACB. 3）∠BOC＝90°＋∠BAC. 1）外心到三角形三个顶点的距离相等， 即OA=OB=OC. 2） 圆心的位置 一定在三角形的内部 锐角三角形：在三角形的内部； 直角三角形：为三角形的斜边的中点； 钝角三角形：在三角形的外部 考点04正多边形与圆有关计算 1）内角：正n边形的每个内角和为. 2）外角/中心角：正n边形的每个外角/中心角为. 3）周长：正n边形的周长. 4）面积：正n边形的面积. 5）正多边形的半径，边长和边心距之间的关系为 6）正多边形的半径，边长和中心角之间的关系为 7）正多边形的半径，边心距和中心角之间的关系为 【技巧总结】 1）正六边形的边长等于正六边形的外接圆的半径. 2）正方形的边长等于正方形的外接圆的半径的倍. 3）正三角形的边长等于正三角形的外接圆的半径的倍. 考点05弧长与扇形面积 弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径). 扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°的圆心角所对的弧长). 【补充】 1）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量． 2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=或S扇形=R中求解即可． 3当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时，可以选用公式；当已知半径R和弧长l求扇形的面积时，可以选用公式. 考点06圆锥的相关计算 圆锥常见量之间的关系（如图） 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，高为h （1）这个扇形的弧长为2πr； （2）； （3） （4） （5）圆锥侧面展开图的圆心角度数为 【补充】求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系. 考点07阴影部分面积计算 1.弓形面积的求法 当弓形所含的弧是劣弧 当弓形所含的弧是优弧 当弓形所含的弧是半圆 2.求不规则图形面积的常用方法 1）求和(差)法：把图形适当分割，将不规则图形的面积转化成几个规则图形面积的和或差. 如图(1)， 2）等积转化法：通过等面积转化，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算. 如图(2)，点D为的中点，则。 如图(3)，已知扇形AOB，DO∥AB，则. 3）容斥原理法：当阴影部分由几个图形叠加而成时，利用“阴影部分的面积=叠加前的几个图形的面积之和−（多加部分的面积+空白部分的面积）”求解. 如图(4)，阴影部分是扇形ABE和扇形ACD的重叠部分，则 图（1）图（2）图（3）图（4） 速查06图形变换（3大核心考点） 考向 出题形式 命题角度 基础概念与运算辨析 选择 1.轴对称、中心对称图形的识别（含三角形、四边形、圆等基础图形） 2.平移、旋转、轴对称的基本概念辨析（对应点、对应线段、对应角的性质） 3.图形变换的坐标变化规律辨析（平移、对称、旋转后的坐标变化） 4.三视图与投影的概念辨析（主视图、左视图、俯视图，平行投影与中心投影） 5.图形变换的对称性判断（如正多边形的对称轴数量、中心对称的判定） 核心运算与性质应用 填空 1.平移变换的坐标计算（沿x轴、y轴平移后的点坐标、图形面积变化） 2.轴对称变换的计算（对称点坐标、对称轴方程、折叠问题中的角度/边长计算） 3.旋转变换的计算（旋转中心、旋转角、对应点距离、旋转后图形的边长/角度） 4.三视图相关计算（由三视图还原几何体、计算几何体的表面积与体积） 5.图形变换中的面积、周长计算（如平移/旋转后图形的面积不变性应用） 综合应用与含参讨论 解答 1.折叠问题综合（三角形、四边形、圆的折叠，含多步推理、存在性问题） 2.旋转问题综合（以三角形、四边形为载体的旋转，含全等/相似证明、最值问题） 3.图形变换与函数综合（坐标系中平移、对称、旋转与一次/二次函数的结合） 4.含参数的图形变换问题（如旋转中心、平移距离含参的分类讨论） 5.图形变换中的几何最值问题（如将军饮马、胡不归模型，利用轴对称求最值） 情境与形式创新 选择/填空/解答 1.网格背景下的图形变换问题（在网格中作平移、对称、旋转后的图形） 2.图形变换的实际情境建模（如剪纸、拼图、图案设计中的轴对称/中心对称） 3.多变换组合问题（平移+旋转、轴对称+旋转的复合变换问题） 4.结合相似、勾股定理的图形变换问题（如旋转构造全等/相似三角形） 5.图形变换的信息解读题（结合生活场景的变换规律分析） 跨学科与开放探究 选择/填空/解答 1.跨学科情境的图形变换问题（如物理运动轨迹、建筑设计中的图形变换应用） 2.图形变换的新定义问题（如自定义“旋转变换”“反射变换”的规则探究） 3.开放探究类图形变换题（如给定部分变换条件，探究变换规律或结论） 4.多模块融合压轴题（图形变换+函数+几何的综合探究题） 5.图案设计与优化问题（利用图形变换设计对称图案，探究最优方案） 考点01图形的对称 1.轴对称图形与轴对称 轴对称图形 轴对称 概念 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 图示 性质 被对称轴分成的两部分是全等图形. 1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分； 2.对应线段相等，对应角相等； 3.两个图形全等. 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条 不一定只有一条 联系 1)沿对称轴折叠，两个图形重合. 2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形. 1)沿对称轴折叠，图形的两部分重合. 2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图形，那么这两个图形成轴对称. 特别提醒:折叠的实质是轴对称变换，折痕所在的直线是对称轴，折叠前后的图形全等，对应点的连线被折痕所在直线垂直平分. 2.中心对称图形与中心对称 中心对称图形 中心对称 概念 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 把一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心. 图形 性质 过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分的周长与面积分别相等. 1）中心对称的两个图形是全等图形； 2）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 3）中心对称的两个图形，对应线段平行（或在一条直线上）且相等. 区别 指具有某种性质的一个图形 指两个图形的(位置)关系 考点02图形的平移 概念 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移．它是由移动方向和距离决定的. 图示 性质 1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2）平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等. 3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 作图步骤 1）定：根据题目要求，确定平移的方向和距离； 2）找：找出确定图形形状的关键点； 3）移：过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点； 4）连：按原图顺序依次连接各对应点. 【注意】确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向；③平移的距离. 考点03图形的旋转 概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫旋转角. 要素 旋转中心、旋转方向、旋转角 图示 性质 1）旋转前后的两个图形全等； 2）对应点到旋转中心的距离相等； 3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 作图步骤 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 速查07统计与概率（4大核心考点） 考向 出题形式 命题角度 基础概念与运算辨析 选择 1.普查与抽样调查的适用场景辨析 2.总体、个体、样本、样本容量概念识别 3.平均数、中位数、众数、方差的意义与判断 4.必然事件、不可能事件、随机事件的区分 5.频率与概率的概念辨析 6.常见统计图（条形、折线、扇形）特点判断 核心运算与性质应用 填空 1.平均数、加权平均数、中位数、众数计算 2.方差、极差的计算与数据稳定性判断 3.扇形统计图圆心角度数计算 4.简单随机事件概率直接计算 5.根据频数、频率求总数或某组频数 6.用样本估计总体的简单计算 综合应用 解答 1.统计图综合补全与信息分析（条形+扇形+表格） 2.统计推断与决策类问题（根据数据提建议） 3.列表法或画树状图求两步及以上随机试验概率 4.概率与统计结合的实际应用题 5.游戏公平性判断与方案设计 6.统计图表与方程、不等式的简单综合 情境与形式创新 选择/填空/解答 1.结合生活实际的统计图表信息题 2.重复试验下用频率估计概率 3.几何概型（面积、长度类概率计算） 4.多组数据对比分析与综合评价 5.统计量变化对数据结果的影响分析 跨学科与开放探究 选择/填空/解答 1.结合环保、体育、健康等真实背景的统计题 2.新定义统计量或概率规则的阅读理解题 3.数据收集、整理、描述、分析的完整流程考查 4.开放设问：根据统计数据提出合理建议 5.概率与函数、几何图形结合的综合探究题 考点01数据的收集 1.普查与抽样调查 概念 优缺点 举例 普查 考察全体对象的调查叫做全面调查. 优点：收集到的数据全面、准确. 缺点：一般花费多、工作量大，耗时长. 1）检测“神舟十六号”飞船的零部件. 2）了解全班50名同学每天体育锻炼的时间. 抽样调查 只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况叫做抽样调查. 优点：调查范围小，花费少、工作量较小，省时. 缺点：抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度. 1）测试一批灯泡的使用寿命或炮弹的杀伤半径等. 2）调查某批中性笔的使用寿命. 3）了解全国中学生的视力和用眼卫生情况. 2.总体、个体、样本、样本容量与简单随机抽样 分类 概念 注意事项 举例 总体 要考察的全体对象称为总体 考察一个班学生的身高，那么总体就是指这个班学生身高的全体，不能错误地理解为学生的全体为总体. 对全市2.3万名初中毕业生升学考试的数学成绩进行统计调查，为了了解这2.3万学生的数学成绩，从中抽取1000名学生的数学成绩进行统计.那么: 总体指的是2.3万名学生的数学成绩； 个体指的是每一个学生的数学成绩； 样本指的是1000名学生的数学成绩； 样本容量是1000. 个体 组成总体中的每一个考察对象 总体包含每一个个体，所有的个体组成总体 样本 被抽取的个体组成一个样本 样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，样本能够在一定程度上反映总体. 样本容量 样本中个体的数目称为样本容量 样本容量是一个数字，不带单位. 考点02平均数、中位数、众数、方差 分类 定义 特点/意义 应用 平均数 算术平均数：一般地，对于n个数x1，x2，…，xn，则这n个数的平均数为，记作“”，读作“x拔”. 反映一组数据的平均水平，容易受到极端值的影响 根据两组数据的平均数评价、比较两组数据的整体水平. 加权平均数：若个数，，…，的权分别是，，…，，则叫做这个数的加权平均数. 中位数 一般地，将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数叫做这组数据的中位数.如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数. 反映一组数据的“中等水平” 判断某个数据在某组数据中所处的位置，比中位数大,位于前50%；比中位数小,位于后50%. 众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 反映一组数据的“多数水平”，只与数据出现的次数有关 常与“最受欢迎”“最满意”“最佳”有关. 方差 设有n个数据，，…，，各个数据与平均数的差的平方分别是，我们用这些值的平均数，即用来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作. 方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 在平均数相同的情况下,比较两组数据的稳定性. 考点03统计图/表的分析 类型 图示 特点 扇形统计图 1）各百分比之和为1； 2）扇形圆心角的度数=该部分所占百分比×360°； 3）特点：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比. 条形统计图 1）能清楚地表示出各部分的具体数目； 2）各部分数量之和等于抽样数据总数(样本容量). 折线统计图 1）能清楚地反映事物的变化情况. 频数分布表 1）各组频率之和等于1 频数分布直方图 1）能清晰、直观地显示各组频数的分布情况及数据的整体状况； 2）各组频数之和等于抽样数据总数(样本容量). 考点04概率的计算 1.计算概率的公式：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率，即. 2.列举法求概率 1）列举法：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 2）列表法：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 3）画树状图法：当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可采用画树状图法不重不漏地列举出所有可能出现的结果，再根据概率公式计算. 3.用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会稳定于某个常数p，我们称事件A发生的概率为p. 锦囊・几何模型全解 几何模型01三角形热考28种模型 A字模型 8字模型 飞镖模型 ∠1+∠2=180°+∠A ∠A+∠B=∠C+∠D ∠BCD=∠A+∠B+∠D 老鹰抓小鸡模型 向内翻折 向外翻折 点O为∠A内部的一点 ∠1+∠2=∠A+∠O 2∠C=∠1+∠2 2∠C=∠2-∠1 两内角平分线模型 两外角平分线模型 一内一外角平分线 已知BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB 已知BD、DC分别平分∠EBC、∠BCF BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD ∠D=90°+∠A ∠D=90°-∠A ∠E=∠A 一线三垂直模型 手拉手模型 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE △OAB，△OCD均是等腰三角形， OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α △OAC≌△OBD，AC=BD， ∠AEB=α，EO平分∠AED 正方形内含型半角 等腰直角三角形内含型半角 对角互补模型 延长BC至点G，使DE=GB，连接AG 过点B作BD⊥BC，且BD=EC，连接AD，DF 点C在∠AOB的平分线上 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 1）旋转全等 2）对称全等 3）在Rt△DBF中， 即 2.CD=CE 3.OD＋OE＝OC A字模型 共边反A字模型 8字模型 DE∥BC ∠1=∠B A=∠D或∠B=∠C ∆ADE∽∆ABC ∆ACD∽∆ABC ∆AOB∽∆DOC 射影定理 一线三等角模型 角含半角相似模型 ∠B=∠D=∠ACE=α ∠BAC=90°，∠DAE=45°，BA=AC 1）∆ABD∽∆ACB∽∆BCD 2)， ， 3）AB•BC=BD•AC（面积法） ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE ∆BAE∽∆ADE∽∆CDA 双腰上的高求定值 等腰三角形动点与存在性问题 将军饮马（特例） AB=AC 如图，已知线段AB，在直线l上找点P使得△ABP为等腰三角形 如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小, ∠ABC=a P′P″, 两个直角三角形靠墙 两个直角三角形背靠背 角平分线+垂直，构造中位线 AE平分∠BAC，且AE⊥BE，点D为BC的中点 12345模型 胡不归模型 已知tanα=1/2，tanβ=1/3，求α+β 已知A，B为定点，其中点A在定直线m上，点P在直线m上一动点，求k•PA+PB（k＜1）的最小值 ∠1+∠2=45°（知二推一） 对形如a•PA+b•PB(a>b)的式子，可以先将式子变形为，再求出的最小值，此时只需要构造，作垂线即可求出最小值 几何模型02四边形热考6种模型 矩形对角相等求最值 利用菱形的对称求最值 正方形十字架模型 在Rt△ABC中，过斜边AC上一点D作直角边的垂线段，求EF长的最小值 在菱形ABCD中，E，F分别是AC，CD上的点，求线段长度和DE+EF的最小值 在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，AE与BO相交于点O，互相推导①BE=CF，②AE=BF，③AE⊥BF 连接BF，当BF⊥CD时BF取最小值 相等则垂直，垂直则相等 正方形风车模型 含60°角的菱形 中点四边形 已知正方形ABCD，点O是对角线的交点，∠MON=90° 四边形ABCD是菱形， ∠ABC=60° 已知点E、F、G、H分别为各边中点 1)△OAE≌△OBF，△OBE≌△OCF2)BE+BF=AE+FC=AB 3)△EOF为等腰直角三角形4) 5) 6)(当OE⊥AB时OE取最小值) 1)∠ABD=∠CBD=30°； 2)△ABC，△ACD为等边三角形 3)AB：AD：BD=1:1:；4) 矩中菱，菱中矩，正中正 几何模型03圆热考8种模型 垂径定理模型 双切线模型 角分图模型 在⊙O中，AB为⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD与点E AD，AB是⊙O的切线，切点分别为A，B AB是⊙O的直径，AE与⊙O交于点C，点D在上 CE=DE， 1)△AOD≌△BOD(HL)，△AOC≌△BOC(SAS)；△ACD≌△BCD 2)∠AOB+∠ADB=180°； 3)OD平分∠AOB，∠ADB； 4)OD垂直平分AB. 5)△DAB，△OAB为等腰三角形 ①AD平分∠BAC(点D为的中点)；②AE⊥DE；③DE是⊙O的切线 三个条件知二推一 弦切角定理 相交弦定理 切割线定理 直线BC与⊙O相切，线段AB是⊙O的弦 在⊙O中，弦AB、CD相交于点P 在⊙O中，弦CD的延长线与⊙O的切线AB交于点A 弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数. AP•DP=BP•CP =AD•AC 割线定理 阿氏圆模型 点A，B均在圆外，r=kOB(k<1) 点A，B均在圆内，r=kOB(k>1) AP•BP=CP•DP AD的长即为PA+kPB的最小值 技法・得分加速器 方法技巧01平行线中的辅助线作法 条件：已知AB∥DE 已知 平行线+“外拐点” 平行线+“外拐点” 平行线+“线外拐点” 辅助线图示 解题大招：过拐点作平行线. 【总结】在平行线相关问题中，若平行线间出现折线，则常常过折线的拐点作已知直线的平行线，构造“三线八角”进行求解. 方法技巧02三角形遇垂线 已知 描述 图示 结论 一边的高及该边边长 作另一边的高（如作BE⊥AC） AD⋅BC=BE⋅AC 过一边中点的垂线 连接交点与顶点（如连接点E与点C） △BEC是等腰三角形 一边的高 作高的平行线（如过点E作EF∥AD） EF⊥BC 直角三角形 作斜边上的高（如作AD⊥BC） △ABD、△ADC均为直角三角形且AD⋅BC=AB⋅AC 【总结】本表格梳理了三角形中四类基础条件对应的辅助线作法与直接结论，核心思路是通过构造高、垂线、平行线，实现“等面积转化”“等腰/直角三角形判定”等解题目标。 方法技巧03三角形遇中点 类型 描述 图示 结论 等腰三角形底边中点 条件：在等腰△ABC中，D是底边BC的中点 思路：连接顶点A与底边中点D，利用等腰三角形“三线合一” ∠BAD=∠CAD AD⊥BC BD=CD 直角三角形斜边中点 条件：在Rt△ABC中，∠B=90°，D是斜边AC的中点 思路：连接顶点B与斜边中点D，利用直角三角形斜边中线定理 一边中点及另一边相关条件 条件：在△ABC中，D是AB边的中点，已知BC边的相关条件 思路：作DE∥BC，交AC于E，利用三角形中位线定理 中点及面积 条件：在△ABC中，D是AB边的中点 思路：连接顶点C与中点D，利用中线等分面积 多个中点（三线交点） 条件：在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点 思路：连接各边中点，交于点O，利用三角形重心定义 点O为△ABC的重心 多个中点（中点三角形） 条件：在△ABC中，D、E、F分别是三边的中点 思路：连接各边中点D、E、F，利用三角形中位线定理 △DEF是△ABC的中点三角形 【总结】本表格梳理了三角形中与“中点”相关的常见辅助线作法，核心是利用等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线、中位线定理、中线分面积、重心及中点三角形等性质，通过连接中点、作平行线等方式，快速得到线段相等、平行、倍分关系或面积等分等关键结论。 方法技巧04与角平分线有关的辅助线 类型 描述 图示 结论 见角平分线，用性质定理 已知BD平分∠ABC，PE⊥BC 作法：过点P作PF⊥AB于点F 角平分线+垂直→三线合一 已知BD平分∠ABC，PE⊥BD 作法：延长PE，交AB于点F 平行线+平行→等腰△ BD平分∠ABC，PE∥BC BE=PE 角平分线上点+边上一点→作对称 在BC上截取BF=BE，连接PF(截取法) 方法技巧05三角形遇特殊角 类型 条件描述+操作（作辅助线） 图示 结论 含45°角的三角形 在△ABC中，∠B=45°， 作AD⊥AB交BC于D △ABD是含45°的直角三角形 在△ABC中，∠B=45°， 作AE⊥BC于E △ABE是含45°的直角三角形 含30°+45°角的三角形 在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，作AD⊥BC于D △ABD是含30°的直角三角形，△ACD是含45°的直角三角形 在△ABC中，∠B=30°，∠ACB=135°（即∠C的补角为45°），作AD⊥BC的延长线于D △ABD是含30°的直角三角形，△ACD是含45°的直角三角形 含120°角的三角形 在△ABC中，∠BAC=120°，作CD⊥AB的延长线于D △ACD是含60°的直角三角形，△BCD是直角三角形 含15°+30°角的三角形 在△ABC中，∠BAC=15°，∠C=30°，作AD⊥BC的延长线于D △ACD是含30°的直角三角形，△ABD是含45°的直角三角形 含60°+75°角的三角形 在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=75°，作CD⊥AB于D △ADC是含60°的直角三角形，△BDC是含45°的直角三角形 其它 如图，作DE⊥AC于E △ADE是含30°的直角三角形 方法技巧06三角形遇二倍角 基础图形 其中∠B=2∠C 操作方法 图示 结论 过A作AD⊥BC于D，在DC上截取DE=BD，连接AE △ABE、△ACE为等腰三角形，AB=AE=EC 以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接AE △ABE、△ACE为等腰三角形， ∠E=∠C 延长CB到D，使BD=AB，连接AD △ABD、△ACD为等腰三角形， △BAD∼△ACD 以C为顶点，CB为一边作∠BCD=∠ACB，交BA的延长线于D △DBC为等腰三角形， △ABC∼△ACD 作∠ABC的角平分线BD，交AC于D △DBC为等腰三角形，△ABC∼△ADB 以点C为顶点，CB为一边，在△ABC外作∠BCD=∠B，交BA的延长线于D △DBC为等腰三角形， 方法技巧07三角形遇绝配角 类型/图示 操作方法 结论 非共顶点共边的绝配角 翻折或延长 △AED、△AEC都是等腰三角形 共顶点共边的绝配角 延长 ∠AOD=∠B0C=β ∠COD=∠B0C=α 【总结】三角形中遇到绝配角（α+2β=180°）时，核心思路是构造等腰三角形，将角度互补关系转化为等角关系，再结合全等或相似三角形，实现线段的等量转化与求解。 方法技巧08倍长中线模型 条件 在△ABC中，AD是△ABC的中线 图示 辅助线作法 延长AD至点E，使AD=DE，连接BE 延长AD至点E，使AD=DE，连接CE 结论 ，AC=BE且AC∥BE ，AB=CE且AB∥CE 方法技巧09截长补短模型 截长法 补短法 题目 在△ABC中AD平分∠BAC，∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD 图示 辅助线作法 在AB上截取AE=AC，连接DE 延长AC到点E，使CD=CE，连接DE 延长AC到点E，使AB=AE，连接DE 结论 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 方法技巧10构造一线三等角/手拉手模型 题目特征 已知等腰Rt△ABC，直线l经过其直角顶点B 图示 解题方法 1)过点A，C分别AD⊥l，CE⊥l 2)根据已知条件可证明 3)从而得到AD=BE，BD=CE 结论 ，AD=BE，BD=CE 类型 构双等边三角形 构双等腰直角三角形 图示 条件 等边△ABC 等腰直角△ABC，∠BAC=90° 方法 作等边△ADE 作等腰直角△ADE，∠DAE=90° 结论 方法技巧11一般四边形 类型 操作说明 图示 结论 邻边相等的四边形 连接对角线（如连接BD） △ABD是等腰三角形 邻角相等的四边形 延长对边（如延长AB、CD交于点E） △EBC是等腰三角形 一个内角为直角的四边形 延长对边（如延长DC、AB交于点E） △ADE是直角三角形 一-组对边平行的四边形 过顶点作平行线（如过A作AE∥DC交BC于E） 四边形AECD是平行四边形 含四边中点的四边形 顺次连接各边中点（连接E,F,G,H） 四边形EFGH是平行四边形 方法技巧12平行四边形 类型 操作说明 图示 结论 平行四边形 连接对角线（连接AC、BD交于点O） OA=OC，OB=OD 作垂线（过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F） △ADE和△BCF均为直角三角形，且DE=CF 平行四边形及对角线 作平行线（过C作CE∥BD交AB的延长线于E） 四边形DBEC为平行四边形 方法技巧13与圆有关的辅助线 类型 条件与辅助线 图示 结论 圆周角 条件：A,B,C在圆上，O为圆心 辅助线：连接OB,OC 条件：AB为直径，C在圆上 辅助线：连接AC,BC ∠ACB=90° 条件：A,B,C,D在圆上，同弧BC 辅助线：连接BD,CD ∠BAC=∠BDC 条件： 辅助线：连接AD ∠BAC=∠CAD 圆周角及劣弧上一点 条件：D是上一点 辅助线：连接AD,CD ∠B+∠ADC=180° 弦（不是直径）及垂直于弦的半径 条件：AB为非直径弦，OC⊥AB 辅助线：连接OA,OB △AOC、△BOC均为直角三角形 弦（不是直径）及过弦端点的半径 条件：AB为非直径弦 辅助线：过圆心O作OC⊥AB △AOC、△BOC均为直角三角形； AC=BC=AB；∠AOC=∠BOC 方法技巧14与切线有关的辅助线 类型 条件+辅助线 图示 结论 切线及切线上一点 条件：直线l与⊙O相切于点A，点P在直线l上 辅助线：连接OA,OP △AOP为直角三角形，OA⊥l 圆与直线求证切线 条件：点A在⊙O上，直线l经过点A 辅助线：连接OA 若OA⊥l，则直线l是⊙O的切线 条件：直线l与⊙O无已知交点 辅助线：过圆心O作OA⊥l于A 若OA=r（半径），则直线l是⊙O的切线 方法技巧15遇正多边形内切圆与外接圆 类型 条件+辅助线 图示 结论 正多边形的内切圆 条件：正多边形有内切圆⊙O，D,E为切点 辅助线：连接圆心O与两切点D,E OD⊥AB，OE⊥AC；若为正三角形，则∠DOE=120° 条件：正多边形有内切圆⊙O，D为切点 辅助线：连接圆心O与顶点B及切点D △BOD是直角三角形 正多边形的外接圆 条件：正多边形有外接圆⊙O 辅助线：连接圆心O与两顶点B,C △BOC是等腰三角形；若为正三角形，则∠BOC=120° 条件：正多边形有外接圆⊙O 辅助线：连接圆心O与顶点B，作边BC的垂线OD △BOD是直角三角形；BD=DC=BC 排雷・易错点清零 易错题型01数轴与绝对值化简易错题 ①化简绝对值时，未判断绝对值内式子的正负；②数轴上点的位置与符号判断错误；③含参数绝对值漏分类讨论。 1．（2026·山东滨州·一模）已知数a，b在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．（2026·重庆·一模）已知，且，则的值为___________． 易错题型02平方根/算术平方根、无理数判定出错 ①混淆平方根与算术平方根的非负性；②误将带根号的数直接判定为无理数；③计算平方根时漏写正负号。 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图为小亮的答卷，他的得分应是（ ） A．10分 B．8分 C．6分 D．4分 2．（2026·陕西榆林·一模）在0，，，，中，无理数有________个． 易错题型03同底数幂、积的乘方、负指数幂记错 ①公式混淆；②负指数幂运算错误；③积的乘方漏给每个因式乘方。 1．（2026·云南文山·一模）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽阜阳·一模）计算：___________． 易错题型04分式有意义、分式值为0条件混淆 ①分式值为0时，只考虑分子为0，忽略分母不为0；②混淆分式有意义与无意义的条件；③含多个分母时漏写限制条件。 1．（2026·甘肃平凉·一模）关于分式，下列说法正确的是（ ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 2．（2026·江苏盐城·一模）若分式有意义，则x应满足的条件是______． 易错题型05分式基本性质变形易错 ①分式变形时，同乘/除的整式未强调不为0；②约分、通分漏考虑分母不为0；③符号变形错误。 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）下列各式从左到右的变形，是分式化简的是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽宣城·一模）下列化简运算不正确的是（ ） A． B． C． D． 易错题型06分式方程漏检验易错题 ①解完分式方程不检验；②未理解增根的产生原因；③解的范围与检验步骤遗漏。 1．（2026·北京平谷·一模）方程的解为____． 2．（2026·福建泉州·一模）已知关于x的分式方程有增根，则m的值________． 易错题型07一元二次方程概念辨析易错 ①忽略二次项系数不为0；②误将一次方程、分式方程判定为一元二次方程；③未整理成一般形式就判断。 1．（21-22九年级上·山东德州·月考）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为______． 易错题型08判别式取值范围忽略隐含条件 ①利用判别式求参数时，忽略二次项系数不为0；②未考虑方程根的实际意义；③多解情况漏写限制条件。 1．（2026·山东德州·一模）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 易错题型09公式法解一元二次方程时公式记错 ①求根公式记错（符号、系数顺序错误）；②代入时未将方程整理为一般形式；③根号下判别式计算错误。 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程： 易错题型10不等式两边同除负数忘记变号 ①系数化为1时，除以负数忘记改变不等号方向；②含参数不等式，未对系数正负分类讨论；③解不等式组时解集取错。 1．（2026·四川泸州·模拟预测）若，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏盐城·一模）已知，要使不等式成立，写出一个符合条件的k的整数值：______． 易错题型11点到坐标轴距离概念混淆 ①点到x轴距离是纵坐标的绝对值，到y轴距离是横坐标的绝对值，易记反；②混淆点到坐标轴与到原点的距离。 1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知点到两条坐标轴的距离相等，则点的坐标为() A．和 B．和 C．和 D．和 2．（2025·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系中，点和之间的最短距离为（ ） A．2 B．3 C．5 D．6 易错题型12点的象限与坐标符号判断易错 ①象限符号记错；②坐标轴上的点不属于任何象限，误判；③含参数点的象限漏分类讨论。 1．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第__________象限． 易错题型13坐标平移、对称变换坐标写错 ①平移时“上加下减、左加右减”搞反；②对称变换（关于x轴、y轴、原点对称）的坐标变化记错；③复合变换顺序错误。 1．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，将沿x轴负方向平移后，得到．若，则点A的对应点C的坐标是_____． 2．（2026·江苏徐州·一模）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 易错题型14自变量取值范围遗漏限制条件 ①函数自变量范围只考虑分式、根式，漏考虑实际意义；②含多个限制条件时，取交集错误；③二次根式被开方数漏写非负性。 1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）函数的自变量x的取值范围是_________________ 易错题型15反比例函数与几何面积综合易错 ①反比例函数k的几何意义误用（未注意象限符号）；②面积与k的关系搞反；③图形分割计算漏情况。 1．（2026·江西上饶·一模）如图，一次函数的图象与x轴交于点C，交y轴于点D（点C与点D不重合），与反比例函数的图象交于，B两点，已知． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是x轴上一点，若的面积是面积的6倍，求点P的坐标． 易错题型16二次函数系数a,b,c符号判断错 ①a的符号由开口方向判断错误；②b的符号与对称轴位置判断错误；③c的符号由与y轴交点判断错误；④组合式（如a+b+c）符号误判。 1．（2026·安徽阜阳·一模）已知二次函数的图象如图所示，对于这个函数有下列四个结论：①；②；③；④．则结论正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·湖北襄阳·一模）二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A．B．C．D． 易错题型17二次函数最值含范围讨论遗漏 ①忽略自变量取值范围，直接用顶点纵坐标作为最值；②区间端点与顶点的大小关系讨论不全；③开口方向判断错误导致最值搞反。 1．（2026·山东聊城·一模）已知二次函数，当时，函数的最大值为4，则m的值为______． 2．（2026·陕西西安·二模）已知二次函数（a为常数），当时，y有最大值，最小值，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 易错题型18动点函数图象拐点、分段分析不全 ①拐点对应的动点位置判断错误；②不同阶段的函数解析式类型（一次/二次）判断错误；③漏写各段自变量的取值范围。 1．（2026·浙江·模拟预测）为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板布置：如图，固定展板（顶点、在直线展台上）与移动展板（顶点、在直线展台上），移动展板可沿平移．设固定展板顶点与移动展板顶点的距离为（单位：）（），两个展板重叠部分的面积为（单位：），关于的函数图像如图所示．下列选项正确的是（ ） A．正方形的对角线长为 B．当时，重叠面积 C．当时，重叠面积 D．函数图像的最高点的坐标为 2．（2026·安徽合肥·一模）如图，中，，，P，Q两点同时从点A出发，均以1个单位每秒的速度分别沿着，运动，则的面积与运动时间x之间的函数图象是（ ） A．B．C．D． 易错题型19等腰三角形分类讨论漏解 ①未指明腰和底，漏分类讨论；②未指明顶角和底角，漏情况；③三边关系验证遗漏，导致无效解。 1．（2026·河南·一模）已知三角形两边长分别为和，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ） A． B． C．或 D． 2（2026·江苏南京·一模）等腰的周长是，腰长，则底边_____． 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）锐角等腰三角形腰上的高与另一个腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角为______． 易错题型20全等/相似三角形判定条件误用 ①全等判定误用SSA、AAA；②相似判定条件混淆；③找错对应边、对应角，导致比例式列错。 1．（2026·河北张家口·一模）如图，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，下列条件不能判定的是（ ） A． B． C． D． 易错题型21特殊四边形综合判定 ①矩形、菱形、正方形的判定条件混淆；②判定定理使用不完整（如只证平行，未证特殊条件）；③反例举错，误判命题真假。 1．（2026·安徽亳州·一模）如图，点D是的边的中点，按下列方法尺规作图：先以点D为角的顶点，以所在射线为角的一边，在的右侧作，然后在射线上截取，最后连接．根据以上条件和作法，下列判断不正确的是（ ） A．若，则四边形是菱形 B．若四边形是菱形，则是直角三角形 C．若，则四边形是矩形 D．若是直角三角形，则四边形是正方形 2．（2026·湖北襄阳·一模）如图，两个含有角且完全相同的三角板和三角板，沿直线滑动，下列说法错误的是（ ） A．四边形是平行四边形 B．当点与点重合时，四边形是菱形 C．四边形不可能是正方形 D．当点为中点时，四边形是矩形 易错题型22直角三角形边角关系陷阱题 ①未指明直角顶点，漏分类讨论；②勾股定理应用时，未分清斜边与直角边；③三角函数定义中对边、邻边混淆。 1．（2026·湖北襄阳·一模）在中，所对的边分别为、、．下列所给数据中，不能判定是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，点、、在边长为1的正方形网格格点上，则下列结论不正确的是（ ） A．是直角三角形 B． C． D． 易错题型23相似三角形与动点问题 ①动点运动过程中相似对应关系不唯一，漏解；②未结合动点的位置限制讨论；③相似比与线段长度计算错误。 1．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，，的顶点A，B分别在射线和射线上，点C与点O在的同侧，D为边的中点，，．若与相似时，则的长_____． 2．（23-24八年级上·四川南充·月考）如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若在某一时刻能使与全等．则点的运动速度为（ ） A． B． C．或 D．或 易错题型24计算菱形的面积 ①混淆菱形面积公式（底×高vs对角线乘积的一半）；②对角线计算错误；③与菱形周长、边长混淆。 1．（2026·四川绵阳·二模）如图，菱形中，，，则菱形的面积是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，四边形是菱形，于，则等于（ ） A． B． C． D． 易错题型25平行线分线段成比例误用 ①未在平行条件下乱用比例式；②线段对应关系找错，导致比例式列反；③混淆平行线分线段成比例定理与相似。 1．（2026·上海黄浦·一模）如图，、是边、上的两点，在下列条件中，能够判定的是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，B，F，C三点共线，与交于点，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 易错题型26相似三角形周长与面积比混淆 ①面积比等于相似比的平方，易直接用相似比；②周长比、对应线段比与相似比的关系记混；③多步相似时比例传递错误。 1．（2026·河北石家庄·一模）如图与是位似图形，位似中心为，，下列结论不正确的有（ ） A．与的相似比为 B． C． D． 2．（2026·内蒙古包头·一模）如图，在点光源O的照射下，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，形成的投影是．若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 易错题型27特殊角三角函数值记忆错误 ①30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值记混；②互余角的三角函数关系误用；③三角函数的增减性记错。 1．（2026·天津·一模）的值等于（ ） A．1 B． C． D．2 2．（2026·河南许昌·一模）若规定，则（ ） A． B． C． D． 易错题型28无图几何题，多解分类讨论不全 ①未根据题意画出所有可能的图形；②漏考虑点的位置、图形的不同构造方式；③多解情况的结果验证遗漏。 1．（2026·辽宁沈阳·一模）在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一点，作点C关于直线的对称点F，点F与点E在直线的同侧．当时，在平面内找点G，使以A，D，F，G为顶点的四边形为平行四边形，则的长为________． 2．（2026·江西吉安·一模）已知点A，B，C分别在从上往下相互平行的直线，，上，与之间的距离是1，与之间的距离是2．若是等腰直角三角形，则它的面积是________． 3．（2026·黑龙江·一模）如图，中，，，，为的中点，为的边上一动点，把翻折得到，若与的直角边平行，则的长为______． 易错题型29弧、弦、圆心角、圆周角关系混淆 ①未强调“同圆或等圆”的前提，乱用关系；②弧、弦、圆心角的对应关系搞错；③圆周角与圆心角的倍数关系漏写。 1．（2026·四川成都·一模）如图，是的直径，点C，D在上，，已知，则（ ） A． B． C． D． 2．（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 易错题型30圆周角定理分类讨论漏解 ①一条弦所对的圆周角有两种情况（同侧/异侧），漏解；②直径所对的圆周角是直角，忽略逆用；③圆周角定理推论应用错误。 1．（2026·河南周口·一模）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，等边的边长为，点在以为圆心，为半径的优弧上，若为“反直角三角形”，则___________． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）是的内接三角形，连接，若，则的度数为___． 3．（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·月考）直线与相切于点B，C是与线段的交点，D是上的动点（点D与B，C不重合），若，则的度数为_____________． 易错题型31弧长、扇形面积公式混淆错用 ①弧长公式与扇形面积公式记混；②圆心角的单位未用弧度导致计算错误；③圆锥侧面积与扇形面积关系混淆。 1．（2026·吉林·一模）如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点恰好落在线段的延长线上，在旋转过程中，点B所经过路径的长度为_____________（结果保留）． 2．（2026·河南·一模）如图，等腰直角三角形中，，，以为直径的切于点A，交于点D，则图中阴影部分的面积为______ 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知扇形的面积为，半径是，则此扇形的圆心角度数为______． 易错题型32阴影部分不规则面积求解易错 ①割补法应用错误；②未正确转化为规则图形的和差；③计算过程中重复或遗漏部分面积。 1．（2026·河南南阳·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为________． 2．（2026·广西柳州·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为___________． 3．（2026·河南驻马店·一模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是________． 易错题型33总体、个体、样本、样本容量概念混淆 ①混淆调查对象的总体与个体；②样本容量带单位；③抽样调查与普查的适用场景判断错误。 1．（2026·湖南株洲·一模）某市为了解40000名初中毕业生的身高情况，随机抽查了其中2000名学生的身高进行统计分析，下列说法正确的是（ ） A．40000名初中毕业生是总体 B．每名初中毕业生是个体 C．2000名学生是样本容量 D．本次调查属于抽样调查 2．（2026·重庆·一模）磁器口古镇为了解游客对特色小吃的喜爱程度，对前来游玩的名游客随机抽取名游客进行调查，下列说法正确的是（ ） A．该调查方式是全面调查 B．样本容量是 C．名游客是总体的一个样本 D．名游客是总体 易错题型34加权平均数权重遗漏计算错误 ①未考虑各数据的权重；②权重计算错误；③算术平均数与加权平均数混淆。 1．（2026·河北石家庄·一模）“这么近，那么美，周末到河北”．某校组织了“古韵今传·最美河北”演讲比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分分．已知嘉嘉的“演讲内容”、“语言表达”、“演讲技巧”三项得分分别是分，分，分，则嘉嘉的最终得分为（ ） A．分 B．分 C．分 D．分 易错题型35条形、折线、扇形统计图信息提取错误 ①扇形统计图圆心角与百分比的关系计算错误；②条形图的刻度看错；③折线图的变化趋势判断错误。 1．（2026·浙江·一模）图1是某品牌手机2025年9到12月四个月的总销量统计图，图2是该品牌的A型号手机销量的分析统计图，下列对该品牌手机2025年9到12月销售情况分析错误的是（ ）． A．该品牌手机9到12月共销售手机500万台 B．10月A型号手机销售了20万台 C．四个月A型号手机的销量逐月增高 D．四个月中12月份A型号手机的销量最高 2．（2026·云南昆明·一模）某学校图书室将要采购一批图书，现以“我最喜欢的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A：科普，B：文学，C：艺术，D：生物科学，E：其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，如图所示，注：该校每位学生被抽到的可能性相等，每位被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的书籍． 则下列说法错误的是（ ） A．此次调查共抽查了100名学生 B．类型B所占百分比为15% C．类型C的人数为24人 D．类型D所对应的扇形的圆心角为56.7° 3．（2026·广东深圳·二模）甲、乙两名同学一周内五次引体向上的测试成绩（单位：个）如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A．乙的成绩的方差比甲的小 B．乙的最好成绩比甲的最好成绩好 C．乙的后三次测试成绩都比甲高 D．该周测试中乙的总成绩与甲的总成绩一样高 易错题型36放回与不放回模型混淆易错 ①概率计算时，放回与不放回的总情况数搞错；②树状图/列表法列举不全；③混淆独立事件与互斥事件。 1．（2026·辽宁铁岭·二模）不透明的袋子中装有红、白小球各2个，小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸到球的颜色不同的概率是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·山西吕梁·一模）从“中国戏曲之乡”到“民间工艺宝库”，山西非遗以最厚重的底蕴，呈现着最生动的传承．小慧将下面四张非遗图片背面朝上放在桌面上（图片背面完全相同），从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则抽到的两张图片恰好是“绛州鼓乐”和“孝义皮影”的概率是（ ） A． B． C． D． 热点・命题风向标 解密题型01实数的性质 实数的性质是中考基础必考内容，常以选择、填空形式考查相反数、倒数、绝对值、数轴与无理数辨识，核心围绕概念辨析、符号判断、运算性质展开，侧重基础应用，难度低但易因概念混淆失分，是必须稳拿的送分考点。 1）相反数：实数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. 2）绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负实数的绝对值是它的相反数，即设a表示一个实数，则. 3）倒数：实数a的倒数是（a≠0），若a与b互为倒数，则ab=1；若ab=1，则a与b互为倒数. 4）要判断一个数是有理数还是无理数，首先看该数是有限小数还是无限小数，再看是循环小数还是不循环小数.分数和整数是有理数，无限不循环小数是无理数.区分有理数和无理数既是一个重要的知识点，也是易错的问题. 1．（2026·山东淄博·一模）下列运算结果为正有理数的是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏徐州·一模）下列说法正确的个数是（ ） ①的相反数是2026；②的绝对值是2026；③的倒数是2026． A．3 B．2 C．1 D．0 解密题型02比较有理数大小 中考常以选择、填空考查有理数大小比较，核心方法有数轴法、作差法、绝对值法，正数大于0、0大于负数，两负数比较时绝对值大的反而小，题型基础、思路直接，是必拿分考点。 比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a，b，若a＞b；对任意负实数a，b，若a＜b. 1．（2026·四川南充·一模）在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示，其中凝固点最低的物质是__________． 物质 铝 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 660 2．（2026·安徽阜阳·一模）比较大小：______． 3．（2025·江苏宿迁·二模）通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 【阅读材料】例如，比较与的大小． 解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）． （构造图形）， （三角形任意两边之和大于第三边）． ，，（勾股定理），． 【问题解决】（1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）； A．类比思想B．整体思想C．分类讨论思想D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由； 【拓展探究】（3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________． （要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形） 解密题型03科学记数法 科学记数法是中考高频基础考点，主要考查大数与小数的表示形式，关键在于确定a×10n中a的范围与指数n的取值，题型简单、计算直接，属于易得分基础题型。 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法：①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧： 1．（2026·浙江杭州·一模）2026年4月，国际能源署（）发布报告指出，全球数据中心的年度总耗电量已突破950000000000千瓦时，将数950000000000用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 2．（2026·河南周口·一模）据悉，某国产高端单台服务器搭载的自研芯片，每秒可以完成亿次浮点运算，能支撑超大规模工业仿真计算．数据亿用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·山东济宁·一模）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为______秒． 解密题型04实数的混合运算 实数混合运算为中考必考计算题，核心考查零指数、负指数、绝对值、根式与三角函数的综合计算，按运算顺序逐步化简即可，注重步骤规范与符号判断。 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 在计算中常用的锐角三角函数值： 三角函数 30° 45° 60° sinα cosα tanα 1 1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）计算：． 2．（2026·广东深圳·一模）计算：． 解密题型05整式的化简求值 整式化简求值是中考常考解答题，先利用公式与运算法则化简，再代入数值计算，步骤规范、思路固定，是典型的基础得分题型。 整式化简求值一般分两步，先化简，然后代入求值，其中化简是解决问题的关键.整式的化简应遵循先乘方，再乘除，最后加减的顺序，能运用乘法公式的运用公式.未直接给出字母的取值时，考虑整体代入. 1．（2026·广东阳江·一模）已知，则代数式的值为______． 2．（2026·江苏徐州·一模）已知且，则_____． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，求代数式的值． 解密题型06因式分解 因式分解是中考基础必考内容，常结合分式运算考查，核心掌握提公因式法与公式法，遵循“一提二套三检查”步骤，是代数运算的重要基础。 1．（2026·重庆·一模）下列因式分解正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·三模）因式分解：___________． 解密题型07解方程（组）/不等式（组） 解方程（组）与不等式（组）是中考必考基础题，侧重步骤规范与解集表示，方程组用代入或加减消元，不等式注意变号问题，属于必拿满分题型。 解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 1．（2026·江苏扬州·一模）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 2．（2026·江苏南京·模拟预测）解方程（组） (1)解方程：；(2)解方程组． 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程： 解密题型08解方程（组）/不等式（组）的含参问题 解方程（组）/不等式（组）含参问题是中考中档热点，先按常规方法求解再结合解集、整数解、交点等条件列不等式，关键注意分类讨论与不等号方向，侧重逻辑严谨性。 1．（2025·四川绵阳·三模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是_______________． 2．（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为_____． 3．（2025·四川眉山·一模）已知是方程的两个根，则的值为_____． 4．（2026·山东日照·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 5．（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____． 6．（2026·黑龙江·一模）若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为______． 解密题型09解方程（组）/不等式（组）与实际问题 解方程（组）/不等式（组）与实际问题是中考必考应用题，关键是找准等量或不等关系列方程（组）、不等式（组）求解，注意检验结果是否符合实际意义，侧重建模与应用能力。 1．（2026·江苏连云港·一模）某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． (1)若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____； (2)设小明接温水的时间为， ①若最终杯子中水的温度是，求的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围． 2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）某商店销售、两种水果．水果标价14元/千克，水果标价18元/千克． (1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了、两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ (2)妈妈让小明再到这家商店买、两种水果，要求水果比水果多买1千克．小明到这家商店后，发现、两种水果正在进行优惠活动：水果打七五折：一次购买水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的75%出售．）若小明合计付款48元，求小明买水果多少千克？ 3．（2026·湖南娄底·一模）2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 3．（2026·重庆·模拟预测）2026年3月28日和3月29日，中国摩托车品牌“张雪机车”在2026年世界超级摩托车锦标赛（）中实现两回合夺冠，这是中国摩托车品牌首次在顶级赛事中夺冠．张雪机车的崛起对整个摩托车行业产生了积极的影响．某经销商计划购进甲、乙两种型号的摩托车进行销售． (1)若购进甲型摩托车3台，乙型摩托车2台，共耗资21万元；若购进甲型摩托车2台，乙型摩托车5台，共耗资25万元．求甲、乙两种型号摩托车的进价各是多少万元？ (2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的摩托车各投入40万元分别进行采购，因技术升级，甲型摩托车的进价每台降低10a万元，乙型摩托车的进价每台降低8a万元．则所购甲型摩托车的数量是所购乙型摩托车的数量的，求a的值． 4．（2026·广东深圳·二模）综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 (1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 解密题型10一次函数的性质 一次函数的性质是中考高频考点，重点考查k、b对图像位置与增减性的影响，结合图像判断取值范围，侧重数形结合与性质应用。 正比例函数和一次函数的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的符号有关，与b的符号无关.当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小. 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点都在直线上，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·四川德阳·模拟预测）一次函数，已知当时，函数的最大值为0，则等于（ ） A． B． C．2 D．4 3．（2026·贵州遵义·一模）已知一次函数（k为常数，且），如果函数值y随着自变量x的增大而减小，那么在平面直角坐标系中，这个函数的图象经过（ ） A．第一、三、四象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限 4．（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值始终有，则m的取值范围是_________． 解密题型11反比例函数的性质 反比例函数的性质是中考常考内容，重点考查k的几何意义、图像所在象限与增减性，注意在每个象限内讨论单调性，常结合面积、交点综合命题。 1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）若点、、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且，则的取值范围是______． 2．（2026·安徽芜湖·一模）数轴上点表示数为，若反比例函数的图象在第二、四象限，则关于点位置描述一定正确的是（　　） A．一定在原点左侧 B．一定在原点右侧 C．一定在1的左侧 D．一定在1的右侧 3．（2026·河南驻马店·一模）关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A．图象在第一、三象限 B．图象与轴有一个交点 C．当时，随的增大而减小 D．如果点和点均在该函数的图象上，那么 解密题型12二次函数的性质 二次函数的性质是中考核心考点，重点考查开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性及最值，常结合图像与代数综合考查，侧重数形结合与综合分析能力。 1．（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线图象上有两点、，当时，有；当时，最小值是8．则的值为（ ） A． B． C．1或 D．或 2．（2026·陕西汉中·一模）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … 0 1 … y … … 下列关于该二次函数的结论正确的是（ ） A．图象的开口向上 B．对称轴为直线 C．有最大值 D．图象与x轴有两个交点 3．（2026·江苏盐城·模拟预测）二次函数的图象与一次函数的图象至少有一个交点，则实数的取值范围是________． 解密题型13反比例系数k的几何意义 反比例系数k的几何意义是中考高频考点，核心为双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积为∣k∣、三角形面积为2/∣k∣，常与面积、坐标结合考查。 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接，，．若，则的值为________． 2．（2026·安徽合肥·一模）如图，为坐标原点，点在坐标轴上，四边形是矩形，且点在函数的图象上，边与函数的图象分别交于点． （1）与的面积之和为______； （2）若为直角三角形，则该三角形的直角顶点的横坐标为______． 3．（2026·陕西西安·二模）如图，平面直角坐标系的原点O是菱形的中心，经过B、D两点的反比例函数解析式．若，，则经过两点的反比例函数解析式是_________． 解密题型14二次函数图像与各项系数的关系 二次函数图像与各项系数的关系是中考必考重难点，由a、b、c及判别式判断开口、对称轴、与坐标轴交点等，侧重数形结合与符号推理。 1．（2026·江苏宿迁·一模）如图，抛物线的对称轴是直线，其中抛物线图像与x轴负半轴交点横坐标，则以下五个结论中，正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·陕西宝鸡·一模）已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴为直线，有下列五个结论：①；②；③若点，是抛物线上的三点，则；④，是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标，若，则；⑤．其中正确的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 解密题型15一次函数与实际问题 一次函数与实际问题是中考数学的高频中档应用题，以成本、行程、方案选择、分段收费等生活情境为载体，考查从实际问题中抽象出一次函数模型的能力，核心是利用函数的增减性、定义域及与不等式的结合，解决最值、最优方案与实际取值范围问题，侧重建模思想与实际应用检验。 1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元． (1)求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？ 2．（2026·黑龙江绥化·二模）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．端午节前夕，某超市打算购进甲、乙两种畅销的粽子，已知购进2箱甲种粽子和1箱乙种粽子需用128元；购进1箱甲种粽子和4箱乙种粽子需用176元． (1)求甲种粽子每箱的进价和乙种粽子每箱的进价各是多少元； (2)超市计划用不超过7680元的资金购进甲、乙两种粽子共200箱，其中甲种粽子的数量不低于乙种粽子数量的，则超市共有几种购进方案？当购进两种粽子各多少箱时，所需资金最少？最少资金是多少元？ (3)该超市租用大、小两辆货车运输粽子，两车同时出发，途经休息区时大货车休息1小时后加速行驶，而小货车没有休息继续原速行驶，结果大货车比小货车早到达超市0.5小时，大、小两车离出发地的路程（单位：千米）与小货车出发的时间（单位：小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： ①大货车休息前的速度为__________千米∕时；小货车的速度为__________千米∕时； ②请直接写出小货车出发多少小时两车相距30千米． 解密题型16二次函数与实际问题 二次函数与实际问题是中考必考解答题，常以利润最值、抛物线拱桥、抛射物体、几何面积等为背景，考查建立二次函数模型的能力，核心是利用开口方向、顶点坐标求最值，并结合自变量实际范围确定合理结果，侧重数学建模与数形结合应用。 1．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长． (3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）某林区消防大队利用无人机进行消防演练，无人机升空后在点C所在高度水平匀速飞行，到达指定位置A时，空投一枚模拟灭火干粉罐．干粉罐灭火弹离开无人机后，在空中做平抛运动，轨迹为一段抛物线，如图所示，空投点A即为抛物线的最高点．若无人机程序设计空投点坐标，投放目标点坐标． (1)求抛物线的函数关系式； (2)如果在距离空投点A水平距离20米处有一棵高10米的树木．请通过计算判断干粉罐是否会撞到树木；如果干粉罐会碰到树木，保持无人机原有速度不变（即平抛运动轨迹抛物线形状不变）且水平位置不变，仅调整无人机空投点高度，求调整后空投点的高度至少为多少米时，干粉罐才能避开树木（结果保留整数） 3．（2026·安徽阜阳·模拟预测）综合与实践 【项目背景】点茶是中国古代的一种沏茶方法，始于唐，盛于宋，是宋代斗茶与文人雅士日常品饮的核心沏茶技艺，其中“分茶”更是将沏茶升华为兼具实用性与观赏性的艺术．茶艺师复刻“分茶”技艺时，倒茶的水流轨迹、茶壶壶嘴造型、茶碗的移动与承接，看似是行云流水的技艺展现，实则暗藏着丰富的数学规律． 【项目准备】模型抽象：在一次茶会上，我们将茶艺师表演“分茶”技艺时倒茶的情景抽象为如图所示的数学模型．已知茶壶壶嘴由线段与曲线组成，壶口为点C，曲线与茶水轨迹在同一条抛物线上；点B、C所在直线与x轴（桌面）平行，茶碗边沿点E与壶口C的连线垂直于x轴． 核心条件： ①，； ②壶柄与竖直方向夹角为，，线段AB与壶柄平行； ③茶碗的底面直径为，碗口直径为，高度为，茶碗的侧内壁剖面图可以抽象为二次函数的部分图象，茶碗底部中心初始坐标为，茶碗碗口中心F与底部中心的连线垂直于桌面； ④当点A相对桌面的高度时，点A的横坐标为0，抛物线水流恰好经过F点，且抛物线的顶点在线段的垂直平分线上． 【项目任务】 (1)任务一：求曲线BC所在抛物线的解析式； (2)任务二：点茶时，前期调膏要低注慢淋，避免冲散茶末，因此要求茶艺师在前期注水时水流距离茶碗壁的竖直高度不得超过．判断此次倒茶过程中，水流距离茶碗壁的竖直高度是否符合要求； (3)任务三：若为了节目效果，茶碗盛水后会匀速上浮，上浮速度为，同时沿x轴正方向以的速度平移．茶艺师手持茶壶竖直向上平移（横坐标不变），平移高度为，平移后茶水轨迹为原抛物线竖直平移后的图形．设茶碗移动时间为，当茶水轨迹经过茶碗上沿点E处时，分茶效果最佳，因此要求茶水落点始终在茶碗边沿E，求h与t的函数关系式，并求出当时，点A距离桌面的高度． 解密题型17函数与图形变换问题 函数与图形变换问题是中考常考中档综合题，以平移、对称、旋转、位似为背景，考查函数图像变换后解析式的变化规律，核心是抓住关键点坐标变换，再用待定系数法求新函数解析式，侧重数形结合与空间想象能力。 1．（2026·四川绵阳·一模）如图，已知锐角的边的长为，面积为，，点在上，点在上，四边形为正方形（与在的异侧），其边长为，正方形与的公共面积为． (1)当正方形的边恰好落在上时，求边长． (2)当不落在上时，求关于的函数关系式以及自变量的取值范围．（可以将图形画在备用的图形中） (3)求的最大值． 2．（2026·山东济南·一模）将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系中，含角的三角板的直角边落在轴上，，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将三角板绕点顺时针旋转至， ①如图1，点为三角板边上一点，旋转后点的对应点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标； ②如图2，若将三角板绕点顺时针旋转至，使点落在边上，请判断点旋转后的对应点是否在反比例函数图象上，并说明理由． 3．（2026·广东惠州·一模）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，若点为第四象限抛物线上一动点，过点作轴，轴分别交直线于点，，求的最大值； (3)如图3，将二次函数的图象沿轴向上翻折形成图象，将直线向上平移个单位长度得到直线，若与图象有两个交点，直接写出的取值范围． 解密题型18函数与图形面积问题 函数与图形面积问题是中考高频中档压轴题，以一次、反比例、二次函数图像为载体，考查图像与坐标轴、直线围成图形的面积计算，核心是利用坐标法、割补法、铅垂高公式及反比例函数k的几何意义求解，常结合交点坐标、最值问题综合考查，侧重数形结合与转化思想。 1．（2026·广东中山·模拟预测）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？ (1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． (2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论． (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． 2．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集 (3)设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值． 解密题型19函数与特殊三角形存在性问题 函数与特殊三角形存在性问题是中考几何压轴高频考点，以函数图像为背景，结合等腰三角形、直角三角形、等边三角形等判定条件，核心是分类讨论+坐标运算+勾股定理/距离公式，通过设点坐标列方程求解，侧重数形结合、分类思想与代数几何综合能力。 1．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由： (4)在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式； (2)在线段上是否存在一点M，使和相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值； (3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解密题型20函数与特殊四边形存在性问题 函数与特殊四边形存在性问题是中考压轴高频考点，以函数图像为载体，考查平行四边形、菱形、矩形、正方形的存在性判定，核心是利用对边平行且相等、对角线互相平分/垂直/相等等性质，结合坐标平移、中点公式、距离公式列方程求解，关键是按顶点顺序或边/对角线分类讨论，侧重数形结合、分类思想与代数几何综合运算能力。 1．（2026·陕西·一模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，点为抛物线上一动点（不与点重合），图中虚线是抛物线的对称轴． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3（25-26九年级上·河南开封·月考）如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点B，与反比例函数相交于点． (1)求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)若点P是反比例函数图象上的一点且在点C下方，连接并延长，交x轴正半轴于点D，若时，求的面积； (3)在（2）的条件下，若M为一次函数的图象上一点，是否存在平面内一点N，使得以B，P，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点M的横坐标，若不存在，请说明理由． 解密题型21函数与特殊角存在性问题 函数与特殊角存在性问题是中考几何压轴难点题型，常以一次、二次函数为背景，围绕45°、60°、90°、135°等特殊角展开探究，核心是利用三角函数、相似三角形、斜率关系、构造直角三角形转化角度条件，结合坐标列方程求解，侧重分类讨论、数形结合与角度转化能力。 1．（2026·黑龙江·一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级下·江苏常州·月考）如图，已知二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点的横坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解密题型22整点问题 整点问题是中考函数与几何中小压轴常见题型，主要考查平面直角坐标系内横、纵坐标均为整数的点。常结合一次函数、二次函数、反比例函数及几何图形出现，核心方法是枚举取值、分类讨论、利用不等式确定范围，侧重有序枚举与严谨筛选，避免漏解或多解。 1．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一点，且．现连接，，，，若四边形所围成的封闭区域内（不含边界）有6个整点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称． (1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 解密题型23正方形展开图 正方体展开图是中考基础几何必考点，主要考查11种标准展开图的识别、折叠还原及相对面判断，核心是通过“一四一、一三二、三三、二二二”四种模型快速判断，侧重空间想象与面的对应关系。 由正方体平面展开图的特点可知，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形或位于“Z”字形的两端，且没有公共边和公共顶点，即“对面无邻点”. 1．（2026·河南周口·二模）新情境河南南阳拥有南北过渡、东西交融的独特地理位置，素有“中国玉雕之乡”的美誉，一个不透明的正方体的六个面上分别写着“中”“国”“玉”“雕”“之”“乡”六个汉字，如图是我们能看到的三种情况，那么“中”的对面汉字是（ ） A．国 B．玉 C．雕 D．乡 2．（2026·河南·一模）如图是一个正方体纸盒的展开图，若正方体相对面上的两个数字互为相反数；则的值为（ ） A． B． C．3 D．6 3．（2026·河北保定·模拟预测）将如图1所示的正方体按如图2所示的方式展开，则在展开图中表示棱的线段可以是（ ） A． B． C． D． 解密题型24三角形内角和与外角和综合 三角形内角和与外角和综合是中考几何基础必考题型，核心围绕三角形内角和180°、外角等于不相邻两内角和、外角和360°展开，常结合角平分线、平行线、折叠问题进行角度计算与推理，侧重角度转化与简单逻辑证明。 1．（2026·福建三明·一模）将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，点D在边上，保持点D位置不动，将绕点D旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·广西南宁·二模）如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁营口·一模）如图，中，与分别是和的平分线，相交于点，于点，于点，，相交于点，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 解密题型25三角形中位线 三角形中位线是中考几何基础常考点，核心定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，常用于求线段长度、证明平行关系、判断中点四边形，侧重等量转化与简单几何推理。 1．（2026·四川达州·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，则的长为__________． 解密题型26半角模型 半角模型（角含半角模型）是初中几何压轴必考模型，核心是共顶点、大角含半角、邻边相等，通过旋转构造全等，解决线段和差、角度、周长、面积问题。 1．（2026·江苏盐城·一模）主题式学习：实验初中九年级某学习小组围绕“半角”问题开展主题学习活动． 如图1，E、F分别为正方形的边上的动点，连接，且满足． (1)【常规探究】在图1中，线段之间的数量关系为____． (2)【变式思考】如图（2），正方形的边长为6，点E为边上的点，连接，取的中点G，F为边上的点，且，若，求的长． (3)【拓展应用】如图（3），点E，F为正方形的边所在直线上的动点，点E在点F的左侧，且满足，求的最大值，请直接写出结果． 2．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）【建立模型】如图1，正方形的边长为6，点E，F分别在边，上，，将绕点A逆时针旋转，得到． （1）求证：； 【模型应用】（2）当时，①____________； ②求的长． 【模型拓展】（3）如图，等腰直角三角形中，，，点M，N在边上，且，若，，求的长． 3．（2025·甘肃天水·一模）【模型建立】 （1）如图1，四边形是正方形，点N，M分别在，边上，且，连接，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，四边形是正方形，点N，M分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（3）如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边，上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 解密题型27一线三等角模型 一线三等角是中考几何高频相似模型，尤其在函数与几何综合题里必考，用来快速证相似、列比例。 1．（2025·山东济南·三模）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，已知，则的长度为（ ） A．16 B．12 C．8 D．4 2．（2025·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，当直角三角板的直角顶点落在处时，锐角顶点、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在一点，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 解密题型28手拉手模型 手拉手模型是中考几何全等、相似核心模型，以共顶点、等线段为特征，通过旋转构造全等或相似三角形，核心是证拉手线段相等、夹角相等，常结合等腰、等边、正方形考查线段、角度及面积问题，突出旋转转化思想。 1．（2026·河南周口·一模）综合探究 (1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； (2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； (3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 2．（2026·广东深圳·一模）如图1为正方形和正方形，连接． (1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； (3)[应用]：在（2）问的情况下，连接（点在上方），若，且，，求的长． 3．（2026·江苏宿迁·一模）按要求解答问题： (1)【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明． (2)【迁移应用】如图，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接． ①如图，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段和始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________； ②把绕着点A逆时针方向旋转到如图所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长． (3)【创新应用】如图：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 解密题型29利用平行四边形的性质与判定求解 利用平行四边形的性质与判定求解，是中考基础几何必考题型，核心是用对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质求边长、角度与线段长度，再结合判定定理证明四边形为平行四边形，侧重等量代换与简单逻辑推理。 1．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，D是上一点，过点D作交于点E，交于点F．若，，则四边形的面积为______． 2．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，在中，，是的中点，过点，分别作，．若，，则四边形的面积是（ ） A．20 B．22 C．24 D．48 3．（2026·安徽芜湖·一模）如图，菱形的对角线相交于点，，点，分别是边，的中点，连接，则的值为（ ） A． B． C．2 D． 解密题型30利用特殊四边形的性质与判定求解 利用特殊四边形性质与判定求解，是中考几何核心必考题型，围绕矩形、菱形、正方形的边角与对角线特征，先判定图形类型，再用其特有性质计算边长、角度、对角线长度，常结合全等、相似、勾股定理综合考查，侧重性质辨析与几何推理。 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知在菱形中，，则四边形的面积与菱形的面积的比值为（ ） A． B． C． D． 2．（2026·甘肃平凉·一模）如图，在平行四边形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点F，然后分别以点，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点E，若，则的长为（ ） A． B． C．5 D．10 3．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，测得A、C两点之间的距离为，B、D两点之间的距离为，则这两张纸条的宽为（ ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，，是直角且，其中，，则的长度为（ ） A． B． C． D． 解密题型31折叠问题 折叠问题是中考几何高频常考题型，核心是折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，折痕为对称轴；常结合勾股定理、相似、特殊四边形设未知数列方程求解，侧重转化思想与方程思想。 1．（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·河南南阳·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．则的值是（ ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南通·一模）如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴、y轴上，连接，将矩形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置，若，则点D的横坐标是______． 解密题型32中点四边形 中点四边形是中考几何基础常考结论题，核心是：任意四边形各边中点顺次连接所得四边形一定是平行四边形；原四边形对角线相等则为菱形，对角线互相垂直则为矩形，既相等又垂直则为正方形，侧重快速判断形状与性质应用。 1）顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形. 2）中点四边形的周长等于原四边形对角线之和. 3）中点四边形的面积等于原四边形面积的一半. 4）顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 5）顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 6）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形. 7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形. 速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正. 1．（2026·广西南宁·一模）如图，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，则可使四边形是菱形的条件是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 勤思小组关于“中点四边形”的研究报告 研究对象：中点四边形 研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明． 研究过程： 【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是中点四边形． 【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质： （1）如图2，连接，，分别为，的中点， ，（依据1）， 同理可得，， ，，∴四边形是平行四边形（依据2）． 同时可得，连接，同理可得， ． 性质1：中点四边形是平行四边形． 性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和． （2）进一步研究发现： 性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半． 勤思小组证明过程如下： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，， ，， …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：_____． 依据2是指：_____． (2)依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程． (3)如图4，在中，，，，分别以，为边向外侧作等边和等边，连接，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为_____． 解密题型33多边形及内角和 多边形及内角和是中考基础必考知识点，核心公式为n边形内角和=(n−2)×180°，外角和恒为360°；常考查边数计算、内角度数、正多边形边长与对角线，侧重公式直接应用与简单角度推理。 1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图是一个由正方形和菱形构成的对称环状图案，其外轮廓为一个正八边形，下列判断正确的是（ ） A．该正八边形的每个内角为 B．该正八边形的对角线共有条 C．该环状图案的对称轴有条 D．该正八边形的每个外角为 2．（2026·山西太原·一模）跳棋是一种老少皆宜、流传广泛的游戏．如图，跳棋的棋盘是由一个正六边形以及六个等边三角形组成．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若点的横坐标为1，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南岳阳·一模）苯环是由6个碳原子组成的环状结构，外形是一个完美的正六边形．如图，与分别为正六边形的两条对角线，则__________． 解密题型34十字架模型 十字架模型是中考几何高频压轴模型，集中于正方形、矩形两类特殊四边形，核心是垂等互推（正方形）与垂比固定（矩形），常结合全等、相似、勾股定理综合考查，侧重几何构造与比例推理。 1．（2026·江苏南通·一模）平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题． 【尝试解决】 如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且． (1)过点D作交边于点G，则，的数量关系是． (2)在（1）的基础上，求证：． (3)【类比应用】 如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长． (4)【拓展提升】 如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值． 2．（2026·四川南充·一模）如图，O为正方形内一点，连接并延长交边于E，过点O的直线与边分别交于F，G． (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，将所在直线绕点O顺时针旋转使得，若，，求的长． 3．（2026·安徽阜阳·一模）菱形中，，为边，上的点，，相交于点． (1)如图，若，，求证：； (2)如图，若．试探究此时和满足什么关系？并证明你的结论； (3)如图，在（）的条件下，平移线段到，使为的中点，连接交于点，若，求的值． 解密题型35垂径定理 垂径定理是圆的核心基础考点，核心是垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧；常结合勾股定理构造直角三角形求弦长、半径、弦心距，侧重知二推一的简单推理与计算。 1．（2026·陕西咸阳·二模）桥洞是拱桥桥梁下方的孔洞结构，是桥梁工程的重要组成部分，如图所示，桥洞可看作是一段圆弧，桥洞下方水面为6米，拱顶到水面的距离为9米，则桥洞的半径为（ ） A．米 B．米 C．米 D．5米 2．（24-25九年级上·甘肃定西·期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A．4cm B． C． D． 解密题型36圆周角定理 圆周角定理是圆的基础必考点，核心为同弧所对圆周角等于圆心角的一半，同弧或等弧所对圆周角相等；常结合直径所对圆周角为直角、圆内接四边形对角互补进行角度计算与证明，侧重倒角推理。 1．（2026·江苏扬州·一模）如图，A、B、C是圆O上的三点，已知，那么的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏连云港·一模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，过、、三点的圆与网格线交于点，则的值为（ ）． A． B． C． D．3 解密题型37圆内接四边形 圆内接四边形是圆的高频考点，核心性质为对角互补，且外角等于内对角；常与圆周角定理结合进行角度推导，多用于几何证明与计算，是圆综合题里关键的倒角依据。 1．（2026·山东淄博·一模）如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（ ） A．55° B．65° C．70° D．78° 2．（2026·重庆巴南·一模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 解密题型38切线的判定 切线的判定是中考圆综合核心考点，核心思路为有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径；常结合等腰、全等、圆周角定理推导垂直关系，是圆证明题中最常用的关键步骤。 1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）如图，已知是的直径，点F在上，点C为延长线上一点，，垂足为E，平分，，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 2．（2026·湖北随州·一模）如图，已知中，，O是底边边的中点，腰与相切于点D，分别交底边于F、G两点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求优弧的长． 解密题型29切线长定理 切线长定理是圆的高频考点，核心是从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角；常结合直角三角形、内切圆进行边长与角度计算，侧重快速转化等量关系。 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 3．（2026·河南周口·模拟预测）嵩岳寺塔位于登封市嵩山南麓，初建于北魏正光四年（523年），是中国现存最古老的底座近似圆形的砖塔．为了保护嵩岳寺塔，计划围上圆形的围栏．因受测量工具限制，小峰想了这样的方法来测量：把圆形区域与直尺相切于点，再相切于点，两条切线交于点．测得，若米，则圆形围栏的周长为______米．（结果保留根号和） 解密题型40正多边形与圆 正多边形与圆是中考基础考点，核心是将正多边形转化为中心角、边长、边心距、半径构成的直角三角形，利用勾股定理与三角函数求解；常考查周长、面积及角度计算，侧重图形分解与基本运算。 1．（2026·山东枣庄·一模）如图，，，，为一个正多边形的顶点，点为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形的边数为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2026·山西长治·一模）如图，在正六边形中，连接，交于点O，以点O为圆心，的长为半径作，与正六边形交于点D．若正六边形的边长为，则的长为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·河北廊坊·一模）如图，O为正六边形内部（不含边界）的任意一点，边的延长线交于点G，若，，用含a，b的代数式表示的面积为_________． 4．（2026·广东东莞·一模）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美、如图，正方形的边长为1，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形，已知，作四边形的外接圆，则此外接圆的半径为__________． 解密题型41圆与三角形综合 圆与三角形综合是中考几何压轴核心题型，常结合垂径定理、圆周角、切线、内心外心等知识点，通过倒角证垂直、用相似与勾股定理列方程求解，侧重几何推理与计算结合。 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知内接于，圆心O在的内部，于点D，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点G为的中点，连接，过点C作于点F，交于点E，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点H，连接，若平分，，，求的面积． 2．（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，与相切于点（点和在直线同侧），交于点，延长交于点，连接和交于点，连接． (1)证明：； (2)①证明：平分； ②连接，若，，，求的长． 3（2026·陕西西安·一模）问题提出 (1)如图①，在中，，，求面积的最大值______． 问题探究 (2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值； 问题解决 (3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值． 解密题型42圆与四边形综合 圆与四边形综合是中考圆综合常考题型，以圆内接四边形、切线与特殊四边形为载体，利用对角互补、圆周角、切线性质进行倒角与等量转化，结合勾股、相似求解边长与面积，侧重图形性质融合与逻辑推理。 1．（2026·广东江门·一模）如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连接，． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，连接，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)当点P是的中点时，．若点Q是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连接．当与的一个内角相等时，请直接写出所有满足条件的的长． 2．（2025·湖南郴州·二模）如图1，是的外接圆，是的直径，点是上一点，连接交于点，过点作，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，连接， ①若，，求的长度； ②如图3，若点是的中点，过点作交的延长线于点， 求证：． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）【阅读】若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点如图，在中，如果三角形内部有一点满足，则的值最小理由如下：将绕点A逆时针旋转至，连结． ． ，，． 是等边三角形． ，． ． ，． 点，，，四点在同一条直线上此时，的值最小． 【应用】（1）如图一所示，点是内一点，且点是的费马点，已知，，，求的长． （2）如图二所示，分别以锐角的边，向三角形外部作等边，等边，连结，交于点，求证：点为的费马点． 【拓展】（3）如图三，圆内接矩形内有一点，于点，已知，且的最小值是，求的半径． 解密题型43阿氏圆模型 阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是中考几何压轴的高频模型，专门解决圆上动点P求PA+k・PB(0<k<1)最小值的问题。核心是构造母子相似，将带系数的线段转化为普通线段，再用两点之间线段最短求解。 1．（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； (2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 2．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 解密题型44圆的综合问题 圆的综合是中考几何核心压轴题，常以切线、圆周角、垂径定理为基础，结合三角形、四边形、相似、勾股定理与动点最值模型；主要考查切线判定、角度推导、线段计算与最值问题，侧重逻辑推理、方程思想与模型识别能力。 1．（2026·陕西西安·三模）解答下面各题 (1)如图①，已知，，则的度数为______． (2)如图②，已知，且，求证； (3)如图③五边形为冬奥会花样滑冰场馆设计初稿．下方四边形为比赛场地，上方为候场区及观众席区，其中，，；射线为场馆外围围栏，．线段为场馆入口，且、、、四点共线．冬奥会吉祥物蒂娜（点）在场馆内沿线段进行表演，吉祥物米洛（点）在场馆外沿射线进行表演，并且满足．其中为观众席区域，点为幸运观众与吉祥物互动位置，为使观看和互动效果最佳，要在线段上且，为容纳更多观众，请问是否存在点使得面积最大；若存在，请求出观众席的最大面积． 2．（2025·海南海口·二模）如图1，在中，，点M，N分别为边，的中点，连接． 【初步尝试】（1）与的数量关系是________，与的位置关系是________． 【特例研讨】（2）如图2，若，，先将绕点B顺时针旋转（为锐角），得到，当点A，E，F在同一直线上时，与相交于点D，连接，． ①猜想的形状并证明； ②求出的长． 【深入探究】（3）若，将绕点B顺时针旋转，得到，连接，．当旋转角满足，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，直接写出你的结论． 解密题型45利用平移、轴对称、旋转的性质求解 这类题以平移、轴对称、旋转的不变性为核心，抓住对应边相等、对应角相等、对应点连线的特殊规律，常与线段最值、角度推导、线段和差结合考查；解题关键是利用变换转化线段与角，化分散为集中，再结合勾股、相似、三角形三边关系求解，侧重几何直观与转化思想。 1．（2025·广东深圳·三模）如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的，已知，则平移的距离为（ ） A．1 B．3 C． D． 2．（2025·广东佛山·三模）如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·一模）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，，分别是底边，的中点，，下列推断错误的是（ ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽合肥·一模）如图，将沿折痕折叠，使点C落在边上的点E处，的周长等于，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（2026·天津北辰·一模）如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E，连接，若点C，A，D在一条直线上，下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 解密题型46相似三角形的实际应用 相似三角形实际应用是中考高频考题，核心利用平行投影、镜面反射、标杆测量等构造相似，通过对应边成比例列式求解；常考测量物体高度、河宽等问题，侧重建模思想与简单比例计算。 1．（2026·河北石家庄·一模）如图是某校实验室中“小孔成像”的演示装置，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为，．若长为，则长为（ ） A．cm B．cm C．10cm D．cm 2．（2026·安徽滁州·一模）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________． 3．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，马路两侧有高度相同灯杆，当小明站在两灯杆之间的点N处时，在灯C的照射下小明的影长为，在灯A的照射下小明的影长为．测得两路灯间距离米，小明身高米，米，米，求灯杆的高度． 4．（2026·宁夏固原·一模）综合与实践 【活动主题】：测量学校旗杆的高度． 【活动目的】：利用相似三角形知识解决实际问题． 【测量工具】：标杆，小镜子，皮尺等． 【方案设计】 方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的李彤的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 王慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得王慧的眼睛距离地面的高度为米，王慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为米 袁超在他前面立一根标杆，当他的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时．小组同学测得标杆高为米，袁超的眼睛距离地面的高度为米，他与旗杆之间的距离为米． 【问题解决】根据上面的活动报告，解答下列问题： (1)利用方案测得旗杆的高度为_____米； (2)请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)袁超在利用方案计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 解密题型47解直角三角形的应用 解直角三角形的应用是中考必考大题，核心是把仰角、俯角、坡度、方位角、坝体、塔高、测距等实际问题，转化为直角三角形模型；利用勾股定理和三角函数列方程求解，侧重构造直角三角形、准确识图与计算。 1．（2026·山东淄博·一模）综合与实践．在数学活动课中，老师组织同学们分小组测量学校旗杆的高度（学校旗杆底部有基座，经测量，基座高于运动场水平面米）确定以下两种测量方案． 课题 测量学校旗杆高度 成员 组长：××组员：×××，×××，××× 测量方案 标杆方案 测角仪方案 测量示意图 卷尺、标杆 卷尺、可调节支架的测角仪 实施过程 ①选取运动场与旗杆相距一定距离的处； ②在处站直看旗杆顶，调整标杆位置，使标杆顶点与旗杆顶点在同一视线上； ③测量，的距离，测量人眼到地面高度、标杆的长度． ①在运动场与旗杆底部相距一定距离的处，调整测角仪支架高度，使与旗杆底部位于同一水平高度； ②测量旗杆顶的仰角； ③沿方向前移至处，再次测量杆顶的仰角； ④测量距离． 测量数据 ①；②； ③；④． ①；②； ③． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③旗杆底部基座与运动场的高度差． ①图上所有点均在同一平面内； ②参考数据：，，． (1)任务一：说明以上两种方案各自运用的数学知识：“标杆方案”运用的知识是_________，“测角仪方案”运用的知识是_________．（请在下列选项中选择一个填入横线中） ①全等三角形；②相似三角形；③锐角三角函数；④勾股定理． (2)任务二：根据以上测量结果，任意选择一种方案，计算旗杆的高度（结果精确到），并说明你选择该种方案的理由． 2．（2026·重庆·一模）小佳和小馨两姐妹约定一起去U城天街吃晚餐．如图A，B，C，D在同一平面内．已知家A位于学校B的北偏东方向，位于高新天街D的北偏西方向，位于U城天街C的北偏东方向：学校B位于U城天街C的北偏东方向且距离6千米处：高新天街D位于U城天街C的正东方．（参考数据：） (1)求家A与U城天街C的直线距离（结果保留根号）； (2)小佳需要从家A出发，骑自行车匀速先到学校B拿数学作业，然后再到U城天街C吃晚餐；同时，小馨也从家A出发，先乘坐公交匀速前往高新天街D取维修的手机，再从高新天街D乘坐地铁1号线到U城天街C吃晚餐．已知骑自行车的速度为15千米/小时，公交车的速度为20千米/小时，地铁的速度为60千米/小时．小佳进校拿作业的时间与小馨取手机及转乘等待的时间相同，且路途畅通（红绿灯时间忽略不计）．请通过计算说明谁先到达U城天街C吃晚餐？（结果保留） 3．（2026·山东滨州·一模）在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图）． 数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． (1)图是图门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且，圆心是倒锁按钮点，若的弓形高，，请求出此时图中圆心到的距离． (2)图是图门锁的工作简化图，锁芯固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点顺时针旋转得到，过点作于点．若所在圆的半径，请求出此时的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，） 4．（2026·湖南邵阳·二模）近年来，国产人形机器人技术飞速发展，多款机器人登上2026年春晚舞台，引来无数观众的赞叹．某数学实践小组根据某个机器人的动作示意图，开展数学探究活动． (1)图1为机器人的某一姿势示意图，其下肢伸展结构可近似抽象为等腰三角形，如图2．已知机器人的大腿上端点到地面水平线的距离约为厘米，机器人的两脚着地点，之间的距离约为厘米，请估计机器人的腿长． (2)图3为机器人的另一姿势示意图，其右侧伸展结构可近似抽象为，如图4．已知点为机器人的右脚着地点，点为机器人的头顶最高点，点为机器人的机身连接点，直线为地面水平线．若，，请估计此时机器人的头顶点到地面水平线的距离（结果保留整数，参考数据：，）． 解密题型48数据分析 数据分析是中考统计必考内容，主要考查平均数、中位数、众数、方差、极差的计算与意义，通过图表读取数据，判断数据的集中趋势与波动大小；侧重理解统计量含义、合理分析数据并做出决策，考查数据处理与合理解释能力。 1．（2026·山西晋城·一模）为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理：跳绳个数记为，共分为五组： A：，B：；C：，D：，E：，整理成如下频数直方图与扇形统计图（不完整）． 被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：130，135，133，135，135，134； 被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136． 数据分析：该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 男同学 134 135 女同学 134 136 认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：________，________，________；并补全频数直方图． (2)若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数． (3)结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个更优秀？说明理由． 2．（2026·山东日照·一模）2026年1月16日，谷神星一号海遥七运载火箭在日照近海成功发射，“航天发射”正成为日照的新．某校为了解七年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七年级学生进行了测试，现从七年级学生中随机抽取40名学生的测试成绩（成绩用x表示，单位：分）进行了整理与分析，并分为A、B、C、D、E五个等级： 等级 A B C D E 成绩 信息1： 信息2：七年级抽取学生成绩在C等级的数据是： 70，71，71，73，74，74，74，75，75，76，77，77，78； 根据以上信息，回答下列问题： (1)求七年级抽取学生测试成绩在B等级的学生人数，并补全条形统计图； (2)七年级抽取学生成绩的中位数是_____________； (3)七年级有800名学生都参加此次测试，如果成绩不低于75分可以参加第二轮比赛，请你估计七年级能参加第二轮比赛的人数． 3．（2026·西藏·一模）【项目背景】为切实关心青少年身心健康，学校开展阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计． 【数据收集与整理】（一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：米）进行整理． A组：；B组：；C组：；D组：；E组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀． （二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下． 一分钟限时跳绳比赛成绩统计表 成绩（个/分钟） 人数 【数据分析与应用】(1)任务一：掷实心球的女生有人；掷实心球的女生成绩的中位数落在组； (2)任务二：若该校九年级共有200名女生，请估计这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数； (3)任务三：将跳绳个数在161~190的选手依次记为，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手的概率． 4．（2026·河南郑州·二模）2025年，国务院印发《国务院关于深入实施“人工智能＋”行动的意见》，为人工智能的发展描绘了未来10年的战略蓝图．为了更好地拥抱人工智能，某校八年级信息技术社团在第一次能力测试之后，将人工智能技术应用于社团教学中，两个月后进行了第二次能力测试．从两次能力测试中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，绘制成如图统计图． 根据以上信息，整理、分析数据，得到下表： 平均成绩/分 中位数/分 众数/分 第一次测试 第二次测试 (1)________，________； (2)若规定分及分以上为优秀，该社团共名学生参加了第二次测试，估计在第二次测试中成绩优秀的学生人数； (3)结合两次测试成绩，通过分析统计量，你能得到什么结论？写出一条即可． 冲刺・压轴动向预测 压轴题型01新定义问题 以陌生概念、规则、运算为载体，融合初中核心知识，考查现场阅读理解、知识迁移、逻辑推理能力。命题重在剔除套路模板，侧重自主建模、分类讨论与规律探究，是区分学生综合运用与创新思维的高频压轴题型。 1．（2026·湖南·模拟预测）我们定义：．若，，则（ ） A．或 B．或 C．或 D． 2．（2026·河南南阳·一模）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．如图，在中．，，，点在边上，使得是“类直角三角形”，则______． 3．（2026·安徽合肥·一模）我们定义：如果点在某一个函数的图像上，那么我们称点P为这个函数的“妙点”． （1）请仔细观察点P的横纵坐标之间的关系，并写出点P所在直线的解析式______． （2）若关于x的二次函数对于任意的n，恒有两个不同的“妙点”，则常数a的取值范围为_____． 压轴题型02阅读理解类问题 依托文字材料、解题方法或拓展模型，融合基础知识点，考查信息提取、迁移应用、类比推理能力。命题弱化固定套路，侧重即时理解、归纳总结与学以致用，侧重检测学生自主学习与综合解题素养。 1．（2026·山西朔州·一模）阅读与思考请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务． 三角形的布洛卡点 【概念理解】 定义：如图1，已知点为内部的一点，连接，若，则点叫做的布洛卡点． 【问题解决】 问题1：如图1，通过研究可以发现，与与与分别具有相同的数量关系． 问题2：如图2，在中，，点为的布洛卡点，且，求的值． 解：， ． ， …… 任务： (1)问题1中这个相同的数量关系为______． (2)将问题2的解答过程补充完整． (3)如图，为等边三角形，请作出的布洛卡点，连接，，，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 2．（2026·安徽六安·一模）阅读下列材料，并完成相应任务． 在平面直角坐标系中，点，之间的距离可以用下面的公式进行计算： ，这个公式就叫做两点间距离公式． 下面就利用这个公式来解决几何问题： 如图，点E，F分别在边长为4的正方形的边上，，连接交于点G，求的长． 解：如图，以点B为原点，直线为x轴，直线为y轴建立坐标系，由题意知：，，，，，． 设直线的表达式为，把，代入，得，解得． (1)若，，则的长为； (2)直线的表达式为； (3)同理，可由，得直线的表达式为，再由两个表达式联立成方程组，得…… (4)完成以上步骤，并求出的长． 3．（2026·吉林·一模）在数学探究课上，老师鼓励同学们积极思考，通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值，小郑同学大胆的说出了自己的想法，得到了老师的好评，其过程如下： (1)【观察发现】如图1，在等边中，，，E，F分别是和上的动点，且总有，阅读下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定最小值的方法． ∵在等边中，，， ∴点为边上的中点，． ∴． 过点作，使，连接， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 连接，，当三点共线时，的最小值等于线段的长． 连接， 证明过程缺失 ∴四边形是矩形． ∴． 【问题解决】①如图1请你补全缺失的证明四边形为矩形的过程； ②结合上述探究过程可知的最小值为． (2)【类比应用】如图2，已知正方形的边长为12，O为对角线的交点，M，N分别是，上的动点，且总有，连接，，求的最小值． (3)【拓展延伸】如图3，矩形中，，，是的中点，F，G分别是和上的动点，且总有，则的最小值为． 压轴题型03综合与实践类问题 结合实际情境、动手操作、图形变换与方案探究，融合多模块知识交叉考查。侧重模型构建、数形结合、分类探究、方案分析，注重实操思维与实际应用能力，是中考综合性、创新性的核心压轴题型。 1．（25-26九年级下·安徽·月考）（1）【实践探究】如图1，在中，，，，求的值．小南构造了包含的直角三角形：延长到点，使，连接．可得，问题即转化为求的正切值，请按小南的思路求的值． （2）【拓展延伸】如图2，在中，，，，求的值． 2．（2026·浙江温州·一模）综合与实践 【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦与交于点，则有． (1)【猜想验证】请证明上述结论． (2)【实践应用】如图2，若，则的坐标为___________． (3)【综合拓展】如图3，已知二次函数的图象与轴交于两点（在轴左侧，在轴右侧），与轴负半轴交于点．经过三点的圆与轴正半轴交于点，求点的坐标． 3．（2026·安徽合肥·一模）综合与实践 【研究背景】如图1，在锐角中，的对边长分别为a，b，c，圆O是的外接圆，外接圆半径为R， 【操作探究】补充下面证明说理． 如图2，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），（半圆（或直径）所对的圆周角是直角）， ， ． (1)猜想：在锐角中，的对边长分别为a，b，c，圆O是的外接圆，外接圆半径为R，则有． (2)【理解应用】如图，中，平分，则_________； (3)【问题解决】太平湖位于黄山区，是青弋江上游一座人工大水库，有着“东方日内瓦”“未经雕琢的翡翠”之美誉．某综合与实践小组要绘制一幅太平湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，在空旷地找一点C，利用无人机多次测量并取平均值测得，利用测距仪多次测量并取平均值测得．求A，B两岛在图纸上的距离．（比例尺为，结果精确到．参考数据：） 压轴题型04现实热点问题 结合社会生活、时代热点、实际情境命题，串联方程、函数、统计、几何等核心知识。立足数学建模、数据运算、实际应用，考查文字解读与学以致用能力，紧扣课标应用导向，贴近中考命题趋势。 1．（2026·河南开封·一模）从2025年春晚机器人“秧”惊艳世界，到今年春晚舞台的“武”震撼全球，中国新质生产力如此突飞猛进，在春晚看到了！剑舞、醉拳、双截棍、肘部大回环、连续三次单腿后空翻……这些人类千锤百炼才可能神功大成的高难度动作，机器人不仅完成得威风凛凛，甚至颇有中华武术的神韵，看得观众酣畅淋漓、豪情万丈．某校拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座固定，高为，连杆长度为，手臂长度为．点B、C是转动点，且、与始终在同一平面内． (1)转动连杆、手臂使，，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度．（结果精确到，参考数据：，，） (2)物品在操作台l上，距离底座A端的点M处，转动连杆、手臂，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由． 2．（2026·河南·一模）—赛季中国排球超级联赛是由中国排球协会主办的中国最高级别排球职业联赛，于年月至年月举行．根据国际排球联合会的规定，排球比赛场地为长方形，其长度为，宽度为，女子排球比赛球网的高度为．如图，某女子排球运动员在场地边缘的处训练发球，为球网（球网位于球场的中间），为球场护栏，且，均与地面垂直，球场的边界为点，以点为原点，垂直于球网的直线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，排球（看作点）从点的正上方点处发出，排球经过的路径是抛物线的一部分，其最高点为，落地点为点．（点，，，，在同一直线上，图中所有的点均在同一平面内） (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)通过计算判断排球能否越过球网； (3)由于运动员改变了发球点的位置，使得排球在点落地后立刻弹起，又形成了一条与形状相同的抛物线，且最大高度为．若排球沿下落时（包含最高点）能碰到球场护栏，求的取值范围． 压轴题型05跨学科问题 融合科学、人文、生活常识等多学科背景，结合初中数学核心知识设问。侧重情境融合、信息整合、知识迁移，打破学科壁垒，考查综合分析与实际应用能力，贴合新课标命题导向。 1．（2026·江西·模拟预测）跨学科化学 数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醚类化学式中，甲醚化学式为，乙醚化学式为，丙醚化学式为……当碳原子(C)的数目为（n为正整数）时，醚类的化学式可以表示为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·江西新余·模拟预测）一化学兴趣小组对某小苏打样品中的含量做了测定：将一定质量的小苏打样品加水全部溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．加入的稀盐酸时，产生的气体 B．加入的稀盐酸时，产生气体 C．加人的稀盐酸时，不会产生气体 D．加入的稀盐酸越多，产生的气体越多 3．（2026·广东·一模）小佳同学在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡亮了”的实验，设计了如图所示的电路图，电路图上有5个开关、、、、和一个小灯泡，当开关闭合时，再同时闭合开关、或、都可以使小灯泡发亮． (1)当开关、已经闭合时，再任意闭合开关、、中的一个，小灯泡能亮起来的概率是________； (2)当开关已经闭合时，再任意闭合开关、、、中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率． 4．（2026·河南许昌·一模）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小明同学安装的加热高锰酸钾制取氧气的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，试管倾斜角． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（参考数据：） 5．（2026·河北邯郸·一模）如图1，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的铝块（重力为）分别悬挂在弹簧测力计，的下方，从离桌面的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，弹簧测力计，各自的示数与铝块各自下降的高度之间的关系如图所示，当铝块没有接触到液体时，弹簧测力计的读数为；当铝块刚好完全浸入液体中时，弹簧测力计的读数为．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） (1)图2中的__________，__________； (2)当时，求弹簧测力计的示数关于的函数解析式； (3)物体浸在液体中的体积相同的情况下，液体的密度越大，浮力就越大，当铝块浸入液面后，铝块重力． ①__________（填甲或乙）种液体的密度更大； ②当甲、乙液体中的铝块受到的浮力都为时，求铝块在甲、乙液体中浸入的深度差． 压轴题型06动点问题 以点、线、图形动态运动为载体，结合几何性质与函数关系综合设问。核心考查分段分析、数形结合、分类讨论、临界取值，侧重动态变化规律探究与范围计算，是中考几何压轴高频难点题型。 1．（2026·吉林长春·一模）如图，在中，，，点是边上的一点，且，动点从点出发，沿折线运动，动点在上，且，连接． (1)的面积为___________； (2)当时，求线段的长； (3)当时，求线段的长； (4)当是直角三角形时，直接写出线段的长． 2．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作于点轴交于点，点是直线上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及此时的最小值： (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一种结果的解答过程． 3．（2026·陕西西安·一模）按要求完成下列各题： (1)问题提出：如图①，矩形的对角线的长为8，的半径为2，点E是上的动点，则点B、E之间的最大距离为____________； (2)问题探究：如图②，在中，点B关于的对称点为点D，点G、F在上，连接并延长到点E，连接、、，若四边形是平行四边形，求证：； (3)问题解决：如图③，某区计划将区域建成一个户外健身区，，．现要在线段上找两点D、E（D、E是上的动点，点D在点E的左侧），，点F是一个出入口，且点F是的中点，连接、，为方便市民出入，沿四边形的四边修建人行通道，以为直径在下方作半圆O（半圆随着移动而移动），将半圆O建成公园绿地运动区，点P是半圆O上的一个动点，从A到P沿直线修建一条塑胶跑道，设计人员要求在人行通道的长度（即四边形的周长）最短的条件下，塑胶跑道的长度尽可能的长．请你帮设计人员求出当人行通道的长度（即四边形的周长）最短时，塑胶跑道的最大长度．道（人行通道与塑胶跑道的宽度均忽略不计） 压轴题型07最值问题 依托函数、几何图形与线段变换，融合代数运算与几何模型。聚焦数形结合、范围约束、临界分析、模型转化，考查配方、二次函数性质及将军饮马等经典模型应用，是中考区分度核心题型。 1．（2026·河南许昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，连接，是的中点，是内一动点，连接，，，，保持的面积始终为8，当取最小值时，点的坐标是___________． 2．（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是_____． 3．（2026·安徽宣城·一模）如图，在四边形中，，，，，，点P在直线上方，且的面积为4，则下列结论错误的是（ ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 4．（2026·安徽淮南·一模）如图，在中，，，，点在边上，点在的延长线上，且，为的中点，则下列结论错误的是（ ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 压轴题型08多结论正误判断题 以几何、函数综合图形为载体，融合零散知识点与隐藏条件，依托图形性质、数量关系综合设问。侧重逻辑推理、条件深挖、反例验证、细节辨析，陷阱密集、易错点集中，是中考选择填空核心区分度题型。 1．（2026·北京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，分别是反比例图象上两个动点，轴于点A，轴于点，直线与轴、轴分别交于点和点．给出下面四个结论：①，②，③可能是等腰直角三角形，④与的面积相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．③④ B．①② C．②③ D．①③④ 2．（2022·福建龙岩·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，点E是边的中点，点M，N分别是边上一点，将纸片沿直线对折，使点A与点E重合，的对应边与交于点G．则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图，在正方形中，O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长，交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于点G．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 压轴题型09图形变换综合题（折叠/旋转） 以折叠、旋转、平移等几何变换为载体，依托图形全等、边角不变量、特殊图形性质设问。重点考查等量转化、构造辅助线、分类讨论、数形结合，变换后隐藏关系多、图形重构复杂，是几何高频压轴难点题型。 1．（2026·山西运城·二模）综合与探究 【问题情境】在中，，平分交于点． (1)【猜想证明】如图1，平分交于点F，连接，判断四边形的形状并证明． (2)【深入探究】平分交的延长线于点，交BE于点．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，直线与直线相交于点． ①以图2为例，求证：； ②若，，在旋转的过程中，连接，，当是以为直角边的直角三角形时，连接，请直接写出的长． 2．（2026·广东佛山·一模）在中，点，分别在边，上，将沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，四边形是正方形，边长为8，当为的中点时，求的长； (3)如图3，四边形是矩形，连接，当，时，求的值． 3．（2026·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，为原点，等腰的顶点，．四边形是正方形，点是的中点，点在轴上． (1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将四边形沿轴向右平移得到四边形，点，，，的对应点分别为，，，，设． （i）如图②，当四边形与重叠部分为五边形时，，，分别与，相交于点，，，，试用含有的式子表示线段，并直接写出的取值范围； （ii）设平移后四边形与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 压轴题型10函数综合压轴题 以一次、反比例、二次函数为核心载体，融合图象性质、方程不等式、几何计算与动态探究。重点考查数形结合、含参分析、最值探究、交点转化、范围讨论，知识跨度大、综合性强，是中考核心压轴、核心拉分题型。 1．（2026·湖北武汉·二模）抛物线与轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． (1)求c的值； (2)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； (3)已知，直线与抛物线交于点E，过D的另一条直线与抛物线交于，连接，分别交x轴于P，Q两点．若的值． 2．（2026·湖北荆州·一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接，当时，求的值； (3)设以为顶点的四边形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 3．（2026·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点C为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点C作x轴垂线，交一次函数图象于点D，连接，若是以为底边的等腰三角形，求点C的坐标； (3)点P为反比例函数图象上一点，点Q是坐标系内一点，当四边形为矩形时，求点Q的坐标． 压轴题型11几何模型综合题 以全等、相似、特殊四边形及经典几何模型为核心载体，结合线段、角度、面积计算综合命题。侧重模型识别、结论迁移、辅助线构造、边角转化，题型套路性强、综合度高，是中考几何板块高频重难点与区分度题型。 1．（2026·安徽铜陵·二模）如图1，点E是正方形的边上一点（不与点A，D重合），连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，且． (1)求的值； (2)如图2，若点E是的中点，求的值； (3)如图3，若，请确定点M的位置，并说明理由． 2．（2026·湖北武汉·一模）如图，在正方形中，E，F分别为边上的点，且，连接交于点． (1)如图（1），求证：； (2)连接． ①如图（2），若平分，求证：； ②如图（3），连接，若平分，直接写出的值． 3．（2026·河南濮阳·一模）如图1，在中，，是中点． (1)问题提出 兴趣小组的同学发现：利用“三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边”可以直接求出的取值范围是__________，但是对于的取值范围又该如何确定呢？ (2)问题解决 下面是三位同学的解题方法供你选择，请直接写出的取值范围是__________． 小明的作法：倍长中线．如图2，延长至点，使得，连接 小亮的作法：化中线为中位线．如图3，延长至点，使得，连接 小凯的作法：构造中位线．如图4，取的中点，连接 (3)方法应用 如图5，分别以，为腰构造等腰和等腰，连接．请写出和的关系，并说明理由． (4)联系拓展 在（3）的条件下，将绕点在平面内旋转，当点，，在同一条直线上时，直接写出此时点和点的距离． 4．（2026·河南开封·一模）如图，在中，点为边上的动点，连接，沿折叠，点恰好落在边上的点处，点为射线上一动点，过点作交于点，交延长线于点． (1)观察猜想 如图①，当点在线段上，点恰好为的中点时，用等式表示线段，，之间的数量关系：___________． (2)问题探究 在（1）的条件下，若，求的长（写出求解过程）． (3)拓展应用 如图②，当点在线段的延长线上时，过点作交延长线于点．若，且时，直接写出的值（用含的代数式表示）． 密押・临考抢分卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·安徽阜阳·二模）如果增加记作，那么减少记作（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南长沙·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东佛山·模拟预测）某电池厂2025年1～5月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． B． C． D． 4．（2026·天津·一模）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A．B．C． D． 5．（2026·山东青岛·一模）如图，中，，，，以为半径画弧，交延长线于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西商洛·一模）如图，内接于，点在上，点在劣弧上，连接、、，若四边形为平行四边形，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽芜湖·二模）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（2026·广东江门·一模）在如图所示的正方形网格中，的度数是（   ）. A． B． C． D． 9．（2026·山东青岛·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 10．（2026·甘肃武威·一模）如图1，点为正方形中边的中点．动点从点出发沿边匀速运动．运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为与的函数图像如图2所示，则当点运动到的中点时，的长为（    ） A．2 B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11．（2022·上海浦东新·二模）为了解全校500名初中毕业生的体重情况，从中随机抽取部分学生的体重作为样本，制作成如图所示的频率分布直方图（每小组包括最小值，不包括最大值），那么这所学校体重小于80千克且不小于70千克的初中毕业生约有______人． 12．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）定义新运算：，则的运算结果为_________． 13．（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，P为x轴上的一动点，则与的差的最大值为______． 14．（2026·黑龙江绥化·三模）某公园儿童滑梯的截面示意图如图所示，已知立柱垂直于地面且高度相同，平台平行地面，，．若，则滑道的长度约为______．（结果保留整数．参考数据：，，） 15．（2026·安徽淮北·二模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，直线交轴于点，且点的纵坐标为5，过点，分别作轴的垂线段、，垂足分别为点、，且． （1）若点为线段的中点，则________； （2）若是等腰直角三角形，，其面积小于3．延长交第三象限双曲线于点，连接，则________．    3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本题8分）（2026·山西太原·二模）计算 (1) (2)解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来． 17．（本题7分）（2026·山西太原·二模）王明的爸爸近期准备换车，让王明提出参考建议．王明查阅资料，对于新能源汽车和燃油车的选择，根据爸爸的用车场景、结合经济条件和个人喜好进行分析．综合性价比看中了价格相同的两款国产汽车，最后根据收集的下列信息，请你和王明一起解答． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元／升 续航里程：2a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：______元 (1)用含a的代数式表示出新能源车每千米行驶费用______元； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车的每千米行驶费用多0.48元．请你帮王明计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少元？ 18．（本题8分）（2026·辽宁·模拟预测）暑假期间，某地区要举行八年级数学竞赛活动，本次竞赛活动设单项奖和团体奖，单项奖从所有参赛选手中由高分到低分设5名金奖、10名银奖、15名铜奖，团体奖取参赛单位里参赛选手的平均分由高分到低分设3名金奖、5名银奖、10名铜奖．为了参与本次竞赛活动，某校决定以班级为单位从八年级甲班和乙班中选取一个班级里的部分学生代表学校参加此次竞赛活动．为此，经过一段时间的培训，学校分别对两个班级学生进行了考试选拔，分别从两个班级参加本次考试的学生中，由高分到低分选取了相同数量的学生成绩（成绩均为整数）进行分析比较，并决定选派一个班级的这部分学生代表学校参加此次竞赛活动． 【信息一】甲班本次考试成绩统计图如下： 【信息二】乙班本次考试情况统计如下表： 平均分 中位数 众数 最高分 90 89.5 94 98 【信息三】甲、乙两班方差如下表： 12.1 35.4 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次考试一个班级抽取了 名学生的成绩进行统计，选取的甲班学生成绩的中位数是 分，并补全条形统计图； (2)本次统计中甲班学生本次考试的平均成绩为多少分？ (3)通过本次考试成绩，该校选派哪个班级的这部分学生代表学校参加本次竞赛活动？说明选派的理由． 19．（本题9分）（2026·山东临沂·一模）按要求解答： (1)课本再现：如图①，，是的两条切线，切点分别为，．若图中的，则的长度是多少？如果，则的度数是多少？请说明理由． (2)知识应用：如图②，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点交于点，过点作交于．求证：是的切线． 20．（本题9分）（2026·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和3． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 21．（本题10分）（2026·浙江湖州·一模）已知二次函数（a为常数）． (1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标； (2)与轴平行的直线交该二次函数图象于，两点，且点的横坐标为，求线段的长； (3)若，点，在该二次函数图象上，试说明． 22．（本题11分）（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)点是抛物线上的一个动点且位于上方． （）如图1，连接，，若的面积为3，求点的坐标； （）如图2，直线是抛物线的对称轴且与轴交于点，直线，分别与直线交于点，，求的值． 23．（本题13分）（2026·湖南长沙·一模）在矩形中，E是边上一点（不与端点重合），以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接． (1)如图1，当时，求的值； (2)如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接，当时，求的值； (3)如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D、G、F三点共线．若，，求的长． （考试时间：120分钟，分值：120分） 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·淄博中学·一模）从实数，，0，，，中，挑选出的两个数都是无理数的为（   ） A．，0 B．， C．， D．， 2．（2026·石家庄二中·模拟）随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生．多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，据统计，“豆包”AI在某功能测试中，每秒可处理数据条，若持续运行秒，则这段时间内共处理的数据条数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·沈阳一中·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．（2026·哈尔滨二十一中·模拟预测）我国古代数学典籍中记载了这样一道数学题：“今有绢一匹买紫草三十斤，染绢二丈五尺．今有绢七匹，欲减买紫草，还自染余绢．问减绢、买紫草各几何．”（匹：布料长度的计量单位，1匹丈，1丈尺）译文：现在1匹绢可以换30斤紫草，这些紫草用来染绢可染2丈5尺．现有7匹绢，想要卖掉一部分来买紫草，并用买来的紫草染剩余的绢．问卖掉多少匹绢，买多少斤紫草．若设卖掉x匹绢，剩余y匹绢，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·宁夏银川景博学校·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，以原点为位似中心，将放大，且点为对应点的黄金分割点，则点的对应点的坐标是（    ） A．， B． C． D．， 6．（2026·阜南县一中·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边的中点处．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·山西太原平民中学·二模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，可以用圆内接正十二边形的面积来近似估计的面积，如图，若取及其内接正十二边形的四分之一图，测得半径为，则图中圆部分去掉圆内接正十二边形部分的剩余面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·天津部分区初中·一模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，若点恰好落在中点，则线段的长为（   ） A．4 B． C．3 D． 9．（2026·太和县民族中学·二模）如图，四边形是的内接四边形，连接，，，，下列不能判断四边形是菱形的是（    ） A．点是的中点， B．， C．， D．，点是的中点 10．（2026·太和县民族中学·二模）如图，在正方形中，，点，分别是，上的点且，与交于点，过点作于点，点是上一动点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A． 的最小值为4 B．的最大值为 B． C．的最小值为 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11．（2026·马站镇实验中学·一模）已知（为整数），则的值是___________． 12．（2026·河北邢台三中·一模）如图，在中，是边上一点，是边的中点，平分，若，，则的长为_____． 13．（2026 淮北实验中学·二模）如图，线段，以为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①；取的中点，以为直径画半圆②；取的中点，以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的前6个小半圆的弧长之和为________． 14．（2026·呼兰八中·一模）已知中，，，的面积为，则的度数为_________． 15．（2026·梅山中学·一模）如图，在中，点在上，点关于直线的对称点落在内，延长交于点，交射线于点，延长交于点．当时，设，，则_________（用含的代数式表示）． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本题8分）（2026·东阿县高集中学·一模）计算和化简求值： (1)； (2)先化简：，再从，，，中选择一个合适的代入求出分式的值． 17．（本题7分）（2026·韩城三中·一模）055型驱逐舰对于中国海军实施“近海防御、远海护卫”战略具有重要意义．某班开展“055驱逐舰”主题班会，班级的每位同学都从南昌舰、拉萨舰、鞍山舰、无锡舰、大连舰、延安舰、遵义舰、咸阳舰、东莞舰、安庆舰这10艘战舰中随机挑选一艘进行介绍，每位同学选择每艘驱逐舰的可能性相同． (1)该班的晓慧选择介绍延安舰的概率为______； (2)该班的军军和乐乐制作了四张正面分别为大连舰、延安舰、咸阳舰、安庆舰的不透明卡片（如图），这些卡片除了正面不同外其余均相同，将四张卡片背面朝上洗匀后放置在桌面上，军军从四张卡片中随机抽取一张，不放回，乐乐再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求两人均没有抽到咸阳舰的概率． 18．（本题8分）（2026·淮北二中·二模）如图1，淮北市濉溪县铁佛镇曹楼村曹楼庄，矗立着一棵千年古银杏树，距今已有1800余年，是皖北地区树龄最久，树体最壮观的古树之一，也是当地的文旅地标．小明绘制了这棵古银杏树的侧面示意图（图2），经实地测量，古树主干高约2米，一树枝的长约5米，且与主树干所在直线的夹角约为． (1)求枝条末梢点到地面的距离； (2)图2中，一束与地面的夹角约的光线照射古树形成树荫，树枝末梢点在地面上的影子记为点，求点到主树干的距离．（参考数据，，，，，） 19．（本题8分）（2026·邹城八中·一模）如图，是的半径，点B是外一点，连接，交于点C，连接，． (1)求证：是的切线； (2)过点C作的平行线，交于点D，交于点E，若，，求的长． 20．（本题9分）（2026·新城一中·一模）某广场遮雨棚的顶棚由抛物线和组成，立柱、、均与地面所在直线垂直，垂足分别为、、，且米，米，抛物线的最高点与的距离为米，点、分别在抛物线、上，抛物线和抛物线关于所在直线对称．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线和的函数表达式； (2)现要在抛物线的点处和抛物线的点处各安装一盏照明灯（大小忽略不计），点在抛物线对称轴的左侧，点在抛物线对称轴的右侧，且点、关于轴对称，若点到的距离为米，求、之间的距离． 21．（本题10分）（2026·赣南实验·一模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，点为抛物线上一动点（不与点重合），图中虚线是抛物线的对称轴． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（本题12分）（2026·天府一中·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数第三象限图象上一点，过点作直线交轴于点． ①若直线与反比例函数的图象只有一个交点，连接，，求的面积； ②是否存在点，使得与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（本题13分）（2026·泉州实验·三模）【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 (1)连接，直线分别交于点E、G，交于点，连接，则线段之间的数量关系是______． 【类比迁移】 (2)如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，请直接写出的面积． （考试时间：120分钟，分值：120分） 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 4．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 7．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． B． C． D． 8．（2025·广东广州·中考真题）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11．（2025·天津·中考真题）计算的结果为____________． 12．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 13．（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 14．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】已知，则m的值为________ 15．（2025·广东广州·中考真题）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是______；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本题8分）（2025·江苏徐州·中考真题）计算： (1)； (2)． 17．（本题7分）（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 18．（本题8分）（2025·北京·中考真题）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4  12.4  12.5  12.7  12.8  12.8  12.8  12.8  12.9  12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 (1)表中m的值为_______； (2)表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）； (3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______． 19．（本题9分）（2025·北京·中考真题）如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 20．（本题9分）（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点． (1)求t的值； (2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． 21．（本题10分）（2025·重庆·中考真题）如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 22．（本题11分）（2025·重庆·中考真题）在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，，求的度数； (2)如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明： (3)如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 23．（本题13分）（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【考前准备1】学生科学备考篇 一、科学复习策略：精准发力，拒绝无效努力 核心原则：中考数学基础+中档题占比80%，冲刺阶段不钻偏题、怪题、超纲题，所有精力聚焦"能提分、能控分"的内容。 复习优先级排序（提分效率从高到低）： 错题复盘（占80%时间）：这是冲刺阶段最高效的提分方式。将所有错题按三类分类整理： 粗心失误类：计算跳步、审题漏字、符号写错、单位遗漏。解决方法：做题时强制圈画题干所有关键条件，计算写全步骤，复盘时用红笔标注"粗心点"，每天花10分钟回顾当天的粗心错误。 概念模糊类：公式记错、定理混淆、定义理解不到位。解决方法：直接回归课本原文，逐字逐句阅读定义、定理、公式，默写并标注易错细节（如二次函数顶点式的符号、分式分母不为0等）。 方法不会类：题型陌生、模型没掌握、解题思路不清。解决方法：总结同类题的通用解题步骤，整理成"解题模板"，集中训练3-5道同类题巩固，直到能独立写出完整步骤。 基础限时训练（占15%时间）：每天用30-40分钟完成一套基础题（选择+填空+前3道解答题），严格限时，保持计算手感和答题速度，目标是基础题零失误。 中档题型专项突破（占5%时间）：每周攻克1-2个高频中档题型（如二次函数基础应用、全等相似证明、圆的简单计算），掌握核心解题思路，不追求难题。 模拟训练要求：每周限时完成2-3套完整中考模拟卷，严格按照考试时间（120分钟）进行，模拟真实考场环境。考完后不纠结分数和排名，只复盘错题和失分点，分析错误原因。 二、心态与情绪管理：稳住心态，就是稳住分数 建立正确的考试认知：中考只是人生众多考试中的一次，它不能决定你的一生，只是对你初中三年学习成果的一次检验。只要你尽力了，无论结果如何，都没有遗憾。 积极心理暗示：每天早上起床和晚上睡前，对着镜子微笑着对自己说："我已经做好了充分的准备，我一定能发挥出自己的水平！"避免消极的自我对话，如"我肯定考不好"、"这道题我肯定不会"。 拒绝盲目攀比：每个人的学习基础、学习方法和复习节奏都不同，没有可比性。不要和同学比进度、比分数，只和昨天的自己比，只要今天比昨天有进步，就是成功。 合理释放压力：当感到焦虑、烦躁时，不要把情绪憋在心里。可以和老师、家长或好朋友倾诉，也可以通过运动（跑步、散步、打球）、听音乐、画画等方式放松心情。 劳逸结合：不要熬夜刷题，保证每天7-8小时的睡眠。每天留30分钟的自由活动时间，让大脑得到充分休息，避免过度疲劳导致学习效率下降。 三、良好学习习惯养成：细节决定成败 限时训练习惯：平时做题就给自己规定时间，培养时间观念，避免考试时做不完题。 规范书写习惯：从现在开始，练习工整书写，步骤写完整，避免因卷面潦草、步骤不全丢分。 审题训练习惯：读题时放慢速度，圈画关键词、关键数据和问题要求，避免因审题不清导致错误。 【考前准备2】考前一天终极准备 一、考场实地踩点：做到心中有数 提前一天到考场踩点，熟悉以下信息： 考场所在的学校、教学楼、楼层、教室和座位号。 洗手间的位置（尤其是离自己考场最近的洗手间）。 从住处到考场的交通路线、所需时间，考虑堵车等突发情况，预留充足的时间。 考场周边的餐饮、休息场所（如果中午不回家）。 如果学校统一组织踩点，一定要跟随老师前往，认真听老师讲解注意事项。 二、考试用品清单：提前准备，避免遗漏 将所有考试用品放在一个透明的文件袋中，前一天晚上检查一遍，确保没有遗漏： 必备证件：准考证、身份证（或户口本），这是进入考场的凭证，一定要妥善保管。 必备文具： 黑色签字笔：准备2-3支，确保书写流畅，不要用钢笔或圆珠笔。 2B铅笔：准备2支，削成"鸭嘴形"，方便填涂答题卡，也可以带自动2B铅笔。 橡皮：选择擦得干净的橡皮，不要用彩色橡皮或带有图案的橡皮。 作图工具：直尺、三角板、量角器、圆规，确保刻度清晰。 其他物品： 手表：机械表或石英表，不要带智能手表、电子表。 水：带一瓶无标签的矿泉水，放在桌子角落，避免打翻弄湿试卷。 雨具：根据天气预报准备雨伞或雨衣。 纸巾、湿巾：方便擦拭。 禁止携带物品：手机、计算器、涂改液、修正带、任何书籍、笔记、纸条等，一旦带入考场，将按作弊处理。 三、作息与饮食调整：保持最佳身体状态 作息调整：按照中考时间调整作息，晚上10点前睡觉，早上7点左右起床，保证充足的睡眠。考前一天不要熬夜，也不要过早睡觉，以免失眠。 饮食调整： 饮食以清淡、易消化为主，多吃蔬菜水果，补充维生素。 不要吃生冷、油腻、辛辣的食物，避免肠胃不适。 不要尝试以前没吃过的食物，以免过敏或消化不良。 考试当天早餐要吃好，但不要吃得太饱，避免考试时犯困。 四、考前最后复习：轻装上阵，不做新题 考前一天不要做新题、难题，以免打击信心。 快速过一遍初中数学的核心公式、定理和常用结论，加深记忆。 翻看错题本，重点看自己经常犯错的地方，提醒自己考试时注意。 可以做几道简单的基础题，保持做题手感，但不要做太多。 五、心态平稳调整：放松心情，积极应考 可以和家人聊聊天，听听轻松的音乐，看看搞笑的视频，缓解紧张情绪。 不要和同学讨论复习情况或难题，以免引起焦虑。 告诉自己："我已经准备得很充分了，只要正常发挥，就一定能取得好成绩！" 【考前准备3】考场全程应对策略 一、入场后准备：调整状态，等待发卷 提前30分钟到达考场，凭准考证和身份证进入考场，对号入座。 入座后，将考试用品放在桌子左上角，证件放在桌子右上角，方便监考老师检查。 调整桌椅高度，让自己坐得舒服。 深呼吸几次，放松身体，平复心情，让大脑进入"空白"状态，准备迎接考试。 不要和周围的同学说话，保持安静。 二、发卷后5分钟：通览全卷，制定答题计划 拿到试卷后，先检查试卷是否完整，有无缺页、漏印、破损等情况，如有问题，立即举手向监考老师报告。 在试卷和答题卡上规定的位置填写姓名、准考证号、座位号等信息，仔细核对，确保无误。 用5分钟时间通览全卷，了解试卷的题型、题量、难度分布，大致估算一下每部分需要的时间，制定一个简单的答题计划。 不要急于答题，先看一遍所有题目，做到心中有数，避免后面出现"前面难题做不出，后面易题没时间做"的情况。 三、核心答题原则：科学答题，提高效率 六先六后原则： 先易后难：先做简单题，再做难题，遇到不会的题先跳过，不要在一道题上浪费太多时间。 先熟后生：先做自己熟悉的题型，再做陌生的题型，这样可以快速进入解题状态，增强信心。 先同后异：先做同类型的题目，这样可以集中思考，提高解题效率。 先小后大：先做小题（选择、填空），再做大题（解答题），小题分值小，耗时短，容易得分，可以为大题赢得时间。 先点后面：解答题多为"梯度题"，第一问一般比较简单，先做第一问，再利用第一问的结论做第二问、第三问。 先高后低：考试后半段，优先做分值高的题目，尤其是自己会做的题目，确保能拿到的分不丢。 2.一慢一快原则：审题要慢，解题要快。 审题是解题的基础，一定要逐字逐句读题，圈画关键条件和问题要求，理解题意后再动手解题。 一旦形成解题思路，就要快速书写，争取时间。 3.一次成功原则：尽量保证运算准确，立足一次成功。数学题的中间数据会影响后面的解答，如果前面算错了，后面再怎么努力也得不到正确结果。关键步骤要放慢速度，仔细计算，避免因粗心出错。 四、规范书写与得分：踩点给分，步步为营 中考数学阅卷采用"踩点给分"的原则，写对一个步骤就给一个步骤的分，即使最终答案不对，也能得到部分步骤分。 解答题要写清解题过程，步骤完整，逻辑清晰，不要跳步。尤其是几何证明题，要写清每一步的依据（如"已知"、"已证"、"全等三角形的对应边相等"等）。 书写要工整，卷面要整洁，字迹不要潦草，不要在试卷上乱涂乱画。如果写错了，用斜线划掉，在旁边重新写，不要用涂改液或修正带。 注意答题区域，不要超出答题卡的边框，否则答案无效。 五、答题卡填涂技巧：避免低级失误 选择题做完后，立即将答案填涂到答题卡上，不要等到最后一起填涂，以免时间不够或填涂错位。 填涂答题卡时，要用2B铅笔将选项涂满、涂黑，不要涂得太轻或太淡，也不要涂出边框。 填涂完后，仔细核对一遍，确保答题卡上的答案和试卷上的答案一致。 填空题和解答题要在答题卡对应的位置作答，不要写错题号。 【考前准备4】考场应急与难题突破 一、遇到难题的心态调整：正视紧张，合理放弃 考试中遇到不会做的题是很正常的现象，不要慌张，更不要因此影响后面的答题。 承认自己的紧张情绪，不要试图压抑它。可以做几次深呼吸（吸气4秒，屏息2秒，呼气6秒），平复一下心情，然后先跳过这道题，做后面会做的题。 告诉自己："这道题我不会，别人也不一定会，我先把会做的题都做完，再回来攻克它。" 如果一道题思考了5分钟还没有思路，就果断放弃，不要在上面浪费太多时间，以免影响其他题目的解答。 二、难题得分技巧：即使不会，也要争取得分 缺步解答：将难题分解为一个个小问题，能解决多少就解决多少，能写几步就写几步。比如，把文字语言翻译成符号语言，设未知数，画出图形，写出相关的公式和定理等，这些都能得分。 跳步解答：如果解题过程卡在某一个环节，可以先承认这个中间结论，跳过这一步，继续往下做，看能否得到最终结论。如果能得到，再回头攻克这个卡壳的环节；如果不能，就改变解题方向。如果题目有两问，第一问不会做，可以把第一问的结论当作已知条件，直接做第二问，这样也能得到第二问的分数。 退步解答：如果不能解决一般情况，可以从特殊情况入手（如取特殊值、特殊图形、特殊位置等），通过解决特殊情况，启发思路，找到解决一般情况的方法。 辅助解答：一道题的完整解答包括主要步骤和辅助步骤。如果找不到主要步骤，可以先做辅助步骤，如准确作图、整理已知条件等，这些也能帮助你理清思路，同时也可能得到一些分数。 三、不同题型难题应对方法 1.选择题： 排除法：排除明显错误的选项，缩小选择范围。 特例法：取特殊值、特殊图形代入验证，找到正确答案。 估算法：估算答案的大致范围，排除不符合范围的选项。 数形结合法：画出图形，通过图形直观分析，找到答案。 2.填空题： 直接法：直接根据已知条件计算或推理得出答案。 特例法：对于一些一般性的填空题，可以取特殊值求解。 数形结合法：结合图形分析，得出答案。 注意：填空题的结果要准确，形式要规范，注意单位和取值范围。 3.解答题： 先做第一问，第一问一般比较简单，拿到第一问的分数。 第二问如果不会，看看能不能用第一问的结论，或者写出相关的公式和步骤，争取步骤分。 第三问如果难度太大，可以直接放弃，把时间用来检查前面的题目。 四、避免粗心失误：建立防错机制 双重自我检查法：想象考场中有两个"你"，一个是答题的"你"，另一个是检查的"你"。每做完一道题，用15秒时间快速检查一遍，看有没有审题错误、计算错误、书写错误等。 关键步骤速查：计算时，关键步骤要放慢速度，仔细核对；几何证明题，检查每一步的依据是否正确；应用题，检查单位是否统一，答案是否符合实际意义。 不轻易改答案：检查时，如果对某个答案有疑问，不要轻易修改，一定要反复确认。因为第一感觉往往是正确的，很多时候会把正确的答案改成错误的。 最后检查重点：考试结束前15分钟，停止答题，开始全面检查。重点检查选择题、填空题和基础解答题，确保这些题目没有错误。 最后提醒：中考数学拼的不是谁会的题多，而是谁错的题少。只要你稳住心态，认真审题，规范书写，把会做的题全部做对，把不会做的题尽量多得分，就一定能取得理想的成绩！祝你中考顺利，金榜题名！ 中考落幕，考场的硝烟散去，但等待成绩与选择未来的这段时光，才是你们真正独立面对人生选择的第一课。这段旅程交织着期待与忐忑、迷茫与憧憬，我们将从考后情绪辅导、志愿填报全攻略、考后人生规划三个核心维度，帮你平稳度过这段特殊时期，从容走向人生的下一站。 一、考后情绪辅导：与焦虑和解，平稳度过“心理波动期” 等待成绩的日子里，所有的不安、期待、迷茫都是正常的。学会与情绪相处，比任何事情都重要。 成绩公布前：接纳焦虑，拒绝过度内耗 正视情绪，不自我批判：告诉自己“我努力了三年，期待一个好结果，紧张焦虑是人之常情”，不要因为感到焦虑而自责。不要反复刷手机查分数、和同学攀比复习情况，这只会放大你的不安。 用“具体行动”替代“胡思乱想”：把注意力从“未知的结果”转移到“可控的当下”。每天给自己安排1-2件小事：整理房间、学做一道菜、和家人短途旅行、看一部一直想看的电影，让生活充实起来，不给焦虑留空间。 提前做好“两手准备”：和家人一起坦诚沟通，预设两种结果的应对方案：如果考上理想高中，该如何规划假期和高中生活；如果成绩未达预期，还有哪些可行的选择（普通高中、优质职高、特色班、复读等）。当你有了预案，心里就会踏实很多。 快速平复情绪小技巧：感到心慌时，试试“4-7-8呼吸法”（吸气4秒，屏息7秒，呼气8秒），重复5次；也可以出门跑步15分钟，让汗水带走负面情绪。 2.成绩公布后：理性面对，不被分数定义人生 考得理想：适度庆祝，保持清醒：可以和家人朋友好好庆祝，但不要过度放纵（通宵狂欢、暴饮暴食）。记住，中考的胜利只是阶段性的，高中的挑战才刚刚开始，保持谦逊和努力的心态，才能走得更远。 考得不理想：接纳现实，重新出发：不要自我否定、不要和别人攀比，更不要有极端想法。中考只是人生众多考试中的一次，它不能决定你的一生。一次失利不代表你不够优秀，只是说明这次发挥不好，或者你更适合其他的成长道路。和家人一起分析原因，认真规划接下来的路，无论选择哪条，只要努力，都能活出精彩。 给家长的提醒：无论孩子考得如何，都请先给他们一个拥抱。不要指责、不要抱怨、不要说“我早就知道你考不好”这样的话。孩子已经承受了巨大的压力，你的理解和支持，才是他们最坚强的后盾。 3.录取后：调整心态，迎接新起点 收到录取通知书后，不要松懈，利用剩下的假期为高中生活做好准备。 不要因为考上了好高中就骄傲自满，也不要因为去了不理想的学校就自暴自弃。高中是一个全新的开始，所有人都站在同一起跑线上，未来的成绩取决于你接下来三年的努力。 二、志愿填报全攻略：科学决策，不留遗憾 志愿填报是中考后最重要的事情，它直接关系到你未来三年的学习环境和发展方向。一定要提前准备、理性分析、科学决策。 1.成绩公布前：提前做足功课，不打无准备之仗 1）吃透当地中考政策：这是志愿填报的基础。重点了解： 录取批次（提前批、第一批、第二批、第三批等） 志愿数量和填报规则（平行志愿还是顺序志愿） 投档录取原则（分数优先、遵循志愿、一轮投档） 加分政策、特长生招生政策、指标到校政策等 2）全面收集学校信息：不要只看学校的名气和分数线，要从多个维度了解： 办学实力：近三年的升学率、一本率、本科率、重点班情况 师资力量：特级教师、高级教师比例，骨干教师情况 办学特色：是否有特色班（如实验班、竞赛班、艺术班、体育班）、校园文化、社团活动 硬件条件：校园环境、教室、宿舍、食堂、运动场馆 管理模式：是封闭式管理还是开放式管理，作息时间安排 3）明确自身需求和定位： 分析自己的学科优势和兴趣爱好：比如理科好可以侧重理科强的学校，喜欢艺术可以考虑有艺术特色的学校 考虑家庭实际情况：学校的地理位置、住宿条件、学费等 不要盲目跟风：别人觉得好的学校不一定适合你，适合自己的才是最好的 2.成绩公布后：精准定位，合理填报志愿 1）精准定位自己的位次：中考录取看的是位次（排名），而不是绝对分数。每年的试题难度不同，分数会有波动，但位次相对稳定。根据自己的分数，对照当地教育局公布的“一分一段表”，确定自己在全市的排名，这是筛选学校的核心依据。 2）按照“冲、稳、保”原则划分志愿梯度： 冲一冲（1-2个）：选择比自己位次稍高的学校，踮踮脚能够到的，增加上好学校的机会 稳一稳（2-3个）：选择和自己位次相当的学校，这是录取概率最大的，一定要确保稳妥 保一保（1-2个）：选择比自己位次低一些的学校，作为保底，防止滑档 3）深入核实目标学校信息：对于筛选出来的目标学校，尽量实地考察，或者咨询在校的学长学姐、老师，了解最真实的情况。不要轻信网上的片面信息和招生宣传。 4）仔细填报，反复核对： 严格按照规定的时间和流程填报志愿 仔细核对学校代码、专业代码，避免填错 建议勾选“服从专业调剂”和“服从学校调剂”，大大增加录取机会 填报完成后，一定要保存并提交，最好打印一份留存 3.避坑提醒：这些错误千万不要犯 ❌只看分数不看位次：这是最常见的错误，每年都有很多学生因此滑档 ❌志愿没有梯度：全部填高分学校，或者全部填低分学校 ❌盲目跟风：别人报什么我就报什么，不考虑自己的实际情况 ❌只看学校名气，不看办学特色和专业 ❌轻信“内部指标”“保录取”“花钱买学位”等骗局，所有录取信息都以教育局官方公布为准 ❌把志愿填报完全交给家长，自己不参与：这是你自己的人生，一定要自己做主 4.录取阶段：及时跟进，做好后续准备 按照规定的时间查询录取结果，保存好录取通知书 未被录取的考生，及时关注教育局发布的补录信息，抓住最后的机会 按照学校的要求，准备好入学所需的材料，按时报到 三、考后人生规划：让假期更有意义，开启人生新篇章 放松不等于放纵，利用好这个最长的假期，既能好好休息，也能为未来积蓄力量。 1.合理放松，规律作息 适度娱乐：可以适当追剧、打游戏、和同学聚会，但要控制时间，每天娱乐时间不超过3小时。 坚决杜绝放纵：不要通宵熬夜、日夜颠倒，不要暴饮暴食，不要沉迷网络游戏。保持备考期间养成的良好作息习惯，每天保证7-8小时睡眠，坚持体育锻炼，让身体保持健康状态。 整理过往：分类整理初中三年的学习资料，课本、笔记、错题本可以妥善保存，留给学弟学妹或自己留作纪念；试卷、练习册可以选择性出售或回收，不要采取撕书、烧书等极端宣泄方式，既不环保，也毫无意义。 2.复盘成长，规划未来 回顾初中三年：静下心来，写一篇成长日记或总结，记录下初中三年最难忘的瞬间、最大的收获、最遗憾的事情，以及从中学到的经验教训。这不仅是对过去的告别，更是对自己的一次深度认知。 规划高中生活：提前了解高中的学习特点和课程设置，高中知识的难度和深度都会比初中大幅提升，做好心理准备。可以给自己定一个初步的高中目标，比如想考上哪所大学、想发展哪些兴趣爱好、想成为一个什么样的人。 3.静心阅读，拓宽视野 利用这段没有作业的充裕时间，好好读几本书，这是提升自我最好的方式。 4.心怀感恩，表达爱意 中考的胜利，从来都不是你一个人的功劳。 感恩父母：他们为你付出了无数的心血和汗水，为你洗衣做饭、熬夜陪读、默默承受你的坏脾气。给父母一个拥抱，说一句“爸爸妈妈，你们辛苦了”，或者帮他们做一些力所能及的家务，比如洗碗、拖地、做一顿饭。 感恩老师：感谢老师三年来的谆谆教诲和悉心栽培。可以给老师发一条感谢的短信，或者和同学一起回学校看看老师。 感恩同学：感谢那些一起奋斗、一起欢笑、一起流泪的同学，这份同窗情谊是你人生中宝贵的财富。和同学好好告别，约定未来再相见。 5.培养技能，提升自我 学习一项新技能：比如游泳、吉他、绘画、书法、摄影、烹饪等，既能丰富假期生活，也能培养一项特长。 提前预习高中知识：如果学有余力，可以提前预习高中数学、英语、物理等科目的基础知识，了解高中的学习方法，为开学后的学习打下基础，避免开学后不适应。 最后想对你说：中考结束了，但你的人生才刚刚开始。这段等待的时光，是上天给你的礼物，让你有机会停下来，好好看看自己，看看身边的人，想想未来的路。无论结果如何，只要你一直保持努力、保持善良、保持对生活的热爱，就一定能走出属于自己的精彩人生。祝你假期愉快，未来可期！ 2 / 180 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网 2026 中考老前 最后一课 考点无遗漏·热点早预见 技巧稳掌握·预测明考向 心态全护航·考后细疏导 刊首语 以青春之名，赴梦想之约 致即将奔赴考场的你 亲爱的同学们： 当凤凰花开满枝头，当蝉鸣唤醒盛夏，你们将执笔为剑，在考场上书写青春 的答卷。这三年，你们见过彼此晨光熹微时的早读身影，听过自已深夜笔尖划 过纸页的沙响；既有过“直挂云帆济沧海”的意气风发，也曾因“路漫漫其修 远兮”而彷徨。但请记住，每一滴汗水都是成长的印记，每一次跌倒都是为腾 飞蓄力。 以信念为帆，破浪前行 中考是人生的第一个重要渡口，它检验的不仅是知识，更是意志。那些挑灯 夜战的夜晚、反复演算的习题，终将凝聚成“天道酬勤”的力量。无论结果如 何，只要拥有梦想并为之奋斗，你们已是自己的英雄。请带着“舍我其谁”的 气魄踏入考场，因为“自信是成功的基石，沉着是飞翔的翅膀”。 以坚韧为刃，披荆斩棘 学习之路从无捷径，或许你们曾因一次失利而怀疑自己，但请明白：“只有 经历地狱般的磨炼，才能炼出创造天堂的力量。”就像梅花经苦寒而芬芳，宝 剑因磨砺而锋利。此刻，你们只需凝神静气，将三年积淀化作笔下星河 一“静下来，铸我实力；拼上去，亮我风采”！ 以初心为灯，照亮未来 中考不是终点，而是新篇章的起，点。这个世界从不会辜负认真耕耘的人，在 你的笔下有一个色彩绚丽的世界，而未来定会还你另一幅灿烂图景。愿你们像 雄鹰搏击长空，如猛虎声震山谷，在考场上“以平常心面对挑战，以非凡心成 就自我” 殷殷的嘱托 亲爱的同学们，“长风破浪会有时”是你们的信念，“不达目的誓不罢 休”是你们的誓言。愿你们“从容不迫，潇洒凯旋”；愿你们“金榜题名时， 言笑亦晏晏”；更愿你们永远记得一这场考试的意义，在于让你们发 现：“生命中最快乐的，是拼搏而非成功；最痛苦的，是惰性而非失败。” 希望学科网《最后一课》系列，能助你在中考的考场上擘画自己的明天！相 信你们终将“一举成名天下知”，让青春的光芒照亮未来的每一步！ 学科网总经理陈学艺 2026年4月20日于北京 命学科网 执笔为刃，智启巅峰 数学 2026·终极特魁 中考数学冲刺最后一课 目录 考前冲刺篇 解密题型10~22（属数） 117 考前必看：抓热点、扫考点、补漏洞 解密题型23~47（图形与儿何）》 166 解密题型48数据分析 270 冲刺复习备考指导 ◇核心·高频点速查 ◇冲刺·压轴动向预测◇ 压轴题型01新定义问题 275 速查01数与式(6大核心考点) 压轴题型02阅读理解类问题 278 速查02方程与不等式(5大核心考点) > 压轴题型03综合与实践类问题 284 速查03函数(5大核心考点) 11 压轴题型04现实热点问题 288 速查04三角形与四边形(6大核心考点) 16 压轴题型05跨学科问题 291 速查05圆(7大核心考点) 20 压轴题型06动点问题 296 速查06图形变换(3大核心考点) 27 压轴题型07最值问题 306 速查07统计与概率(4大核心考点) 32 压轴题型08多结论正误判断题 311 ◇锦囊·几何模型全解◇ 压轴题型09图形变换综合题（折叠/旋转） 318 几何模型01三角形热考28种模型 37 压轴题型10函数综合压轴题 327 几何模型02四边形热考6种模型 40 压轴题型11几何模型综合题 334 几何模型03圆热考8种模型 41 ◇袭押·临考抢分卷 技法·得分加速器 领航卷·最新模拟精选。 346 15种辅助线解题技巧 42 必刷卷·名校好题重组 366 ◇排雷·易错点清零 实战卷·中考真题重组 391 36种避坑指南 考中实战篇 易错题型01~10（数与式、方程与不等式） 52 临场提分：控节奏、稳心态、破危局 易错题型11~18（属数） 60 【考前准备1】学生科学备考篇 416 易错题型19~32（图形与几何） 71 【考前准备2】考前一天终极准备 417 易错题型33~36（统计与橇率） 97 【考前准备3】考场全程应对策略 418 ◇热点·命题风向标 【考前准备4】考场应急与难题突破 420 48大热点（包含命题解码、解题大招、押题预测） 考后辅导篇 解密题型01~06（数与式） 102 平稳收官：慎择校、启新程、向未来 421 解密题型07~09（方程多不等式） 109 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考前冲刺篇 考前必看：抓热点、扫考点、补漏洞 冲刺复习备考指导 核心原则：基础+中档题占80%，冲刺不钻偏题怪题，只做能提分、能控分的事 一、高效复习规划 1.复习优先级（提分效率从高到低） ☑第一梯队：基础题错题复盘+限时基础训练（保分核心） 。第二梯队：中档题高频题型专项突破（提分关键） △第三梯队：压轴题前两问训练（只抓步骤分，放弃最后一问) 2.每日时间分配 1)课内：紧跟老师节奏，当天错题当天标注、当天解决 2）晚间(2小时)：1小时基础限时练保手感，1小时攻克1类中档题型 3)碎片：只看公式定理、易错点提醒，不做新题 二、错题整改核心方法 )粗心失误：做题时圈画所有题干条件，计算不跳步，复盘时标注“粗心点” 2)概念模糊：直接回归课本原文，默写相关定义、定理，理清易混点 3)方法不会：总结同类题通用解题步骤，整理成模板，集中练3-5道同类题巩固 三、心态与情绪调节 1)拒绝“假努力”：不盲目刷新题，80%的提分来自错题复盘 2)接受不完美：不用追求所有题都会做，把能拿的分拿满就是胜利 3)建立可控感：每天只定12个可完成的小目标，完成即打勾，拒绝模糊焦虑 4)快速平复：紧张时用“4秒吸气-2秒屏息-6秒呼气”呼吸法，重复5次 四、考场答题策略 1)按顺序答题，单题耗时不超过5分钟，卡住先跳过 2)步骤写完整，按得分点作答，几何证明不跳关键步骤 3)优先检查选择填空和计算大题，减少低级失分 4)难题不空卷，写出相关公式、定理或第一步推导，争取步骤分 五、考前一周关键动作 1)全面停止刷新题、难题，只看错题本和高频易错点 1/425 品学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 2) 每日默写一遍核心公式、定理和常用结论 3) 按中考时间做1套基础卷，保持做题手感 4) 调整作息，保证每天7-8小时睡眠，避免熬夜 最后提醒：中考拼的不是谁会的题多，而是谁错的题少。稳住心态，把会做的题全部做对，你就赢了！ 核心·高频点速查◇ 速查01数与式(6大核心考点) 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与 选择 1.实数的概念与分类（无理数、相反数、绝对值、倒数、科学记数 运算辨析 法辨析〉 2.二次根式的概念与性质（有意义的条件、最简二次根式、同类二 次根式) 3.整式的相关概念（单项式/多项式的次数、系数，同类项的判 断) 4.分式有意义/无意义/值为0的条件辨析 重 核心运算与 填空 1.实数的运算（含零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值、 性质应用 绝对值化简) 2.因式分解（提公因式法、公式法、十字相乘法的直接应用） 3.分式的化简求值（含整体代入、因式分解约分） 4.二次根式的化简与估值 难 综合运算与 解答 1.分式/二次根式的混合运算（含化简求值、分母有理化、含参数 非负性应用 的分式化简) 2.因式分解的综合应用（结合方程、代数式求值、恒等变形） 3.与整式/分式相关的规律探究题（数字规律、图形规律） 4.含绝对值、二次根式的非负性综合题（如“几个非负数和为0求 参数”) 情境与形式创新 选择/填空 1.含新定义的数与式运算（如自定义运算规则、新定义数) 变 2.结合数轴的数与式问题（绝对值的几何意义、整式大小比较、动 点问题) 3.跨情境数与式应用（用代数式表示实际问题中的数量关系） 4.含参数的分式/二次根式取值范围问题 跨学科与开放探 选择/填空/ 1.结合跨学科情境的数与式问题（如统计数据、科技/文化热 究新 解答 点背景下的数与式计算) 2.开放型数与式问题（如“写出一个满足条件的无理数/代数 式”) 3.数与式与函数/几何的综合题（如结合函数图像、几何图形 的代数式求值) 2/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.与数论相关的创新题（如整除性、奇偶性、数的分类拓 展) 丽一图串考法 常考易横 0先看该数是有限小数还是无限小数 有理数/无理数的区别 ②再看是循环小数还是不循环小数 常考热考 有理数的运算法则及运算律等同样适用 实数运算 0先进行乘方和开方运算 ②再算乘除 运算顺序 ③最后算加减 O如果遇到括号，则先进行括号里的运算 常考热考 0al20 非负数的表现形式 8a2≥0 ③a≥0(a≥0) am.an 三am 数与式 (amn=amn 底数不为0】 幂的运算 a"on (ab)" 常考热考 考内 ra°=1(a≠0) 整式的常见运算 特殊 常在计算题中出现 r(a+b)(a-b)=a2-2 乘法公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 有 提取公 观察剩 两项 平方差 因式 余项 公式 观察是否 检查每个多 因式分解的一般步骤 有公因式 项式是否都 没有 观察多 完全平 分解彻底。 地式 方公式 一提 三检查 有括号一先算括号里面的 ·运算顺序 L无括号一先乘方一再乘除一最后加减 二次根式的混合运算 运算律一有理数的运算律仍适用 r平方差公式一(a-V)(a+V⑥=a-b(a≥0，b≥0) 运算公式 L完全平方公式一(Wa士v02=a+b士2Wab(a≥0，b≥0) Γ先乘方，再乘除，最后加减 分式的混合运算 有括号时，先算括号内的运算 L同级运算，按照从左到右的顺序进行 3/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点清单 考点01实数 1.实数的相关概念及性质（表格版) 名称 定义 性质 数轴 在数学中，通常用一条直线上的点表示数， 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.反 这条直线叫做数轴， 之，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数 与数轴上的点是一一对应的. 相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数， 1)若a,b互为相反数，则a+b=0 我们称其中一个数是另一个数的相反数 2)0的相反数是0 3)互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到 原点的距离相等且位于原点的两侧 绝对值 数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的 a(a>0) 绝对值，记作a. a={0(a=0) -a(a<0) 倒数 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫 1)0没有倒数，倒数等于它本身的数是1和-1； 2)若ab=1-a,b互为倒数； 做另一个数的倒数. 若ab=-l分a,b互为负倒数； 2.实数的混合运算 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算 实数计算的易错点： 1)负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2)一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数： 3)。-日(o+0内正整数刻d=1a0内正数 3.补充知识（特殊角的锐角三角函数值） 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sina 2 3 2 cos a 2 1 2 tan a 1 3 N 4/425 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点02整式运算 1.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2.幂的运算 法则(m,n都是整数) 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，即ama”=am+n x2.x5=x7 幂的乘方 底数不变， 指数相乘，即(a)”=am (=x 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的 积相乘，即(ab)”=ab (=x 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即am÷a”=am-n(a≠0) x3÷x2=x3(x≠0) 3.整式的乘法 单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂 (-2x3y2)3.4y2=-32x"y 乘单项 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母， 式 则连同它们的指数作为积的一个因式. 单项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式 (-3x2y)-x+3x2y)=3x3y-9xy 乘多项 的每一项，再把所得的积相加·即 式 m(a+b+c)=ma+mb+mc. 多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项 乘多项 乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相 号5m-4m2m+3m0=5m+3m-6n 式 加.即(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd. 乘法 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 公式 完全平方公式：(a±b)=a2±2ab+b2 4.整式的除法 单项式除 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的 12a3b2x3÷3ab2=4a2x 以单项式 因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的 指数作为商的一个因式 多项式除 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每 12a3-6a2+3a÷3a=4a2-2a+1 以单项式 项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 (am+bm-cm)÷m=a+b-c 5/425 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点03因式分解 有 提取公 观察剩 两项 平方差 因式 余项 公式 观察是否 检查每个多 有公因式 项式是否都 没有 观察多 三项 完全平 分解彻底. 项式 方公式 一提 二套 三检查 考点04分式的运算 加减运算 1) 同分母分式：分母不变，把分子相加减，即b士°_b±9 a a a 2)异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减，即二士 ,bcbd±ac a d ad 乘除运算 1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的 分母， 即b,cbe a d ad 2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式 相乘，即b÷=b.d_bd 一● a d a c ac 乘方运算 分式的乘方是把分子、分母分别乘方， a" 6 (n为正整数，且b≠0) 混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减； 有括号时，先 进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 考点05二次根式的运算 加减运算 般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次 泰式合并，即aNm+bNm=(a+b)Vm,am-bm=(a-b)Vm 乘法运算 Vab=Vab(a≥0，b≥0) 除法运算 0 6 a≥0，b>0) 混合运算 次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算， 考点06比较数的大小 (1)数轴比较法：将实数在数轴上表示出来，左边的数小于右边的数； 6/425 品学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 (2)绝对值比较法：设a,b是两负实数，若a>lb一a<b; a-b>0白a>b a-b=0台a=b (3)求差比较法：设a,b是两实数，若Q-K0台Kb 8>1a心6 81分a6 (4)求商比较法：设a,b是两正实数，若6 <1白Kb (5)平方比较法：设a,b是两负实数，若a>b2a<b: (6)估算法：设a,b为任意两个正实数，先估算出a,b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较， 例如V2≈1.414，V3≈1.732，V5≈2.236；【总结】比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒 数法、数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a,b,若a>b2~a>b;对任 意负实数a,b,若a>b2分a<b. 速查02方程与不等式(5大核心考点) 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.一元一次方程、二元一次方程（组)的解的概念辨析 析 2.一元二次方程的根的判别式、根与系数关系（韦达定理）的 基本应用 3.不等式（组）的解集表示、整数解判断 4.分式方程的增根与无解的条件辨析 核心运算与性质应 填空 1.一元一次方程、二元一次方程组的求解 用 2.一元二次方程的求解（配方法、公式法、因式分解法） 3.分式方程的求解（含检验步骤） 4.一元一次不等式（组）的求解与解集表示 难 综合应用与含参讨 解答 1.含参数的方程（组）/不等式（组）的解的情况讨论（如解 论 的正负性、整数解个数) 2.一元二次方程与几何、函数的综合应用（如根的分布、面积 问题) 3.分式方程的实际应用（工程、行程、销售问题，含检验） 4.不等式（组）与函数结合的方案设计、最值问题 情境与形式创新变 选择/填 1.含新定义的方程与不等式问题（如自定义方程、新定义不等 空 式) 2.结合数轴、函数图像的不等式解集分析（如一次函数与不等 式的关系) 3.跨情境方程建模（如结合统计、几何背景列方程/不等式》 4.含绝对值的方程与不等式 7/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 跨学科与开放探究新 选择/填 1.结合跨学科情境的方程与不等式问题（如物理、化学、科技 空/解答 热点背景下的建模) 2.开放型方程与不等式问题（如“写出一个解为x=2的一元二 次方程”) 3.方程与不等式的规律探究题（如数列递推、周期性问题） 4.方程（组）与函数、几何的综合压轴题（如动点问题中的方 程建模) 园一图串考法 解方程的基础 相同的数 等式的性质1一等号两边同时一加（或减） 等式仍然成立 相同式子 等式的性质 乘一同一个数 等式的性质2一等号两边同时 等式仍然成立 除以一同一个不为0的数 代入消元法一用一个未知数表示另一个，代入消去未知数 解二元一次方程组十加减消元法一通过方程加减消去某一未知数 小提示一优先消系数为1或绝对值小的未知数，简化计算 0去分母一两边同乘最简公分母一化成整式方程 ②解整式方程一求出整式方程的解 解分式方程 易错易混 值0一有解 代入最简公分母 ©验根 值=0一无解 增根一分式方程化整式方程后，使原分母为0的解 常用方法 直接开方法一特征一ax2=(a≠0，b≥0) 配方法一特征-厂ar+62=ca≠0) 程与不等 L适用于所有一元二次方程，是推导求根公式的基础 r判别式一△=b2-4ac一使用条件一△≥0 求根公式一当△≥0时， -b士√△ 一元二次方程的解法 公式法 根为优= 2a 厂△>0台两个不相等的实数根 解（根）十△=0种两个相等的实数根 a*0 易忽略 L△<0停无实数根 提公因式法一提取公共因式 因式分解法一常见方法 公式法一利用平方差/完全平方公式 十字相乘法一拆分二次项、常数项配系数 前提一△≥0 根与系数的关系 一关系 ac2+bc+c=0(a≠0) += 解不等式细是础 加（或减）一同一个数（式子 不等号方向不变 不等式的性质 不等式两边同时 乘（或除以以一同一个正数 乘（或除以）一同一个负数一不等号方向改变 求各个不等式的解集 元一次不等式组的解法 再求公共部分 8/425 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点清单 考点01解一元一次方程 步骤 具体做法 变形的依据 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最 等式的 1)不要漏乘不含分母的项； 小公倍数 性质2 2)当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再 去分母 3)如果分子是多项式，去分母后要将分子作为一 个整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最 去括号法 1)去括号时，括号前的数不要漏乘括号内的每一 后去大括号 则，分配律 项； 2)当括号外的因数是负数时，去括号后原括号内 的各项均要变号 移项 把含有未知数的项移到方程一 等式的 1)移项时不要丢项； 边，其它项都移到方程另一边 性质1 2)将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在 【易错点】移项过程中未变号 方程同一边改变项的位置时不变号 合并同 把方程变为ax=b(a≠0)的形 合并同类项 1)系数的符号处理要得当； 类项 式 法则 2)未知数及其指数不变. 系数化 将方程两边都除以未知数的系 等式的 不要将分子，分母的位置颠倒 为1 数a,得到方程的解x日 性质2 考点02解二元一次方程组 解二元一次方程组的一般步骤 1)把二元一次方程组中的一个未知数消掉（代入消元或加减消元）使其变成一元一次方程； 2)解一元一次方程，求出一个未知数的值： 3)将求出的未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值： 4)写出方程组的解 【注意】 1)消元时要根据方程组的特点决定首先消去哪个未知数： 2)原方程组的每个方程在求解过程中至少要用到一次： 3)将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组的每一个方程中进行检验，看每个方程等号左、右两边的 值是否相等，若都相等，则是原方程组的解，只要有一个方程等号左、右两边的值不相等，就不是原方程 组的解. 考点03解分式方程 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程，即分式方程价→整式方程。 具体作法：将分式方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程，再求根验根， 1)去分母一方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 9/425 品学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 2)解整式方程一去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3)验根一将整式方程的解代入最简公分母， 若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，（可将这个解代入分式方程看左右两边是 否相等) 若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【易错点】 1)去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误， 2)方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根， 考点04解一元二次方程 根据方程的特点，选择适当的求根方法： l)若方程具有(x+n)=a(a≥0)的形式，可用直接开平方法求解； 2)当一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法求解 3)公式法是一种最常用的方法，用时一定要把一元二次方程化为一般形式，确定a,b,c的值，在 △=b2-4ac≥0的条件下代入公式求解. 方法 说明 直接开平方法 方程没有一次项时用直接开平方法较为简单（最直接的方法） 配方法 二次项系数为1，一次项系数为偶数时，用此方法较为简单（最基本的方法） 公式法 在配方法和公式法中，当各项系数均为整数，且绝对值较小时，首选公式法（万能 方法) 因式分解法 方程没有常数项时用因式分解法较为简单；当方程中含有括号时，不要急于去括 号，应观察是否能看作整体，直接因式分解（最简便的方法）》 【总结】对于配方法、公式法和因式分解法，一般来说因式分解法较为简单，应优先考虑；对于整系数的 一元二次方程，若一次项系数为偶数，则可以考虑用配方法；若以上两种方法都不太方便的话，则用公式 法 考点05解一元一次不等式组 一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集： 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集， 【易错点】 1)利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2)当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变 x>a 3)关于x的不等式组 x之0的解集为Xa,关于x的不等式组 无解 x≤a x<a 10/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 速查03函数(5大核心考点) 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.函数的定义与自变量取值范围（分式、二次根式、零指数幂 析 综合) 2.一次/反比例/二次函数的图像与基本性质辨析(k、a、b、c 的作用) 3.函数值的计算、增减性判断与大小比较 4.函数图像的识别（实际问题图像、动点图像） 5.函数的对称性、平移规律辨析 重 核心运算与性质应 填空 1.待定系数法求函数解析式（一次、反比例、二次函数） 用 2.函数图像的平移、对称、旋转变换计算 3.反比例函数k的几何意义（面积相关计算） 4.二次函数的顶点、对称轴、最值计算 5.一次函数与坐标轴的交点、与反比例函数的交点问题 难 综合应用与含参讨 解答 1.一次函数与反比例函数的综合（交点、面积、不等式解集） 论 2.二次函数与几何综合（存在性问题：等腰/直角三角形、平 行四边形、菱形等) 3.二次函数的最值问题（顶点最值、区间最值、面积最值） 4.含参数的一次/二次函数问题（参数对图像、交点、性质的 影响) 5.函数与方程、不等式的综合（利用图像解不等式、方程根的 分布) 情境与形式创新变 选择/填 1.分段函数的实际应用（阶梯计费、行程分段问题） 空/解答 2.函数建模的实际问题（一次/二次函数解决利润、方案选 择) 3.函数图像的信息解读（图表、图像结合的实际问题） 4.反比例函数与几何图形的非常规综合（比例、相似、面积） 5.函数性质的变式探究（自定义函数、新运算） 跨学科与开放探究新 选择/填 1.跨学科情境的函数建模（物理运动轨迹、跨学科实际问题） 空/解答 2.函数的新定义与开放探究题（自定义函数、规律探究） 3.二次函数的实际应用（抛物线型建筑、运动轨迹、优化问 题) 4.函数与统计、大数据结合的图表分析题 5.多模块融合的开放题（函数+几何+代数的综合探究） 11/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 丽一图串考法 r×轴一b=0 轴上的点十y轴一a=0 原点一(0.0) 到x轴距离一bl 点到坐标轴的距离 到y轴距离一a 特殊点坐标特征一(a,b) 易错点一距离是正数，取坐标的绝对值 三象限一a=b 象限角平分线上的点 四象限一a+b=0一即a=-b 「与x轴平行一纵坐标相等，横坐标不等 平行于轴的线 L与y轴平行一横坐标相等，纵坐标不等 b>0一在正半轴 x=0一与y轴交点(0，b) b<0一在负半轴 与坐标轴交点 -b=0一过原点 y=0一与x轴交点(-：)一与x轴交点 一次函数 k一上升k>O)/下降k<0)趋势 直线位置 b 与y轴交点的纵坐标 由k,b的符号确定一示例：k心0，b>0一一、二、三象限 函数 双曲线 关于原点中心对称的两条分支组成一补充]双曲线还关于直线y=x、y=-x轴对称 双曲线位于第一、三象限一X,y同写 k>0 反比例函数 在每个象限内，y随x的增大而减小 双曲线位于第二、四象限一X,y异号 k<0 性质 在每个象限内，y随x的增大而增大 重难点 所得矩形的面积为k( k的几何意义一双曲线上任一点向X、y轴作垂线 所得直角三角形的面积为内 抛物线y= ax2+加+c(a≠0)若点（红1，叭、(c2,)在抛物线上一对称箱为：r=+型 2 0 a的作用一a>0开口向上，a<0开口向下 ab>0一在y轴左侧 二次函数 2系数a、b的配合作用 ab<0一在y轴右侧 b=0一y轴 c>0一与y轴正半轴相交 :目系数c的作用 ·c=0一经过原点 与系数a、b、c的关系 ·c<0一与y轴负半轴相交 一△>0→有2个交点 0与x轴交点的关联一由判别式△=b2-4ac决定 △=0+有1个交点 L△<0+无交点 x=1:y=a+b+c一判断a+b+c的符号 x=-1:y=a-b+c一判断a-b+c的符号 ⑤特殊值对应的函数值 x=2:y=4a+2b+c一判断4a+2b+c的符号 x=-2:y=4a-2b+c一判断4a-2b+c的符号 12/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点清单 考点01一次函数的图像与性质 k>0 k<0 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 图像 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴 交点的 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 位置 经过 第一、二、 第一、三、 第一、二、 第二、三、 第一、三象限 第二、四象限 的象限 三象限 四象限 四象限 四象限 1)直线y=kx+b(k≠0)与直线y=k2x+b,(k2≠0)平行9 k=飞3.6≠b 拓展 2)直线y=kx+b(k≠0)与直线y=k2x+b,(飞2≠0)垂直种 13=-1 【补充说明】一次函数y=x+b(k≠O)的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k 的符号有关，与b的符号无关. 考点02反比例函数的图像与性质 k的符号 k>0 k<0 图像 图像位置 图像分别位于第一、第三象限(x、y同 图像分别位于第二、第四象限(x、y异 号) 号) 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 图像特征 1)图像是关于直线y=x和y=-x对称的双曲线： 2)图像是关于原点对称的双曲线； 3)图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交， 【易错易混】 1.反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个 前提.当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y 13/425 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 随x的增大而减小，同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大 2.反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函 数的增减性，也可以推断出k的符号。 3.双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个 分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）， 考点03二次函数的图像与性质 基本形式 y=ax2 y=ax+k y=a(x-h) y=a(x-h)'+k y=ax'+bx+c h>0.k>0 a>0 、9h<0k<0 图 像 h<0,o0 a<0 h>0,k<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点坐标 (0,0) (0,k) ,0) (h,k) (2 4ac-b2) 4a a>0 开口向上，顶点是最低点， 此时y有最小值； 最 a<0 开口向下，顶点是最高点， 此时y有最大值， 值 【小结】二次函数最小值（或最大值）为0(k或如c-) 4a 增 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. 减 孕 a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 考点04二次函数的图像特征与各项系数之间的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 14/425 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口 的大小(a越大，开口越小). a<0 开口向下 b=0 对称轴是y轴，即-。0 b a,b同号 对称轴在y轴左侧，即-品<0 左同右异中间0 a,b异号 对称轴在y轴右侧，即一>0 2a c=0 图像过原点 c c>0 与y轴正半轴相交 c决定了抛物线与y轴交点的位置. c<0 与y轴负半轴相交 b2-4ac>0 与x轴有两个不同的交点 b2-4ac b2-4ac的正负决定抛物线与x轴交点个数 考点05函数的平移 1.一次函数的平移变换 平移变换 平移方式(m>0) 函数解析式 向上平移m个单位 y-kx+b+m 向下平移m个单位 y=kx+b-m y=kx+b 向左平移m个单位 y=k(x+m)+b 向右平移m个单位 y=k(x-m)+b 【总结】一次函数图象平移后，k值不变因此可求出原函数图象上任意一点平移后得到的点的坐标，再利用 待定系数法即可求出平移后的解析式。 2.二次函数图像的平移 平移方式(n>0) 般式y=ax2+bx+c 顶点式y=a(x-h)2+k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移口诀：左加右减（只改变x)，上加下减（只改变y), 15/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 速查04三角形与四边形(6大核心考点) 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.三角形的分类、三边关系、内角和定理辨析 析 2.特殊三角形（等腰、等边、直角三角形）的性质与判定辨析 3.三角形的高、中线、角平分线、中位线的性质应用 4.多边形内角和、外角和公式的直接应用 5.平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义与性质辨析 6.轴对称、中心对称图形的识别（结合三角形/四边形） 重 核心运算与性质应 填空 1.三角形角度计算（含外角定理、直角三角形两锐角互余） 用 2.等腰/直角三角形的边长、周长、面积计算（含勾股定理） 3.三角形中位线定理的相关计算 4.平行四边形、矩形、菱形、正方形的边长、对角线、面积计 算 5.特殊四边形的对称性、边长/角度的性质应用计算 6.多边形的边数、内角和/外角和的逆向计算 难 综合应用与含参讨 解答 1.三角形全等/相似的证明与性质应用（含多步证明、线段/角 论 度转化) 2.特殊三角形（等腰/直角）与四边形的综合证明与计算 3.平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质综合题 4.三角形/四边形的动点问题（点动、线动、面动，含存在性 讨论) 5.含参数的三角形/四边形问题（如边长含参、角度含参的分 类讨论) 6.几何最值问题（如将军饮马模型、折叠问题中的最值） 情境与形式创新变 选择/填 1.三角形/四边形的折叠、旋转、平移等几何变换问题 空/解答 2.以实际情境为载体的几何建模题（如测量、拼接问题） 3.开放性几何题（如条件开放、结论开放的三角形/四边形证 明) 4.几何图形的变式探究（如条件弱化、结论推广的多问探究） 5.结合网格、坐标系的三角形/四边形问题（坐标法解几何） 跨学科与开放探究新 选择/填 1.跨学科情境的几何问题（如物理受力分析、工程测量中的三 空/解答 角形/四边形应用) 2.几何新定义问题（如自定义“等邻边四边形”“奇异三角 形”等) 3.几何规律探究题（如多边形分割、图形拼接的规律总结） 4.多模块融合题（三角形/四边形与函数、方程、统计的综 合) 5.开放探究类压轴题（如条件探究、结论探究、方法探究的多 问压轴) 16/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 弱一图串考法 三边性质一关系一两边之差<第三边<两边之和 三角形的性质 内角和=180 角度性质 ~外角=不相的两个内角之和 等边对等角 性质 三线合一 等腰三角形 两暖相等 定义法一有两边相等的 判定 等角对等边 三个角相等且为60 性质 三边相等 等边三角形 般三角形 三个角相等 特殊三角形 判定 三条边相等 等腰三角形中，有一个角是60 角的性质一两锐角互余 性质 边的性质一两直角边的平方和-斜边的平方（勾股定理 中线-斜边的一半 特殊线段的性质 若∠A30.则a=29 1 直角三角形 三 厂有一个角是直角 角的判定 L两个内角互余 形与四 判定 线段判定一中线斜边的一半 勾股定理逆定理一a2+b2=c2 热门考点 边形 边一两条直角边ab)、斜边(c 核心元素 角一两个锐角（∠A,∠B) 三边关系一a2+b2=c2 两锐角关系一∠A+∠B-90 基本关系 解直角三角形 8i血A=cosB=4 边角关系十 sinB= tond -tan 1 特群结论2A30助一30°角对边=斜边的一单：a= 继承平行四边形所有性质 四个角都是直角 性质 对角线相等 既是中心对称图形，又是轴对称图形 柜形 有一个角是直角的平行四边形 判定 有三个角是直角的四边形 对角线{对角线相等的平行四边形 特殊平行四边形 性质 四条边都相等 对角线互相垂直且平分一组对角 美形 有一组邻边相等的平行四边形 判定 四条边都相等的四边形 对角线{互相垂直的平行四边形 四条边相等，四个角是直角 性赁 对角线相等且互相垂直平分、平分一短对角 有4条对称轴（既是中心轴对称图形） 正方形 边了 有一组邻边相等的柜形 判定 角{有一个角是直角的美形 对角线互相垂直的柜形 对角线 对角线相等的姜形 17/425 品学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 考点清单 考点01特殊三角形的性质与判定 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 性 (1)两腰相等， (1)三边相等. (1)两锐角之和等于90° 质 (2)两底角相等（简写成“等边 (2)三个内角相等，都等于60° (2)斜边上的中线等于斜边的 对等角”). (3)是轴对称图形，有三条对称 半 (3)顶角的平分线、底边上的中 轴. (3)30°角所对的直角边等于斜 线、底边上的高线互相重合（简 (4)等边三角形三条角平分线的 边的一半。 称“三线合一”) 交点、三条高线的交点、三条中 (4)勾股定理：两直角边的平方和 (4)是轴对称图形，有一条对称 线的交点重合」 等于斜边的平方，即a2+b2=c2 轴. (a,b为直角边，c为斜边). 判 (1)有两条边相等的三角形是等 (1)三边相等的三角形是等边三 (1)有一个角为90°的三角形是 定 腰三角形. 角形. 直角三角形 (2)有两个角相等的三角形是等 (2)三个角都相等的三角形是等 (2)有两个角互余的三角形是直 腰三角形（依据“等角对等 边三角形 角三角形 边”). (3)有一个角等于60°的等腰三 (3)勾股定理的逆定理：若a2+b2 角形是等边三角形. =c2,则以a,b,c为三边的三 角形是直角三角形 面 积 g=ah(a为等腰三角形的 S- (a为等边三角形的 S2ab=2cm(a,b为直角边， 底边长，h为底边上的高) c为斜边，m为斜边上的高). 边长) 考点02全等三角形的性质与判定 全等三角形的性质： 1)全等三角形的对应边相等，对应角相等 2)全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等， 3)全等三角形的周长相等，面积相等（注意：周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）· 判定两个三角形全等的思路：证明两个三角形全等时，要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备 了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法，一般可按下面的 思路进行： 判 找第三边 SSS 定两 已知两边 找夹角SAS 找直角HL 三 一边为角的对边 找另一角 AAS 已知一边、一角 找夹角的另一边SAS 形 边是角的邻边 找夹边的另一角 ASA 全等 找边的对角 AAS 找夹边 ASA 已知两角 思 找其中一角的对边 AAS 路 18/425 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点03相似三角形的性质与判定 1.相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等， ②相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比. ③相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. ④三角形的相似具有传递性：若△ABC∽△BDC,△ABC∽△ADB,则△BDC∽△ADB. 【易错点】对相似三角形的面积比不清而出错 2.相似三角形的判定 判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交， 有一个锐角相等的两个直角三角形相似： 所构成的三角形与原三角形相似， 2 三边成比例的两个三角形相似， 两组直角边成比例的两个直角三角形相似. 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 4 两角分别相等的两个三角形相似， 考点04解直角三角形 己知条件 解法步骤 图示 斜边和一直角边 C=simA→∠A→∠B=90°-∠4 两 (如a,c) a,c→ b=vc2-a y 边 两直角边 a =tamA→∠A→∠B=90°-∠A b (如a,b) a,b→ c=√a+b B 斜边、锐角 ∠B=90°-∠A c,∠A→ (如c,∠A) a=csin A,b=ccosA 一直角 对边，锐角 ∠B=90°-∠A 边 边， (如a,∠A) a,∠A→ b=- a ,C= 锐角 tand sin d 角 邻边，锐角 「∠B=90°-∠A (如b,∠A) b,∠A→ b a=b.tan A.c=- sd 考点05特殊四边形的性质 19/425 命学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 四边形 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称图形 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形、中心对 称图形 菱形 对边平行且四条边 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且 轴对称图形、中心对 都相等 每一条对角线平分一组对角 称图形 正方形 对边平行且四条边 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分且相 轴对称图形、中心对 都相等 等，每一条对角线平分一组对 称图形 角 考点06特殊四边形的判定 四边形 边 角 对角线 平行四 1)两组对边分别平行 两组对角分别相等 两组对角线互相平分 边形 2)两组对边分别相等 3)一组对边平行且相等 矩形 1)平行四边形+一直角 平行四边形+两条对角线相等 2)四边形+三直角 菱形 1)平行四边形+一组邻边相等 平行四边形+两条对角线互相垂直 2)四边形+四条边都相等 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 矩形+对角线互相垂直 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 菱形+对角线相等 速查05圆(7大核心考点) 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.圆的基本概念辨析（圆心、半径、弦、弧、圆心角、圆周角 析 的定义与关系) 2.垂径定理及其推论的辨析与直接应用 20/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.圆周角定理（直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相 等)的辨析 4.点与圆、直线与圆的位置关系判定(d与r的数量关系)》 5.圆的对称性（轴对称、中心对称）的识别与应用 6.正多边形与圆的基本概念辨析（中心角、边心距） 重 核心运算与性质应 填空 1.垂径定理相关计算（弦长、半径、弦心距的勾股定理应用） 用 2.圆心角、圆周角的角度计算（含多步转化） 3.弧长、扇形面积的公式直接计算 4.圆锥的侧面积、全面积与展开图相关计算 5.切线的性质应用（切线与半径垂直）的基础计算 6.圆内接四边形的性质（对角互补）相关角度计算 难 综合应用与含参讨 解答 1.切线的判定与性质综合题（证明切线、利用切线性质计算线 论 段/角度) 2.圆与三角形/四边形的综合（圆内接三角形、四边形的证明 与计算) 3.圆的综合证明与计算（垂径定理、圆周角定理、切线性质的 多步综合) 4.圆与函数的综合（坐标系中圆与一次/二次函数的交点、切 线问题) 5.含参数的圆的问题（如圆心坐标、半径含参的位置关系讨 论) 6.圆中的最值问题（如线段最值、弧长最值、面积最值） 情境与形式创新变 选择/填 1.圆的折叠、旋转等几何变换问题（如折叠后形成的圆的相关 空/解答 计算) 2.实际情境中的圆建模问题（如圆形零件、扇形零件的测量与 计算) 3.结合网格、坐标系的圆的问题（坐标法解决圆的位置关系、 切线问题) 4.圆的变式探究题（如条件弱化、结论推广的多问探究） 5.与相似、勾股定理结合的圆的综合题（圆中线段比例、长度 计算) 跨学科与开放探究新 选择/填 1.跨学科情境的圆的问题（如物理中的圆周运动、工程中的圆 空/解答 形构件问题) 2.圆的新定义问题（如自定义“等弧圆”“伴随圆”等） 3.圆的开放探究题（如条件开放、结论开放的圆的证明与计 算) 4.多模块融合压轴题（圆+函数+几何变换的综合探究） 5.与大数据、实际应用结合的圆的优化问题（如扇形面积的最 值设计) 21/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 丽一图串考法 垂径定理的五个元素 过圆心垂直弦 平分弦（非直径）平分优弧平分劣弧 ~垂径定理模型 知二推三 任意2个元素一另外子个一平分的弦不能是直径 公式一弦长一半：十弦心距：=半径 构造Rt计算线设长度 题型一已知半径/弦长弦心距，求另外一个量 Γ所对的弧相等 一基本结论一相等的圆心角 所对的弦相等 弧、弦、圆心角的关系 厂所对的圆心角相等 同别或等乳L所对的弦相等 前提：同圆/等圆中 性质 推论 一所对的圆心角相等 ·两条弦相等 所对的弧（同类型）相等 定理一一条弧所对圆周角=所对圆心角的一半 圆周角定理 Γ半圆（或直径所对的圆周角是直角 推论 ,90的圆周角所对的弦是直径 一对角互补 ·圆内接四边形一 性质 任意一个外角等于它的内对角 符号说明一d为点到圆心的距离，为圆的半径 ~点和圆 点在圆内台d<" 位置关系 点在圆上台d=r L点在圆外台d>r 符号说明一d为直线到圆心的距离，为圆的半径 相交一关系一d< 位置关系 关系一d-r 性质一圆的切线垂直过切点的半径 圆 热烤 经过半径外端目垂直于这条半径的直线，是圆的切线 直线和圆十相切 判定 有明确交点，连半径，证直线与半径垂直 证明直线与圆相切 无明确的交点，过圆心作垂线段，证其等于半径 圆外一点引圆的2条切线，切线长相等 切线长一切线长定理 点与圆心的连线平分切线夹角 一关系一dr 相离 特征一直线和圆无公共点 正多边形必有外接圆，一个圆有无数个内接正多边形 正多边形与圆 AC2+0C2=A02 中心、边中点、顶点组成Rt△ L∠AOg= 性质 A0B 符号说明一n是圆心角度数，r为圆的半径 -弧长公式 nxr r1= 180 公式 LL,n,r三个变量，知二推 与圆有关的计算 面积一S=nR 360 2 扇形 周长-0=2R+1=2R+ 180 扇（弓）形面积 22/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 考点清单 考点01圆的基本性质 1.垂径定理及推论 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，CD D 定理 是OO的直径，AB为弦，CD⊥AB于点E,则AE=BE, AC=BC,AD=BD 推论 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，CD是⊙0的直径，AE= BE, 则CD⊥AB,AC=BC,AD=BD 延伸 (1)平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧， 小技巧 条直线如果具备：①经过圆心；②垂直于弦，③平分弦（非直径），④平分弦所对的优弧， ⑤平分弦所对的劣弧，上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其它三个结论，简称“知 二推三” 2弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 如图所示，∠AOB=∠COD,∴AB=CD,AB=CD」 B 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组 量都分别相等， 【注意】不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果遗漏了这个前提条件，即使圆心角相等，所对 的弧、弦也不一定相等 3圆周角定理及推论 定理 条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半， 常见图 0 23 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 形 结论 ∠BAC= 2 ∠BOC 推论 1)同弧或等弧所对的圆周角相等 2)半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径. 4.圆内接四边形的概念及性质 概念 如果一个四边形的所有顶点均在同一个圆上，那么这个四边 形叫做圆内接四边形 性质 圆内接四边形对角互补， ∠BAD+∠BCD=180°， ∠ABC+∠ADC=1809 延仲 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角 ∠1=∠2 相邻的内角的对角)· 考点02切线相关 1.切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点. 2.性质与判定： 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 判定 1)定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切： 2)数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切； 3)判定定理法：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线， 3.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.如图中的PA, PB两条线段的长为点P到⊙0切线长(PA,PB与⊙0相切) 4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹 角。 考点03三角形的内心和外心 三角形的内切圆 三角形的外接圆 圆心的确 三角形三条角平分线的交点， 三角形三边垂直平分线的交点， 定 叫三角形的内心 叫三角形的外心 24/425 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图示 D 0 E 圆心的性 1)内心到三角形三边的距离相等， 1)外心到三角形三个顶点的距离相等， 质 即OD=OE=OF. 即0A=OB=OC. 2)OA、OB、OC分别平分 2)∠41∠B0C ∠BAC、∠ABC、∠ACB. 1 3)∠B0c=90°+2∠BAC 圆心的位 一定在三角形的内部 锐角三角形：在三角形的内部； 置 直角三角形：为三角形的斜边的中点； 钝角三角形：在三角形的外部 考点04正多边形与圆有关计算 1)内角：正n边形的每个内角和为 n-2)×180° 360° =180°- n n 360° 2)外角/中心角：正n边形的每个外角/中心角为 3)周长：正n边形的周长1=na(a为边长) 中心角 4)面积：正n边形的面积S=三(r为边心距，为周长) 半径 5)正多边形的半径，边长和边心距之间的关系为R=r2+ 内角 边心距 R 6)正多边形的半径，边长和中心角之间的关系为a=2R-sin180° n 7)正多边形的半径，边心距和中心角之间的关系为r=R·c0s 180° n 【技巧总结】 1)正六边形的边长等于正六边形的外接圆的半径. 2)正方形的边长等于正方形的外接圆的半径的√2倍. 3)正三角形的边长等于正三角形的外接圆的半径的V3倍： 25/425 品学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 考点05弧长与扇形面积 弧长公式：1=n (n为圆心角的度数，R为圆的半径). 180 扇形的面积公式：S扇形= nπR2 m为圆心角的度数，R为圆的半径)=R1是n°的圆心角所对的弧 360 长) 【补充】 1)根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，1，n,R中的任意两个量，都可以求出另外两个量. 2)在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然 后直接代入公式S彩或S扇形R中求解即可。 3当已灯半径R和照心布皮数球院形的面时。可以选用公式能一”代：当已灯半径和长1求 扇形的面积时，可以选用公式S扇形 1 1R 考点06圆锥的相关计算 圆锥常见量之间的关系（如图) 设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,高为h (1)这个扇形的弧长为2πr; no (2)r2+h2=12; (3)tw=1-2ar=m 2 (4)S圆锥全=πl+π2=元r(亿+r2） (5)圆锥侧面展开图的圆心角度数为n=·360←2xr=n网 360 【补充】求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个 扇形的弧长等于原國锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即25来建立圆锥底面固的 半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系 考点07阴影部分面积计算 1.弓形面积的求法 当弓形所含的弧是劣弧 当弓形所含的弧是优弧 当弓形所含的弧是半圆 26/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B B S号=S扇形AOB-SAOB S号=S扇形AOB+SA0B S号=S圆 2 2.求不规则图形面积的常用方法 1)求和（差）法：把图形适当分割，将不规则图形的面积转化成几个规则图形面积的和或差 如图(1)， S阴影=S扇形OAB一SAODE 2)等积转化法：通过等面积转化，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算. 如图2)，点D为AB的中点，则S阴影=SMBD· 如图3，已知扇形A0B,D0∥AB,则S阴影=SD4B+S号形AB=SO4B+S号形AB=S扇形AOB· 3)容斥原理法：当阴影部分由几个图形叠加而成时，利用“阴影部分的面积=叠加前的几个图形的面积之 和-（多加部分的面积+空白部分的面积）”求解 如图(4)，阴影部分是扇形ABE和扇形ACD的重叠部分，则 S阴影=S扇形ABE+S扇形4CD-S,ABC C 图(1)图(2)图(3)图(4) 速查06图形变换(3大核心考点) 0命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.轴对称、中心对称图形的识别（含三角形、四边形、圆等基 析 础图形) 27/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.平移、旋转、轴对称的基本概念辨析（对应点、对应线段、 对应角的性质) 3.图形变换的坐标变化规律辨析（平移、对称、旋转后的坐标 变化) 4.三视图与投影的概念辨析（主视图、左视图、俯视图，平行 投影与中心投影) 5.图形变换的对称性判断（如正多边形的对称轴数量、中心对 称的判定) 重 核心运算与性质应 填空 1.平移变换的坐标计算（沿x轴、y轴平移后的点坐标、图形 用 面积变化) 2.轴对称变换的计算（对称点坐标、对称轴方程、折叠问题中 的角度/边长计算) 3.旋转变换的计算（旋转中心、旋转角、对应点距离、旋转后 图形的边长/角度) 4.三视图相关计算（由三视图还原几何体、计算几何体的表面 积与体积) 5.图形变换中的面积、周长计算（如平移/旋转后图形的面积 不变性应用) 难 综合应用与含参讨 解答 1.折叠问题综合（三角形、四边形、圆的折叠，含多步推理、 论 存在性问题) 2.旋转问题综合（以三角形、四边形为载体的旋转，含全等/ 相似证明、最值问题) 3.图形变换与函数综合（坐标系中平移、对称、旋转与一次/ 二次函数的结合) 4.含参数的图形变换问题（如旋转中心、平移距离含参的分类 讨论) 5.图形变换中的几何最值问题（如将军饮马、胡不归模型，利 用轴对称求最值) 情境与形式创新变 选择/填 1.网格背景下的图形变换问题（在网格中作平移、对称、旋转 空/解答 后的图形) 2.图形变换的实际情境建模（如剪纸、拼图、图案设计中的轴 对称/中心对称) 3.多变换组合问题（平移+旋转、轴对称+旋转的复合变换问 题) 4.结合相似、勾股定理的图形变换问题（如旋转构造全等/相 似三角形) 5.图形变换的信息解读题（结合生活场景的变换规律分析） 跨学科与开放探究新 选择/填 1.跨学科情境的图形变换问题（如物理运动轨迹、建筑设计中 空/解答 的图形变换应用) 2.图形变换的新定义问题（如自定义“旋转变换”“反射变 换”的规则探究) 3.开放探究类图形变换题（如给定部分变换条件，探究变换规 律或结论) 4.多模块融合压轴题（图形变换+函数+几何的综合探究题）》 28/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.图案设计与优化问题（利用图形变换设计对称图案，探究最 优方案) 嗣一图串考法 向右平移a个单位一(x+a,y) 向左平移a个单位一(x-a,y) 平移一平移后坐标 右加左减横坐标，上加下减纵坐标 图形变换与 向上平移a个单位一(x,y+a) 向下平移a个单位一(x,ya) 关于x轴对称一(x,y) 一(x,y)+ 对称一对称点坐标 关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变 关于y轴对称一(x,y) 关于原点对称一（←×，-y) 系综 绕原点顺时针旋转90°一y,-X刈 旋转一 旋转点坐标 绕原点逆时针旋转90°一（y,×刈 绕原点顺时针/逆时针旋转180°一（←×，-y) 考点 0平移前后图形全等 ②对应线段：平行/共线+相等，对应角：相等 平移的性质 目对应点连线平行/共线+相等 形变 ④对应点距离=平移距离 对应点所连线段被对称轴垂直平分 轴对称的性质 对应线段相等、对应角相等 旋转前后图形全等一△ABC兰△ADE 对应点到旋转中心距离相等一AB=AD 对应点与旋转中心的连线夹角=旋转角一∠DAB=旋转角 解决旋转问题的关键 旋转的性质 一找旋转角、对应点，用旋转性质 两个图形全等一△ABC兰△A'B'C 经过中心一AA过点O 对应点的连线 中心对称的性质 被对称中心平分一AO=A'O 考点清单 考点01图形的对称 1.轴对称图形与轴对称 轴对称图形 轴对称 概念 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它 两旁的部分能够互相重合，那么这个图形 能够与另一个图形重合，那么称这两个图 29/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称形关于这条直线对称，也称这两个图形成 轴. 轴对称，这条直线叫做对称轴， 图示 性质 被对称轴分成的两部分是全等图形. 1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分； 2.对应线段相等，对应角相等： 3.两个图形全等. 区 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 具有特殊形状的图形 别 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的 在两个图形之间 过图形的某条直线 位置不同 对称轴的 只有一条 不一定只有一条 数量不同 联系 1)沿对称轴折叠，两个图形重合。 1)沿对称轴折叠，图形的两部分重合。 2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整 2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图 体，那么它就是一个轴对称图形， 形，那么这两个图形成轴对称. 特别提醒：折叠的实质是轴对称变换，折痕所在的直线是对称轴，折叠前后的图形全等，对应点的连线被折 痕所在直线垂直平分。 2.中心对称图形与中心对称 中心对称图形 中心对称 概念 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果 把一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另 旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么 一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点 这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它 对称或中心对称，这个点叫做对称中心 的对称中心 图形 B 性质 过对称中心的直线把中心对称图形分成的两 1)中心对称的两个图形是全等图形： 30/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 部分的周长与面积分别相等 2)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 对称中心，而且被对称中心所平分： 3)中心对称的两个图形，对应线段平行（或在一 条直线上)且相等 区别 指具有某种性质的一个图形 指两个图形的（位置）关系 考点02图形的平移 概念 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移.它月 移动方向和距离决定的. 图示 平移方向 D B平移距离 性质 1)平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2)平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等 3) 任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移 距离。 作图步骤 1)定：根据题目要求，确定平移的方向和距离： 2)找：找出确定图形形状的关键点； 3)移：过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段， 得到关键点的对应点； 4)连：按原图顺序依次连接各对应点. 【注意】确定一个图形平移后的位置需要三个条件①图形原位置②平移的方向：③平移的 距离 考点03图形的旋转 概念 把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度，叫图形的旋转，点0叫做旋转中心，转 动的角叫旋转角 要素 旋转中心、旋转方向、旋转角 图示 旋转方向 旋转角 0 31/425 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 性质 1)旋转前后的两个图形全等； 2)对应点到旋转中心的距离相等； 3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 作图步骤 1)根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2)找出原图形的关键点； 3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点： 4)按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形. 速查07统计与概率(4大核心考点) 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.普查与抽样调查的适用场景辨析 析 2.总体、个体、样本、样本容量概念识别 3.平均数、中位数、众数、方差的意义与判断 4.必然事件、不可能事件、随机事件的区分 5.频率与概率的概念辨析 6.常见统计图（条形、折线、扇形）特点判断 重 核心运算与性质应 填空 1.平均数、加权平均数、中位数、众数计算 用 2.方差、极差的计算与数据稳定性判断 3.扇形统计图圆心角度数计算 4.简单随机事件概率直接计算 5.根据频数、频率求总数或某组频数 6.用样本估计总体的简单计算 难 综合应用 解答 1.统计图综合补全与信息分析（条形+扇形+表格）》 2.统计推断与决策类问题（根据数据提建议） 3.列表法或画树状图求两步及以上随机试验概率 4.概率与统计结合的实际应用题 5.游戏公平性判断与方案设计 6.统计图表与方程、不等式的简单综合 情境与形式创新变 选择/填 1.结合生活实际的统计图表信息题 空/解答 2.重复试验下用频率估计概率 3.几何概型（面积、长度类概率计算) 4.多组数据对比分析与综合评价 5.统计量变化对数据结果的影响分析 跨学科与开放探究新 选择/填 1.结合环保、体育、健康等真实背景的统计题 空/解答 2.新定义统计量或概率规则的阅读理解题 3.数据收集、整理、描述、分析的完整流程考查 4.开放设问：根据统计数据提出合理建议 32/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.概率与函数、几何图形结合的综合探究题 丽一图串考法 优点一数据全面、结果精准 全面调查 缺点一花费多、工作量大、耗时长，部分情况无法普查 方式 优点一花费少、省时、易操作 ·抽样调查 缺点一 样本若不具代表性，结果可能偏离真实情况 数据的收集整理与描述 9 一特点一用扇形面积表示各部分占总体的比例 扇形统计图 常用统计图 一特点一用长方形高度表示数据的数量多少，直观对比 条形统计图 空 一特点一用折线起伏表示数据的变化趋势 折线统计图 统 平均数一易受极端值影响，适合数据分布均匀的情况 中位数一不受极端值影响，适合数据有异常值的情况 与概 统计量的选择与应用 众数一反映数据的多数水平”，适合市场调研 方差一比较两组数据的稳定性 公式法（估典概型一P(A)=严厂m:事件A出现的次数 nLn:所有事件的总数 适用条件一涉及两个因素、可能性相等、结果数目较少 直接列举法 注意 一按顺序列举，保证不重不漏 列表法一适用条件一涉及两个因素、可能性相等、结果数目较多 概率的 计算方法 树状图法一适用条件一涉及因素≥3个、可能性相等 Γ适用场景一结果有无限个，且每个结果发生的可能性相等 几何概率 公式一P(A)= 事件A对应的区域面积 整个图形的总面积 通过大量重复试验，用事件发生的频率估计概率 用频率估计概率一方法 频率= 发生次数 试验总次数 色考点清单 考点01数据的收集 1.普查与抽样调查 概念 优缺点 举例 普查 考察全体对象的调查叫 优点：收集到的数据全面、准确， 1)检测“神舟十六号”飞船的零 做全面调查. 部件. 缺点：一般花费多、工作量大，耗 2)了解全班50名同学每天体育锻 33/425 品学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 时长 炼的时间. 只抽取一部分对象进行 优点：调查范围小，花费少、工作 1)测试一批灯泡的使用寿命或炮 抽样 调查，然后根据调查数 量较小，省时 弹的杀伤半径等， 调查 据推断全体对象的情况 缺点：抽取的样本是否具有代表 2)调查某批中性笔的使用寿命。 叫做抽样调查。 性，直接关系到对总体估计的准确 3)了解全国中学生的视力和用眼 程度 卫生情况 2.总体、个体、样本、样本容量与简单随机抽样 分类 概念 注意事项 举例 总体 要考察的全体对象 考察一个班学生的身高，那么总 对全市2.3万名初中毕业生升学考试的数 称为总体 体就是指这个班学生身高的全 学成绩进行统计调查，为了了解这2.3万 体，不能错误地理解为学生的全 体为总体 学生的数学成绩，从中抽取1000名学生的 个体 组成总体中的每一 总体包含每一个个体，所有的个 数学成绩进行统计.那么： 个考察对象 体组成总体 总体指的是2.3万名学生的数学成绩； 样本 被抽取的个体组成 样本是总体的一部分，一个总体 个体指的是每一个学生的数学成绩； 一个样本 中可以有许多样本，样本能够在 定程度上反映总体， 样本指的是1000名学生的数学成绩； 样本 样本中个体的数目 样本容量是一个数字，不带单 样本容量是1000. 容量 称为样本容量 位 考点02平均数、中位数、众数、方差 分类 定义 特点/意义 应用 平均 算术平均数：一般地，对于n个数X1,X2,…, 反映一组数据的平均 根据两组数据的平 数 水平，容易受到极端 均数评价、比较两 X,则这n个数的平均数为x=十+无 值的影响 组数据的整体水平 记作“x”,读作“x拔”. 加权平均数：若n个数x1,x2,…,xn的权分别 是w1,w2,…,wn,则 34/425 品学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 x1W1+x2w2+…+xnwn w1+w2+…+wn 叫做这n个数的加权平 均数 中位 一般地，将一组数据按大小顺序排列后，处于中 反映一组数据的“中 判断某个数据在某 数 间位置的数叫做这组数据的中位数.如果数据的 等水平” 组数据中所处的位 个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数 置，比中位数大，位 据的中位数 于前50%；比中位数 小，位于后50%. 众数 组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的 反映一组数据的“多 常与“最受欢迎” 众数 数水平”，只与数据 “最满意”“最佳” 出现的次数有关 有关 方差 设有n个数据x1,x2,…,xn,各个数据与平均 方差是用来衡量数据 在平均数相同的情 数的差的平方分别是(x1一)2，(x2-x)2, 在平均数附近波动大 况下，比较两组数据 ,(x一x)2,我们用这些值的平均数，即用s2= 小的量，方差越大， 的稳定性。 [(cx1-列2+(x2-)2++(xm-)列来衡量 数据的波动性越大， 方差越小，数据的波 这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方 动性越小. 差，记作s2 考点03统计图/表的分析 类型 图示 特点 扇形统计图 1)各百分比之和为1： B C 2)扇形圆心角的度数=该部分所占百分比 30% D ×360°； 10% 3)特点：能清楚地表示出各部分在总体中所 占的百分比. 条形统计图 人数 1)能清楚地表示出各部分的具体数目： 2)各部分数量之和等于抽样数据总数（样本容 o 量). 35/425 函学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 折线统计图 气温/ 1)能清楚地反映事物的变化情况 34 0 -.30 26- 2 22 0 周日周一周二周三周四周五周六日期 频数分布表 分组 频数 频率 1)各组频率之和等于1 151.5-156.5 015 156.5-161.5 2 0.10 161.5-166.5 a 166.5-171.5 0.25 171.5-176.5 020 频数分布直方图 个频数 1)能清晰、直观地显示各组频数的分布情况 20 20 16 及数据的整体状况； 16 4 12 2)各组频数之和等于抽样数据总数（样本容 4 量) 102030405060使痈次数 考点04概率的计算 1.计算概率的公式：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等， 事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P()=”,即 n P随机事件A=随机事件A可能出现的结果数 所有可能出现的结果数 2.列举法求概率 1)列举法：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等， 我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 2)列表法当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的 结果，这种方法叫列表法， 3)画树状图法：当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可采用画树状图法不重不漏地列举出所有 可能出现的结果，再根据概率公式计算. 3.用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率”会稳定于 n 36/425 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 某个常数p,我们称事件A发生的概率为p. ◇锦囊·几何模型全解◇ 几何模型01三角形热考28种模型 A字模型 8字模型 飞镖模型 ∠1+∠2=180°+∠A ∠A+∠B=∠C+∠D ∠BCD=∠A+∠B+∠D 老鹰抓小鸡模型 向内翻折 向外翻折 点0为∠A内部的一点 ∠1+∠2=∠A+∠0 2∠C=∠1+∠2 2∠C∠2-∠1 两内角平分线模型 两外角平分线模型 一内一外角平分线 已知BD、DC分别平分∠ABC、∠ 已知BD、DC分别平分∠EBC、∠BCF BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD ACB 3 1 ∠D=90°+∠A ∠D-90°-1∠A ∠E=∠A 2 2 2 线三垂直模型 手拉手模型 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°， ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE △OAB,△0CD均是等腰三角形， AC=CE OA=OB,0C=OD,∠AOB=∠C0D=a 37/425 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B D △ABC≌△CDE △ABC≌△CDE BD=AB-DE △OAC≌△OBD,AC=BD, BD=DE+AB ∠AEB=a,EO平分∠AED 正方形内含型半角 等腰直角三角形内含型半角 对角互补模型 D A A 45ò E B F C 延长BC至点G,使DE=GB,连 过点B作BD⊥BC,且BD=EC,连接 点C在∠AOB的平分线上 AD,DF 接AG 1)旋转全等△4DE2△ABG 1)旋转全等△ADB≌△AEC 1.△CGD兰△CFE 2)对称全等△AEF≌△4GF 2.CD=CE 2)对称全等△ADF≌△AEF 3)EF=DE+BF 3.0D+0E=50C 3 )在Rt△DBF 中， BD2+BE2=DE2 10C2 4SODCE= 即EC2+BF2=EF2 A字模型 共边反A字模型 8字模型 B D B A=∠D或∠B=∠C DE//BC ∠1=∠B △ADE∽△ABC △ACD∽△ABC △A0B∽△D0C AC=AD.AB 射影定理 一线三等角模型 角含半角相似模型 38/425 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 ∠B=∠D=∠ACE=a ∠BAC=90°，∠DAE=45°，BA=AC 1)△ABD∽△ACB∽△BCD △ABC∽△CDE △BAE∽△ADE∽△CDA 2)AB2=AC.AD, 28-%-2或B0·0D-AB-E BC2 =AC.DC , BD2=AD-CD 3)ABBC=BD·AC(面积法) 双腰上的高求定值 等腰三角形动点与存在性问题 将军饮马（特例） B P3、PsP D 6pr AB-AC 如图在直线AB、BC上分别找点 M、N,使得APNN周长最小， 如图，已知线段AB,在直线1上找点 P使得△ABP为等腰三角形 ∠ABC=a DE+DF=BG P1,P2,P3,P4,P5 P'P",∠NPM=180°-2a 两个直角三角形靠墙 两个直角三角形背靠背 角平分线+垂直，构造中位线 D B D AE平分∠BAC,且AE⊥BE,点D 为BC的中点 AD2-CD2=AB2-BC2 AB2-BD2=AC2-CD2 DE=AC-AB 2 12345模型 胡不归模型 39/425 命学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 B 已知tana=1/2,tanB=1/3, 求a+B .H M 已知A,B为定点，其中点A在定直线m上，点P在直线m上一动点，求k PA+PB(k<1)的最小值 ∠1+∠2=45°（知二推一) 对形如aPA+bPB(a>b)的式子，可以先将式子变形为a PA+PB ,再 a 求出PA+bPB的最小值，此时只需要构造sm∠PBM-b,作垂线即 a 可求出最小值 几何模型02四边形热考6种模型 矩形对角相等求最值 利用菱形的对称求最值 正方形十字架模型 A D B 在菱形ABCD中，E,F分别是 在正方形ABCD中，E,F分别是 在Rt△ABC中，过斜边AC上一点 AC,CD上的点，求线段长度和 BC,DC上的点，AE与BO相交 D作直角边的垂线段，求EF长的 DE+EF的最小值 于点O,互相推导①BE=CF,② 最小值 AE=BF,③AE⊥BF EFnin =BG=2S 4nc 连接BF,当BF⊥CD时BF取最小 相等则垂直，垂直则相等 AC 值 正方形风车模型 含60°角的菱形 中点四边形 G 四边形ABCD是菱形， 己知点E、F、G、H分别为各边 中点 ∠ABC=60° 己知正方形ABCD,点0是对角线 的交点，∠MON=90° 1)△0AE≌△OBF,△OBE≌△ 1)∠ABD=∠CBD=30°； 矩中菱，菱中矩，正中正 40/425 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OCF2)BE+BF=AE+FC=AB 2)△ABC,△ACD为等边三角形 3)△E0F为等腰直角三角形4) 3)AB:AD:BD=1:1:3;4) 1 AE2+CF2=EF2 S菱形ABcD方4CBDs3 -BC2 2 1 5)S四边形BR0=S正方形ABCD 4 6》Cs边形o的最小值为21B (当OE⊥AB时OE取最小值) 几何模型03圆热考8种模型 垂径定理模型 双切线模型 角分图模型 在⊙0中，AB为⊙0的直径，CD AD,AB是⊙0的切线，切点分别 为弦，且AB⊥CD与点E 为A,B AB是⊙0的直径，AE与⊙0交于 点C,点D在BC上 CE=DE, 1)△AOD≌△B0D(HL),△A0C≌ ①AD平分∠BAC(点D为BC的中 BC BD.AC =AD 点)；②AE⊥DE;③DE是⊙O的 △BOC(SAS);△ACD≌△BCD 切线 2)∠A0B+∠ADB=180°； 三个条件知二推一 3)OD平分∠AOB,∠ADB; 4)0D垂直平分AB. 5)△DAB,△OAB为等腰三角形 弦切角定理 相交弦定理 切割线定理 E A .0 C B 在⊙0中，弦AB、CD相交于点P 在⊙0中，弦CD的延长线与⊙0 直线BC与⊙0相切，线段AB是 的切线AB交于点A ⊙0的弦 弦切角的度数等于它所夹的弧所 AP·DP=BP·CP AB2=AD·AC 对的圆心角度数的一半，等于它 所夹的弧所对的圆周角度数 割线定理 阿氏圆模型 41/425 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 点A,B均在圆内，r=k0B(k>1) 点A,B均在圆外，r=kOB(k<1) AP·BP=CP·DP AD的长即为PA+kPB的最小值 ◇技法·得分加速器◆ 方法技巧01平行线中的辅助线作法 条件：已知AB∥DE 已知 平行线+“外拐点” 平行线+“外拐点” 平行线+“线外拐点” 辅助 A 线图 示 B D 3 E D 解题大招：过拐点作平行线。 【总结】在平行线相关问题中，若平行线间出现折线，则常常过折线的拐点作已知直线的平行线，构造 “三线八角”进行求解。 方法技巧02三角形遇垂线 已知 描述 图示 结论 一边的高及该边边长 作另一边的高（如作 AD-BC=BE·AC BE⊥AC) 过一边中点的垂线 连接交点与顶点（如连 △BEC是等腰三角形 接点E与点C) 边的高 作高的平行线（如过点 EF⊥BC E作EF∥AD) 42/425 品学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 直角三角形 作斜边上的高（如作 △ABD、△ADC均为直角 AD⊥BC) 三角形且ADBC=AB·AC 【总结】本表格梳理了三角形中四类基础条件对应的辅助线作法与直接结论，核心思路是通过构造高、垂 线、平行线，实现“等面积转化”“等腰/直角三角形判定”等解题目标。 方法技巧03三角形遇中点 类型 描述 图示 结论 等腰三 条件：在等腰△ABC中，D是底 ∠BAD=∠CAD 角形底 边BC的中点 AD⊥BC 边中点 思路：连接顶点A与底边中点 BD=CD D,利用等腰三角形“三线合一” 直角三 条件：在Rt△ABC中， BD-LAC 角形斜 ∠B=90°，D是斜边AC的中点 2 边中点 思路：连接顶点B与斜边中点 D, 利用直角三角形斜边中线定理 一边中 条件在△ABC中，D是AB边的 点及另 DEIBC,DE=上BC 中点，已知BC边的相关条件 一边相 思路：作DE∥BC,交AC于E, 关条件 利用三角形中位线定理 B 中点及 条件在△ABC中，D是AB边的 SAACD-SABCD-LSAABC 面积 中点 思路：连接顶点C与中点D,利 用中线等分面积 B 多个中 条件在△ABC中，D、E分别是 点0为△ABC的重心 点（三 AB、AC边的中点 线交 思路连接各边中点，交于点0， 点) 利用三角形重心定义 多个中 条件：在△ABC中，D、E、F分 △DEF是△ABC的中点三角形 点（中 别是三边的中点 点三角 思路：连接各边中点D、E、F, 形) 利用三角形中位线定理 【总结】本表格梳理了三角形中与“中点”相关的常见辅助线作法，核心是利用等腰三角形三线合一、直 角三角形斜边中线、中位线定理、中线分面积、重心及中点三角形等性质，通过连接中点、作平行线等方 43/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 式，快速得到线段相等、平行、倍分关系或面积等分等关键结论。 方法技巧04与角平分线有关的辅助线 类型 描述 图示 结论 见角平分线， 已知BD平分∠ABC,PE⊥BC △BFP≌△BEP, 用性质定理 作法：过点P作PF⊥AB于点F PE=PF, BF=BE 角平分线+垂 已知BD平分∠ABC,PE⊥BD △BFP≌△BEP, 直→三线合 作法：延长PE,交AB于点F △BEF为等腰三角形 平行线+平行 BD平分∠ABC,PE∥BC BE=PE →等腰△ 角平分线上点 在BC上截取BF=BE,连接PF(截 △BFP≌△BEP,EP=FP +边上一点→ 取法) 作对称 方法技巧05三角形遇特殊角 类型 条件描述+操作（作辅助线） 图示 结论 含45°角的 在△ABC中，∠B=45°， △ABD是含45°的直 三角形 作AD⊥AB交BC于D 角三角形 D 在△ABC中，∠B=45°， △ABE是含45°的直 作AE⊥BC于E 角三角形 B45 E 含 在△ABC中，∠B=30°， △ABD是含30°的直 30°+45°角 ∠C=45°，作AD⊥BC于D 角三角形，△ACD是含 的三角形 B30°45C 45°的直角三角形 D 44/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABC中，∠B=30°， △ABD是含30°的直 ∠ACB=135°（即∠C的补角 角三角形，△ACD是含 为45°)，作AD⊥BC的延长 45°的直角三角形 线于D 30°45° B C D 含120°角 在△ABC中，∠BAC=120°， D △ACD是含60°的直 的三角形 作CD⊥AB的延长线于D A 角三角形，△BCD是直 角三角形 120° B 含 在△ABC中，∠BAC=15°， △ACD是含30°的直 15°+30°角 ∠C=30°，作AD⊥BC的延长 A 15° 角三角形，△ABD是含 的三角形 线于D 45°的直角三角形 30 含60°+75° 在△ABC中，∠BAC=60°， △ADC是含60°的直 角的三角形 ∠C=75°，作CD⊥AB于D D60 角三角形，△BDC是含 45°的直角三角形 B 其它 如图，作DE⊥AC于E △ADE是含30°的直 角三角形 D<130 ---9E B45 dC 方法技巧06三角形遇二倍角 基础图形 B 其中∠B=2∠C 操作方法 图示 结论 过A作AD⊥BC于D,在DC上截取 △ABE、△ACE为等腰三角形， DE=BD,连接AE AB=AE=EC B 以B为圆心，AB长为半径画弧， △ABE、△ACE为等腰三角形， 交BC的延长线于E,连接AE ∠E=∠C 45/425 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 延长CB到D,使BD=AB,连接AD △ABD、△ACD为等腰三角形， △BAD~△ACD 以C为顶点，CB为一边作 △DBC为等腰三角形， ∠BCD=∠ACB,交BA的延长线于D △ABC~△ACD D 作∠ABC的角平分线BD,交AC于 △DBC为等腰三角形，△ABC~△ADB D 以点C为顶点，CB为一边，在 △DBC为等腰三角形， △ABC外作∠BCD=∠B,交BA的延 AC2=(AB+BC)(CD-AD) 长线于D B 方法技巧07三角形遇绝配角 类型/图示 操作方法 结论 非共顶点共边的绝配角 翻折或延长 △AED、△AEC都是等腰三角 A 形 2 2 90°-号 BD C 90°-25h 90°-2 E BD C 条件：LC=2LBAD 共顶点共边的绝配角 延长 A B ∠AOD=∠B0C=B B 46/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 B B ∠COD=∠B0C=a C 人B C 0 D 条件：a+2β=180° 【总结】三角形中遇到绝配角（ā+2B=180°）时，核心思路是构造等腰三角形，将角度互补关系转化为 等角关系，再结合全等或相似三角形，实现线段的等量转化与求解。 方法技巧08倍长中线模型 条件 在△ABC中，AD是△ABC的中线 图示 B 辅助线作 延长AD至点E,使AD=DE,连接BE 延长AD至点E,使AD=DE,连接CE 法 E 结论 △ADC≌△EDB,AC=BE且AC∥BE △ADB≌△EDC,AB=CE且AB∥CE 方法技巧09截长补短模型 截长法 补短法 题 在△ABC中AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求证：AB=AC+CD 目 图 示 20 D 辅 在AB上截取AE=AC,连接 延长AC到点E,使CD=CE,连接DE 延长AC到点E,使AB=AE,连接 助 DE DE 47/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 线 作 法 E 20△ 20y B B B E 结 △ACD≌△AED AABD2△AED △ABD≌AAED 论 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 方法技巧10构造一线三等角/手拉手模型 题目 已知等腰Rt△ABC,直线1经过其直角顶点B 特征 图示 B 解题 1)过点A,C分别AD⊥1，CE⊥1 方法 2)根据已知条件可证明△ABD≌△BCE 3)从而得到AD=BE,BD=CE 结论 △ABD≌△BCE,AD=BE,BD=CE 类 构双等边三角形 构双等腰直角三角形 图 E E. E 示 B B 条 等边△ABC 等腰直角△ABC,∠BAC=90 件 方 作等边△ADE 作等腰直角△ADE,∠DAE=90° 法 结 论 △ABD≌△ACE 48/425 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法技巧11一般四边形 类型 操作说明 图示 结论 邻边相等的四 连接对角线（如连接 D △ABD是等腰三角形 边形 BD) B 邻角相等的四 延长对边（如延长AB、 △EBC是等腰三角形 边形 CD交于点E) 一个内角为直 延长对边（如延长DC、 △ADE是直角三角形 角的四边形 AB交于点E) -组对边平 过顶点作平行线（如过A D 四边形AECD是平行四 行的四边形 作AE∥DC交BC于E) 边形 B C 含四边中点的 顺次连接各边中点（连接 四边形EFGH是平行四 四边形 E,F,G,H) 边形 8 方法技巧12平行四边形 类型 操作说明 图示 结论 平行四边形 连接对角线（连接AC、 D C 0A=0C,0B=0D BD交于点O) -0N B 作垂线（过D作DE⊥AB D △ADE和△BCF均为直角 于E,过C作CF⊥AB于 三角形，且DE=CF 49/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F) 平行四边形及 作平行线（过C作 四边形DBEC为平行四边 对角线 CE∥BD交AB的延长线于 形 E) 方法技巧13与圆有关的辅助线 类型 条件与辅助线 图示 结论 圆周角 条件：A,B,C在圆上，0为 1 ∠BAC= ∠BOC 圆心 辅助线：连接OB,OC 条件：AB为直径，C在圆 ∠ACB=90° 上 辅助线：连接AC,BC 条件：A,B,C,D在圆上，同 ∠BAC=∠BDC 弧BC 辅助线：连接BD,CD 条件：BC=CD ∠BAC=∠CAD 辅助线：连接AD 圆周角及劣 条件：D是AC上一点 ∠B+∠ADC=180° 弧上一点 辅助线：连接AD,CD 弦（不是直 条件：AB为非直径弦， △A0C、△B0C均为直角三角形 径)及垂直 OC⊥AB 0 于弦的半径 辅助线：连接OA,OB 50/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 弦（不是直 条件：AB为非直径弦 △A0C、△B0C均为直角三角形； 径)及过弦 辅助线：过圆心0作 AC=BC2AB;∠A0C=∠BOC 端点的半径 OC⊥AB 方法技巧14与切线有关的辅助线 类型 条件+辅助线 图示 结论 切线及 条件：直线1与⊙0相切于点A,点P △AOP为直角三角形， 切线上 在直线1上 0A⊥1 一点 辅助线：连接OA,OP 圆与直 条件：点A在⊙0上，直线1经过点A 若0A⊥1，则直线1是 线求证 辅助线：连接OA ⊙0的切线 切线 条件：直线1与⊙0无己知交点 若OA=r(半径)，则直 辅助线：过圆心0作0A⊥1于A 线1是⊙0的切线 方法技巧15遇正多边形内切圆与外接圆 类型 条件+辅助线 图示 结论 正多边形 条件：正多边形有内切圆⊙0，D,E OD⊥AB,OE⊥AC;若为 的内切圆 为切点 D 正三角形，则 辅助线：连接圆心0与两切点D,E ∠D0E=120° B 条件：正多边形有内切圆⊙0，D为 △BOD是直角三角形 切点 0 辅助线：连接圆心0与顶点B及切 点D 51/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 正多边形 条件：正多边形有外接圆⊙0 △BOC是等腰三角形； 的外接圆 辅助线：连接圆心0与两顶点B,C 若为正三角形，则 ∠B0C=120 条件：正多边形有外接圆⊙0 △BOD是直角三角形； 辅助线：连接圆心0与顶点B,作边 BD-DC-BC BC的垂线OD ◇排雪·易错点清零◇ 易错题型01数轴与绝对值化简易错题 避坑指南 ①化简绝对值时，未判断绝对值内式子的正负；②数轴上点的位置与符号判断错误；③含参数绝对值漏分 类讨论。 1.(2026·山东滨州·一模)已知数a,b在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是() a 0 b ①b>a；②a+b=a+b;③a-b=b-a;④b-a>ab. A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 【答案】D 【详解】解：由数轴可得，a<0<b,a<b, .a+b>0,a-b<0,b-a>0,ab<0, ..a+b=a+b,a-b=b-a,b-azab, 故①②③④都正确， 2.(2026·重庆·一模)已知x-y=-2,且y+x=6,则x的值为 【答案】16 【详解】解：x-y=-2, ∴.y=x+2, x≥0， 52/425 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴y>0, .y以=y. 将y=y代入y+x=6,得y+x=6. 把y=x+2代入y+x=6得x+x+2=6,即x+x=4. 当x≥0时，x=x,原式可化为x+x=4,解得x=2. 将x=2代入y=x+2得y=4,符合题意； 当x<0时，x=-x,原式可化为-x+x=4,即0=4，等式不成立，此情况无解 ∴.x=2,y=4, .x'=24=16. 易错题型02平方根/算术平方根、无理数判定出错 避坑指南 ①混淆平方根与算术平方根的非负性；②误将带根号的数直接判定为无理数；③计算平方根时漏写正负 号。 1.(24-25七年级下·全国·单元测试)如图为小亮的答卷，他的得分应是() 姓名：小亮 得分：？ 填空（每小题2分，共10分）》 ①√5的平方根是±3 ②1-√2的绝对值是√2-1 ③-3)=-3· ④V-52=-5一 ⑤8的相反数是2 A.10分 B.8分 C.6分 D.4分 【答案】C 【详解】解：①v⑤的平方根是±√，原答案错误： ②1-√2的绝对值是√2-1，正确； ③-3)=-3，正确： 53/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④-5)}=5，原答案错误； ⑤一8的相反数是2，正确： 所以得分是2x3-6分， 故选：C 2.(2026·陕西检林·一模)在0,6，，5，褥中，无理数有 个. 【答案】2 【详解】解：0是整数，属于有理数， 是分数，属于有理数， 3 8=2是整数，属于有理数， √6是无限不循环小数，属于无理数， 3是无限不循环小数，属于无理数， 因此无理数共有2个。 易错题型03同底数幂、积的乘方、负指数幂记错 避坑指南 ①公式混淆；②负指数幂运算错误；③积的乘方漏给每个因式乘方。 1.(2026·云南文山·一模)下列计算正确的是() A.(y)°=x5y B.x2+2x2=3x C.x3.x=x15 D.x8÷x2=x4 【答案】A 【详解】解：A、(y)°=xy,原式计算正确，符合题意； B、x2+2x2=3x2,原式计算错误，不符合题意； C、x3,x=x35=x8,原式计算错误，不符合题意； D、x3÷x2=x8-2=x5,原式计算错误，不符合题意； 2.(2026·安徽阜阳·一模)计算：（π-2026）°+ 2 【答案】-1 54/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：（π- s-f =1+(-2) =-1 易错题型04分式有意义、分式值为0条件混淆 避坑指南 ①分式值为0时，只考虑分子为0，忽略分母不为0；②混淆分式有意义与无意义的条件；③含多个分母 时漏写限制条件。 夏，《2026·甘肃平凉·一模)关于分式 下列说法正确的是() A.化为最简分式等于 B.分式无意义的条件是x=-2 x-2 C.当x=2时，分式的值为零 D.当x=2时，分式无意义 【答案】D 【详解】解：A达项：三子+-习2景简分式为2A错误 x-2 x-2 1 B选项：分式无意义时，分母为0，即x2-4=0,解得x=2或x=-2,B错误； C选项：当x=2时，x2-4=0,分母为0，分式无意义，不存在分式值，C错误： D选项：当x=2时，x2-4=0,分母为0，分式没有意义，D正确， 故选：D 2.2026·江苏盐城·)若分式有意义，则r应满足的条件是 【答案】x-3 【详解】解：：分式-2026有意义， x+3 .x+3≠0， 解得x3, 55/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 易错题型05分式基本性质变形易错 避坑指南 ①分式变形时，同乘/除的整式未强调不为0；②约分、通分漏考虑分母不为0；③符号变形错误。 1.(2025·贵州遵义·模拟预测)下列各式从左到右的变形，是分式化简的是() A. aba 6=6 B. b+2_b C. a'a D.a+b_atb a+2 a 626 c 【答案】A 【详解】解：A、是分式化简，故本选项符合题意； B、从左到右的变形不一定成立，不是分式化简，故本选项不符合题意； C、从左到右的变形不一定成立，不是分式化简，故本选项不符合题意： 小一a+6。”不是分式化简，故本选项不符合陋意， 故选：A 2.(2025·安微宣城·一模)下列化简运算不正确的是() A. m-1-1 B.-l+n-_1+n m°-1m+1 m m 0.5a+b5a+10b x2-y2 C. D. =x-y 0.2a-0.3b2a-3b x2+2y+y° x+y 【答案】B m-1 m-1 【详解】解： m-】(m-1)(m+)m+1,故A项计算正确，不符合题意； ”一”+”，故B项计算错误，符合题意 名 m 0.5a+b (0.5a+b)×105a+10b 0.2a-0.36(0.2a-0.3b)x102a-3站，故C项计算正确，不符合题意， x2-y2 x+2xy+y 一川，故D项计算正确，不符合题意： (x+y)月 故选：B 56/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错题型06分式方程漏检验易错题 Q避坑指南 ①解完分式方程不检验；②未理解增根的产生原因；③解的范围与检验步骤遗漏。 1.(2026·北京平谷·一模)方程x-2 =1的解为 x-1x+1 【答案】3/x=3 【详解】解：方程两边同乘(x-1)(x+1), 得x(x+1)-2(x-1)=(x-1)(x+1), 展开各项，得x2+x-2x+2=x2-1, 移项，合并同类项，得-x=-3, 系数化为1，得x=3, 检验：当x=3时，(x-1)(x+1)≠0， 因此x=3是原分式方程的解. 2(209·酒维频州·一传)已知关于：的分式方程，2有塔限，则的位 【答案】-1 【详解】解：方程两边同乘最简公分母(x-1),去分母得：x-2(x-1)=-m, 解得：x=m+2, 分式方程有增根， .x-1=0,即x=1, .1=m+2 解得m=-1. 易错题型07一元二次方程概念辨析易错 57/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 避坑指南 ①忽略二次项系数不为0；②误将一次方程、分式方程判定为一元二次方程；③未整理成一般形式就判 断。 1.(21-22九年级上·山东德州·月考)已知关于x的方程(m-2)x州+5x=0是一元二次方程，则m的值 为 【答案】-2 【详解】解：，关于x的方程(m-2)x网+5x=0,是一元二次方程， .m=2且m2≠0， 解得m-2. 故答案为：-2. 易错题型08判别式取值范围忽略隐含条件 避坑指南 ①利用判别式求参数时，忽略二次项系数不为0；②未考虑方程根的实际意义；③多解情况漏写限制条 件。 1.(2026·山东德州·一模)已知关于x的一元二次方程(m-1)x°+2x-1=0有实数根，则m的取值范围 是 【答案】m≥0且m≠1 【详解】解：一元二次方程(m-1)x2+2x-1=0有实数根， .△=b°-4ac=4-4(m-1)×(-1)20,且m-1≠0 解得m≥0且m≠1. 易错题型09公式法解一元二次方程时公式记错 58/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 避坑指南 ①求根公式记错（符号、系数顺序错误）；②代入时未将方程整理为一般形式；③根号下判别式计算错 误。 1.(2026·黑龙江齐齐哈尔·一模)解方程：3x(x-5)=10-2x 【答案】=5，出 3 【详解】解：3x(x-5)=10-2x 3x2-13x-10=0 a=3,b=-13,c=-10 △=b2-4ac=289>0 _13±V(-13)°-4×3x(-10) 13±17 2×3 6 1=5,x2=- 易错题型10不等式两边同除负数忘记变号 避坑指南 ①系数化为1时，除以负数忘记改变不等号方向；②含参数不等式，未对系数正负分类讨论；③解不等式 组时解集取错。 1.(2026·四川泸州·模拟预测)若a>b,则下列结论正确的是() A. -a>-b B.2a>a+b C.1-a>1-b D.2a+1<2b+1 【答案】B 【详解】解：，a>b, ∴.-a<-b,2a>a+b,1-a<1-b,2a+1>2b+1, 观察四个选项，正确结论是B, 2.(2026·江苏盐城·一模)已知x>y,要使不等式(k-3)x<(k-3)y成立，写出一个符合条件的k的 整数值： 【答案】2（小于3的整数均可） 【详解】解：x>y,要使不等式(k-3)x<(k-3)y成立， 59/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 .k-3<0, 解得k<3, .k的整数值可以为2 易错题型11点到坐标轴距离概念混淆 避坑指南 ①点到x轴距离是纵坐标的绝对值，到y轴距离是横坐标的绝对值，易记反；②混淆点到坐标轴与到原点 的距离。 1.(2025·贵州贵阳·模拟预测)已知点A(2m-9,m-3)到两条坐标轴的距离相等，则点A的坐标为0 A.(3,3)和(-1,1) B.(3,-3)和(-1,1) C.(3,3)和(1，-1) D.(3,3)和(-1，-1) 【答案】A 【详解】解：，点A的坐标为(2m-9,m-3),到两坐标轴的距离相等， ∴.2m-9=m-3, 解得：m=6或m=4 当m=6时，2m-9=3,m-3=3,则点A的坐标为(3,3) 当m=4时，2m-9=-1,m-3=1,则点A的坐标为(-1,1) 故选：A. 2.(2025·江西南昌·模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，点A(a,2)和B(b,-3)之间的最短距离为() A.2 B.3 C.5 D.6 【答案】C 【详解】解：·点A(a,2)和B(b,-3),2≠-3， .当a=b,即AB∥y轴时，点A(a,2)和B(b,-3)之间的距离最短，最短距离为2-(-3)=5， 故选：C 易错题型12点的象限与坐标符号判断易错 60/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 避坑指南 ①象限符号记错；②坐标轴上的点不属于任何象限，误判；③含参数点的象限漏分类讨论。 1.(2026·陕西西安·三模)在平面直角坐标系Oy中，点P(V2,-a2-1)所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【详解】解：，点p的横坐标为√2，√2>0， 又，对任意实数a,都有a2≥0， ∴.-a2-1=-(a2+1<0, 即点P横坐标为正，纵坐标为负， 根据象限坐标特征，横坐标正纵坐标负的点在第四象限， 点P在第四象限 2.(2025·四川广安·中考真题)在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(ab),且a,b满足 (a-2)°+lb+3=0,则点A在第 象限 【答案】四 【详解】解：(a-2)+b+3=0, .a-2=0,b+3=0, .a=2>0,b=-3<0, .点A的坐标为(2，-3)，在第四象限： 故答案为：四 易错题型13坐标平移、对称变换坐标写错 避坑指南 ①平移时“上加下减、左加右减”搞反；②对称变换（关于x轴、y轴、原点对称）的坐标变化记错：③ 复合变换顺序错误。 1,(2025·辽宁铁岭·一模)如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A,B的坐标分别为(1,2)， (4,O),将△AOB沿x轴负方向平移后，得到△CDE,若BD=6,则点A的对应点C的坐标是 61/425 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(-1,2) 【详解】解：，△AOB的顶点A,B的坐标分别为(1,2)，(4，O),BD=6, .OD=2, ∴.点A平移至点C的坐标为(-1,2)， 故答案为：（-1,2). 2.(2026·江苏徐州·一模)在平面直角坐标系xOy中，点P(1,-4)关于y轴对称的点的坐标是() A.(-1,-4) B.（-1,4) C.(1,4) D.(1,-4) 【答案】A 【详解】解：，关于y轴对称的点的坐标规律为：纵坐标不变，横坐标互为相反数， 又点P的坐标为(1，-4)， ∴.横坐标1的相反数为-1，纵坐标仍为-4， 即点P(1,-4)关于y轴对称的点的坐标是(-1，-4). 易错题型14自变量取值范围遗漏限制条件 避坑指南 ①函数自变量范围只考虑分式、根式，漏考虑实际意义；②含多个限制条件时，取交集错误；③二次根式 被开方数漏写非负性。 1.(2026·黑龙江佳木斯·一模)函数y=Vx-2+ ，的自变量x的取值范围是 x- 【答案】x≥2 x-2≥0 【详解】解：根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得 x-1≠0’ 解不等式x-2≥0得x≥2， 解不等式x-1≠0得x≠1， 62/425 品学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 取两个解集的公共部分，得x≥2. 易错题型15反比例函数与几何面积综合易错 避坑指南 ①反比例函数k的几何意义误用（未注意象限符号）；②面积与k的关系搞反；③图形分割计算漏情况。 1.(2026·江西上饶·一模)如图，一次函数y=x+4-2m(m>0)的图象与x轴交于点C,交y轴于点D (点C与点D不重合)，与反比例函数y=k(k≠0)的图象交于A(2,n),B两点，已知CO=OD. (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P(a,0)是x轴上一点，若△PAC的面积是△COD面积的6倍，求点P的坐标. 【详解】(1)解：：一次函数y=x+4-2m(m>0)的图象与x轴交于点C,与y轴交于点D,与反比例函 数y=(k≠0)的图象交于A(2,n),B两点， .∴.n=2m+4-2m=4, .点A(2,4), ∴.k=2×4=8, ·反比例函数的解析式为y=8 当y=0时，0=x+4-2m, x=2m4<0: m 当x=0时，y=4-2m>0, .CO=OD, ∴.4-2m= 4-2m m 解得m=1或m=2(舍去，此时点C与点D重合)， .一次函数的解析式为y=x+2. 63/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：一次函数图象交x轴于点G,交y轴于点D, ∴点C(-2,0),点D(0,2), ..OC =OD=2, ∴8ao=0C-0D=2, 2 :点P(a,0)是x轴上一点， ∴.CP=la+2. ,△PAC的面积是△COD面积的6倍， 20-4=2 解得a=4或-8， ∴.点P(4,0)或点P(-8,0) 易错题型l6二次函数系数a,b,c符号判断错 ①避坑指南 ①a的符号由开口方向判断错误；②b的符号与对称轴位置判断错误；③c的符号由与y轴交点判断错误； ④组合式（如a+b+c)符号误判。 1.(2026·安徽阜阳·一模)已知二次函数y=x2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对于这个函数有下列四 个结论：①3a+b>0;②ab<0;③5a+c=0;④4a+b+1<0,则结论正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：抛物线开口向下， ∴.a<0, 抛物线与x轴交点为(-1,0)，(5,0)， 64/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 “抛物线对称轴为x=1+5=2, 2 b =2, 2a .b=-4a>0, ∴.ab<0,故②正确， 3a+b=3a-4a=-a>0, 故①正确； 由图象得，当x=-1时，y=0, ∴.a-b+c=a-(-4a)+c=5a+c=0,故③正确， .b=-4a, ..4a+b+1=4a-4a+1=1>0 故④错误； 综上所述，正确的是①②③，有3个. 2.(2026·湖北襄阳·一模)二次函数y=x2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一 次函数y=+b与反比例函数y=二在同一平面直角坐标系中的图象可能是() 1 【答案】C 【详解】解：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下， ∴.a<0, 对称轴在y轴右侧， b0 2a .b>0, 65/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， .c>0: .一次函数y=+b经过第一、二、四象限， 反比例函数y=C图象在第一、三象限； 只有C选项同时符合两个函数的位置特点. 易错题型17二次函数最值含范围讨论遗漏 避坑指南 ①忽略自变量取值范围，直接用顶点纵坐标作为最值；②区间端点与顶点的大小关系讨论不全；③开口方 向判断错误导致最值搞反。 1.(2026·山东聊城·一模)已知二次函数y=-x2+2x+1,当1≤x≤3时，函数的最大值为4，则m的 值为 【答案】5 【详解】解：，y=-x2+2x+1=-（x-m)+m2+1, ∴.抛物线的开口向下，对称轴为直线x=m, ∴，当x<m时，y随着x的增大而增大，当x>m时，y随着x的增大而减小， ,当1≤x≤3时，函数的最大值为4， ∴.当m>3时，则当x=3时，函数有最大值为-9+6m+1=4,解得m=2(舍去)； 当m<1时，则当x=1时，函数有最大值为-1+2m+1=4,解得m=2（舍去)： 当1≤m≤3时，则当x=m时，函数有最大值为-m2+2m2+1=4,解得m=√5或m=-√5 (舍去) 综上：m=√5 2.(2026·陕西西安·二模)已知二次函数y=-x2+2x+a(a为常数)，当m≤x≤3时，y有最大值 a+1,最小值a-3,则m的取值范围是() A.m≤-1 B.1≤m≤2 C.-1≤m≤1 D.-1≤m≤2 【答案】C 【详解】解：二次函数解析式为y=-x+2x+a,将其化为顶点式： 66/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 y=-(x2-2x+1+1+a=-(x-1)2+(a+1). 二次项系数-1<0， ∴.抛物线开口向下，顶点坐标为(1，a+1),当x=1时，函数取得最大值a+1. :y的最大值为a+1, .x=1必须在取值范围m≤x≤3内，即m≤1. 抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，x=3到对称轴x=1的距离为3-1=2， 函数的最小值为a-3, 将x=3代入解析式得y(3)=-32+2×3+a=a-3, .函数在x=3处取得最小值， 要保证y(3)在m≤x≤3时的最小值，则需满足y(m)≥y(3),即x=m到对称轴x=1的距离不大于x=3到对称 轴的距离 .m-13-11, 解得-1≤m≤3， 综上，m的取值范围为-1≤m≤1. 易错题型18动点函数图象拐点、分段分析不全 避坑指南 ①拐点对应的动点位置判断错误；②不同阶段的函数解析式类型（一次/二次）判断错误；③漏写各段自 变量的取值范围。 1.(2026·浙江·模拟预测)为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板 布置：如图1，固定展板ABCD(顶点A、C在直线展台MN上)与移动展板EFGH(顶点E、G在直线 展台MN上)，移动展板可沿MW平移.设固定展板顶点C与移动展板顶点E的距离为x(单位：m) (0≤x≤8)，两个展板重叠部分的面积为y(单位：m),y关于x的函数图像如图2所示.下列选项正 确的是() (图1) (图2) 67/425 品学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 A.正方形的对角线长为2V5m B.当x=2时，重叠面积y=2m C.当x=5时，重叠面积y=6m D.函数图像的最高点的坐标为(4,10) 【答案】B 【详解】解：，四边形ABCD与四边形EFGH是两个相同的正方形，AC与EG是对角线， ∴.AC=EG,AD=CD,∠DCA=∠DAC=45°=∠HEG,∠D=∠DCB=90°=∠HEF, ∴.AD∥EH, 由图1及图2知：当x=0(即点E与点C重合)时，y=0, 当x=8(即CE=8)时，y=0, 此时8=CE=AC+EG=AC+AC=2AC, ∴，BG=AC=4,故选项A不正确； .4=AC=AD+CD=AD+AD=2AD, ∴.AD=2N5,即正方形ABCD与正方形EFGH的边长为2N2, 当x=2时，此时点E为AC的中点，如图，设CD交EH于点P,BC交EF于点Q, M G .CE=2, :AD∥EH,D=∠DCB=90°=∠HEF, ∴.∠EPC=∠D=90°=∠DCB=∠HEF, ∴.四边形EPCQ是矩形， ∠DCA=45°=∠HEG, ∴.EP=CP, ∴.四边形EPCQ是正方形， .2=CE=EP2+CP2=VEP2+EP2=2EP, .EP=2, ∴重叠面积y=8E方形rc2=EP=(V2)=2(m）,故选项B正确； 当x=5时，如图，设AD交GH于点R,AB交GF于点S, 68/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 D B .CE=5,四边形ARGS是正方形， .AC=EG=4,AR=RG, .AB=CB-AC=5-4=1, ∴.AG=EG-AE=4-1=3, .3=AG=AR+RG=AR2+AR=2AR, .AR=3 2 ∴.重叠面积y=S正方形ARGs=AR 32 2 m),故选项C不正确 由图1及图2知：当x=4(即点E与点A重合)时，y取得最大值， 此时正方形EFGH与正方形ABCD重合， ,正方形ABCD的边长为2N2, ∴此时重叠面积y=SE方形8cD=AD=(（22=8(m)）, .函数图像的最高点的坐标为(4,8)，故选项D不正确。 2.(2026·安微合肥·一模)如图，口ABCD中，AB=3,AD=4,P,Q两点同时从点A出发，均以1个 单位每秒的速度分别沿着A-B-C,A-D-C运动，则△APQ的面积y与运动时间x之间的函数图象是 () D 34 34 【答案】C 【详解】解：①当O<x≤3时，过点B作BH⊥AD,交AD于点H, 69/425 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B(P) HO D .AP=AQ=x,BH=xsin∠A, Jy40BH=A=rm∠A,为=次函数 2 ②当3<x≤4时，过点B作BH L AD,交AD于点H,过点P作PE L AD,交AD于点E, AB=3, 6 H ED(O) ∴.高为PE=BH=3sin∠A, y=A0-PE=xx3sin∠A=3sIn∠A,为-次函数； 1 1 21 2 2 ③当4<x<7时，如图所示，过点Q作QH⊥BC,交BC于点H,反向延长交AD的延长线于点I,过点 A作AG⊥CG,交CB的延长线于点G, G B P H D I :口ABCD中，AD∥BC, .Q⊥AI, .AG=HI=3sin A,BP=x-3,CP=cO=7-x,OH=(7-x)sinA, QI=Hl-QH=3sin∠A-(7-x)sin∠A=xsin∠A-4sin∠A, .y=SoABCD-S.ABP-S.ADe-S.cPe -DxG-BPxG-ADxQI-CPxOH, 4x3 A(3)x3sin 4(iA-4sin4))(7)sin4. =12sn∠AmA9mA2asnA8smA9m47NsnA}产smA 21 70/425 品学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 =-sin∠A ,7sin∠A X+ -X, 2 .y= sin∠4x+7sin∠Ax 2x,为二次函数，开口向下。 2 2 易错题型19等腰三角形分类讨论漏解 避坑指南 ①未指明腰和底，漏分类讨论；②未指明顶角和底角，漏情况；③三边关系验证遗漏， 导致无效解。 1.(2026·河南·一模)已知三角形两边长分别为4和8，第三边长是方程x2-10x+24=0的解，则这个 三角形的周长是() A.12 B.16 C.16或18 D.18 【答案】D 【详解】解：解方程x2-10x+24=0, 因式分解得(x-4)(x-6)=0, 解得x=4或x=6, ,三角形两边长为4和8， 根据三角形三边关系，得第三边c满足8-4<c<8+4, 即4<c<12, .x=4不符合三边关系，舍去： x=6符合要求， .三角形的周长为4+8+6=18. 2(2026·江苏南京·一模)等腰△ABC的周长是10cm,腰长AB=4cm,则底边BC=cm 【答案】2 【详解】解：，等腰△ABC的周长是10cm,腰长AB=4cm, ∴.底边BC=10-2×4=2(cm). 此时等腰△ABC的三边长为4cm、4cm、2cm,满足三角形三边关系，符合题意； :'BC=2cm. 故答案为：2. 3,(25-26八年级上·安微阜阳·期末)锐角等腰三角形腰上的高与另一个腰的夹角为50°，则这个等腰 三角形的底角为一· 71/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 【答案】70°/70度 【详解】解：如图，在锐角等腰三角形ABC中，AB=AC,从点B作BD⊥AC于点D,则∠ABD=50°， 在Rt△ABD中，∠ADB=90°， .∠A=90°-50°=40°. .AB=AC, ÷∠4BC=∠4CB=18040=70. 2 故答案为：70°. 易错题型20全等/相似三角形判定条件误用 0避坑指南 ①全等判定误用SSA、AAA;②相似判定条件混淆；③找错对应边、对应角，导致比例式列错。 1.(2026·河北张家口·一模)如图，己知AM=CN,∠AND=∠CMB,添加下列一个条件后，仍无法 判定△ADN≌△CBM的是() M A.D=∠B B.AD∥BC C.DN=BM D.AD=BC 【答案】D 【详解】解：，AM=CN,MN=MN, ∴.AN=CM, ,∠AND=∠CMB, ∴.当∠D=∠B时，AAS可以判定△ADN≌△CBM; 当AD∥BC时，则∠A=∠C,ASA可以判定△ADN≌△CBM; 72/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 当DN=BM时，SAS可以判定△ADN≌△CBM; 当AD=BC时，SSA无法判定△ADN≌△CBM. 2.(25-26九年级上·福建漳州·期末)如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是() D A.∠ABD=∠C B.∠ADB=∠ABC C.AB2=AD.AC D.AD AB AB BC 【答案】D 【详解】解：A、:∠ABD=∠C,∠A=∠A, ∴△ADB∽△ABC,故本选项不符合题意： B、:∠ADB=∠ABC,∠A=∠A, △ADB∽△ABC,故本选项不符合题意； C、AB=ADAC, .AB4c AD AB 又∠A=∠A, .△ADB∽△ABC,故本选项不符合题意； D、:DAB ∠ABC与∠DAB的大小无法判定， AB BC ∴.无法判定△ADB∽△ABC,故本选项符合题意 易错题型21特殊四边形综合判定 0避坑指南 ①矩形、菱形、正方形的判定条件混淆；②判定定理使用不完整（如只证平行，未证特殊条件）；③反例 举错，误判命题真假。 1.(2026·安徽毫州·一模)如图，点D是△ABC的边AB的中点，按下列方法尺规作图：先以点D为角 的顶点，以DA所在射线为角的一边，在DA的右侧作∠ADM=∠ABC,然后在射线DM上截取 DE=BC,最后连接CD,CE,AE.根据以上条件和作法，下列判断不正确的是() 73/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 A.若AC⊥BC,则四边形ADCE是菱形 B,若四边形ADCE是菱形，则△ABC是直角三角形 C.若AC=BC,则四边形ADCE是矩形 D.若△ABC是直角三角形，则四边形ADCE是正方形 【答案】D 【详解】解：∠ADM=∠ABC, ∴.DE∥BC, .DE=BC, ,四边形BCED是平行四边形， .CE=BD,CE‖AB ,点D是△ABC的边AB的中点， .AD=BD .AD=CE ,CE∥AD ∴.四边形ADCE是平行四边形， AC⊥BC, ∴，四边形ADCE是菱形， 故A选项正确，不符合题意； :四边形ADCE是菱形， .AC⊥DE :∠ADM=∠ABC, ,DE∥BC, .AC⊥BC, 则△ABC是直角三角形， 故B选项正确，不符合题意； .DE=BC,AC=BC, 74/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 ∴.AC=DE, ,四边形ADCE是平行四边形， .四边形ADCE是矩形， 故C选项正确，不符合题意； ,△ABC是直角三角形， .当∠ABC=90°时， :DE∥BC ∴.∠ADE=90° 此时∠ADC>∠ADE=90°， 则四边形ADCE不是正方形， 或当∠CAB=90°时， 此时∠DAE>∠CAB=90°， 则四边形ADCE不是正方形， 或当∠BCA=90°时， .DE BC AC⊥DE, 但AC,DE不一定相等， 则四边形ADCE不是正方形， 故D选项不正确，符合题意： 2.(2026·湖北襄阳·一模)如图，两个含有30°角且完全相同的三角板ABC和三角板DEF,沿直线F℃ 滑动，下列说法错误的是() F D A.四边形ACDF是平行四边形 B.当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形 C,四边形ACDF不可能是正方形 D.当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形 【答案】D 75/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：：∠ACB=∠EFD=30°， .AC I DF, 片AC=DF, ∴.四边形AFDC是平行四边形， 选项A正确； :四边形AFDC是平行四边形， B、E重合时，CF垂直平分AD, ∴FA=FD, ∴.四边形AFDC是菱形， 选项B正确； 当四边相等时，∠AFD=60°，∠FAC=120°， ∴.四边形AFDC不可能是正方形， 选项C正确 当E是BC中点时，无法证明∠ACD=90°， 选项D错误 易错题型22直角三角形边角关系陷阱题 避坑指南 ①未指明直角顶点，漏分类讨论；②勾股定理应用时，未分清斜边与直角边；③三角函数定义中对边、邻 边混淆。 1.(2026·湖北襄阳·一模)在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,下列所给数据中， 不能判定△ABC是直角三角形的是() A.a=2,b=2,c=1B.a2+b2=c C.∠A-∠B=∠CD.a:b:c=3:4:5 【答案】A 【详解】解：A、因为a=2,b=2,c=1,1P+2'≠2，故△ABC不是直角三角形； B、因为a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形； C、因为∠A-∠B=∠C,且∠A+∠B+∠C=180°， 所以2∠A=180°，解得∠A=90°，故△ABC是直角三角形： D、因为a:b:c=3:4:5, 76/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以设a=3x,b=4x,c=5x,且(3x)2+(4x)2=(5x), 故△ABC是直角三角形， 2.(2025·云南昆明·模拟预测)如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，则下列结论不正 确的是() A.△ABC是直角三角形 B.sinB= C. cosC=2v5 D.tanC=2 5 【答案】C 【详解】解：由勾股定理得：4B=V2+2=22,AC=V+1P=2,BC=V1+32=V10, .BC2=AB2+AC2, .△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， .'sin B= BC o=,cosc-4C=5 BCo5 tanC==22=2 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C, 易错题型23相似三角形与动点问题 避坑指南 ①动点运动过程中相似对应关系不唯一，漏解；②未结合动点的位置限制讨论；③相似比与线段长度计算 错误。 1,(2026·辽宁铁岭·二模)如图，∠MON=90°，△ABC的顶点A,B分别在射线OM和射线ON上，点 C与点O在AB的同侧，D为AB边的中点，AC=BC=5,AB=8,若△ACD与△AOB相似时，则OA的长 77/425 扇学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 M B N 【皆案灯之成号 5 【详解】解：：AC=BC=5,D为AB边的中点，AB=8, .CDL AB,AD=1 B=4, 在Rt△ACD中，CD=VAC2-AD2=V52-42=3, ∠AOB=90°， ∴.∠ADC=∠AOB=90°， 若△ACD与△AOB相似，分两种情况： 当△ADC∽△AOB时， 40g解得40-32 品6年名 当△ADCn△BOA时， CD AC 即35 AO BA A08,解得A0=24 综上所述，01的长为成号 24 2.(23-24八年级上·四川南充·月考)如图，在△ABC中，AB=AC=24cm,∠B=∠C,BC=16cm, 点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以8cms的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由 C点向A点运动，若在某一时刻能使△BPD与△CQP全等，则点Q的运动速度为() D A.4cm/s B.8cm/s C.4cm/s或8cm/sD.8cm/s或12cm/s 【答案】D 【详解】解：：AB=AC=24cm,BC=16cm,点D为AB的中点， ..BD= ×24=12cm,B=∠C, 1 78/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 设点PQ的运动时间为s, .'BP 8tcm, ..PC=BC-BP=(16-8t)cm, 当△BPD≌aCQP时.则有：BD=CP,CQ=BP, ∴.16-8t=12, 解得：t=2' 1 .BP=CQ=8 2=4cm, 故点0的运动速度为：4+】8(cms): 当△BPD≌△CPO时，则BP=PC,CQ=BD=12cm, BC =16cm, ∴.BP=PC=8cm, t=8÷8=1(s) 故点Q的运动速度为12÷1=12(cm/s). 所以，点Q的运动速度为8cm/s或12cm/s, 故选：D 易错题型24计算菱形的面积 避坑指南 ①混淆菱形面积公式（底X高vs对角线乘积的一半）；②对角线计算错误；③与菱形周长、边长混淆。 1.(2026·四川绵阳·二模)如图，菱形ABCD中，AB=3,AC=2,则菱形ABCD的面积是() B A.4v2 B.3V7 C.22 D.3 2 【答案】A 【详解】解：连接BD交AC于点O，, 79/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 :菱形ABCD中AC⊥BD,OA=0C=4C=×2=l,AB=BC=3, 2 2 ∴.B0=VAB2-A02=V32-1P=2V2, ∴.BD=2BO=4V2, ∴.S菱形ABCD= 4CxBD-x2x454v5 A D B 2.(25-26八年级下·重庆·月考)如图，四边形ABCD是菱形，AC=4,DB=3,DH⊥AB于H,则DH 等于() D 24 B.5 2 6 【答案】B 【详解】解：设AC与BD交于点O, :四边形ABCD是菱形，AC=4,DB=3, 3 :.ACLBD,04=LAC=2,OB=BD= 在R△40B中，AB=0+OB=2+2 3) 5 :S菱形D=ABDH=}ACBD, 5DH=x4x3. 2 DH=12 易错题型25平行线分线段成比例误用 80/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 避坑指南 ①未在平行条件下乱用比例式；②线段对应关系找错，导致比例式列反；③混淆平行线分线段成比例定理 与相似。 1.(2026·上海黄浦·一模)如图，D、E是△ABC边AB、AC上的两点，在下列条件中，能够判定 DE∥BC的是() B A.DB=1,CE=2,AD=3,AE=4 B.DB=1,CE=2,AB=3,AC=4 C.DB=1,CE=2,AD=3,AC=4 D.DB=1,CE=2,AB=3,AE=4 【答案】D 【详解】AD=3 4E_4=2, =3, BD 1 CE 2 AD AE 故不能得到DB∥BC,故本选项不合题意； BD CE B.4D=31-2,g=42=1, BD 1 CE 2 BDC2,故不能得到DB∥3C,故本选项不合题意， AD AE 品甍号2 C. ”CE-2 AD AE BD CE ,故不能得到DB∥BC,故本选项不合题意； D.:D-31-2g=42 BD 1 CE 2 AD AE 能得到DB∥BC,故本选项符合题意； BD CE 故选：D 2.(25-26九年级上·安徽合肥·期中)如图，B,F,C三点共线，AC与BD交于点E,EF∥AB∥DC, 若4证C=57,则型的值为0 81/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E F A.7 5 B.12 25 C.144 D. 25 49 【答案】B 【详解】解：：EF∥AB, .BF AE CF CE ,AE:EC=5:7, BF 5 CF7 BF 5 BC 12 .EF IDC, ∴.△BEF∽ABDC. EF BF 5 DC BC 12 S.BPC_EF5 S.DEC DC 12 故选：B. 易错题型26相似三角形周长与面积比混淆 避坑指南 ①面积比等于相似比的平方，易直接用相似比；②周长比、对应线段比与相似比的关系记混；③多步相似 时比例传递错误。 1.(2026·河北石家庄·一模)如图△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O,OA:AD=1:2,下列结 论不正确的有() 82/425 品学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 A.△ABC与DEF的相似比为3 △OBC的周长1 B. △OEF的周长3 c. S.ABC=1 AC 1 9 D. SDEF DF2 【答案】D 【详解】解：：△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O,OA:AD=1:2, △ABC∽aDEF,且相似比k= 0DO1+4D1+23,故选项A正确，不符合题意： OAOA 11 :△ABC与△DEF位似， .BC∥EF, ∴，△OBCP△OBF, 0BF的周长O正OD3,故选项B正确，不符合题意： △OBC的周长_OB_OA1 :△ABCDEF,相似比为3' 1 12 3 9’ 故选项C正确，不符合题意； .'△ABC∽△DEF, AC OA 1 故选项D错误，符合题意， DF OD 3' 2.(2026·内蒙古包头·一模)如图，在点光源0的照射下，一块面积为5cm的三角形硬纸板（记为 △ABC)平行于投影面时，形成的投影是△DEF,若AD:AO=1:2,则△DEF的面积是() B A D 15 45 A. 2c3 B. C.10cm2 D.15cm2 【答案】B 【详解】解：由中心投影可知，△ABC与△DEF是位似图形， AD:A0=1:2, ∴.OD:AO=3:2 .△ABC与△DEF的位似比为3：2， 83/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 3 9 9 S.DBF= S ABC ×5= 45 m 4 4 易错题型27特殊角三角函数值记忆错误 避坑指南 ①30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值记混，②互余角的三角函数关系误用；③三角函数的增减性记 错。 1.(2026·天津·一模)2sin45°+V5tam30°-V2的值等于() A.1 B.√2 C.5 D.2 【答案】A 【详解】解：2sin45°+V3tan30°-V2 =2x2+V5x5-5 2 3 =5+1-V迈 =1. 2.(2026·河南许昌·一模)若规定sin(a+B)=sinacosB+cosasinB,则sin75°=sin(45°+30）=() A. N6+V迈 B. 6-√迈 C. V2+1 D.2-1 4 4 2 【答案】A 【详解】解：sn(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°6n30°-2x5,21-V6+2 2222 4 易错题型28无图几何题，多解分类讨论不全 避坑指南 ①未根据题意画出所有可能的图形；②漏考虑点的位置、图形的不同构造方式；③多解情况的结果验证遗 漏。 1.(2026·辽宁沈阳·一模)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,∠C=30°，点D是边BC的中点， 点E是边AC上一点，作点C关于直线DE的对称点F,点F与点E在直线BC的同侧.当DE L AC时，在 平面内找点G,使以A,D,F,G为顶点的四边形为平行四边形，则AG的长为 84/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 【答案】23或10 【详解】解：如图，过点F作FH⊥BC于点H, 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4, ∴AC=2AB=8, 由勾股定理得BC=VAC2-AB2=V82-42=4V5, :点D是BC的中点， ho-be-ac 点C和点F关于直线DB对称， .DF=DC=25, ,DF⊥AC, .∠ACB+∠CDF=90°， .∠CDF=60°， ∴.△CDF为等边三角形， .DH-IcD= ∴FH=DF-DH=3,BH=3N3, 如图，以点B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则 B(0,0),A0,4),C45,0,D(25,0),F33,3, A B D H C 设点G的坐标为(x,y), 分三种情况讨论： 若AD为平行四边形的对角线， 0+25x+3V5 2 2 ，解得 x=-5 4+0y+3 ys1 2 2 85/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 “G(5, ..AG= 5-o)+0-4=3+9=2N5, 若AF为平行四边形的对角线， 0+3V5_x+2V5 2 x=V3 解得 4+3_y+0 y=7 2 ∴G(3,7) ·AG=5-0+(7-4)=3+9=23; 若DF为平行四边形的对角线，可得 23+3V3x+0 2 2 解得 x=5V5 0+3y+4 y=-1 2 2 G53- ..AG= 55-0+(-1-4)2=V75+25=10: 综上所述，AG的长为2V3或10 2.(2026·江西吉安·一模)已知点A,B,C分别在从上往下相互平行的直线4,12,1上，1与1之间的 距离是1,1，与（之间的距离是2.若△ABC是等腰直角三角形，则它的面积是 【答案1)或5 3 【详解】解：如图，由题意可得：当∠BAC=∠ACB=45°，AB=BC,∠ABC=90°，过B作QG1于 G,交1于0， o 11 12 GC .0G⊥1， ∴.BQ=1,BG=2,∠AOB=∠CGB=90°， ∴.∠ABQ=90°-∠GBC=∠BCG, 86/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 ∴.△ABQ≌△BCG(AAS), .'BO=CG=1,AO=BG=2, .AB2=12+22=5, ·△ABC的面积是AB= 2 当∠ABC=∠ACB=45°，AB=AC,∠BAC=90°，过C作QC⊥I于Q,过B作BD⊥I于D, 12 B 13 同理可得：△CAQ2△ABD(AAS), .AD=CO=3,A0=BD=1, .AB2=32+12=10, ..B5 当∠ABC=∠CAB=45°，CB=AC,∠ACB=90°，过B作BQ⊥1于Q,过A作AD⊥1于D, A h B 3 C D 同理可得：△BCQ≌aCAD(AAS), .'AD=CO=3,BO=CD=2, ∴.AC2=32+22=13, .S.ABC= AC、13 2 综上：△4BC的面积为或5或 3.(2026·黑龙江·一模)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6,D为BC的中点，Q为 AB的边上一动点，把△BDQ翻折得到△PDQ,若PQ与△ABC的直角边平行，则BQ的长为 87/425 命学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 D A C 【答案】3或√3 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6, ∴.∠B=30°，BC=6, ,D为BC的中点， .BD=BC=1x6=3 1 2 由翻折性质得：BQ=PQ,BD=PD=3,∠B=∠DPO=30°，∠BQD=∠PQD 分两种情况讨论： 当PO IBC时 Q D P :PQ‖BC,内错角相等得∠PQD=∠QDB, 结合翻折性质∠BQD=∠PQD, ∴.∠BOD=∠QDB,由等腰三角形等角对等边得BQ=BD=3, 当PQ‖AC时，延长PQ交BC于点M, B A ,PQ‖AC, ∴.∠PMD=∠C=90°， 由翻折得BO=PQ,BD=PD=3,∠B=∠DPM=30°， 88/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 3 在RIPDM中，DM=sin∠☑PPD=X3 2 BD=3, BM=3-DM=3-3=3 22’ 在RtBOM中，cos∠B=BM BO 3 BM ∴.BQ= c0s30° 2=5, 2 综上，BQ的长为3或5， 易错题型29弧、弦、圆心角、圆周角关系混淆 避坑指南 ①未强调“同圆或等圆”的前提，乱用关系；②弧、弦、圆心角的对应关系搞错；③圆周角与圆心角的倍 数关系漏写。 1.(2026·四川成都·一模)如图，AB是⊙0的直径，点G,D在⊙0上，BD=C⑦，已知D=40°，则 ∠ABD=() A.20° B.40° C.50° D.70° 【答案】A 【详解】解：？点C,D在⊙O上，BD=CD, ∴BD=CD, D=40°， ·∠CBD=2(180°-∠D)=70 ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， :∠A=∠D=40°， 89/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠ABC=90°-∠A=50°， ∴.∠ABD=∠CBD-∠ABC=20°. 2.(2025·四川广元·一模)如图，在⊙O中，BD=CA下列结论不正确的是() B A.AB=CD B.∠BOC=∠BOD C. AB=CD D.S.Aa =S.COD 【答案】B 【详解】解：BD=CA, ∴.AB=CD,∠BOD=∠AOC, ∴.AB=CD,则A正确，C正确； AO=BO=CO=DO,AB=CD, ∴.△ABO≌△CDO, .S△4OB=S△coD,则D正确 ∠BOC、∠BOD不一定相等，则B不正确 故选：B. 易错题型30圆周角定理分类讨论漏解 避坑指南 ①一条弦所对的圆周角有两种情况（同侧/异侧），漏解；②直径所对的圆周角是直角，忽略逆用；③圆周 角定理推论应用错误。 1.(2026·河南周口·一模)定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”，如图，等边 △ABC的边长为a,点D在以C为圆心，a为半径的优弧上，若△ABD为“反直角三角形”，则AD= 90/425 命学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 B 【答案】a或√5a 【详解】解：如图， D' D ,等边△ABC的边长为a, .AB=AC=BC=a,∠ACB=60°， .ZADB-7ZACB-30 :△ABD为“反直角三角形”， .∠BAD=90°+30°=120°， ∴.∠ABD=180°-∠BAD-∠BDA=30°， ∴.AD=AB=a 当点D落在点D上时，∠ADB=∠ACB=30, ,△ABD'为“反直角三角形”， ∴.∠ABD'=90°+30°=120°， ∴.∠BAD'=180°-∠ABD'-∠BD'A=30°， ∴.BD'=AB=a 作BE⊥AD'于点E, BAE三AD 4E-ABcos /BAD'=acos30= 20, :AD'=2AE =3a, 91/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 综上可知，AD=a或V3a. 2.(2026·黑龙江哈尔滨·一模)△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC,若∠BOC=100°，则 ∠BAC的度数为· 【答案】50°或130° 【详解】解：当△ABC为锐角三角形时， BAC-2 ∠B0C=50°； 当△ABC为钝角三角形时，如图中△A'BC, ∠BA'C=180°-∠BAC=130°； 综上，∠BAC的度数为50°或130°. 3.(23-24九年级上·黑龙江佳木斯·月考)直线AB与⊙O相切于点B,C是⊙O与线段OA的交点，D是 ⊙O上的动点（点D与B,C不重合），若∠BAO=30°，则∠BDC的度数为 【答案】30°或150° 【详解】解：如图，连接OB, D ,直线AB与OO相切于点B, ∴.∠0BA=90°， ∠BA0=30°， ∴.∠AB=180°-∠B4-∠B40=60°， 当点D在优弧BC上时，∠BDC为圆周角，所对弧为BC,圆心角为∠BOC=6O°，故 ∠BDC=1∠B0C=30°； 21 当点D在劣弧BC上时，∠BDC与优弧BC上的圆周角互补，即∠BDC=180°-30°=150°. 92/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 故答案为：30°或150°， 易错题型31弧长、扇形面积公式混淆错用 避坑指南 ①弧长公式与扇形面积公式记混；②圆心角的单位未用弧度导致计算错误；③圆锥侧面积与扇形面积关系 混淆。 1,(2026·吉林·一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=63°，AB=5,将△ABC绕点A逆 时针旋转x(O°<，<180)得到△ABC',使点B恰好落在线段BC的延长线上，在旋转过程中，点B所经 过路径的长度为 (结果保留π). 【答案】2刀 【详解】解：∠BAC=90°，∠ACB=63°， .∠ABC=90°-63°=27°， 由旋转的性质可得AB=AB', .AABB是等腰三角形，∠AB'B=∠ABC=27°， ∴.∠BAB'=180°-27°-27°=126°， ∴点B所经过路径的长度1=126r×5_630m-7 1801802 2.(2026·河南·一模)如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8,∠BAC=90°，以AB为直径的 ⊙O切AC于点A,交BC于点D,则图中阴影部分的面积为 B 【答案】4元-8 93/425 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：连接OD,如图 B .'AB=AC=8,∠BAC=90° ∴.△ABC是等腰直角三角形，且∠B=45°， ∴.∠AOD=2∠B=90°， ∴.∠BOD=90°， :0B=0D=x8=4, 2 扇形BOD的面积为 90° π.42=4π， 360° ABOD的面积为2 .4.4=8 S阴影=S扇形80D-S,B0D=4T-8. 25 3.(2026·黑龙江哈尔滨·一模)已知扇形的面积为二元cm2,半径是5cm,则此扇形的圆心角度数为 6 【答案】60°/60度 【详解】解：设此扇形的圆心角度数为°，根据扇形面积公式S=r 360 将3=25 ，r=5代入公式得： 6 nm.5225 3606 25nm25 π 3606 解得n=60. 易错题型32阴影部分不规则面积求解易错 避坑指南 ①割补法应用错误；②未正确转化为规则图形的和差；③计算过程中重复或遗漏部分面积。 94/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(2026·河南南阳·模拟预测)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A,B, C都在格点上，以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交BC于点P,则阴影部分的面积为 【容幻 【详解】解：如图所示，连接AC, B 由题意得，BA=BP=V1?+22=N5,AC=V1+22=√5，BC=VP+32=0, .'BA2=AC2=5,BC2=10,BA=AC, .'BA2+AC2=BC2, .△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， ∴.∠ABC=45°， S别影=45元×B45 元 3608 2.(2026·广西柳州·一模)如图，在扇形AOB中，OA=2,∠AOB=90°，点C为AB的三等分点，连接 OC,过点B作BD⊥OC交OA于点D,连接CD,则阴影部分的面积为 A 【答案】2π 33 【详解】解：如图所示，BD、CO交于点E, 95/425 命学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 :在扇形AOB中，OA=2,∠AOB=90°，点C为AB的三等分点， B ∠40C=1∠40B=30°，∠C0B=600, 3 BD⊥OC, ∴.∠OBD=30°， .OB=OC=0A=2, ..OE=OB=1) ∴.CE=OC-OE=1,BE=VOB2-OE2=√5， 在ROBD中，DE=OE.tan∠4OC=y5 1 3 S阴影=S扇形B0c-SOB8+S.cDg, 60xx21OE.BE+CE.DE 3602 2 60zx4x1xx1x 3602 2 3 2n33 326 2π3 33 故答案为： 2πv5 33 3.(2026·河南驻马店·一模)如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个 底面半径r为6cm,高h为8cm的圆锥体，那么这个扇形的面积是 cm2. h y B 【答案】60π 【详解】解：设圆锥的母线为l,这个扇形的圆心角∠AOB=n, 则1=Vr2+h2=6+82=10, 96/425 品学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 :圆锥的底面周长等于扇形的弧长， 则x =2πr, 180 :nxπx10 =2×元×6， 180 解得：n=216, 216 则S形= nn= ×元×102=60元. 360 60 易错题型33总体、个体、样本、样本容量概念混淆 0避坑指南 ①混淆调查对象的总体与个体；②样本容量带单位；③抽样调查与普查的适用场景判断错误。 1,(2026·湖南株洲·一模)某市为了解40000名初中毕业生的身高情况，随机抽查了其中2000名学生 的身高进行统计分析，下列说法正确的是() A.40000名初中毕业生是总体 B.每名初中毕业生是个体 C.2000名学生是样本容量 D.本次调查属于抽样调查 【答案】D 【详解】解：本次调查的对象是初中毕业生的身高，不是初中毕业生本身， ∴.总体是40000名初中毕业生的身高，不是40000名初中毕业生，A错误； 个体是每名初中毕业生的身高，不是每名初中毕业生，B错误； :样本容量是样本中包含的个体的数目，是一个数字， ∴.样本容量是2000，不是2000名学生，C错误； 本次调查是从总体中随机抽取部分学生进行分析，属于抽样调查，D正确。 2.(2026·重庆·一模)磁器口古镇为了解游客对特色小吃的喜爱程度，对前来游玩的2000名游客随机抽 取400名游客进行调查，下列说法正确的是() A.该调查方式是全面调查 B.样本容量是400 C.400名游客是总体的一个样本 D.2000名游客是总体 【答案】B 【详解】解：：该调查仅从全体游客中抽取部分游客进行调查，没有调查所有对象， 该调查方式是抽样调查，A错误； :样本容量是样本中包含的个体数目，本题抽取了400名游客， ∴.样本容量是400，B正确： ·为了了解游客对特色小吃的喜爱程度， .总体是2000名游客对特色小吃的喜爱程度，样本是抽取的400名游客对特色小吃的喜爱程度，不是游客 97/425。学科网 2026 中考考前 最后一课 考点无遗漏·热点早预见 技巧稳掌握·预测明考向 心态全护航·考后细疏导 刊首语 以青春之名，赴梦想之约 致即将奔赴考场的你 亲爱的同学们： 当凤凰花开满枝头，当蝉鸣唤醒盛夏，你们将执笔为剑，在考场上书写青春 的答卷。这三年，你们见过彼此晨光熹微时的早读身影，听过自己深夜笔尖划 过纸贡的沙响，既有过“直挂云帆济沧海”的意气风发，也曾因“路漫漫其修 远兮”而彷徨。但请记住，每一滴汗水都是成长的印记，每一次跌倒都是为腾 飞蓄力。 以信念为帆，破浪前行 中考是人生的第一个重要渡口，它检验的不仅是知识，更是意志。那些挑灯 夜战的夜晚、反复演算的习题，终将凝聚成“天道酬勤”的力量。无论结果如 何，只要拥有梦想并为之奋斗，你们已是自己的英雄。请带着“舍我其谁”的 气魄踏入考场，因为“自信是成功的基石，沉着是飞翔的翅膀”。 以坚韧为刃，披荆斩棘 学习之路从无捷径，或许你们曾因一次失利而怀疑自已，但请明白：“只有 经历地狱般的磨炼，才能炼出创造天堂的力量。”就像梅花经苦寒而芬芳，宝 剑因磨砺而锋利。此刻，你们只需凝神静气，将三年积淀化作笔下星河 一“静下来，铸我实力；拼上去，亮我风采”！ 以初心为灯，照亮未来 中考不是终点，而是新篇章的起，点。这个世界从不会辜负认真耕耘的人，在 你的笔下有一个色彩绚丽的世界，而未来定会还你另一幅灿烂图景。愿你们像 雄鹰搏击长空，如猛虎声震山谷，在考场上“以平常心面对挑战，以非凡心成 就自我” 殷般的嘱托 亲爱的同学们，“长风破浪会有时”是你们的信念，“不达目的誓不罢 休”是你们的誓言。愿你们“从容不迫，潇洒凯旋”；愿你们“金榜题名时， 言笑亦晏晏”；更愿你们永远记得一这场考试的意义，在于让你们发 现：“生命中最快乐的，是拼搏而非成功；最痛苦的，是惰性而非失败。” 希望学科网《最后一课》系列，能助你在中考的考场上擘画自己的明天↓相 信你们终将“一举成名天下知”，让青春的光芒照亮未来的每一步！ 学科网总经理陈学艺 2026年4月20日于北京 学科网 执笔为刃，智启巅峰 数学 2026·终极寺魁 中考数学冲刺最后一课 目录 考前冲刺篇 解密题型10~22（函数） 117 考前必看：抓热点、扫考点、补漏洞 解密题型23~47（图形与儿何) 166 解密题型48数据分析 270 冲刺复习备考指导 一◇核心·高频点速查 ◇冲利·压轴动向预测◇ 压轴题型01新定义问题 275 速查01数与式(6大核心考点) 2 压轴题型02阅读理解类问题 278 速查02方程与不等式(5大核心考点) 7 压轴题型03综合与实践类问题 284 速查03函数(5大核心考点) 11 压轴题型04现实热点问题 288 速查04三角形与四边形(6大核心考点) 16 压轴题型05跨学科问题 291 速查05圆(7大核心考点) 20 压轴题型06动点问题 296 速查06图形变换(3大核心考点) 27 压轴题型07最值问题 306 速查07统计与概率(4大核心考点) 32 压轴题型08多结论正误判断题 311 ◇锦囊·几何模型全解◇ 压轴题型09图形变换综合题（折叠/旋转） 318 几何模型01三角形热考28种模型 37 压轴题型10函数综合压轴题 327 几何模型02四边形热考6种模型 40 压轴题型11几何模型综合题 334 几何模型03圆热考8种模型 41 ◇套押·临考抢分卷 ◇技法·得分加速器 领航卷·最新模拟精选 346 15种辅助线解题技巧 42 必刷卷·名校好题重组 366 ◇排雷·易错点清零 实战卷·中考真题重组 391 种避坑指南 考中实战篇 易错题型01~10（数与式、方程与不等式） 52 临场提分：控节奏、稳心态、破危局 易错题型11~18（函数） 60 【考前准备1】学生科学备考篇 416 易错题型19~32（图形与几何） 71 【考前准备2】考前一天终极准备 417 易错题型33~36（统计乌機李） 97 【考前准备3】考场全程应对策略 418 ◇热点·命题风向标 【考前准备4】考场应急与难题突破 420 48大热点（包会命题解码、解题大招、押题预则） 考后辅导篇 解密题型01~06（数与式） 102 平稳收官：慎择校、启新程、向未来 421 解密题型07~09（方程与不等式） 109 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考前冲刺篇 考前必看：抓热点、扫考点、补漏洞 冲刺复习备考指导 核心原则：基础+中档题占80%，冲刺不钻偏题怪题，只做能提分、能控分的事 一、高效复习规划 1.复习优先级（提分效率从高到低） ☑第一梯队：基础题错题复盘+限时基础训练（保分核心) 。第二梯队：中档题高频题型专项突破（提分关键） △第三梯队：压轴题前两问训练（只抓步骤分，放弃最后一问) 2.每日时间分配 1)课内：紧跟老师节奏，当天错题当天标注、当天解决 2)晚间(2小时)：1小时基础限时练保手感，1小时攻克1类中档题型 3)碎片：只看公式定理、易错点提醒，不做新题 二、错题整改核心方法 1)粗心失误：做题时圈画所有题干条件，计算不跳步，复盘时标注“粗心点” 2)概念模糊：直接回归课本原文，默写相关定义、定理，理清易混点 3)方法不会：总结同类题通用解题步骤，整理成模板，集中练3-5道同类题巩固 三、心态与情绪调节 1)拒绝“假努力”：不盲目刷新题，80%的提分来自错题复盘 2)接受不完美：不用追求所有题都会做，把能拿的分拿满就是胜利 3)建立可控感：每天只定1-2个可完成的小目标，完成即打勾，拒绝模糊焦虑 4)快速平复：紧张时用“4秒吸气-2秒屏息-6秒呼气”呼吸法，重复5次 四、考场答题策略 1)按顺序答题，单题耗时不超过5分钟，卡住先跳过 2)步骤写完整，按得分点作答，几何证明不跳关键步骤 3)优先检查选择填空和计算大题，减少低级失分 4)难题不空卷，写出相关公式、定理或第一步推导，争取步骤分 五、考前一周关键动作 1)全面停止刷新题、难题，只看错题本和高频易错点 1/425 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)每日默写一遍核心公式、定理和常用结论 3)按中考时间做1套基础卷，保持做题手感 4)调整作息，保证每天7-8小时睡眠，避免熬夜 最后提醒：中考拼的不是谁会的题多，而是谁错的题少。稳住心态，把会做的题全部做对，你就赢了！ ◇ 核心·高频点速查◇ 速查01数与式(6大核心考点) 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与 选择 1.实数的概念与分类（无理数、相反数、绝对值、倒数、科学记数 运算辨析 法辨析) 2.二次根式的概念与性质（有意义的条件、最简二次根式、同类二 次根式) 3.整式的相关概念（单项式/多项式的次数、系数，同类项的判 断) 4分式有意义/无意义/值为0的条件辨析 重 核心运算与 填空 1.实数的运算（含零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值、 性质应用 绝对值化简) 2.因式分解（提公因式法、公式法、十字相乘法的直接应用） 3.分式的化简求值（含整体代入、因式分解约分） 4.二次根式的化简与估值 难 综合运算与 解答 1.分式/二次根式的混合运算（含化简求值、分母有理化、含参数 非负性应用 的分式化简) 2.因式分解的综合应用（结合方程、代数式求值、恒等变形） 3.与整式/分式相关的规律探究题（数字规律、图形规律） 4含绝对值、二次根式的非负性综合题（如“几个非负数和为0求 参数”) 情境与形式创新 选择/填空 1.含新定义的数与式运算（如自定义运算规则、新定义数） 变 2.结合数轴的数与式问题（绝对值的几何意义、整式大小比较、动 点问题) 3.跨情境数与式应用（用代数式表示实际问题中的数量关系） 4含参数的分式/二次根式取值范围问题 跨学科与开放探 选择/填空/ 1.结合跨学科情境的数与式问题（如统计数据、科技/文化热 究新 解答 点背景下的数与式计算) 2.开放型数与式问题（如“写出一个满足条件的无理数/代数 式”) 3.数与式与函数/几何的综合题（如结合函数图像、几何图形 的代数式求值) 2/425 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.与数论相关的创新题（如整除性、奇偶性、数的分类拓 展) 洞一图串考法 常考易黄 0先看该数是有限小数还是无限小数 有理数/无理数的区别 2再看是循环小数还是不循环小数 常考热哮 有理数的运算法则及运算律等同样适用 实数运算 0先进行乘方和开方运算 ②再算乘除 运算顺序 目最后算加减 ④如果遇到括号，则先进行括号里的运算 常考热考 0al20 非负数的表现形式 日a2≥0 ③a≥0(a≥0) am.an 三am+） 底数不为0 数与式 (am)namn 幂的运算 a"bn= 常考/热考 考内 Γa°=1(a≠0) 整式的常见运算 Lat=2a≠0)l 常在计算题中出现 r(a+b)(a-b)=a2-2 乘法公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 提取公 观察剩 两项 平方差 因式 余项 公式 观察是否 检查每个多 项式是否都 因式分解的一般步骤 有公因式 没有 观察多 完全平 分解彻底。 顶 方公式 一超 二套 三检查 有括号一先算括号里面的 运算顺序 L无括号一先乘方一再乘除一最后加减 二次根式的混合运算 运算律一有理数的运篇律仍适用 r平方差公式-(a-Vb)(Wa+V⑤)=a-b(a≥0，b≥0) 运算公式 L完全平方公式-(a±V⑦2=a+b士2Wad(a≥0，b≥0) 先乘方，再乘除，最后加减 分式的混合运算 有括号时，先算括号内的运算 同级运算，按照从左到右的顺序进行 3/425 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 烤点清单 考点01实数 1.实数的相关概念及性质（表格版) 名称 定义 性质 数轴 在数学中，通常用一条直线上的点表示数， 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.反 这条直线叫做数轴， 之，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数 与数轴上的点是一一对应的. 相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数， 1)若a,b互为相反数，则a+b=0 我们称其中一个数是另一个数的相反数. 2)0的相反数是0 3)互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到 原点的距离相等且位于原点的两侧， 绝对值 数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a a(a>0) 的绝对值，记作|a. lal=- 0(a=0) -a(a<0)】 1)0没有倒数，倒数等于它本身的数是1和-1： 倒数 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫 做另一个数的倒数 2)若ab=1分a,b互为倒数： 若ab=-l台a,b互为负倒数： 2.实数的混合运算 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 实数计算的易错点： 1)负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数： 2)一个非负数的绝对值是它本身：一个负数的绝对值是它的相反数： 3)a日a=0内正整数)：。-1a+0内正整数 3.补充知识（特殊角的锐角三角函数值） 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sina 2 2 cosa 1 2 2 2 tana 3 1 3 4/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点02整式运算 1.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2.幂的运算 法则(m,n都是整数) 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，即am,a”=am+n x2.x3=x7 幂的乘方 底数不变，指数相乘， 即(a=am (x2=x 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的 (x)=x' 积相乘，即(ab)=ab" 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即am÷a”=am-"(a≠0) x3÷x2=x3(x≠0) 3.整式的乘法 单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂 (-2x3y2)3.4y2=-32xy8 乘单项 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母， 式 则连同它们的指数作为积的一个因式 单项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式 (-3x2y)-x+3x2y)=3x2y-9xy2 乘多项 的每一项，再把所得的积相加.即 式 m(a+b+c)=ma+mb+mc. 多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项 乘多项 乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相 （6m-40以2m-30=5r+m-6m 式 加.即(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd. 乘法 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b3 公式 完全平方公式：(a±b)2=ad±2ab+b2 4.整式的除法 单项式除 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的 12adb2x3÷3ab2=4a2x 以单项式 因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的 指数作为商的一个因式。 多项式除 般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每 (12a3-6ad2+3a÷3a=4a2-2a+1 以单项式 项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 (am+bm-cm)÷m=a+b-c 5/425 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点03因式分解 有 提取公 观察剩 两项 平方差 因式 余项 公式 观察是否 检查每个多 有公因式 项式是否都 没有 观察多 三项 完全平 分解彻底. 项式 方公式 一提 套 三检查 考点04分式的运算 加减运算 1)同分母分式：分母不变，把分子相加减，即b±9_b±c aaa 2)异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减，即亡 b.c_bd±ac ad ad 乘除运算 1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的 分母，即b,-bc a d ad 2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相 乘， 即b÷9=b.d_bd a d a c ac 乘方运算 分式的乘方是把分子、分母分别乘方， a" (n为正整数，且b≠0) 混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减； 有括号时，先 进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行 考点05二次根式的运算 加减运算 般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次 根式合并，即aWm+bNm=(a+b)m,aNm-bm=(a-b)Vm 乘法运算 √a√b=√ab(a≥0，b≥0) 除法运算 a≥0，b>0) 混合运算 二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算. 考点06比较数的大小 (1)数轴比较法：将实数在数轴上表示出来，左边的数小于右边的数： 6/425 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)绝对值比较法：设a,b是两负实数，若|a>b÷a<b: 「a-b>0台aDb a-b=0台a=b (3)求差比较法：设a,b是两实数，若a-K0台Kb 81⊙心6 8台a-6 (4)求商比较法：设a,b是两正实数，若 <1台Kb (5)平方比较法：设a,b是两负实数，若a2>b2台a<b: (6)估算法：设a,b为任意两个正实数，先估算出a,b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较. 例如√2≈1.414，V3≈1.732，√5≈2.236：【总结】比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒 数法、数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a,b,若a>b2÷a>b:对任 意负实数a,b,若a>b2分a<b. 速查02方程与不等式(5大核心考点) 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.一元一次方程、二元一次方程（组）的解的概念辨析 析 2.一元二次方程的根的判别式、根与系数关系（韦达定理）的 基本应用 3.不等式（组）的解集表示、整数解判断 4.分式方程的增根与无解的条件辨析 重 核心运算与性质应 填空 1.一元一次方程、二元一次方程组的求解 用 2.一元二次方程的求解（配方法、公式法、因式分解法） 3.分式方程的求解（含检验步骤） 4.一元一次不等式（组）的求解与解集表示 难 综合应用与含参讨 解答 1.含参数的方程（组）/不等式（组）的解的情况讨论（如解 论 的正负性、整数解个数) 2.一元二次方程与几何、函数的综合应用（如根的分布、面积 问题) 3.分式方程的实际应用（工程、行程、销售问题，含检验） 4.不等式（组）与函数结合的方案设计、最值问题 情境与形式创新变 选择/填 1.含新定义的方程与不等式问题（如自定义方程、新定义不等 空 式) 2.结合数轴、函数图像的不等式解集分析（如一次函数与不等 式的关系) 3.跨情境方程建模（如结合统计、几何背景列方程/不等式） 4.含绝对值的方程与不等式 7/425 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 跨学科与开放探究新 选择/填 1.结合跨学科情境的方程与不等式问题（如物理、化学、科技 空/解答 热点背景下的建模) 2.开放型方程与不等式问题（如“写出一个解为x=2的一元二 次方程”) 3.方程与不等式的规律探究题（如数列递推、周期性问题） 4方程（组）与函数、几何的综合压轴题（如动点问题中的方 程建模) 弱一图串考法 紫方的其础 相同的数 等式的性质1一等号两边同时一加（或减） 等式仍然成立 相同式子 等式的性质 「乘一同一个数 等式的性质2一等号两边同时 等式仍然成立 L除以一同一个不为0的数 代入消元法一用一个未知数表示另一个，代入消去未知数 解二元一次方程组十加减消元法一通过方程加减消去某一未知数 “小提示一优先消系数为1或绝对值小的未知数，简化计算 ①去分母一两边同乘最简公分母一化成整式方程 日解整式方程一求出整式方程的解 解分式方程 易错易屁 值0一有解 代入最简公分母 ©验根 值=0一无解 增根一分式方程化整式方程后，使原分母为0的解 常用方法 直接开方法一特征一ax2=(a≠0，b≥0) 方 配方法一特征ar+2=ca≠0 程与不等 L适用于所有一元二次方程，是推导求根公式的基础 r判别式-△=2一4ac一使用条件一△≥0 元二次方程的解法 求根公式一当△之0时，根为x= b士√公 公式法 2a 「△>0件两个不相等的实致根 解（根）十△-0台两个相等的实数根 a*0 易忽略 L△<0台无实数根 提公因式法一提取公共因式 因式分解法一常见方法 公式法一利用平方差/完全平方公式 十字相乘法一拆分二次项、常数项配系数 前提一△>0 根与系数的关系一关系 b 1+=-a ar2+bc+c=0(a≠0) 1E2=a 解不等式馏其础 加或减一同一个数（式子） 不等号方向不变 不等式的性质 不等式两边司时 乘（或除以）一同一个正数 乘（或除以）一同一个负数一不等号方向改变 求各个不等式的解集 元一次不等式组的解法 再求公共部分 8/425 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点清单 考点01解一元一次方程 步骤 具体做法 变形的依据 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最 等式的 1)不要漏乘不含分母的项： 小公倍数 性质2 2)当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再 去分母 3)如果分子是多项式，去分母后要将分子作为一 个整体加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最 去括号法 1)去括号时，括号前的数不要漏乘括号内的每一 后去大括号 则，分配律 项： 2)当括号外的因数是负数时，去括号后原括号内 的各项均要变号 移项 把含有未知数的项移到方程一 等式的 1)移项时不要丢项： 边，其它项都移到方程另一边 性质1 2)将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在 【易错点】移项过程中未变号 方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同 把方程变为ax=b(a≠0)的形 合并同类项 1)系数的符号处理要得当： 类项 式 法则 2)未知数及其指数不变. 系数化 将方程两边都除以未知数的系 等式的 不要将分子，分母的位置颠倒 为1 数a,得到方程的解x号 性质2 考点02解二元一次方程组 解二元一次方程组的一般步骤 1)把二元一次方程组中的一个未知数消掉（代入消元或加减消元）使其变成一元一次方程： 2)解一元一次方程，求出一个未知数的值； 3)将求出的未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值： 4)写出方程组的解 【注意】 1)消元时要根据方程组的特点决定首先消去哪个未知数： 2)原方程组的每个方程在求解过程中至少要用到一次： 3)将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组的每一个方程中进行检验，看每个方程等号左、右两边的 值是否相等，若都相等，则是原方程组的解，只要有一个方程等号左、右两边的值不相等，就不是原方程组 的解 考点03解分式方程 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程，即分式方程钟)整式方程 具体作法：将分式方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程，再求根验根。 1)去分母→方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程： 9/425 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2)解整式方程→去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3)验根→将整式方程的解代入最简公分母， 若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，（可将这个解代入分式方程看左右两边是 否相等) 若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解 【易错点】 1)去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误. 2)方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根， 考点04解一元二次方程 根据方程的特点，选择适当的求根方法： 1)若方程具有(x+n)=a(a≥0)的形式，可用直接开平方法求解： 2)当一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法求解 3)公式法是一种最常用的方法，用时一定要把一元二次方程化为一般形式，确定a,b,c的值，在 △=b2-4ac≥0的条件下代入公式求解 方法 说明 直接开平方法 方程没有一次项时用直接开平方法较为简单（最直接的方法） 配方法 二次项系数为1，一次项系数为偶数时，用此方法较为简单（最基本的方法） 在配方法和公式法中，当各项系数均为整数，且绝对值较小时，首选公式法（万能 公式法 方法) 方程没有常数项时用因式分解法较为简单；当方程中含有括号时，不要急于去括 因式分解法 号，应观察是否能看作整体，直接因式分解（最简便的方法） 【总结】对于配方法、公式法和因式分解法，一般来说因式分解法较为简单，应优先考虑：对于整系数的 一元二次方程，若一次项系数为偶数，则可以考虑用配方法；若以上两种方法都不太方便的话，则用公式 法 考点05解一元一次不等式组 一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集： 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来： 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集， 【易错点】 1)利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分 2)当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变 xza x>a 3)关于x的不等式组 的解集为x=a,关于x的不等式组{ 无解 x≤a x<a 10/425 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 速查03函数(5大核心考点) 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.函数的定义与自变量取值范围（分式、二次根式、零指数幂 析 综合) 2.一次/反比例/二次函数的图像与基本性质辨析(k、a、b、c 的作用) 3.函数值的计算、增减性判断与大小比较 4.函数图像的识别（实际问题图像、动点图像） 5.函数的对称性、平移规律辨析 重 核心运算与性质应 填空 1.待定系数法求函数解析式（一次、反比例、二次函数) 用 2.函数图像的平移、对称、旋转变换计算 3.反比例函数k的几何意义（面积相关计算） 4二次函数的顶点、对称轴、最值计算 5.一次函数与坐标轴的交点、与反比例函数的交点问题 难 综合应用与含参讨 解答 1.一次函数与反比例函数的综合（交点、面积、不等式解集） 论 2.二次函数与几何综合（存在性问题：等腰/直角三角形、平 行四边形、菱形等) 3.二次函数的最值问题（顶点最值、区间最值、面积最值） 4.含参数的一次/二次函数问题（参数对图像、交点、性质的 影响) 5.函数与方程、不等式的综合（利用图像解不等式、方程根的 分布) 情境与形式创新变 选择/填 1.分段函数的实际应用（阶梯计费、行程分段问题） 空/解答 2.函数建模的实际问题（一次/二次函数解决利润、方案选 择) 3.函数图像的信息解读（图表、图像结合的实际问题） 4.反比例函数与几何图形的非常规综合（比例、相似、面积） 5.函数性质的变式探究（自定义函数、新运算） 跨学科与开放探究新 选择/填 1.跨学科情境的函数建模（物理运动轨迹、跨学科实际问题） 空/解答 2.函数的新定义与开放探究题（自定义函数、规律探究） 3.二次函数的实际应用（抛物线型建筑、运动轨迹、优化问 题) 4.函数与统计、大数据结合的图表分析题 5.多模块融合的开放题（函数+几何+代数的综合探究） 11/425 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 厨一图串考法 个×轴一b=0 轴上的点 y轴一a=0 原点一(0，) 到x轴距离一b】 点到坐标轴的距离 到y轴距离一a 特殊点坐标特征一(a,b) 易错点一距离是正数，取坐标的绝对值 Γ、 三象限一a=b 象限角平分线上的点 L二、四象限一a+b=0一即a=-b 厂与x轴平行一纵坐标相等，横坐标不等 平行于轴的线 ·与V轴平行一横坐标相等，纵坐标不等 b>0一在正半轴 -x=0一与y轴交点(0，b)十b<0一在负半轴 与坐标轴交点 b=0一过原点 y=0一与x轴交点(-：)一与X轴交点 一次函数 k一上升(k>O下降k<O)趋势 直线位置 b 与y轴交点的纵坐标 由k,b的符号确定一示例：k0b>0一二、三、三象限 函数 双曲线 关于原点中心对称的两条分支组成一补充]双曲线还关于直线y=x、y=-x轴对称 双曲线位于第一、三象限一x,y同号 k>0 反比例函数 在每个象限内，y随x的增大而减小 双曲线位于第二、四象限一x,y异号 k<0 性质 在每个象限内，y随x的增大而增大 重难点 所得矩形的面积为k k的几何意义一双曲线上任一点向×、y轴作垂线 所得直角三角形的面积为肉 抛物线= 2+r+ca≠0)一若点（红1，小(c2,)在抛物线上一对称特为：=1+2 2 0 a的作用一a>0开口向上，a<0开口向下 ab>0一在y轴左侧 二次函数 2系数a、b的配合作用 ab<0一在y轴右侧 b=0一y轴 ~c>0一与y轴正半轴相交 O系数c的作用 ·c=0一经过原点 与系数a、b、c的关系 c<0一与y轴负半轴相交 △>0+有2个交点 0与x轴交点的关联一由判别式△=b2-4ac决定十△=0+有1个交点 L△<0+无交点 rx=1:y=a+b+c一判断a+b+c的符号 X=-1:y=a-b+c一判断a-b+c的符号 ⑤特殊值对应的函数值 ×=2:y=4a+2b+c一判断4a+2b+c的符号 ×=-2:y=4a-2b+c一判断4a-2b+c的符号 12/425 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 色考点清单 考点01一次函数的图像与性质 k>0 k<0 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 图像 之 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴 交点的 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 位置 经过 第一、二、 第一、三、 第一、二、 第二、三、 第一、三象限 第二、四象限 的象限 三象限 四象限 四象限 四象限 1)直线y=kx+b,(k≠0)与直线y=k2x+b,(k2≠0)平行台 =店，4≠b 拓展 2)直线y=kx+b(k≠0)与直线y=k,x+b,(k2≠0)垂直÷ =-1 【补充说明】一次函数y=+b(k≠O)的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的 符号有关，与b的符号无关。 考点02反比例函数的图像与性质 k的符号 k>0 k<0 图像 图像位置 图像分别位于第一、第三象限(x、y同 图像分别位于第二、第四象限(x、y异 号) 号) 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 图像特征 1)图像是关于直线y=x和y=-x对称的双曲线： 2)图像是关于原点对称的双曲线： 3)图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交. 【易错易混】 1.反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前 提.当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x 13/425 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的增大而减小，同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大， 2.反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函 数的增减性，也可以推断出k的符号。 3.双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个 分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）. 考点03二次函数的图像与性质 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)+k y=ax2+bx+c y h>0,k>0 a>0 g h<0,k<0 图 像 y h<0,k>0 a<0 h>0.k<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点坐标 (0,0) (O,k) h,0) (h,k) ( 、4ac-b2 2a 4a a>0 开口向上，顶点是最低点， 此时y有最小值： 最 a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值 值 【小结】二次函数最小值（或最大值）为0(k或4c-b二) 4a 增 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. 减 性 a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小， 考点04二次函数的图像特征与各项系数之间的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 14/425 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口 的大小(a越大，开口越小). a<0 开口向下 b=0 对称轴是y轴，即-品0 b 对称轴在y轴左侧，即一品<0 左同右异中间0 a,b同号 a,b异号 对称轴在y轴右侧，即-品0 c=0 图像过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c决定了抛物线与y轴交点的位置. c<0 与y轴负半轴相交 b2-4ac>0 与x轴有两个不同的交点 b2-Aac b2-4ac的正负决定抛物线与x轴交点个数 考点05函数的平移 1.一次函数的平移变换 平移变换 平移方式(m>0) 函数解析式 向上平移m个单位 y=kx十b+m 向下平移m个单位 y=kx+b-m y=kx+b 向左平移m个单位 y=k(x+m)+b 向右平移m个单位 y=k(x-m)+b 【总结】一次函数图象平移后，k值不变因此可求出原函数图象上任意一点平移后得到的点的坐标，再利用 待定系数法即可求出平移后的解析式 2.二次函数图像的平移 平移方式(n>0) 般式y=ax+bx+c 顶点式y=a(x-h)2+k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)+b (x-n)+c y=a(x-h-n)+k 右减 向上平移n个单位 y-ax +bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax +bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移口诀：左加右减（只改变x),上加下减（只改变y). 15/425 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 速查04三角形与四边形（大核心考点） 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.三角形的分类、三边关系、内角和定理辨析 析 2.特殊三角形（等腰、等边、直角三角形）的性质与判定辨析 3.三角形的高、中线、角平分线、中位线的性质应用 4.多边形内角和、外角和公式的直接应用 5.平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义与性质辨析 6.轴对称、中心对称图形的识别（结合三角形/四边形） 重 核心运算与性质应 填空 1.三角形角度计算（含外角定理、直角三角形两锐角互余） 用 2.等腰/直角三角形的边长、周长、面积计算（含勾股定理） 3.三角形中位线定理的相关计算 4平行四边形、矩形、菱形、正方形的边长、对角线、面积计 算 5.特殊四边形的对称性、边长/角度的性质应用计算 6.多边形的边数、内角和/外角和的逆向计算 难 综合应用与含参讨 解答 1.三角形全等/相似的证明与性质应用（含多步证明、线段/角 论 度转化) 2.特殊三角形（等腰/直角）与四边形的综合证明与计算 3.平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质综合题 4三角形/四边形的动点问题（点动、线动、面动，含存在性 讨论) 5.含参数的三角形/四边形问题（如边长含参、角度含参的分 类讨论) 6.几何最值问题（如将军饮马模型、折叠问题中的最值） 情境与形式创新变 选择/填 1.三角形/四边形的折叠、旋转、平移等几何变换问题 空/解答 2.以实际情境为载体的几何建模题（如测量、拼接问题） 3.开放性几何题（如条件开放、结论开放的三角形/四边形证 明) 4.几何图形的变式探究（如条件弱化、结论推广的多问探究） 5.结合网格、坐标系的三角形/四边形问题（坐标法解几何） 跨学科与开放探究新 选择/填 1.跨学科情境的几何问题（如物理受力分析、工程测量中的三 空/解答 角形/四边形应用) 2.几何新定义问题（如自定义“等邻边四边形”“奇异三角 形”等) 3.几何规律探究题（如多边形分割、图形拼接的规律总结） 4.多模块融合题（三角形/四边形与函数、方程、统计的综 合) 5.开放探究类压轴题（如条件探究、结论探究、方法探究的多 问压轴) 16/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 园一图串考法 三边性质一关系一两边之差<第三边<两边之和 三角形的性质 角度性质1外角不相的秀个内角之和 等边对等角 性质十三线合 等腰三角形 两腰相等 定义法一有两边相等的 判定 等角对等边 三个角相等且为60 性质 三边相等 等边三角形 般三角形 三个角相等 特殊三角形 判定 三条边相等 等腰三角形中，有一个角是60 角的性质一两锐角互余 性质 边的性质一两直角边的平方和-斜边的平方（勾股定理 中线斜边的一半 特殊线段的性质 直角三角形 若∠A-30,则a=2 三 一有一个角是直角 角的判定 L两个内角互余 角形与四 判定 线判定一中线斜边的一半 人勾股定理逆定理一a2+b2=c2 热门考点 边一两条直角边(a,b.斜边(c) 形 核心元素 角一两个锐角（∠A,∠B) 三边关系一a2+b2=c2 两锐角关系一∠A+∠B-90 基本关系 解直角三角形 sinA=cosB= 边角关系 sinB-CoSAb mA-丽-号 待殊结论2A=30时一30°角对边=斜边的一半：a=】。 继承平行四边形所有性质 四个角都是直角 性质 对角线相等 既是中心对称图形，又是轴对称图形 柜形 有一个角是直角的平行四边形 判定 有三个角是直角的四边形 对角线{对角线相等的平行四边形 特殊平行四边形 四条边都相等 性质 对角线互相垂直且平分一组对角 萼形 有一组邻边相等的平行四边形 判定 四条边都相等的四边形 对角线【互相垂直的平行四边形 四条边相等，四个角是直角 性质 对角线相且互相垂直平分、平分一组对角 有4条对称轴（既是中心/轴对称图形） 正方形 边了 有一组邻边相等的矩形 判定 角{有一个角是直角的形 对角线互相垂直的柜形 对角线 对角线相等的姜形 17/425 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点清单 考点01特殊三角形的性质与判定 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 性 (1)两腰相等. (1)三边相等. (1)两锐角之和等于90° 质 (2)两底角相等（简写成“等边 (2)三个内角相等，都等于60°. (②)斜边上的中线等于斜边的 对等角”). (3)是轴对称图形，有三条对称 半 (3)顶角的平分线、底边上的中 轴 (3)30°角所对的直角边等于斜 线、底边上的高线互相重合（简 (4)等边三角形三条角平分线的 边的一半 称“三线合一”) 交点、三条高线的交点、三条中 (4)勾股定理：两直角边的平方和 (4)是轴对称图形，有一条对称 线的交点重合 等于斜边的平方，即a2+b2=c2 轴. (a,b为直角边，c为斜边)， 判 (1)有两条边相等的三角形是等 (1)三边相等的三角形是等边三 (1)有一个角为90°的三角形是 定 腰三角形 角形. 直角三角形. (②)有两个角相等的三角形是等 (②)三个角都相等的三角形是等 (2)有两个角互余的三角形是直 腰三角形（依据“等角对等 边三角形. 角三角形 边”). (3)有一个角等于60°的等腰三 (3)勾股定理的逆定理：若a2+ 角形是等边三角形 b2=c2,则以a,b,c为三边的 三角形是直角三角形 面 积 S=1 ch(a为等腰三角形的 S= √5 (a为等边三角形的 s号ab-=iom(a,b为直角 底边长，h为底边上的高) 边，c为斜边，m为斜边上的 边长) 高)· 考点02全等三角形的性质与判定 全等三角形的性质： 1)全等三角形的对应边相等，对应角相等， 2)全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等。 3)全等三角形的周长相等，面积相等（注意：周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形） 判定两个三角形全等的思路：证明两个三角形全等时，要认真分析己知条件，仔细观察图形，弄清己具备了 哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法，一般可按下面的思路 进行： 找第三边 SSS 定两 已知两边 找夹角SAS 找直角 HL 三 边为角的对边 找另一角 AAS 已知一边、一角 找夹角的另一边SAS 一边是角的邻边 找夹边的另一角 ASA 全等 找边的对角 AAS 找夹边 ASA 已知两角 找其中一角的对边 AAS 路 18/425 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点03相似三角形的性质与判定 1.相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. ②相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比. ③相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. ④三角形的相似具有传递性：若△ABC∽△BDC,△AC∽△ADB,则△BDC∽△ADB. 【易错点】对相似三角形的面积比不清而出错 2.相似三角形的判定 判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交， 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 所构成的三角形与原三角形相似. 2 三边成比例的两个三角形相似： 两组直角边成比例的两个直角三角形相似. 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 4 两角分别相等的两个三角形相似. 考点04解直角三角形 已知条件 解法步骤 图示 斜边和一直角边 0=sinA→∠1→∠B=90°-∠4 两 (如a,c) a,c→ A 边 b=vc2-a 两直角边 a =tanA→∠A→∠B=90°-∠A (如a,b) a,b→ b c=va+b a B 斜边、锐角 ∠B=90°-∠A c,∠A→ (如c,∠A) a=csin A,b=c.cosd 一直角 对边，锐角 ∠B=90°-∠A 边 边， (如a,∠A) a,∠A→ b=-a tand cs、 a 锐角 sinA 角 邻边，锐角 「∠B=90°-∠A (如b,∠A) b.∠A→ b a=b.tan A,c=- sd 考点05特殊四边形的性质 19/425 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 四边形 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称图形 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形、中心对 称图形 菱形 对边平行且四条边 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且 轴对称图形、中心对 都相等 每一条对角线平分一组对角 称图形 正方形 对边平行且四条边 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分且相 轴对称图形、中心对 都相等 等，每一条对角线平分一组对 称图形 角 考点06特殊四边形的判定 四边形 边 角 对角线 平行四 1)两组对边分别平行 两组对角分别相等 两组对角线互相平分 边形 2)两组对边分别相等 3)一组对边平行且相等 矩形 1)平行四边形+一直角 平行四边形+两条对角线相等 2)四边形+三直角 菱形 1)平行四边形+一组邻边相等 平行四边形+两条对角线互相垂直 2)四边形+四条边都相等 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 矩形+对角线互相垂直 菱形+对角线相等 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 速查05圆(7大核心考点) 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.圆的基本概念辨析（圆心、半径、弦、弧、圆心角、圆周角 析 的定义与关系) 2.垂径定理及其推论的辨析与直接应用 20/425 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.圆周角定理（直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相 等)的辨析 4点与圆、直线与圆的位置关系判定(d与r的数量关系) 5.圆的对称性（轴对称、中心对称）的识别与应用 6.正多边形与圆的基本概念辨析（中心角、边心距） 重 核心运算与性质应 填空 1.垂径定理相关计算（弦长、半径、弦心距的勾股定理应用） 用 2.圆心角、圆周角的角度计算（含多步转化） 3.弧长、扇形面积的公式直接计算 4.圆锥的侧面积、全面积与展开图相关计算 5.切线的性质应用（切线与半径垂直）的基础计算 6.圆内接四边形的性质（对角互补）相关角度计算 难 综合应用与含参讨 解答 1.切线的判定与性质综合题（证明切线、利用切线性质计算线 论 段/角度) 2.圆与三角形/四边形的综合（圆内接三角形、四边形的证明 与计算) 3.圆的综合证明与计算（垂径定理、圆周角定理、切线性质的 多步综合) 4.圆与函数的综合（坐标系中圆与一次/二次函数的交点、切 线问题) 5.含参数的圆的问题（如圆心坐标、半径含参的位置关系讨 论) 6.圆中的最值问题（如线段最值、弧长最值、面积最值） 情境与形式创新变 选择/填 1.圆的折叠、旋转等几何变换问题（如折叠后形成的圆的相关 空/解答 计算) 2.实际情境中的圆建模问题（如圆形零件、扇形零件的测量与 计算) 3.结合网格、坐标系的圆的问题（坐标法解决圆的位置关系、 切线问题) 4.圆的变式探究题（如条件弱化、结论推广的多问探究） 5.与相似、勾股定理结合的圆的综合题（圆中线段比例、长度 计算) 跨学科与开放探究新 选择/填 1.跨学科情境的圆的问题（如物理中的圆周运动、工程中的圆 空/解答 形构件问题) 2.圆的新定义问题（如自定义“等弧圆”“伴随圆”等) 3.圆的开放探究题（如条件开放、结论开放的圆的证明与计 算) 4.多模块融合压轴题（圆+函数+几何变换的综合探究） 5.与大数据、实际应用结合的圆的优化问题（如扇形面积的最 值设计) 21/425 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 丽一图串考法 垂径定理的五个元素 过圆心垂直弦 平分弦（非直径）平分优颜平分劣弧 ·垂径定理模型 知二推 任意2个元素一另外3个一平分的弦不能是直径 公式一弦长一半：+弦心距=半径 构造Rt△计算线设长度 ~题型一已知半径弦长弦心距，求另外一个量 Γ所对的弧相等 一基本结论一相等的圆心角 L所对的弦相等 弧、弦、圆心角的关系 同或等凯所对的弦相等 厂所对的圆心角相等 前提：同圆/等圆中 性质 推论 一所对的圆心角相等 两条弦相等 所对的弧（同类型）相等 定理一 条弧所对圆周角-所对圆心角的一半 圆周角定理 下半圆（或直径所对的圆周角是直角 准论 90的圆周角所对的弦是直径 Γ对角互补 ·圆内接四边形 性质L任意一个外角等于它的内对角 符号说明一d为点到圆心的距离，为圆的半径 点和圆 点在圆内分d<r 位置关系十 点在圆上台d= L点在圆外台d>r r符号说明一d为直线到圆心的距离，为圆的半径 相较一关系一dr 位置关系 关系一d-r 性质一圆的切线垂直过切点的半径 圆 热转 经过半径外端且垂直于这条半径的直线，是圆的切线 直线和圆十相切 判定 有明确交点，连半径，证直线与半径垂直 证明直线与圆相切 无明确的交点，过圆心作垂线段，证其等于半径 圆外一点引圆的2条切线，切线长相等 切线长一切线长定理 点与圆心的连线平分切线夹角 r关系一d>r 相离 特征一直线和圆无公共点 正多边形必有外接圆，一个圆有无数个内接正多边形 正多边形与圆 AC2+0C2=A02 中心、边中点、顶点组成积t 性质 ZA0G=号A0B 符号说明一n是圆心角度数，r为圆的半径 -弧长公式 -1= nir 公式 180 L,n,三个变量，知二推 与圆有关的计算 R 360 S- 扇形 周长-C=2R+1=2n+mL 180 扇（号）形面积 22/425 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点清单 考点01圆的基本性质 1.垂径定理及推论 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，CD D 是⊙0的直径，AB为弦，CD⊥AB于点E,则AE=BE, AC=BC.AD=BD 推论 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，CD是⊙0的直径，AE= BE,则CD⊥AB,AC=BC,AD=BD 延伸 (1)平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧. (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧， 小技巧 条直线如果具备：①经过圆心；②垂直于弦，③平分弦（非直径），④平分弦所对的优弧， ⑤平分弦所对的劣弧，上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其它三个结论，简称“知 推三” 2.弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 如图所示，，'∠AOB=∠COD,∴AB=CD,AB=CD B 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量 都分别相等 【注意】不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果遗漏了这个前提条件，即使圆心角相等，所对的 弧、弦也不一定相等 3.圆周角定理及推论 定理 条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 23/425 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 常见图 形 0 结论 1 LBAC=2∠BOC 推论 1)同弧或等弧所对的圆周角相等 2)半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径 4.圆内接四边形的概念及性质 概念 如果一个四边形的所有顶点均在同一个圆上，那么这个四边 形叫做圆内接四边形， 性质 圆内接四边形对角互补 ∠BAD+∠BCD=180°， ∠ABC+∠ADC=180° 延伸 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角 ∠1=∠2 相邻的内角的对角) 考点02切线相关 1.切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点. 2性质与判定： 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 判定 1)定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切： 2)数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切： 3)判定定塑法：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线， 3.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.如图中的PA, PB两条线段的长为点P到⊙0切线长(PA,PB与⊙0相切). 4切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹 角。 考点03三角形的内心和外心 三角形的内切圆 三角形的外接圆 24/425 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 圆心的确 三角形三条角平分线的交点， 三角形三边垂直平分线的交点， 定 叫三角形的内心 叫三角形的外心 图示 圆心的性 1)内心到三角形三边的距离相等， 1)外心到三角形三个顶点的距离相等， 质 即OD=OE=OF 即OA=0B=OC 2)0A、OB、0C分别平分 2)∠4=1∠B00 ∠BAC、∠ABC、∠ACB. 3)∠B0C=90°+ 1 2 ∠BAC 圆心的位 定在三角形的内部 锐角三角形：在三角形的内部： 置 直角三角形：为三角形的斜边的中点： 钝角三角形：在三角形的外部 考点04正多边形与圆有关计算 (n-2)×180° 1)内角：正n边形的每个内角和为 =180° 360° n n 360° 2)外角/中心角：正n边形的每个外角/中心角为 3)周长：正n边形的周长1=na(a为边长). 中心角 4)面积：正n边形的面积S=二l(r为边心距，为周长) 华径 5)正多边形的半径，边长和边心距之间的关系为R2=r2+ 内角 边心距 6)正多边形的半径，边长和中心角之间的关系为a=2R·i 180° 7)正多边形的半径，边心距和中心角之间的关系为r=R·C0 180° n 【技巧总结】 1)正六边形的边长等于正六边形的外接圆的半径. 25/425 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)正方形的边长等于正方形的外接圆的半径的√2倍， 3)正三角形的边长等于正三角形的外接圆的半径的V3倍. 考点05弧长与扇形面积 弧长公式：1= nnR (n为圆心角的度数，R为圆的半径)： 180 扇形的面积公式：S扇形 n元Ra为圆心角的度数，R为圆的半径)R(1是n的圆心角所对的弧 360 2 长) 【补充】 1)根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，1，n,R中的任意两个量，都可以求出另外两个量. 2)在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然 后直接代入公式3#影或SR中求解即可。 3当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时，可以选用公式S扇形= nπR2 当已知半径R和弧长1求 360 扇形的面积时，可以选用公式S能R 考点06圆锥的相关计算 圆锥常见量之间的关系（如图） 设圆锥的母线长为1，底面圆的半径为r,高为h (1)这个扇形的弧长为2Tr; (2)r2+h2=12; (3)S圆锥侧= 11-2πr=元l (4)S圆维全=rl+πr2=r(1+r2） (5)圆锥侧面展开图的圆心角度数为n= 7360←-2m= 360 【补充】求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个 扇形的驭长等于原罢维底面的周长，扇形的半径等于原圆维的母线长，即2， 来建立圆锥底面圆的 半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系. 考点07阴影部分面积计算 1,弓形面积的求法 26/425 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当弓形所含的弧是劣弧 当弓形所含的弧是优弧 当弓形所含的弧是半圆 A B B S号=S躺形408 △AOB S号=S扇形4o+S.4O3 2.求不规则图形面积的常用方法 1)求和（差）法：把图形适当分割，将不规则图形的面积转化成几个规则图形面积的和或差 如图(1)，S阴影=S扇形OAB一SAODE 2)等积转化法：通过等面积转化，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算. 如图(2)，点D为AB的中点，则S阴影=SA4BD· 如图3，己知扇形A0B,DO/AB,则S阴影=S。4B+S号形4B=SO4B+S号形AB-S扇形4OB 3)容斥原理法：当阴影部分由几个图形叠加而成时，利用“阴影部分的面积=叠加前的几个图形的面积之和 一（多加部分的面积+空白部分的面积）”求解 如图(4)，阴影部分是扇形ABE和扇形ACD的重叠部分，则 S阴影=S崩形ABB+S扇形ACD一S。AaC B 图(1)图(2)图(3)图(4) 速查06图形变换(3大核心考点) 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.轴对称、中心对称图形的识别（含三角形、四边形、圆等基 析 础图形) 27/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.平移、旋转、轴对称的基本概念辨析（对应点、对应线段、 对应角的性质) 3.图形变换的坐标变化规律辨析（平移、对称、旋转后的坐标 变化) 4.三视图与投影的概念辨析（主视图、左视图、俯视图，平行 投影与中心投影) 5.图形变换的对称性判断（如正多边形的对称轴数量、中心对 称的判定) 重 核心运算与性质应 填空 1.平移变换的坐标计算（沿x轴、y轴平移后的点坐标、图形 用 面积变化) 2.轴对称变换的计算（对称点坐标、对称轴方程、折叠问题中 的角度/边长计算) 3.旋转变换的计算（旋转中心、旋转角、对应点距离、旋转后 图形的边长/角度) 4.三视图相关计算（由三视图还原几何体、计算几何体的表面 积与体积) 5.图形变换中的面积、周长计算（如平移/旋转后图形的面积 不变性应用) 难 综合应用与含参讨 解答 1.折叠问题综合（三角形、四边形、圆的折叠，含多步推理、 论 存在性问题) 2.旋转问题综合（以三角形、四边形为载体的旋转，含全等/ 相似证明、最值问题) 3.图形变换与函数综合（坐标系中平移、对称、旋转与一次/ 二次函数的结合) 4含参数的图形变换问题（如旋转中心、平移距离含参的分类 讨论) 5.图形变换中的几何最值问题（如将军饮马、胡不归模型，利 用轴对称求最值) 情境与形式创新变 选择/填 1.网格背景下的图形变换问题（在网格中作平移、对称、旋转 空/解答 后的图形) 2.图形变换的实际情境建模（如剪纸、拼图、图案设计中的轴 对称/中心对称) 3.多变换组合问题（平移+旋转、轴对称+旋转的复合变换问 题) 4结合相似、勾股定理的图形变换问题（如旋转构造全等/相 似三角形) 5.图形变换的信息解读题（结合生活场景的变换规律分析） 跨学科与开放探究新 选择/填 1.跨学科情境的图形变换问题（如物理运动轨迹、建筑设计中 空/解答 的图形变换应用) 2.图形变换的新定义问题（如自定义“旋转变换”“反射变 换”的规则探究) 3.开放探究类图形变换题（如给定部分变换条件，探究变换规 律或结论) 4.多模块融合压轴题（图形变换+函数+几何的综合探究题） 28/425 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.图案设计与优化问题（利用图形变换设计对称图案，探究最 优方案) 厨一图串考法 向右平移a个单位一(x+a,y) 向左平移a个单位一(x-a,y) 平移一平移后坐标 右加左减横坐标，上加下减纵坐标 图形变换 向上平移a个单位一(x,y+a) 向下平移a个单位一(x,y-a) 关于x轴对称一(x,y) 一(xy) 对称一对称点坐标 关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变 坐 关于y轴对称一(x,y) 关于原点对称一(×，y) 系综 绕原点顺时针旋转90°一y,-x刈 旋转一旋转点坐标 绕原点逆时针旋转90°一(-y,刈 绕原点顺时针/逆时针旋转180°一（←×，-y) 考点 0 平移前后图形全等 2 对应线段：平行/共线+相等，对应角：相等 平移的性质 目对应点连线平行/共线+相等 形变 ④对应点距离=平移距离 对应点所连线段被对称轴垂直平分 轴对称的性质 对应线段相等、对应角相等 旋转前后图形全等一△ABC兰△ADE 对应点到旋转中心距离相等一AB=AD 对应点与旋转中心的连线夹角=旋转角一∠DAB=旋转角 解决旋转问题的关键一找旋转角、对应点，用旋转性质 旋转的性质 两个图形全等一△ABC兰△A'BC 经过中心一AA过点O 对应点的连线 中心对称的性质 被对称中心平分一AO=A'O 色考点清单 考点01图形的对称 1.轴对称图形与轴对称 轴对称图形 轴对称 概念 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它 两旁的部分能够互相重合，那么这个图形 能够与另一个图形重合，那么称这两个图 29/425 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称形关于这条直线对称，也称这两个图形成 轴 轴对称，这条直线叫做对称轴 图示 性质 被对称轴分成的两部分是全等图形. 1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分： 2.对应线段相等，对应角相等： 3.两个图形全等 区 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 具有特殊形状的图形 别 对象不同 两个图形 个图形 对称轴的 在两个图形之间 过图形的某条直线 位置不同 对称轴的 只有一条 不一定只有一条 数量不同 联系 1)沿对称轴折叠，两个图形重合： 1)沿对称轴折叠，图形的两部分重合 2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整 2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图 体，那么它就是一个轴对称图形 形，那么这两个图形成轴对称. 特别提醒：折叠的实质是轴对称变换，折痕所在的直线是对称轴，折叠前后的图形全等，对应点的连线被折 痕所在直线垂直平分. 2.中心对称图形与中心对称 中心对称图形 中心对称 概念 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果 把一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另 旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么 一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点 这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它 对称或中心对称，这个点叫做对称中心 的对称中心. 图形 0 B 性质 过对称中心的直线把中心对称图形分成的两 1)中心对称的两个图形是全等图形： 30/425 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 部分的周长与面积分别相等 2)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对 称中心，而且被对称中心所平分： 3)中心对称的两个图形，对应线段平行（或在一条 直线上)且相等 区别 指具有某种性质的一个图形 指两个图形的（位置）关系 考点02图形的平移 概念 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移.它具 移动方向和距离决定的： 图示 平移方向 D B平移距离 性质 1)平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2)平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等 3)任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移 距离 作图步骤 1)定：根据题目要求，确定平移的方向和距离： 2)找：找出确定图形形状的关键点： 3)移：过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段， 得到关键点的对应点： 4)连：按原图顺序依次连接各对应点 【注意】确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向；③平 移的距离 考点03图形的旋转 概念 把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度，叫图形的旋转，点0叫做旋转中心，转 动的角叫旋转角。 要素 旋转中心、旋转方向、旋转角 图示 旋转方向 旋转角 31/425 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 性质 1)旋转前后的两个图形全等； 2)对应点到旋转中心的距离相等； 3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角， 作图步骤 1)根据题意， 确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2)找出原图形的关键点： 3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点： 4)按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形. 速查07统计与概率(4大核心考点) 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.普查与抽样调查的适用场景辨析 析 2.总体、个体、样本、样本容量概念识别 3.平均数、中位数、众数、方差的意义与判断 4.必然事件、不可能事件、随机事件的区分 5.频率与概率的概念辨析 6.常见统计图（条形、折线、扇形）特点判断 重 核心运算与性质应 填空 1.平均数、加权平均数、中位数、众数计算 用 2.方差、极差的计算与数据稳定性判断 3.扇形统计图圆心角度数计算 4.简单随机事件概率直接计算 5根据频数、频率求总数或某组频数 6.用样本估计总体的简单计算 难 综合应用 解答 1.统计图综合补全与信息分析（条形+扇形+表格） 2.统计推断与决策类问题（根据数据提建议） 3.列表法或画树状图求两步及以上随机试验概率 4概率与统计结合的实际应用题 5.游戏公平性判断与方案设计 6.统计图表与方程、不等式的简单综合 情境与形式创新变 选择/填 1.结合生活实际的统计图表信息题 空/解答 2.重复试验下用频率估计概率 3.几何概型（面积、长度类概率计算） 4.多组数据对比分析与综合评价 5.统计量变化对数据结果的影响分析 跨学科与开放探究新 选择/填 1.结合环保、体育、健康等真实背景的统计题 空/解答 2.新定义统计量或概率规则的阅读理解题 3.数据收集、整理、描述、分析的完整流程考查 4.开放设问：根据统计数据提出合理建议 32/425 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.概率与函数、几何图形结合的综合探究题 丽一图串考法 「优点一数据全面、结果精准 全面调查 缺点一花费多、工作量大、耗时长，部分情况无法普查 方式 优点一花费少、省时、易操作 一抽样调查 一缺点一样本若不具代表性，结果可能偏离真实情况 数据的收集整理与描述 9 一特点一用扇形面积表示各部分占总体的比例 扇形统计图 常用统计图 一特点一用长方形高度表示数据的数量多少，直观对比 条形统计图 空 一特点一用折线起伏表示数据的变化趋势 折线统计图 平均数一易受极端值影响，适合数据分布均匀的情况 计与概 中位数一不受极端值影响，适合数据有异常值的情况 统计量的选择与应用 众数一反映数据的多数水平”，适合市场调研 方差一 比较两组数据的稳定性 公式法古典概型)一PA)=严厂m:事件A出现的次数 n1n:所有事件的总数 ~适用条件一涉及两个因素、可能性相等、结果数目较少 直接列举法 注意 ·按顺序列举，保证不重不漏 列表法一适用条件一涉及两个因素、可能性相等、结果数目较多 概率的 计算方法 树状图法一适用条件一涉及因素23个、可能性相等 适用场景一结果有无限个，且每个结果发生的可能性相等 ·几何概率 公式一P(A)= 事件A对应的区域面积 整个图形的总面积 通过大量重复试验，用事件发生的频率估计概率 用频率估计概率一方法 频率= 发生次数 试验总次数 色考点清单 考点01数据的收集 1.普查与抽样调查 概念 优缺点 举例 普查 考察全体对象的调查叫 优点：收集到的数据全面、准确 1)检测“神舟十六号”飞船的零 做全面调查. 缺点：一般花费多、工作量大，耗 部件 2)了解全班50名同学每天体育锻 33/425 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 时长 炼的时间. 只抽取一部分对象进行 优点：调查范围小，花费少、工作 1)测试一批灯泡的使用寿命或炮 抽样 调查，然后根据调查数 量较小，省时 弹的杀伤半径等 调查 据推断全体对象的情况 缺点：抽取的样本是否具有代表 2)调查某批中性笔的使用寿命 叫做抽样调查 性，直接关系到对总体估计的准确 3)了解全国中学生的视力和用眼 程度 卫生情况. 2.总体、个体、样本、样本容量与简单随机抽样 分类 概念 注意事项 举例 总体 要考察的全体对象 考察一个班学生的身高，那么总 对全市2.3万名初中毕业生升学考试的数 称为总体 体就是指这个班学生身高的全 学成绩进行统计调查，为了了解这2.3万 体，不能错误地理解为学生的全 体为总体 学生的数学成绩，从中抽取1000名学生的 个体 组成总体中的每 总体包含每一个个体，所有的个 数学成绩进行统计.那么： 个考察对象 体组成总体 总体指的是2.3万名学生的数学成绩： 样本 被抽取的个体组成 样本是总体的一部分，一个总体 个体指的是每一个学生的数学成绩： 一个样本 中可以有许多样本，样本能够在 定程度上反映总体 样本指的是1000名学生的数学成绩； 样本 样本中个体的数目 样本容量是一个数字，不带单 样本容量是1000. 容量 称为样本容量 位 考点02平均数、中位数、众数、方差 分类 定义 特点/意义 应用 平均 算术平均数：一般地，对于n个数X1,X2,…, 反映一组数据的平均 根据两组数据的平 数 水平，容易受到极端 均数评价、比较两 xn,则这n个数的平均数为 值的影响 组数据的整体水平， x=++, 记作“x”,读作“x拔”. n 加权平均数：若n个数x1,x2,…,Xn的权分别 是w1w2,,wn,则t2w2++xnw W1+W2+…+Wn 34/425 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 叫做这n个数的加权平均数 中位 一般地，将一组数据按大小顺序排列后，处于中 反映一组数据的“中 判断某个数据在某 数 间位置的数叫做这组数据的中位数.如果数据的 等水平” 组数据中所处的位 个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数 置，比中位数大，位 据的中位数， 于前50%；比中位数 小，位于后50%. 众数 ·组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的 反映一组数据的“多 常与“最受欢迎” 众数 数水平”，只与数据 “最满意”“最佳” 出现的次数有关 有关. 方差 设有n个数据x1,x2,…,xn,各个数据与平均 方差是用来衡量数据 在平均数相同的情 数的差的平方分别是(x1-x)2,(x2-x)2, 在平均数附近波动大 况下，比较两组数据 ,(n-)，我们用这些值的平均数，即用 小的量，方差越大， 的稳定性 s2=[61-刘2+62-刀2+…+6n-刘9来 数据的波动性越大， 方差越小，数据的波 衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据 动性越小。 的方差，记作s2 考点03统计图/表的分析 类型 图示 特点 扇形统计图 1)各百分比之和为1： B C 2)扇形圆心角的度数=该部分所占百分比 30% D X360°； /10% 3)特点：能清楚地表示出各部分在总体中所 占的百分比. 条形统计图 人数 1)能清楚地表示出各部分的具体数目： 20 2)各部分数量之和等于抽样数据总数（样本容 量) 35/425 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 折线统计图 气温/℃ 1)能清楚地反映事物的变化情况。 32 2 30 -.30 8 26 2627 24 周日周一周二周三周四周五周六日期 频数分布表 分组 频数 频率 1)各组频率之和等于1 151.5-156.5 0.15 156.5-161.5 2 0.10 161.5166.5 a 166.5171.5 5 0.25 171.5-176.5 0.20 频数分布直方图 个频数 1)能清晰、直观地显示各组频数的分布情况 20 30 6 16 及数据的整体状况： 14 12 2)各组频数之和等于抽样数据总数（样本容 4 量) 102030405060使角次数 考点04概率的计算 1.计算概率的公式：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等， 事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(4)-,即 P(随机事件A)=随机事件A可能出现的结果数 所有可能出现的结果数 2.列举法求概率 1)列举法：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等， 我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 2)列表法：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的 结果，这种方法叫列表法。 3)画树状图法：当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可采用画树状图法不重不漏地列举出所有 可能出现的结果，再根据概率公式计算。 3.用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率心会稳定于 36/425 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 某个常数p,我们称事件A发生的概率为p. ◇锦囊·几何模型全解◇ 几何模型01三角形热考28种模型 A字模型 8字模型 飞镖模型 ∠1+∠2=180°+∠A ∠A+∠B=∠C+∠D ∠BCD=∠A+∠B+∠D 老鹰抓小鸡模型 向内翻折 向外翻折 点0为∠A内部的一点 ∠1+∠2=∠A+∠0 2∠C∠1+∠2 2∠C-∠2-∠1 两内角平分线模型 两外角平分线模型 一内一外角平分线 己知BD、DC分别平分∠ABC、∠ 已知BD、DC分别平分∠EBC、∠BCF BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD ACB ∠0-90+∠A ∠B∠a 2 线三垂直模型 手拉手模型 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°， ∠ABC∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE △OAB,△OCD均是等腰三角形， AC=CE OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠C0D=a 37/425 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B △ABC≌△CDE △ABC≌△CDE BD=AB-DE △OAC≌△OBD,AC=BD, BD-DE+AB ∠AEB=a,EO平分∠AED 正方形内含型半角 等腰直角三角形内含型半角 对角互补模型 A G B A C 过点B作BD⊥BC,且BD=EC,连接 点C在∠AOB的平分线上 延长BC至点G,使DE=GB,连 AD,DF 接AG 1)旋转全等△4DE≌△ABG 1)旋转全等△4DB≌△4EC 1.△CGD=△CFE 2)对称全等△AEF≌△AGF 2)对称全等△ADF≌△4FF 2.CD=CE 3)EF=DE+BF 3.0D+0E=√50C 3)在Rt△DBF中，BD2+BF2=DF2 10c2 4.SODCE= 即EC2+BF2=EF2 A字模型 共边反A字模型 8字模型 D B B A=∠D或∠B=∠C DE∥BC ∠1=∠B △ADE∽△ABC △ACD∽△ABC △AOB∽△DOC AC"=AD-AB 射影定理 一线三等角模型 角含半角相似模型 38/425 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D ∠B=∠D=∠ACE=a ∠BAC=90°，∠DAE=45°，BA=AC 1)△ABD∽△ACB∽△BCD △ABC∽△CDE △BAEP△ADE∽ACDA 3 AB2=AC.AD 铝-能-答或0~GD-ABE BC2=AC.DC BD2=AD-CD 3)ABBC=BDAC(面积法) 双腰上的高求定值 等腰三角形动点与存在性问题 将军饮马（特例） B P3、PPP B D AB=AC 如图在直线AB、BC上分别找点 M、N,使得△PMN周长最小， 如图，己知线段AB,在直线1上找点 P使得△ABP为等腰三角形 ∠ABC=a DE+DF-BG P1,P2,P3,P4,P5 P'P",∠NPM=180°-2c 两个直角三角形靠墙 两个直角三角形背靠背 角平分线+垂直，构造中位线 D B D AE平分∠BAC,且AE⊥BE,点D 为BC的中点 AD2-CD2=AB2-BC2 AB2-BD2=AC2-CD DE= AC-AB 2 12345模型 胡不归模型 39/425 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 6 已知tana=1/2,tanB=1/3, 求a+B 。11 M 己知A,B为定点，其中点A在定直线m上，点P在直线m上一动点，求k ·PA+PB(k<1)的最小值 ∠1+∠2=45°（知二推一） 对形如a-PAtb-PB(ab的式子，可以先将式子变形为aPA+bPB 再 求出PA+bPB的最小值，此时只需要构造in∠PBM-b,作垂线即 b a a 可求出最小值 几何模型02四边形热考6种模型 矩形对角相等求最值 利用菱形的对称求最值 正方形十字架模型 D E B E C 在菱形ABCD中，E,F分别是 在正方形ABCD中，E,F分别是 在Rt△ABC中，过斜边AC上一点 AC,CD上的点，求线段长度和 BC,DC上的点，AE与BO相交 D作直角边的垂线段，求EF长的 DE+EF的最小值 于点O,互相推导①B-CF,② 最小值 AE=BF,③AE⊥BF EFsi =BG=2S AuC 连接BF,当BF⊥CD时BF取最小 相等则垂直，垂直则相等 AC 值 正方形风车模型 含60°角的菱形 中点四边形 D G 四边形ABCD是菱形， 已知点E、F、G、H分别为各边 中点 ∠ABC=60° 己知正方形ABCD,点O是对角线 的交点，∠MON=90° 1)△OAE≌△OBF,△OBE≌△ 1)∠ABD=∠CBD=30°； 矩中菱，菱中矩，正中正 40/425 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OCF2)BE+BF=AE+FC=AB 2)△ABC,△ACD为等边三角形 3)△E0F为等腰直角三角形4) 3)AB:AD:BD=1:1:V3;4) SWMACBD=BC 1 AE2+CF2=EF2 5〉S四边形B0= S正方形ABcD 6》C边形E的最小值为2AB (当OE⊥AB时OE取最小值) 几何模型03圆热考8种模型 垂径定理模型 双切线模型 角分图模型 在⊙0中，AB为⊙0的直径，CD AD,AB是⊙0的切线，切点分别 为弦，且AB⊥CD与点E 为A,B AB是⊙0的直径，AE与⊙0交于 点C,点D在BC上 CE=DE, 1)△AOD≌△B0D(HL),△A0C≌ ①AD平分∠BAC(点D为BC的中 BC=BD,AC=AD 点)；②AE⊥DE:③DE是⊙0的 △BOC(SAS);△ACD≌△BCD 切线 2)∠A0B+∠ADB=180°： 三个条件知二推一 3)OD平分∠AOB,∠ADB: 4)0D垂直平分AB. 5)△DAB,△OAB为等腰三角形 弦切角定理 相交弦定理 切割线定理 E C 14 。0 0 B 在⊙0中，弦AB、CD相交于点P 在⊙0中，弦CD的延长线与⊙0 直线BC与⊙0相切，线段AB是 的切线AB交于点A ⊙0的弦 弦切角的度数等于它所夹的弧所 AP·DP=BP·CP AB2=AD·AC 对的圆心角度数的一半，等于它 所夹的弧所对的圆周角度数 割线定理 阿氏圆模型 41/425 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 点A,B均在圆内，r=kOB(k>1) 点A,B均在圆外，r=k0B(k<1) AP·BP=CP·DP AD的长即为PA+kPB的最小值 ◇ 技法·得分加速器 方法技巧01平行线中的辅助线作法 条件：己知AB∥DE 己知 平行线+“外拐点” 平行线+“外拐点” 平行线+“线外拐点” 辅助 B -.p 线图 A。 示 B D D …E 解题大招：过拐点作平行线. 【总结】在平行线相关问题中，若平行线间出现折线，则常常过折线的拐点作已知直线的平行线，构造 “三线八角”进行求解。 方法技巧02三角形遇垂线 己知 描述 图示 结论 一边的高及该边边长 作另一边的高（如作 AD-BC=BE-AC BE⊥AC) 过一边中点的垂线 连接交点与顶点（如连 △BEC是等腰三角形 接点E与点C) 边的高 作高的平行线（如过点 EF⊥BC E作EF∥AD) 42/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直角三角形 作斜边上的高（如作 △ABD、△ADC均为直角 AD⊥BC) 三角形且ADBC=AB·AC 【总结】本表格梳理了三角形中四类基础条件对应的辅助线作法与直接结论，核心思路是通过构造高、垂 线、平行线，实现“等面积转化”“等腰/直角三角形判定”等解题目标。 方法技巧03三角形遇中点 类型 描述 图示 结论 等腰三 条件：在等腰△ABC中，D是底 ∠BAD=∠CAD 角形底 边BC的中点 AD⊥BC 边中点 思路：连接顶点A与底边中点D, BD=CD 利用等腰三角形“三线合一” B 直角三 条件：在Rt△ABC中，∠B=90° 角形斜 D是斜边AC的中点 边中点 思路：连接项点B与斜边中点D, 利用直角三角形斜边中线定理 B 一边中 条件：在△ABC中，D是AB边的 DE‖BC,DE= 点及另 中点，己知BC边的相关条件 一边相 思路：作DE∥BC,交AC于E, 关条件 利用三角形中位线定理 中点及 条件：在△ABC中，D是AB边的 SAACD-SABCD- -SAABC 面积 中点 思路：连接顶点C与中点D,利 用中线等分面积 B 多个中 条件：在△ABC中，D、E分别是 点0为△ABC的重心 点（三 AB、AC边的中点 线交 思路：连接各边中点，交于点O, 点) 利用三角形重心定义 多个中 条件：在△ABC中，D、E、F分 △DEF是△ABC的中点三角形 点（中 别是三边的中点 点三角 思路：连接各边中点D、E、F, 形) 利用三角形中位线定理 【总结】本表格梳理了三角形中与“中点”相关的常见辅助线作法，核心是利用等腰三角形三线合一、直角 三角形斜边中线、中位线定理、中线分面积、重心及中点三角形等性质，通过连接中点、作平行线等方式， 43/425 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 快速得到线段相等、平行、倍分关系或面积等分等关键结论。 方法技巧04与角平分线有关的辅助线 类型 描述 图示 结论 见角平分线， 己知BD平分∠ABC,PELBC △BFP≌△BEP, 用性质定理 作法：过点P作PP⊥AB于点F PE=PF, BF=BE 角平分线+垂 已知BD平分∠ABC,PE⊥BD △BFP≌△BEP, 直→三线合 作法：延长PE,交AB于点F △BEF为等腰三角形 平行线+平行 BD平分∠ABC,PE∥BC BE=PE →等腰△ 角平分线上点 在BC上截取BF=BE,连接PPF(截 △BFP≌△BEP,EP=FP +边上一点→ 取法) 作对称 方法技巧05三角形遇特殊角 类型 条件描述+操作（作辅助线） 图示 结论 含45°角的 在△ABC中，∠B=45°， △ABD是含45°的直 三角形 作AD⊥AB交BC于D 角三角形 D 在△ABC中，∠B=45°， A △ABE是含45°的直 作AE⊥BC于E 角三角形 B45 E 含 在△ABC中，∠B=30°， △ABD是含30°的直 30°+45°角 ∠C=45°，作AD⊥BC于D 角三角形，△ACD是含 的三角形 B30°45C 45°的直角三角形 D 44/425 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在△ABC中，∠B=30°， △ABD是含30°的直 ∠ACB=135°（即∠C的补角 角三角形，△ACD是含 为45°)，作AD⊥BC的延长 45°的直角三角形 线于D 30°X45」 d B D 含120°角 在△ABC中，∠BAC=120°， D △ACD是含60°的直 的三角形 作CD⊥AB的延长线于D A 角三角形，△BCD是直 角三角形 120° B 含 在△ABC中，∠BAC=15°， △ACD是含30°的直 15°+30°角 ∠C=30°，作AD⊥BC的延长 AN 15° 角三角形，△ABD是含 的三角形 线于D 45°的直角三角形 30 B 含 在△ABC中，∠BAC=60°， △ADC是含60°的直 60°+75°角 ∠C=75°，作CD⊥AB于D 角三角形，△BDC是含 的三角形 D60 45°的直角三角形 73c 其它 如图，作DE LAC于E △ADE是含30°的直 角三角形 D<130 ---9E 方法技巧06三角形遇二倍角 基础图形 B 其中∠B=2∠C 操作方法 图示 结论 过A作AD⊥BC于D,在DC上截取 △ABE、△ACE为等腰三角形， DE=BD,连接AE AB=AE=EC B 45/425 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 以B为圆心，AB长为半径画弧， △ABE、△ACE为等腰三角形， 交BC的延长线于E,连接AE ∠E=∠C 延长CB到D,使BD=AB,连接AD △ABD、△ACD为等腰三角形， △BAD~△ACD D 以C为顶点，CB为一边作 △DBC为等腰三角形， ∠BCD=∠ACB,交BA的延长线于D △ABC~△ACD D 作∠ABC的角平分线BD,交AC于 △DBC为等腰三角形，△ABC~△ADB 0 B 以点C为顶点，CB为一边，在 D △DBC为等腰三角形， △ABC外作∠BCD=∠B,交BA的延 长线于D AC=(AB+BC)(CD-AD) B 方法技巧07三角形遇绝配角 类型/图示 操作方法 结论 非共顶点共边的绝配角 翻折或延长 △AED、△AEC都是等腰三角 形 a A 90°-号 90°-g 90°-号 BD C EBD C 条件：∠C=2∠BAD 共顶点共边的绝配角 延长 A ∠AOD=∠B0C=B C 0 46/425 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B B ∠C0D=∠B0C=a a 0 C 0 C D 条件：a+2β=180° 【总结】三角形中遇到绝配角（α+2B=180°）时，核心思路是构造等腰三角形，将角度互补关系转化为等 角关系，再结合全等或相似三角形，实现线段的等量转化与求解。 方法技巧08倍长中线模型 条件 在△ABC中，AD是△ABC的中线 图示 B 辅助线作 延长AD至点E,使AD=DE,连接BE 延长AD至点E,使AD=DE,连接CE 法 E E 结论 △4DC≌△EDB,AC=BE且AC∥BE △ADB≌△EDC,AB=CE且AB∥CE 方法技巧09截长补短模型 截长法 补短法 题 在△ABC中AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求证：AB=AC+CD 目 图 示 2 B D 辅 在AB上截取AE=AC,连接 延长AC到点E,使CD=CE,连接DE 延长AC到点E,使AB=AE,连接 助 DE DE 47/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线 作 法 E 20 20 D E 结 △ACD≌△4AED △ABD≌△AED △ABD≌△AED 论 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 方法技巧10构造一线三等角/手拉手模型 题目 己知等腰Rt△ABC,直线1经过其直角顶点B 特征 图示 解题 1)过点A,C分别AD⊥1，CE⊥1 方法 2)根据已知条件可证明△ABD≌△BCE 3)从而得到AD=BE,BD=CE 结论 △ABD≌ABCE,AD=BE,BD=CE 类 构双等边三角形 构双等腰直角三角形 型 图 E E E 示 B B D B 条 等边△ABC 等腰直角△ABC,∠BAC=90 件 方 作等边△ADE 作等腰直角△ADE,∠DAE=90° 法 结 论 △ABD≌△ACE 48/425 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法技巧11一般四边形 类型 操作说明 图示 结论 邻边相等的四 连接对角线（如连接 D △ABD是等腰三角形 边形 BD) B 邻角相等的四 延长对边（如延长AB、 △EBC是等腰三角形 边形 CD交于点E) 一个内角为直 延长对边（如延长DC、 △ADE是直角三角形 角的四边形 AB交于点E) 一一组对边平 过顶点作平行线（如过A D 四边形AECD是平行四 行的四边形 作AE∥DC交BC于E) 边形 含四边中点的 顺次连接各边中点（连接 四边形EFGH是平行四 四边形 E,F,G,H) 边形 方法技巧12平行四边形 类型 操作说明 图示 结论 平行四边形 连接对角线（连接AC、 D C OA=OC,OB=OD BD交于点O) 0 B 作垂线（过D作DE⊥AB △ADE和△BCF均为直角 于E,过C作CP⊥AB于 三角形，且DE=CP 49/425 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 F) 平行四边形及 作平行线（过C作 四边形DBEC为平行四边 对角线 CE∥BD交AB的延长线于 形 E) 方法技巧13与圆有关的辅助线 类型 条件与辅助线 图示 结论 圆周角 条件：A,B,C在圆上，0为 BAC= ∠BOC 圆心 辅助线：连接OB,OC 条件：AB为直径，C在圆 ∠ACB=90 上 辅助线：连接AC,BC 条件：A,B,C,D在圆上，同 ∠BAC=∠BDC 弧BC 辅助线：连接BD,CD 条件：BC=CD ∠BAC=∠CAD 辅助线：连接AD B 圆周角及劣 条件：D是AC上一点 B ∠B+∠ADC=180° 弧上一点 辅助线：连接AD,CD 弦（不是直 条件：AB为非直径弦， △A0C、△B0C均为直角三角形 径)及垂直 OC⊥AB 0 于弦的半径 辅助线：连接OA,OB B 50/425 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 弦（不是直 条件：AB为非直径弦 △A0C、△BOC均为直角三角形： 径)及过弦 辅助线：过圆心0作 AC-B0AB:∠A0C-∠B0c 端点的半径 OC⊥AB 方法技巧14与切线有关的辅助线 类型 条件+辅助线 图示 结论 切线及 条件：直线1与⊙0相切于点A,点P △AOP为直角三角形， 切线上 在直线1上 OA⊥1 一点 辅助线：连接OA,OP 圆与直 条件：点A在⊙0上，直线1经过点A 若0A⊥1，则直线1是 0 线求证 辅助线：连接OA ⊙0的切线 切线 条件：直线1与⊙0无已知交点 若OA=r(半径)，则直 0 辅助线：过圆心0作OA⊥1于A 线1是⊙0的切线 方法技巧15遇正多边形内切圆与外接圆 类型 条件+辅助线 图示 结论 正多边形 条件：正多边形有内切圆⊙0，D,E OD⊥AB,OE⊥AC;若为 的内切圆 为切点 D 正三角形，则 辅助线：连接圆心0与两切点D,E ∠D0E=120° 条件：正多边形有内切圆⊙0，D为 △BOD是直角三角形 切点 0 辅助线：连接圆心0与顶点B及切 点D 51/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 正多边形 条件：正多边形有外接圆⊙0 △BOC是等腰三角形： 的外接圆 辅助线：连接圆心0与两顶点B,C 若为正三角形，则 ∠B0C=120° 条件：正多边形有外接圆⊙0 △BOD是直角三角形： 辅助线：连接圆心0与顶点B,作边 BD-DC-Bc BC的垂线OD ◇ 排雷·易错点清零◇ 易错题型01数轴与绝对值化简易错题 避坑指南 ①化简绝对值时，未判断绝对值内式子的正负；②数轴上点的位置与符号判断错误；③含参数绝对值漏分 类讨论。 1.(2026·山东滨州·一模)已知数a,b在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是() a 0 6→ ①bl>ld；②la+bl=a+b;③la-bl=b-a;④b-a>ab. A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 【答案】D 【详解】解：由数轴可得，a<0<b,d<bl, .a+b>0,a-b<0,b-a>0,ab<0, ..a+b=a+b,a-b=b-a,b-azab, 故①②③④都正确. 2.（2026·重庆·一模)已知x-y=-2,且y+x=6,则x的值为 【答案】16 【详解】解：x-y=-2, ·y=x+2, ≥0， 52/425 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y>0, ∴y川=y. 将y=y代入y+x=6,得y+x=6, 把y=x+2代入y+x=6得x+x+2=6,即x+x=4. 当x≥0时，x=x,原式可化为x+x=4,解得x=2, 将x=2代入y=x+2得y=4,符合题意： 当x<0时，=-x,原式可化为-x+x=4，,即0=4，等式不成立，此情况无解 .x=2,y=4, .x=24=16 易错题型02平方根/算术平方根、无理数判定出错 避坑指南 ①混淆平方根与算术平方根的非负性；②误将带根号的数直接判定为无理数：③计算平方根时漏写正负 号。 1.(24-25七年级下·全国·单元测试)如图为小亮的答卷，他的得分应是（) 姓名：小亮 得分：？ 填空（每小题2分，共10分） ①√9的平方根是3， ②1-√2的绝对值是√2-1■ ③-3)=-3 ④-52=-5 ⑤-8的相反数是2 A.10分 B.8分 C.6分 D.4分 【答案】C 【详解】解：①√5的平方根是±√3，原答案错误： ②1-√5的绝对值是√2-1，正确： ③-3)=-3，正确： 53/425 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ④V-5列=5，原答案错误： ⑤一8的相反数是2，正确： 所以得分是2×3=6分， 故选：C 2.(2026·陕西榆林·一榄)在0，V6,}5,8中，无理数有 一个 【答案】2 【详解】解：0是整数，属于有理数， 是分数，层干有理数。 8=2是整数，属于有理数， √6是无限不循环小数，属于无理数， √是无限不循环小数，属于无理数， 因此无理数共有2个 易错题型03同底数幂、积的乘方、负指数幂记错 避坑指南 ①公式混淆；②负指数幂运算错误；③积的乘方漏给每个因式乘方。 1.(2026·云南文山·一模)下列计算正确的是() A.(xy)‘=xy6 B.x2+2x2=3x4 C.x3.x3=xl5 D.x8÷x2=x4 【答案】A 【详解】解：A、(xy)‘=xy,原式计算正确，符合题意： B、x2+2x2=3x2,原式计算错误，不符合题意： C、x3.x3=x+=x8,原式计算错误，不符合题意： D、x8÷x2=x82=x6,原式计算错误，不符合题意： 2.(2026·安徽阜阳·一模)计算：（π-2026）°+ 【答案】-1 54/425 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =1+(-2) =-1 易错题型04分式有意义、分式值为0条件混淆 避坑指南 ①分式值为0时，只考虑分子为0，忽略分母不为0：②混淆分式有意义与无意义的条件：③含多个分母 时漏写限制条件。 1.(2026·甘肃平凉·一模)关于分式 x-2 x2-41 下列说法正确的是() A.化为最简分式等于】 B.分式无意义的条件是x=-2 -2 C.当x=2时，分式的值为零 D.当x=2时，分式无意义 【答案】D x-2 x-2 【详解】解：A选项：-4+2-2+2最简分式为2 1 x+2:A错误： B选项：分式无意义时，分母为0，即x2-4=0,解得x=2或x=-2,B错误； C选项：当x=2时，x2-4=0,分母为0，分式无意义，不存在分式值，C错误： D选项：当x=2时，x2-4=0,分母为0，分式没有意义，D正确 故选：D 22026·江苏益拔·一核)若分式：20有意义，则应清足的条件足 【答案】x≠ 【详解】解：“分式-2026有意义， x+3 .x+3≠0， 解得3. 55/425 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错题型05分式基本性质变形易错 避坑指南 ①分式变形时，同乘/除的整式未强调不为0；②约分、通分漏考虑分母不为0：③符号变形错误。 1.(2025·贵州遵义·模拟预测)下列各式从左到右的变形，是分式化简的是() 尝-号 b+2b A. B. C. D.atb atb a+2 a 【答案】A 【详解】解：A、是分式化简，故本选项符合题意： B、从左到右的变形不一定成立，不是分式化简，故本选项不符合题意： C、从左到右的变形不一定成立，不是分式化简，故本选项不符合题意： D、-a+ba+b ,不是分式化简，故本选项不符合题意： 故选：A 2.(2025·安徽宣城·一模)下列化简运算不正确的是() A. m-1.1 B.-1+n、1+n m2-1m+1 L C. 0.5a+b5a+10b x2-y2 x-v D. 0.2a-0.3b2a-3b x2+2xv+y2 x+y 【答案】B -1 m-1 【详解】解： m-】(m-1)(m+】）m+1,故A项计算正确，不符合题意； -1+n1-儿+-1+”，故B项计算错误，符合题意： 0.5a+b (0.5a+b)×105a+10b 0.2a-03b(0.2a-0.3b)x102a-36,故C项计算正确，不符合题意： x2-y2 x2+2x+y2 =之=，故D项计算正确，不符合题意： (x+y) 故选：B 56/425 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错题型06分式方程漏检验易错题 避坑指南 ①解完分式方程不检验：②未理解增根的产生原因；③解的范围与检验步骤遗漏。 1.(2026·北京平谷·一模)方程￥，2 x-1x+1 =1的解为_ 【答案】3/x=3 【详解】解：方程两边同乘(x-1)(x+1), 得x(x+1)-2(x-1)=(x-1)(x+1), 展开各项，得x2+x-2x+2=x2-1, 移项，合并同类项，得-x=-3, 系数化为1，得x=3, 检验：当x=3时，（x-1)(x+1)≠0， 因此x=3是原分式方程的解， 2《226·福建泉州·一酸)已知关于的分式方程？，有墙根，则的位 【答案】-1 【详解】解：方程两边同乘最简公分母(x-1),去分母得：x-2(x-1)=-m, 解得：x=m+2, ,分式方程有增根， .x-1=0,即x=1, ∴.1=m+2 解得m=-1. 57/425 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错题型07一元二次方程概念辨析易错 避坑指南 ①忽略二次项系数不为0；②误将一次方程、分式方程判定为一元二次方程；③未整理成一般形式就判 断。 1.(21-22九年级上·山东德州·月考)已知关于x的方程(m-2)x网+5x=0是一元二次方程，则的值 为 【答案】-2 【详解】解：关于x的方程(m-2)x网+5x=0,是一元二次方程， ∴m=2且m2≠0， 解得F-2. 故答案为：-2. 易错题型O8判别式取值范围忽略隐含条件 避坑指南 ①利用判别式求参数时，忽略二次项系数不为O:②未考虑方程根的实际意义；③多解情况漏写限制条 件。 1.(2026·山东德州·一模)已知关于x的一元二次方程(-1)x2+2x-1=0有实数根，则m的取值范围 是 【答案】m≥0且m≠1 【详解】解：，一元二次方程(m-1)x2+2x-1=0有实数根， ∴.△=b2-4ac=4-4(m-1)×(-1)20,且m-1≠0 解得m≥0且m≠1. 58/425 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错题型09公式法解一元二次方程时公式记错 避坑指南 ①求根公式记错（符号、系数顺序错误）：②代入时未将方程整理为一般形式：③根号下判别式计算错 误。 1.(2026·黑龙江齐齐哈尔·一模)解方程：3x(x-5)=10-2x 2 【答案】x=5,x=3 【详解】解：3x(x-5)=10-2x 3x2-13x-10=0 a=3,b=-13,c=-10 △=b2-4ac=289>0 ，13±V(-13)2-4×3×(-10) 13±17 x=- 2×3 6 4-5- 易错题型10不等式两边同除负数忘记变号 避坑指南 ①系数化为1时，除以负数忘记改变不等号方向；②含参数不等式，未对系数正负分类讨论；③解不等式 组时解集取错。 1.(2026·四川泸州·模拟预测)若a>b,则下列结论正确的是() A.-a>-b B.2a>a+b C.1-a>1-b D.2a+1<2b+1 【答案】B 【详解】解：a>b, .-a<-b,2a>a+b,1-a<1-b,2a+1>2b+1, 观察四个选项，正确结论是B. 2.(2026·江苏盐城·一模)已知x>y,要使不等式(k-3)x<(k-3)y成立，写出一个符合条件的k的 整数值： 59/425 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】2（小于3的整数均可） 【详解】解：x>y,要使不等式(k-3)x<(k-3)y成立， .k-3<0, 解得k<3, ∴.k的整数值可以为2. 易错题型11点到坐标轴距离概念混淆 避坑指南 ①点到x轴距离是纵坐标的绝对值，到y轴距离是横坐标的绝对值，易记反；②混淆点到坐标轴与到原点 的距离。 1.(2025·贵州贵阳·模拟预测)已知点A(2-9,-3)到两条坐标轴的距离相等，则点A的坐标为0 A.(3,3)和(-1,1) B.(3,-3)和(-1,1) C.(3,3)和(1，-1) D.(3,3)和(-1，-1) 【答案】A 【详解】解：，点A的坐标为(2-9，-3)，到两坐标轴的距离相等， 2m-9m-3, 解得：m=6或l=4 当m=6时，2-9=3，-3=3，则点A的坐标为(3,3) 当m=4时，2-9=-1，m-3=1,则点A的坐标为(-1,1) 故选：A. 2.(2025·江西南昌·模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，点A(4,2)和B(b,-3)之间的最短距离为（) A.2 B.3 C.5 D.6 【答案】C 【详解】解：：点A(a2)和B(b,-3),2≠-3， ∴，当a=b,即AB∥y轴时，点A(a,2)和B(b,-3)之间的距离最短，最短距离为2-（-3)=5， 60/425 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：C 易错题型12点的象限与坐标符号判断易错 避坑指南 ①象限符号记错；②坐标轴上的点不属于任何象限，误判；③含参数点的象限漏分类讨论。 1.(2026·陕西西安·三模)在平面直角坐标系xOy中，点P(V2,-a2-)所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【详解】解：点P的横坐标为√∑，√2>0， 又，对任意实数a,都有a2≥0， .-a2-1=-(a2+1<0, 即点P横坐标为正，纵坐标为负， 根据象限坐标特征，横坐标正纵坐标负的点在第四象限， 点P在第四象限。 2.(2025·四川广安·中考真题)在平面直角坐标系中，己知点A的坐标为(a,b),且a,b满足 (a-2)'+b+3=0,则点A在第 象限. 【答案】四 【详解】解：(a-2)2+b+3到=0， ∴.a-2=0,b+3=0, ∴.a=2>0,b=-3<0, ∴.点A的坐标为(2，-3)，在第四象限： 故答案为：四. 易错题型13坐标平移、对称变换坐标写错 避坑指南 ①平移时“上加下减、左加右减”搞反：②对称变换（关于x轴、y轴、原点对称）的坐标变化记错：③ 复合变换顺序错误。 61/425 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(2025·辽宁铁岭·一模)如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A,B的坐标分别为(1,2)， (4,0),将△AOB沿x轴负方向平移后，得到△CDB.若BD=6,则点A的对应点C的坐标是_一， E B 【答案】(-1,2) 【详解】解：，△AOB的顶点A,B的坐标分别为(1,2)，(4,0)，BD=6, .OD=2 .点A平移至点C的坐标为(-1,2)， 故答案为：(-1,2). 2.(2026·江苏徐州·一模)在平面直角坐标系xOy中，点P(1,-4)关于y轴对称的点的坐标是() A.(-1,-4) B.（-1,4) c.(1,4) D.(1,-4) 【答案】A 【详解】解：，关于y轴对称的点的坐标规律为：纵坐标不变，横坐标互为相反数， 又，点P的坐标为(1，-4)， ∴.横坐标1的相反数为-1，纵坐标仍为-4， 即点P(1,-4)关于y轴对称的点的坐标是(-1，-4) 易错题型14自变量取值范围遗漏限制条件 避坑指南 ①函数自变量范围只考虑分式、根式，漏考虑实际意义；②含多个限制条件时，取交集错误；③二次根式 被开方数漏写非负性。 1.(2026·黑龙江佳木斯·一模)函数y=√x-2+1的自变量x的取值范围是 x-1 【答案】x≥2 62/425 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [x-2≥0 【详解】解：根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得 x-1≠0 解不等式x-2≥0得x≥2， 解不等式x-1≠0得x≠1， 取两个解集的公共部分，得x≥2 易错题型15反比例函数与几何面积综合易错 避坑指南 ①反比例函数k的几何意义误用（未注意象限符号）：②面积与k的关系搞反；③图形分割计算漏情况。 1.(2026·江西上饶·一模)如图，一次函数y=x+4-2m(m>0)的图象与x轴交于点C,交y轴于点D (点C与点D不重合)，与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A(2,),B两点，已知C0=OD. (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P(a,O)是x轴上一点，若△PAC的面积是△COD面积的6倍，求点P的坐标. 【详解】(1)解：'一次函数y=x+4-2m(m>0)的图象与x轴交于点C,与y轴交于点D,与反比例函 数y=(k≠0)的图象交于A(2,m,B两点， ,∴.n=2m+4-2m=4, 点A(2,4), .k=2×4=8, 反比例硒数约解折式为y=是 当y=0时，0=x+4-2, ：x=2m-4<0 当x=0时，y=4-2m>0, 63/425 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .CO=OD 4-2叫= 4-2m 解得=1或m=2(舍去，此时点C与点D重合)， .一次函数的解析式为y=x+2. (2)解：，一次函数图象交x轴于点C,交y轴于点D, ∴点C(-2,0),点D(0,2), '.OC=OD=2, Sm=)0c-0D=2. 点P(a,0)是x轴上一点， ..CP=a+2. ,△PAC的面积是△COD面积的6倍， 号a+24x4=12, 解得a=4或-8， .∴点P(4,0)或点P(-8,0) 易错题型16二次函数系数a,b,c符号判断错 避坑指南 ①a的符号由开口方向判断错误：②b的符号与对称轴位置判断错误；③c的符号由与y轴交点判断错误： ④组合式（如atb+c)符号误判。 1.(2026·安徽阜阳·一模)已知二次函数y=x2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对于这个函数有下列四 个结论：①3a+b>0:②ab<0;③5a+c=0;④4a+b+1<0.则结论正确的有() 5 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 64/425 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C 【详解】解：抛物线开口向下， .a<0, 抛物线与x轴交点为(-1,0)，(5,0)， “抛物线对称轴为x=1+5=2, 2 b=2 2a .b=-4a>0, ∴.b<0,故②正确， 3a+b=3a-4a=-a>0, 故①正确： 由图象得，当x=-1时，y=0, ∴.a-b+c=a-(-4a+c=5a+c=0,故③正确， ,b=-4a, ∴.4a+b+1=4a-4a+1=1>0 故④错误： 综上所述，正确的是①②③，有3个. 2.(2026·湖北襄阳·一模)二次函数y=2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一 次函数y=ax+b与反比例函数y=C在同一平面直角坐标系中的图象可能是() 1 【答案】C 【详解】解：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下， 65/425 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .a<0, 对称轴在y轴右侧， .2a .b>0, ·抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， .c>0: ∴.一次函数y=ax+b经过第一、二、四象限， 反比例函数y=C图象在第一、三象限： 只有C选项同时符合两个函数的位置特点. 易错题型17二次函数最值含范围讨论遗漏 避坑指南 ①忽略自变量取值范围，直接用顶点纵坐标作为最值：②区间端点与顶点的大小关系讨论不全；③开口方 向判断错误导致最值搞反。 1.(2026·山东聊城·一模)己知二次函数y=-x2+2x+1,当1≤x≤3时，函数的最大值为4，则m的 值为 【答案】√5 【详解】解：，y=-x2+2mx+1=-（x-m)2+m2+1, ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=m, ∴.当x<m时，y随着x的增大而增大，当x>m时，y随着x的增大而减小， ,当1≤x≤3时，函数的最大值为4， ∴.当m>3时，则当x=3时，函数有最大值为-9+6+1=4，解得m=2(舍去)： 当<1时，则当x=1时，函数有最大值为-1+2+1=4，解得m=2(舍去)： 当1≤m≤3时，则当x=时，函数有最大值为-m2+2m2+1=4,解得m=√5或=-√3 (舍去)： 综上：m=√3 2.(2026·陕西西安·二模)己知二次函数y=-x2+2x+a(a为常数)，当m≤x≤3时，y有最大值 66/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a+1,最小值a-3,则m的取值范围是() A.m≤-1 B.1≤m≤2 C.-1≤m≤1 D.-1≤m≤2 【答案】C 【详解】解：二次函数解析式为y=-x2+2x+a,将其化为顶点式： y=-（x2-2x+1)+1+a=-(x-1)2+(a+1) ,二次项系数-1<0， ∴.抛物线开口向下，顶点坐标为(1，a+1),当x=1时，函数取得最大值a+1. :y的最大值为a+1, .x=1必须在取值范围m≤x≤3内，即m≤1. 抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，x=3到对称轴x=1的距离为3-1=2， 函数的最小值为a-3, 将x=3代入解析式得y(3)=-32+2×3+a=a-3, ,函数在x=3处取得最小值， 要保证y(3)在≤x≤3时的最小值，则需满足y(m)≥y(3),即x=L到对称轴x=1的距离不大于x=3到对称 轴的距离， .1m-13-1, 解得-1≤m≤3， 综上，m的取值范围为-1≤m≤1 易错题型18动点函数图象拐点、分段分析不全 避坑指南 ①拐点对应的动点位置判断错误：②不同阶段的函数解析式类型（一次/二次）判断错误；③漏写各段自 变量的取值范围。 1.(2026·浙江·模拟预测)为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板 布置：如图1，固定展板ABCD(顶点A、C在直线展台MN上)与移动展板EFGH(顶点E、G在直线 展台N上)，移动展板可沿N平移.设固定展板顶点C与移动展板顶点E的距离为x(单位：m) (0≤x≤8)，两个展板重叠部分的面积为y（单位：m2),y关于x的函数图像如图2所示.下列选项正 确的是() 67/425 的学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D O 8 (图1) (图2) A.正方形的对角线长为2√5m B.当x=2时，重叠面积y=2m2 C.当x=5时，重叠面积y=6m2 D.函数图像的最高点的坐标为(4,10) 【答案】B 【详解】解：，四边形ABCD与四边形EFGH是两个相同的正方形，AC与EG是对角线， ∴.AC=EG,AD=CD,∠DCA=∠DAC=45°=∠HEG,∠D=∠DCB=90°=HEF, AD∥EH, 由图1及图2知：当x=0(即点E与点C重合)时，y=0, 当x=8(即CE=8)时，y=0, 此时8=CE=AC+EG=AC+AC=2AC, ∴.EG=AC=4,故选项A不正确： ∴.4=AC=√AD2+CD2=√AD2+AD2=√2AD, .AD=2√2，即正方形ABCD与正方形EFGH的边长为2√2， 当x=2时，此时点E为AC的中点，如图，设CD交EH于点P,BC交EF于点Q, D CE=2, ,AD∥EH,∠D=∠DCB=90°=HEF, ∴，∠EPC=∠D=90°=∠DCB=HEF, ∴.四边形EPCQ是矩形， '.·∠DCA=45°=∠HIBG, ∴EP=CP, ∴，四边形EPC2是正方形， 68/425 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴2=CE=√EP2+CP2=√EP2+EP2=V2EP, ∴EP=√2， 重叠面积y=SE方形e2=Ep2=(V2)=2(m2),故选项B正确： 当x=5时，如图，设AD交GH于点R,AB交GF于点S, H D ∴，CE=5,四边形ARGS是正方形， .AC=EG=4,AR=RG, .AE=CE-AC=5-4=1, ∴.AG=EG-AE=4-1=3, ∴.3=AG=VAR2+RG=VAR2+AR2=√2AR, ·AR=32 2 ∴.重叠面积y=SE方形Aas=AR 3V2 2 a),故选项C不E确： 由图1及图2知：当x=4(即点E与点A重合)时，y取得最大值， 此时正方形EFGH与正方形ABCD重合， ,正方形ABCD的边长为2√2， 此时重叠面积y=SE方形n=AD2=(2√2)=8(m2)） ∴，函数图像的最高点的坐标为(4,8)，故选项D不正确。 2.（2026·安徽合肥·一模)如图，口ABCD中，AB=3,AD=4,P,Q两点同时从点A出发，均以1个 单位每秒的速度分别沿着A-B-C,A-D-C运动，则△APQ的面积y与运动时间x之间的函数图象是 () 69/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA 0A0 D. 34 349 【答案】C 【详解】解：①当O<x≤3时，过点B作BH L AD,交AD于点H, B(P) ∴AP=AQ=x,BH=x·sin∠A, ÷y40aM与m4m4:为=次函数， ②当3<x≤4时，过点B作BH⊥AD,交AD于点H,过点P作PE⊥AD,交AD于点E, AB=3, B H ED(O) ∴.高为PE=BH=3sin∠A, y=240PB x3sin∠A=3 1 xsin☑1，为一次函数： ③当4<x<7时，如图所示，过点Q作OH⊥BC,交BC于点H,反向延长交AD的延长线于点I,过点 A作AG⊥CG,交CB的延长线于点G, G .-B P H ,ABCD中，AD∥BC, QI⊥AI, ,AG=HⅢ=3sim∠A,BP=x-3,cP=Ce=7-x,QH=(7-x)sin∠A, QI=Hl-QH=3sin∠A-(7-x)sin∠A=xsin∠A-4sin∠A, y=SoABCD-S.ABP-SAD2-S.cP2 70/425 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =AD×AG-xBP×AG-号xADxQI-CPxOH, 2 2 =4×3sin∠A-x(x-3)x3sinA-号×4x(xsinA-4sin∠A)-2×(7-)x(7-刘sim∠A, =12sim∠4-3x -xsin∠A+23im☑A-2xsn☑A+8sim∠A49 2n2A+7nsm∠4-rsm∠24 -sm∠4x+7siAx X, 2 2 y=-sim∠4x+ 7sin∠A x,为二次函数，开口向下 2 易错题型19等腰三角形分类讨论漏解 避坑指南 ①未指明腰和底，漏分类讨论：②未指明顶角和底角，漏情况；③三边关系验证遗漏，导致无效解。 1.(2026·河南·一模)己知三角形两边长分别为4和8，第三边长是方程x2-10x+24=0的解，则这个 三角形的周长是() A.12 B.16 C.16或18 D.18 【答案】D 【详解】解：解方程x2-10x+24=0, 因式分解得(x-4)(x-6)=0, 解得x=4或x=6, ,三角形两边长为4和8， 根据三角形三边关系，得第三边c满足8-4<c<8+4, 即4<c<12 .x=4不符合三边关系，舍去： x=6符合要求， .三角形的周长为4+8+6=18. 2(2026·江苏南京·一模)等腰△ABC的周长是10cm,腰长AB=4cm,则底边BC=一cm. 【答案】2 【详解】解：，等腰△ABC的周长是10cm,腰长AB=4cm, ∴.底边BC=10-2×4=2(cm) 此时等腰△ABC的三边长为4cn、4cm、2cm,满足三角形三边关系，符合题意： 71/425 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.BC=2cm. 故答案为：2 3.(25-26八年级上·安徽阜阳·期末)锐角等腰三角形腰上的高与另一个腰的夹角为50°，则这个等腰 三角形的底角为一一一 【答案】70°/70度 【详解】解：如图，在锐角等腰三角形ABC中，AB=AC,从点B作BDLAC于点D,则∠ABD=50°， 在Rt△ABD中，∠ADB=90°， ∴.∠A=90°-50°=40°. AB=AC, ÷∠1Bc=∠4CB=180°40-70. 2 故答案为：70°. 易错题型20全等/相似三角形判定条件误用 避坑指南 ①全等判定误用SSA、AAA;②相似判定条件混淆：③找错对应边、对应角，导致比例式列错。 1.(2026·河北张家口·一模)如图，已知AM=CN,∠AND=∠CMB,添加下列一个条件后，仍无法 判定△ADN≌△CBM的是() B A.∠D=∠B B.AD∥BC C.DN=BM D.AD=BC 【答案】D 【详解】解：，AM=CN,MN=MN, 72/425 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AN=CM, ,∠AND=∠CMB, ∴，当∠D=∠B时，AAS可以判定△ADN≌△CBM; 当AD∥BC时，则∠A=∠C,ASA可以判定△ADN≌△CBM: 当DN=BM时，SAS可以判定△ADN≌△CBM: 当AD=BC时，SSA无法判定△ADN≌△CBM 2.(25-26九年级上·福建漳州·期末)如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是() B D A.∠ABD=∠C B.∠ADB=∠ABC AD AB C.AB2=AD.AC D. AB BC 【答案】D 【详解】解：A、,∠ABD=∠C,∠A=∠A, △ADBP△ABC,故本选项不符合题意： B、:∠ADB=∠ABC,∠A=∠A, ∴△ADB∽△ABC,故本选项不符合题意； C、:AB2=ADAC, .4B-AC AD AB 又∠A=∠A, :△ADBSAABC,故本选项不符合题意； D、:ADAB ∠ABC与∠DAB的大小无法判定， AB BC ∴.无法判定△ADBAABC,故本选项符合题意， 易错题型21特殊四边形综合判定 避坑指南 ①矩形、菱形、正方形的判定条件混淆；②判定定理使用不完整（如只证平行，未证特殊条件）：③反例 73/425 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 举错，误判命题真假。 1.(2026·安徽毫州·一模)如图，点D是△ABC的边AB的中点，按下列方法尺规作图：先以点D为角 的顶点，以DA所在射线为角的一边，在DA的右侧作∠ADM=∠ABC,然后在射线DM上截取 DB=BC,最后连接CD,CE,AE.根据以上条件和作法，下列判断不正确的是() A.若AC⊥BC,则四边形ADCE是菱形 B.若四边形ADCE是菱形，则△ABC是直角三角形 C.若AC=BC,则四边形ADCE是矩形 D.若△ABC是直角三角形，则四边形ADCE是正方形 【答案】D 【详解】解：：∠ADM=∠ABC, .DE∥BC, .DE=BC, ∴.四边形BCED是平行四边形， CE=BD,CE‖AB ,'点D是△ABC的边AB的中点， .AD=BD ∴.AD=CE :CE∥AD ∴.四边形ADCE是平行四边形， ,AC⊥BC, ∴.四边形ADCE是菱形， 故A选项正确，不符合题意； ,四边形ADCE是菱形， .AC⊥DE ,∠ADM=∠ABC, .DE∥BC, 74/425 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AC⊥BC, 则△ABC是直角三角形， 故B选项正确，不符合题意； DE=BC,AC=BC, .'AC=DE, ,四边形ADCE是平行四边形， 四边形ADCE是矩形， 故C选项正确，不符合题意； :△ABC是直角三角形， ∴.当∠ABC=90°时， :DE∥BC ∴.∠ADE=90° 此时∠ADC>∠ADE=90°， 则四边形ADCE不是正方形， 或当∠CAB=90°时， 此时∠DAE>∠CAB=90°， 则四边形ADCE不是正方形， 或当∠BCA=90°时， ,DE川BC, AC⊥DE, 但AC,DE不一定相等， 则四边形ADCE不是正方形， 故D选项不正确，符合题意： 2.(2026·湖北襄阳·一模)如图，两个含有30°角且完全相同的三角板ABC和三角板DEF,沿直线FC 滑动，下列说法错误的是() A.四边形ACDF是平行四边形 75/425 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形 C.四边形ACDF不可能是正方形 D.当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形 【答案】D 【详解】解：：∠ACB=∠EFD=30°， :ACl DF, .AC=DF, ∴.四边形AFDC是平行四边形， 选项A正确： :四边形AFDC是平行四边形， B、E重合时，CF垂直平分AD, .FA=FD, .四边形AFDC是菱形， 选项B正确： 当四边相等时，∠AFD=60°，∠FAC=120°， ∴.四边形AFDC不可能是正方形， 选项C正确： 当E是BC中点时，无法证明∠ACD=90°， 选项D错误， 易错题型22直角三角形边角关系陷阱题 避坑指南 ①未指明直角顶点，漏分类讨论；②勾股定理应用时，未分清斜边与直角边；③三角函数定义中对边、邻 边混淆。 1.(2026·湖北襄阳·一模)在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.下列所给数据中， 不能判定△ABC是直角三角形的是() A.a=2,b=2,c=1B.a2+b2=c2 C.∠A-∠B=∠CD.a:b:c=3:4:5 【答案】A 【详解】解：A、因为a=2,b=2,c=1,12+2≠22，故△ABC不是直角三角形： B、因为a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形： 76/425 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C、因为∠A-∠B=∠C,且∠A+∠B+∠C=180°， 所以2∠A=180°，解得∠A=90°，故△ABC是直角三角形： D、因为a:b:c=3:4:5, 所以设a=3x,b=4x,c=5x,且(3x)2+(4x)2=(5x)2, 故△ABC是直角三角形. 2.(2025·云南昆明·模拟预测)如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，则下列结论不正 确的是() A.△ABC是直角三角形 &.咖B=5 5 C. cosC=2/5 D.tanC=2 5 【答案】C 【详解】解：由勾股定理得：AB=V2+2=2W2,AC=√？+1P=√2，BC=√+32=V10, .'.BC2=AB2+AC2, .△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， ∴simB=AC=巨_V5 BG。=,cosC=AC=V25 BC= 05,tanc= =2, AC-√2 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C 易错题型23相似三角形与动点问题 避坑指南 ①动点运动过程中相似对应关系不唯一，漏解：②未结合动点的位置限制讨论：③相似比与线段长度计算 错误。 1.(2026·辽宁铁岭·二模)如图，∠MON=90°，△ABC的顶点A,B分别在射线OM和射线ON上，点 C与点O在AB的同侧，D为AB边的中点，AC=BC=5,AB=8.若△ACD与△AOB相似时，则OA的长 77/425 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M B 【答案】 号 【详解】解：：AC=BC=5,D为AB边的中点，AB=8, :.CDLAB,AD-LAB-4, 2 在Rt△ACD中，CD=VAC2-AD2=V52-42=3, ∠AOB=90°， .∠ADC=∠AOB=90°， 若△ACD与△AOB相似，分两种情况： 当△ADCAAOB时， 40AB,即4、5 AD_AC A08:解得A0=32 当△ADC∽ABOA时， 0B,即35 CD AC A08解得A0= 4 综上所述，( 4的长为号或号 2.(23-24八年级上·四川南充·月考)如图，在△ABC中，AB=AC=24cm,∠B=∠C,BC=16cm, 点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以8c/s的速度由B点向C点运动，同时，点O在线段CA上由 C点向A点运动.若在某一时刻能使△BPD与△CQP全等.则点Q的运动速度为() D B A.4cm/s B.8cm/s C.4cm/s或8cm/sD.8cm/s或12cm/s 【答案】D 【详解】解：：AB=AC=24cm,BC=l6cn,点D为AB的中点， 78/425 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 .BD=-×24=12cm,∠B=∠C, 2 设点RQ的运动时间为s, .BP=8tcm, .PC=BC-BP=(16-8t)cm, 当△BPD≌△CQP时.则有：BD=CP,CQ=BP, .16-8t=12, 解得：1 BP=CQ=8×1=4om, 故点Q的运动速度为：4：，=8(cmvs): 2 当△BPD≌△CPQ时，则BP=PC,C9=BD=12cm, BC=16cm, .:BP=PC=8cm, .t=8÷8=1(s) 故点Q的运动速度为12÷1=12(cm/s). 所以，点2的运动速度为8cm/s或12cm/s, 故选：D 易错题型24计算菱形的面积 避坑指南 ①混淆菱形面积公式（底×高vs对角线乘积的一半）：②对角线计算错误；③与菱形周长、边长混淆。 1.(2026·四川绵阳·二模)如图，菱形ABCD中，AB=3,AC=2,则菱形ABCD的面积是（) A.4W2 8.3 C.2W2 D.3 2 【答案】A 79/425 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：连接BD交AC于点O, :菱形ABCD中AC L BD,.OA=OC=AC=×2=1,AB=BC=3, ∴B0=√AB2-A0=V32-1P=2√2， .BD=2B0=4W5, ·.SaD=号AC×BD=x2x4W2=4W2 2 D 0- B 2.(25-26八年级下·重庆·月考)如图，四边形ABCD是菱形，AC=4,DB=3,DH⊥AB于H,则DH 等于() D C H A. 24 5 。号 .5 【答案】B 【详解】解：设AC与BD交于点O, ·四边形ABCD是菱形，AC=4,DB=3, AC LBD.OA-TAC=2,0B=BD= 在R1o中，A86om--(- 1 :S菱形4BcD=AB.DH=AC·BD, 2 3DH=,×4×3, 2 .DH=5 12 80/425 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错题型25平行线分线段成比例误用 避坑指南 ①未在平行条件下乱用比例式；②线段对应关系找错，导致比例式列反；③混淆平行线分线段成比例定理 与相似。 1.(2026·上海黄浦·一模)如图，D、E是△ABC边AB、AC上的两点，在下列条件中，能够判定 DE∥BC的是() A.DB=1,CE=2,AD=3,AE=4 B.DB=1,CE=2,AB=3,AC=4 C.DB=1,CE=2,AD=3,AC=4 D.DB=1,CE=2,AB=3,AE=4 【答案】D 【1A品-3侣子2 AD+AB,故不能得到DB∥BC,故本选项不合题意 BD CE B.40-31=2,45=42-1, BD 1 CE 2 AD AE 故不能得到DE∥BC,故本选项不合题意： BD CE C. AD 3 =3, B4-2=1, BD 1 CE 2 AD AE 故不能得到DE∥BC,故本选项不合题意； BD CE D.4D-3=124B=42 BD 1 CE2 AD AE BD CE 能得到DE∥BC,故本选项符合题意； 故选：D. 2.(25-26九年级上·安徽合肥·期中)如图，B,F,C三点共线，AC与BD交于点E,EF∥AB∥DC, 若AE:EC=5:7,则 c的值为() 81/425 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E F A.7 5 B.12 25 D. 25 49 【答案】B 【详解】解：，EF∥AB, 那=Ag CR-CR ,AE:EC=5:7, .B5 CF-71 BF 5 BC12 EF川DC, ∴.ABEF∽ABDC. EF BF 5 DC BC 12 S.aRC EF 5 SADEC DC 12 故选：B 易错题型26相似三角形周长与面积比混淆 避坑指南 ①面积比等于相似比的平方，易直接用相似比；②周长比、对应线段比与相似比的关系记混；③多步相似 时比例传递错误。 1.(2026·河北石家庄·一模)如图△ABC与DEF是位似图形，位似中心为O,OA:AD=1:2,下列结 论不正确的有() 82/425 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △OBC的周长1 A.△ABC与△DEF的相似比为 B. △OEF的周长3 S4g-1 AC 1 C. SADER 9 D. DF2 【答案】D 【详解】解：：△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O,OA:AD=1:2, △ABCOADEF,且相似比k=O4=OA 11 ,故选项A正确，不符合题意： OD OA+AD 1+2 3 ,△ABC与△DEF位似， ∴.BC∥EF, ∴△OBCOAOEF, △OBC的周长_OB_O4-,故选项B正确，不符合题意： AOEF的周长OEOD31 AABCADEF,相似比为 1 故选项C正确，不符合题意； :'△ABCADEF, AC OA 1 ,故选项D错误，符合题意. DF OD 3 2.(2026·内蒙古包头·一模)如图，在点光源0的照射下，一块面积为5cm2的三角形硬纸板（记为 △ABC)平行于投影面时，形成的投影是ADEF.若AD:AO=1:2,则△DEF的面积是() O B D A. 15 2c3 45 B. 4c2 C.10cm2 D.15cm2 【答案】B 【详解】解：由中心投影可知，△ABC与△DEF是位似图形， ,AD:AO=1:2, .OD:AO=3:2 ∴.△ABC与△DEF的位似比为3：2， 83/425 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3 g 5 9 -cm 4 4 易错题型27特殊角三角函数值记忆错误 避坑指南 ①30°、45°、60° 的正弦、余弦、正切值记混：②互余角的三角函数关系误用：③三角函数的增减性记 错。 1.(2026·天津·一模)2sim45°+√5tam30°-√2的值等于() A.1 B.√5 C.5 D.2 【答案】A 【详解】解：2sim45°+√5tam30°-√2 =2x5+5x55 2 =√2+1-√2 =1. 2.(2026·河南许昌·一模)若规定sin(au+B)=sina cos B+cos asinB,则sin75°=sin(45°+30）=() A. √6+√5 B. 6-5 C. √2+1 D. √2-1 4 4 2 2 【答案】A 【详解】解：sin(45°+30)=sim45°cos30°+c0s45°sim30°= 2321-6+ 2222 4 易错题型28无图几何题，多解分类讨论不全 避坑指南 ①未根据题意画出所有可能的图形；②漏考虑点的位置、图形的不同构造方式；③多解情况的结果验证遗 1.(2026·辽宁沈阳·一模)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,∠C=30°，点D是边BC的中点， 点E是边AC上一点，作点C关于直线DE的对称点R,点F与点E在直线BC的同侧.当DF L AC时，在 平面内找点G,使以A,D,F,G为顶点的四边形为平行四边形，则AG的长为 84/425 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】23或10 【详解】解：如图，过点F作FH L BC于点H, 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4, ∴.AC=2AB=8, 由勾股定理得BC=√AC2-AB2=V⑧2-42=4√5， :点D是BC的中点， .BD-DC-IBC-283, 2 点C和点F关于直线DE对称， .DF=DC=25, DF LAC, .∠ACB+∠CDF=90°， ∴.∠CDF=60°， ∴.△CDF为等边三角形， :DH=1CD=3. .FH=DF2-DH2 =3.BH=33, 如图，以点B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则 B(0,0),A(0,4),C4N3,0),D(2N3,0,F3V3,3), 9 B D H Cx 设点G的坐标为(x,y), 分三种情况讨论： 若AD为平行四边形的对角线， 0+2W3x+3W3 2 2 x=- 解得 4+0_y+3 y=1 2 2 85/425 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 c(5,, ..AG= -5-0)+1-4)=3+9=25: 若AF为平行四边形的对角线， 0+3W5_x+25 2 x=V3 解得 4+3_y+0 y=7 22 ∴G(5,7 AG=V3-0°+(7-4}=5+9=25： 若DF为平行四边形的对角线，可得 2W3+3W3_x+0 2 2 [x=53 ,解得 0+3y+4 y=-1 2 2 G(53,-1 ·AG=V55-0+(1-42=V75+25=10: 综上所述，AG的长为2√5或10 2.(2026·江西吉安·一模)己知点A,B,C分别在从上往下相互平行的直线马，12,13上，1与12之间的 距离是1,2与l3之间的距离是2.若△ABC是等腰直角三角形，则它的面积是 【答案】 【详解】解：如图，由题意可得：当∠BAC=∠ACB=45°，AB=BC,∠ABC=90°，过B作QG⊥1于 G,交于2， Q A 11 BK GC 0G⊥1， ∴.BQ=1,BG=2,∠AQB=∠CGB=90°， ∴.∠ABQ=90°-∠GBC=∠BCG, 86/425 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABO≌△BCG(AAS), ∴BQ=CG=1,AQ=BG=2, .AB2=12+22=5, ·△ABC的面积是AB= 2 当∠ABC=∠ACB=45°，AB=AC,∠BAC=90°，过C作QC⊥I于2，过B作BD⊥1于D, 12 B 13 C 同理可得：△CAQ≌△ABD(AAS), .'AD=cO=3,AQ=BD=1, .AB2=32+12=10, S4o1B2=5, 2 当∠ABC=∠CAB=45°，CB=AC,∠ACB=90°，过B作BQ⊥I于2，过A作AD⊥I,于D, B 12 C D 同理可得：△BCQ2aCAD(AAS), ∴AD=CQ=3,BQ=CD=2, ∴.AC2=32+22=13, .S.ABC= 24C:s B3 1 2 综上：△4C的面积为或5或 2 3.(2026·黑龙江·一模)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6,D为BC的中点，2为 AB的边上一动点，把△BDO翻折得到△PD2,若PO与△ABC的直角边平行，则BO的长为一-· 87/425 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D A 【答案】3或√5 【详解】解：，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6, ∴.∠B=30°，BC=6, :D为BC的中点， :.BD=IBC=1x6=3 1 2 2 由翻折性质得：BQ=PQ,BD=PD=3,∠B=∠DPQ=30°，∠BQD=∠PQD 分两种情况讨论： 当PQ川BC时 Q ,PQ川BC,内错角相等得∠POD=∠QDB, 结合翻折性质∠BQD=∠PQD, ∴.∠BQD=∠QDB,由等腰三角形等角对等边得BO=BD=3, 当PQ‖AC时，延长PQ交BC于点M, B A ,P2‖AC, ∴.∠PMD=∠C=90°， 由翻折得BQ=P2,BD=PD=3,∠B=∠DPM=30°， 88/425 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 3 ∴.在RtAPDM中，DM=sim∠PPD=-×3= 2 BD=3, 33 ∴.BM=3-DM=3- 22 在RtABQM中，cos∠B=BM BQ 3 BM .'BO= 2 c0s30° =5, 2 综上，BQ的长为3或√5 易错题型29弧、弦、圆心角、圆周角关系混淆 避坑指南 ①未强调“同圆或等圆”的前提，乱用关系；②弧、弦、圆心角的对应关系搞错：③圆周角与圆心角的倍 数关系漏写。 1.(2026·四川成都·一模)如图，AB是⊙0的直径，点C,D在⊙0上，BD=CD,己知∠D=40°，则 ∠ABD=() A.20° B.40° C.50° D.70° 【答案】A 【详解】解：点GD在oO上，BD=CD, .BD=CD, :∠D=40°， :∠CBD=1180°-∠D)=70°， 2 ,AB是OO的直径， ∴.∠ACB=90°， ,∠A=∠D=40°， 89/425 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABC=90°-∠A=50°， ∴.∠ABD=∠CBD-∠ABC=20°. 2.(2025·四川广元·一模)如图，在⊙O中，BD=CA下列结论不正确的是() B A.AB=CD B.∠BOC=∠BOD C.AB=CD D.S.cB =S.coD 【答案】B 【详解】解：，BD=CA, .AB=CD,∠BOD=∠AOC, ∴AB=CD,则A正确，C正确： AO=BO=CO=DO,AB=CD, ∴.△ABO≌△CDO, .SA4OB=SACOD,则D正确 ∠BOC、∠BOD不一定相等，则B不正确 故选：B 易错题型30圆周角定理分类讨论漏解 避坑指南 ①一条弦所对的圆周角有两种情况（同侧/异侧），漏解；②直径所对的圆周角是直角，忽略逆用③圆周 角定理推论应用错误。 1.(2026·河南周口·一模)定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”，如图，等边 △ABC的边长为a,点D在以C为圆心，a为半径的优弧上，若△ABD为“反直角三角形”，则AD= 90/425 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A 【答案】a或√3a 【详解】解：如图， D D 夕 ,等边△ABC的边长为a, ∴AB=AC=BC=a,∠ACB=60°， :∠ADB=∠ACB=30°， 2 ,△ABD为“反直角三角形”， .∠BAD=90°+30°=120°， .∴.∠ABD=180°-∠BAD-∠BDA=30°， ∴.AD=AB=a 当点D落在点D上时，∠AD'B=∠4C8=30°， 2 ,△ABD为“反直角三角形”， ∴.∠ABD=90°+30°=120°， ∴.∠BAD=180°-∠ABD-∠BDA=30°， ∴BD=AB=a 作BE⊥AD'于点E, 、AB=AD, 2 AR-ABC05BAD'=acos30 a, 2 ∴.AD'=2AE=V3a, 91/425 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上可知，AD=a或√5a. 2.(2026·黑龙江哈尔滨·一模)△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC,若∠BOC=100°，则 ∠BAC的度数为一· 【答案】50°或130° 【详解】解：当△ABC为锐角三角形时， BAC=1∠B0C=50e: 2 C 当△ABC为钝角三角形时，如图中△A'BC, ∠BAC=180°-∠BAC=130°： 综上，∠BAC的度数为50°或130° 3.(23-24九年级上·黑龙江佳木斯·月考)直线AB与OO相切于点B,C是⊙O与线段OA的交点，D是 ⊙O上的动点（点D与B,C不重合），若∠BAO=30°，则∠BDC的度数为】 【答案】30°或150° 【详解】解：如图，连接OB, D :直线AB与OO相切于点B, ∴.∠OBA=90°， ,∠BAO=30°， ∴.∠A0B=180°-∠OBA-∠BA0=60°， 当点D在优弧BC上时，∠BDC为圆周角，所对弧为BC,圆心角为BOC=60°，故 ∠BDC-1∠BOC=30°： 当点D在劣弧BC上时，∠BDC与优弧BC上的圆周角互补，即∠BDC=180°-30°=150°. 92/425 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：30°或150° 易错题型31弧长、扇形面积公式混淆错用 避坑指南 ①弧长公式与扇形面积公式记混；②圆心角的单位未用弧度导致计算错误；③圆锥侧面积与扇形面积关系 混淆。 1.(2026·吉林·一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=63°，AB=5.将△ABC绕点A逆 时针旋转(0°<a<180)得到△AB'C',使点B恰好落在线段BC的延长线上，在旋转过程中，点B所经 过路径的长度为 (结果保留π). 【容案1 【详解】解：☑BAC=90°，∠ACB=63°， ∠ABC=90°-63°=27°， 由旋转的性质可得AB=AB′， △ABB'是等腰三角形，∠AB'B=∠ABC=27°， .∠BAB'=180°-27°-27°=126°， 点8所经过路径的长度1=126元×5_630元_7 1801802z. 2.(2026·河南·一模)如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8,∠BAC=90°，以AB为直径的 ⊙O切AC于点A,交BC于点D,则图中阴影部分的面积为_ 【答案】4π-8 93/425 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：连接OD,如图 B ,AB=AC=8,∠BAC=90° ∴.△ABC是等腰直角三角形，且∠B=45°， ∴.∠AOD=2∠B=90°， .∠BOD=90°， :0B=0D=x8=4, 2 扇形BOD的面积为，9O0 π.42=4π， 360° AB0D的面积为。.4·4=8 ·.S阴影=S扇形80D-SB0D=4r-8. 25 3.(2026·黑龙江哈尔滨·一模)已知扇形的面积为二πcm2,半径是5cm,则此扇形的圆心角度数为 6 【答案】60°/60度 【详解】解：设此扇形的圆心角度数为°，根据扇形面积公式S= 360 将=2 π，r=5代入公式得： 6 nm.5225 3606 25nπ25 3606 解得n=60 易错题型32阴影部分不规则面积求解易错 避坑指南 ①割补法应用错误：②未正确转化为规则图形的和差；③计算过程中重复或遗漏部分面积。 94/425 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(2026·河南南阳·模拟预测)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A,B, C都在格点上，以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交BC于点P,则阴影部分的面积为 【符) 【详解】解：如图所标，连接AC, B 由题意得，BA=BP=V1+22=√5，AC=1+22=V5,BC=V1+32=√10 .'BA2=AC2=5,BC2=10,BA=AC, .'BA2+AC2=BC2, ∴.△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， ∴.∠ABC=45°， -45m×B4:5 =一兀 3608 2.(2026·广西柳州·一模)如图，在扇形AOB中，OA=2,∠AOB=90°，点C为AB的三等分点，连接 OC,过点B作BD⊥OC交OA于点D.连接CD.则阴影部分的面积为 【答案】2π5 33 【详解】解：如图所示，BD、CO交于点E, 95/425 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :在扇形AOB中，OA=2,∠AOB=90°，点C为AB的三等分点， B 1 .∠AOC= ∠AOB=30°，∠COB=60°， 3 BD⊥OC, .∠OBD=30°， .OB=OC=OA=2, .O8 =10B=1 .CE=OC-OE=1,BE=OB2-OE2=√3， 在ROED中，DB=OB-tan∠A0c=V51 3 3 S阴影=S扇形oc-S.cBg+S.cng, 60m×22 LOE.BE+ICE.DE 360 s0mx4x1xx1x 2 360 23 2π3+5 326 2m5 33 故答案为： 2π5 33 3.(2026·河南驻马店·一模)如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个 底面半径r为6cn,高h为8cm的圆锥体，那么这个扇形的面积是 cm2. h B 【答案】60m 【详解】解：设圆锥的母线为l,这个扇形的圆心角∠AOB=n, 则1=Vr2+h2=√62+82=10， 96/425 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :圆锥的底面周长等于扇形的弧长， 则 =2Tr, 180 九×πx10 =2×π×6， 180 解得：n=216, 216 则S形= ×元×102=60π. 360 360 易错题型33总体、个体、样本、样本容量概念混淆 避坑指南 ①混淆调查对象的总体与个体；②样本容量带单位；③抽样调查与普查的适用场景判断错误。 1.(2026·湖南株洲·一模)某市为了解40000名初中毕业生的身高情况，随机抽查了其中2000名学生 的身高进行统计分析，下列说法正确的是() A.40000名初中毕业生是总体 B.每名初中毕业生是个体 C.2000名学生是样本容量 D.本次调查属于抽样调查 【答案】D 【详解】解：，本次调查的对象是初中毕业生的身高，不是初中毕业生本身， ∴.总体是40000名初中毕业生的身高，不是40000名初中毕业生，A错误： 个体是每名初中毕业生的身高，不是每名初中毕业生，B错误； 样本容量是样本中包含的个体的数目，是一个数字， .样本容量是2000，不是2000名学生，C错误： 本次调查是从总体中随机抽取部分学生进行分析，属于抽样调查，D正确， 2.(2026·重庆·一模)磁器口古镇为了解游客对特色小吃的喜爱程度，对前来游玩的2000名游客随机抽 取400名游客进行调查，下列说法正确的是() A.该调查方式是全面调查 B.样本容量是400 C.400名游客是总体的一个样本 D.2000名游客是总体 【答案】B 【详解】解：：该调查仅从全体游客中抽取部分游客进行调查，没有调查所有对象， ∴.该调查方式是抽样调查，A错误： 样本容量是样本中包含的个体数目，本题抽取了400名游客， ∴.样本容量是400，B正确： ·为了了解游客对特色小吃的喜爱程度， ∴.总体是2000名游客对特色小吃的喜爱程度，样本是抽取的400名游客对特色小吃的喜爱程度，不是游客 97/425