精品解析：重庆市万州第一中学等校2025-2026学年高一下学期4月联考数学试题

重庆市万州第一中学等校2025-2026学年高一下学期4月联考 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：三角函数、平面向量及其应用. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为所在边的中点，则下列向量中，与共线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】连接，在正方形ABCD中，因为分别为的中点， 所以，，则四边形为平行四边形， 所以，则与共线， 而与不共线，与不共线，与不共线， 则与不共线，与不共线，与不共线. 2. 已知某扇形的圆心角的弧度数为3，且该扇形的周长为25cm，则该扇形的半径为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 10cm 【答案】C 【解析】 【详解】设该扇形的半径为r cm，则该扇形的弧长为3r cm， 周长为，解得. 3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】由，根据正弦定理得， 而，则，即，则，从而. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 5. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可知，，令， 得，则的对称中心为， 结合选项可知，图象的一个对称中心为，其它选项不满足. 6. 已知D是的重心，，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由重心的性质可得，求出，再根据在上的投影向量为计算即可． 【详解】解：因为D是的重心，所以， 又，，，所以， 则在上的投影向量为． 7. 函数的所有零点的和为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，的零点转化为与的交点，结合图像及对称性求解即可． 【详解】由，得， 则所有零点的和等价于函数与的图象所有交点的横坐标之和． 易得与的图象均关于点对称． ，，，结合与的图象， 可知与的图象在内共有2个交点， 则与的图象共有5个交点，且关于点对称， 则这5个交点的横坐标之和为，即所有零点的和为． 8. 已知的内角的对边分别为的外接圆半径为，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定的 【答案】C 【解析】 【分析】先应用正弦定理结合余弦定理化简得出为锐角，再分当和时，计算求解判断三角形形状. 【详解】由正弦定理得，得，得，且为锐角. 由，得，得. 当时，由，得，得，得. 当时，，由，得，得. 综上，的形状是钝角三角形. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是第四象限角，则（ ） A. 是第二象限角 B. 是第一象限角 C. 是第一象限角 D. 是第四象限角 【答案】BC 【解析】 【详解】因为是第四象限角，所以， 则，所以是第一象限角，故B正确； 而，所以是第三象限角，故A错误； 而，则是第一象限角，故C正确； 而，则是第三象限角，故D错误. 10. 已知向量，若与的夹角为锐角，则x的值可能为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】由与的夹角为锐角，可得且与不共线， 则，解得，且， 结合选项可知，x的值可能为4，. 11. 在中，角所对的边分别为，，，角B的平分线与AC交于点D，则（ ） A. B. C. b的最大值为 D. BD的最大值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题设及三角形内角关系，结合三角恒等变换得判断A，再由已知，三角形面积公式及正弦定理求面积判断B，根据，应用三角恒等变换和正弦函数的性质求范围判断C，由等面积法得，结合、基本不等式求最大值判断D. 【详解】由，则，故， 由正弦边角关系得，即， 而，则， 所以，则， 所以，而，可得， 由，可得，A对， 由，B对， 由题设 ，而，且且， 所以，显然，故无最大值，C错， 由题意 所以，可得， 由，可得，则， 即，当且仅当时取等号， 所以，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角α的终边经过点，则_________. 【答案】## 【解析】 【详解】因为角α的终边经过点，所以. 13. 如图，为了测量两山顶M，N的距离，飞行器沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内.已知A，B两点相距2千米，在A处观测M的俯角为，观测N的俯角为，B在N的正上方，且在B处观测M的俯角为30°，则M，N之间的距离为______千米. 【答案】## 【解析】 【分析】连接AM，AN，BM，BN，MN，由题设易得，进而根据余弦定理求解即可. 【详解】连接AM，AN，BM，BN，MN. 由题可得，， 则， 所以，则千米. 14. 已知圆的圆心为，半径为，，，是圆上的动点，且，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由弦长与半径的关系可知两条半径垂直，利用向量加法的几何意义，将目标表达式转化为从某固定圆上的动点到已知圆上动点的距离，通过分析两圆的位置关系，得到距离的取值范围. 【详解】延长至点，使得，取的中点，连接，,． 是的中点，，所以，所以，，， 在中，，，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 的最小值为，最大值为，所以的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）若A，B，D三点共线，求x的值； （2）若，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出坐标，利用向量平行关系构造方程求解； （2）求出坐标，利用向量垂直关系构造方程求解． 【小问1详解】 ，， ， 又A，B，D三点共线， ，则，解得． 【小问2详解】 由，得， ，， ， ，解得． 16. 已知，且. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平方关系求得，，再根据两角和的正弦公式求解即可； （2）由商数关系及两角和的正弦公式可得，再结合（1）求出，进而求解即可. 【小问1详解】 因为，所以. 又， 所以，. 则 . 【小问2详解】 由， ，. 所以， 则， 所以. 17. 如图，在四边形ABCD中，，AC与BD交于点E，F，G分别为AB，CD的中点. （1）用表示； （2）若，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用相似可得，进而结合平面向量的线性运算求解即可； （2）由题设可得，结合余弦定理求得，进而根据平面向量的数量积的定义及运算律求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，则， 又F，G分别为AB，CD的中点， 所以， . 【小问2详解】 由，可得， 则. 由（1）可得 . 18. 已知函数的最小正周期为. （1）求的值. （2）已知直线是曲线的一条对称轴. （i）求的单调区间； （ii）若对于任意的，总存在，使得，求A的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）单调递增区间为，单调递减区间为；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可； （2）（i）由题意易得，可得，，再结合正弦函数的单调性求解即可； （ii）先求出的取值范围，进而求解即可. 【小问1详解】 因为的最小正周期为，所以，得. 【小问2详解】 （i）因为直线是曲线的一条对称轴， 所以，则. 又，所以，则，. 令，得. 令，得. 可得的单调递增区间为，单调递减区间为. （ii）由 . 因为，所以，则， 则. 由，得，则， 则. 由题可知，则，解得， 则A的取值范围为. 19. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求. （2）已知为边上的一点，且. （i）求； （ii）若是线段上（不与重合）的一个动点，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，结合两角和的正切公式可得； （2）（i）先根据正弦定理，分别将表示出来，再直接计算即可. （ii）根据余弦定理结合（i），求出，作（点在的下方），，垂足为，过点作，垂足为，根据三角形性质易知其最小值为，计算即可. 【小问1详解】 由正弦定理得， 得 则.由，得， 所以，则. 因为，所以. 【小问2详解】 （i）在中，由正弦定理得，； 在中，由正弦定理得， 因为，所以. 故. （ii）由余弦定理，得 结合，得. 如图，作（点在的下方），，垂足为，过点作，垂足为. ， 则. 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市万州第一中学等校2025-2026学年高一下学期4月联考 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：三角函数、平面向量及其应用. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为所在边的中点，则下列向量中，与共线的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知某扇形的圆心角的弧度数为3，且该扇形的周长为25cm，则该扇形的半径为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 10cm 3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 6. 已知D是的重心，，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的所有零点的和为（ ） A. B. C. 3 D. 5 8. 已知的内角的对边分别为的外接圆半径为，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定的 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是第四象限角，则（ ） A. 是第二象限角 B. 是第一象限角 C. 是第一象限角 D. 是第四象限角 10. 已知向量，若与的夹角为锐角，则x的值可能为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 11. 在中，角所对的边分别为，，，角B的平分线与AC交于点D，则（ ） A. B. C. b的最大值为 D. BD的最大值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角α的终边经过点，则_________. 13. 如图，为了测量两山顶M，N的距离，飞行器沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内.已知A，B两点相距2千米，在A处观测M的俯角为，观测N的俯角为，B在N的正上方，且在B处观测M的俯角为30°，则M，N之间的距离为______千米. 14. 已知圆的圆心为，半径为，，，是圆上的动点，且，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）若A，B，D三点共线，求x的值； （2）若，求x的值． 16. 已知，且. （1）求； （2）求. 17. 如图，在四边形ABCD中，，AC与BD交于点E，F，G分别为AB，CD的中点. （1）用表示； （2）若，求. 18. 已知函数的最小正周期为. （1）求的值. （2）已知直线是曲线的一条对称轴. （i）求的单调区间； （ii）若对于任意的，总存在，使得，求A的取值范围. 19. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求. （2）已知为边上的一点，且. （i）求； （ii）若是线段上（不与重合）的一个动点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $