河南华大新高考联盟2026届高三下学期5月联考数学试卷

数学参考答案和评分标准 题号 2 4 6 8 9 10 11 答案 B D C D B A C B AD ABD BC 一、选择题 1.【答案】B 1-i 【解析】由=+一i,得：=i 2.【答案】D 【解析】由题意得A=[-2,2],B=(一∞，2)，所以A∩B=[-2,2). 3.【答案】C 【解析】由已知得f(0)=0,则m=-1,所以当x≥0时，f(x)=x2+2-1,所以f(2)=7,故f(-2)=一7. 4.【答案】D 【解析】1og2(tan75°+tan15)=log2[(2十√3)+(2-√3)]=log24=2. 5.【答案】B 【解析】10个名额为相同元素，可用隔板法，10个相同元素分为8组，即将7个隔板插入9个空，C?=36. 6.【答案】A 【解析】依题意可知，a6=6,S=6(a,十as) 2 =21m,显然m≠1， 又S=m(1-m) =m(m2+m+1), 1-m 则m(m2+m十1)=21m. 又m∈N,故m≠0， 所以m2+m+1=21,解得m=4,所以S=21×4=84. 7.【答案】C 【g折1不等式-1h<2≥，令-日则6=gc-9日品-日-a 8.【答案】B 【解析】因为sinx十cos2x十1=(1-cos2x)2+cos2x十1=cosx-cos2x十2， cos'x +sin2x+1=cosx+(1-cos2x)+1=cos'x-cos2x+2, 所以f(x)=2√cosx-cosx+2. 令cos2x=t,t∈[0,1]，设y=f(x),则y=2√-t+2. 当=名时y=2日 7 =7,所以f(x)的最小值为√7. 二、多项选择题 9.【答案】AD 【解析】对于A,若m⊥a,nCa,由线面垂直的性质可知m⊥n,故A正确； 对于B,若a⊥3，mCa,则可能有m⊥3或m∥3或m与3斜交或mC3,故B错误； 对于C,若a⊥B,a∩3=n,m⊥n,但是m不一定在a内，故不能推出m⊥3，故C错误； 对于D,因为m⊥a&,n⊥3，所以直线m,n的方向向量分别与平面a,3的法向量平行，又因为a⊥B,所以两 5·数学参考答案和评分标准第1页（共9页） 个平面的法向量互相垂直，故两直线的方向向量互相垂直，即m⊥n,故D正确。 10.【答案】ABD 【解析】由正弦定理可知，sinA:sinB:sinC=a:b:c,所以以sinA,sinB,sinC的长度为边能构成 三角形，故A正确： 设三条中线分别为AD,BE,CF,则有Ai=-G,B=-G成.市=-多G式。 因为GA+GB+GC=0,所以AD+BE+CF=0,即三个向量AD,BE,CF可构成闭合回路， 所以以△ABC的三条中线AD,BE,CF的长度为边能构成三角形，故B正确； 显然当A=受时，c0sA=0,故C错误 因为Sc-Sa一Sa所以ad,-M,-de,所以士·士-a6,所以以六六的 长度为边能构成三角形，故D正确： 11.【答案】BC 【解析】当0=时Sa职5，= 1=3,故A错误： 0 tan 2 3 设PF=m,PF,=n,当0=2时， 有m-n=45,>2mm=4>(m十0）=36十4=40>十n=2W10, 7m2+n2=36 所以△PF,F2的周长为6+2W√10，故B正确； 设PF1=m,PF2|=n,当0为钝角时，由余弦定理知m2+n2<36, 因为m-n=4√2→m2+n2=32+2mn<36→0<mn<2, PF1Pf,m”m十n2mn十32222婴8，故C正确 所以P2=PF:n m mn mn mn 由如下引理知△PF1F2内切圆的半径的取值范围是(0，b),即(0,1)，故D错误， ]理双曲线C:。一1(a>0.b>0)的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是(0,6).证明如下 如图，点P位于第一象限，F,F。是双曲线的左、右焦点，设焦点△PFF,内切圆的圆心为G,则圆心G 在直线x=a上（证明省略）. 设内切圆的半径为r,点P(xyo), 由焦半径公式得PF,|=ex。十a,PF2=exo-a,其中e=C 2S△PF1F2 所以r=PF,+IPF2+2C 因为56听=2E,,-2X2·y。=6· 1 2cyo ayo 即r=2ex+2cexo+c xo+a x。十c 因为点P在双前线C上，所以--1，将=公月小 5·数学参考答案和评分标准第2页（共9页） 于是2 a+a)把听=6（任）代人得 a'yo xo+a-2a 2a r=b 一a=b 三b Nxo+a xo+a x。+a ,x∈(a,+∞). 易知r=b1一 2a在x∈(a,+∞)上单调递增，且1imbJ1 2a=b, x十a xa十a 由函数的单调性及极限的知识可知0<r<b, 因此双曲线的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是(0，b). 三、填空题 12【答案1-4-7-) 【解析】由题意得a·b=2-3=-1,b=√/1+4+9=/14， 故向量a在6上的技影向量为“；·女0-(0号，-》 13.【答案】4x+y十4=0. 【解析】设1：y=kx十b,与曲线y=x2联立，得x2一kx一b=0,由△=0，得k2十4b=0. 直线1与曲线y=1联立得kx2十6x-1=0,显然≠0，由△=0得十4h=0. 所以(-)+4=0，即6'十64=0，又长≠0所以太=一4，从而6=一4 所以直线1的方程为y=-4x-4,即4x十y+4=0. 1.【答案后 【解析】定义状态i(i=0,1,2,3,4)表示在停止事件（掷出1或6）发生之前，已经观察到不同的数字来自 集合{2,3,4,5}的个数.设p,为从状态i出发最终成功的概率（即最终在掷出1或6之前已经收集全4 个数字).显然，当i=4时，已经收集全4个数字，此后无论掷出什么，只要首次掷出1或6时即成功，因 此p4=1. 对于状态i(0≤≤3)，考虑下一次掷骰子的结果，有三种可能： ①挪出数字1或6（概率为-}），此时停止，但由于简未收集全4个数字：<，因此失败，成功的概 率为0. ②掷出一个已经出现过的属于(2,3,4,5)的数字（概率为。状态保持不变。 ③掷出一个未出现过的属于(2,3,4,5)的新数字（概率为。），状态转移到i+1。 因此，从状态i出发，最终成功的概率满足方程 。一<O+< .4-i +6p:+6b+1, 化简得p-后，十4号p移项得-名)b=号 4-i 即p:=6-+1i=0123. 利用p,=1,依次计算得 2、11 5·数学参考答案和评分标准第3页（共9页） p1=6-1 3、11 因此，所求概率为p5 1 四、解答题 1 15.【解析】11)这6个月销售量数据的平均数为y=6×(1.5十2.3十2.8+3.2+3.7+4.5)=3，…3分 因为6×0.8=4.8，所以这6个月销售量数据的80%分位数为从小到大排列后的第5个数，是3.7.…4分 ∑(x:-x)(y:-y) 三1 9.8 (2)因为b= =0.56, 17.5 …7分 2- 6×1+2+3+4+5+6)=3.5, 所以a=y-b元=3-0.56X3.5=3-1.96=1.04,…9分 所以y=0.56x十1.04.…… ……10分 当x=9时，y=0.56×9+1.04=6.08(万辆)， 即预测2025年12月份的销售量约为6.08万辆.………13分 16.【解析1冷f)-mamr-）-合-0得 2红十2m或a2要-餐+2其中m∈Z wx一36 解得x=5r+2m或x=3x+2pπ …2分 6w w 2w w 所以当m=0时，f(x)的最小正零点为x一60 5π 依题意有x= 5 ，…4分 6w (2)由1知了)=m(x-）-号令x--k,解得r=k+号k∈乙. 所以两数=x)图象的对称中心为十号，一》，4∈乙 ………7分 (3)由(2)可知fx)=0满足x=5+2m或x= 6 +2p,依据三角函数的特性可知，)=0在一个周 3 期内有两个零点，所以最小的两个正零点为Q16a,,周期T=三2 所以数列(a,的奇数项构成了一个以为首项，2为公差的等差数列，数列（口，）的偶数项构成了一个以 为首项2为公差的等差数列。 +2"安-小-8一石m为奇数， 1 6 所以an= +2-)=0为数。 7 1 所以am-1=2n一6am=21-2, 5·数学参考答案和评分标准第4页（共9页） 所以s-a十g严+a:2”-受{n+)=2w+号 ………15分 2 2 17.【解析】(1)在题图1的等腰直角△ABC中，D为BC的中点，可得AD⊥BC, 所以在题图2中，可得AD⊥BD,AD⊥CD. 因为BD∩CD=D,且BD,CDC平面BCD,所以AD⊥平面BCD.…2分 又因为BMC平面BCD,所以AD⊥BM. 因为AD⊥平面BCD,所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，即∠BDC=60°， 所以△BDC为等边三角形， 因为M为CD的中点，所以CD⊥BM. 又因为AD∩CD=D,且AD,CDC平面ACD,所以BM⊥平面ACD.…4分 (2)以D为坐标原点，在平面BCD内作垂直于DC的直线为x轴，DC,DA所在直线分别为y轴、之轴 建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,2),B(3,1,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(0,1,0), 则AB=(√3,1，-2)，BM=(-√3,0,0)，AD=(0,0,-2) n1·AB=V3x1+y1-2z1=0, 设平面MAB的法向量为n1=(x1y1,之1)，则 …6分 n1·BM=-√3x1=0, 则x1=0,取z1=1,可得y1=2,所以n1=(0,2,1). n2·AB=√/3x2十y2-2z2=0, 设平面DAB的法向量为n2=(x2,y2,之2)，则 …7分 n2·AD=-2x2=0, 则x2=0,取x2=-1,可得y2=3,所以n2=(-1,W3,0). n1·n2_23_/15 所以cos(n1n:)=n11n225 5 所以平面MAB和平面DAB所成角的余弦值为 51 …9分 ③)假设在线段AC上存在点Q,使得直线MQ与平面A5M所成角的正弦值为 由(2)得MA=(0,-1,2),AC=(0,2,-2), 设AQ=入AC=(0,2λ，-2λ)，A∈[0,1]，则MQ=MA+AQ=(0,2λ-1,2-2λ).…11分 平面ABM的一个法向量为n1=(0,2,1), 设直线MQ与平面ABM所成的角为O, 则sin0=cosn,Md)1=n,·Ma 2(2λ-1)+2-2λ 2λ 5 n11川MQ1W5×V(2x-1)+(2-2x)V5×√8x2-12x+55 ……………………………………………………13分 化简得级-12x+5=0,解得=2或X=（会去) 5·数学参考答案和评分标准第5页（共9页） 所以存在点Q,使得直线MQ与平面ABM所成角的正弦值为 当X=之时，AQ=厄. …15分 18.【解析】(1)当a=0时，f(x)=sinx+cosx, 则sinx十cosx=1,所以厄sim+开）=1， 所以+)-号。 即士π元十2kπ或x十4=4十2kπ，k∈Z, 4 4 解得x=2kx或x-2+2kx,k∈乙 所以方程f八z)=1的所有实数解为x=2项元或x三2十2次元，k∈乙。…………5分 (2)令gx)=e-sinx-cosx,则gx)=e-2sin(x+)】 当x(至经)时，因为gx)=e一Eco(十）在(-子o)上单调递增，且《0)=0 所以当x(0)时g')<0,g(x)单调递减；当x∈(o,)时，g'()>0,g)单调递增。 所以g(x)≥g(x）mm=g(0)=0.… ………7分 当xe+)时，因为>2Em(+）厄8分 所以g(x)>e-2>0. 综上所述，当x>-时，g(x)≥0，即sinx十cos≤e, …9分 (3)构造函数F(x)=f(.x)-2十e=e十sinx十cosx-2-ax, F'(x)=e*+cos x-sin x-a,F'(0)=2-a,G(x)=F'(x),G'(x)=e'-sin x-cos x=g(x). 由(2)知，当x>-时，G()=g)≥0成立， 所以F'(x)=e十cosx一sinx-a在(-至，+e∞)上单调递增。 11分 ①若a=2.则F'0)=2-a=0,由F'(u)的单调性知，当x∈(-开，0)时，F(x)<0,F(x)单调递减；当 x∈(0，十∞)时，F'(x)>0,F(x)单调递增 所以F(x)≥F(x)mm=F(0)=0,满足题意. …13分 ②若a>2,则F'(0)=2-a<0.因为F'(x)≥e-√2-a,所以F'(ln(W2+2a)>a>2>0,由零点存在 定理可知，必存在x∈(0，ln(W2十2a),使得F'(x。)=0.此时满足x∈(0，xo)时，F'(x)<0,F(x)单调 递减，所以F(x)<F(0)=0,矛盾，舍去.… ………15分 ③若a<2,则F'(0)=2-a>0. 若F(-）>0,则在区间(-不，0)上均有F'(x)>0,于是F(x)在此区间上单调递增，因此在该区间 上有F(x)<F(0)=0,矛盾 5·数学参考答案和评分标准第6页（共9页） 若F'(-）<0,则必存在x,∈（仁牙0），使得F'(x)=0此时满足x∈(x0)时，F'u)>0,F(x)单 调递增，所以F(x)<F(0)=0,矛盾. 综上所述，a=2. …17分 1 9 a2+46-1, a=2, 19.【解析】1)由题意可得2c十2a=6, →b=3, a2=b2+c2 c=1, 所以椭圆E的方程为+艺二1。 …………4分 (2)①设直线11与直线12的斜率分别为k1,k2,则k1k2=一 4 设点P的坐标为(，y),则k,p,=k,k=一3 4…………6分 即，千·之=-子化简得8r+=3y*0. 所以点p的轨迹方程为x23y21(y≠0)，…………8分 ②方法-设A(x1y1),B(x2y2),C(x3y3),D(x4y4),l:y=k1(x十1)，l2:y=k2(x-1). 联立 32+4y=122(3+4)x2+8k号x+4-12=0, y=k1(x+1) -8k1 4k号-12 则x1十x:=3十4h1:=3+40 …9分 联立 3x2+4y=12,→(3+4k3)x2-8kx+43-12=0, y=k2(x-1) 8k 则x3十x4 4k-12 3+4k8x3x4= ………………………心……心……………10分 3十4k /64k-4(3+4k)(4k1-12)12(1+k) 所以|AB|=√1十k/(x1十x2)-4x1x2=√1十k (3+4k)2 3+4k? 11分 12(1+k) 同理可得CD= 3+4k· ……………12分 设11与l2的夹角为0，因为11与12的方向向量分别为(1，k1),(1,k2), 所以cos0=11,k1)·(1,k2)1 |1+k1k2 √1+k7/1+k经 √(1+k)(1+k) 所以sin0=√1-cos0= 1k1一k2 …13分 √J(1十k)(1十k) 设四边形ACBD的面积为S, 则S=1AB1CDsm9 72(1+k)(1十k)k1-k2 72√(1+k)(1十k)(k1-k2)2 (3+4k)(3+4k)/(1+k)(1+k) (3+4k)(3+4k) ……14分 √++（++】 72 因为k1k2=一 ,所以S 3 18+12(k?+k) 5·数学参考答案和评分标准第7页（共9页） 令k十号=m,则m≥2k1k,=g 21 75 3,16m2+49m+2 则S= 2m+3 令1=2m+3则≥60<名<2化简得S 3/4(1-3)2+49×13+7万 2 .=3 /4+ 2t' 当0时0：当时= 73 =12 2 所以四边形ACBD面积的取值范围是(6,2 、73 …17分 方法二设A(x1,y1),B(x2,y),C(x3,y3),D(x4,y4),直线AB的方程为y=k(x十1)，则kcn= ,直线CD的方程为x= 3 4k 3y+1. 联立直线AB与椭圆的方程 3z2+40=12>(3+4k2)x2+8kx+4k2-12=0, y=k(.x+1) 一8k2 则上十x,3+环12= 4k2-12 3+4k2· …9分 64k4-4(3+4k2)(4k2-12)12(1+k2) 所以|AB|=W1十k(x1十x2)2-4x1x2=√1十k (3+4k2)2 3+4k2 …11分 设d1,d2分别为点C,D到直线AB的距离，四边形ACBD的面积为S, 则S=Sau十Sae=ABd,十d,. d,+d,=k+1D-yl+k,+1)-_Ix-x)-g,-y)_3+4)-y W√1十k2 √1+k √/1+k 3W1十k2 =k 联立 -3y+1·得12+16k)y2-24y-27=0, 3x2+4y2=12 24k -27 故y十y=12+16k2yy4-12+16k2· ………13分 所以d1十d2= (3+4k2)√/(y3+y)-4y3y43(3+4k2)V9+16k√9十16k 3√1+k 3W/1+k(3+4k2)√1+k 所以5三2.2D0+16-61+9+166 V1+k 3+4k2 ……15分 思路1：令k2=t>0,则 16t+251+9=61中162+24+96 1 S=6√1602+241+9 1+ 16t+9 +24 因为161+2+24≥2,16×9+24=48，所以0 1 16+9+24 48 5·数学参考答案和评分标准第8页（共9页） 因此s∈(6,2 。73 …………………………………………………………………17分 思路2令3+46=4，则>8，即0号则 s-8--8+1--}+是 显然，当时S取得最大值3得-7当时56 因此S∈(6,2 。73 …………17分 5·数学参考答案和评分标准第9页（共9页）数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知(1+i)z=1一i,则z= A.-i B.i C.1-i D.1+i 2.已知集合A={x|x2-4≤0}，B={x|2-4<0},则A∩B= A.[-2,2] B.[-2,4] C.(0,2] D.[-2,2) 3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+2x+m(m为常数)，则f(一2)= A.4 B.7 C.-7 D.8 4.logz (tan 75+tan 15)= A.1 B.√2 C.3 D.2 5.某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者.10个志愿者名额要分 给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有 A.45种 B.36种 C.28种 D.8种 6.设等差数列{an)的首项和公差均为m,等比数列{bn)的首项和公比也均为m,其中m∈N',若数列{an》 的前6项和与数列{b.)的前3项和都等于S,则S= A.84 B.63 C.42 D.21 7若a-日b 9c=-1 1 gn0.9,则 A.6<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<6 8.函数f(x)=√sinx+cosx+1+√cosx十sinx十1的最小值为 A.2N2 B.√7 C.6 D.5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则 A.若m⊥a,nCa,则m⊥n B.若a⊥B,mCa,则m⊥B C.若a⊥B,a∩B=n,m⊥n,则m⊥B D.若a⊥B,m⊥a,n⊥B,则m⊥n 10.设△ABC的三个内角分别为A,B,C,重心为G,则 A.以sinA,sinB,sinC的长度为边能构成三角形 B.以△ABC的三条中线的长度为边能构成三角形 C.以Icos A|,Icos B」，lcos CI的长度为边能构成三角形 D,若点G到△ABC的三边BC,AC,AB的距离分别为d,da,dc,则以子，，的长度为边能构成 三角形 5·数学试题第1页（共4页） 1.已知双曲线C:号-，y-1的左、右焦点分别为F1,P,点P在双曲线C的右支上，且∠P,PP,=0,则 A当8-青时，△PR,的面积为号 B.当0-时，△PF,F2的周长为6+2√10 IPF:I,IPF:I C.当0为钝角时，P,+PP>18 D.△PF,F:内切圆的半径的取值范围是(0，十∞) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.空间向量a=(0,1,一1)在b=(1,2,3)上的投影向量的坐标为 13.已知直线1与曲线y=x2和y=二都相切，则直线1的方程为 14.投掷一枚质地均匀的骰子，直到掷出数字1或6为止，则在掷出1或6之前，数字2,3,4,5每个都至少出 现一次的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 为研究新能源汽车的销售量变化情况，现统计了某市2025年第二、第三季度每个月的销售量（单位：万 辆)如下表所示. 月份 4月 5月 6月 7月 8月 9月 月份代号x 1 2 3 g 6 销售量y 1.5 2.3 2.8 3.2 3.7 4.5 (1)求这6个月销售量数据的平均数和80%分位数； (2)已知该市销售量y与月份代号x具有很强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测 2025年12月份的销售量. 附：经验回归方程y=x十a的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为 (红，-0y,- = S) 2a,-8-了饭会红8o,-刀=8名a-a-1n5 5·数学试题第2页（共4页） 16.(15分) 设函数fa)=n虹-》-分。 2,0>0,将函数f(x)的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列 {al,且e,-8 (1)求w的值； (2)求函数y=f(x)图象的对称中心； (3)求数列{a.}的前2n项和Sa 17.(15分) 如图1，等腰直角△ABC的斜边BC=4,D为BC的中点，沿BC边上的高AD折叠，使得二面角 B-AD-C为60°，如图2所示，设M为CD的中点. (I)证明：BM⊥平面ACD. (2)求平面MAB和平面DAB的夹角的余弦值. (3)在线段AC(含端点)上是否存在点Q,使得直线MQ与平面ABM所成角的正弦值为5 ？若存在， 求出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由. 图2 5·数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数f(x)=sinx十cosx一ax,其中a∈R (1)当a=0时，求方程f(x)=1的所有实数解； (2)证明：当x（-T,+∞)时，sinx十cosz≤e (3)若f(x)≥2-e在x∈(-无，+∞上恒成立，求a的值. 19.(17分) 已如媚圆E子 +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为P1,P2,点Q(1,)在椭圆E上且△F,QP:的 周长为6. (1)求椭圆E的方程， (2)设过点F:的直线L1与椭圆E交于A,B两点，过点F2的直线l2与椭圆E交于C,D两点，l1与L2 的交点为P,且1，与2的斜率之积为-是。 ①求点P的轨迹方程； ②求四边形ACBD面积的取值范围. 5·数学试题第4页（共4页）