精品解析：北京市东城区2025--2026学年第二学期九年级统一测试（一）数学试卷

东城区2025—2026学年度第二学期初三年级统一测试（一） 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体是（ ） A. 球 B. 圆柱 C. 长方体 D. 圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体， 根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱． 故选B． 2. 在今年全国两会上，政府工作报告明确提出，2026年发展主要预期目标之一是：城镇新增就业1200万人以上．将数字12000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： 3. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球然后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵摸出小球后放回再摸， ∴第一次摸球有4种等可能结果，第二次摸球也有4种等可能结果，可得总共有种等可能的结果，其中两次摸出标号相同的结果有，共4种， ∴两次摸出小球标号相同的概率为． 4. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，直线，点E，F分别在直线上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部交于点H，画射线交于点G，若，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 6. 人字梯为家庭常用工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端A离地面的高度是（ ）（结果精确到，参考数据：，，） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，然后解即可． 【详解】解：过点作于点， ，  ， 在中， ，，  ，  ． 7. 把二次函数的图象向上平移1个单位长度．如果平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点，那么m的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移规则得到平移后抛物线的解析式，利用抛物线与x轴只有一个公共点时对应一元二次方程的判别式，即可求解的值． 【详解】解：根据二次函数图象平移规则，向上平移1个单位长度后， 所得抛物线的解析式为： ∵平移后抛物线与轴有且只有一个公共点 ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 化简得， 解得． 8. 如图，等边三角形的三个顶点都在边长为1的正方形的边上．对于这样的等边三角形，给出以下结论： ①等边三角形有无数个； ②等边三角形的周长的最小值为3； ③等边三角形的面积的最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，连接正方形对角交于点O，以点O为圆心，以为半径画圆，则点D，E，F，G在圆O上，连接，并延长，交圆O于点M，N，P，结合等腰三角形、正方形的性质得到当点M，N，P在圆上运动时，对应的在正方形内部运动，可判定①；如图所示，过点作，则 ，得到 ，结合周长计算可判定②；根据题意，当最大时，等边三角形的面积最大，如图所示，当三角形一个顶点与正方形的一个顶点重合时，由勾股定理得到的值，结合面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接正方形对角交于点O，以点O为圆心，以为半径画圆，则点D，E，F，G在圆O上，连接，并延长，交圆O于点M，N，P， ∵是等边三角形， ∴ ， ∴ ，即是等边三角形， ∴当点M，N，P在圆上运动时，对应的在正方形内部运动， ∴等边三角形有无数个，故①正确； 如图所示，过点作，则 ， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∵ ，且等边三角形的周长 ， ∴最小值为1， ∴等边三角形的周长的最小值为3，故②正确； 如图所示，过点作，， ∴ ， ∴， 当最大时，等边三角形的面积最大， 如图所示，当三角形一个顶点与正方形的一个顶点重合时， ∴ ， 又 ， ∴， ∴， 设，则 ， 在中，， 在中， ， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 根据上述计算可知， ， ∴的最大值为， ∴ ，故③错误； 综上所述，正确的有①②， 故选：A ． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需解分母不等于零的不等式即可． 【详解】要使分式有意义，则分母，解得． 故答案为：． 10. 分解因式：2x2﹣8xy+8y2=____． 【答案】2（x﹣2y）2 【解析】 【详解】试题分析：2x2﹣8xy+8y2 =2（x2﹣4xy+4y2） =2（x﹣2y）2． 故答案为2（x﹣2y）2． 考点：提公因式法与公式法的综合运用 11. 方程的解为______． 【答案】 ## 【解析】 【详解】解： 方程两边同乘以最简公分母得， 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，当时，， 所以是原方程的解． 12. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，由关于的一元二次方程有实数根得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数范围，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键． 13. 年月日是第个中国环境日，某中学名学生积极参加了公益活动，为了解这些学生参加公益活动的时间（单位：），从中随机抽取了名学生进行问卷调查，并将得到的数据整理如下： 活动时间 人数 根据以上信息，估计该中学名学生中参加公益活动时间是的人数是______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算样本中参加公益活动时间为的频率，再用全校总人数乘以该频率，得到总体的估计人数． 【详解】解：由题意可知，抽取的样本容量为，其中参加公益活动时间为的人数为， 则样本中参加公益活动时间为的频率为：， 估计该中学名学生中参加公益活动时间是的人数为：． 14. 如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可得，根据垂直平分线的性质可得，即可得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，，是上的点， ∴， ∵，垂足为点，且为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为____________cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，从而可得∠ABD=∠BDC，然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG=BG，从而可得∠BEG=∠ABD，进而可得∠BEG=∠BDC，再证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD， ∴∠ABD=∠BDC， ∵AE=2cm， ∴BE=AB-AE=6-2=4（cm）， ∵G是EF的中点， ∴EG=BG=EF， ∴∠BEG=∠ABD， ∴∠BEG=∠BDC， ∴△EBF∽△DCB， ∴， ∴， ∴BF=6， ∴EF=（cm）， ∴BG=EF=（cm）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16. 某新能源电池厂有40台专用设备，用于生产两种核心零件：正极片和负极片．按照每台设备每天生产的合格的正、负极片的效率分为以下三类： 类别 正极片（片/台） 负极片（片/台） 设备数量（台） 甲类 20 200 15 乙类 12 100 15 丙类 8 70 10 每台设备每天只能生产一种零件．已知每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池． （1）若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产______个电池； （2）若40台专用设备都在工作，则一天最多可生产______个电池． 【答案】 ①. 200 ②. 400 【解析】 【分析】（1）根据题意，设甲设备有x台生产正极片，则有台生产负极片，分别算出正极片、负极片的数量结合题意列式求解即可； （2）根据题意，甲类生产负极片效率最大，其次是丙类，最后是乙类，尽量优先考虑甲类生产负极片，根据题意得到甲类的15台设备要分出一部分生产负极片，所以设甲类生产正极片的有台，则生产负极片的有台，让乙类、丙类生产正极片，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：甲设备有15台， ∴设甲设备有x台生产正极片，则有台生产负极片， ∴正极片的数量为，负极片的数量为， ∵每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池 ∴， 解得，， 当时，正极片的数量为，负极片的数量为， ∴200个正极片与800个负极片可以组装成200个电池，此时负极片剩余200； 当时，正极片的数量为，负极片的数量为， ∴200个正极片与800个负极片可以组装成200个电池，此时正极片剩余20； ∴若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产200个电池； （2）若40台专用设备都在工作， 甲类、乙类、丙类生产正极片与负极片的比例分别为：，，， ∴甲类生产负极片效率最大，其次是丙类，最后是乙类， ∴生产时，尽量优先考虑甲类生产负极片， 情况一：若甲类15台生产负极片，乙类、丙类生产正极片， ∴正极片的数量，负极片的数量， ∵， ∴此时，能组装成一个完整电池的数量是260个，而负极片剩余个， ∴甲类的15台设备应该要分出一部分生产负极片， ∴设甲类生产正极片的有台，则生产负极片的有台，让乙类、丙类生产正极片， ∴生产正极片的有（台），生产负极片的有台， ∴正极片的数量为，负极片的数量为， ∴， 解得，， ∴生产正极片的有台，则甲类生产负极片的有台， ∴正极片的数量为，负极片的数量为， 此时，400个正极片与1600个负极片可以组装成400个电池． 故答案为：①200；② 400． 三、解答题（共68分，第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①： 解不等式②： 去分母， ， 移项， ， 原不等式组的解为 ． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵ ∴ ． 20. 如图，在中，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接交于点G，延长与的延长线交于点H，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）6 【解析】 【分析】（1）由中点的定义得，，再由可得，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论； （2）由中位线的性质得，证明四边形是平行四边形，则，，再根据菱形的性质得，，则，再根据含30度角的直角三角形的性质求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 21. 学校为庆祝第七个国际数学日，举办了主题为“数学与希望”的数学活动，决定购买圆规与笔记本作为奖品．已知圆规每个15元，笔记本每本6元，共花费1560元，它们的数量之比为．此时恰逢商家开展“店庆满送”优惠活动，每满180元送1张兑换券，满360元送2张兑换券，……，以此类推．一张兑换券可兑换2个圆规或4个笔记本．学校花费1560元后，将兑换券也全部用于商品兑换，最终圆规与笔记本的数量相同． （1）求兑换前购买的圆规和笔记本的数量； （2）求用于兑换圆规的兑换券的张数． 【答案】（1）兑换前购买圆规80个，笔记本60本 （2）用于兑换圆规的兑换券为2张 【解析】 【分析】（1）根据圆规和笔记本的数量比设未知数，再根据总花费为1560元列出方程即可求解； （2）先计算出1560元可获得的兑换券总数，再设用于兑换圆规的兑换券为张，根据兑换后笔记本与圆规数量相同列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：设兑换前购买圆规的数量为个，笔记本的数量为本， 由题意得，， 解得， ∴，． 答：兑换前购买圆规80个，笔记本60本． 【小问2详解】 解：∵， ∴可获得8张兑换券， 设用于兑换圆规的兑换券的张数为张，则用于兑换笔记本的兑换券为张， 则兑换后圆规的数量为个，笔记本的数量为本， 由题意得，， 解得． 答：用于兑换圆规的兑换券为2张． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，且大于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） ， （2） 且． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象的平移得到，再把点代入计算得到； （2）根据题意，画图分析即可． 【小问1详解】 解：函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数图象经过点， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴， 当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，且大于的值，如图所示， 当时，函数的图象与函数的图象平行，此时，符合题意； 当时，如图所示， 此时，函数的图象与函数的图象有交点，设为， ∴当时，，不符合题意； ∴； 当时，如图所示， 此时，函数的图象与函数的图象平行，，不符合题意； 在函数中，当时，， ∴当函数的图象与函数的图象交于时，如图所示， 此时，，解得，， 当时，如图所示，函数的图象与函数的图象有交点，设为， 此时，时，，不符合题意； ∴； 综上，且． 23. 某学校组织“数学传统文化知识”竞赛，分为团体赛和个人赛．九年级组建了A，B两个各20人的集训团队，经过阶段性训练后进行预赛，对选手成绩（百分制）进行整理分析，给出如下部分信息： a．A队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： 其中组的数据是：80，82，82，84，85，88． b．B队成绩如下： 61，67，72，72，74，76，78，80，81，81， 83，83，83，83，85，85，87，92，93，95． c．A，B两队成绩的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 A队 81.55 76 m B队 80.55 n 82 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______； （2）若团队成绩按去掉一个最高分和一个最低分计算，则去掉后B队的平均分______（填“增大”“不变”“减小”），方差______（填“增大”“不变”“减小”）； （3）为选拔个人赛种子选手，年级对本次预赛得分90分及以上的甲、乙、丙三名选手进行了5次附加测试，测试成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 96 93 96 90 乙 93 94 94 94 95 丙 95 91 93 92 t 排名规则为：5次测试成绩的平均数高的选手排名靠前；若平均数相同，方差小的选手排名靠前． 若丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，则表中整数t的最小值为______，最大值为______． 【答案】（1）81，83 （2）增大，减小 （3）94，99 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数和方差的定义求解即可； （3）分别求出甲、乙、丙的平均数，甲和乙的方差然后分三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：B队成绩中的数据出现的次数最多，故众数； A队中，两组的人数分别为2和7，而20个数据的中位数是第10，11个数据的平均数，那么第10，11个数据在这一组，是80，82， 因此中位数； 【小问2详解】 解：B队原来平均分为 则去掉一个最高分95和一个最低分61后平均数为，故平均数增大； 而方差反映的是数据波动程度，当去掉最高分和最低分两个极端值之后，数据更加集中，波动减小，故方差减小； 【小问3详解】 解：，； ，； ， ∴， 丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，即丙排第2名， ∴①，， 解得 ∵为整数， ∴可取； ②， 则，解得 此时， 故符合题意； ③， 则，解得， 则， 故符合题意， 综上：的取值为， 故最小值为，最大值为． 24. 如图，点C在以为直径的上，且，点D为上一点，过点C作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接交于点G．若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接 ∵的切线交的延长线于点E ∴，即 ∵，为半径， ∴，即 ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆的切线的性质以及垂径定理的推论可得，即可证明； （2）先证明，然后由可设，则，此时由求出，然后对运用勾股定理求解，再证明即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ 设 ∴由勾股定理得， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 25. 现有A，B两种算法，用来计算某项运动在特定条件下，经过不同的运动时间x（分钟）时能量消耗值y（千卡），某测试者进行测试，记录了部分数据如下： x（分钟） 0 10 20 30 40 50 60 70 A算法（千卡） 0 50 100 150 200 250 300 350 B算法（千卡） 0 52 95 138 172 200 220 230 （1）两种算法中，能量消耗值都可以看作关于运动时间的函数，观察数据，推测A种算法中与x的函数关系式为____________； （2）在同一平面直角坐标系中绘制出两种算法对应的函数图象； （3）某实验小组利用这两种算法，设计了一款测试运动能量消耗值的智能手环，其显示能量消耗值的规则为： ①若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值小于25千卡，则手环显示B种算法的能量消耗值； ②若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值大于或等于25千卡，则AI动态算法开始计算，的平均数，如果所得的平均数与的差的绝对值大于或等于25千卡，那么AI动态算法再次计算上一次所得的平均数与的平均数，重复上述操作，直到所得的平均数与的差的绝对值小于25千卡时，手环上显示的能量消耗值是最后一次所得的平均数（AI动态算法计算时间忽略不计）． 这次测试中，该测试者运动25分钟时，手环显示的能量消耗值是______千卡（保留整数）；运动60分钟时，手环显示的能量消耗值是______千卡． 【答案】（1） （2） 函数图象如图所示： （3）117；280 【解析】 【分析】（1）观察表格数据即可得出结果； （2）根据表格数据画出图象即可； （3）结合题意题图象求解即可． 【小问1详解】 解：观察表格得，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据图象得：当测试者运动25分钟时，两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值小于25千卡， ∴手环显示B种算法的能量消耗值为117千卡； ∵运动60分钟时，， ∴， ∴第一次计算平均数为：， ∵， ∴第二次计算平均数为：，且， ∴手环显示的能量消耗值是280千卡． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于O，A两点． （1）求c的值，并用含a的式子表示A点的横坐标； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②当时，的长随t的增大而增大，直接写出a的取值范围． 【答案】（1），A点的横坐标为 （2）①；②且或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图象过得到c的值，根据二次函数对称轴直线的计算得到A的横坐标； （2）①把，代入，得到点，的纵坐标，由此即可求解； ②用含，的式子表示出的值，结合二次函数图象的性质判定即可． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于，A两点， ∴，抛物线的对称轴直线为， ∴， 解得， ， ∴A点的横坐标为； 【小问2详解】 解：①当，时，二次函数解析式为，直线的解析式为， ∴当时，点M的纵坐标为 ，点N的纵坐标为 ， ∴； ②∵， ∴抛物线 的图象开口向上，对称轴直线为，， 直线的图象经过第一、三象限， 当时，点M的纵坐标为 ，点N的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， 当 时， ， ∴关于的二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∵当时，的长随t的增大而增大， ∴，且， ∴； 当时， ， ∴关于的二次函数图象开口向下，对称轴直线为， ∵当时，的长随t的增大而增大， ∴； ∵点与点不重合， ∴， ∴ 综上所示，且或． 27. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转得到．过点D作，交的延长线于点E，点F为中点． （1）①补全图形； ②求证：； （2）判断之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）①补全图形如下： ②证明：根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） ， 证明：延长到G，使得，如图所示： ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵点F为中点， ∴， ∴即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据题意补全图象即可；②根据题意得：，得出，，即可证明； （2）延长到G，使得，利用全等三角形的判定和性质得出，，再由平行线的性质得出，确定为等边三角形，结合等边三角形的性质及线段间的数量关系即可得出结果． 【小问1详解】 解：①略 ②略 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系xOy中，对于的弦和点C，给出如下定义：若为锐角三角形，且直线，中有一条是的切线，则称点是的弦的“锐切点”． （1）如图，的半径为1． ①点，，在点，，中，点______是的弦的“锐切点”； ②若，点C是的弦AB的“锐切点”，则弦的长的取值范围是______； （2）已知点，经过点T，若存在一条长为的线段，线段上的任意一点都是的长为t的弦的“锐切点”，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题目定义逐一判断即可；②，则点在以点为圆心，2为半径的圆上，利用圆的对称性，可以先固定点，点，根据为锐角三角形，讨论可能的位置； （2）根据题目信息可得，的半径为，为等边三角形，按照②的思路寻找锐切点所在的范围，利用极限思想即可求解． 【小问1详解】 ①如图， 为钝角三角形，则不符合题意； 为锐角三角形，且是的切线，则符合题意； 为锐角三角形，且是的切线，则符合题意； ②， 点在以点为圆心，2为半径的圆上， 设，， 则此时一定是的切线，只需满足为锐角三角形，则为直角三角形即可找到临界值， 如图，当时， 为圆的直径，即； 如图，当时，过点作于， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 则， 解得，（不符题意，舍去）， 则； 则当时，为锐角三角形，即点C是的弦AB的“锐切点”； 【小问2详解】 解：已知点，经过点T，则的半径为， 由题可知，，则为等边三角形， 如图，过点分别作，，交过点垂直于轴的直线于点，；连接，， ， ， ， 则，， 当点C位于，之间时，为锐角三角形，此时，， 以点为圆心，分别以，为半径画圆，长为的线段在圆弧区域内时，线段上的任意一点都是的长为t的弦的“锐切点”， 如图，与圆环内圆相切时，是线段在此范围内的最长状态，仅有此时存在使得条件成立时，圆的半径最小，连接； ， ， 在中，， 解得，（不符合题意，舍去）， 即． 【点睛】本题为新定义题目，考查圆的性质，解直角三角形，动点问题，难度较大，能够将新概念转化为已有知识，并掌握以静制动，极限思维是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东城区2025—2026学年度第二学期初三年级统一测试（一） 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体是（ ） A. 球 B. 圆柱 C. 长方体 D. 圆锥 2. 在今年全国两会上，政府工作报告明确提出，2026年发展主要预期目标之一是：城镇新增就业1200万人以上．将数字12000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球然后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，点E，F分别在直线上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部交于点H，画射线交于点G，若，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 人字梯为家庭常用工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端A离地面的高度是（ ）（结果精确到，参考数据：，，） A. B. C. D. 7. 把二次函数的图象向上平移1个单位长度．如果平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点，那么m的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，等边三角形的三个顶点都在边长为1的正方形的边上．对于这样的等边三角形，给出以下结论： ①等边三角形有无数个； ②等边三角形的周长的最小值为3； ③等边三角形的面积的最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 10. 分解因式：2x2﹣8xy+8y2=____． 11. 方程的解为______． 12. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______. 13. 年月日是第个中国环境日，某中学名学生积极参加了公益活动，为了解这些学生参加公益活动的时间（单位：），从中随机抽取了名学生进行问卷调查，并将得到的数据整理如下： 活动时间 人数 根据以上信息，估计该中学名学生中参加公益活动时间是的人数是______． 14. 如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为____________cm． 16. 某新能源电池厂有40台专用设备，用于生产两种核心零件：正极片和负极片．按照每台设备每天生产的合格的正、负极片的效率分为以下三类： 类别 正极片（片/台） 负极片（片/台） 设备数量（台） 甲类 20 200 15 乙类 12 100 15 丙类 8 70 10 每台设备每天只能生产一种零件．已知每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池． （1）若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产______个电池； （2）若40台专用设备都在工作，则一天最多可生产______个电池． 三、解答题（共68分，第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接交于点G，延长与的延长线交于点H，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21. 学校为庆祝第七个国际数学日，举办了主题为“数学与希望”的数学活动，决定购买圆规与笔记本作为奖品．已知圆规每个15元，笔记本每本6元，共花费1560元，它们的数量之比为．此时恰逢商家开展“店庆满送”优惠活动，每满180元送1张兑换券，满360元送2张兑换券，……，以此类推．一张兑换券可兑换2个圆规或4个笔记本．学校花费1560元后，将兑换券也全部用于商品兑换，最终圆规与笔记本的数量相同． （1）求兑换前购买的圆规和笔记本的数量； （2）求用于兑换圆规的兑换券的张数． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，且大于的值，直接写出m的取值范围． 23. 某学校组织“数学传统文化知识”竞赛，分为团体赛和个人赛．九年级组建了A，B两个各20人的集训团队，经过阶段性训练后进行预赛，对选手成绩（百分制）进行整理分析，给出如下部分信息： a．A队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： 其中组的数据是：80，82，82，84，85，88． b．B队成绩如下： 61，67，72，72，74，76，78，80，81，81， 83，83，83，83，85，85，87，92，93，95． c．A，B两队成绩的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 A队 81.55 76 m B队 80.55 n 82 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______； （2）若团队成绩按去掉一个最高分和一个最低分计算，则去掉后B队的平均分______（填“增大”“不变”“减小”），方差______（填“增大”“不变”“减小”）； （3）为选拔个人赛种子选手，年级对本次预赛得分90分及以上的甲、乙、丙三名选手进行了5次附加测试，测试成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 96 93 96 90 乙 93 94 94 94 95 丙 95 91 93 92 t 排名规则为：5次测试成绩的平均数高的选手排名靠前；若平均数相同，方差小的选手排名靠前． 若丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，则表中整数t的最小值为______，最大值为______． 24. 如图，点C在以为直径的上，且，点D为上一点，过点C作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接交于点G．若，，求的长． 25. 现有A，B两种算法，用来计算某项运动在特定条件下，经过不同的运动时间x（分钟）时能量消耗值y（千卡），某测试者进行测试，记录了部分数据如下： x（分钟） 0 10 20 30 40 50 60 70 A算法（千卡） 0 50 100 150 200 250 300 350 B算法（千卡） 0 52 95 138 172 200 220 230 （1）两种算法中，能量消耗值都可以看作关于运动时间的函数，观察数据，推测A种算法中与x的函数关系式为____________； （2）在同一平面直角坐标系中绘制出两种算法对应的函数图象； （3）某实验小组利用这两种算法，设计了一款测试运动能量消耗值的智能手环，其显示能量消耗值的规则为： ①若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值小于25千卡，则手环显示B种算法的能量消耗值； ②若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值大于或等于25千卡，则AI动态算法开始计算，的平均数，如果所得的平均数与的差的绝对值大于或等于25千卡，那么AI动态算法再次计算上一次所得的平均数与的平均数，重复上述操作，直到所得的平均数与的差的绝对值小于25千卡时，手环上显示的能量消耗值是最后一次所得的平均数（AI动态算法计算时间忽略不计）． 这次测试中，该测试者运动25分钟时，手环显示的能量消耗值是______千卡（保留整数）；运动60分钟时，手环显示的能量消耗值是______千卡． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于O，A两点． （1）求c的值，并用含a的式子表示A点的横坐标； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②当时，的长随t的增大而增大，直接写出a的取值范围． 27. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转得到．过点D作，交的延长线于点E，点F为中点． （1）①补全图形； ②求证：； （2）判断之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系xOy中，对于的弦和点C，给出如下定义：若为锐角三角形，且直线，中有一条是的切线，则称点是的弦的“锐切点”． （1）如图，的半径为1． ①点，，在点，，中，点______是的弦的“锐切点”； ②若，点C是的弦AB的“锐切点”，则弦的长的取值范围是______； （2）已知点，经过点T，若存在一条长为的线段，线段上的任意一点都是的长为t的弦的“锐切点”，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $