精品解析：北京市东城区2024-2025学年下学期九年级一模数学试卷

东城区2024－2025学年度第二学期初三年级统一测试（一） 数 学 试 卷 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A. 球体 B. 圆锥 C. 棱柱 D. 圆柱 2. 已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在全球人工智能应用领域，我国技术以迅猛的势头崛起．截至2025年2月5日，我国某款应用软件的全球下载量已突破40 000 000次．数据40 000 000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线l//m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 5. 一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色不同外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是( ) A. B. C. D. 6. 当关于的一元二次方程有两个不相等的实数根时，的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，在中，是边的中点．按下列步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交线段于点； ②以点圆心，长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点； ④作直线，交线段于点． 以下结论不一定成立的是（ ） A. B. C. 与的相似比为 D. 8. 如图，在边长为1的正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接．设，，给出下列三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（本题共16分，每题2分） 9. 正八边形的外角和是______． 10. 分解因式：_____． 11. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点，则k的值是________． 12. 方程的解是______． 13. 某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了100名学生的测试数据，并绘制成如图所示的条形统计图，估计该校学生体质健康测试结果为“优秀”的总人数为________． 14. 如图，中，点E在上，，交于点F，若，且，则_____． 15. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点都在格点上，以点为圆心，长为半径画弧，交于点 ，则扇形的面积为________． 16. 快递员小明每天从快递点骑电动三轮车到三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点．之间的距离（单位：）如图所示． （1）若小明按照的路线骑行，则小明骑行的距离为____________； （2）小明骑行的最短距离为_________________． 三、解答题（本题共68分，第17－20题，每题5分，第21题6分，第22－23题，每题 5分，第24－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17 计算：． 18. 解不等式组 19. 已知，求代数式的值． 20. 编织大、小两种中国结共12个，总计用绳．已知编织1个大号中国结需用绳，编织1个小号中国结需用绳．问这两种中国结各编织了多少个． 21. 如图，矩形的对角线与交于点O，E为的中点，连接，过点O作，交延长线于点F，交于点G，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若函数与一次函数的图象的交点位于直线的右侧，直接写出m的取值范围． 23. 2025年2月，北京市教育委员会发布《关于进一步加强新时代中小学体育工作的若干措施》，明确要求中小学每天综合体育活动时间不低于2小时．某校从初二年级随机抽取20名学生，记录这20名学生某日校外体育活动时长（单位：分钟）．研究小组对数据进行整理分析，得到如下信息： a．20名学生校外体育活动时长的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．20名学生校外体育活动时长在这一组的是： 55 56 56 56 56 56 58 59 c．20名学生校外体育活动时长的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 56.2 m n （1）根据以上信息，回答下列问题： ①补全频数分布直方图； ②m的值为________，n的值为________． （2）甲、乙、丙三名学生参加为期5天的专项训练，每日活动时长记录如下（单位：分钟）： 学生 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 甲 64 58 60 60 59 乙 60 63 60 60 57 丙 62 60 58 59 p 对每一名学生计算5天活动时长的平均数和方差．规定平均数较大的学生排序靠前；若平均数相同，则方差较小的学生排序靠前．若丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中，则这三名学生中排序最靠前的是________，表中p（p为整数）的值为________． 24. 如图，在中，为直径，为弦，，垂足为，过点作的切线，与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若的半径为2，，求的长． 25. 对于纯电动汽车而言，在行驶过程中，实际剩余里程和仪表盘显示的剩余里程之间往往会存在一些差异．某团队对一款纯电动汽车的实际剩余里程和仪表盘显示的剩余里程进行了一次测试，从充满电的状态出发，直到电量耗尽，实际总行驶里程为280，在这个过程中，记录了已行驶里程x（单位：）与仪表盘显示的剩余里程（单位：）之间的对应关系，部分数据如下表所示： 0 40 80 120 160 200 240 301 265 222 176 138 109 26 在这次测试中，记实际剩余里程为（单位：）．（注：实际剩余里程＝实际总行驶里程－已行驶里程） 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出实际剩余里程与已行驶里程x之间关系式： ________． （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．与x的函数图象如下所示．在同一平面直角坐标系中，画出的图象． （3）结合图象解决下列问题： ①当已行驶里程为200时，实际剩余里程是________，仪表盘显示的剩余里程约为________； ②当已行驶里程约为________时，仪表盘显示的剩余里程与实际剩余里程相等； ③当仪表盘显示的剩余里程为120 时，实际剩余里程约为________． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． （1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （2）若对于，，都有，求m的取值范围． 27. 如图，在中，，点D在上（），过点D作，交的延长线于点E，连接，以为底作等腰（点E，F在直线的异侧），连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）用等式表示线段与的数量关系，并证明， 28. 在平面直角坐标系中，对于点P、点M、点Q，给出如下定义：点P绕点M逆时针旋转得到点，点N为线段的中点（点N不与点重合），则称线段的长为点P关于点M及点Q的“垂中距”，记为． （1）已知点． ①若点，则为______________； ②若点C为y轴上一动点，则的最小值为______________． （2）若，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东城区2024－2025学年度第二学期初三年级统一测试（一） 数 学 试 卷 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A. 球体 B. 圆锥 C. 棱柱 D. 圆柱 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【详解】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体， 由俯视图为圆可得为圆柱体． 故选：D． 2. 已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴，有理数的乘法，加减法计算，绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据数轴得到，即可判断每个选项． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，，，， 故选：D． 3. 在全球人工智能应用领域，我国技术以迅猛的势头崛起．截至2025年2月5日，我国某款应用软件的全球下载量已突破40 000 000次．数据40 000 000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，正确确定的值和的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 详解】解： 40000000． 故选：B． 4. 如图，直线l//m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】A 【解析】 【详解】如图，过点B作BD//l， ∵直线l//m， ∴BD//l//m． ∵∠1=25°， ∴∠4=∠1=25°． ∵∠ABC=45°， ∴∠3=∠ABC﹣∠4=45°﹣25°=20°． ∴∠2=∠3=20°． 故选A． 5. 一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色不同外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：列表如下 由表格可知，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球所以的结果有9种，两次摸出的球都是黑球的结果有1种，所以两次摸出的球都是黑球的概率是． 故选：D． 黑 白1 白2 黑 （黑，黑） （白1,黑） （白2，黑） 白1 （黑，白1） （白1，白1） （白2，白1） 白2 （黑，白2） （白1，白2） （白2，白2） 6. 当关于的一元二次方程有两个不相等的实数根时，的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 7. 如图，在中，是边的中点．按下列步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交线段于点； ②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点； ④作直线，交线段于点． 以下结论不一定成立的是（ ） A. B. C. 与的相似比为 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由作图过程可得，选项A正确；得到，选项D正确；得到，推出，选项B正确；得到与的相似比为，不能确定，选项C错误． 【详解】解：由作图过程可得， 故选项A正确； ， 故选项D正确； ， ， 故选项B正确； 与的相似比为， 不能确定， 故选项C错误； 故选：C． 8. 如图，在边长为1的正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接．设，，给出下列三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】①连接，根据对称的性质得，，由此可判定和全等则，再证明和全等得，由此可得出，据此即可对结论①进行判断； ②根据全等三角形性质得，，则，进而得，再根据得，据此即可对结论②进行判断； ③根据，及全等三角形性质得，，则，在中，根据三角形三边之间关系得，则，进而得，据此即可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①连接，如图所示： 点关于直线的对称点为， ，， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论①正确； ②，， ，， ， ， 正方形的边长为1， ， ， ， 点是边上的一动点（不与点，重合）， ， ， 即， 故结论②正确； ③正方形的边长为1，，， ，， ，， ，， ， 在中，， ， ， 故结论③正确， 综上所述：正确的结论序号是①②③． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 二、填空题（本题共16分，每题2分） 9. 正八边形的外角和是______． 【答案】##360度 【解析】 【分析】本题考查多边形的外角和．根据任意多边形的外角和都是即可． 【详解】解：任意多边形的外角和都是 正八边形的外角和是． 故答案为：． 10. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可： 原式， 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点，则k的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 把代入反比例函数解析式求出k的值． 【详解】解：把点代入反比例函数得：， 故答案为：． 12. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：， 解得：x=6， 检验：当x=6时，， ∴分式方程的解为x=6． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 13. 某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了100名学生的测试数据，并绘制成如图所示的条形统计图，估计该校学生体质健康测试结果为“优秀”的总人数为________． 【答案】192 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和用样本估计总体，根据条形统计图计算出“优秀”的人数所占的百分比是解题的关键．用该校的总人数乘以成绩为 “优秀”的人数所占的百分比即可． 【详解】解：根据题意得： （人）， 答：其中成绩为 “优秀”的总人数估计为192人． 故答案为：192． 14. 如图，在中，点E在上，，交于点F，若，且，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，设，，则，根据平行四边形的性质得出，，证出，得出比例式，代入求出即可，能求出和求出是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故答案为：6． 15. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点都在格点上，以点为圆心，长为半径画弧，交于点 ，则扇形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，扇形的面积计算等知识点，掌握扇形的面积计算公式是解题的关键． 连接，根据勾股定理求出，，，得到，，，推出是直角三角形，，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，，， ，，， ， 是直角三角形，， ， ， 故答案为：． 16. 快递员小明每天从快递点骑电动三轮车到三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点．之间的距离（单位：）如图所示． （1）若小明按照的路线骑行，则小明骑行的距离为____________； （2）小明骑行的最短距离为_________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题涉及到距离的计算． （1）直接将路线中各段距离相加即可； （2）需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【详解】解：（1）根据图示计算的路线距离为； 故答案为： （2）找出所有可能路线计算： ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； 通过比较这些路线的距离，是最短的． 故答案为：. 三、解答题（本题共68分，第17－20题，每题5分，第21题6分，第22－23题，每题 5分，第24－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算二次根式的运算，熟记特殊角的三角函数值和熟练掌握运算法则是解题的关键．先化简二次根式、计算负数的绝对值、负指数幂、代入特殊角三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴原不等式组的解集是． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意得到，将代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 20. 编织大、小两种中国结共12个，总计用绳．已知编织1个大号中国结需用绳，编织1个小号中国结需用绳．问这两种中国结各编织了多少个． 【答案】编织大号中国结4个，编织小号中国结8个 【解析】 【分析】本题考查实际问题与二元一次方程，设编织大号中国结x个，编织小号中国结y个，根据题意列出方程组，找准数量关系，列方程是解题的关键． 【详解】解：设编织大号中国结x个，编织小号中国结y个． 依题意得 解得 答：编织大号中国结4个，编织小号中国结8个． 21. 如图，矩形的对角线与交于点O，E为的中点，连接，过点O作，交延长线于点F，交于点G，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、矩形的性质、菱形的判定，解直角三角形，熟练掌握相关图形的判定和性质是解决本题的关键． 根据四边形是矩形、，可得出，再推导出其它条件，即可证明，从而得证． （2）易证是等边三角形，四边形是菱形，得到，，再根据解直角三角形，可求出，，继而求出的长． 【小问1详解】 解：（1）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵E为的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 在矩形中， ， ∴． 又∵，四边形是平行四边形， ∴是等边三角形．四边形是菱形 ∴，，， 在和中， ∵， ∴，． ∴． ∴． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若函数与一次函数的图象的交点位于直线的右侧，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，两条直线的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）平移，得到，待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出交点横坐标，根据交点坐标在直线的右侧，根据图象性质分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 把代入，得：，解得：， ∴； 【小问2详解】 当时，令， 则当函数过时，， 当时，两个函数图象交点在直线的右侧； 当时，直线与直线平行， 当且时，两个函数图象交点在直线的右侧； ∴m的取值范围为：或或． 23. 2025年2月，北京市教育委员会发布《关于进一步加强新时代中小学体育工作的若干措施》，明确要求中小学每天综合体育活动时间不低于2小时．某校从初二年级随机抽取20名学生，记录这20名学生某日校外体育活动时长（单位：分钟）．研究小组对数据进行整理分析，得到如下信息： a．20名学生校外体育活动时长的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．20名学生校外体育活动时长在这一组的是： 55 56 56 56 56 56 58 59 c．20名学生校外体育活动时长的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 56.2 m n （1）根据以上信息，回答下列问题： ①补全频数分布直方图； ②m的值为________，n的值为________． （2）甲、乙、丙三名学生参加为期5天的专项训练，每日活动时长记录如下（单位：分钟）： 学生 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 甲 64 58 60 60 59 乙 60 63 60 60 57 丙 62 60 58 59 p 对每一名学生计算5天活动时长的平均数和方差．规定平均数较大的学生排序靠前；若平均数相同，则方差较小的学生排序靠前．若丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中，则这三名学生中排序最靠前的是________，表中p（p为整数）的值为________． 【答案】（1）①见解析，② （2）甲， 【解析】 【分析】此题考查了频数分布直方图、众数和中位数、平均数和方差等知识，熟练掌握求解方法是关键． （1）①求出的频数，补全频数分布直方图即可；②根据定义进行求解即可； （2）求出方差和平均数，再根据排序方式分类求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意可得，的频数为， 补全频数分布直方图如下： ②由题意可知，中位数是活动时长从小到大排列后处在第10和第11个数据的平均数，即为活动时长在这一组从小到大排列后的第3个和第4个数据的平均数，即 ， 在这组数据中56出现的次数最多，共出现5次，故n的值为56， 故答案为： 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∵丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中， 若按平均数大小排序，即， 则，解得，， ∵p为整数， ∴不符合题意； 若按方差大小排序， 当时，， 则，解得：， 此时，不符合题意； 当，， 则，解得：, 此时，符合题意； ∴这三名学生中排序最靠前的是甲，表中p（p为整数）的值为， 故答案为：甲， 24. 如图，在中，为直径，为弦，，垂足为，过点作的切线，与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若的半径为2，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由于点，得，由切线的性质得，即可由，，且，证明； （2）由的半径为2，得，因为，所以，由，求得，则． 【小问1详解】 证明：，垂足为， ， 与相切于点， ， ， ，，且， ． 【小问2详解】 解：的半径为2，， ， ，， ， ， ， ， 的长是． 【点睛】此题重点考查切线的性质、等角的余角相等、勾股定理、垂径定理、解直角三角形等知识，推导出，进而证明是解题的关键． 25. 对于纯电动汽车而言，在行驶过程中，实际剩余里程和仪表盘显示的剩余里程之间往往会存在一些差异．某团队对一款纯电动汽车的实际剩余里程和仪表盘显示的剩余里程进行了一次测试，从充满电的状态出发，直到电量耗尽，实际总行驶里程为280，在这个过程中，记录了已行驶里程x（单位：）与仪表盘显示的剩余里程（单位：）之间的对应关系，部分数据如下表所示： 0 40 80 120 160 200 240 301 265 222 176 138 109 26 在这次测试中，记实际剩余里程（单位：）．（注：实际剩余里程＝实际总行驶里程－已行驶里程） 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出实际剩余里程与已行驶里程x之间的关系式： ________． （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．与x的函数图象如下所示．在同一平面直角坐标系中，画出的图象． （3）结合图象解决下列问题： ①当已行驶里程为200时，实际剩余里程是________，仪表盘显示的剩余里程约为________； ②当已行驶里程约为________时，仪表盘显示的剩余里程与实际剩余里程相等； ③当仪表盘显示的剩余里程为120 时，实际剩余里程约为________． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①80，109；②232；③90 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握根据函数关系式画出其图象的方法是解题的关键． （1）根据实际剩余里程实际总行驶里程已行驶里程解答即可； （2）根据两点确定一条直线画出图象即可； （3）①②③根据图象作答即可． 小问1详解】 解：剩余里程与已行驶里程之间的关系式为． 故答案为：； 【小问2详解】 当时，， 当时，， 的图象如图所示： 【小问3详解】 ①当已行驶里程为时，实际剩余里程是，仪表盘显示的剩余里程约为． 故答案为：80，109； ②当已行驶里程约为时，仪表盘显示的剩余里程与实际剩余里程相等． 故答案为：232； ③当仪表盘显示的剩余里程为时，行驶里程为，此时实际剩余里程； 故答案：90． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． （1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （2）若对于，，都有，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）m的取值范围是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用对称轴公式即可求得； （2）分两种情况讨论，根据二次函数的性质对称关于m的不等式，解不等式即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：当时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵对于，，都有， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴； 当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大， ∵对于，，都有， ∴， 解得， ∵， ∴这种情况不存在． 综上，m的取值范围是． 27. 如图，在中，，点D在上（），过点D作，交的延长线于点E，连接，以为底作等腰（点E，F在直线的异侧），连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）用等式表示线段与的数量关系，并证明， 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）．理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键， （1）根据题意补全图形即可； （2）证明即可得到结论； （3）延长到点G，使，连接．证明．得到．证明．得到，根据直角三角形的性质即可得到结论， 【小问1详解】 解：补全图形如图． 【小问2详解】 证明：在中，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 小问3详解】 ．证明如下： 如图，延长到点G，使，连接． ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴ 在中，，F为的中点， ∴． ∴． 28. 在平面直角坐标系中，对于点P、点M、点Q，给出如下定义：点P绕点M逆时针旋转得到点，点N为线段的中点（点N不与点重合），则称线段的长为点P关于点M及点Q的“垂中距”，记为． （1）已知点． ①若点，则为______________； ②若点C为y轴上一动点，则的最小值为______________． （2）若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①1．② （2） 【解析】 【分析】（1）①过点作轴交y轴于点D，证明得，，从而，由中点坐标公式求出的中点N的坐标为，进而可求出； ②设，同理可证，，得出，，从而，求出的中点N的坐标为，由勾股定理得，然后利用二次函数的性质即可求解； （2）由题意可知，点A在以点O为圆心，以2为半径的圆上运动，点C在以点O为圆心，以1为半径的圆上运动，将点O绕点C逆时针旋转至点，由新定义可知，点在以以点为圆心，以2为半径的圆上运动，在1为半径的圆O上取点C，在2 为半径的圆O上取点A，点A绕点C旋转90度至点，由旋转的性质得，， ，证明得，，由勾股定理求出，然后在中，利用三角形三边的关系即可求解． 【小问1详解】 ①过点作轴交y轴于点D，则， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴的中点N的坐标为， ∴． 故答案为：1； ②设，如图， 同理可证，， ∴，， ∴， ∵，， ∴的中点N的坐标为， ∴， ∴当时，取得最小值， ∴的最小值是，即的最小值为． 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴点A在以点O为圆心，以2为半径的圆上运动，点C在以点O为圆心，以1为半径的圆上运动， 将点O绕点C逆时针旋转至点，由新定义可知，点在以以点为圆心，以2为半径的圆上运动， 在1为半径的圆O上取点C，在2 为半径的圆O上取点A，点A绕点C旋转90度至点， ∵由旋转的性质得，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 取的中点N，连接，则， ∴， 在中， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，圆的性质，勾股定理，二次函数的性质，难度较大，属中考压轴题，数形结合是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $