专题05函数,压轴题型专项训练(8大题型+压轴题型精析)2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦函数压轴8大高频题型，以母题精讲引领梯度专练，通过无基础题设计实现能力突破，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |自变量取值范围|3题|考查函数定义域确定，含分式、根式综合|从概念辨析到实际问题变量关系| |实际问题函数图象|4题|结合行程、工程等情境分析图象意义|体现数学眼光观察现实世界的应用| |几何动点与函数|3题|动点运动与函数解析式构建，含翻折问题|几何直观与推理能力的综合运用| |分段函数应用|3题|多情境下分段函数建模与计算|数学语言表达现实问题的典型载体| |动点面积函数|3题|动态面积与函数图象关系分析|空间观念与函数思想的结合| |函数图象最值|3题|通过图象探究函数最值，含探究应用迁移|运算能力与数形结合的深化| |函数与几何综合|3题|正方形、矩形中动点与函数综合计算|逻辑推理与综合解题能力的提升| |动点问题函数图象|3题|边框、工作区等复杂路径下面积图象分析|数学思维解决复杂问题的体现|

专题05函数压轴题型专项训练 【温馨提示】8大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.自取量取值范围综合题 题型02.实际问题函数图象分析题 题型03.几何动点到函数解析式题 题型04.分段函数应用题 题型05.动点面积函数问题 题型06.函数图象最值问题 题型07.函数与几何综合计算题 题型08.动点问题的函数图象题 题型01.自取量取值范围综合题 1．函数 中，自变量的取值范围是______． 【答案】且， 【分析】此题考查函数自变量的取值范围，解题关键在于掌握其性质定义． 根据函数解析式，自变量取值范围需满足平方根的被开方数非负、分母不为零以及负指数项底数不为零的条件． 【详解】解：由函数， 平方根部分， ∴要求，解得； 分式分母，解得； 负指数项， ∴要求，即； 综上，自变量的取值范围为且,． 故答案为且,． 2．函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时考虑分式、根式和零指数幂的条件. 根据函数表达式，分式的分母不为零，平方根的被开方数非负，零指数幂的底数不为零，综合可得自变量取值范围. 【详解】解：∵ 函数 有意义， ∴ 需满足： (1) 平方根被开方数非负：，即 ； (2) 分式分母不为零：； (3) 零次幂底数不为零：，即 . 综上， 且 且 . 故选：D. 3．（1）已知函数，求自变量的取值范围． （2）运动员在一圈的跑道上训练，请直接写出他跑一圈所用的时间（单位：s）与跑步速度（单位：）之间的关系，并指出其中的变量和常量． 【答案】（1）；（2），，是变量，400是常量 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于，分式有意义的条件是分母不为；分析原函数式可得关系式，解可得答案； （2）根据常量是变化过程中保持不变的量，变化过程中变化的量是变量，可得答案． 【详解】解：（1）根据题意，得解得． （2），其中，是变量，400是常量． 【点睛】本题考查了函数中自变量有意义的条件，常量与变量，解决本题的关键是熟练掌握这些概念． 题型02.实际问题函数图象分析题 4．小明和小英一起去上学．小明觉得要迟到了，就跑步上学，一会跑累了，便走着到学校；小英开始走着，后来也跑了起来，直到在校门口赶上了小明，问：如图四幅图像中，第______幅描述了小明的行为（填序号）．           【答案】② 【分析】根据题意可得小明先跑后走，速度先快后慢，结合图象逐个进行分析即可． 【详解】解：①随着时间推移，路程没有变化，则速度为0，不符合题意； ②由图可知，速度先快后慢，符合题意； ③随着时间推移，路程均匀变大，则速度没有发生变化，不符合题意； ④由图可知，速度先慢后快，不符合题意； 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了从函数图像获取信息的能力，熟练运用数形结合思想是解本题的关键． 5．如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序． a、运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系） b、静止的小车从光滑的斜面滑下（小车的速度与时间的关系） c、一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系） d、小明从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速度原路返回（小明离A地的距离与时间的关系） 正确的顺序是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】①是抛物线图象；②是一次函数图象；③是分段函数图象；④是正比例函数图象．据此进行解答即可． 【详解】解：a：运动员推出去的铅球的运动轨迹是抛物线，即①所显示的图形； b：静止的小车从光滑的斜面滑下，小车的速度会在0的基础上，随着时间的变化越来越快，即④所显示的图象； c：一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加，弹簧的长度会随着所挂重物的质量的增加而变长，因为弹簧伸长的长度是在原有弹簧长度的基础上变化的，故选②； d：小明从A地到B地这一过程，小明离A地的距离会随着时间的增长而增加；在“停留一段时间”这个过程中，小明离A地的距离不会变化；在“原速度原路返回”的过程中，小明离A地的距离会随着时间的增长而减小，一直到回到原地，即③的图象． 故正确的顺序是． 6．A，B两地之间有一快递中转站C，且它们在同一直线上．快递员甲、乙骑电动车分别从A地、B地同时出发以各自的速度匀速前往中转站C地取货．恰好两人同时到达C地．取货后（取货时间忽略不计）各自沿原路线原速返回，返回途中甲突然想起乙拿错一件快递，于是甲立即掉头以原来速度的3倍追及乙，乙一直保持原速返回B地，经过一段时间，甲赶上乙后，两人立即以甲提速后的速度一起前往中转站C核对信息．已知乙的速度为15千米/时．在此过程中，甲、乙两人距C地的距离和为y（单位：千米）与出发时间x（单位：小时）之间的关系如图所示． 请根据图中的信息解决下列问题： (1)填空：两地距离为______千米， ______； (2)当快递员甲追上快递员乙时，他们距中转站C地多少千米? (3)当两人相距3千米，请直接写出x的值． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】本题考查函数函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图中信息可得两地距离，可算出甲距离快递站距离和速度，再利用速度和乘以时间等于路程和可求得； （2）利用路程差除以速度差可求出甲追上乙的时间，即乙行驶的时间，即可解答； （3）分类讨论，即未到快递站，出快递站，和甲追乙差３千米，三种情况，即可解答． 【详解】（1）解：由图中信息可得两地距离为千米； 甲的速度：千米/时， ， 故答案为：；； （2）解：（小时）， （千米）； （3）解：当未到快递站时，； 当出快递站，； 当甲追乙差３千米时，， 综上，的值为或或． .7．在中，，，设中线的长为，的长为，则与之间的函数关系式为___________，其中的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，解不等式，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，设，根据，列出不等式求得的范围，然后根据，，得到，，从而得到与之间的函数关系式． 【详解】解：过点作于点，设，如图所示： ，是的中点， ， ， ，的长为， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 8．如图，已知中，，，，等边的一边在直角边上移动，当点与点重合时，点恰好落在边上，若设线段为，在移动过程中，等边与两图形重叠部分的面积为．请你写出与的函数关系式为_____． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质、列函数解析式，熟练掌握含30°的直角三角形的性质是解题的关键． 先由点D恰好落在边上，利用含角的直角三角形的特征求得等边的边长是2，再利用含角的直角三角形的特征，，进而利用勾股定理求得，则，根据重叠部分面积求解即可． 【详解】解：当E点与点C重合时，点D恰好落在边上，如图所示： ∵是等边三角形， ，，又， ， 在中，， ∴，即等边的边长是2； 过D作于P， ∴，则， ∴； ∵的长为x，则， ∵，， ∴， ∴，， ，， ， ∴在中，， ，， ， ∴重叠部分面积，又在直角边上移动， ∴， ． 故答案为： 9．如图，在中，，，，E、F分别在边上，将四边形沿翻折得到四边形，点G落在边上． (1)当点G与点C重合时，则的长为______； (2)设，，求y关于x的函数关系式； (3)直接写出折痕的取值范围______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作，根据含度角的直角三角形求出的长，进而求出的长，再根据折叠得到，然后设，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）作交延长线于点L，连接，作于点V，先表示出，进而得出，，然后得出，及，最后根据勾股定理得及，再整理得出答案； （1）先求出的最小值，当点G与点D重合时，，此时；再根据点G与点C重合时，此时，求出，然后根据勾股定理求出，可得，接下来根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：当点G与点C重合时，如图，作于点K， ∵在中，，，， ∴． 在中，， ∴，， ∴． 根据折叠可得， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴； （2）解：过点G作，交延长线于点L，连接，过点A作于点V， 根据（1）可知， 根据题意可知， ∴． 在中，， ∴， ∴，根据勾股定理，得， ∴． 在中，，则． 在中，，则， 整理，得； （3）解：． 过点E作于点N， 当点G与点D重合时，，此时； 当点G与点C重合时，此时， ∴， 即， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴． 在中，， 即， 解得， 所以． 题型04.分段函数应用题题型 10．某大型水果市场连续8天调进一批水果进行批发销售，在开始调进水果的第7天开始批发销售．若进货期间每天调入水果的数量与批发销售期间每天销售水果的数量各自保持不变，这个水果市场的水果存量S（吨）与时间t（天）间的函数关系如图所示，则该水果市场从开始进货到批发销售完毕所用的时间是____天． 【答案】10 【分析】先求得调入水果的速度是4吨/天，销售水果的速度是8吨/天，据此求解即可． 【详解】解：根据题意和图象可得：调入水果的速度是吨/天， 当在第6天时，库存物资应该有24吨，在第8天时库存16吨， 所以销售水果的速度是（吨/天）， 所以剩余的16吨完全调出需要（天）， 故该水果市场这次水果销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是（天）． 11．小明早8点从家骑自行车出发，沿一条直路去公园锻炼，小明出发的同时，他的爸爸锻炼结束从公园沿同一条道路匀速步行回家；小明在公园锻炼了一会后沿原路以原速返回，小明比爸爸早3分钟到家．设两人离家的距离与小明离开家的时间之间的函数关系如图所示，下列说法：①公园与家的距离为1200米；②爸爸的速度为；③小明到家的时间为8：22；④小明在返回途中离家240米处与爸爸相遇．其中，正确的说法有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】根据图象可得：公园与家的距离为1200米，故①正确； 爸爸的速度为：1200÷（12＋10＋3）＝48（m/min），故②正确； ∵10＋12＋10＝22， ∴小明到家的时间为8：22分，故③正确； 小明的速度为：1200÷10＝120（m/min）， 设小明在返回途中离家a米处与爸爸相遇， ， 解得，a＝240， 即小明在返回途中离家240米处与爸爸相遇，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，从图象中获得相关信息，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 12．如图，A，B两地之间有M，C两个景点，秋假期间小云，小敏相约分别从A，B两地同时出发，驾车开往C景点游玩．小云从A地驾车1小时到M景点，先游玩2小时后，又驾车按原速度行驶3小时到达C景点．小敏从B地出发，先以90千米/小时的速度行驶，后又加速，以原速的速度行驶至C景点，比小云早到小时．小云、小敏离C景点的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为______ 千米，图2中______ ，______ ； (2)请求出小敏加速后，S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当小云与小敏之间的距离为450千米时，求t的值； (4)当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)；240； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据时的函数值可得的长，进而可得的长；根据速度等于路程除以时间可求出小云的速度，进而求出小云1小时行驶的路程可得a的值；根据小敏比小云早到小时可求出b的值； （2）设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时，根据路程等于速度乘以时间分别表示出加速前和加速后小敏的路程，进而建立方程求出的值即可得到答案； （3）求出和时二人的距离，可确定当小云与小敏之间的距离为450千米时，，据此建立方程求解即可； （4）求出时二人的距离，可确定当二人相距时，，据此求出当二人相距时t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，， ∴； 由题意得，小云一共花了小时到达C景点，且驾车的时间为小时， ∴小云的速度为， ∴小云驾车1小时的路程为， ∴； ∵小敏比小云早到小时， ∴小敏一共花了小时到达C景点， ∴； （2）解：设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时， 由题意得，， 解得， ∴小敏加速前行驶了2小时， ∴小敏加速前一共行驶了， ∴小敏加速后，S与t的函数关系式为； （3）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴当小云与小敏之间的距离为450千米时，， ∴， 解得； （4）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴由（2）可知，当二人相距时，， 则当二人相距时， 解得， ∴当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时． 题型05.动点面积函数问题 13．在钝角三角形中（如图1），，点P为边上一动点，连接，在直线的上方构造等腰直角三角形，使，连接，设的长为x，的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则的面积为________． 【答案】 【分析】由图2可得，当，，点P运动到点A的位置，过点Q、C分别作的垂线，垂足为D、E，由勾股定理先求出的长，根据全等三角形的判定和性质得到，进而求出面积． 【详解】解：由图2可得，当，，点P运动到点A的位置， 过点Q、C分别作的垂线，垂足为D、E，如图： ∵，，三角形是等腰直角三角形， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为______． 【答案】24 【分析】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键． 根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，漫过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为，根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可求解． 【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚漫过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为， 根据题意得， 解得， 即“几何体”上方圆柱的底面积为， 故答案为：24． 15．如图，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，．动点从八边形顶点出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当运动到点时调头，以原来的速度原路返回，到点处停止运动．的面积为，运动时间为（秒），与的图象如图所示，请回答以下问题： (1) ， ， ； (2)当点第一次在边上运动时，求与的关系式； (3)点在返回过程中，面积为时，求时间的值． 【答案】(1)1；； (2)； (3)的值为或时，面积为． 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，勾股定理，根据函数图象分析点的位置解题的关键． （1）根据图2中的面积最大值为，根据图1得出此时，求出结果即可；延长交于点N，延长交于点M，得，根据图1，结合图2求出，得出，根据图2，得出点P从点运动时间为：，再求出a的值即可； （2）先表示出，然后再根据求出结果即可； （3）分点P在CD上和点P在AB上两种情况，利用三角形的面积公式构造一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：观察图象可知：面积的最大值为， 根据图1可知，面积的最大值为： ， ∵， ∴， ∴，负值舍去； 延长交于点N，延长交于点M，如图所示： ∵八边形相邻的两边互相垂直， ∴四边形，，为长方形， ∴， 根据图2可知，当点P在上运动时，的面积为， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回， ∴根据图2可知：点P从点运动时间为： ， ∴； （2）解：点P第一次在边上运动时，如图所示： ， ∴ ； （3）解：根据图可知：当在上时，的面积为，当在上时，的面积为， ∵面积为 ∴点在或上， 当点在上时，如图， 即， 解得， 当点在上时，如图， 即， 解得， 综上，的值为或时，面积为． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、三角形面积公式，熟练掌握根据函数图象分析点的位置并结合相关公式解题是解题的关键． 题型06.函数图象最值问题 16．如图①，在中，，动点从点出发，沿匀速运动至点后停止．设点运动的路程为，的面积为．若关于的函数图象如图②所示，则的最大值为______．    【答案】 【分析】根据图①可知，当点在段运动时，此时最大．结合图②可知，，过点作于点，根据勾股定理可求出，由此可求出的面积，即为的最大值． 【详解】解：设边上的高为，则，其中固定不变．当点在段运动时，随着的增大而增大，对应图②中的段；当点在段运动时，的值不变，对应图②中的段，此时最大．由图②可知，，． 如图，过点作于点．      在中，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键． 17．如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示． （1）线段的长为________； （2）在整个运动过程中，的最大值为________． 【答案】 3 54 【分析】（1）由函数图象得； （2）当时，，连接，当点与点重合时，的值最大，先证明，再证明，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由函数图象得，函数图象经过点， 当时，， ∴， 故答案为：3； （2）由函数图象得，当动点运动到达点后，， 当点与点重合时，的值最大， 由函数图象经过点， 则当时，， 当时，连接，，作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 当点与点重合时，的值最大，， ∴的最大值为54． 18．（1）[探究]对于函数，当时，；当时，． 在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数的最小值是______； （2）[应用]对于函数． ①当时，______；当时，______；当时，______； ②在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数的最小值是______； （3）[迁移]当______时，函数取到最小值，最小值为______． 【答案】（1）图象见解析，0； （2）①，，，②图象见解析，； （3），． 【分析】此题主要考查了函数与绝对值，函数图象的画法，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）画出函数图象，直接得出结论； （2）①根据的取值范围去绝对值计算即可； ②画出函数图象，即可得出结论； （3）分段去绝对值，合并同类项，得出函数关系式，即可得出结论． 【详解】解：（1）图象如图1所示，函数的最小值是0， 故答案为：0； （2）①当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：，，； ②函数图象如图2所示， 由图象可知，函数的最小值是， 故答案为：； （3）当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上可知，当时，函数取到最小值，最小值为． 故答案为：；． 题型07.函数与几何综合计算题 19．如图1，点从正方形ABCD的顶点出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点运动的路程为，点到线段的距离为，到线段的距离为，且（当点与重合时，设），图2是点运动时随变化的关系图象，则______． 【答案】 【分析】设点为点运动的转折点，结合题图可知，，，，当点沿运动时，有，则点在的平分线上，过点作于点，则，，设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设点为点运动的转折点，结合题图可知，，，，当点沿运动时，有，则点在的平分线上，． 过点作于点，则，， 设，则， 则在中，有， ， 解得（舍去）或， ， ． 20．如图1，在矩形ABCD中，，两动点P，Q同时从点A出发，点P在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点Q沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点Q的运动时间的关系图象如图2所示．则下列结论正确的是（　　） ①点Q的速度是；②矩形的面积为；③；④时，或． A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 【答案】A 【分析】根据题意和函数图象，分析点和点的运动过程，由时，求出点的速度和的长；由到达点的时间确定的值；根据矩形面积公式判断②；根据当时，点到达点，计算此时的面积判断③；分段讨论时的值判断④．　 【详解】解：由题意可知，点的速度为，，则点运动到点的时间为； 观察图2可知，当时，图象发生转折，说明此时点到达点，此时，即 ， 此时， ∴， 解得， ∴点的速度为，故①正确； ∴矩形的面积为，故②错误； 当时，点到达点，此时， 此时点运动路程为， ∵， ∴点在边上，且距离点， 即此时的底边，高为， ∴，即，故③正确； 观察图2可知，当时，图象发生转折，说明此时点到达点， ∴， 当点到达点时，此时， ∴当时，分情况讨论： 当点在上时（），，，，解得（负值舍去）； 当点在上时（），的最小值为时的，最大值为，故不可能为； 当点在上时（），点已停在点，， 点走过的总路程为，则， ， 令，解得， 综上所述，或，故④正确； 综上，正确的结论是①③④． 21．已知在中，． (1)如图1，若，，求长． (2)若点从点出发沿以的速度匀速运动至点停止，图3是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，若，求图3中的值． (3)如图4，若点从点出发，沿射线以的速度匀速运动，运动时间为，，，若为等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或5或8 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得到的长，再利用勾股定理可求出的长； （2）根据函数图象可得，利用勾股定理建立方程求出的长，再求出的面积即可得到答案； （3）分三种情况：，，，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴； （2）解：由函数图象可知， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点从点出发沿以的速度匀速运动至点停止， ∴当点P与点A重合时，的面积有最大值， ∴由函数图象可知a的值即为的面积得到最大值，即； （3）解：由题意得，， 当时，此时点P在边上，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得； 当时，在中，由勾股定理得， ∴； 当时， ∵，即， ∴， ∴； 综上所述，t的值为或5或8． 题型08.动点问题的函数图象题 22．已知动点H以的速度在如图①所示的边框（边框拐角处都互相垂直）上，沿匀速运动，的面积关于时间的函数关系的图象如图②所示．已知，有下列说法：①动点H的运动速度为；②的长为；③b的值为13；④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和．其中正确的是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查动点的函数图象问题，分别表示出点在上运动时，S的值随t的增大的变化情况，再结合函数图象确定点在上运动的时间段，再逐一判断即可． 【详解】解：当点H在上时，如图所示， 由题意得，， ∴， 此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在上时，如图所示，是的高，且，   ∴，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线， ∴，点H从点C向点D运动的过程中，逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ∴，此时三角形面积不变， 当点H在时，如图所示， ∴，点H从点E向点F运动的过程中，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得当时，点H在上，则， ∴，， ∴动点H的速度是，故①正确， 当时，点H在上， ∴动点H由点B运动到点C共用时， ∴，故②正确； 当，点H在上，， ∴动点H由点D运动到点E共用时， ∴，故③正确． 当的面积是时，点H在上或上， 点H在上时，， 解得， 点H在上时， ， 解得， ∴， ∴从点C运动到点H共用时， 由点A到点C共用时， ∴此时共用时， ∴当的面积是时，点H的运动时间是和，故④正确； 故答案为：①②③④． 23．如图，在长方形自动化工作区中，一台巡检小车从点出发，沿的路径匀速运动，最终到达点．设小车运动的时间为（秒），的面积为（平方米）．已知与的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为，最终在时降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（   ） A．当时，的面积为3平方米 B．小车的运动速度为1米／秒 C．长方形的周长为14米 D．在运动过程中，的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒 【答案】D 【分析】本题主要考查了通过函数图象解决几何问题，解题的关键是掌握数形结合的思想． 通过函数图象获取信息，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由图可知，用时4秒，面积达到6平方米，面积每秒的变化为平方米， 当时，的面积为平方米， 该选项正确，不符合题意； B.假设运动速度为米／秒，， 结合图象可得，，联立两个方程可得， ， 该选项正确，不符合题意； C.由选项B可知，小车的运动速度为1米／秒， ∴， ∴长方形的周长为米， 该选项正确，不符合题意； D.由选项A得，面积每秒的变化为平方米， 当的面积增加为2平方米时，， 解得； 当的面积减少为2平方米时，， 解得； ∴这两个时刻之和为， 该选项错误，符合题意； 故选：D． 24．如图①，，，．已知动点以的速度按的路径运动，的面积（单位：）随时间（单位：）的变化如图②所示．若，试回答下列问题： (1)图①中长是多少？ (2)图②中是多少？ (3)图①的面积是多少？ 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）根据题意得：动点在上运动的时间是秒，又由动点的速度，可得的长； （2）由（1）可得的长，又由，可以计算出的面积，计算可得的值； （3）分析图形可得，图①中的图形面积等于，根据图象求出和的长，代入数据计算可得答案． 【详解】（1）解：当时，动点在上运动， ． （2）解：当时，． 此时点在上运动，则． 故是． （3）解：由图②，得，， 则， 图①的面积是． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，坐标与图形的关系等知识，解决问题的关键是深刻理解动点的函数图象所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程，从函数图象中获取相关的信息进行计算． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题05函数压轴题型专项训练 【温馨提示】8大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲+梯度跟踪专练。 所有题目附标准答案+思路分析+步骤详解，无基础题，学生提分、教师备 课直接用，可编辑打印。 题型01.自取量取值范围综合题 题型02.实际问题函数图象分折题 题型03.几何动点到函数解析式题 题型04.分段函数应用题 题型05.动点面积函数问题 题型06.函数图象最值问题 题型07.函数与几何综合计算题 题型08.动点问题的函数图象题 轴 题型01.自取量取值范围综合题 1.函数y=2x+1」 +(x-3)2中，自变量x的取值范围是 1-2x 2.函数y=x+3 (x+2)°中，自变量x的取值范围是() A.x≥3且x≠-2 B.x≥3且x≠0 C.x≥-3且x≠-2 D.x≥-3且x≠0且x≠-2 3.)已知函数=5+)，求自变量的取值范围 (2)运动员在400m一圈的跑道上训练，请直接写出他跑一圈所用的时间t(单位：s)与跑 步速度y(单位：m/s)之间的关系，并指出其中的变量和常量 题型02.实际问题函数图像分析题 4.小明和小英一起去上学.小明觉得要迟到了，就跑步上学，一会跑累了，便走着到学校： 小英开始走着，后来也跑了起来，直到在校门口赶上了小明，问：如图四幅图像中，第 幅描述了小明的行为（填序号）. 试卷第1页，共3页 路程个 路程个 时间 时间 ① ② 路程个 路程个 时间 时间 ③ ④ 5.如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对 应排序。 ③ α、运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系） b、静止的小车从光滑的斜面滑下（小车的速度与时间的关系） c、一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系） d、小明从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速度原路返回（小明离A地的距离与时 间的关系) 正确的顺序是() A.abed B.adbo C.acbd D.acdb 6.A,B两地之间有一快递中转站C,且它们在同一直线上.快递员甲、乙骑电动车分别从 A地、B地同时出发以各自的速度匀速前往中转站C地取货.恰好两人同时到达C地.取货 后（取货时间忽略不计）各自沿原路线原速返回，返回途中甲突然想起乙拿错一件快递，于 是甲立即掉头以原来速度的3倍追及乙，乙一直保持原速返回B地，经过一段时间，甲赶 上乙后，两人立即以甲提速后的速度一起前往中转站C核对信息.己知乙的速度为15千米 时.在此过程中，甲、乙两人距C地的距离和为y(单位：千米)与出发时间x(单位：小 时)之间的关系如图所示 试卷第1页，共3页 y(千米) 12.5 ------ -----N 0 x(小时) 请根据图中的信息解决下列问题： ()填空：AB两地距离为 千米，a= (②)当快递员甲追上快递员乙时，他们距中转站C地多少千米？ (3)当两人相距3千米，请直接写出x的值。 .7.在ABC中，BC=2,AB+AC=3,设中线AM的长为y,AB的长为x,则x与y之 间的函数关系式为 ，其中x的取值范围是 8.如图，已知ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AC=4,等边△DEF的一边在直角边AC上 移动，当点E与点C重合时，点D恰好落在AB边上，若设线段CE为x,在移动过程中， 等边aDEF与Rt△ABC两图形重叠部分的面积为y.请你写出y与x的函数关系式为 B D 9.如图，在口ABCD中，AB=4,BC=6,∠B=60°，E、F分别在AD、BC边上，将四 边形ABFE沿EF翻折得到四边形EFHG,点G落在CD边上. (1)当点G与点C重合时，则AE的长为： 试卷第1页，共3页 (2)设CG=x,BF=y,求y关于x的函数关系式； (3)直接写出折痕EF的取值范围 题型04.分段函数应用题题型 10.某大型水果市场连续8天调进一批水果进行批发销售，在开始调进水果的第7天开始批 发销售.若进货期间每天调入水果的数量与批发销售期间每天销售水果的数量各自保持不变， 这个水果市场的水果存量S(吨)与时间t(天)间的函数关系如图所示，则该水果市场从 开始进货到批发销售完毕所用的时间是天， ASy吨 24 16 68 天 11.小明早8点从家骑自行车出发，沿一条直路去公园锻炼，小明出发的同时，他的爸爸锻 炼结束从公园沿同一条道路匀速步行回家；小明在公园锻炼了一会后沿原路以原速返回，小 明比爸爸早3分钟到家.设两人离家的距离s(m)与小明离开家的时间t(min)之间的函数关 系如图所示，下列说法：①公园与家的距离为1200米；②爸爸的速度为48m/min;③小明 到家的时间为8：22；④小明在返回途中离家240米处与爸爸相遇.其中，正确的说法有() 个 As(m) 1200 10 12 t(min) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.如图，A,B两地之间有M,C两个景点，秋假期间小云，小敏相约分别从A,B两地 同时出发，驾车开往C景点游玩.小云从A地驾车1小时到M景点，先游玩2小时后，又 驾车按原速度行驶3小时到达C景点.小敏从B地出发，先以90千米/小时的速度行驶，后 又加速，以原速的速度行驶至C景点，比小云早到1,5小时，小云、小敏离C景点的距离 S(千米)与行驶的时间t(小时)之间的函数图象如图2所示， 试卷第1页，共3页 S(千米) 480 320 a- M 3 (小时) 图1 图2 (I)AB两地的距离为 千米，图2中a= ，b= (2)请求出小敏加速后，S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围： (3)当小云与小敏之间的距离为450千米时，求t的值： (4)当小云与小敏之间的距离在180~450千米（包括端点）时，请直接写出t的取值范围. 题型05.动点面积函数问题 13.在钝角三角形ABC中（如图1），AB=AC,点P为边AB上一动点，连接PC,在直 线CP的上方构造等腰直角三角形CPQ,使CP=PQ,连接BQ,设BP的长为x,BPQ的 面积为y,若y关于x的函数图象如图2所示，则ABC的面积为 2W5 0 25走 图1 图2 14.如图①，底面积为30cm的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”， 现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关 系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2,求“几何体”上方圆柱体的底面积为 cm2. 试卷第1页，共3页 h/cm 1824 42於 图① 图② 15.如图1，己知八边形ABCDEFGH相邻的两边互相垂直，且AB=AH,DC=DE.动点 P从八边形顶点A出发，沿着八边形的边以每秒am的速度逆时针运动，当P运动到点E时 调头，以原来的速度原路返回，到A点处停止运动.△PAH的面积为Scm),运动时间为t (秒)，S与t的图象如图2所示，请回答以下问题： H G S(cm2) 50 E 25 D 6 16 1(s) 图1 图2 (1)AB=_cm,DE=_cm,a=_cm/s; (2)当点P第一次在边CD上运动时，求S与t的关系式： (3)点P在返回过程中，△AHP面积为40cm2时，求时间t的值 题型06.函数图象最值问题 16.如图①，在口ABCD中，∠C=60°，动点P从点A出发，沿A→B→C匀速运动至点C 后停止.设点P运动的路程为x,△APD的面积为y.若y关于x的函数图象如图②所示， 则y的最大值为 图① 图② 17.如图1，在ABC中，∠C=90°，D为边AC上一点.动点E以每秒1个单位长度的速 度从点A出发，沿折线AB-BC匀速运动，到达点C后停止，连接DE,设点E的运动时间 为x(单位：秒)，DE2为y.在动点E运动的过程中，y与x的函数图象如图2所示。 试卷第1页，共3页 E B O 图1 图2 (1)线段AD的长为 (2)在整个运动过程中，y的最大值为 18.(1)[探究]对于函数y=x,当x≥0时，y=x;当x<0时，y=-x. 在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数y=x的最小值是 5 4 3 3 2 2 5-4-3-2-10 12345x -5-4-3-2-10 12345x +-2 -3 3 -4 4 5 2》应用对于函数yk-++2。 ①当x≥1时，y=；当x≤-2时，y=；当-2<x<1时，y=; 1 ②在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数y=,-+x+2的最小值是 ； (3)[迁移]当x=时，函数y=x-1+2x-1+3x-1++9x-1取到最小值，最小值 为 题型07.函数与几何综合计算题 19.如图1，点M从正方形ABCD的顶点A出发，沿直线运动到正方形ABCD内部一点， 再从该点沿直线运动到顶点D,设点M运动的路程为x,点M到线段AD的距离为m,到 试卷第1页，共3页 线段CD的距离为n,且”m=y(当点M与D重合时，设y=1),图2是点M运动时y随x变 化的关系图象，则AB= D C (M)A B V10 V0+32x 图1 图2 20.如图1，在矩形ABCD中，AB=4cm,两动点P,Q同时从点A出发，点P在边AB上 以1cm/s的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点Q沿A→D→C→B的路径匀速运动， 到达点B时停止运动.△AQP的面积S(cm)与点Q的运动时间t(s的关系图象如图2所示. 则下列结论正确的是() D A B 图1 图2 ①点Q的速度是1cm/s;②矩形ABCD的面积为6Cm2;③a=4;④S=l.5cm时，t=√5或 29 4 A.①③④ B.①②③ C.①③ D.①④ 21.己知在ABC中，∠ACB=90°. Ay/cm2 A 7A 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，若∠A=30°，AB=6,求AC长. (②)若点P从点B出发沿B→A→C以1cm/s的速度匀速运动至点C停止，图3是点P运动时， △BCP的面积ycm)随时间x(s变化的函数图象，若BC=3cm,求图3中a的值. 试卷第1页，共3页 (3)如图4，若点P从点A出发，沿射线AC以1cm/s的速度匀速运动，运动时间为s, AC=4cm,BC=3cm,若△ABP为等腰三角形，直接写出t的值. 题型08.动点问题的函数图象题 22.己知动点H以xCm1s的速度在如图①所示的边框（边框拐角处都互相垂直）上，沿 A→B→C→D→E→F匀速运动，△HAF的面积S(cm)关于时间t(s的函数关系的图 象如图②所示.已知AF=8cm,有下列说法：①动点H的运动速度为2cm/s;②BC的长为 6cm；③b的值为13；④在运动过程中，当△HAF的面积是30cm时，点H的运动时间是 3.75s和9.25s.其中正确的是 (填序号)》 F E S/cm2 D 40 5 8126 图① 图② 23.如图，在长方形自动化工作区ABCD中，一台AGV巡检小车P从点A出发，沿 A→B→C→D的路径匀速运动，最终到达点D,设小车运动的时间为x(秒)，△PAD的 面积为y(平方米).已知y与x的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分 别为(0,0)(4,6)人(7,6)，最终在x=11时y降为0.根据图像信息，下列关于工作区和运动过 程的分析，错误的是() 几何示意图 面积y(平方米)4 y与x的函数图象 7 6 (4,6)(7,6) 4 32 1/0,0) (11,0) 012345678910m2时间x(秒) A.当x=9时，△PAD的面积为3平方米 B.小车的运动速度为1米/秒 C.长方形ABCD的周长为14米 试卷第1页，共3页 D.在运动过程中，△PAD的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10 秘 24.如图①，AB∥CD∥EF,BC DE‖AF,AB⊥BC.己知动点P以lcm/s的速度按 B→C→D→E→F→A的路径运动，△ABP的面积S(单位：cm)随时间t(单位：S) 的变化如图②所示.若AB=4cm,试回答下列问题： AS/cm2 D BbP→ C 46911 btls 图① 图② (1)图①中BC长是多少？ (2)图②中a是多少？ (3)图①的面积是多少？ 试卷第1页，共3页