专题22 一次函数中规律、最值、平移、旋转与新定义型问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题22 一次函数中规律、最值、平移、旋转与新定义型问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、一次函数中的规律探究问题 类型二、一次函数中求线段和最值问题 类型三、一次函数中直线平移的综合问题 类型四、一次函数中直线旋转的综合问题 类型五、一次函数中分段函数探究问题 类型六、一次函数中的新定义型综合问题 压轴专练 类型一、一次函数中的规律探究问题 1.分析前几项，寻找模式：根据题目给出的条件，先求出前几个点的坐标或前几条直线的解析式。 把这些具体的例子列出来，仔细观察它们之间的变化规律。 2.归纳猜想，写出通项：根据发现的模式，猜想出第n项的表达式。 这可能是一个坐标  (n, y) ，也可能是一个函数解析式  y = knx + bn 。 用含n的式子把规律表示出来。 3.验证规律，确保正确：把猜想的通项公式代入到已知的项中进行检验。 如果符合，说明规律很可能是对的。也可以用数学归纳法等方式进行严格证明。 例1．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在直线上，点，，，…在x轴上，且，，，…均是等腰直角三角形，其中，，，…分别是它们的直角顶点，则点的纵坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，罗列纵坐标得出一般规律，再按照规律求出的纵坐标即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则，， 设，则， 将代入直线，得， 解得， ∴点的纵坐标为． 设，则， 将代入直线，得， 解得， ∴点的纵坐标为． 同理可得点的纵坐标为，点的纵坐标为 则点的纵坐标为． 【变式1-1】（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，……如此运动下去，则点的纵坐标为________． 【答案】2 【分析】此题主要考查坐标的规律探索，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质，找到坐标规律进行求解．根据题意作出点，连接，易知四边形，，都是平行四边形，然后根据一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形，可以发现点与点重合，由此可知动点每运动次为一个循环，由此可以求出点的纵坐标． 【详解】解：对于， 令，得， ， 如图，根据题意作出点，连接，易知四边形，，都是平行四边形， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ∴点与点重合，由此可知动点每运动次为一个循环， 又， ∴点与点重合，即点的纵坐标为． 【变式1-2】（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：和直线：，点是直线上一点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的横坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律的横坐标为（为正整数），由此即可解答． 【详解】解：当时，代入得, ． 当时，代入得, ． 当时，代入得，解得， ． 同理可得，，，，， 的横坐标为（为正整数）， ， 点的横坐标为． 【变式1-3】（25-26八年级下·全国·周测）正方形，，，…按如图所示的方式放置．点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化，找出点的纵坐标是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点、、、…的纵坐标，根据点坐标的变化找出点的纵坐标，依此即可得出结论． 【详解】解：如图，设直线与轴的交点为． ∵直线与轴、轴的交点坐标分别为，， 是等腰直角三角形． 又∵四边形，，，…是正方形， ，，，…都是等腰直角三角形， ，，，，，…， ∴点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， …… 点的纵坐标为． 故答案为：． 类型二、一次函数中求线段和最值问题 1.寻找对称点：这是最关键的一步。找到其中一个定点关于已知直线的对称点。 这样做的目的是把要求的"折线"转化为"直线"。 2.计算最短距离：连接另一个定点和刚才找到的对称点。 这条线段与已知直线的交点就是使得线段和最小的点。 两点间的距离就是我们要求的最小值。 3.代数化求解：如果需要求出具体的坐标或数值，可以通过计算对称点坐标。 然后求出连线的函数解析式。最后计算与已知直线的交点，完成解答。 例2．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，两点的坐标为，，点在轴上，当取最小值时，点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称性质，两点之间线段最短，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键在于熟练掌握将军饮马模型． 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，由对称的性质，以及两点之间线段最短，可知当与重合时，取最小值，且最小值为的长，根据对称得到坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求出点的横坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 由对称的性质可知，， ， 结合两点之间线段最短，可知当与重合时，取最小值，且最小值为的长， ，两点的坐标为，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， 点的横坐标为 故答案为：． 【变式2-1】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上，轴，垂足为C，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，先求出两点坐标，进而求出，得到，勾股定理求出的长，证明为等腰直角三角形，得到，进而得到的周长，得到当最小时，的周长最小，根据垂线段最短，结合等积法求出的长即可． 【详解】解：在函数中，当时，，当时，， ，， ∴， ∴，， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小， ∴当时，最小， 此时：， ∴， ∴， ∴的周长最小为； 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，已知正比例函数的图象与x轴相交所成的锐角为，定点A的坐标为，P为y轴上的一个动点，M、N为函数的图象上的两个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称，最短问题，垂线段最短，直角三角形角的性质，勾股定理，利用轴对称性，找到正确的的位置是解答本题的关键． 作直线与轴关于直线对称，直线与直线关于轴对称，点是点关于直线的对称点，作，作，此时最小，即，在中，利用勾股定理得到答案． 【详解】解：如图，直线与轴关于直线对称，直线与直线关于轴对称，    点是点关于直线的对称点， 作，垂足为，交轴于点，交直线于点，作， ∴，， ， 此时最小， 在中， ，，， ∴， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级上·四川达州·期中）如图 1 ，已知直线l与x轴交于点，与y轴交于点，且a，b满足，以为直角顶点在第一象限内作等腰，其中上，． (1)求直线l的解析式和点C的坐标； (2)如图2，点M是的中点，点P是直线l上一动点，连接、，求的最小值，并 求出当取最小值时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当取最小值时，在直线上是否存在一点Q ，使？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)的最小值为5，此时点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据算术平方根的非负性可求得，，得，的坐标，再利用待定系数法即可求得直线的解析式，过点作轴，利用证明，结合其性质可得点的坐标； （2）根据中点坐标公式可得，延长至，使得，即点为的中点，可知，垂直平分，连接，则，得，当点在直线上时取等号，由勾股定理求得，利用待定系数法得直线的解析式为，当点在直线上时，即直线与直线相交，联立方程组即可求得此时点的坐标为； （3）根据题意得，过点作轴交直线于，可知，分情况：当点在点右侧时，当点在点、点之间时，当点在点左侧时，结合三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 即，，则，， 设直线的解析式为， 将，，代入得，，解得：， ∴， 过点作轴，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 则点的坐标为； （2）由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵点是的中点， ∴点的坐标为，即：， 延长至，使得，即点为的中点， ∴点的坐标为，即， ∵， ∴垂直平分， 连接，则， ∴，当点在直线上时取等号， 由勾股定理可得：， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点在直线上时，即直线与直线相交， 得，解得：， 即此时点的坐标为， 综上，的最小值为5，此时点的坐标为； （3）存在，理由如下： ∵， 则， 过点作轴交直线于， 此时，则，即， ∴，则， 当点在点右侧时，， ∴， 解得：， 当时，， 即此时点的坐标为； 当点在点、点之间时，，不符合题意； 当点在点左侧时，， ， 解得：， 当时，， 即此时点的坐标为； 综上，存在点的坐标为或时，． 类型三、一次函数中直线平移的综合问题 1. 掌握平移规律：直线平移时，斜率k保持不变。 - 向上平移m个单位，解析式变为  y = kx + b + m  - 向下平移m个单位，解析式变为  y = kx + b - m  - 向左平移m个单位，解析式变为  y = k(x + m) + b  - 向右平移m个单位，解析式变为  y = k(x - m) + b  2. 结合几何条件：题目通常会给出平移后的直线经过某点，或与坐标轴围成特定面积。 利用这些条件，将已知点坐标代入平移后的解析式，或结合面积公式列出方程。 3. 求解未知参数：通过解方程求出平移后的截距b'，从而确定平移后直线的完整解析式。 例3．在平面直角坐标中，直线分别与x轴、y轴交于点A与点B，过点B作交x轴于点C．过点C作y轴的平行线交于点D． (1)求线段与的长度； (2)现将线沿A至C向右平移2个单位长度得线段（如图），求线段在整个平移过程中扫过图形的面积； (3)试探索在平移过程中，在直线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有符合要求的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)4 (3)存在，或 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、平移性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质，添加合适的辅助线求解是解答的关键． （1）求得点A、B坐标即可求解； （2）根据平移性质得到线段在整个平移过程中扫过图形是平行四边形，且，利用平行四边形的面积公式求解即可； （3）设平移距离为b，则，，设，利用勾股定理求得，则设，分当M在下方时和当M在上方时两种情况，利用全等三角形的判定与性质，结合坐标与图形列方程求的b值即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，，则， ∴； 当时，由得， 则， ∴； （2）解：连接， 根据平移性质，线段在整个平移过程中扫过的图形是平行四边形，且， ∴线段在整个平移过程中扫过图形的面积为； （3）解：存在．理由如下， 设平移距离为b，则，， 设，由题意，，， ∴， 解得， ∴设， 当M在下方时，如图，过M作轴，过E作轴交于P，过F作轴交于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 解得，则； 当M在上方时，如图， 同理可证，， ∴，， 解得，则， 综上，满足条件的点E的坐标为或． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，，，，且． (1)直接写出点A，B的坐标及c的值； (2)如图1，若三角形的面积为9，求点C的坐标； (3)如图2，将线段向右平移m个单位长度得到线段（点A与D对应，点B与E对应），若直线恰好经过点C，求m，n之间的数量关系． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【知识点】坐标与图形、一次函数图象平移问题、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】（1）由，可得，计算求解，然后作答即可； （2）由，，可知轴，则，计算求解，然后作答即可； （3）待定系数法求直线的解析式为，则平移后的解析式为，将代入得，，整理即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，， ∴，，； （2）解：∵，， ∴轴， ∴， 解得，或， ∴或； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入得， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴平移后的解析式为， 将代入得，，整理得，． 【变式3-2】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）综合与实践 问题情境： 如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A ，交轴于点B，过点B的直线交轴正半轴于点C．    初步探究： (1)当时，求直线的函数解析式； 深入探究： (2)在（1）的基础上，将沿着 方向平移到如图2的位置，得到，线段与交于点G，若G恰好是的中点，求平移的距离； 拓展延伸： (3)如图3，将沿着 翻折，得到四边形为菱形，继续沿着方向平移，得到，连，．试探究：在平移的过程中，四边形是否能成为矩形，若能求出平移的距离；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)平移的距离为 (3)能，平移的距离为6 【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，设，在中，利用勾股定理列方程求出x，然后用待定系数法即可求出直线的函数解析式； （2）取的中点H，连接，利用三角形的中位线求出的长即可求解； （3）连接，设平移的距离为，则，在中，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，由得 ∴ ∴ 当时， ∴ ∴ 设 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中 ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为 把，分别代入中 ∴ ∴直线的解析式为 （2）解：取的中点H，连接 ∵G是的中点    ∴， ∵ ∴ ∴GH= 由平移可得： ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴平移的距离为 （3）解：能．连接，    设平移的距离为 则 ∵四边形为菱形 ∴，，， ∴ ∴ 由平移性质得， ∴， ∴四边形为平行四边形 ∴当时，四边形为矩形 在中 ∴ ∴ ∴平移的距离为6 【变式3-3】（24-25八年级上·广东深圳·期中）创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数图象的平移实际上是图象上每个点沿着相同的方向平移，平移前后两个对应点之间的距离叫做平移距离． 【探究发现】 （1）以一次函数如何平移得到一次函数为例进行探究． ①请在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象，与轴交于点，与轴交于点； ②观察图象发现，将点、点分别向上平移 个单位，平移后的点在直线上．事实上，将一次函数图象上的每个点按上述方式平移，平移后的点都在直线上，平移距离为4个单位． ③请你尝试再写出另一种点的平移方式：将一次函数图象上的点向 平移，平移距离为 个单位，可得直线． ④若要使得平移距离有最小值，点，应该如何平移，请在平面直角坐标系中，作出平移后的对应点，． 【深入探究】 （2）将一次函数按平移距离最小值的方式平移到，则平移距离为 （用，表示）． 【拓展升华】 （3）如图，已知正方形各边平行于坐标轴，且边长为，点坐标为，若线段，且点，在直线上，平移线段使得线段端点恰好落在正方形的边上，则平移距离的最小值为 ． 【答案】（1）①见解析；②4；③左，4；④见解析；（2）；（3） 【分析】（1）①求出直线与坐标轴的交点即可作图；②由点向上平移4个单位与直线上的重合，即可确定平移距离；③同理可求直线与轴交点为，而，则向左平移4个单位与点重合，继而直线向左平移4个单位得到直线；④根据垂线段最短即可确定平移方式； （2）同上可求，，则，，为等腰直角三角形，则，设，则由勾股定理得：，即可求解； （3）同上可得，延长交于点，可得，则由上知当沿着方向平移时，落在正方形的边上时，平移距离最短，即为长， 在等腰中，，同上可得，可求，，由得，则， 那么． 【详解】解：（1）①当， 当，则， ∴， 则作图如图： ②对于直线，当， ∴点向上平移4个单位与重合，向上平移4个单位与重合， 故答案为：4； ③同理可求直线与轴交点为，而， ∴向左平移4个单位与点重合， ∴直线向左平移4个单位得到直线， 故答案为：左，4； ④点即为所求 过点分别作直线的垂线，垂足为，由垂线段最短得到直线沿射线方向平移，平移距离为； （2）记直线与与轴分别交于点，如图 同上可求， ∴， ∴， 同理， 由题意得， 则为等腰直角三角形， ∴， 设， 则由勾股定理得：， 解得：（舍负）， 即平移距离为 故答案为：； （3）同上可得，延长交于点， 由得， ∴， 同上可得， ∴， ∴ ∴由上知当沿着方向平移时，落在正方形的边上时，平移距离最短，即为长， 在等腰中，，同上可得， 由平移得， ∴， ∵四边形为正方形， ∴轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 同理为等腰直角三角形， ∴， 由得， ∴， ∴， ∴平移得最小值为， 故答案为：． 类型四、一次函数中直线旋转的综合问题 方法总结 1. 抓旋转中心：绕某点旋转时，该点坐标不变，利用此点建立前后直线方程的联系。 2. 斜率关系：旋转90°时，新k与原k互为负倒数(k ≠ 0)；旋转特殊角度时，结合三角公式求新斜率。 解题技巧 1. 先求中心点坐标：通过已知条件求出旋转中心的准确坐标。 2. 点斜式建方程：已知中心点和旋转后的斜率，用点斜式直接写出新直线方程。 例4．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）【模型建立】 （1）如图①，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：． 【模型应用】 （2）如图②，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转至直线的位置，求直线的函数表达式． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）先证明，进而用即可证明； （2）作交直线于点，作轴于点，由旋转得，则，由（1）可得，求解两点坐标，得到长度，确定坐标，设直线的函数表达式，把代入，求解即可． 【详解】（1）证明： 于点 于点， ，， ， 又， ； （2）解： 如图，作交直线于点，作轴于点， 由旋转得：， ， ， ∴由（1）同理可得， ， 直线，当时， 则， 解得； 当时，， ， ， ， ， 设直线的函数表达式为， 把代入， 得 ， 解得 ， 直线的函数表达式为． 【变式4-1】（25-26七年级上·山东泰安·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】如图1，等腰直角三角形中，，．过A作于点D，过B作于点E．试说明：； 【模型应用】如图2，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰，求点C的坐标及直线的表达式； 【深入探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求的面积． 【答案】模型呈现：说明见解析；模型应用：；；深入探究： 【分析】模型呈现：先根据直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的判定即可证明结论； 深入探究：过点C作轴于点H，先证明，可得，，则点，再用待定系数法求直线的解析式即可； 深入探究：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，同样先证明，可求得，再用待定系数法求直线的解析式，进一步求出，的长，即可求得答案． 【详解】模型呈现： 证明：在中，，， ， 于点，于点， ， ， ， 在和中，， ； 模型应用： 解：令，则， 令，则， 则点A，B的坐标分别为：、， 过点C作轴于点H，如图所示： ， ， ， ， 又，， ， ，， ， 则点， 设直线的解析式为， 将点A、C的坐标代入一次函数表达式得：， 解得， 故直线的表达式为； 深入探究： 解：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，如图： 把代入得， 解得， 把代入得， ，， ，， 直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 在中，令得， ， ， ， 的面积为． 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）【模型建立】 （1）如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点． 求证：≌； 【初步应用】 （2）将点绕坐标原点逆时针旋转，得到点，则点坐标为______； 将点绕坐标原点逆时针旋转，得到点，则点坐标为______． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图象为直线，将直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线，则直线相应的一次函数表达式为______． 【综合运用】 （4）将函数的图象先向上平移个单位，再向左平移个单位，最后再绕着坐标原点逆时针旋转，所得图象相应的函数表达式为______． 【答案】（1）见解析；（2），；（3）；（4） 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，点的坐标的确定方法，旋转的性质，借助（1）的结论是解本题的关键． （1）利用同角的余角相等判断出，即可得出结论； （2）利用（1）的结论判断出，，即可得出点的坐标，点的坐标同求点的方法； （3）先求出点，的坐标，借助（1）的结论求出点的坐标即可得出结论； （4）先求出平移后的直线的解析式，再借助（2）的方法得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点作轴于，过点作轴于， ， ，， 同（1）的方法知，， ，， ， 同求点的方法得，， 故答案为，； （3）解：如图， 令，则， ， ，令，则， ， ， ， 将直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线， 过点作轴于， 同（2）的方法得，， ，， ， 点绕点逆时针旋转的对应点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 故答案为：； （4）解：如图， 直线先向上平移个单位的解析式为，再向左平移个单位的解析式为，得到直线的解析式为， 取直线的一点， 绕着坐标原点逆时针旋转， 同的方法得，直线上的点绕原点逆时针旋转的对应点， 设旋转后的直线的解析式为， ， ， 旋转后的直线的解析式为， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26八年级上·江苏苏州·周测）【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为___________，___________，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为___________． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．将一次函数的图象关于轴对称，所得图象对应的函数表达式为___________； 【深度思考】 （4）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，将直线绕点逆时针旋转90°，则所得图象对应的函数表达式为___________． ②如图2，将直线绕点逆时针旋转45°．则所得图象对应的函数表达式为___________． 【拓展应用】 （5）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为___________． 【答案】（1）；（2），，；（3）；（4）①；②；（5）或 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）找出与坐标轴的交点坐标，进而求出关于x轴对称点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （4）①设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D，结合全等三角形的性质可求解A，C的坐标，再利用待定系数法可求对应的函数表达式； ②过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E，结合全等三角形的性质可求解A，D的坐标，再利用待定系数法可求得解析式； （5）分A为直角顶点和B为直角顶点讨论，根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为． 故答案为：； （2）∵，， ∴将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ∴． ∴． ∴过点、的直线对应的函数表达式为． 故答案为：，，； （3）设一次函数的图象与y轴的交点为点A，与x轴的交点为点B， ∵， 当时，， ∴点， 当时，，解得， ∴点． 如图， ∵一次函数的图象关于x轴对称，， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； （4）①如图，设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； ②如图，过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E， ∵将直线绕点A逆时针旋转， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； （5）当A为直角顶点时，过C作轴于M，过B作轴于N，如图， 则， 又， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 当B为直角顶点时，过B作轴于N，过C作于M，如图， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 综上，C的坐标为或． 类型五、一次函数中分段函数探究问题 1.理解分段的意义：首先要弄清楚为什么要分段。 - 通常是因为在不同的自变量范围内，变量之间的变化规律不同 - 例如：出租车计价、水电费收取等问题 - 不同区间对应不同的收费标准 2.求出各段解析式：在每个自变量的子区间内，把它当作普通一次函数问题来解。 - 利用待定系数法求出该区间对应的函数解析式 - 注意明确写出每段函数的自变量取值范围 3.综合应用解决问题：根据题目要求，判断需要用到哪一段或几段函数。 - 将数值代入对应的解析式进行计算 - 确保计算时使用的是自变量所在区间的那一段表达式 例5．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)函数的自变量的取值范围是___________． (2)下表是与的几组对应值：                0 1 2 3 1 3 写出表中的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (4)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于图象上两点，若，则_________(填“>”，“=”或“<”)； ②当时，若对于的每一个值，函数的值都大于一次函数的值，则的取值范围是_________． 【答案】(1)全体实数 (2)0 (3)见详解 (4)①<；②且 【知识点】求自变量的值或函数值、判断一次函数的图象、求自变量的取值范围、用描点法画函数图象 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键． （1）由图表可知可以是任意实数； （2）把代入即可求得； （3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可； （4）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）解：函数中自变量可以是任意实数； 故答案为：任意实数； （2）当时，， ∴． （3）函数图象如图所示； （4）观察该函数图象： ①对于图象上两点，若，则； ②当时，若对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则的取值范围是且． 故答案为：①；②且． 【变式5-1】探究函数的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究： (1)在函数中，自变量x可以是任意实数，下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 4 … y … 0 1 2 3 4 3 2 1 a … 表格中a的值为________； (2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象； (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为________； ②写出该函数的一条性质________． 【答案】(1)0 (2)见解析； (3)①4；②函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、用描点法画函数图象、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上的点的坐标特点，利用数形结合思想． （1）代入x的值即可求出a即可得出答案； （2）描点，连线即可； （3）①根据函数图象可知最大值；②根据图象得出函数性质即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 故答案为：0； （2）解：描点，画出函数图象如图所示： ； （3）解：根据函数图象可知： ①函数最大值为4； 故答案为：4； ②由图象可知该函数的一条性质：函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）； 故答案为：函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）． 【变式5-2】某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是该小组的探究过程，请补充完整： (1)列表： x … 0 1 2 3 … y … b 1 0 1 2 … 其中，______； (2)描点并连线； 在下面平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)根据图象直接写出函数图象的两条性质． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)①当时，随值的增大而增大，当时，随值的增大而减小；②函数图象关于直线对称（答案不唯一） 【知识点】用描点法画函数图象、判断一次函数的增减性、求一次函数自变量或函数值 【分析】 本题考查的知识点是一次函数图像及一次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握一次函数图像及一次函数的性质． （1）把代入函数解析式，求出y的值即可； （2）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可； （3）根据函数图象即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，． ∴， 故答案为：2． （2）描点、连线，画出函数图象，如图所示． （3）观察函数图象，可知： ①当时，随值的增大而增大，当时，随值的增大而减小； ②函数图象关于直线对称； ③当时，函数有最小值1． 类型六、一次函数中的新定义型综合问题 1.仔细阅读，理解定义：这是最重要的一步。 - 题目会给出一个全新的概念或运算规则 - 比如"伴随函数"、"等距点"等 - 逐字逐句分析定义，直到完全理解它的数学含义 2.转化定义，建立联系：把新定义翻译成我们熟悉的数学语言。 - 将文字描述转化为坐标、解析式或几何图形 - 建立新定义与一次函数知识的桥梁 - 如"两点关于直线对称"可转化为中点在直线上，且连线与直线垂直 3.运用知识，求解问题：利用转化后的数学模型和已知条件。 - 通过列方程、计算等方式解决问题 - 得出答案后，再用新定义检验一遍，确保符合题意 例6．（24-25八年级上·陕西·期末）定义：在平面直角坐标系中，将直线中a和b的值都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”，例如直线的“2倍伴随线”的函数解析式为． (1)求直线的“3倍伴随线”的函数表达式； (2)若点在直线的“2倍伴随线”上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，新定义． （1）根据“k倍伴随线”的定义即可得出答案； （2）先求出直线的“2倍伴随线”函数的表达式为，再将点代入之中即可求出m的值． 【详解】（1）解：根据“k倍伴随线”的定义得：的“3倍伴随线”的函数表达式为：； （2）解：∵直线的“2倍伴随线”函数的表达式为：， 又∵点在直线的“2倍伴随线”上， ∴点在直线上， ∴， 解得：． 【变式6-1】（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下定义：若点的坐标为，则称点为点的“倍点”． (1)①若点的坐标为，点为点的“倍点”，则点的坐标为 ； ②当是直线与轴的交点时，点的“倍点”的坐标为 ． (2)已知点，，若对于直线上任意一点，在直线上都有点，使得点为点的“倍点”，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、求一次函数的解析式、一次函数的性质、“倍点”的定义，熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）①依据题意，由点的坐标为，点为点的“倍点”，据此解答即可；依据题意，由当是直线与轴的交点时，则，进而可得点的“倍点”的坐标为，据此解答即可； （2）先运用待定系数法求得的解析式为，又为直线上任意点，则可设，结合为点的“倍点”可得，把点代入可得出，化简为，进而完成解答． 【详解】（1）解：①点的坐标为，点为点的“倍点”， ，即． 故答案为：． ②∵当是直线与轴的交点时， ． 点的“倍点”的坐标为． 故答案为：． （2）解：设直线为， 又，， ． ，． 直线为． 又为直线上任意点， 设， 又为点的“倍点”， 又在直线上， ， ． ． 的任意性， ． ． 【变式6-2】（24-25八年级下·四川宜宾·期中）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”，例如，求一次函数图象的“亮点”时，解方程组，得，则一次函数图象的“亮点”为． (1)求一次函数图象的“亮点”； (2)若一次函数图象的“亮点”为，求、的值； (3)若一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，且一次函数的图象上没有“亮点”，点在轴上，，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)，； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了新定义，一次函数与正比例函数的交点问题，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义，联立方程组，求解即可； （2）根据题意把代入，解得，得到一次函数，“亮点”为，再把代入，求出即可； （3）先求出一次函数解析式，得到点坐标，再求得，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：由题意联立得： ， 解得：， ∴一次函数图像的“亮点”是； （2）解：∵一次函数图象的“亮点”为， ∴把代入，得：， 解得：， ∴一次函数，“亮点”为， 把代入，得：， 解得：； （3）解：∵一次函数的图象上没有“亮点”， ∴与平行， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴设点， ∴ ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 【变式6-3】（24-25八年级下·福建莆田·期末）定义：一次函数是一次函数的“倍函数”，已知直线的解析式为，直线是直线的“倍函数”． (1)请直接写出的解析式； (2)如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴交于点． ①直线上有一点且在第一象限，若直线，直线与轴无法围成三角形，，求点的坐标； ②若点是轴上一个动点，当时，求直线的解析式 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据新定义可得函数表达式； （2）①根据直线，直线与轴无法围成三角形，得，即，证明四边形为平行四边形，得，，确定，得，求出，，再根据在第一象限，可得结论； ②分两种情况：点在轴负半轴上；点在轴的正半轴上，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵直线是直线的“倍函数”， ∴的解析式为； （2）① ∵直线，直线与轴无法围成三角形，直线上有一点且在第一象限， ∴，即，如图， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵直线与轴交于点， 当时，得：， ∴， ∴， ∵直线与轴，轴分别交于点，， 当时，得：；当时，得：， ∴，， 又∵在第一象限， ∴； ②若点在轴负半轴上， ∵，，，，， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， 过点作交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点， ∴是等腰直角三角形，，， ∴，，，， ∵， ∴， 在和中，， ∴ ， ∴，， 又∵点在第三象限， ∴， 设直线的解析式为， 代入点，，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得：， ∴， ∴； 若点在轴的正半轴上，设为点，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入点，，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 综上所述，直线的函数解析式为或． 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如果通过平移直线得到，那么直线须（    ） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移中解析式的变化规律是：左加右减；上加下减是解题的关键． 根据对应点的平移得到平移中解析式的变化规律，可得出答案． 【详解】解：∵ 直线 平移后得到，且斜率不变， ∴ 平移是竖直方向的. 对于点在上，平移后对应点应满足， 即当 时，，平移后得到的点坐标为， ∵ 点 向下移动个单位到， ∴直线 向下平移 个单位得到 . 故选：B． 2．（2025·福建泉州·三模）已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意得出旋转后的函数解析式为 然后根据解析式求得与 x轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论． 本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是求出旋转后的函数解析式． 本题属于基础题，难度不大． 【详解】解：∵ ∴函数的图象与坐标轴的交点坐标为， ， 故图象绕x轴上一点 旋转后的新坐标，， 设新解析式为， 根据题意，得， 解得， 故函数的解析式为， 又图象经过， ∴ 解得． 3．（25-26八年级上·广东深圳·月考）在直角坐标系中，等腰直角三角形按如图所示的方式放置，其中点均在一次函数的图象上，点均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点的坐标的规律． 首先，根据等腰直角三角形的性质求得点，的坐标；然后，将点，的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线的解析式为；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点，的横坐标为，即可求得点的坐标，进一步可得答案． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 是等腰直角三角形，， ， 点的坐标为， 同理，在等腰直角三角形中，，，则， 和均在一次函数的图象上， ， 解得， 该直线的解析式为， 和的横坐标相同，都是3， 当时，，即，则， ， …… 以此类推，，的横坐标为， 当时，， 点的坐标为． 点的坐标为． 故选：D． 4．（25-26八年级上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，另一点A的坐标为，则以下结论： ①点P在直线上； ②若设的面积为S，当时，； ③的最小值为； ④的周长最小值为； ⑤若点P在第四象限，过P作轴于点E，轴于点F，长方形的周长始终为8． 其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、三角形面积与周长的计算、点到直线的距离及对称变换的应用的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据点P的坐标满足直线方程判断①；代入值计算三角形面积验证②；利用配方法求的最小值判断③；通过找点关于直线的对称点，利用两点之间线段最短求周长最小值判断④；根据矩形周长公式计算判断⑤，然后即可求解； 【详解】解：∵点的坐标为， ∴当时，，满足，故①正确； 当时，； ∵，， ∴，到轴距离为， ∴，故②正确； ， ∴，故③正确； 将关于直线对称得， 则的最小值为， ∴周长最小值为，故④正确； 当在第四象限时，且， ，， 矩形周长，故⑤正确； 综上，所有结论均正确， 故选：D； 二、填空题 5．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数第一象限的图象上有一点，过点作轴的垂线段，垂足为，连接，则的周长的最小值是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的图象与坐标轴的交点，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积，垂线段最短．设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，令，可求得点B的坐标，令可求出点C的坐标，从而得到，的长，的面积．设点P的坐标为（），则，当垂直一次函数的图象时，取得最小值时，的周长为最小．根据的面积可求得的最小值，即可解答． 【详解】如图，设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C， 把代入函数中，得， 解得， ∴点B的坐标为， 把代入函数中，得， ∴点C的坐标为， ∵点P是一次函数第一象限的图象上的一点， ∴设点P的坐标为（）， ∵轴于点A， ∴，， ∴ ∴当垂直一次函数的图象时，取得最小值，的周长为最小． ∵，， ∴，， ∴， ， ∵，即， ∴， 即的最小值为，的最小值为． 故答案为：． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象的函数表达式是_______； （2）若将直线向上平移个单位长度后经过点，则的值为_______； （3）将直线向右平移个单位长度后所得图象对应的函数表达式为_______； （4）将直线向左平移个单位长度后经过点，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，进行计算即可． 【详解】解：（1）将的图象向下平移个单位长度，所得图象的函数表达式为； （2）直线向上平移个单位长度后，得到的直线表达式为， ∵该直线经过点， ∴； （3）将直线向右平移个单位长度，所得图象的函数表达式为； （4）直线向左平移个单位长度后，得到的直线表达式为， ∵该直线经过点， ∴， 解得． 7．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，一次函数的图像分别与轴、轴交于，两点，过原点作垂直于直线交于点，过点作垂直于轴交轴于点，过点作垂直于直线交于点，过点作垂直于轴交轴于点，依此规律作下去，则点的坐标是____________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形、正方形的性质，点的坐标与线段长度之间的互相转化是解决问题的关键． 根据一次函数的图象分别与轴、轴交于，，可得是等腰直角三角形，可求出点的坐标，进而可以得出，也是等腰直角三角形，求出点的坐标，点的坐标，根据点，点，点的坐标呈现的规律，可以得出点的坐标． 【详解】解：在中， 令，则；令，则， ∴，． ． ∴是等腰直角三角形． ， ． ∴是等腰直角三角形． ， ． ∴是等腰直角三角形． ． ， ． ∴是等腰直角三角形． ． 由此可得，，，，，， 当时，， 解得 ． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·全国·周测）如图，一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于，两点． （1）____________． （2）将该直线绕点顺时针旋转得直线，过点作交直线于点，则直线的函数解析式为__________________． 【答案】 1 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过证得三角形全等求得点的坐标． （1）根据待定系数法即可求得； （2）过点作轴于点，通过证得，即可求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：（1）一次函数的图象经过点， ， 解得． 故答案为：1． （2）一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， 令，则；令，即，则， ，， ，． 如图，过点作轴于点． ，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将，代入， 得， 解得， 直线的函数解析式为． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）【问题情境】数学课上老师出示了这样一道题：在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，求平移后直线的函数解析式． 小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为； 小谢认为平移前后直线中的“k”值不变，只要求出b的值即可．他的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把点A按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数解析式． 在分享交流中，老师肯定了他们的做法．小雯很感兴趣，又继续进行了以下探究： 【解决问题】 （1）小雯用小谢的方法尝试解决老师给出的问题：将点向上平移3个单位长度后的对应点的坐标为 ，利用待定系数法求得过点的直线的函数解析式为 （2）小雯提出了一个新的问题，请同学们用以上方法解答，将直线向左平移3个单位长度，平移后直线的函数解析式为 ，利用上下平移的规律，将直线向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度也能得到这条直线； 【拓展应用】 （3）如果直线与直线关于y轴对称，求这条直线的函数解析式． 【答案】（1）；（2），下，6；（3） 【分析】本题考查了坐标与图形变换-平移，轴对称，待定系数法求解析式，解题的关键是得到平移后经过的一个具体点． （1）由平移的性质可求点坐标，设平移后的直线解析式为，利用待定系数法可求解； （2）平移后的直线的解析式的不变，设出相应的直线解析式，可求向左平移 3 个单位后的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得，也就求得了所求的直线解析式； （3）根据上述方式在直线上找两点，求出其关于y轴对称的坐标，再根据待定系数法直线解析式即可． 【详解】解：（1）点向上平移 3 个单位后的点的坐标为， 设平移后的直线解析式为， 代入得，则， 所以过点的直线的解析式为； 故答案为：； （2）可设平移后的直线解析式为， ∵原直线经过点， ∴点向左平移 3 个单位后点， 代入新直线解析式得：， ， ∴平移后直线的解析式为：， 由（1）可知，另外直接将直线向下平移 6 个单位也能得到直线； 故答案为：，下，6； （3）当时，，直线与轴的交点坐标为， 当时，，解得，直线与轴的交点坐标为， 点关于轴的对应点的坐标分别为， 把分别代入得， 解得， ∴直线的表达式为． 10．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，依此类推，得到直线上的点，与直线上的点． （1）的纵坐标为_____； （2）的长为_____（用含有n的式子表示）． 【答案】 2 【分析】本题考查了一次函数的性质及点的坐标求解． （1）先求出的坐标，再根据平行于x轴求出的纵坐标； （2）通过求出前几个的长度，找出规律，进而得到的表达式． 【详解】解：（1）∵平行于x轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同， 当时，， ∴， ∴点的纵坐标为2， 故答案为：2； （2）把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 通过观察可得：，， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图1，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为直角顶点在第一象限内作等腰，其中． (1)求直线的解析式和点的坐标； (2)如图2，点是的中点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点的坐标； (3)在（2）的条件下，当取最小值时．直线上存在一点，使，求点坐标．（直接写出答案） 【答案】(1)； (2)5； (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴，则，证明，得到，则，即可得到点的坐标； （2）延长至，使得，即点为的中点，当点在直线上时，即直线与直线相交，联立解析式即可求出答案； （3）分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）， ， 设直线的解析式为， 将，，代入得， ， 解得：， ， 过点作轴，则， ， ， 又， ， ， ， 则点的坐标为； （2）由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点是的中点， 点的坐标为，即：， 延长至，使得，即点为的中点， 点的坐标为，即， ， 垂直平分， 连接，则， ，当点在直线上时取等号， 由勾股定理可得：， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 直线的解析式为：， 当点在直线上时，即直线与直线相交， 得，解得：， 即此时点的坐标为， 综上，的最小值为5，此时点的坐标为； （3）， 则， 过点作轴交直线于， 此时，则，即， ，则， 当点在点右侧时，， ， 解得：， 当时，， 即此时点的坐标为； 当点在点、点之间时，，不符合题意； 当点在点左侧时，， 解得：， 当时，， 即此时点的坐标为； 综上，存在点的坐标为或时，． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数的表达式，利用轴对称的性质求短路线，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，理解一次函数的图象，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，利用轴对称的性质求短路线的方法，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 12．（25-26八年级上·江苏苏州·周测）【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为___________，___________，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为___________． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．将一次函数的图象关于轴对称，所得图象对应的函数表达式为___________； 【深度思考】 （4）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，将直线绕点逆时针旋转90°，则所得图象对应的函数表达式为___________． ②如图2，将直线绕点逆时针旋转45°．则所得图象对应的函数表达式为___________． 【拓展应用】 （5）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为___________． 【答案】（1）；（2），，；（3）；（4）①；②；（5）或 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）找出与坐标轴的交点坐标，进而求出关于x轴对称点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （4）①设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D，结合全等三角形的性质可求解A，C的坐标，再利用待定系数法可求对应的函数表达式； ②过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E，结合全等三角形的性质可求解A，D的坐标，再利用待定系数法可求得解析式； （5）分A为直角顶点和B为直角顶点讨论，根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为． 故答案为：； （2）∵，， ∴将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ∴． ∴． ∴过点、的直线对应的函数表达式为． 故答案为：，，； （3）设一次函数的图象与y轴的交点为点A，与x轴的交点为点B， ∵， 当时，， ∴点， 当时，，解得， ∴点． 如图， ∵一次函数的图象关于x轴对称，， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； （4）①如图，设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； ②如图，过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E， ∵将直线绕点A逆时针旋转， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； （5）当A为直角顶点时，过C作轴于M，过B作轴于N，如图， 则， 又， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 当B为直角顶点时，过B作轴于N，过C作于M，如图， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 综上，C的坐标为或． 13．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即， 定义理解： （1）如图2，若直线l的表达式为 与x轴和y轴分别交于A，B两点，求．（点O为坐标原点） 定义运用： （2）如图3，将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m，与x轴和y轴分别交于D，C两点，当 时 （点O为坐标原点），求平移距离n的值； 定义拓展： （3）在（2）的条件下，y轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形，且点Q关于直线l的“L路径”与直线m有交点．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握求一次函数与坐标轴交点的方法以及讨论等腰三角形的存在性． （1）求出点A和点B的坐标，即可解答； （2）求出点C和点D的坐标，根据，列出方程，即可解答； （3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：当点Q在y轴上时，分3种情况进行讨论，结合“L路径”的定义，即可解答． 【详解】解：（1）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ； （2）∵将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m， ∴直线m： ， 把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ， ， 解得：； （3）， 、， 根据勾股定理可得：， 点Q在y轴上，共分为三种情况： 第一种情况，当时， 或， 点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符合题意， 即只有符合题意； 第二种情况，当时， ， ， ； 第三种情况，当时， 设， ， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：， ； 综上所述，存在，点的坐标为或或． 14．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）定义：在平面直角坐标系中，将直线..的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点① 、②、③、④，在的 “k 倍伴随线”上的点有 （填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（ ）； A．   B．   C．   D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确的是 （填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值． 【答案】1．（1）②④；（2）B；（3）②；（4）或3． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据“k倍伴随线”求解即可； （2）依据“k倍伴随线”求解即可； （3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再将横、纵坐标都乘以，得，再将代入可得结果； （4）先求出，，再求出直线的“k倍伴随线”为，再分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）∵将横、纵坐标都乘以2，得到， 将横、纵坐标都乘以3，得到， ∴在的“k 倍伴随线”上的点有②、 ④， 故答案为：②④； （2）直线经过，将这两点横、纵坐标都乘以2，得， 设直线的“2倍伴随线”关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴直线的“2倍伴随线”关系式为， 故选：B； （3）直线中，令，得，令，得， ∴经过，将这两点横、纵坐标都乘以，得， ∵直线的“k倍伴随线”记为． ∴将代入得：， 故答案为：②； （4）直线中，令，得，令，得， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的“k倍伴随线”为， 将，，横、纵坐标都乘以，得到，， ∴， ∴直线的“k倍伴随线”为， ∵为等腰直角三角形，如图，分三种情况讨论： 当且时， ， ∴， ∴， ∴， 当且时， ， ∴， ∴， ∴， 当且时， 得， ∴， ∴， 综上所述，或3 15．（25-26九年级上·辽宁本溪·月考）定义：形如为用自变量表示的代数式，为常数）的函数叫做“翻折函数”．“翻折函数”本质是分段函数． 例如，可以将“翻折函数”写成分段函数的形式： 探索并解决下列问题： (1)将“翻折函数”写成分段函数的形式； (2)直线与（1）中“翻折函数”图像交于、两点（点在点的左侧），点在直线下方的“翻折函数”图象上，且，求出点坐标 (3)当时，（1）中“翻折函数”的最大值和最小值的差是定值，直接写出的取值范围 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的增减性，求一次函数的自变量和函数值，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）分和两种情况，分别去绝对值求出y关于x的函数关系式即可得到答案； （2）联立和可求出点A和点B的坐标，过点C作轴交于D，设，则，可得，分和两种情况，求出的长，根据可建立关于m的方程，解方程即可得到答案； （3）由函数解析式可得当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，则当时，y有最小值，再分，即时，，即时和，即时三种情况，分别求出函数的最大值与最小值，看最大值与最小值的差是否为定值即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴； （2）解：联立，解得，此时满足， 联立，解得，此时满足， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； 如图所示，过点C作轴交于D，设，则， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴点C的坐标为； 当时，， ∴， ∴， 解得 ∴， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； （3）解：∵， ∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∴当时，y有最小值， 在中，当时，， 在中，当时，，当时，， 当，即时， 当时，则的最大值为4，最小值为， ∴的最大值和最小值的差为， ∵的最大值和最小值的差为定值，而不是定值， ∴此种情形不成立； 当，即时， 当时，则的最大值为4，最小值为， ∴的最大值和最小值的差为，是定值，符合题意； 当，即时， 当时，则的最大值为，最小值为， ∴的最大值和最小值的差为， ∵的最大值和最小值的差为定值，而不是定值， ∴此种情形不成立； 综上所述，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题22一次函数中规律、最值、平移、旋转与新定义型问题 的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、一次函数中的规律探究问题 类型二、一次函数中求线段和最值问题 类型三、一次函数中直线平移的综合问题 类型四、一次函数中直线旋转的综合问题 类型五、一次函数中分段函数探究问题 类型六、一次函数中的新定义型综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、一次函数中的规律探究问题 1.分析前几项，寻找模式：根据题目给出的条件，先求出前几个点的坐标或前几条直线的解析式。 把这些具体的例子列出来，仔细观察它们之间的变化规律。 2.归纳猜想，写出通项：根据发现的模式，猜想出第n项的表达式。 这可能是一个坐标(n,y),，也可能是一个函数解析式y=kx+bn。 用含n的式子把规律表示出来。 3.验证规律，确保正确：把猜想的通项公式代入到已知的项中进行检验。 如果符合，说明规律很可能是对的。也可以用数学归纳法等方式进行严格证明。 例1.(2026九年级黑龙江齐齐哈尔专题练习)如图，在平面直角坐标系中，点A,A,4,…在直线 1 5+上，点B,B,B,在x轴上，且△0AB,AB4B,△B,4B,均是等腰直角三角形， 5 中A,A,A,分别是它们的直角顶点，则点A26的纵坐标为 A: B B B: 【变式1-】2026九年级黑龙江齐六哈公专题练习)如图，直线=音+8与x轴、y分别交于4，B 1/21 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 两点，一动点从点P(0,6)出发，沿平行于OA的直线运动，到达AB上的点P处，再沿平行于OB的直线运 动，到达OA上的点B处，再沿平行于AB的直线运动，到达OB上的点B处，再沿平行于OA的直线运动， 到达AB上的点P处，.如此运动下去，则点P26的纵坐标为 y B P3 【变式1-2】(2026九年级黑龙江齐齐哈尔·专题练习)如图，在平面直角坐标系中，己知直线4：y=x和 1 直线：少=2，点4，是直线上一点，过点4作x轴的垂线交于点4，过点4作y轴的垂线交 于点A,过点4作x轴的垂线交于点A,过点A作y轴的垂线交马于点A,过点A作x轴的垂线交于 点A,依次进行下去，则点A26的横坐标为 【变式1-3】(25-26八年级下·全国周测)正方形AB,C0,AB,CC1,AB,C,C2,按如图所示的方式放 置.点A,A,4,.和点C,C,C,分别在直线yx1和x轴上，则点B26的纵坐标为 A B2 B 2/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、一 次函数中求线段和最值问题 1.寻找对称点：这是最关键的一步。找到其中一个定点关于已知直线的对称点。 这样做的目的是把要求的“折线”转化为”直线”。 2.计算最短距离：连接另一个定点和刚才找到的对称点。 这条线段与已知直线的交点就是使得线段和最小的点。 两点间的距离就是我们要求的最小值。 3.代数化求解：如果需要求出具体的坐标或数值，可以通过计算对称点坐标。 然后求出连线的函数解析式。最后计算与己知直线的交点，完成解答。 例2.(25-26八年级上·安徽安庆期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，己知A,B两点的坐标为2,3)， (-1,2),点C在x轴上，当AC+BC取最小值时，点C的横坐标为 【变式2-1】(24-25七年级下山东烟台期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+√2的图象与 x轴交于点A,与y轴交于点B,点P在线段AB上，PC⊥y轴，垂足为C,则△COP周长的最小值为 【变式2-2】(24-25八年级下广东广州期中)如图，己知正比例函数y=kx(k>0)的图象与x轴相交所成 的锐角为70°，定点A的坐标为(0,6)，P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx(k>0)的图象上的两个 动点，则AM+MP+PN的最小值为 3/21 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2-3】(24-25八年级上四川达州期中)如图1，己知直线1与x轴交于点Aa,0),与y轴交于点 B(0,b),且a,b满足V2a-2+(3-b)2=0,以A为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△ABC,其中上 ∠BAC=90°，AB=AC. 图1 图2 备用图 (1)求直线1的解析式和点C的坐标； (2)如图2，点M是BC的中点，点P是直线1上一动点，连接PM、PC,求PM+PC的最小值，并求出 当PM+PC取最小值时点P的坐标： ③)在(2)的条件下，当PM+PC取最小值时，在直线PM上是否存在一点Q,使S,心0)？若存 9 在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 类型三、一次函数中直线平移的综合问题 1 掌握平移规律：直线平移时，斜率k保持不变。 向上平移m个单位，解析式变为y=a+b+m 向下平移m个单位，解析式变为y=+b-m 向左平移m个单位，解析式变为y=kc+m)+b 向右平移m个单位，解析式变为y=c-m)+b 2.结合几何条件：题目通常会给出平移后的直线经过某点，或与坐标轴围成特定面积。 利用这些条件，将已知点坐标代入平移后的解析式，或结合面积公式列出方程。 3.求解未知参数：通过解方程求出平移后的截距b,从而确定平移后直线的完整解析式。 4/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例3.在平面直角坐标中，直线y=5 x+2分别与x轴、y轴交于点A与点B,过点B作BC⊥AB交x轴于 点C.过点C作y轴的平行线交AB于点D. (备用图) (1)求线段OA与OB的长度： (2)现将线AB沿A至C向右平移2个单位长度得线段EF(如图)，求线段AB在整个平移过程中扫过图形的 面积； (3)试探索在平移过程中，在直线CD上是否存在点M,使△MEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，若存在， 请求出所有符合要求的点E的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式3-1】在平面直角坐标系中，A(-5,a),B(b,5),C(c,n),且√a-1+(b+2)2+2c+4=0. R D 图1 图2 (1)直接写出点A,B的坐标及c的值； (2)如图1，若三角形ABC的面积为9，求点C的坐标： (3)如图2，将线段AB向右平移m个单位长度得到线段DE(点A与D对应，点B与E对应)，若直线DE恰 好经过点C,求m,n之间的数量关系。 【变式3-2】(24-25八年级下·山西吕梁期末)综合与实践 问题情境： 如图1，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,过点B的直线交x轴正半轴于 点C 5/21 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 图1 图2 图3 初步探究： (I)当∠BAC=∠ABC时，求直线BC的函数解析式； 深入探究： (②)在(1)的基础上，将∠ABC沿着CA方向平移到如图2的位置，得到△DEF,线段EF与AB交于点G, 若G恰好是AB的中点，求平移的距离： 拓展延伸： (3)如图3，将ABC沿着AC翻折，得到四边形AB'CB为菱形，继续沿着CA方向平移ABC,得到△DEF ,连DB,CE.试探究：在平移的过程中，四边形DB'CE是否能成为矩形，若能求出平移的距离；若不能， 请说明理由。 【变式3-3】(24-25八年级上·广东深圳期中)创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数 y=kx+b(k≠0)图象的平移实际上是图象上每个点沿着相同的方向平移，平移前后两个对应点之间的距离 叫做平移距离. 【探究发现】 (1)以一次函数y=x+1如何平移得到一次函数y=x+5为例进行探究. ①请在平面直角坐标系中，画出一次函数y=x+1的图象，与x轴交于点A,与y轴交于点B; ②观察图象发现，将点A、点B分别向上平移_个单位，平移后的点在直线y=x+5上.事实上，将一次函 数y=x+1图象上的每个点按上述方式平移，平移后的点都在直线y=x+5上，平移距离为4个单位。 ③请你尝试再写出另一种点的平移方式：将一次函数y=x+1图象上的点向平移，平移距离为个单 位，可得直线y=x+5. ④若要使得平移距离有最小值，点A,B应该如何平移，请在平面直角坐标系中，作出平移后的对应点A, B'. 6/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 Z543-2012345 -2 -3 -4 -5 【深入探究】 (2)将一次函数y=x+b按平移距离最小值的方式平移到y=x+b2,则平移距离为_（用b,b2表示). 【拓展升华】 (3)如图，已知正方形ABCD各边平行于坐标轴，且边长为42，点A坐标为2√2,2√2，若线段PQ=2, 且点P,Q在直线y=-x+8上，平移线段PQ使得线段端点恰好落在正方形ABCD的边上，则平移距离的最 小值为_ 7 4 2 420i2456789 类型四、一次函数中直线旋转的综合问题 方法总结 1.抓旋转中心：绕某点旋转时，该点坐标不变，利用此点建立前后直线方程的联系。 2.斜率关系：旋转90°时，新k与原k互为负倒数k≠0)；旋转特殊角度时，结合三角公式求新斜率。 解题技巧 1.先求中心点坐标：通过已知条件求出旋转中心的准确坐标。 2.点斜式建方程：已知中心点和旋转后的斜率，用点斜式直接写出新直线方程。 例4.(25-26八年级上·山东菏泽期末)【模型建立】 (I)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA,直线ED经过点C,过点A作 AD⊥ED于点D,过点B作BE⊥ED于点E,求证：△BEC≌△CDA. 7/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【模型应用】 (2)如图②，己知直线l:y=2x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线绕点A逆时针旋转45°至 直线的位置，求直线的函数表达式： 40 ② 【变式4-1】(25-26七年级上山东泰安·期末)“一线三垂直”模型是“一线三等角模型的特殊情况，即三个等 角的度数为90°，且三组边相互垂直，称为“一线三垂直”模型.当模型中有一组对应边长相等时，模型中必 定存在全等三角形， 【模型呈现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA.过A作AD⊥ED于点D,过B作 BE⊥ED于点E.试说明：△BEC≌△CDA; 【模型应用】如图2，己知直线y=2x+2与y轴，x轴分别交于A,B两点，以B为直角顶点在第二象限作 等腰Rt△ABC,求点C的坐标及直线AC的表达式； 【深入探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y=-4x+4与y轴交于点P,与x轴交于点Q,将直 线PQ绕P点沿顺时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R.求△POR的面积. D R BO 图1 图2 图3 【变式4-2】(25-26八年级上江苏南京·月考)【模型建立】 (I)如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA,直线ED经过点C,过点A作AD⊥ED于 点D,过点B作BE⊥ED于点E. 求证： BEC≌ACDA; 【初步应用】 (2)将点A(3,2)绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点，则点A坐标为； 8/21 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 将点B(-3,4)绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点B,则点B坐标为 【解决问题】 (3)已知一次函数y=2x-4的图象为直线1，将直线1绕它与x轴的交点P逆时针旋转90°，得到直线1， 则直线1相应的一次函数表达式为· 【综合运用】 (4)将函数y=-2x的图象先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，最后再绕着坐标原点0逆时针旋转 90°，所得图象相应的函数表达式为 【变式4-3】(25-26八年级上江苏苏州周测)【提出问题】 (1)将一次函数y=-2x+2的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 【初步思考】 (2)将一次函数y=-2x+2的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式.数学 活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点A(0,2),B(1,0),将它们沿着 x轴方向向左平移3个单位长度，得到点A,B的坐标分别为 B 从而求出 经过点A,B的直线对应的函数表达式为 【解决问题】 (3)已知一次函数y=-2x+2的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B.将一次函数y=-2x+2的图象关于 x轴对称，所得图象对应的函数表达式为 【深度思考】 (4)图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，将直线y=-2x+2绕点A逆时针旋转90°，则所得图象对应的函数表达式为 ②如图2，将直线y=-2x+2绕点A逆时针旋转45°.则所得图象对应的函数表达式为 【拓展应用】 (5)如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知点A2,0),点B(4,1),点C在第一象限内，若ABC是以 9/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB为直角边的等腰直角三角形，则点C的坐标为 3 ----,B B A 1234衣 =-2x+2 -2x+2 图1 图2 图3 类型五、一次函数中分段函数探究问题 1.理解分段的意义：首先要弄清楚为什么要分段。 通常是因为在不同的自变量范围内，变量之间的变化规律不同 例如：出租车计价、水电费收取等问题 不同区间对应不同的收费标准 2.求出各段解析式：在每个自变量的子区间内，把它当作普通一次函数问题来解。 利用待定系数法求出该区间对应的函数解析式 注意明确写出每段函数的自变量取值范围 3.综合应用解决问题：根据题目要求，判断需要用到哪一段或几段函数。 将数值代入对应的解析式进行计算 确保计算时使用的是自变量所在区间的那一段表达式 例5.小明根据学习函数的经验，对函数y= 2+x的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全 下面的过程 1 (1)函数y=二x+x的自变量x的取值范围是 (2)下表是y与x的几组对应值： -3 -2 y 2 2 2 写出表中m的值： (3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象： 10/21