第七章 复数章节题型训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章 复数章节题型总结 目录 题型1：复数的概念与分类 2 题型2：复数的四则运算 3 题型3：相等复数及复数范围内方程的根 6 题型4：复数的几何意义 8 题型5：复数的模 10 题型1：复数的概念与分类 【例1.1】 若为实数，是纯虚数，则复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】复数的基本概念 【分析】根据复数的概念得出的值即可. 【详解】为实数，则， 是纯虚数，则， 则 故选：D 【例1.2】 已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复数的基本概念、根据相等条件求参数 【分析】由题意得，解方程即可 【详解】因为的实部与虚部相等， 所以，解得， 故选：C. 【例1.3】 以的虚部为实部、的实部为虚部的复数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.91 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据实部、虚部的定义，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意的虚部为，则所求复数的实部为， 的实部为，则所求复数的虚部为， 则所求复数为. 【例1.4】 复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.92 【知识点】求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算 【详解】由题意可得：的共轭复数 ， 所以的虚部为. 题型2：复数的四则运算 【例2.1】 计算（为虚数单位）的结果是（   ） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.99 【知识点】复数加减法的代数运算 【详解】． 【例2.2】 若（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.92 【知识点】虚数单位i及其性质、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算法则求解. 【详解】因为，所以. 【例2.3】 已知复数满足（i为虚数单位），则（    ） A．1 B． C．i D． 【答案】D 【难度】0.74 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算、虚数单位i及其性质 【分析】根据的计算公式化简求，再化简求. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 【例2.4】 复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【详解】. 所以复数的虚部是. 【例2.5】 已知复数是纯虚数，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【详解】. 因为该复数为纯虚数，因此且，解得. 【例2.6】 设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、根据相等条件求参数 【分析】根据复数的四则运算结合题目条件即可求出实数的值. 【详解】， 所以，解得． 故选：D 【例2.7】 若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、共轭复数的概念及计算 【分析】设，根据得到方程组，求出，再利用复数乘法和乘方法则计算出答案. 【详解】设，则，， 又，故，解得， 故，. 故选：C. 【例2.8】 设，已知是关于的方程的两个虚根. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)32 【难度】0.65 【知识点】复数范围内方程的根、一元二次方程的解集及其根与系数的关系、复数的乘方 【分析】（1）利用实系数一元二次方程的韦达定理，由求出，再结合虚根条件，即可求得的取值范围； （2）先通过韦达定理和求出和，再解方程求出两个虚根，最后通过利用的周期性即可求得结果. 【详解】（1）（1）对于实系数一元二次方程，有， 又因为，所以，即， 因为是关于的方程的两个虚根， 所以，即， 所以的取值范围为. （2）由韦达定理知，，即，， 因为，所以， 因为方程有虚根，所以，所以，即. 所以方程为，解得，即， 所以， 故. 题型3：相等复数及复数范围内方程的根 【例3.1】 若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据相等条件求参数、已知复数的类型求参数 【详解】由题可知，解得 【例3.2】 已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据相等条件求参数、复数的相等 【分析】根据复数相等公式，列式求解. 【详解】由条件可知，，解得. 【例3.3】 已知复数是关于的方程的一个复数根，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数范围内方程的根、复数的相等、复数代数形式的乘法运算 【详解】由题意可得，即，解得. 【例3.4】 已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，若复数是大于5的实数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.8 【知识点】已知复数的类型求参数、复数范围内方程的根、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据实系数一元二次方程的虚根共轭成对，利用韦达定理，求出实数和的值，再由复数能与实数5比较大小，建立关于的不等式，求解即可. 【详解】已知是实系数方程的根， 根据实系数一元二次方程虚根共轭成对定理，另一个根为 两根和：，得； 两根积：，解得 只有实数才能比较大小，则必须是实数，且大于5. 展开乘积： 若满足大于5，需满足两个条件： 1. 虚部为0： 2. 实部大于5：把代入实部， 得：. 题型4：复数的几何意义 【例4.1】 在复平面内，对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限、复数的坐标表示 【分析】根据复数的运算法则，结合几何意义，即可得答案. 【详解】由题意，得点坐标为，位于第三象限. 【例4.2】 在复平面内，复数和分别对应点M，N，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数的坐标表示、复数的向量表示 【分析】利用复数的几何意义进行求解. 【详解】由题意可知,那么对应复数为. 【例4.3】 在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、实轴、虚轴上点对应的复数 【分析】根据复数的几何意义，构造方程得解. 【详解】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或. 故选：A. 【例4.4】 在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】实轴、虚轴上点对应的复数、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算法则化简复数，即可根据对称求解. 【详解】由可得， 故， 故选：B. 【例4.5】 在复平面内，复数对应的点在第二象限，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数 【详解】因为复数在复平面内对应的点在第二象限， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【例4.6】 已知复数（，为虚数单位），z在复平面内对应的点为Z. (1)若z为纯虚数，求的值. (2)若且与的夹角为锐角，求的范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.82 【知识点】已知复数的类型求参数、根据复数对应坐标的特点求参数、向量夹角的坐标表示 【详解】（1）因为复数z为纯虚数，则：且，故. （2）与的夹角为锐角，, 或，故m的取值范围为. 题型5：复数的模 【例5.1】 复数的虚部为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.92 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模 【详解】的虚部为. 【例5.2】 若复数，则＝________________ ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求复数的模 【详解】复数，所以 【例5.3】 已知复数满足，则___________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数的相等、求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】设的代数形式为代入已知方程，利用两个复数相等得的方程组，解方程组可得. 【详解】设，则， 则， 可得，解得， 即，所以. 【例5.4】 在复平面内，复数对应的点是，则（ ） A．5 B． C．2 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的几何意义，可得，根据运算法则，结合求模公式，即可得答案. 【详解】由题意知，，则， 所以. 【例5.5】 （多选）在复平面内，复数对应点分别为.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.68 【知识点】复数的坐标表示、由复数模求参数 【分析】设，根据题设条件列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】设， 因为，可得， 解得或， 所以或. 【例5.6】 若复数z满足，则复数可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的坐标表示、求复数的模 【详解】因为复数满足，即复数对应的点Z到点的距离与到点的距离相等， 记点，点，即复数对应的点一定在线段的垂直平分线上，即在直线上，所以复数的实部一定是，所以复数可以是. 【例5.7】 若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（   ） A．[4，6] B． C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数及复数模的几何意义求解即可. 【详解】在复平面内，设对应的点为， 则表示到点的距离为， 表示动点到点的距离， 因为， 所以． 【例5.8】 （多选）设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则（    ） A． B．若，则最大值为 C．若，则点的集合所构成的图形的面积为 D．若复数是关于的方程的一个虚根，则 【答案】BCD 【难度】0.6 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、求复数的模、复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算 【分析】选项A通过举反例判断复数平方与模平方不等；选项B、C利用复数模的几何意义转化为圆问题求解；选项D利用实系数方程虚根共轭性质及韦达定理推导． 【详解】设， 对于A，，，二者不相等，A错误； 对于B， 表示复平面内点在以为圆心，半径为的圆上， 表示点到点的距离． 圆心到的距离为，所以的最大值为，B正确； 对于C， 表示复平面内点在以为圆心、内半径、外半径的圆环内， 圆环面积，C正确； 对于D，实系数二次方程有虚根，则，解得， 实系数方程的虚根共轭成对，，，且， 由韦达定理得，，所以，， 因为，所以，D正确． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 复数章节题型总结 目录 题型1：复数的概念与分类 2 题型2：复数的四则运算 2 题型3：相等复数及复数范围内方程的根 3 题型4：复数的几何意义 3 题型5：复数的模 4 题型1：复数的概念与分类 【例1.1】 若为实数，是纯虚数，则复数为（   ） A． B． C． D． 【例1.2】 已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【例1.3】 以的虚部为实部、的实部为虚部的复数是（  ） A． B． C． D． 【例1.4】 复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A． B．2 C． D． 题型2：复数的四则运算 【例2.1】 计算（为虚数单位）的结果是（   ） A．3 B． C． D．1 【例2.2】 若（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【例2.3】 已知复数满足（i为虚数单位），则（    ） A．1 B． C．i D． 【例2.4】 复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【例2.5】 已知复数是纯虚数，则实数（    ） A． B． C． D． 【例2.6】 设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D． 【例2.7】 若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【例2.8】 设，已知是关于的方程的两个虚根. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值. 题型3：相等复数及复数范围内方程的根 【例3.1】 若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2】 已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 【例3.3】 已知复数是关于的方程的一个复数根，则（    ） A． B． C．4 D．8 【例3.4】 已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，若复数是大于5的实数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型4：复数的几何意义 【例4.1】 在复平面内，对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例4.2】 在复平面内，复数和分别对应点M，N，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【例4.3】 在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【例4.4】 在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【例4.5】 在复平面内，复数对应的点在第二象限，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例4.6】 已知复数（，为虚数单位），z在复平面内对应的点为Z. (1)若z为纯虚数，求的值. (2)若且与的夹角为锐角，求的范围. 题型5：复数的模 【例5.1】 复数的虚部为（    ） A． B． C．5 D．6 【例5.2】 若复数，则＝________________ ． 【例5.3】 已知复数满足，则___________. 【例5.4】 在复平面内，复数对应的点是，则（ ） A．5 B． C．2 D． 【例5.5】 （多选）在复平面内，复数对应点分别为.已知，则（    ） A． B． C． D． 【例5.6】 若复数z满足，则复数可以是（   ） A． B． C． D． 【例5.7】 若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（   ） A．[4，6] B． C． D． 【例5.8】 （多选）设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则（    ） A． B．若，则最大值为 C．若，则点的集合所构成的图形的面积为 D．若复数是关于的方程的一个虚根，则 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $