第七章复数题型训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章 复数 一、结构框图 二、知识清单 1、复数的基本概念 （1）复数的定义与表示：形如 的数称为复数，其中是虚数单位，满足。复数通常用字母表示，即，其中称为实部，称为虚部。 （2）复数集：全体复数构成的集合记为，即。 （3）复数相等：两个复数与相等的充要条件是且 。这是将复数问题转化为实数问题（列方程组）的核心依据。 （4）复数的分类：对于复数： 当时，为实数；当时，为虚数；当且时，为纯虚数。特别地，当时，，它是实数。 （5）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系可以用文氏图清晰表示： 2、复数的几何意义 （1）复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。轴称为实轴，轴称为虚轴（原点除外）。实轴上的点表示实数，虚轴上的点（原点除外）表示纯虚数。 （2）点对应：复数与复平面内的点一一对应。 （3）向量对应：复数与复平面内以原点为起点、点为终点的向量一一对应。这是复数加减法几何意义的基础。 （4）复数的模：向量的模叫做复数的模或绝对值，记作 或，计算公式为。其几何意义是点到原点的距离。则表示复平面上两点和之间的距离。 （5）共轭复数：若复数，则其共轭复数记为。实部相等、虚部互为相反数是两个复数互为共轭的充要条件。实数的共轭复数仍是其本身。 3、复数的四则运算 （1）代数形式的加减法：设，则： 加法：。 减法：。 运算律：满足交换律和结合律： 加减法的几何意义：复数的加减法与向量的加减法一致。复数加法满足平行四边形法则，减法满足三角形法则。的几何意义是点与 间的距离。 （2）代数形式的乘除法： 乘法：。 运算满足交换律、结合律和分配律： 除法：。通常通过分子分母同乘分母的共轭复数，将分母“实数化”来进行计算。 （3）常用运算结论： ，,,, 体现了虚数单位乘方的周期性，周期为4。 *4、复数的三角表示 （1）复数的三角表示式为， 其中是模，，是以轴正半轴为始边、向量所在射线为终边的角，称为复数的辐角。 （2）辐角主值：规定在范围内的辐角的值为辐角主值。 （3）复数相等：两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等。 （4）复数乘除法的三角表示：设，则： 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和。两个复数相乘的意义是：把对应的向量绕点按逆时针方向旋转角，再把它的模变为原来的倍。 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角 等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。其几何意义是把对应的向量绕点按顺时针方向旋转角，再把它的模变为原来的倍。 三、题型分类 四、题组演练 题型一：复数的概念辨析与分类 1、已知复数（为虚数单位），若是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 以上都不对 2、若复数是实数且不为0，则实数的值为（ ） A. ±2 B. -2 C. 2 D. -1 3、下列四种说法正确的是（ ） A. 如果实数，那么是纯虚数。 B. 实数是复数。 C. 如果，那么是纯虚数。 D. 任何数的偶数次幂都不小于零。 4、已知复数（），若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5、已知复数为纯虚数（），且，则（ ） A. 且 B. 且 C. 或 D. 或 6、已知复数（），分别求的值或范围，使得： (1) 为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数。 7、下列命题中，正确命题的序号是（ ） ① 若，则； ② 若，，则； ③ 若，则是纯虚数； ④ 两个虚数不能比较大小。 A. ①③ B. ② C. ③④ D. ④ 8、已知复数在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围。 9、已知复数，求实数的值或取值范围，使得在复平面内对应的点： (1) 在实轴上；(2) 在虚轴上；(3) 在第四象限。 题型二：复数相等的充要条件应用 1、已知复数, （），当时，（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. -3 2、设，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 3、已知，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 4、已知复数，（），当时，求的值。 5、已知是关于的方程的一个根，求实数的值。 题型三：复数的几何意义应用 1、已知复数（）。若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围。 2、在复平面内，复数，，对应的点分别为。以、为邻边作平行四边形，求点对应的复数及的长。 3、已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）。 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 题型四：复数的模的计算与几何意义 1、已知复数，则（ ） A. 5 B. 7 C. 1 D. 2、设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）。 A. B. C. D. 3、已知复数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4、在复平面内，复数，对应的点分别为。求 的值，并说明其几何意义。 题型五：复数的四则运算 1、计算：。 2、若，则 （ ）。 A. B. C. D. 3、 计算：。 4、若（），则（ ）。 A. -1 B. 1 C. -7 D. 7 5、已知为虚数单位，则（ ）。 A. B. C. 1 D. -1 6、设，则（ ）。 A. B. C. D. 题型六：共轭复数的求解与性质应用 1、已知复数，则其共轭复数（ ）。 A. B. C. D. 2、若，则（ ）。 A. B. C. D. 3、在复平面内，为原点，向量对应的复数为。如果点关于实轴的对称点为，求向量对应的复数。 4、已知是的共轭复数，则（ ）。 A. -1 B. 4 C. 3 D. 2 5、已知复数，求。 题型七：复数中的方程与综合问题 1、方程有一个根为，求实数的值。 2、已知复数满足，求方程的解。 3、已知复数满足，求的最大值与最小值。 4、在复平面内，平行四边形的三个顶点对应的复数分别为。 (1) 求点所对应的复数； (2) 若复数满足，则复数在复平面内所对应的点的集合是什么图形？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 解析版 题型一：复数的概念辨析与分类 1、已知复数（为虚数单位），若是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 以上都不对 考查：纯虚数的判断与参数求解 解析：纯虚数的条件是实部为 0 且虚部不为 0。实部为 0：或。虚部不为 0：且。因此 满足条件，不满足（此时虚部也为 0）。 答案：A。 2、若复数是实数且不为0，则实数的值为（ ） A. ±2 B. -2 C. 2 D. -1 考查：复数为实数的条件。 解析：复数为实数的条件是虚部为 0。虚部为 0： 或。同时需保证实部不为0，因此。 答案：D。 3、下列四种说法正确的是（ ） A. 如果实数，那么是纯虚数。 B. 实数是复数。 C. 如果，那么是纯虚数。 D. 任何数的偶数次幂都不小于零。 考查：复数类型的综合判断。 解析： A 错误：若，则，是实数，不是纯虚数。 B 正确：实数集是复数集的真子集。 C 错误：若 但，则是实数。 D 错误：虚数单位。 答案：B。 4、已知复数（），若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 考查：复数在复平面内的位置与参数范围。 解析：第四象限点的特征是实部＞0，虚部＜0。实部。虚部 。结合得。 答案：D。 5、已知复数为纯虚数（），且，则（ ） A. 且 B. 且 C. 或 D. 或 考查：复数的模与纯虚数结合。 解析：纯虚数条件：实部且虚部。由得，代入虚部得。模：。代入得。因此或 。 答案：B。 6、已知复数（），分别求的值或范围，使得： (1) 为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数。 考查：复数类型的参数讨论。 解析： (1) 实数：虚部为 0，即或。 (2) 虚数：虚部不为 0，即且。 (3) 纯虚数：实部为 0 且虚部不为 0。实部为 0：或 。虚部不为 0：且 。因此满足，不满足（虚部为 0）。 答案：(1) 或；(2)且；(3) 7、下列命题中，正确命题的序号是（ ） ① 若，则； ② 若，，则； ③ 若，则是纯虚数； ④ 两个虚数不能比较大小。 A. ①③ B. ② C. ③④ D. ④ 考查：复数概念的真假命题判断。 解析： ① 错误：若，则。 ② 错误：在复数范围内，平方和为 0 不能推出每个部分为 0（例如时，平方和为 0）。 ③ 错误：若，则，不是纯虚数。 ④ 正确：虚数不能比较大小，只有实数可以。 答案：D。 8、已知复数在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围。 考查：复数的几何意义与类型结合。 解析：第一象限点的特征是实部＞0，虚部＜0。实部或。虚部或。取交集得或。 答案：。 9、已知复数，求实数的值或取值范围，使得在复平面内对应的点： (1) 在实轴上；(2) 在虚轴上；(3) 在第四象限。 考查：复数与复平面内的点的位置。 解析： (1) 在实轴上：虚部为 0，即或。 (2) 在虚轴上：实部为 0，即或。 (3) 在第四象限：实部＞0，虚部＜0。实部＞0：或。虚部＜0：。取交集得或。 答案：(1)或；(2) 或；(3) 或 题型二：复数相等的充要条件应用 1、已知复数, （），当时，（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. -3 考查：基础参数求解。 解析：由复数相等的充要条件，实部相等且虚部相等。实部相等：。虚部相等：。因此，则。 答案：D。 2、设，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 考查：复数相等解复数方程。 解析：将等式左边整理为复数代数形式：。右边为。根据复数相等的充要条件：由得。代入得。因此。 答案：D。 3、已知，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 考查：根据复数相等求参数。 解析：利用复数相等的充要条件：实部相等，虚部相等。实部：。虚部：。 答案：C。 4、已知复数，（），当时，求的值。 考查：复数相等解复数方程。 解析：由，根据复数相等的充要条件，实部与虚部分别相等：，整理方程组： 由方程(2)得，代入方程 (1)：则。因此。 答案：。 5、已知是关于的方程的一个根，求实数的值。 考查：复数相等在复数方程根问题中的应用。 解析：由于是方程的根，且方程的系数为实数，根据实系数一元二次方程的性质，其共轭复数也必然是方程的根。但本题直接利用复数相等的充要条件求解更为直接。 将代入方程： 计算。 代入方程：整理为复数代数形式（实部 + 虚部·i）：根据复数相等的充要条件，实部与虚部分别等于 0：由方程 (2) 得。代入方程 (1)：。因此，实数，。 题型三：复数的几何意义应用 1、已知复数（）。若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围。 考查：复数与点的位置关系。 解析：根据题意，需满足：，解，即，得。解，即，得或。取两个解集的交集。区间与没有公共部分。因此，不存在实数使得点同时满足两个条件。 2、在复平面内，复数，，对应的点分别为。以、为邻边作平行四边形，求点对应的复数及的长。 考查：复数加减法的几何意义（向量应用）。 解析：点对应的向量分别为、、，其对应的复数即为。在平行四边形中，根据向量加法的平行四边形法则，有。对应复数。对应复数。对应的复数为。又因为，对应复数。所以，解得。 。 答案：点对应的复数，。 3、已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）。 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 考查：复数与复平面内的点的位置关系（象限判断） 解析：首先进行复数运算，将化为标准的代数形式。 因此，复数的实部为，虚部为。根据复数的几何意义，复数与复平面内的点一一对应。点的横坐标为正，纵坐标为负，故位于第四象限。 答案：D。 题型四：复数的模的计算与几何意义 1、已知复数，则（ ） A. 5 B. 7 C. 1 D. 考查：复数的模的计算公式。 解析：根据定义，复数（）的模为。其几何意义是复平面内点到原点的距离。 对于，其实部，虚部。代入公式计算： 答案：A。 2、设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）。 A. B. C. D. 考查：复数的模的方程和轨迹识别。 解析：设（），则。根据复数模的计算公式，。由已知条件，可得。从几何意义来看，表示点到点的距离。条件表示动点到定点的距离恒为1，其轨迹是以为圆心、1为半径的圆，对应的方程正是。 答案：C。 3、已知复数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 考查：利用复数的模的几何意义求范围。 解析：条件的几何意义是：点到定点的距离恒为 1，即点 的轨迹是以为圆心、半径为1的圆。表达式表示点到原点的距离。因此，问题转化为：求圆上的动点到原点的距离的取值范围。计算圆心到原点的距离：。最大值为：圆上到原点最远的点位于的延长线上，距离为。最小值为：圆上到原点最近的点位于线段上，距离为。由于点在圆上（包括边界），因此距离的取值范围是闭区间。 答案：A。 4、在复平面内，复数，对应的点分别为。求 的值，并说明其几何意义。 考查：复数差的模的计算公式及其几何解释。 解析：根据复数模的公式：几何意义：复数分别对应复平面内的点和。根据复数的几何意义，复数差的模表示点与点之间的距离。从坐标计算两点距离：，与上述计算结果一致。 答案：。其几何意义是复平面内点与点之间的距离。 题型五：复数的四则运算 1、计算：。 考查：基础加减运算。 解析： 答案：。 2、若，则 （ ）。 A. B. C. D. 考查：基础乘除运算。 解析：先计算，然后进行乘法运算。 答案：D。 3、 计算：。 考查：复数的四则混合运算。 解析：计算除法： 计算平方： 相加： 答案：。 4、若（），则（ ）。 A. -1 B. 1 C. -7 D. 7 考查：复数相等和复数乘法。 解析：，根据复数相等得到，解得，所以。 答案：C。 5、已知为虚数单位，则（ ）。 A. B. C. 1 D. -1 考查：复数乘方的周期性。 解析：本题考查虚数单位的乘方周期性：（）。首先，从到的和为：。因为的值每4个一循环，且和为0。计算项数：从到共有项。，即可以分成505个完整的循环组（每组和为0），最后剩下三项。计算剩余三项：，所以。，所以。，所以。剩余三项之和为：。因此，原式。 答案：D。 6、设，则（ ）。 A. B. C. D. 考查：复数的运算和共轭复数。 解析： 所以其共轭复数为。 答案：A。 题型六：共轭复数的求解与性质应用 1、已知复数，则其共轭复数（ ）。 A. B. C. D. 考查：共轭复数的定义。 解析：根据定义，复数（）的共轭复数，即实部不变，虚部符号相反。对于，其实部，虚部。因此，其共轭复数为。 答案：A。 2、若，则（ ）。 A. B. C. D. 考查：共轭复数的概念和复数运算结合。 解析：先求，然后进行乘法运算。 答案：D。 3、在复平面内，为原点，向量对应的复数为。如果点关于实轴的对称点为，求向量对应的复数。 考查：共轭复数的几何意义（对称性的应用）。 解析：点对应的复数为。点关于实轴的对称点，其对应的复数即为的共轭复数。因此，向量对应的复数就是。 答案：。 4、已知是的共轭复数，则（ ）。 A. -1 B. 4 C. 3 D. 2 考查：利用共轭复数的性质求参数。 解析：首先计算因此，的共轭复数为，所以，得到，所以。 答案：B。 5、已知复数，求。 考查：共轭复数的模的计算。 解析：，所以，所以。 答案：。 题型七：复数中的方程与综合问题 1、方程有一个根为，求实数的值。 考查：复数方程基础计算。 解析：方程有一个根为，所以方程的另一根是，根据韦达定理得，所以。 答案：-2。 2、已知复数满足，求方程的解。 考查：复数方程与模的性质的综合问题 解析：设（），则，且，即。方程可写为：展开得：，整理为实部与虚部分别为0：，根据复数相等的充要条件，得到方程组由方程(2)得：，所以或。 情况1：。代入(3)得，所以。代入(1)验证： · 当时，(1)式为，不满足。 · 当时，(1)式为，满足。所以。 情况2：。代入(3)得，解得，所以。代入(1)验证：，满足。所以。 答案：方程的解为，或，或。 3、已知复数满足，求的最大值与最小值。 考查：复数模、运算与三角函数结合的综合最值问题。 解析：由于，可设。则： 记，。则。利用三角恒等式化简， 再利用倍角公式代入：，令 ，则。因此，。当时，为最大值。当时，为最小值。 答案：最大值为 3，最小值为 0。 4、在复平面内，平行四边形的三个顶点对应的复数分别为。 (1) 求点所对应的复数； (2) 若复数满足，则复数在复平面内所对应的点的集合是什么图形？ 考查：复数的几何意义（向量表示）和复数模的方程。 解析：(1) 在平行四边形中，有。对应复数， 对应复数。所以对应的复数为。因此，点对应的复数为。 (2) 条件的几何意义是：点到定点的距离等于点到定点的距离。根据平面几何知识，到两点距离相等的点的轨迹是这两点连线的垂直平分线。因此，复数在复平面内所对应的点的集合是线段的垂直平分线。 答案：(1) 。(2) 线段（连接点和点）的垂直平分线。 学科网（北京）股份有限公司 $