陕西汉中市仁德学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

**基本信息** 汉中市仁德学校高二上学期期中数学试卷，以直线与圆、圆锥曲线、空间向量为核心，通过单选、多选、填空、解答题（8/3/3/5题，40/18/15/77分）梯度设计，考查运算求解、逻辑推理与数学建模，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线倾斜角、线线平行、点线距离、圆与直线位置关系|基础概念辨析，如第1题结合斜率求倾斜角，落实数学抽象| |多选题|3/18|线线垂直/平行判定、空间向量性质、抛物线综合|多维度能力考查，如第11题结合抛物线焦点与中点求方程，体现逻辑推理| |填空题|3/15|椭圆方程参数范围、双曲线渐近线与焦点距离、椭圆双曲线离心率关联|知识交汇，如第14题椭圆与双曲线焦点三角形，考查数学建模| |解答题|5/77|直线方程、空间向量运算、椭圆双曲线方程、圆的切线与弦长、椭圆综合证明与面积最值|分层递进，如第19题椭圆方程求解、角相等证明及面积最值，综合运算与创新应用，发展数学思维与表达|

绝密★启用前 汉中市仁德学校高二上学期期中考试试题 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线的倾斜角是                                                                              (    ) A. B. C. D. 2.已知直线，，若，则实数的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 3.点到直线的距离为，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 4.判断直线与圆的位置关系(    ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 5.已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为． A. B. C. D. 6.已知正方体的棱长为，若，，，则(    ) A. B. 2 C. 1 D. 7.若圆与圆恰有三条公切线，则(    ) A. B. C. D. 8.已知平行四边形内接于椭圆，且直线的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知两直线与，则(    ) A. 直线过定点 B. 直线在轴上的截距为 C. 当时， D. 当时，与之间的距离为 10.关于空间向量，以下说法正确的是(    ) A. 空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小； B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面； C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角； D. 若已知空间向量和，则在上的投影向量为． 11.已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，，，两点，若，是线段的中点，则下列结论正确的是  (    ) A. B. 抛物线的方程为  C. 直线的方程为 D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知方程表示椭圆，求实数的取值范围          ． 13.双曲线的其中一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为          ． 14.中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范围为，则椭圆离心率的取值范围是____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分已知直线的方程为 求过点且与直线垂直的直线方程； 求与直线平行且距离为的直线方程． 16.本小题15分已知空间中三点，，，设，． 若且，求实数； 求向量与向量的夹角的余弦值． 17.本小题15分 已知椭圆的两焦点分别为，且经过点，求椭圆的标准方程． 求与双曲线有相同渐近线，且右焦点为的双曲线方程． 18.本小题17分已知圆的方程为：． 若直线与圆相交于、两点，且，求实数的值 过点作圆的切线，求切线方程． 19.本小题17分已知椭圆的离心率为，其左焦点为.点，过点的直线不垂直于坐标轴与交于，两点． 求椭圆的标准方程 证明：； 求面积的最大值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础试题．先求出直线的斜率，进而可求倾斜角．【解答】解：由题意可知，直线的斜率，故直线的倾斜角为故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了两条直线平行的判定，属于基础题． 利用两条直线相互平行的条件即可得出． 【解答】解：因为，所以由两直线斜率相等得， 解得：或， 当时，直线的方程为：，直线的方程为：，两直线为同一条直线，两直线重合，故不符合题意，舍去； 当时，直线的方程为：，直线的方程为：，符合题意． 故． 故选B． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题． 根据点到直线的距离公式，可得，即可求参数的值． 【解答】 解：由题意，点到直线的距离 ， ， 解得或． 故选D． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线与圆的位置关系及判定，属基础题根据圆心到直线的距离即可求出． 【解答】解：圆：中，圆心坐标为，半径，因为直线即，所以圆心到直线的距离，故选B． 5.【答案】  【解析】解：因为双曲线的，即双曲线的标准方程为，所以双曲线的渐近线方程为， 故选A． 6.【答案】C  【解析】解：由题意，正方体棱长为，故两两垂直且， 所以， 因、、，故，，； 又，代入得：． 故选：C． 7.【答案】  【解析】解：圆的方程：，圆心，半径为，  圆：，化为：，圆心，半径为， 两圆的圆心距为， 圆：与圆：有三条公切线，则两圆属于外切的位置关系， ，， 故选：． 把圆的方程化为标准形式，分别求出圆心和半径，求出两圆的圆心距，利用圆：与圆：有三条公切线，可得圆心距等于两圆的半径和，即可得到结论． 本题考查两圆的位置关系，两个圆的公切线的条数，注意圆心距与半径和与差的关系． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 设，，由对称性可得：，则，由，相减可得：根据斜率计算公式及，斜率之积的范围为，即可得出． 【解答】 解：设，，由对称性可得：，则， ，． 相减可得：． ，斜率之积的范围为， ， ． 故选A． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线过定点问题、截距式方程、两条平行直线间的距离、两条直线平行的判定及应用、两条直线垂直的判定及应用，属于基础题． 根据题意，对各选项逐项判定，即可求出结果． 【解答】 解：对于选项，由直线，当时，， 所以直线过定点，故A正确； 对于选项，由直线，令，得， 所以直线在轴上的截距为，故B错误； 对于选项，若，则，解得，故C正确； 对于选项，若，则，解得， 所以直线，即， 所以与之间的距离为，故D错误． 故选：． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量的相关知识和计算，属于基础题． 项由空间向量的模为实数可知；项由系数和为，整理变形为，由平面向量基本定理可知共面；项由两向量共线且反向情况可判断；由单位向量与投影向量的定义可得． 【解答】 解：项，空间向量不能比较大小， 而空间向量的模是非负实数，可以比较大小，故A正确； 项，由可得， 则， 即，故四点共面，故 B正确； 项，若与为两非零向量，共线且反向时，， 此时两向量的夹角为，不为钝角，故 C错误； 项，方向上与方向相同的单位向量为， 由投影向量的定义，则在上的投影向量为，故 D正确． 故选：． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的几何性质，属于中档题． 根据条件得到抛物线方程为，利用“点差法”求出直线的斜率，得到直线的方程为，和抛物线方程联立求出，即可得到答案． 【解答】 解：焦点到准线的距离为，根据抛物线的定义可知，故A正确； 故抛物线方程为，焦点，故B错误； 则， 若是线段的中点， 则， ，即， 又直线经过焦点， 直线的方程为，故C正确； 又由可得， ， ，故D正确． 故选ACD． 12.【答案】且  【解析】【分析】 本题考查椭圆的标准方程，注意与圆的标准方程的区分． 根据题意，由椭圆的标准方程分析可得，解可得的取值范围，即可得答案． 【解答】 解：根据题意，方程表示椭圆， 则有， 解可得：且， 故答案为：且． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了双曲线的简单性质，属基础题． 先根据双曲线的焦点坐标，求得和的关系，再根据焦点到渐近线的距离，求得和，则双曲线的方程可得． 【解答】 解：双曲线的一条渐近线方程为， ， 又焦点到渐近线的距离为， ， 双曲线方程为． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆与双曲线的概念以及离心率的求法，基础题首先由题意可得，，再利用离心率的公式列出不等式求出的范围，即可得到答案． 【解答】 解：由题意得：， 双曲线的离心率为，因此椭圆离心率 故答案为：． 15.【答案】解：设与直线：垂直的直线方程为， 把点代入，得，解得， 过点且与直线垂直的直线方程为：． 设与直线平行且距离为的直线方程为， 则，解得或． 与直线平行且距离为的直线方程为或．  【解析】本题主要考查的是直线方程的求法，属于基础题． 结合与直线垂直设所求直线方程为，再求即可； 结合与直线平行设所求直线方程为，再求即可． 16.【答案】解：， ， ， ． ，，， 又，， ，， 即向量与向量的夹角的余弦值为  【解析】本题考查了空间向量的加减运算及数乘运算和空间向量的数量积及运算律． 利用空间向量的加减运算及数乘运算得，再利用空间向量的模计算得结论； 利用空间向量的数量积和夹角公式计算得结论． 17.【答案】解：设椭圆的标准方程为 则 ， 又 椭圆的标准方程为； 解：设双曲线的方程为且， 因为焦点为，因此， 则， 所求双曲线的方程为．   【解析】本题考查求椭圆方程，属于基础题． 由题意得，求得的值，结合可得，即可求解 本题考查求双曲线方程，属于基础题． 由题意且，由焦点坐标可求得的值，即可解决． 18.【答案】解：圆心，半径，设圆心到直线的距离为， 由， 得， 又， 或 点在圆外，切线有条， 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由直线与圆相切得， 切线方程为，即， 当切线斜率不存在时，直线也是圆的切线， 综上所述：切线方程为或．  【解析】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程，属于中档题． 根据列出关于的方程，可得答案； 当切线的斜率不存在时，切线的方程为；当切线的斜率存在时，设切线的方程为，由题意知，，求解即可得的值，从而可得直线方程． 19.【答案】解：根据题意，。可知，所以椭圆的标准方程为。证明：根据题意，设直线的方程为，，，，由 ，可得，，，，，成立．求面积 令，，则，故面积的最大值为．  【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系及其应用，椭圆中三角形的面积． 由 可得 ，求出 和  的值，求得和的斜率之和，从而得到成立． 由面积，令，，得，从而得出结论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16 .（ 15分 ） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 汉中市仁德学校高二上期中考试 数学 · 答题卡 ) ( 姓 名： ) ( 准考证号： ) ( 贴条形码区 ) ( 注意事项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择 题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 ) ( 缺考 此栏考生禁填 标记 ) ( 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分 分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12. ____________________ 13._ ___________________ 14. ___ _______________ __ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ )学校 班级 姓名 准考证号 __________________ __________________ __________________ __________________ ………………………………密………………………………封………………………………线……………………………… 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1 8.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边 框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 6 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 $