陕西汉中市仁德学校2025-2026学年高二上学期期末模拟考试数学试卷

■■■■ ■■■■ 汉中市仁德学校高二上期末模拟 数学(A)·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 舒 题；字体工整、笔迹清晰。 翼 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2「A]IB1[C1[D1 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 救 4[A][B][C][D] 8[A[B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 1I[A][B][C[D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 萤 12 妇 13 14 靠 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) E D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 绝密★启用前 汉中市仁德学校高二上学期期末模拟试题 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 2.经过与的交点且垂直于的直线方程是             (    ) A. B. C. D. 3.两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为，则椭圆的标准方程 为(    ) A. B. C. D. 4.如图，空间四边形中，，，，是棱的中点，，则(    ) A. B. C. D. 5.在的展开式中，的系数为(    ) A. B. C. D. 6.若直线：经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则下列说法中错误的是(    ) A. 抛物线的焦点为 B. C. 抛物线的准线为 D. 7.在红楼梦中，史湘云邀众姐妹和贾宝玉一起作诗．共编拟了十首不同的咏菊诗名，假设分配贾宝玉作访菊种菊两首，薛宝钗作忆菊画菊两首，剩下六首诗分别由林黛玉史湘云探春三人创作，且每人至少创作一首，至多创作三首，则不同的分工方案共有(    ) A. 种 B. 种 C.种 D. 种 8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，点是线段上一点，且，，则该双曲线的离心率为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.某厂近几年陆续购买了几台型机床，该型机床已投入生产的时间单位：年与当年所需要支出的维修费 用单位：万元有如下统计资料： 根据表中的数据可得到线性回归方程为，则(    ) A. 与的样本相关系数 B. 回归直线恒过点 C. D. 该型机床已投入生产的时间为年时，当年所需要支出的维修费用一定是万元 10.已知两圆为与，则(    ) A. 若两圆外切，则 B. 若两圆有条公切线，则 C. 若两圆公共弦所在直线方程为，则 D. 为圆上任一点，为圆上任一点，若的最大值为，则 11.在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是(    ) A. 点可以是棱的中点 B. 线段的最大值为 C. 点的轨迹是正方形 D. 点轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线，若，则实数          ． 13.某人应聘一家上市公司，规则是从备选的道题中抽取道题测试，答对道题及以上就可以进入面试，某人可以答对这道题中的道题，若某人第一道题就答对了，则某人进入面试的概率为          ． 14.已知椭圆的上顶点为，，分别为椭圆的左、右焦点，过点作线段的垂线，垂线与椭圆交于，两点，若椭圆的离心率为，且，则的周长为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分下表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限和所支出的维修费万元的几组对照数据： 年 万元 若知道对呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； 已知该工厂技术改造前该型号设备使用年的维修费用为万元，试根据求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用年的维修费用能否比技术改造前降低 参考公式：， 16.本小题分已知圆经过点，，且圆心在直线上． 求圆的方程； 求过点与圆相切的直线方程． 17.本小题分某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 数学成绩 优秀 不优秀 合计 根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ 在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值． 现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出人组成一个小组，从抽取的人里再随机抽取人参加数学竞赛，求这人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望． 附：，． 18.本小题分如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，底面，，且． 证明：直线平面 证明：平面平面； 若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 19.本小题分 已知椭圆的长轴为，短轴为，焦点在轴上． Ⅰ求椭圆的标准方程 Ⅱ过点斜率不为零的直线与椭圆相交于，两不同点． (ⅰ)若，求弦长的值 (ⅱ)记为坐标原点，求面积的最大值． 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查直线的倾斜角与斜率，是基础题． 设直线的直线的倾斜角为，，则，进而得出答案． 【解答】 解：设直线的直线的倾斜角为，， 则， ． 故选A． 2.【答案】  【解析】解：解方程组  ，得  ，  即两直线的交点坐标为， 直线的斜率为 ，所求直线与垂直， 所以的斜率， 所以直线方程为，即 ． 3.【答案】  【解析】解：两个焦点的坐标分别是，， 椭圆的焦点在横轴上，并且， 由椭圆的定义可得：，即， 由，，的关系解得， 椭圆方程是． 故选：． 由题意可得：，并且得到椭圆的焦点在轴上，再根据椭圆的定义得到，进而由，，的关系求出的值得到椭圆的方程． 本题主要考查椭圆的标准方程与椭圆的定义，以及考查椭圆的简单性质，此题属于基础题． 4.【答案】  【解析】解： ． 故选： 5.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，项的系数，属于基础题． 在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得的系数． 【解答】 解：的展开式中，通项公式为， 令，求得，可得的系数为． 故选：． 6.【答案】  【解析】解：设抛物线方程为， 则焦点坐标为，准线方程为， 抛物线方程为，，， 抛物线的焦点坐标，准线方程为， 将焦点代入直线的方程：得，， 直线的方程为， 设直线与抛物线两交点坐标为，， 点，到准线的距离分别为，， 由消去，化简得， 其中，， 由抛物线的定义，有，， ， 对于，抛物线的焦点坐标，选项A正确； 对于，实数的值为，选项B正确； 对于，抛物线的准线方程为，选项C错误； 对于，弦长，选项D正确， 故以上说法中，错误的是选项． 故选：． 求出抛物线的焦点坐标、准线方程，将焦点坐标代入直线方程求出实数，将直线方程与抛物线方程联立，求出焦点弦长，依次判断选项即可． 本题考查抛物线的定义、方程与性质，考查焦点弦求法，属中档题． 7.【答案】A  【解析】解：第一类，将首诗按的数量分给人，有种； 第二类，将首诗按的数量分给人，有种， 所以不同的分工方案共有种． 故选A． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了双曲线的性质，涉及余弦定理和三角形面积公式的运用，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于拔高题． 根据题意，设，，则，然后结合余弦定理和三角形面积公式求出，即可得到双曲线的离心率． 【解答】 解：设，， 则， 由余弦定理得， 即， 所以， 从而， 因为 ， 且， 所以， 代入， 整理得，解得或舍去， 所以． 故选B． 9.【答案】  【解析】解：对于，由表中数据可得随的增大而增大， 所以与正相关，即与的样本相关系数，故A正确； 对于，由表中数据可得，， 所以回归直线恒过点，故B正确； 对于，因为线性回归方程恒过点， 所以， 所以，故C正确； 对于，由可得线性回归方程为， 所以该型机床已投入生产的时间为年时，当年所需要支出的维修费用约为万元，故D错误． 故选：． 根据相关系数的性质可判断，根据线性回归方程的性质可判断． 本题主要考查了线性回归方程的性质与应用，属于基础题． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查圆与圆的位置关系，圆的公共弦及公切线，圆与圆位置关系中的最值问题，属于中档题． 由两圆外切判断，；两圆方程相减得公共弦方程对比可得，判断由，可得，判断． 【解答】 解：对于，两圆外切，则，解得，故A错误； 对于，若两圆有条公切线，则两圆外切． ，则，故B正确； 对于，两圆公共弦方程为：， 得，则，解得，故C正确； 对于，易知的最大值为两圆心距离加上两个圆的半径， 即，代入数据得，，故D正确． 故选BCD． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查正方体的几何特征，考查利用空间向量判定线线的垂直、平行关系、考查立体几何综合题探索性问题、轨迹问题等，属于中档题 以点为坐标原点，分别以，，方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，设，对各 选项逐项判定，即可求出结果． 【解答】 解：在正方体中， 以点为坐标原点，分别以，，方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系 因为该正方体的棱长为，，分别为，的中点 则，，，， 所以 设， 则， 因为， 所以，即， 当时，， 当时，， 取，，， 连接，，，， 则，， ， 所以四边形为矩形， 则，，即，， 又，，平面， 所以平面， 又，， 所以为的中点， 则平面， 所以为使，在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹为四边形， 因此点不可能是棱的中点，故A错误 又，， 所以， 则点的轨迹是矩形但不是正方形， 且矩形的周长为，故C错误，D正确 因为点为中点， 则点为矩形的对角线交点 所以点到点和点的距离相等，且最大， 所以线段的最大值为，故B正确． 故选BD． 12.【答案】  【解析】解：已知直线，。 根据两直线平行的充要条件： 斜率相等对应系数交叉相乘相等：，展开得； 解方程，因式分解得，解得或； 验证是否重合： 当时，，，显然即，两直线平行； 当时，，，此时即，两直线重合，舍去。 故实数。 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查条件概率，掌握概率统计的应用是解答本题的关键． 记事件为进入面试，为答对第一题，分别求出，再根据条件概率的公式即可求出． 【解答】 解：记事件为进入面试，为答对第一题， 则， ， ． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的定义和弦长，考查学生的分析和运算能力，属于较难题． 分析可知直线的斜率，设直线的方程，联立方程，利用韦达定理结合弦长公式可得，再根据对称性结合椭圆定义运算求解． 【解答】 解：因为椭圆的离心率，则， 可得椭圆的方程为， 在中，可得，则， 可知为等边三角形，且直线的倾斜角，斜率， 设直线， 联立方程，消去可得， 则，且， 可得，解得， 注意到点与点关于直线对称， 所以的周长为． 故答案为：． 15.【答案】解：根据表中所给数据可得：， ， ，． ， ． 关于的线性回归方程为； 由得：当时，， 即技术改造后，使用年的维修费用为万元． 相比技术改造前，该型号的设备维修费降低了万元．  【解析】本题考查线性回归方程的应用，考查最小二乘法，属于简单题． 由已知表中数据代公式求得，则线性回归方程可求； 在线性回归方程中，取求得的值，可得技术改造后，使用年的维修费用，从而得到相比技术改造前，该型号的设备维修费降低了万元． 16.【答案】解：设圆的标准方程为， 由题音得，解得， 所以圆的标准方程为； 当直线的斜率不存在时，符合题意， 当直线斜率存在时，设该斜率为，此时直线方程为， 即，圆心到该直线的距离为， 即，解得， 此时直线方程为， 故所求直线方程为和．  【解析】设圆的标准方程为，根据题意利用待定系数法求出，，即可得解； 分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，设直线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径求出，即可得解． 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程的求法，考查点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 17.【答案】解：假设数学成绩与语文成绩无关， 根据表中数据计算得， ， 根据小概率值的的独立性检验，我们推断不成立，而认为数学成绩与语文成绩有关． ， 估计的值为． 按分层抽样，语文成绩优秀的为人，语文成绩不优秀的人， 随机变量的所有可能取值为，，，． ，， ，， 的分布列为  数学期望．  【解析】本题考查独立性检验，条件概率以及离散型随机变量的分布列，属于中档题． 将表格中数据代入公式求得即可判断； 利用以及条件概率公式结合题意计算即可得到结果； 按分层抽样，语文成绩优秀的为人，语文成绩不优秀的人，随机变量的所有可能取值为，，，，分别计算其概率，最后使用期望公式即可． 18.【答案】证明：连结，交于点，设中点为，连结，， ，分别为，的中点，，且， ，且，，且， 四边形是平行四边形，，， 平面，平面，平面． 平面，平面，， 是菱形，， ，平面， ，平面， 平面，平面平面． 解：直线与平面所成角为，且平面， ，， ，为等边三角形． 平面，由知， 平面． 平面，平面，且． 在菱形中，． 以点为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图． 则， 则． 设平面的法向量为， 则，即 令，则，则法向量． 设平面的法向量为， 则，即 令，则则法向量， 设二面角的大小为，由于为钝角， 则． 二面角的余弦值为．  【解析】连结，交于点，设中点为，连结，，推导出四边形是平行四边形，，由此能证明平面． 推导出，，从而平面，由，得平面，由此能证明平面平面． 以点为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值． 本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 19.【答案】解：Ⅰ设椭圆方程为． 由条件可知， 即． 则椭圆方程为； Ⅱ由条件可知直线的方程为． 设． ，消去化简整理可得：， 解得． ； 设直线的方程为． 设． ，消去化简整理可得：． ，解得． ． ． 又原点到直线的距离为． ． 令，则有． ． 则有， 当且仅当即时，即等号成立， 即取得最小值， 则即三角形的面积取得最大值． 综上可得面积的最大值为．  【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、弦长公式，三角形面积公式，换元法、基本不等式的应用等，难度较大，属于难题． Ⅰ直接有条件可得，的值，即可得到椭圆的标准方程； Ⅱ由条件可得直线的方程，然后于椭圆方程联立，消去得到关于的方程，利用韦达定理以及弦长公式可求得； 设直线的方程为，设联立，消去化简整理可得，，然后利用弦长公式可得，且原点到直线的距离为，再由三角形面积公式可得，然后利用换元法令，则有得到，再利用基本不等式求得面积的最大值 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 高二（上）期末模拟考试数学双向细目表 题型 题号 考察知识点 考察知识方法 分值 难易度 简单 中等 较难 单选择题 1 直线的倾斜角 已知直线方程求直线的倾斜角 5 √ 2 直线方程 过两条直线的交点求垂直（平行）于此直线的直线方程 5 √ 3 椭圆的定义 已知椭圆的方程求焦点三角形的周长或面积 5 √ 4 空间向量基本定理 不共面的三个向量作基底求空间中的另一个向量 5 √ 5 二项式定理 求展开式中的特定项的系数或已知特定项的系数求参数的值 5 √ 6 直线与抛物线 已知直线与抛物线相交，求抛物线的方程或性质 5 √ 7 排列组合的应用 捆绑、插空、或分组分配问题 5 √ 8 双曲线 已知双曲线中几何关系求双曲线的离心率 5 √ 多选题 9 统计案例 已知两个分类变量的对应关系求相关系数、线性回归方程的实际意义 6 √ 10 圆与圆的位置关系 已知两圆的方程，求两圆的位置关系，公共弦所在的方程以及公共弦长 6 √ 11 立体几何 以数学文化为背景，求夹角、距离等 6 √ 填空题 12 二项分布 已知一个二项分布，求均值或方差 5 √ 13 直线的位置关系 已知两直线的一般式方程求两直线平行条件下的参数值 5 √ 14 椭圆 求椭圆的离心率 5 √ 15 统计案例 已知两个分类变量求相关系数、线性回归方程 √ 16 直线与圆 （1）求直线或圆的方程（2）求切线方程或切线长 15 √ 17 概率 以放回或不放回为背景求：（1）任意一个事件发生的概率；（2）求超几何分布的分布列及数学期望；（3）正态分布的概率计算 15 √ 18 立体几何的综合 （1）平行或垂直的证明；（2）点到面的距离；（3）二面角的求解 17 √ 19 圆锥曲线 （1）椭圆方程求解；（2）证明两直线斜率乘积为定值；（3）求三角形面积的最值(以基本不等式为核心) 17 √ $