精品解析：陕西西安市2025-2026学年高二上学期普通高中期末供题训练数学试卷

高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察数列各项的符号、分子、分母的规律，即可得到该数列的通项公式. 【详解】根据数列的规律，可知该数列的一个通项公式可以为． 故选：D 2. 已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率计算公式以及斜率和倾斜角关系即可求解. 【详解】由斜率公式得，所以直线l的倾斜角为． 故选：D. 3. 若点在圆外，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为点在圆C外，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故选：B. 4. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 36 【答案】D 【解析】 【详解】由题可知双曲线方程中，， 该双曲线的渐近线方程为， 因为直线的斜率为，且双曲线一条渐近线与直线垂直， 所以，解得. 故选：D. 5. 在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将利用线性运算表示成，由此可解出，即可求解的值. 【详解】在平行六面体中，M为AB的中点，， 有， 又，则， 所以． 故选：C 6. 若斜率为的直线l与椭圆交于点A，B，线段AB的中点为，则C的短轴长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用点差法，求出的值，即可求得椭圆C的短轴长. 【详解】设，，则，， 两式相减得，即， 因为线段AB的中点为，所以，，又， 代入，解得，则有，所以椭圆C的短轴长为． 故选：C. 7. 在正项等比数列中，，，则当取得最小值时，（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质计算得出，，进而得出时，，时，，即可求解. 【详解】由，可得，即， 又，所以，则， 所以当时，； 当时，， 所以当取得最小值时，． 故选：A. 8. 在长方形中，，将沿所在直线进行翻折，二面角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得异面直线与的夹角为，即与的夹角为，由空间向量的运算法则可得，则，结合条件即可计算. 【详解】由题意得： 过点作，垂足为，过点作，垂足为，如下图： 因为二面角为，则异面直线与的夹角为， 即与的夹角为，易得， 因为，且， 则， 即，解得， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若空间向量，，满足，，则 B. 若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 C. 点关于平面对称的点的坐标是 D. 若，是两个单位向量，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量、直线与平面的位置关系以及点关于平面的对称点坐标，逐一分析每个选项. 【详解】对于A选项，当为零向量时，不符合，A错误； 对于B选项，因为，所以，B正确； 对于C选项，点关于平面Oyz对称的点的坐标是，C正确； 对于D选项，，D错误． 故选：BC. 10. 已知是抛物线的焦点，是C的准线，是l与坐标轴的交点，是C上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若点的横坐标是点的横坐标的2倍，则 C. 的最小值为4 D. 若点的坐标为，则的最小值为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由条件可得，解方程求，即可判断，对于B，由条件可得，再由焦半径公式求结论，对于C，根据焦半径公式可得，结合的范围求的最小值即可判断，对于D，由抛物线定义可得等于点P到l的距离，结合平面几何知识求的最小值可得结论. 【详解】对于A，由，可得，解得，A正确； 对于B，因为，所以，则，故，B正确； 对于C，因为，，所以的最小值为2，C错误； 对于D，等于点到的距离，的最小值为点到的距离，且点到的距离为，D正确． 故选：ABD. 11. 任取一个正整数，若是奇数，则将该数乘3再加上1；若是偶数，则将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），当为偶数，则；当为奇数，则，下列结论正确的有（ ） A. 若，则使得需要步“雹程”; B. 若，则; C. 若，则数列的前项和为; D. 若，则m的所有可能取值之和为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A直接根据“冰雹猜想”的递推关系进行推理可得；对B由“冰雹猜想”的递推关系可得数列的一个周期为3，进而可得；对C同样可得数列是周期为3，从而可得前的和；对D由进行反向推理，分别判断可得. 【详解】对于A：当时，根据上述运算法则得出26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1， 则使得需要10步“雹程”，A正确． 对于B：当时，，，，，…，则数列是周期为3的周期数列， ，故，B正确． 对于C：当时，，，，，…，则数列是周期为3的周期数列， 故数列的前2025项和为，C错误． 对于D：当时，则或， 当时，则，进一步可得，所以或，所以或，即或； 当时，则，进一步可得或，所以或， 所以或或或，即或或或. 所以m的所有可能取值之和为，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与圆交于A，B两点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由圆的方程确定圆心和半径，再通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离，则． 故答案为： 13. 是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求向量及的模长，再利用空间点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为， ， ， ， 所以点到直线的距离是. 故答案为：. 14. 已知为坐标原点，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径的圆在第一象限与交于点，延长与的另一个交点为，若为的中点，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，且，所以有，设，由双曲线的定义，利用和勾股定理的关系，即可求得双曲线的离心率. 【详解】因为点是以为直径的圆在第一象限与的交点，则有， 因为是的中位线，所以，又，所以. 由题意得点在双曲线的右支上.由，令，则， 又为的中点，则点在双曲线的左支上. 因为，且是的中点， 所以，所以. 在中，由勾股定理可得， 即，整理可得. 在，由勾股定理可得， 即，化简得， 又，所以，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记为公差不为0的等差数列的前n项和，已知，为，的等比中项． （1）求的通项公式； （2）求满足的n的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助等差数列定义与等比中项性质计算即可得； （2）利用等差数列求和公式求出后，解出相应不等式即可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，，所以， 因为为，的等比中项，所以， 即，化简可得， 联立解得，，故； 【小问2详解】 ， 由，可得，即， 解得，故满足的n的最大值为. 16. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程. 【答案】（1） （2）圆与圆外切，. 【解析】 【分析】（1）由题可知直线的方程为， 中点的坐标为，线段的中垂线方程为，与已知直线联立，解得圆心，计算，得到半径； （2）圆心距，恰好等于两圆半径之和，因此两圆外切；设公切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程组：解得三组解即得. 【小问1详解】 由题可知直线的方程为， 中点的坐标为， 线段的中垂线方程为，所以圆心在直线上， 又圆心在直线上，所以直线与直线的交点就是圆心. 由得即. 又， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由题可知， 所以， 两个圆的半径之和为， 所以圆与圆外切， 所以圆与圆有三条公切线，设其中有斜率的公切线方程为， 由圆心到切线的距离等于半径，得， 解得或或 所以公切线的方程为或或， 故其中一条公切线方程为：.（也可答另外两条中的其中一条） 17. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且． （1）证明：． （2）证明：平面． （3）求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系用向量的方法判断两条直线的垂直关系可得； （2）先用向量证明与平面的法向量垂直，再结合平面可得； （3）直接用向量的方法计算平面与平面的夹角可得. 【小问1详解】 由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 所以，，，，则，． 因为，所以，即． 【小问2详解】 由题中数量关系可得，，，，， 则，，． 设平面AEG的法向量为， 则，令，得． 因为， 所以，又平面，所以平面． 【小问3详解】 由（2）可知平面的一个法向量为． 因为平面的一个法向量为，所以． 设平面与平面的夹角为，则，． 故平面与平面夹角的正弦值为. 18. 在数列中，且． （1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． （2）记数列的前n项和为，数列满足． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）求； （ⅲ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析，； （2）（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合等差数列定义推理得证并求出通项公式. （2）（ⅰ）由（1）的结论，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式；（ⅱ）利用错位相减法求和即得；（ⅲ）由（ⅱ）求出，再分奇偶，结合恒成立问题求出范围. 【小问1详解】 在数列中，且，则，， 所以数列是以1为公差的等差数列，，即. 【小问2详解】 （ⅰ）当时，，即， 当时，由， 得， 两式相减，得，即，而满足上式， 所以的通项公式为. （ⅱ）由（ⅰ）得， 则， 两式相减得， 所以. （ⅲ）， 当n为奇数时，由，得， 而数列递减，恒成立，则，即； 当n为偶数时，由，得，即，而数列递减，则， 所以实数的取值范围为. 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，是E的右焦点，且． （1）求E的方程． （2）过点，且斜率不为0的直线l与E交于M，N两点． （ⅰ）若l的斜率为1，P是直线上的一点，且的面积为，求点P的坐标． （ⅱ）设直线与交于点Q，试判断Q是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）或（ⅱ）是， 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，可得方程； （2）（ⅰ）设出直线方程，根据弦长公式，求出面积表达式，结合面积的值可得答案； （ⅱ）分斜率存在和不存在两种讨论，表示出，的方程，结合韦达定理可得答案. 【小问1详解】 由，可得， 又，， 所以， 则E的方程为． 【小问2详解】 设l的方程为，，， 由得， 则，． （ⅰ）因为l的斜率为1，所以． 设，则点P到l的距离． 因为的面积为，所以， 解得或，则点P的坐标为或． （ⅱ）Q在一条定直线上，且该直线的方程为． 由题可知，，则的方程为，的方程为， 两式相除得． 若l的斜率存在，则由，，可得，则， 则， 即，解得． 若l的斜率不存在，根据对称性，可得，， 直线与的方程分别为和，可得交点． 故Q在一条定直线上，且该直线的方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 若点在圆外，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 36 5. 在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若斜率为的直线l与椭圆交于点A，B，线段AB的中点为，则C的短轴长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 在正项等比数列中，，，则当取得最小值时，（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 在长方形中，，将沿所在直线进行翻折，二面角为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若空间向量，，满足，，则 B. 若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 C. 点关于平面对称的点的坐标是 D. 若，是两个单位向量，则 10. 已知是抛物线的焦点，是C的准线，是l与坐标轴的交点，是C上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若点的横坐标是点的横坐标的2倍，则 C. 的最小值为4 D. 若点的坐标为，则的最小值为6 11. 任取一个正整数，若是奇数，则将该数乘3再加上1；若是偶数，则将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），当为偶数，则；当为奇数，则，下列结论正确的有（ ） A. 若，则使得需要步“雹程”; B. 若，则; C. 若，则数列的前项和为; D. 若，则m的所有可能取值之和为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与圆交于A，B两点，则______． 13. 是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是__________. 14. 已知为坐标原点，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径的圆在第一象限与交于点，延长与的另一个交点为，若为的中点，则双曲线的离心率为__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记为公差不为0的等差数列的前n项和，已知，为，的等比中项． （1）求的通项公式； （2）求满足的n的最大值． 16. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程. 17. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且． （1）证明：． （2）证明：平面． （3）求平面与平面夹角的正弦值． 18. 在数列中，且． （1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． （2）记数列的前n项和为，数列满足． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）求； （ⅲ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，是E的右焦点，且． （1）求E的方程． （2）过点，且斜率不为0的直线l与E交于M，N两点． （ⅰ）若l的斜率为1，P是直线上的一点，且的面积为，求点P的坐标． （ⅱ）设直线与交于点Q，试判断Q是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $