第四章《三角形》 章节复习题- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

第四章《三角形》章节复习题 一、单选题 1.下列图形中，运用四边形不稳定性的是() A 太阳能热水器 B 伸缩门 自行车三脚架 三角形支架 2.根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是() A.AB=3,BC=4,∠C=40° B.∠A=65°，∠B=45°，AB=4 C.∠C=80°，AB=6 D.AB=4,∠A=20° 3.如图，在△ACD中，∠CAD=90°，AC=8,AD=10,AB∥CD,E是CD上一点，BE交AD于点 F,若点F是AD的中点时，则图中阴影部分的面积为() A B A.10 B.20 C.40 D.80 4.如图所示，长方形48CD的边AB=片，BC=3,E为B上-点，且AE=1,F为4D边上的 一个动点，连接EF,若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG,EF=EG,连接CG,则当CG 取最小值时，G到BC边的距离为() A.1 B月 C.2 D. 5.如图，在△0AB和△0CD中，0A=0B,OC=OD,0A>0C,∠A0B=∠C0D=30°，连接AC, BD交于点M,AC与OD相交于E,BD与OA相交于F,连接OM,则下列结论中：① △AOC≌aB0D;②AC=BD;③LAMB=30°；④△OEM≌a0FM.正确的个数有() 0 E F A A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题 6.如图，已知△ACE≌△ABD,若AB=15,AD=10,则BE的长为· B 7.如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射 光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律如图②，小红同学正在 使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点 G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处， 点A,B,C,D在同一条直线上已知FC=AG=1.2m,AB=3m,则小红和木板之间的距离AC为 0· 入射光线法线 反射光线 法线 E G奠 反射面 木板 0 地面D C平面镜A 光的反射定律 ① ② 8.如图，在△ABC中，AB=8,将△ABC平移6个单位长度得到△AB,C,,M是AB的中点，则 MA,的最大值为 B 9.如图，AP为△ABC的中线，AP为△APC的中线，AP为△APC的中线，.·，按此规律， APn为△APnC的中线. A P PPC (1)若AB=12cm,AC=16cm,则△ACP的周长与△ABP的周长相差 cm (2)若△ABC的面积为64，则△APC的面积为一· 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm,BC=2cm,CD为AB边上的高，点E从点B出发， 在直线BC上以2cms的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F,当点E运动 s时，CF=AB. D B 三、解答题 11.已知△ABC的三边长分别为a,b,c. (1)若a,b,c满足(a-b)+(b-c=0,试判断△ABC的形状； (2)若a=5,b=2,且c为整数，求△ABC的周长； (3)直接写出化简结果：a-b-c+lb-c-a-a+b-c= I2.如图，在△ABC和aDEF中，点C,F,B,E在同一条直线上，若LC=LDFE,AC=DF, 请你从以下三个选项：①CF=BE;②AB=DE;③LABC=LDEF中选择一个合适的选项作为补 充条件，使得△ABC≌△DEF. C F /B E D (1)你选择的补充条件是 (填序号)： (2)根据你选择的补充条件，写出△ABC≌△DEF的证明过程. 13.△ABC的顶点在如图所示的网格中的格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保 留作图痕迹). B 图1 图2 (1)在图1中作△ABC的中线CD; (2)在图2中作△ABC的高CE. 14.为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度AB :将旗杆项部A处的绳子拉直至地面C点，使B,C两点间距离等于小明直立时眼晴的离地高 度；在C处放置直角三角板OMN,让直角项点O与C点重合，边OM与绳子AC重合.随后小明 后退，当看到点N,O共线时（即N,O,E共线），停在D点. A M B (1)小明认为CD的长等于旗杆高度AB,你认同他的观点吗？请说明理由. (2)若DE=1.7米，DB=16米，求旗杆高度AB. 15.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,连接 BD、CE; D (1)求证：△ABD≌△ACE. (2)若点M、N分别为线段BD、CE的中点，连接MA、NA,则LMAN=° 16.综合探究 D 图1 图2 图3 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AC=4,AB=5,CD⊥AB,则CD的长为 (2)如图2，在△ABC中，AB=6,BC=3,CD,AE为△ABC的高，试分析CD,AE的数量关系. (3)如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D,P分别在边AB,AC上，且BP=AP, DE⊥BP,DF⊥AP,垂足分别为E,F.若BC=m,求DE+DF的值（用含m的代数式表示）. 17.结合图形，解答下列问题： b B 朱买黄实 2 赵爽弦图 图① 图② 图③ 图④ (1)【模型呈现】某兴趣小组从赵爽弦图（图①）中提炼出三角形全等的模型（图②），由图中 ∠BCA=∠BAD=∠AED=90°可以通过推理得到△ABC≌△DAE,进而得到AC=,BC= 我们可以把这个数学模型称为“一线三等角”模型： (2)【类比应用】如图③，在△ABC中，AB=AC,点D、A、E都在直线I上，并且 LBDA=LAEC=∠BAC=a·若BD=4,CE=5,求DE的长； (3)【拓展探究】如图④，正方形ABCD中，AE⊥DE,DE=5,直接写出△CDE的面积 18.八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧. M D 图1 图2 图3 【初步探索】 如图1，在△ABC中，若AB=4,BC=2,求AC边上的中线BD的取值范围. 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长BD至点E,使DE=BD,然后连接CE,利用三角形 全等将边AB转化到CE,最后在△DEC中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围. (1)在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是；若线段BD的长度为 整数，则BD=; 【灵活应用】 (2)如图2，BD是△ABC的中线，延长DB到点E,连接AE,使AE=BC,求证： ∠AEB=∠DBC; 【拓展提升】 (3)如图3，在△ABC中，分别以AB,BC作等腰直角三角形△ABM和△BCN,其中 ∠ABM=∠CBN=90°，连接MN,点D是MN的中点，连接DB,延长DB与AC相交于点H, BD=6,BH=2.试判断BD与AC的数量关系，并求出△ABC的面积. 参考答案 一、单选题 1.B 解：A、C、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性，不符合题意； B选项伸缩门是用到了四边形的不稳定性，符合题意. 2.B 解：A、已知两边及其中一边的对角，即SSA,不符合全等三角形的判定，不能画出唯一△ABC ，故本选项错误； B、已知LA=65°，∠B=45°，夹边AB=4,符合全等三角形判定ASA,因此能画出唯一△ABC, 故本选项正确； C、仅已知一个角和一条边，条件不足，不能画出唯一三角形，故本选项错误； D、仅已知一条边和一个角，条件不足，不能画出唯一三角形，故本选项错误. 3.C 解：，点F是AD的中点， .AF=DF, :AB∥CD, ∴.LBAF=LEDF, 在△BAF和△EDF中， I∠BAF=∠EDE ∠AFB=∠DFE, AF=DF ∴.△BAF≌AEDF(AAS), ∴.SBAr=S.EDF, ∠CAD=90,AC=8,AD=10, 55SnaCD1040 2 故选：C 4.B 解：如图所示，过点G作GH⊥AB于点H,作MN∥AB,交AD于点M,交BC于点N, D G H B :四边形ABCD是长方形， :∠A=∠B=∠BCD=∠D=90,AB=CD=号，AD=BC=3, 2 :GH⊥AB,MN∥AB, ∠AHG=∠HGM=∠A=90°， ∠HEG+∠HGE=90°，∠A=LB=∠BCD=∠D=90°， :△EFG是等腰直角三角形， .∠FEG=90°，EF=EG, .∠HEG+∠AEF=90°， :ZAEF ZHGE 在△AEF和△HGE中， 「∠AEF=∠HGE ∠A=∠EHG EF=GE ∴△AEF≌△HGE(AAS), :AE=HG=1, :当点F在线段AD上运动时，点G在线段MN的某一部分上运动，如图所示， DF G --1N 当点D,F重合时，线段CG的值最小， 根据作图，∠A=∠AHG=∠HGM=∠B=∠BNG=∠BHG=90°， :四边形BNGH和四边形AHGM都是长方形， :HG -BN=1,BH-NG-AB-AE-EH=4B-AE-AF-11-1-3-3 2 G到BC边的距离为NG= 2 故选：B. 5.B 解：：LA0B=∠COD=30°， ∴.LA0B+∠A0D=LCOD+LA0D,即LB0D=LA0C, 在△AOC和△BOD中， OA=OB ∠AOC=∠BOD, OC=OD △AOC2△BOD(SAS),则①正确； :AC=BD,∠OAC=∠OBD,∠OCA=∠ODB,则②正确； 由三角形的外角性质得：LAMB+LOAC=LOFD=LAOB+LOBD, LAMB=∠A0B=30°，则③正确； 如图，作OG⊥MC于G,OH⊥MB于H,则L0GC=L0HD=90°， 0 E F M 在a0CG和a0DH中， ∠OCG=∠ODH ∠0GC=∠OHD=90°， OC=OD aOCG≌△ODH(AAS, OG=0H,∠G0M=∠HOM, :MO平分∠BMC,即LCMO=∠BM0, :∠CMD=∠BMA, ∴.∠DM0=LAM0, 假设△OEM≌aOFM, 0E=0F, 在Rt△EOG和Rt△FOH中， .OE=OF,OG=OH, ∴.RtAEOG≌RtAFOH(HL), ∴.LE0G=LFOH, .∴.∠EOG+LG0M=LFOH+LMOH,即LEOM=∠F0M, 在△DM0和△AM0中， .∠DM0=∠AM0,OM=OM,LEOM=LFOM, ∴.△DMO≌△AMO(ASA, .0D=0A,即0C=0A,与0A>0C矛盾， 则假设不成立，则④错误； 综上，正确的结论有①②③. 二、填空题 6.5 解：：aACE≌△ABD .AC=AB=15,AE=AD=10, BE=AB-AE=15-10=5. 7.6 解：由题意，得 ∠i=∠r, .∠CBF=90°-∠i=90°-∠r=∠ABG, 在BCF和△BAG中， I∠BCF=∠BAG=90° ∠CBF=∠ABG FC=AG △BCF≌△BAG(AAS), :CB AB 3m ∴.AC=CB+AB=6m. 8.10 解：如图，连接AA, M B C B 由平移得，A4=6 因为点M是AB的中点， 所以4B=4, 因为MA≤MA+AA 所以当点A在MA上时，MA取得最大值，即MA+A4,的长度， 因为MA+AA=4+6=10 所以MA的最大值为10. 9.42 解：(1)，AB为△ABC的中线， .'BP=CP, AB =12cm AC =16cm, ∴.△ACP的周长与△ABP的周长的差为AC+AP+CP)-(AB+AP+BP)=AC-AB=16-12=4(cm; 故答案为：4 (2)AR为△ABC的中线， 5e-se=2, 同理Se-c=l16, S4e=8, S.ARC=2 1 5e=25.anc=4, 2 故答案为：2 0 解：，CD⊥AB,∠ACB=90o,EF⊥BC, .∴.∠ACD+∠∠A=∠ACD+∠DCB=90o,∠ACB=∠CEF=90o, ∴.LA=LDCB=LECF, 由题意可分：当点E在直线CD的上方时， 在△ACB与△CEF中， ∠A=∠ECF ∠ACB=∠CEF=90°， CF=AB .△ACB≌△CEF(AAS), ∴.CE=AC=5cm, .BE=BC+CE =2+5=7cm “点E的运动时间为7*2=25： 7 当点E在直线CD的下方时， D B E 同理可得：CE=AC=5cm, .'BE =CE-BC=5-2=3(cm), :点E的运动时间为3*2=25： 3 综上所述：当点E运动子或号时，有CF=4: 故答案为：}或号 三、解答题 11.(1)解：(a-b)2+(b-c=0, .∴.a-b=0,b-c=0, ..a=b=c, ∴.△ABC是等边三角形. (2)解：a=5,b=2, 5-2<c<5+2,即3<c<7, ,c为整数， ∴.c=4,5,6, .当c=4时，△ABC的周长=4+5+2=11， 当c=5时，△ABC的周长=5+5+2=12， 当c=6时，△ABC的周长=6+5+2=13， ∴.△ABC的周长是11或12或13. (3)解：，△ABC的三边长分别为a,b,c, ..a-b<c,b-c<a,a+b>c, ∴.a-b-c<0,b-c-a<0,a+b-c>0, .∴.原式=-a-b-c-b-c-a-a+b-c =-a+b+c-b+c+a-a-b+c =-a-b+3c. 12(1)解：选①或③： (2)解：选①， 证明：，CF=BE, ∴.CF+BF=BE+BF,即BC=EF, 在△ABC和aDEF中， AC=DF ∠C=∠DFE, BC=EF ∴.aABC≌aDEF(SAS): 选③， 证明：在△ABC和aDEF中， [∠ABC=∠DEE ∠C=∠DFE AC=DF .△ABC≌△DEF AAS）. 13.(1)解：如图1，线段CD即为所求； -----4---- 图1 (2)如图2，线段CE即为所求. E 图2 14.(1)认同小明的观点，理由如下： 由题意可知：AB⊥BD,ED⊥BD,∠ACE=90°，BC=DE, ∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB+∠ECD=90°，∠ACB+∠A=90°， ∠A=∠ECD. 在△ABC和△CDE中， [∠ABC=∠CDE ∠A=∠ECD BC=DE △ABC≌△CDE(AAS, :AB=CD, 因此认同小明的观点 (2),△ABC≌△CDE, BC=DE=1.7米， 又DB=16米， CD=DB-BC=16-1.7=14.3米， 由(1)已证AB=CD, AB=14.3米 15.(1)证明：，∠BAC=∠DAE=90°， .ZBAC-ZCAD=ZDAE ZCAD 即LBAD=LCAE, 在△ABD和△ACE中， .AB=AC,ZBAD =CAE,AD=AE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS): (2)解：如图， ,△ABD≌△ACE, .'BD CE,ZADB ZAEC ,点M、N分别为线段BD、CE的中点， ·DM=BD,EN=CE, 2 ∴DM=EN, .AD AE, ∴.△ADM2△AEN(SAS), .∴.∠DAM=∠EAN, ∴.∠MAN=∠DAM+∠DAN=∠EAN+∠DAN=∠DAE=90° 16.(1)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AC=4,AB=5,CD⊥AB, sm号4c-sc=分48cD, :CD=4x312 55 1 (2)解：Sc=)ABCD=，BCAE, 2 2 2x6xCD3x 2 :2CD=AE, CD:AE=1:2; (3)解：Sm=P-BC,SAne=)AP-DP,Se-)P-DE, 2 2 'SAABP=S△MDP+S△BDP, P.DE+AP.DF-4PC 又：BP=AP, ·4P-DE+号4P-DF-4P-sc, 2 即DE+DF=BC=m. 17.(1)解：△ABC≌△DAE, ∴.AC=DE,BC=AE. (2)解：，∠AEC=∠BAC=a. ∴.∠EAC+∠ACE=180°-a,LEAC+∠DAB=180°-a, ∴.LACE=∠DAB, 又，∠BDA=LAEC,AB=AC, .△BDA≌△AEC(AAS）, ∴.BD=AE=4,DA=CE=5, ∴.DE=DA+AE=9. (3)解：将图④转变为赵爽弦图，如下图所示： D H B 故此可得出DE=CF=5, DE×CF=25 1 S.CDE=2 2· 18.解：(1)如图1：先延长BD至点E,使DE=BD,连接CE, BD是边AC上的中线， ∴.AD=CD, DE=BD,∠ADB=∠EDC, .△ADB≌△CDE(SAS), ..CE=AB=4, 在△BCE中，CE-BC<BE<CE+BC, .2<BE<6,即2<2BD<6, .1<BD<3, 线段BD的长度为整数， ∴BD=2. 故答案为：SAS,2 (2)证明：如图：延长BD到点F,使DF=BD,连接AF, B 图2 ,BD是△ABC的中线， ∴.AD=CD, 在△ADF和△CDB中， AD=CD ∠ADF=∠CDB DB=DE .△ADF≌aCDB(SAS). ∴.AF=BC,LDBC=LF, AE=BC,, .AF=AE, ∴.∠F=∠AEB, 又.LDBC=LF, ∴.∠AEB=∠DBC. (3)如图3：延长BD到点E,使DE=BD=6,连接ME. M D H 图3 :点D是MN的中点， ∴.MD=ND. 在△BDN和△EDM中， BD=DE ∠BDN=∠EDM, MD=ND .△BDN≌aEDM(SAS). .BN=EM,∠DME=∠DNB, ∴.BN∥EM. △BCN是等腰直角三角形， ∴.LCBN=90°，BN=BC,∠BCN=45°， ∴.EM=BC. LABM=90°， .∠ABC+LMBN=180°. 又BN∥EM, ∴.LMBN+LBME=180°， ∴.LABC=LBME. 在△ABC和△BME中， (AB=BM ∠ABC=∠BME, BC=EM .∴.△ABC≌aBME(SAS). ∴.AC=BE,∠MBE=∠CAB, .'BE =2BD, .∴.AC=2BD. BD=6, .AC=2×6=12. ,∠ABM=90°， ∴.∠MBE+∠ABH=90°， ∴.∠CAB+∠ABH=90°， ∴.∠AHB=90°， :A4C的面积为4C8H-×12x2=2.