四川阆中中学校2025-2026学年高二下学期期中学习质量检测数学试题

阆中中学校2026年春高2024级期中学习质量检测 数学试题 (时间：150分钟满分：150分命题人：李丹审题人：王正全) 注意事项： 1,答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题.（每小题5分，共40分) 1.4与9的等比中项为() A.6 B.-6 C.±6 D.36 2.已知数列a,}满足a=5,a=1-1m≥2)，则as=( ) an A.1 B.5 C. 4 D.- 4 3.甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落 奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一 部电影的概率为() B.5 64 c D.、5 243 4.己知数列{an}满足a=1,a+1-an=2”,则ao=() A.511 B.1023 C.1024 D.2047 5.设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,S,=28,若a3,a4,a成等比数列， 则a=（) A.16 B.8 C.4 D.2 6.已知等比数列{an}中，a,a是方程x2-5x+3=0的两根，则a3=() A.3 B.-V5 C.5 D.±V5 7.函数y=f(x)点(xo,)处的切线方程为y=3x+1,则im f)-f(-2△等于() △r0 △x A.-6 B.-3 C.3 D.6 第1页共4页 8. 已知函数f(x)='(1)x2-lnx,则f'()=() A.1 B.-1 C.2 D.-2 二、多选题（每个小题6分，共18分，全对得5分，部分选对得部分分，选错不得分） 9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知4，=10，d=-2,则下列结论正确的是() A.Sn的最大值为30 B.当n=5或n=6时，Sn取得最大值 C.使Sn>0成立的n的最大值为10 D.数列{Sn}是递减数列 10.已知函数f(x)=(x-1)nx,则() A.fe) B.∫(x)有两个零点 C.f(x)在(L,+oo)上单调递增 D.x轴是曲线y=f(x)的切线 11.记f()为函数f()的n阶导数，f(x)=[f-]≥2，neN),若f(x) 存在，则称f(x)n阶可导.英国数学家泰勒发现：若f(x)在x附近n+1阶可导，则 可--)-+-厂 其为f(x)在x处的次泰勒多项式)来逼近f(x)在x附近的函数值 (nl=1×2×3×…×n).下列说法正确的是() A.若f(x)=sinx,则f(x)=sin(x+nπ) B.f()=e在=0处的3次泰勒多项式为I()=1+x+父 26 C.(冈=cosx在，=0处的3次泰勒多项式为T(付)=1- 2 D.e0.1≈1.505 三、填空题（每小题5分，共15分) 12.用0,1,2,3这4个数字，可组成个没有重复数字的三位数（用数字作答） 13.数列{a}中，若a=3,a1=” n,则an=· n+1 14.已知函数f(x)=x3-3x,若过点M(2,t)可作曲线y=f(x)的3条切线，则实数t的取 值范围为 第2页共4页 四、解答题（共77分） 15.(13分)己知数列{an}是等差数列，且a,=-13,a4=1. (1)求{an}的通项公式： (2)记{a}的前n项和为Sn,求Sn的最小值. 16.(15分)已知数列{an}前n项和为Sn,且Sn=n2, (1)求{an}的通项公式： (2)设，=2，求数列化}的前n项和工 aa 17.(15分)已知{an}为等比数列，4=1，a=4(a-1). (1)求{an}的通项公式： (2)记bn=an·log2an+2,求数列{bn}的前n项和Sn. 第3页共4页 18.(17分)给定函数f(x)=(x+1)e. (1)求函数f(x)的单调区间： (2)画出函数f(x)的大致图象： (3)求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数. 19.(17分)已知函数f(x)=(x-a)r,aeR. (1)当a=1时，求函数f(x)在x=e处的切线方程： (2)当a=0时，证明：f(x)<e+x-1; (3)若a>0,b∈R,对任意的x>0,f(x)≥b-a恒成立，求b+2a的最大值. 第4页共4页 阆中中学校2026年春高2024级期中学习质量检测 数学参考答案 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 C B C 9 C D A ABC ACD 题号 11 答案 BC 1.C【详解】设4与9的等比中项为a,则a2=4×9=36,所以a=±6， 2.B【详解】因为4=5,4，=1-1n≥2)， an 155,4=1-1-1-5-1 所以a,=1-1=1-1-4 244’ a=1-1=1-(4=5,4,=1-1=1-4, a a455’ …所以数列{an}为周期数列，周期为3， 又因为2026=675×3+1，所以a2026=41=5. 3.C【详解】根据题意，三人的选择组合共有5×5×5=125种， 其中看同一部电影的情况有5种， 所以三人看同一部电影的概率为 25· 4.B【详解】由题可知：a1-a,=2", 当n≥2时，a,-an1=2-l，an1-an-2=2-2.a2-a=2, 累加得：014=2+22+2+2+…2°-20-2-21-2， 1-2 所以an1=21-2+a=21-1,即an=2”-1,又4=1也适合， 则a0=210-1=1023. 5.A【详解】设等差数列{a,}的公差为d,则有S,=7a+L+6x6。 d=7a+21d=28, 2 即a41+3d=4,由a3,a4,a成等比数列，则aag=a, 答案第1页，共8页 即(a+2d)(a,+7d)=(a+3d，化简得3a,d+5d2=0, a1+3d=4 d=3 由d≠0，则3a+5d=0,即有 (3a+5d=0'解得 a1=-5’ 故a=4,+7d=-5+7×3=16. 6.C【详解】{an}是等比数列，设公比为9，a=a,a, a,a是方程x2-5x+3=0的两根， aas=3 +a=5’4:a,同号，且a4,>0,∴a=aa,=3,解得a,=±5， 又a3=aq2>0.a=5, 7.D【详解】mf()-f6-2A-2m人-x2△-4 △x 2△x 8.A【详解】'f(x)=f'(1)x2-lnx, 了)-20x-子，当x=1时，了0=20)x1-片解得f0=1. 9.ABC【详解】对于AB,前n项和公式S,=a+-d=10-n-1n+1h, 2 11 令f(x)=-x2+11x,该二次函数对称轴为x= =5.5, 所以Sn的最大值在S和S。中的最大值取得， 又S=-52+11×5=30,S。=62+11×6=30, 当n=5或n=6时，Sn取得最大值30，故AB正确； 对于C,Sn=-n2+1n>0,即n(11-n)>0,得0<n<11, 又n为正整数，故n的最大值为10，故C正确： 对于D,结合f(x)对称轴，可知，Sn=-n2+1ln在n≤5时单调递增，n≥6时单调递减， 因此{Sn}先增后减，并非递减数列，故D错误. 答案第2页，共8页 10.ACD【详解】由f(x)=(x-1)lnx,x>0, 由于h2>a1=0,则付f2,放A正确： 令f(x)=(x-1)lnx=0,解得x=1,所以f(x)有一个零点，故B错误： 因为函数y-x-1和y=lnx在(1，+oo)上单调递增， 且x>1时，x-1>0,lnx>0, 所以函数f(x)在(1，+o)上单调递增，故C正确； 由f=n+x-)=1nx+1-,则f0=0, 由B知，f()有一个零点1，即f(I)=0, 所以(x)在(1，O)处的切线方程为y=0,故D正确. Il.BC【详解】选项A,f(x)=sinx,则f'(x)=cosx≠sin(x+π)，A错： 选项B,f(x)=e,则f'(x)=e*,，f2(x)=(f'(xy=(e)y=e,所以f(x)=e, 所以fm(0)=e°=1， 从而f(x)=e在x,=0处的3次泰勒多项式为T,(x)=1+x+ +x ,B正确： 26 C,f(x)=cosx,f'(x)=-sinx,f2 (x)=-cosx,f(3(x)=sinx, f(0)=cos0=1,f'(0)=-sin0=0,f2(0)=-cos0=-l,f8(0)=sin0=0, 所以f(x)=cosx在x=0处的3次泰勒多项式为 x0+(x-+0s-旷，0-0r-1-营ce 3！ 选项D,由选项B知f(x)=e在x,=0处的n次泰勒多项式为 ()=1+++三+…+ 26n! T0.)=1+0.1+01+0户0 2+6+24 十 答案第3页，共8页 0,L_0.01≈000167,0 <0.0001, 66 24 所以e1≈1+0.1+0.005+0.0002=1.1052，D错. 12.18【详解】组成的数是三位数，故百位不能是0，∴.百位有3种选择： 百位选了一个数字后，十位还有3种选择； 百位和十位各选了一个数字后，个位还有2种选择： .一共可以组成没有重复数字的三位数有：3×3×2=18（个）. 13.3【详解】由题意，a,=3,a1=” +4,可得a≠0，所以出=” an n+1' 所以a,=8.山a,=-n-2…xx生3 anan-2 a n n-1 2 n 14.(-6,2) 【详解】设切点为(x,x-3x),因为函数f()=x3-3x,所以f'(x)=3x2-3,则 f'(x)=3x-3, 所以切线方程为：y-(x。-3x)=(3x-3)(x-x。),又切线方程过点M(2,t), 所以1-(x-3x)=(3x-3)(2-x),化简得：t=-2x+6x-6, 令g(x)=-2x3+6x2-6,所以g'(x)=-6x2+12x=-6x(x-2) 所以当x<0或x>2时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 当0<x<2时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(x)的极小值为g(0)=-6,极大值为g(2)=-2×2+6×22-6=2, g(x)的草图如下： g(x=-2x3+6x26 y=l 6 答案第4页，共8页 过点M(2,)可作曲线y=f(x)的3条切线等价于直线y=t与函数y=g(x)有三个交点， 则-6<t<2,所以t∈(-6,2). 15.【详解】(1)设等差数列{a}的公差为d a7=a+6d=-13 由题意可得 a4=4+13d=1,解得 1=-25 d=2 所以an=a,+(n-1)d=-25+2(n-1)=21-27.(6分) (2)因为{an}是等差数列，所以 S na+ +nn=14-25n+nmn-1）=m2-26m=(a-13-169.（10分) 2 因为n∈N,所以当n=13时，Sn有最小值-169.(13分) 16.【详解】(1)因为S,=n2,当n=1时，a=S,=1(2分) 当n≥2时，Sn1=(n-12, 两式作差得a.=Sn-Sn1=21-1,(5分) 又a,=S,=1符合上式，(6分)故{an}的通项公式为an=2n-1.(7分) 2 1 1 (2)由(1)知，bn= anan+ (2n-0(2n+12n-12n+1'(11分) -1-12n 2n+12n+1（15分) 17【详解】【详解】(1)设等比数列{an}的公比为9， 因为{an}为等比数列，a=4(a-1),所以a92=4(a9-1).(2分) 又a=1,所以q=4(q-1),即(g-2)}=0,解得9=2，(4分) 所以数列{an}的通项公式为an=1×2-=2"-1；(6分) (2)由(1)知an=2,则a2=2+1，(7分) 答案第5页，共8页 所以bn=a,log2a2=2"1.l0g221=(n+)2”，(8分) 所以Sn=b+b2+b++bn=2×2°+3×2+4×2++(H1}2+①，(9分) 两边同时乘以2可得2S,=2×2+3×22+4×2+…+:2+++1)2"②，(10分) 用①的两边减去②的两边可得 -Sn=2×2°+(2'+22+23+…+2-）-(n+1)2” =2+2=2x2-(n+1)-2=2+(2-2-(m+)-2=-n2,（14分) 1-2 所以数列{bn}的前n项和为Sn=n2”.(15分) 18.【详解】(1)函数f(x)=(x+1)e的定义域为R,求导得f'(x)=e+(x+I)e=(x+2)e", 由f'(x)>0,得x>-2,由f'"(x)<0,得x<-2, 所以函数f(x)的单调递增区间为(-2，+∞)：单调递减区间为(-0，-2).(5分) (2)由1)知，函数)在x=2处取得最小值/(-2)=。，f(-0=0,当x<-1时， f(x)<0, 函数f(x)的大致图象，如图： (10分) 2- e2 (3)方程f(x)=a解的个数等价于函数y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数， 由(2)知当a<-之时，方程f)=a的解为0个：(13分) e 1 当a=-。三或a≥0时，方程f()=a的解为1个：（15分) 答案第6页，共8页 当<a<0时，方程f)=a的解为2个，17分) 19.【详解】1)当a=1时，f(x)=(x-1)lx,f'(x)=nx+(x-1)=nx+1-1(x>0), 则切线斜率k=f'(e)=lne+1-】=2-】,f(e)=(e-1)ne=e-1, 所以切线方程为y-e-)-2-水-e小.即y-2-c,5分) (2)当a=0时，只需证明xnx<e+x-1,x∈(0，+∞)， 当x∈(0,1)时，xnx<0,e+x-1>0,此时xlnx<e+x-l成立， 当xe[l,+oo)时，令g(x)=e+x-1-xnr,g'(x)=e+1-(nr+1)=e-lnx, 令m(x)=e*-lhx,则m(x)=e-1 因为y=二在区间[1，+o)上单调递减，y=e在区间[1，+oo)上单调递增， 所以m'(x)在区间1，+o)上单调递增， 因为m'(I)=e-1>0,所以x∈[1，+oo)时，m'(x)>0, 所以g'(x)在区间[1，+o)上单调递增， 所以g'(x)mn=g'()=e-lnl=e>0, 所以g(x)在区间[1，+o)上单调递增，g(x)>g()=c+1-1-1ln1=c>0, 所以xlnr<e+x-l, 综上可得xnx<e+x-1成立.(10分) (3)任意的x>0,f(x)≥b-a恒成立，只需要(f(x)》mm≥b-a,(11分) 又了(y=nr1是增函数，f(e)=1-ac<0,w,f)-→to, 故由零点存在性定理可知，五e(e3,+,使得f代，)一品+1=0， 此时a=x,lnx,+x,由题设a>0及x,>0可知，lnx,+1>0,解得x。>e, 答案第7页，共8页 当0<x<x,f(x)<0,故f(x)单调递减， 当x>x,f(x)>0,f(x)单调递增， 所以x=x,f(x)取得极小值也是最小值，所以(f(x)》mm=f(x)=(x-a)lnx,(14分) 所以(x-a)lnx≥b-a,得b≤a+(c,-a)lno, 则b+2a≤3a+(-dln6=-x(ln)2+3xlnx+3x, h(x)=-x(Inx)2+3xlnx+3x, 得到h(x)=-(nx)2+lnr+6=0,得x=e2(舍去)或x=e3, 当e2<x<e3,h(x)>0,h(x)单调递增，当x>e3,(x)<0,h(x)单调递减， 所以x=e3时，h(x)取得极大值也是最大值， 所以(h(x)max=h(e)=3e,故b+2a的最大值是3e3.(17分) 答案第8页，共8页