山西临汾市古县第一中学2025-2026学年高二下学期期中数学试卷

**基本信息** 高二期中数学试卷聚焦概率统计与排列组合核心知识，通过池塘植物生长、超市促销抽奖等真实情境及杨辉三角文化素材，考查用数学眼光观察现实、数学思维分析问题的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|线性回归、随机变量分布列、排列涂色|第2题散点图判断相关性，第11题杨辉三角文化渗透| |填空题|3题15分|概率密度、二项式常数项、条件概率|第14题甲乙箱取球问题，考查全概率公式应用| |解答题|5题77分|独立性检验、射击概率、接力赛排列、促销方案比较、回归方程|第18题以超市促销为背景比较抽奖方案期望，第19题通过散点图选择回归类型，培养数据观念|

高二期中数学试卷 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的值为( ) A.0 B.1 C.99 D.100 2．．对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是(       ) A. B. C. D. 3．已知离散型随机变量X的分布列为,则(       ) A. B. C. D.1 4．为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积x（单位:）与水生植物的株数y（单位:株）之间的相关关系,收集了4组数据,如表格所示,得到y与x的线性回归方程,则(       ) x 3 4 6 7 y 2 2.5 4.5 m A.5 B.6 C.7 D.8 5．在五一小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则不同的安排方法共有(       ) A.100种 B.80种 C.60种 D.40种 6．用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的4块区域A、B、C、D涂色,要求同一区域用同一种颜色,有共公边的区域使用不同颜色,则共有涂色方法(       ) A.14种 B.16种 C.18种 D.20种 7．已知，则(       ) A.8 B. C. D.40 8．设事件为两个随机事件,已知,且,则的值为(       ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设离散型随机变量X的分布列如表，若离散型随机变量Y满足，则(      ) X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.4 x 0.2 0.2 A. B. C.， D.， 10．小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A为“恰有两人所去景点相同”，事件B为“只有小张去甲景点”，则( ) A.这四人不同的旅游方案共有64种 B. C.“每个景点都有人去”的方案共有72 D.“四个人只去了两个景点”的概率是 11．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一,最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律,如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是(       ) A. B.第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等 C.记第n行的第i个数为,则 D.第20行中第12个数与第13个数之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．随机变量X的概率分布密度函数,若.则_______. 13．的展开式中,常数项为_______.（用数字作答） 14．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的是_________（只填序号）. ①事件相互独立；②；③；④；⑤. 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16． （本小题满分15分） 甲、乙两名运动员互不影响地进行四次射击训练，根据以往的数据统计，他们的射击成绩均不低于8环（成绩环数以整数计），且甲、乙射击成绩（环数）的分布列如下：     甲 乙 环数 8 9 10 8 9 10 概率 （1）求p，q的值； （2）若甲、乙两名运动员各射击两次，求四次射击中恰有三次命中9环的概率； （3）若两名运动员各射击1次，记两人所得环数的差的绝对值为，求的分布列. 17．（本小题满分15分） 某班需从包含甲、乙2人的7人中选4人参加4×100米接力赛,求在下列条件下,各有多少种不同的排法? （1）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒; （2）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒; （3） 甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒. 18．（本小题满分17分） 端午假期即将到来，某超市举办“高考高粽”有奖促销活动，凡持高考准考证的考生及家长在端午节期间消费不低于600元，即可抽奖1次，抽奖箱里有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球有3个，黑球有7个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则享受免单优惠；若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打7折；若没有摸出红球，则不打折.方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. （1）若小清、小北均消费了600元，且均选择抽奖方案一，求他们至多一人享受免单优惠的概率. （2）若小杰消费恰好满1000元，试比较说明小杰选择哪一种抽奖方案更合算？ 19．（本小题满分17分） 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：吨)的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中：， （1）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)； （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （3）根据（2）中的回归方程，求当年宣传费千元时，年销售预报值是多少? 附：对于一组数据，，…，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 参考答案 1- --5:DBCCB 6---8:CCD 9.ABD 10.BD 11.CD 8．答案：D 解析：, 因, 故. 11．答案：CD 解析：对于A： ,A错误; 对于B：第2023行中的数为的展开式的二项式系数, 则从左往右第1011个数为,第1012个数为,,B错误; 对于C：第n行的第i个数为, 则,C正确; 对于D：第20行中的数为的展开式的二项式系数, 则从左往右第12个数为,第13个数为, 则,D正确. 故选：CD 12．答案：0.6 解析：因为随机变量X的概率分布密度函数, 所以, 所以. 故答案为：0.6. 13．答案： 解析：由题意得, 因为的展开式的通项为, 令,, 令,, 所以的常数项为, 故答案为: 14．答案：③④⑤ 解析：依题意，和是两两互斥事件， ，，， 又，错误； 又，，. ，③④正确； ，⑤正确.故答案为③④⑤. 15．答案：(1) (2)有关 解析：（1）根据表格可知，检查结果不正常的200人中有180人患病， 所以p的估计值为； （2）零假设为：超声波检查结果与患病无关，根据表中数据可得， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过0.001. 16．答案：（1）， （2） （3）分布列见解析 解析：（1）由分布列的性质，得解得 （2）四次射击中恰有三次命中9环，则甲击中1次9环、乙击中2次9环或甲击中2次9环、乙击中1次9环， 因此，所求事件的概率. （3）由题意可知，随机变量的可能取值有0，1，2. ， ， . 所以随机变量的分布列为 0 1 2 P 17．答案：（1）120 （2）120 （3）140 解析：（1）第一步:甲乙捆绑看做一个整体,从3个位置安排一个位置有, 第二步:从剩下5人中,需两人排在两个位置,有, 所有共有:; （2）第一步,先从剩下5人中选2人排序,有, 第二步,甲乙两人从3个空中选2个空排序,有, 所以共有:; （3）从5人中选2人加上甲乙4人的全排列有:, 其中甲跑第一棒的有:,乙跑第四棒的有:, 甲跑第一棒,乙跑第四棒有:, 所以共有:. 18．答案：（1） （2）第一种 解析：（1）若选择方案一，且享受到免单优惠，则需摸出3个红球. 设“顾客享受到免单优惠”为事件A，则， 所以小清、小北二人至多一人享受到免单的概率. （2）若小杰选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0，600，700，1000. 所以，， ，. 所以X的分布列为 X 0 600 700 1000 P 所以（元）. 若小杰选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z元，则. 由已知可得，所以. 所以（元）. 因为，所以小杰选择第一种抽奖方案更合算. 19．答案：（1）由散点图可判断适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；（2）；（3）吨 解析：（1）由散点图可以判断：适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型； （2）令，先建立y关于w的线性回归方程，由于， ，所以y关于w的线性回归方程为， 所以y关于x的回归方程为； （3）由（2）知：当时，年销售量y的预报值 故年宣传费千元时，年销售预报值是508.6吨． 学科网（北京）股份有限公司 $