2026年中考数学二轮信息必刷卷03（广州专用）

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2026年中考二轮信息必刷卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 C B B A D D C C B 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.60 12.x21 13.4 14.3 15.a2-9且a40 4 16. 3 4 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(6分) 3(x-1)<x+1① 【详解】解： 5x-3>x-3@' 3 解不等式①得：x<2, 解不等式②得：x>-3, .原不等式组的解集为-3<x<2,3分 把解集用数轴表示出来，如图： 方4号-之可0广生34方6分 18.(6分) 【详解】证明：：AB平分∠CAD, ∠CAB=∠DAB, 在△ACB与△ADB中 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 I∠C=∠D ∠CAB=∠DAB, AB=AB :△ACB≌△ADB(AAS), BC=BD.6分 19.(6分) 【详解】解： x2-2x+1 x+2 =3-(x+2) x+2 x+2(x-1 =1-x.x+2 x+2(x-12 1 1-x’3分 1=1-5 当x=5+1时，原式=3一后号6分 20.(6分) 解)①)解：6们，69,7乃，7乃，76,78,8,83这组数据的中位数是37674 平均数是： 67+69+73+73+76+78+81+83=75: 8 众数是：73， 故答案为：74.5,75,73；3分 （2)解：融融的总成绩为84×5+80x3+75x2=81(分， 5+3+2 答：融融的总成绩为81分；4分 (3)解：洋洋不一定能入选，融融能入选，理由如下： ①由频数分布直方图可知，总评成绩不低于80分的学生有11名，总评成绩不低于70分且小于80分的学生 有7名： ②洋洋和融融的总评成绩分别是78分、81分，学校要选拔12名志愿者，融融的总成绩在前12名，因此融 融一定能入选；洋洋的总成绩不一定在前12名，因此洋洋不一定能入选.…6分 21.(8分) 【详解】(1)解：：反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象经过点A2,3), 3 2,解得k=6, 2/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·反比例函数解析式为y=6 又：经过点B(6,m), 6 将点B代入反比例函数解析式得：m=二=1， 6 .k=6,m=1.3分 (2)解：如图所示，反比例函数y=《(x>0)的图象与直线AB的图象即为所求： X 8 7 V= 6 5 本 5分 2 t+4 1 B」 012345678衣 (3)解：设直线AB的解析式为y=x+b, 将A2,3,B(6,1代入得： 「2a+b=3 \a-2 1 (6a+b=1’解得 b=4 :直线8的解析式为)= 2+4, :点C(n,0),CD1x轴， 2+4, :点D的坐标为n, 6 点E的坐标为n, :CE=6, 1 DE= 21 .DE 1 CE3' :3-n+4-6=6 2 nn 解得：n=4, :n的取值范围是2<n<6, .n的值为4.…8分 22.(8分) 3/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为x-3)元， 依题意45-30 xx-39 解得x=9, 经检验x=9是原方程的解且符合题意， x-3=6, 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元；…4分 (2)解：①设购买A种材料m件，则购买B种材料(50-m件， m≥0 依题意得： 50-m≥0 9m+6(50-m≤360 解得0≤m≤20且m为整数 ②依题意得：9m×0.8+6(50-m)=330, 解得m=25.8分 23.(8分) 【详解】(1)解：设An纸的长为2a,宽为b,则A(n+1)纸的长为b,宽为a, :A系纸各长方形纸张的长宽比都相等， .2a:b=b:a, .b2:a2=2:1, b:a=V2:1, A系纸长与宽的比为√2：1.2分 (2)解：四边形BFOP纸片不是A系纸片， 在长方形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AD‖BC, 由折叠可得AE=AB,EF=BF,∠AEF=90°， .∠BAE+∠AEF=90°+90°=180°， .ABII EF, .四边形ABFE为正方形， .AB=BF=EF=AE,∠BFQ=90°， 又.PO LEF, .∠PQF=90°， :四边形BFQP是矩形， 由折叠可得PH=PB,∠PHF=LB=90°， 连接PG, 4/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G E D B 设BF=m,BP=n, ）2 .AG-GE-7m,PH-n,4P=m-8,GF- 2m +m2= 5 m, 2 :SE方影4BFE=SP4G+S.PBP+SPFG+S.FEG, 1 1,1,1V511 m2)m-n号5m+mntX -mn+-×-m2, 2 22 22 :m=5+12, 四边形BFOP纸片不是A系纸片，长与宽的比为V5+小：2.5分 (3)解：设AB=p,则CD=BF=p, :四边形ABCD是A系纸片， ·BC=V2AB=V2p, :CF=ED=2p-p=(2-1)p, CD .CF（N2-1p =2+1≠2， :四边形CDEF纸片不是A系纸片， 如图，折叠纸片CDEF,点C落在EF上的点T处，折痕为FK,连接TK,纸片ETKD为A系纸片， G E D B F 证明：由折叠可得FT=FC,∠FTK=∠C=90°， 又：∠BFE=90°， .∠BFE=∠FTK=LC=90°， .TKl BCl AD,CKI EF, 5/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :四边形TFCK是正方形，∠DKT=∠C=90°，∠ETK=∠AEF=90°， 又：∠DET=180°-90°=90°， .四边形ETKD是矩形， :ED=KT=CK=TF=FC=(2-1p, :.DK=ET=p-(2-1)p=(2-2)p, DK (2-2)p ED (2-1)p .四边形ETKD纸片是A系纸片.8分 24.(12分) 【详解】(1)解：由表格可知，x=1时y的值和x=3时y的值相等， :对称轴为直线x=1+3=2, 2 顶点坐标为 22 设抛物线解析式为y=ax-22+ , 5 将点(0,2)代入得：4a+2=2, 2 1 解得a=- 8 故抛物线解析式为y=-女-2户+05x≤6.3分 (2)解：①设直线AC的解析式为y=kx+b, 将A0,2),C(6,0)代入 [b=2 得 6k+b=0’ 1 k=- 解得 3, b=2 :直线AC的解析式为y=-x+2. 3 设点N的横坐标为m(0<m<6, 则点N的教坐标为专a-2+号（和+2小， 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 w[-2小--ag点 1 <0, 当m二0时，MN有最大值，最大值为灯 。m.4分 18 ②如图所示，过A作AH⊥MN于点H,连接AN, 设=1，则7么，2引，M(言+2，点N的横坐标为1，点N的跳坐标为--2+ N --H M B AM AN .H为MN中点，即HM=HN 8 解得1=号或1=0《舍去 -+列小+-号 :点N坐标为39 422) ；9分 ③如图所示，由题意得，DE=MN,DE∥MN, M D B :.四边形DMNE是平行四边形， .NE∥AC,即直线NE与抛物线要有两个不同的交点， :直线4C的解析式为y=3x+2, 7/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :可设直线E的解析式为y=+6, 在y=-gx-22+0≤x≤6列中， 1 、) 当x=6时，y=- 2 =2 当直线证恰好签过点P6}时， 11 则= ×6+b', 23 解得5=立 5 ·此时设直线NE的解所式为y=3r大， 1.5 联立 3x+2 少=8x-22+ 1 x-2+ -x+ 3 2 解得x= 6 此树点N的横坐标为) 当直线NE与抛物线恰好只有一个交点时， 3t+ 1 y= 联立 -2+月 1 y=- 海x-2+- x+b', 23 即3x2-20x+24b-48=0, △=(-20)2-4×3(24b'-48)=0, 解得246-48=100 3 .方程3x2-20x+24b'-48=0 8/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即为方程3x2-20x+ 100 =0, 3 10 解得x1=x2= 3 此时点N的横坐标为 3: 综上所述， 2m 1 3 3·l2分 25.(12分) 【详解】(1)解：在RtAADE中，∠DAB=45°，DE⊥AB, :.RtADE为等腰直角三角形 ·AE=DE=2V2, AD=VAE2+DE2=4,3分 (2)解：①如图， D C A B 由旋转的性质得：AE=AE,∠EAE'=a,∠E'AF'=∠EAF=45°， 2E=∠AEE1022=90-号4E4F-8-45, 2 当AE=EF'时， D C F 180°- 90°-0 A 2 ∠EAF'=∠AF'E= =45°+ a, 2 分 E a-45°=45°+ 4 解得：a=120°； 当AF'=EF时， 9/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D C B ∠EAF'=∠AEE'=90°- 2 .a-45°=90°- 2, 解得：a4=90°； 当AF'=AE时，AF'=AE=AE',，此时点F,E,E'三点不可能共线， 综上所述，旋转角a=90°或120°；8分 ②由旋转的性质得：∠AFE=∠AF'E',AE=AE',∠AEF=∠AE'F', ∠AE'F'=∠AEE', :∠AF'K+∠AF'E'=180°， .∠AFE+∠AF'E'=180°， 点A,F,E,F四点共圆， 如图，连接OE,OF', D C B 设∠AEF=∠AE'F'=∠AEE'=y, :∠AOF'=2∠AEE'=2y, :0A=0F', a∠01F=∠0FA=180P-∠A0F1=90-y ∠EAF=45°， :.∠AFE=180°-∠EAF-∠AEF=135°-y, :∠AF'E=180°-∠AFE=45°+y, .∠AKE=∠AFE+∠OAF'=135°， :∠ADE=90°-∠EAF=45°， 10/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠AKE+∠ADE=180°， 点A,D,E,K四点共圆， :DE⊥AB,即∠AED=90°， :点K在以AD为直径的圆上， 如图，取AD的中点P,连接PE,则PE1AD,且PE=4D=2, :点K在以点P为圆心，半径为2的圆上， 延长PE交CB的延长线于点L,过点B作BQ⊥AD于点Q, :四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC=4, :PL=BO, :∠BAD=45°， ∴.△ABQ为等腰直角三角形， AE 2EB,AE=22, AB=3√2， PL-Bg- 2AB=3, ∴.EL=1 过点K作KH⊥AD于点H,则KH∥PE,且KH≤PE, .KH的最大值为2， 即当点K,E重合时，点K到BC的距离最短，即为EL=I, B CK的面积最小，等于SBcE=BC×EL=2.: 11/11 2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 考情速递 中考·新动向：2026年广州中考数学延续“素养立意”命题原则，严格依据新课标，聚焦“四基”与“四能”考查。试题淡化解题技巧，回归数学本质，引导教学跳出“机械刷题”与“套路训练”。试卷兼顾学业水平评价与选拔区分双重功能，基础题占比提升以树立学生信心，中高档题通过多任务型探究设计承担区分功能，强调思维过程外显与知识融会贯通。“依标靠本”成为命题核心准则，教材原型改编的试题素材比例显著增加。 中考·新考法：广州中考数学试卷维持10选择+6填空+9解答结构。12分值的客观题单题分提高，选择题、填空题更注重基础知识的熟练度与准确性。解答题分层递进特征明显：基础题考查运算与简单证明；中档题突出建模与几何推理；压轴题以圆与二次函数为背景设置多步探究，侧重考查数学思想方法的灵活运用。“反套路”设计成为常态，统计概率题强调数据意义的专业阐释，淡化机械计算。 中考·新情境：试题情境呈现三大类型。文化情境：融入中国古代数学文化经典，考查数学的历史价值与育人功能。现实情境：结合校园体育活动、全省高质量发展大会、新兴产业发展规划等真实背景设计问题。跨学科情境：“综合与实践”问题源自生活中的安全与规范设计，体现数学知识的跨学科应用。2026年适应性测试新增了本土文化情境（如广州塔、永庆坊等）与科技前沿情境的比重，要求学生具备更强的信息筛选与问题转化能力。 命题·大预测：预测一：圆与相似三角形几何综合题。以圆为载体，融合垂径定理、圆周角定理与相似三角形判定，考查动态几何中的最值与定值问题，常作为解答题后两题出现。 预测二：二次函数与几何融合压轴题。融合函数图像性质、三角形存在性问题与图形变换，采用多任务型探究设计，考查分类讨论与数形结合思想。 预测三：统计概率的“统计味道”考查。要求用专业语言阐述数据分析结果的意义，对抽样方案合理性做出判断，并根据统计图表提出预测建议。 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个数中，是负整数的是（    ） A． B．0 C． D．7 【答案】C 【详解】解：A．是负分数，不符合题意； B．既不是正数也不是负数，不符合题意； C．是负整数，符合题意； D．是正整数，不符合题意． 2．是底面的直径，是圆柱的高，过点A、C嵌有一圈路径最短的金属丝，所得的圆柱侧面展开图是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱侧面展开图的特征及应用，两点之间，线段最短．由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：因圆柱的侧面展开图是长方形，根据“两点之间，线段最短”可知，展开后与的金属丝应是两条线段，且有公共点； 所得的圆柱侧面展开图是 故选：B． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据整式去括号法则，同底数幂的除法，二次根式加法，有理数乘方和减法运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：对选项A，∵根据去括号法则，括号前是负号，括号内各项要变号， ∴，A错误； 对选项B，∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，且， ∴，B正确，符合题意； 对选项C，∵与不是同类二次根式，不能直接合并， ∴，C错误； 对选项D，∵，， ∴，D错误． 4．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况”是解本题的关键．对于，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，据此即可解答． 【详解】解：， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5．某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制成如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列结论中不正确的是（   ） A．共有名学生参加模拟测试 B．第个月增长的“优秀”人数最多 C．从第个月到第个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D．第个月测试成绩“优秀”的学生人数达到人 【答案】D 【分析】本题主要考查了条形统计图，折线统计图，熟练掌握统计图的相关知识是解题的关键．用第个月的优秀人数除以对应的优秀率可求出参加模拟测试的学生人数，据此可判断A；分别求出第个月，第个月，第个月优秀率的增长情况即可判断B；根据折线统计图即可判断C；用乘以第个月的优秀率即可求出第个月测试成绩“优秀”的学生人数，据此可判断D． 【详解】解：名， ∴共有名学生参加模拟测试，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴第个月增长的“优秀”人数最多，故B结论正确，不符合题意； 由折线统计图可知从第个月到第个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长，故C结论正确，不符合题意； 人， ∴第个月测试成绩“优秀”的学生人数达到人，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 6．如图，位于第二象限，已知，，点的坐标为，点的坐标为．若直线与有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知求出点B的坐标，再将A、B的坐标代入直线， 分别求出对应的b的值，即可得解． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵，，点的坐标为， ∴点的坐标为， 分别将点和点的坐标代入直线，得到和， 则的取值范围为． 故选：D． 7．已知点和均在反比例函数的图象上，若，，则下列结论一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，结合，分别求出和的取值范围，相加得到的范围，即可判断结论． 【详解】∵反比例函数 中 ∴在每个象限内， 随 的增大而增大，且时，时 对于，，可得当时，，当时， ∴ 对于，，可得当时，，当时， ∴ 将两范围相加，得： 即 ∵ ，∴ A选项符合范围，成立； B选项符合范围，成立； C选项不符合范围，一定不成立； D选项是范围最大值，符合范围，成立． 8．如图，在中，，，，是边上一点（不与点A，B重合），作于点，于点．若是的中点，则的最小值是（   ） A．5 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】连接，易证明四边形是矩形，进而得到，，接着利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，从而推出，当时，取得最小值，即取得最小值，在中，由勾股定理求出长，再利用“等面积法”求出长，进而求出的最小值． 【详解】解：连接， 、， ， ， 四边形是矩形， ∴，， 又∵是的中点， ∴， ， 当时，取得最小值，即取得最小值， 在中，由勾股定理得：， ， ， 解得， ， 即的最小值为． 9．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，的内接正六边形与外切正六边形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，设正六边形为的内接正六边形，、、、、、为的切线，切点分别为、、、、、，连接、、、，设交于点，设正六边形的半径为，根据正多边形和圆的性质及切线的性质得，，，， ，证明六边形为的外切正六边形，求出，得，求出，得，可得答案． 【详解】解：如图，设正六边形为的内接正六边形，、、、、、为的切线，切点分别为、、、、、，连接、、、，设交于点，设正六边形的半径为， ∴，，，， ， ∴，， ∴， 用同样的方法可得：， 即， ∵，， ∴垂直平分， ∴， 用同样的方法可得：，， ∴，， ，， ∴，， ∴、是等边三角形， ∴， 用同样的方法可得：， 即， ∴六边形为的外切正六边形， ∵，，垂直平分， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的内接正六边形与外切正六边形的面积比是． 10．如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作将向左平移得到，与x轴交于点B，D，若直线与，共3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题．首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：将代入， 得， 解得 抛物线与x轴交于点A，B， ， 抛物线向左平移4个单位长度， ， 平移后解析式为， 如图， 当直线过点B，有2个交点， ， 解得， 当直线与抛物线相切时，有2个交点， ， 整理得， 相切， ， 解得， 直线与，共3个不同的交点， ， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，已知三点在同一直线上，若平分，则___________°． 【答案】60 【分析】此题考查了邻补角定义，角平分线的定义，求几何图形中角的度数，正确理解邻补角定义是解题的关键． 根据邻补角定义，角平分线定义进行推理论证即可． 【详解】解：∵三点在同一直线上， ， ， ， 平分， ， 故答案为：60． 12．若函数有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式分母不为0列不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：若函数有意义，需满足 解得， 因此的取值范围是． 13．如图1是一个立方体纸盒的示意图，图2是该立方体纸盒的表面展开图，连结，交于点P，则的值为______． 【答案】 【分析】记与交于点A，则点A是的中点，证明，得到，设，则，证明，得到，设，，分别求出，，即可求出结果． 【详解】解：如图，记与交于点A，则点A是的中点， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∴， ∴． 14．如图，等腰中，点P为斜边中点，点D在上且，将绕点C在平面内旋转，点D的对应点为点Q，连接．则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线，旋转的性质，三角形三边关系，根据斜边中点得到，根据旋转得到，再根据三角形三边关系得到，即可求出，求出的最大值即可． 【详解】解：连接， ∵等腰中，点P为斜边中点， ∴， ∵将绕点C在平面内旋转，点D的对应点为点Q，， ∴， ∴中，，当、、三点共线时，不构成三角形时取等号， ∴，即， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 15．若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，如：，，等都是“二倍点”，若二次函数的图象上有“二倍点”，则a的取值范围是________． 【答案】且 【分析】二次函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，由“二倍点”定义，满足，代入二次函数得方程，有“二倍点”即该方程有实数根，故判别式，且二次函数隐含． 【详解】解：根据题意得：“二倍点”均在直线上， 将代入，得， 整理得：， 判别式， ∵二次函数的图象上有“二倍点”， ∴，即， 解得：， 又∵二次函数， ∴， 故的取值范围是：且． 故答案为：且． 16．如图，在中，，，点是平面内一点，且．过点作于点． ①若，则的长为________； ②当线段绕点在平面内旋转时，线段长度的最大值为________． 【答案】 3 4 【分析】（1）由勾股定理可求解； （2）根据题意识别出点是在以为直径的圆上运动，点是在以为圆心，以1为半径的圆上运动，所以当与圆相切于点，且在△外部时，最大，最大，由勾股定理可求解． 【详解】解：①， ， 故答案为：3； ②， ， 点是在以为直径的圆上运动， ，且是绕点旋转， 点是在以为圆心，以1为半径的圆上运动， 如图，当与圆相切于点，且在外部时，最大，最大， 由题意可得：， 四边形为圆的内接四边形，，， ，，， ，， ， ， 故答案为：4． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）解不等式组，并将解集用数轴表示出来． 【答案】，见解析 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， 把解集用数轴表示出来，如图： 18．（6分）已知：如图，平分，．求证：． 【答案】见解析 【分析】证明，即可解答． 【详解】证明：∵平分， ， 在与中 ， ， ． 19．（6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对括号内分式通分计算，再将除法转化为乘法，通过因式分解约分进行化简，然后把x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20．（6分）年广东文旅资源开发大会计划招募“岭南文化推广志愿者”，共有名申请者参加选拔．每位申请者需参加讲解、策划、展示三项能力测试，每项测试均由八位评委打分（满分分），取平均分作为该项测试成绩，再将讲解、策划、展示三项测试成绩按的比例计算出每人的总成绩．名申请者中的洋洋和融融的测试成绩和总评成绩的部分数据如下表，这名申请者的总成绩频数分布直方图如下图：分及以上人，分（不含）人，分（不含）人，分（不含）人． 申请者 各项成绩 成绩 讲解 策划 展示 洋洋 融融 (1)在展示测试中，八位评委给融融打出的分数如下：，，，，，，，．这组数据的中位数是________，平均数是________，众数是________； (2)请你计算融融的总成绩； (3)根据总成绩择优选拔名志愿者，试分析洋洋和融融能否入选，并说明理由． 【答案】(1)，，； (2)融融的总成绩为分； (3)洋洋不一定能入选，融融能入选，理由见解析． 【分析】此题考查了中位数、众数、加权平均数，频数分布直方图，解题的关键是熟悉相关概念． （）从小到大排序，找出中位数，再求出众数，算出平均数即可； （）将讲解、策划、展示三项的测试成绩按比例计算即可； （）根据总成绩频数分布直方图即可作答． 【详解】（1）解：，，，，，，，这组数据的中位数是； 平均数是：； 众数是：， 故答案为：，，； （2）解：融融的总成绩为（分）， 答：融融的总成绩为分； （3）解：洋洋不一定能入选，融融能入选，理由如下： 由频数分布直方图可知，总评成绩不低于分的学生有名，总评成绩不低于分且小于分的学生有名； 洋洋和融融的总评成绩分别是分、分，学校要选拔名志愿者，融融的总成绩在前名，因此融融一定能入选；洋洋的总成绩不一定在前名，因此洋洋不一定能入选． 21．（8分）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点． (1)___________，___________； (2)在同一坐标系内作出反比例函数的图象与直线； (3)平面内有点，过C作轴，交于点D，交反比例函数的图象于点E，当时，直接写出n的值． 【答案】(1)6，1 (2)作图见详解 (3) 【分析】（1）根据已知条件利用待定系数法可求得反比例函数解析式，即得出k值，再将点B代入反比例函数解析式即可求得m的值； （2）作反比例函数图象时，在坐标系中描出点，，为了使图象更准确，还可取点，再用平滑的曲线连接这些点，画出第一象限内的双曲线分支；作直线时，连接点和点，画出直线； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据点D和点E的坐标表示出线段和的长度，利用给定的比例关系列出关于n的方程即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， 又∵经过点， ∴将点B代入反比例函数解析式得：， ∴，． （2）解：如图所示，反比例函数的图象与直线的图象即为所求： （3）解：设直线的解析式为， 将，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， ∵点，轴， ∴点D的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵n的取值范围是， ∴n的值为4． 22．（8分）某商店销售制作艾草香包的原材料，已知每件种材料的价格比每件种材料的价格多3元，用45元购买A种材料的件数和用30元购买B种材料的件数相同． (1)求每件种材料和种材料各多少元？ (2)张老师准备在劳动课上带领同学们制作艾草香包，需购买A，B两种材料．若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元．设购买种材料件． ①若A，B两种材料按原价销售，求的取值范围； ②张老师到达商店后，发现商店正在做促销活动：A种材料打八折，B种材料不打折．若张老师合计付款330元，求的值． 【答案】(1)A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； (2)①且m为整数；② 【分析】（1）设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为元，根据用45元购买A种材料的件数和用30元购买B种材料的件数相同列方程求解即可； （2）①设购买种材料m件，则购买种材料件，根据题意列出不等式组求解即可； ②根据张老师合计付款330元列方程求解即可． 【详解】（1）解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为元， 依题意， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意， ， 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； （2）解：①设购买种材料m件，则购买种材料件， 依题意得：． 解得且m为整数． ②依题意得：， 解得． 23．（8分）综合与实践． 主题：纸张规格的奥秘． 材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活的便利性． 探究：如图，系列长方形纸张的规格特征是： ①各长方形纸张的长宽比都相等； ②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，，纸对裁后可以得到两张纸，我们把符合这种形状的纸称为系纸． (1)直接写出系纸长与宽的比______． (2)如图2，折叠系纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开．点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点，四边形纸片是否是系纸片？如果是，请证明，如果不是请求出长与宽的比． (3)在图2中，四边形纸片是否是系纸片？如果不是请在纸片中折出系纸片，画出图形，并加以证明． 【答案】(1) (2)四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为； (3)四边形纸片不是系纸片，折纸画图及其证明过程见解析． 【分析】（1）设纸的长为，宽为，则纸的长为，宽为，根据系列长方形纸张的规格特征，可得，即可得系纸长与宽的比； （2）由折叠可得，四边形是矩形，，，连接，设，，由勾股定理可得，根据，代入化简，即可求解； （3）设，则，由系纸片长与宽的比可得，可得，计算，结合系纸片长与宽的比进行判断，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，由折叠过程，结合平行线的性质，可得四边形是正方形，四边形是矩形，，，计算，即可证明是系纸片． 【详解】（1）解：设纸的长为，宽为，则纸的长为，宽为， ∵系纸各长方形纸张的长宽比都相等， ∴， ∴， ∴， ∴系纸长与宽的比为． （2）解：四边形纸片不是系纸片， 在长方形中，，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， 由折叠可得，， 连接， 设，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为． （3）解：设，则， ∵四边形是系纸片， ∴， ∴， ∴， ∴四边形纸片不是系纸片， 如图，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，纸片为系纸片， 证明：由折叠可得，， 又∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形，，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形纸片是系纸片． 24．（12分）【综合与实践】 【情境导入】 周末，小深和同学们到深圳湾体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： … 【探究任务】 (1)根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为________，并求出水流的函数解析式． (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树的最大可能高度是多少？ ②若设计师希望从坡顶处看，树底和树顶的视觉效果对称（即），请求出此时树顶的坐标． ③在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不重叠，请直接写出第一棵树底的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)①这棵小树的最大可能高度是；②点坐标为；③ 【分析】（1）由表格信息可知抛物线顶点为．设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）①设直线解析式为，将代入可求得的解析式为，设点的横坐标为，则点N的纵坐标为，，用含m的式子表示出，进而根据二次函数的性质可得答案； ②过作于点，连接，设，则，，点的横坐标为，点N的纵坐标为，根据得到，解方程即可得到答案； ③可证明四边形是平行四边形，则，即直线与抛物线要有两个不同的交点，求出直线恰好经过点P和直线与抛物线恰好只有一个交点时点N的横坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可知，时y的值和时y的值相等， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， 故抛物线解析式为． （2）解：①设直线的解析式为， 将代入 得， 解得， ∴直线的解析式为． 设点的横坐标为， 则点N的纵坐标为，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． ②如图所示，过作于点，连接， 设，则，，点的横坐标为，点N的纵坐标为 ∵， ∴为中点，即 ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴点坐标为； ③如图所示，由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即直线与抛物线要有两个不同的交点， ∵直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 在中， 当时，， ∴， 当直线恰好经过点时， 则， 解得， ∴此时设直线的解析式为， 联立 得， 解得或， ∴此时点N的横坐标为； 当直线与抛物线恰好只有一个交点时， 联立 得， 即， ∴， 解得， ∴方程 即为方程， 解得， ∴此时点N的横坐标为； 综上所述，． 25．（12分）如图，在中，，于点，，． (1)填空：________，________． (2)已知点是线段上的动点（不与，两点重合），连接．将绕点顺时针旋转得到（点，分别与点，对应），且满足，，三点在同一直线上，记此时的旋转角为． ①当是等腰三角形时，求旋转角； ②记的外接圆圆心为点，连接并延长，交直线于点．在点的运动过程中，的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；②2 【分析】（1）利用等腰直角三角形的判定和性质解答即可； （2）①由旋转的性质可得，，然后分三种情况：当时， 当时， 当时，即可求解； ②根据题意可得，从而得到点四点共圆，连接，设，可得，，从而得到，，进而得到，可得点A，D，E，K四点共圆，可得到点K在以为直径的圆上，取的中点P，连接，则，且，则点K在以点P为圆心，半径为2的圆上，延长交的延长线于点L，过点B作于点Q，求出，过点K作于点H，则，且，可得当点K，E重合时，点K到的距离最短，即为，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， （2）解：①如图， 由旋转的性质得：，， ∴，， 当时， ， ∴， 解得：； 当时， ， ∴， 解得：； 当时，，此时点三点不可能共线， 综上所述，旋转角或； ②由旋转的性质得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴点四点共圆， 如图，连接， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A，D，E，K四点共圆， ∵，即， ∴点K在以为直径的圆上， 如图，取的中点P，连接，则，且， ∴点K在以点P为圆心，半径为2的圆上， 延长交的延长线于点L，过点B作于点Q， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴ 过点K作于点H，则，且， ∴的最大值为2， 即当点K，E重合时，点K到的距离最短，即为， 此时的面积最小，等于． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 考情速递 中考·新动向：2026年广州中考数学延续“素养立意”命题原则，严格依据新课标，聚焦“四基”与“四能”考查。试题淡化解题技巧，回归数学本质，引导教学跳出“机械刷题”与“套路训练”。试卷兼顾学业水平评价与选拔区分双重功能，基础题占比提升以树立学生信心，中高档题通过多任务型探究设计承担区分功能，强调思维过程外显与知识融会贯通。“依标靠本”成为命题核心准则，教材原型改编的试题素材比例显著增加。 中考·新考法：广州中考数学试卷维持10选择+6填空+9解答结构。12分值的客观题单题分提高，选择题、填空题更注重基础知识的熟练度与准确性。解答题分层递进特征明显：基础题考查运算与简单证明；中档题突出建模与几何推理；压轴题以圆与二次函数为背景设置多步探究，侧重考查数学思想方法的灵活运用。“反套路”设计成为常态，统计概率题强调数据意义的专业阐释，淡化机械计算。 中考·新情境：试题情境呈现三大类型。文化情境：融入中国古代数学文化经典，考查数学的历史价值与育人功能。现实情境：结合校园体育活动、全省高质量发展大会、新兴产业发展规划等真实背景设计问题。跨学科情境：“综合与实践”问题源自生活中的安全与规范设计，体现数学知识的跨学科应用。2026年适应性测试新增了本土文化情境（如广州塔、永庆坊等）与科技前沿情境的比重，要求学生具备更强的信息筛选与问题转化能力。 命题·大预测：预测一：圆与相似三角形几何综合题。以圆为载体，融合垂径定理、圆周角定理与相似三角形判定，考查动态几何中的最值与定值问题，常作为解答题后两题出现。 预测二：二次函数与几何融合压轴题。融合函数图像性质、三角形存在性问题与图形变换，采用多任务型探究设计，考查分类讨论与数形结合思想。 预测三：统计概率的“统计味道”考查。要求用专业语言阐述数据分析结果的意义，对抽样方案合理性做出判断，并根据统计图表提出预测建议。 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个数中，是负整数的是（    ） A． B．0 C． D．7 2．是底面的直径，是圆柱的高，过点A、C嵌有一圈路径最短的金属丝，所得的圆柱侧面展开图是（    ） A．B．C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制成如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列结论中不正确的是（   ） A．共有名学生参加模拟测试 B．第个月增长的“优秀”人数最多 C．从第个月到第个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D．第个月测试成绩“优秀”的学生人数达到人 6．如图，位于第二象限，已知，，点的坐标为，点的坐标为．若直线与有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知点和均在反比例函数的图象上，若，，则下列结论一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，是边上一点（不与点A，B重合），作于点，于点．若是的中点，则的最小值是（   ） A．5 B．12 C． D． 9．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，的内接正六边形与外切正六边形的面积比是（    ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作将向左平移得到，与x轴交于点B，D，若直线与，共3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，已知三点在同一直线上，若平分，则___________°． 12．若函数有意义，则x的取值范围是________． 13．如图1是一个立方体纸盒的示意图，图2是该立方体纸盒的表面展开图，连结，交于点P，则的值为______． 14．如图，等腰中，点P为斜边中点，点D在上且，将绕点C在平面内旋转，点D的对应点为点Q，连接．则的最大值为______． 15．若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，如：，，等都是“二倍点”，若二次函数的图象上有“二倍点”，则a的取值范围是________． 16．如图，在中，，，点是平面内一点，且．过点作于点． ①若，则的长为________； ②当线段绕点在平面内旋转时，线段长度的最大值为________． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）解不等式组，并将解集用数轴表示出来． 18．（6分）已知：如图，平分，．求证：． 19．（6分）先化简，再求值：，其中． 20．（6分）年广东文旅资源开发大会计划招募“岭南文化推广志愿者”，共有名申请者参加选拔．每位申请者需参加讲解、策划、展示三项能力测试，每项测试均由八位评委打分（满分分），取平均分作为该项测试成绩，再将讲解、策划、展示三项测试成绩按的比例计算出每人的总成绩．名申请者中的洋洋和融融的测试成绩和总评成绩的部分数据如下表，这名申请者的总成绩频数分布直方图如下图：分及以上人，分（不含）人，分（不含）人，分（不含）人． 申请者 各项成绩 成绩 讲解 策划 展示 洋洋 融融 (1)在展示测试中，八位评委给融融打出的分数如下：，，，，，，，．这组数据的中位数是________，平均数是________，众数是________； (2)请你计算融融的总成绩； (3)根据总成绩择优选拔名志愿者，试分析洋洋和融融能否入选，并说明理由． 21．（8分）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点． (1)___________，___________； (2)在同一坐标系内作出反比例函数的图象与直线； (3)平面内有点，过C作轴，交于点D，交反比例函数的图象于点E，当时，直接写出n的值． 22．（8分）某商店销售制作艾草香包的原材料，已知每件种材料的价格比每件种材料的价格多3元，用45元购买A种材料的件数和用30元购买B种材料的件数相同． (1)求每件种材料和种材料各多少元？ (2)张老师准备在劳动课上带领同学们制作艾草香包，需购买A，B两种材料．若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元．设购买种材料件． ①若A，B两种材料按原价销售，求的取值范围； ②张老师到达商店后，发现商店正在做促销活动：A种材料打八折，B种材料不打折．若张老师合计付款330元，求的值． 23．（8分）综合与实践． 主题：纸张规格的奥秘． 材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活的便利性． 探究：如图，系列长方形纸张的规格特征是： ①各长方形纸张的长宽比都相等； ②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，，纸对裁后可以得到两张纸，我们把符合这种形状的纸称为系纸． (1)直接写出系纸长与宽的比______． (2)如图2，折叠系纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开．点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点，四边形纸片是否是系纸片？如果是，请证明，如果不是请求出长与宽的比． (3)在图2中，四边形纸片是否是系纸片？如果不是请在纸片中折出系纸片，画出图形，并加以证明． 24．（12分）【综合与实践】 【情境导入】 周末，小深和同学们到深圳湾体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： … 【探究任务】 (1)根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为________，并求出水流的函数解析式． (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树的最大可能高度是多少？ ②若设计师希望从坡顶处看，树底和树顶的视觉效果对称（即），请求出此时树顶的坐标． ③在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不重叠，请直接写出第一棵树底的横坐标的取值范围． 25．（12分）如图，在中，，于点，，． (1)填空：________，________． (2)已知点是线段上的动点（不与，两点重合），连接．将绕点顺时针旋转得到（点，分别与点，对应），且满足，，三点在同一直线上，记此时的旋转角为． ①当是等腰三角形时，求旋转角； ②记的外接圆圆心为点，连接并延长，交直线于点．在点的运动过程中，的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $