2026年中考数学二轮信息必刷卷03（广东省专用）

2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 考情速递 中考·新动向：依据广东省 2026 年中考改革方案，语文、数学、英语作为基础学科适当提高难度与深度，重点考查学生核心素养与综合能力。试卷注重基础知识与基本技能的考查，同时强化逻辑推理、几何直观、数学建模等能力，突出数学的应用性与综合性，体现从知识立意向素养立意转变。 中考·新考法：选择题共 10 题，侧重考查基础概念、简单运算与命题判断，如第 1 题无理数概念、第 3 题整式运算、第 4 题几何与统计命题判断、第 9 题函数图象综合分析。填空题共 5 题，注重知识综合与灵活运用，如第 13 题一元二次方程根与系数关系、第 15 题几何折叠与计算。解答题层次清晰，基础计算、几何证明、统计概率、实际应用、函数综合依次展开，第 16 题实数运算、第 17 题分式化简求值、第 18 题等边三角形全等证明、第 19 题统计与概率、第 20 题分式方程与不等式应用、第 21 题反比例函数与旋转、第 22 题几何旋转探究、第 23 题二次函数综合压轴，全面考查运算、推理、探究与综合应用能力。 中考·新情境：试题融入国家科技发展、校园生活、实践操作等真实背景，如第 11 题以神舟十九号为情境考查科学记数法；第 6 题、第 20 题以校园采购为情境考查方程与不等式建模；第 15 题、第 22 题以折叠、旋转等操作探究为情境，强化几何直观与动手实践能力，情境真实、阅读量适中，突出数学在实际问题中的应用。 命题·大预测：①几何旋转、全等与探究题是中考高频考点，常以等边三角形、等腰直角三角形、旋转为载体，考查推理证明与动态分析，是必考重点。②分式方程与一元一次不等式的实际应用贴近生活，属于稳定必考题型，强调建模与方案优化。③几何折叠综合多在填空压轴出现，结合轴对称、勾股定理与方程思想，是高频难点。④统计与概率属于基础必考题，以双统计图与概率计算为主，难度稳定。⑤二次函数综合题为必考压轴题，常结合交点、角度、平移、定点定值问题，是试卷区分度核心，备考需重点强化。 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3分）下列实数中，是无理数的是（　　） A．2 B． C． D． 2．（3分）如图所示几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列命题正确的是（　　） A．同旁内角互补 B．一组数据的方差越大，这组数据波动性越大 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 5．（3分）如图，在中，弦，圆周角，则的直径等于（　　） A． B． C． D． 6．（3分）某学校预计购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进篮球的数量相等，设篮球的单价是元，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）下列各点中，在反比例函数图象上的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，△中，点、分别是、上两点，且，若，，，则的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D． 9．（3分）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，在正方形中，，分别是，上的点，．连接，，点是的中点，连接并延长交于点．平分交于．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共15 分. 11．（3分）我国神舟十九号载人飞船，捆绑了四个直径2.25米的助推器，起飞的重量约为480000千克．其中480000用科学记数法表示为 　 　 ． 12．（3分）分解因式：　 　． 13．（3分）若，是方程的两个实数根，则的值为 　 　 ． 14．（3分）已知一个圆锥的母线长为，侧面展开图面积为，那么圆锥底面圆的直径为 　 　． 15．（3分）矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，在上选一点，沿折叠，使点落在折痕上的点处，把纸片展平，连接，，若，，则线段的长为 　　 ． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16．（7分）计算： （1）（3分）； （2）（4分）． 17．（7分）先化简，再求值：的值，其中使分式值为0． 18．（7分）补充完成下列推理过程： 如图，在等边△中，是边上一点，连接，以为边向上作等边△，连接． 求证：． 证明：△和△都是等边三角形， ，，． 　　 ． 即 　　 ． 在△和△中， △△ 　　 ． 　　 ． △是等边三角形， ． 　　 ． 　　 ． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19．（9分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”等给我们的生活带来了很多便利，某数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如图不完整的统计图． （1）根据图中信息求出　　 ，　　 ； （2）根据抽样调查的结果，请估计全校2000名学生中有多少人最认可“微信”这一新生事物？ （3）已知、两位同学都最认可“微信”， 同学最认可“支付宝”， 同学最认可“网购”．从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率． 20．（9分）为改善学生的就餐条件，学校食堂准备购买甲，乙两种型号的餐具．已知乙型餐具的单价比甲型餐具的单价多10元，用180元购买乙型餐具与用120元购买甲型餐具的件数相同． （1）求甲，乙两种餐具的单价各是多少元； （2）若购买甲、乙两种餐具共1000件，且总费用不超过28000元，则最多购买乙型餐具多少件？ 21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将绕点逆时针旋转得到△，点恰好落在上，请求出图中阴影部分的面积． 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22．（13分）问题情境：“综合与实践”课上，杨老师提出如下问题：将图1中的正方形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的等腰直角三角形纸片，表示为和，其中，将和按图2所示方式摆放（点，，三点共线），其中点与点重合（标记为点．连接，取的中点，过点作交的延长线于点． 问题（1）：试判断的形状，直接写出答案． （2）深入探究：杨老师将图2中的绕点顺时针方向旋转，当点，，三点不在一条直线上时，如图3所示，并让同学们提出新的问题并解决新问题． ①“洞察小组”提出问题是（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你证明，若不成立；请你写出新的结论，并证明； ②“思考小组”提出问题是：若正方形的边长是4，把图2中的绕点顺时针方向旋转一周，当点，，三点共线时，请你直接写出的面积． 23．（14分）如图1，抛物线与轴交于点，两点，与直线交于点． （1）直接写出、、的值； （2）取点，在抛物线第一象限上取点，使，求点的坐标； （3）如图2，将抛物线平移至顶点为原点时，过轴正半轴上一点的直线与抛物线交于、两点，直线、与抛物线只有一个交点，连接，若存在点使得恒成立，求点坐标． 9 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D B A C B C D A 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共15 分. 11． 12． 13．2025 14．4 15． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16．（7分）计算： 【详解】解：（1）（3分） ·····（2分） ． ·····（3分） （2）（4分） ·····（5分） ·····（6分） ；·····（7分） 17．（7分）先化简，再求值：的值，其中使分式值为0． 【分析】先计算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ·····（1分） ·····（2分） ·····（3分） ，·····（4分） 使分式值为0， 且， 解得，·····（6分） 当时，原式．·····（7分） 【点睛】本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18．（7分）补充完成下列推理过程： 如图，在等边△中，是边上一点，连接，以为边向上作等边△，连接． 求证：． 证明：△和△都是等边三角形， ，，． 　　 ． 即 　　 ． 在△和△中， △△ 　　 ． 　　 ． △是等边三角形， ． 　　 ． 　　 ． 【分析】根据等边三角形性质得，，，进而得，由此可依据“”判定△和△全等得，然后根据内错角相等，两直线平行即可得出结论． 【详解】证明：△和△都是等边三角形， ，，． ．·····（1分） 即．·····（3分） 在△和△中， △△．·····（4分） ．·····（5分） △是等边三角形， ． （等量代换）．·····（6分） （内错角相等，两直线平行）．·····（7分） 故答案为：；；；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定是解决问题的关键． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19．（9分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”等给我们的生活带来了很多便利，某数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如图不完整的统计图． （1）根据图中信息求出　100　 ，　　 ； （2）根据抽样调查的结果，请估计全校2000名学生中有多少人最认可“微信”这一新生事物？ （3）已知、两位同学都最认可“微信”， 同学最认可“支付宝”， 同学最认可“网购”．从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率． 【分析】（1）用条形统计图中“共享单车”的人数除以扇形统计图中“共享单车”的百分比可得的值；用条形统计图中“支付宝”的人数除以的值再乘以可得，即可得的值． （2）根据用样本估计总体，用2000乘以样本中“微信”的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得，． ， ． 故答案为：100；35．·····（2分） （2）（人．·····（3分） 答：估计全校2000名学生中约有800人最认可“微信”这一新生事物．·····（4分） （3）列表如下： ·····（6分） 共有12种等可能的结果，其中这两位同学最认可的新生事物不一样的结果有：，，，，，，，，，，共10种，·····（8分） 这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为．·····（9分） 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键． 20．（9分）为改善学生的就餐条件，学校食堂准备购买甲，乙两种型号的餐具．已知乙型餐具的单价比甲型餐具的单价多10元，用180元购买乙型餐具与用120元购买甲型餐具的件数相同． （1）求甲，乙两种餐具的单价各是多少元； （2）若购买甲、乙两种餐具共1000件，且总费用不超过28000元，则最多购买乙型餐具多少件？ 【分析】（1）设甲种餐具的单价为元，则乙种餐具的单价为元，由题意列分式方程求解即可得到答案，注意分式方程需要验根； （2）设购买乙种餐具件，则购买甲种餐具件，由题意列一元一次不等式求解即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意，设甲种餐具的单价为元，则乙种餐具的单价为元，·····（1分） ，·····（2分） ，·····（3分） 经检验是原分式方程的根．·····（4分） ， 答：甲种餐具的单价为20元，乙种餐具的单价为30元；·····（5分） （2）由题意，设购买乙种餐具件，则购买甲种餐具件，·····（6分） ，·····（7分） ，·····（8分） 答：最多购买乙种餐具800件．·····（9分） 【点睛】本题主要考查分式方程、一元一次不等式解实际问题，读懂题意，设未知数列出方程及不等式求解是解决问题的关键． 21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将绕点逆时针旋转得到△，点恰好落在上，请求出图中阴影部分的面积． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交轴于点，首先得到，然后利用旋转的性质得到，利用勾股定理求出，，然后根据阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】解：（1）反比例函数的图象经过点， ，解得，·····（1分） ；·····（2分） （2）过点作轴交轴于点，·····（3分） ， ，·····（4分） 将绕点逆时针旋转得到△，点恰好落在上， ， ， ，·····（5分） ， ， ， ，·····（6分） ，， ，·····（7分） ，·····（8分） 阴影部分的面积．·····（9分） 【点睛】本题考查反比例函数的图象、待定系数法求反比例函数解析式、旋转的性质，勾股定理，求扇形面积等知识，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和数形结合的思想解答． 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22．（13分）问题情境：“综合与实践”课上，杨老师提出如下问题：将图1中的正方形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的等腰直角三角形纸片，表示为和，其中，将和按图2所示方式摆放（点，，三点共线），其中点与点重合（标记为点．连接，取的中点，过点作交的延长线于点． 问题（1）：试判断的形状，直接写出答案． （2）深入探究：杨老师将图2中的绕点顺时针方向旋转，当点，，三点不在一条直线上时，如图3所示，并让同学们提出新的问题并解决新问题． ①“洞察小组”提出问题是（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你证明，若不成立；请你写出新的结论，并证明； ②“思考小组”提出问题是：若正方形的边长是4，把图2中的绕点顺时针方向旋转一周，当点，，三点共线时，请你直接写出的面积． 【分析】（1）根据正方形和等腰直角三角形性质可证得，推出，，，即可证得结论； （2）①延长，相交于点，设与相交于点，可证得，得出，再证得，，，即可推出是等腰直角三角形； ②分两种情况：当点在的延长线上时，当点在的延长线上时，分别运用等腰直角三角形性质和勾股定理即可求得答案． 【详解】解：（1）是等腰直角三角形．理由如下：·····（2分） 如图，和是等腰直角三角形， ，， 点，，三点在一条直线上，， ， 四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． （2）①（1）中的结论仍然成立，即是等腰直角三角形．理由如下：·····（3分） 如图，延长，相交于点，设与相交于点，和是等腰直角三角形， 点是的中点， ， ， ；·····（4分） 在和中， ， ， ， 和是腰长相等的等腰直角三角形，·····（5分） ，且， ， ， ． 是和 的外角， ， ， ，·····（6分） 在和中， ， ， ，， ， 即， 是等腰直角三角形；·····（7分） ②当点在的延长线上时，过点作于，如图，·····（8分） 正方形的边长是4， ， 是等腰直角三角形，， ， ，·····（9分） 由①知是等腰直角三角形， ；·····（10分） 当点在的延长线上时，过点作于，如图， 则，，·····（11分） 由①知是等腰直角三角形， ；·····（12分） 综上所述，当点，，三点共线时，的面积为或．·····（13分） 【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等，正确添加辅助线是解题关键． 23．（14分）如图1，抛物线与轴交于点，两点，与直线交于点． （1）直接写出、、的值； （2）取点，在抛物线第一象限上取点，使，求点的坐标； （3）如图2，将抛物线平移至顶点为原点时，过轴正半轴上一点的直线与抛物线交于、两点，直线、与抛物线只有一个交点，连接，若存在点使得恒成立，求点坐标． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）延长交轴于点，过点作轴于点，可证得△△，求得，运用待定系数法求得直线的表达式，再与二次函数表达式联立即可求得答案； （3）设，直线的表达式为，，，，，，，设直线的表达式为，直线的表达式为，根据直线、与抛物线只有一个交点，得出：，，过点作轴，过点，分别作的垂线，垂足分别为，，可证得△△，进而得出，即，再由直线与抛物线的表达式联立可得：，即可求得答案． 【详解】解：（1）设，把代入得：， 解得：，·····（1分） ，即， ，，·····（2分） 把代入得：， 解得：；·····（3分） （2）延长交轴于点，过点作轴于点，如图1， ·····（4分） 设，又， ，， ，轴， ， ，， ， ，，， ， ， △△，·····（5分） ， ， 即， 解得：， ，·····（6分） 设直线的表达式为，则， 解得：， 直线的表达式为，·····（7分） 联立得：， 解得：，， 点的坐标为，；·····（8分） （3）设，直线的表达式为，，，，，，， 将抛物线平移至顶点为原点， 平移后的抛物线表达式为，·····（9分） 设直线的表达式为，直线的表达式为， 将，，，代入，得， 解得：，·····（10分） 同理可得：， 直线与抛物线表达式联立得：， 整理得：， 直线、与抛物线只有一个交点， △， ， ， 同理可得：，·····（11分） 过点作轴，过点，分别作的垂线，垂足分别为，，如图2， 则，，，， ， ， ， △△，·····（12分） ，即， ， 即， ， ，·····（13分） 又， 整理得：， ， ， ， 点坐标为．·····（14分） 【点睛】本题要是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用等知识，熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 考情速递 中考·新动向：依据广东省 2026 年中考改革方案，语文、数学、英语作为基础学科适当提高难度与深度，重点考查学生核心素养与综合能力。试卷注重基础知识与基本技能的考查，同时强化逻辑推理、几何直观、数学建模等能力，突出数学的应用性与综合性，体现从知识立意向素养立意转变。 中考·新考法：选择题共 10 题，侧重考查基础概念、简单运算与命题判断，如第 1 题无理数概念、第 3 题整式运算、第 4 题几何与统计命题判断、第 9 题函数图象综合分析。填空题共 5 题，注重知识综合与灵活运用，如第 13 题一元二次方程根与系数关系、第 15 题几何折叠与计算。解答题层次清晰，基础计算、几何证明、统计概率、实际应用、函数综合依次展开，第 16 题实数运算、第 17 题分式化简求值、第 18 题等边三角形全等证明、第 19 题统计与概率、第 20 题分式方程与不等式应用、第 21 题反比例函数与旋转、第 22 题几何旋转探究、第 23 题二次函数综合压轴，全面考查运算、推理、探究与综合应用能力。 中考·新情境：试题融入国家科技发展、校园生活、实践操作等真实背景，如第 11 题以神舟十九号为情境考查科学记数法；第 6 题、第 20 题以校园采购为情境考查方程与不等式建模；第 15 题、第 22 题以折叠、旋转等操作探究为情境，强化几何直观与动手实践能力，情境真实、阅读量适中，突出数学在实际问题中的应用。 命题·大预测：①几何旋转、全等与探究题是中考高频考点，常以等边三角形、等腰直角三角形、旋转为载体，考查推理证明与动态分析，是必考重点。②分式方程与一元一次不等式的实际应用贴近生活，属于稳定必考题型，强调建模与方案优化。③几何折叠综合多在填空压轴出现，结合轴对称、勾股定理与方程思想，是高频难点。④统计与概率属于基础必考题，以双统计图与概率计算为主，难度稳定。⑤二次函数综合题为必考压轴题，常结合交点、角度、平移、定点定值问题，是试卷区分度核心，备考需重点强化。 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列实数中，是无理数的是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】． 【分析】根据无理数的意义，对4个数分别作出判断，再作选择． 【详解】解：根据无理数的意义，对4个数分别作出如下判断： 2是有理数，故不符合； 是无理数，故符合； 是有理数，故不符合； 是有理数，故不符合， 故选：． 【点睛】本题考查了无理数的识别，解题关键是掌握无理数的意义并能运用求解． 2．（3分）如图所示几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】． 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看到的是． 故选：． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】． 【分析】根据二次根式的性质、立方根、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【详解】解：、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项正确，符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简、立方根、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（3分）下列命题正确的是（　　） A．同旁内角互补 B．一组数据的方差越大，这组数据波动性越大 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】． 【分析】利用平行线的性质、方差的意义、菱形的判定方法及平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意； 、一组数据的方差越大，这组数据波动性越大，正确，符合题意； 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意； 、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 5．（3分）如图，在中，弦，圆周角，则的直径等于（　　） A． B． C． D． 【答案】． 【分析】连接并延长交于，连接，求出，，可得． 【详解】解：连接并延长交于，连接，如图： ， ， 为的直径， ， ， 的直径为； 故选：． 【点睛】本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等和含的直角三角形三边的关系． 6．（3分）某学校预计购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进篮球的数量相等，设篮球的单价是元，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】． 【分析】根据篮球及足球单价间的关系，可得出足球的单价是元，利用数量总价单价，结合用360元购进的足球和用480元购进篮球的数量相等，即可列出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：篮球的单价比足球的单价多30元，且篮球的单价是元， 足球的单价是元． 根据题意得：． 故选：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 7．（3分）下列各点中，在反比例函数图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，点满足，其中． 【详解】解：反比例函数的图象上点的坐标应满足， ．，，不符合题意； ．，，符合题意； ．，，不符合题意； ．，，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 8．（3分）如图，△中，点、分别是、上两点，且，若，，，则的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】． 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案． 【详解】解：， △△， ， ，，， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定． 9．（3分）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】． 【分析】根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴确定出，根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】解：根据二次函数图象可得，，． 反比例函数的图象在第二、四象限；一次函数的图象经过第一、二、四象限． 则满足条件的只有． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与轴的交点坐标等确定出、、的情况是解题的关键． 10．（3分）如图，在正方形中，，分别是，上的点，．连接，，点是的中点，连接并延长交于点．平分交于．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】． 【分析】连接，延长交于点，连接，过点作于点，设，则，，，证明△和△全等得，，证明点，，共线得，由勾股定理求出得，证明△和△全等得，再证明，由三角形的面积公式求出，由勾股定理求出，根据，，得，由三角形面积公式得，再根据得，由此即可得出的值． 【详解】解：连接，延长交于点，连接，过点作于点，如图所示： 设，则， ， 四边形是正方形， ，，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， 平分交于， 点，，共线， ， ， ， 在△中，，， 由勾股定理得：， ， 点是的中点， 是△斜边上的中线， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， 在△中，， ， 由三角形的面积公式得：， ， 在△中，由勾股定理得：， ，，， ， 由三角形面积公式得：，， ， 又△的边上的高与△的边上的高相同， ， ， ，， ． 故选：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，灵活运用三角形的面积公式及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共15 分. 11．（3分）我国神舟十九号载人飞船，捆绑了四个直径2.25米的助推器，起飞的重量约为480000千克．其中480000用科学记数法表示为 　　 ． 【答案】． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 12．（3分）分解因式：　　． 【答案】． 【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 13．（3分）若，是方程的两个实数根，则的值为 　2025　 ． 【答案】2025． 【分析】代入原方程，再结合根与系数的关系求出，即可解决问题． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ， ． 故答案为：2025． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 14．（3分）已知一个圆锥的母线长为，侧面展开图面积为，那么圆锥底面圆的直径为 　4　． 【答案】4． 【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长，据此即可求解． 【详解】解：底面周长为：， 直径为：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查圆锥的侧面积公式，正确记忆相关公式是解题关键． 15．（3分）矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，在上选一点，沿折叠，使点落在折痕上的点处，把纸片展平，连接，，若，，则线段的长为 　　． 【答案】． 【分析】根据翻折的性质，矩形的性质，直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，则， 由翻折的性质可知，，，，，， 在中，， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系，掌握翻折的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16．（7分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）直接运用整式的混合运算法则计算即可； （2）先计算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ； 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． 17．（7分）先化简，再求值：的值，其中使分式值为0． 【分析】先计算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 使分式值为0， 且， 解得， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18．（7分）补充完成下列推理过程： 如图，在等边△中，是边上一点，连接，以为边向上作等边△，连接． 求证：． 证明：△和△都是等边三角形， ，，． 　　 ． 即 　　 ． 在△和△中， △△ 　　 ． 　　 ． △是等边三角形， ． 　　 ． 　　 ． 【分析】根据等边三角形性质得，，，进而得，由此可依据“”判定△和△全等得，然后根据内错角相等，两直线平行即可得出结论． 【详解】证明：△和△都是等边三角形， ，，． ． 即． 在△和△中， △△． ． △是等边三角形， ． （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定是解决问题的关键． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19．（9分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”等给我们的生活带来了很多便利，某数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如图不完整的统计图． （1）根据图中信息求出　100　 ，　　 ； （2）根据抽样调查的结果，请估计全校2000名学生中有多少人最认可“微信”这一新生事物？ （3）已知、两位同学都最认可“微信”， 同学最认可“支付宝”， 同学最认可“网购”．从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率． 【分析】（1）用条形统计图中“共享单车”的人数除以扇形统计图中“共享单车”的百分比可得的值；用条形统计图中“支付宝”的人数除以的值再乘以可得，即可得的值． （2）根据用样本估计总体，用2000乘以样本中“微信”的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得，． ， ． 故答案为：100；35． （2）（人． 答：估计全校2000名学生中约有800人最认可“微信”这一新生事物． （3）列表如下： 共有12种等可能的结果，其中这两位同学最认可的新生事物不一样的结果有：，，，，，，，，，，共10种， 这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键． 20．（9分）为改善学生的就餐条件，学校食堂准备购买甲，乙两种型号的餐具．已知乙型餐具的单价比甲型餐具的单价多10元，用180元购买乙型餐具与用120元购买甲型餐具的件数相同． （1）求甲，乙两种餐具的单价各是多少元； （2）若购买甲、乙两种餐具共1000件，且总费用不超过28000元，则最多购买乙型餐具多少件？ 【分析】（1）设甲种餐具的单价为元，则乙种餐具的单价为元，由题意列分式方程求解即可得到答案，注意分式方程需要验根； （2）设购买乙种餐具件，则购买甲种餐具件，由题意列一元一次不等式求解即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意，设甲种餐具的单价为元，则乙种餐具的单价为元， ， ， 经检验是原分式方程的根． ， 答：甲种餐具的单价为20元，乙种餐具的单价为30元； （2）由题意，设购买乙种餐具件，则购买甲种餐具件， ， ， 答：最多购买乙种餐具800件． 【点睛】本题主要考查分式方程、一元一次不等式解实际问题，读懂题意，设未知数列出方程及不等式求解是解决问题的关键． 21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将绕点逆时针旋转得到△，点恰好落在上，请求出图中阴影部分的面积． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交轴于点，首先得到，然后利用旋转的性质得到，利用勾股定理求出，，然后根据阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】解：（1）反比例函数的图象经过点， ，解得， ； （2）过点作轴交轴于点， ， ， 将绕点逆时针旋转得到△，点恰好落在上， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 阴影部分的面积． 【点睛】本题考查反比例函数的图象、待定系数法求反比例函数解析式、旋转的性质，勾股定理，求扇形面积等知识，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和数形结合的思想解答． 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22．（13分）问题情境：“综合与实践”课上，杨老师提出如下问题：将图1中的正方形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的等腰直角三角形纸片，表示为和，其中，将和按图2所示方式摆放（点，，三点共线），其中点与点重合（标记为点．连接，取的中点，过点作交的延长线于点． 问题（1）：试判断的形状，直接写出答案． （2）深入探究：杨老师将图2中的绕点顺时针方向旋转，当点，，三点不在一条直线上时，如图3所示，并让同学们提出新的问题并解决新问题． ①“洞察小组”提出问题是（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你证明，若不成立；请你写出新的结论，并证明； ②“思考小组”提出问题是：若正方形的边长是4，把图2中的绕点顺时针方向旋转一周，当点，，三点共线时，请你直接写出的面积． 【分析】（1）根据正方形和等腰直角三角形性质可证得，推出，，，即可证得结论； （2）①延长，相交于点，设与相交于点，可证得，得出，再证得，，，即可推出是等腰直角三角形； ②分两种情况：当点在的延长线上时，当点在的延长线上时，分别运用等腰直角三角形性质和勾股定理即可求得答案． 【详解】解：（1）是等腰直角三角形．理由如下： 如图，和是等腰直角三角形， ，， 点，，三点在一条直线上，， ， 四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． （2）①（1）中的结论仍然成立，即是等腰直角三角形．理由如下： 如图，延长，相交于点，设与相交于点，和是等腰直角三角形， 点是的中点， ， ， ； 在和中， ， ， ， 和是腰长相等的等腰直角三角形， ，且， ， ， ． 是和 的外角， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， 是等腰直角三角形； ②当点在的延长线上时，过点作于，如图， 正方形的边长是4， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 由①知是等腰直角三角形， ； 当点在的延长线上时，过点作于，如图， 则，， 由①知是等腰直角三角形， ； 综上所述，当点，，三点共线时，的面积为或． 【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等，正确添加辅助线是解题关键． 23．（14分）如图1，抛物线与轴交于点，两点，与直线交于点． （1）直接写出、、的值； （2）取点，在抛物线第一象限上取点，使，求点的坐标； （3）如图2，将抛物线平移至顶点为原点时，过轴正半轴上一点的直线与抛物线交于、两点，直线、与抛物线只有一个交点，连接，若存在点使得恒成立，求点坐标． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）延长交轴于点，过点作轴于点，可证得△△，求得，运用待定系数法求得直线的表达式，再与二次函数表达式联立即可求得答案； （3）设，直线的表达式为，，，，，，，设直线的表达式为，直线的表达式为，根据直线、与抛物线只有一个交点，得出：，，过点作轴，过点，分别作的垂线，垂足分别为，，可证得△△，进而得出，即，再由直线与抛物线的表达式联立可得：，即可求得答案． 【详解】解：（1）设，把代入得：， 解得：， ，即， ，， 把代入得：， 解得：； （2）延长交轴于点，过点作轴于点，如图1， 设，又， ，， ，轴， ， ，， ， ，，， ， ， △△， ， ， 即， 解得：， ， 设直线的表达式为，则， 解得：， 直线的表达式为， 联立得：， 解得：，， 点的坐标为，； （3）设，直线的表达式为，，，，，，， 将抛物线平移至顶点为原点， 平移后的抛物线表达式为， 设直线的表达式为，直线的表达式为， 将，，，代入，得， 解得：， 同理可得：， 直线与抛物线表达式联立得：， 整理得：， 直线、与抛物线只有一个交点， △， ， ， 同理可得：， 过点作轴，过点，分别作的垂线，垂足分别为，，如图2， 则，，，， ， ， ， △△， ，即， ， 即， ， ， 又， 整理得：， ， ， ， 点坐标为． 【点睛】本题要是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用等知识，熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $