2026年中考数学二轮信息必刷卷02（深圳专用）

学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2026年中考二轮信息必刷卷 数学 考情速递 >》 中考新动向：紧扣改革方案，优化结构凸显选拔功能 根据《深圳市深化高中阶段学校考试招生制度改革的实施意见》，2026年中考数学总分保持100分，但 题型结构迎来重大调整：选择题由10题减至8题，填空题保持5题，解答题分值由55分提升至61分。 这一“减少客观题分值，加大主观题权重”的变化，旨在强化逻辑推理与综合表达能力的考查。结合《义务 教育课程方案和课程标准(2022年版)》的要求，试卷将体现“稳基础、重能力、强素养的命题导向。 如第19题二次函数综合题作为压轴题之一，综合考查了旋转、存在性问题，强调代数推理与几何直观的 深度融合；第18题圆的综合题不仅考查经典几何论证，更融入了垂径定理、解直角三角形等知识的综合 运用，呼应高考对核心素养的要求。 中考新考法：重构知识模块，探索跨点融合与项目式学习试卷题型设计打破单一知识点机械记忆，强化 跨模块知识的自然融合。 选择题(1-8题)：侧重基础概念的精准理解与实际应用。如第4题结合位似图形与三角形周长比，考查 相似性质；第6题以迎水坡的坡度为背景，考查勾股定理与三角函数的实际应用。 填空题(9-13题)：聚焦综合运用与技巧创新。如第12题将一次函数、反比例函数与三角形面积结合， 考查数形结合的灵活性；第13题以“等边三角形内的动点”为背景，融入将军饮马模型，要求学生通过几 何作图找到最短路径并求解。 解答题(14-20题)：突出探究过程与应用价值。包括：基础计算与分式化简求值（第14、15题）、统 计与概率的实际应用（第16题）、分式方程与不等式组的方案设计（第17题）、几何综合证明与计算（第 18题)、二次函数综合探究（第19题）、新定义旋转综合与实践（第20题）。其中第20题综合与实 践”要求学生在图形旋转的动态变化中探究数量关系，考查思维的灵活性与逻辑的严密性。 命题新情景：回归生活与科技，强化跨学科阅读与建模能力 ①以深圳地域特色为背景：如题目以“深圳某公司采购新能源车”为背景，考查分式方程与不等式组的方 案设计，体现数学的应用价值。 ②跨学科融合与传统文化渗透：呼气式酒精测试仪中的反比例函数问题，考查函数图象的分析能力；以 我国古代“六艺”为背景进行统计调查，弘扬中华优秀传统文化。 ③项目式学习(BL)初探：结合新课标要求，试卷中可能设置“项目式学习”微专题，要求学生经历“问 题提出一数据收集一模型建立一结论验证”的完整探究过程，如第16题结合“学校美育课程选择”调查，完 善统计图表并计算概率。 1/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 命题大预测 ①项目式学习与函数应用（第17题） 项目式学习是深圳中考近年探索的热点方向。2026年极有可能以“生活中的最优方案”为背景（如租车方 案、商品采购、场地规划)，综合考查一次函数、二次函数最值、不等式组整数解等知识。如本卷中“新 能源车采购”问题，综合考查了分式方程与不等式。备考建议：学生需强化从实际问题中提取数学信息、 建立函数模型的能力，注意自变量的取值范围必须结合现实意义进行检验，避免“纯数学”失分。②几何 变换与作图操作（第13题） 几何最值问题是新课标明确要求的核心技能。预测2026年将不只考查单一模型，更会考查学生在复杂图 形中识别和构造基本模型的能力。如本卷第13题，在等边三角形中考查“将军饮马”问题，需要学生理解 轴对称变换的原理。备考建议：复习中要亲自动手操作，理解每种几何变换（平移、对称、旋转）的几 何依据，并能结合勾股定理或三角形相似进行推理计算。 ③新定义阅读理解题（第20题) 作为区分度最高的压轴题，新定义题型将继续作为选拔关键。预测会将“新定义”与“图形变换”结合，如 定义“旋转过程中的数量关系”，使其同时满足相似三角形与几何图形的约束。如本卷第20题，以“特殊四 边形旋转”为主题，探究线段间的数量关系。备考建议：克服对新定义文字的恐惧，精读题干，将新规则 转化为熟悉的数学模型（全等、相似、勾股定理）。注重数形结合与分类讨论，特别是在动态几何背景 下寻找临界位置。 (考试时间：90分钟试卷满分：100分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一.选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1.中华人民共和国全国运动会（简称“全运会”）是中国国内规模最大、水平最高的综合性体育盛会，每四 年举办一届.下列中华人民共和国全运会会徽图片中，是轴对称图形不是中心对称图形的是() 孕4· 2.如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是() 2001234 2/8 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-2 B.-1 C.-0.5 D.0.1 3.下列运算正确的是() A.(3ab2）2=6a2b B.(a+b2=a2+b2 C.a+a2=as D.2ab-ab=ab 4.2025年广东非遗周暨佛山秋色巡游活动中，主办方制作了4种非遗主题纪念徽章，图案分别为“醒狮“广 绣粤剧“石湾陶塑”.现将这4枚徽章（除图案外完全相同）背面朝上放好，洗匀后从中随机抽取1枚， 记下图案名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚.两次抽取的徽章图案名称不相同的概率为() 1 A3 B.4 C.4 1 D. 6 y B C D (44) (A,B) (4,C) （A,D B (B,A (B,B (B,C) (B,D) C (C,A (C,B) (C,C) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) 5.太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关.如图，从光源0发出的光线 OB,OC经抛物线反射后沿着与抛物线对称轴POQ平行的方向射出.如果∠ABO=45°，∠OCD=93°，则 ∠B0C=() B O D A.122° B.128 C.132° D.138 6.四边形ABCD是平行四边形，下列尺规作图不能使△ABE是等腰三角形的是() B B D 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16 两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两， 则可列出方程组为() [5x+6y=16 5x+6y=16 A. B 4x+y=5y+x 5x+y=6v+x 6x+5y=16 6x+5y=16 C. D. 6x+y=5y+x 5x+y=4y+x 8.某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平 地面142m的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为37°，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行210m到达Q 点，测得福塔项端4的竹角为450，则“福塔”4B的高度约为、）（参考数据：a37°} 4 Sin37°≈2，cos37°≈) 5 像到 p义37° 459 B A.48m B.50m c.51m D.52m 二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9.若关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有一个根为x=-1,则m的值为 10.如图，边长分别为8,4,2的正方形拼接在一起，B、C、D三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分 的面积为 11.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2V2,以A为圆心，AB长为半径画弧交边CD于点E,连接AE ，则图中阴影部分的面积为·（结果保留刀） A E B 4/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 12.如图，△OAB的边OB落在x轴上，点C是线段AB的中点，反比例函数y=(k>0,x>0)的图像经过 点A和点C.若△0AB的面积为9，则k的值为· 13.如图Rt△ABC,∠ACB=90°，AD垂直于∠ABC外角的角平分线于D点，过D作BC的垂线，交CB延 长线于点E,连接DC交AB于点F, 乙F-,DE=6,那么BE的长为 三.解答题（共7小题，满分61分） 14.(6分)计算： -2tan45°+2-v5+(π-2025)° 15.(7分)先化简，再求值：已知W= 2a 求W的值 16.(8分)3月14日是国际数学日，学校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活 动有：数字猜谜、数独、魔方、24点游戏、数字华容道.学校对参与活动的学生进行了满意度评分调查（满 分100分，每个学生只提交1次评分)，将评分结果分为A、B、C、D、E五组，整理如表： 组别 A B C D E 成绩x 60分以下 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100 分 人数 20 30 m 60 50 并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示， 5/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 人数个 70 60 60 50 D E 40 25% 30 30 20 20 10%1 C B 10 0 B C D E 根据上述信息，解决下列问题， (1)此次共调查了 人，m= (2)补全条形统计图； (3)本次调查中，中位数落在 组，众数落 组；（直接填写A、B、C、D、E) (4)结合本次调查数据，请评价本次数学日活动学生的满意度状况 17.(8分)阅读理解，解决问题： 背景：随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来 了便利.某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷 洒2公顷农田，甲型机喷洒50公顷农田所用时间与乙型机喷洒60公顷农田所用时间相等.该农业公司共购 进甲、乙两种型号的无人机20架，其中甲型无人机4万元/架，乙型无人机5万元/架. 问题解决： (1)甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ (2)若公司要求这批无人机每小时至少喷洒230公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总 成本最低？并求出最低成本. 18.(8分)如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C作ABC外接圆的切线CD,与AB延长线交于 点D,点E在AB上，且DE=DC,连接CE并延长与ABC外接圆交于点F. B (1)求证：CF平分∠ACB; 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若AC=2BC,CD=25,求CF的长度. 19.(12分)综合与实践 【问题背景】 在音频工程中，抛物线形音响能有效汇聚声波，提升传播距离与音质效果.学习小组发现它们的截面轮廓 中的曲线部分均可看作抛物线，而且不同抛物线形音响的形状不同. 【初步探究】 学习小组将这些不同抛物线形音响竖直放置于桌面，抽象成如图1所示图形，扩音口A、B在抛物线上，且 关于抛物线的对称轴对称；点C是音响的最低点，即抛物线的顶点.经测量，发现这些抛物线形音响均满 足：顶点C到线段AB的距离为h(单位：cm),扩音口宽度AB为2h(单位：cm),为进一步探索不同 音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点C的坐标(m,),利用抛物线表 达式y=a(x-m)+n(其中a,m,n为常数，a>0)对a值进行了探究与求解. 77C777 图1 图2 (I)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度AB为8cm,以抛物线的顶点C为坐标原点建立了如图2所示的 平面直角坐标系，则此时a的值为 ； (②)【建立模型】第二小组经过观察探究，提出如下猜想：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即a和之 间存在数量关系.请你求出Q和h的数量关系，帮小组验证这个猜想： (3)【应用模型】第三小组建立平面直角坐标系后，发现点A的坐标为(0,8)，h>4,且当0≤x≤8时，音响截 面轮廓线对应抛物线上最低点与x轴的距离为2，求此时的值. 20.(12分)综合与探究 【定义】如图1，点O是口ABCD的对角线的交点，过点O作OM⊥BC,ON⊥AB,垂足分别为M、N.若 ON之OM时，我们称元=ON是ABCD的中心距比. OM 7/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y M M (图1) (图2) D F O C B E (图3)》 (图4) (图4备用图) (I)【概念理解】如图2，当入=1时，求证：口ABCD是菱形： ②【性质探究】在图1中，口4BCD的中心距比元=0N与其相邻两边比 C OM 是否存在某种关系？若有，求 AB 出这种关系；若没有，请说明理由； (3)【拓展应用】如图3，在矩形ABCD中(AD>AB),其中心距比元= 30为对角线BD中点，E是BC边 上一点，连接OE,作OF⊥OE交CD边于点F,若BD=10,SACOF=2 SACOE,求CE的值； 4 ④如图4，AB=5,an∠PAB=行点D是射线P上一动点，点C是平面内一点.以A、B、C、D为顶 点、AD为边的平行四边形的中心距比2=2.点E在射线AP上，连接AC、BE,当∠AEB=∠ACD时，直 接写出AE的长. 8/8 2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 考情速递 中考·新动向：紧扣改革方案，优化结构凸显选拔功能 根据《深圳市深化高中阶段学校考试招生制度改革的实施意见》，2026年中考数学总分保持100分，但题型结构迎来重大调整：选择题由10题减至8题，填空题保持5题，解答题分值由55分提升至61分 。这一“减少客观题分值，加大主观题权重”的变化，旨在强化逻辑推理与综合表达能力的考查。结合《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》的要求，试卷将体现“稳基础、重能力、强素养”的命题导向 。如第19题二次函数综合题作为压轴题之一，综合考查了旋转、存在性问题，强调代数推理与几何直观的深度融合；第18题圆的综合题不仅考查经典几何论证，更融入了垂径定理、解直角三角形等知识的综合运用，呼应高考对核心素养的要求 。 中考·新考法：重构知识模块，探索跨点融合与项目式学习试卷题型设计打破单一知识点机械记忆，强化跨模块知识的自然融合。 选择题（1-8题）：侧重基础概念的精准理解与实际应用。如第4题结合位似图形与三角形周长比，考查相似性质；第6题以迎水坡的坡度为背景，考查勾股定理与三角函数的实际应用。 填空题（9-13题）：聚焦综合运用与技巧创新。如第12题将一次函数、反比例函数与三角形面积结合，考查数形结合的灵活性；第13题以“等边三角形内的动点”为背景，融入将军饮马模型，要求学生通过几何作图找到最短路径并求解。 解答题（14-20题）：突出探究过程与应用价值。包括：基础计算与分式化简求值（第14、15题）、统计与概率的实际应用（第16题）、分式方程与不等式组的方案设计（第17题）、几何综合证明与计算（第18题）、二次函数综合探究（第19题）、新定义旋转综合与实践（第20题）。其中第20题“综合与实践”要求学生在图形旋转的动态变化中探究数量关系，考查思维的灵活性与逻辑的严密性。 命题·新情景：回归生活与科技，强化跨学科阅读与建模能力 ① 以深圳地域特色为背景：如题目以“深圳某公司采购新能源车” 为背景，考查分式方程与不等式组的方案设计，体现数学的应用价值。 ② 跨学科融合与传统文化渗透：呼气式酒精测试仪中的反比例函数 问题，考查函数图象的分析能力；以我国古代“六艺”为背景 进行统计调查，弘扬中华优秀传统文化 。 ③ 项目式学习（PBL）初探：结合新课标要求，试卷中可能设置“项目式学习”微专题，要求学生经历“问题提出—数据收集—模型建立—结论验证”的完整探究过程，如第16题结合“学校美育课程选择” 调查，完善统计图表并计算概率。 命题·大预测 ① 项目式学习与函数应用（第17题） 项目式学习是深圳中考近年探索的热点方向 。2026年极有可能以“生活中的最优方案”为背景（如租车方案、商品采购、场地规划），综合考查一次函数、二次函数最值、不等式组整数解等知识。如本卷中“新能源车采购”问题，综合考查了分式方程与不等式。 备考建议：学生需强化从实际问题中提取数学信息、建立函数模型的能力，注意自变量的取值范围必须结合现实意义进行检验，避免“纯数学”失分。② 几何变换与作图操作（第13题） 几何最值问题是新课标明确要求的核心技能。预测2026年将不只考查单一模型，更会考查学生在复杂图形中识别和构造基本模型的能力。如本卷第13题，在等边三角形中考查“将军饮马”问题，需要学生理解轴对称变换的原理。备考建议：复习中要亲自动手操作，理解每种几何变换（平移、对称、旋转）的几何依据，并能结合勾股定理或三角形相似进行推理计算 。 ③ 新定义阅读理解题（第20题） 作为区分度最高的压轴题，新定义题型将继续作为选拔关键 。预测会将“新定义”与“图形变换”结合，如定义“旋转过程中的数量关系”，使其同时满足相似三角形与几何图形的约束。如本卷第20题，以“特殊四边形旋转”为主题，探究线段间的数量关系。 备考建议：克服对新定义文字的恐惧，精读题干，将新规则转化为熟悉的数学模型（全等、相似、勾股定理）。注重数形结合与分类讨论，特别是在动态几何背景下寻找临界位置。 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．中华人民共和国全国运动会（简称“全运会”）是中国国内规模最大、水平最高的综合性体育盛会，每四年举办一届．下列中华人民共和国全运会会徽图片中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 2．如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴．由题意得，手掌遮住的数大于且小于0，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，手掌遮挡住的数大于且小于0， ∴四个选项中只有C选项中的数符合题意， 故选：C． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方法则，完全平方公式，合并同类项法则，逐一判断选项即可. 【详解】解：选项A，， A错误； 选项B，， B错误； 选项C，和不是同类项，不能合并， C错误； 选项D，， D正确. 4．2025年广东非遗周暨佛山秋色巡游活动中，主办方制作了4种非遗主题纪念徽章，图案分别为“醒狮”“广绣”“粤剧”“石湾陶塑”．现将这4枚徽章（除图案外完全相同）背面朝上放好，洗匀后从中随机抽取1枚，记下图案名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚．两次抽取的徽章图案名称不相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得到共有种等可能的结果，其中抽到的两枚徽章图案名称不相同的结果有种，再由概率公式求解即可. 【详解】解：把图案分别为“醒狮”“广绣”“粤剧”“石湾陶塑”的枚徽章分别记为、、、，列表如下： 共有种等可能的结果，其中两次抽取的徽章图案名称不相同的结果有种， ∴两次抽取的徽章图案名称不相同的概率为． 5．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从光源发出的光线经抛物线反射后沿着与抛物线对称轴平行的方向射出．如果，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，， ∴． 6．四边形是平行四边形，下列尺规作图不能使是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定及尺规作图，熟练掌握平行四边形的性质、等腰三角形的判定及尺规作图是解题的关键；因此此题可根据平行四边形的性质及尺规作图进行排除选项． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；故该选项不符合题意； B、由作图可知：，所以是等腰三角形；故该选项不符合题意； C、由作图可知：的垂直平分线交于点E，则根据线段垂直平分线的性质定理可知，所以是等腰三角形；故该选项不符合题意； D、由作图可知：的垂直平分线交于点E，则点E为的中点，而题干中并未给出与的数量关系，所以不能判定是等腰三角形；故该选项符合题意； 故选D． 7．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据五只雀六只燕共重16两，可得第一个方程：，互换其中一只后，一方剩余只雀和只燕，另一方剩余只雀和只燕，二者重量相等，可得第二个方程：，即可得到答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ． 8．某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行到达Q点，测得“福塔”顶端A的俯角为，则“福塔”的高度约为（　　）（参考数据： ，，） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．过点A作于点C，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，在中，根据，求出即可得出答案． 【详解】解：过点A作于点C，如图所示： 则， 由题意得，，， ∵在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故选：D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为________． 【答案】 【分析】将已知根代入方程即可求解． 【详解】解：把代入方程得， ， ， 解得． 10．如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】42 【分析】本题主要考查正方形的性质，根据经过正方形中心的直线把这个正方形分成面积相等的两部分解答即可． 【详解】解：∵边长分别为8，4，2的正方形的面积为：64，16和4， ∴三个正方形的面积和为, ∵三点分别是正方形的中心， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：42． 11．如图，在矩形中，，以为圆心，长为半径画弧交边于点，连接，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【分析】先推导出，得到，则，然后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ，， 由题意，得， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积为． 12．如图，的边落在x轴上，点C是线段的中点，反比例函数的图像经过点A和点C．若的面积为9，则k的值为_____． 【答案】6 【分析】过A作于D，设，根据三角形的面积公式得到，求得，求得，列方程即可得到结论． 【详解】解：过A作于D， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴设，则有， ∵的面积为9， ∴， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ∴， ∴． 13．如图，垂直于外角的角平分线于点，过作的垂线，交延长线于点，连接交于点，，，那么的长为______． 【答案】 【分析】延长交于点，延长，相交于点，证明，则，，证明，求出，证明，求出，则，证明，得到，则，得到，则，在中，，则，即可求出． 【详解】解：延长交于点，延长，相交于点， ∵垂直于外角的角平分线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得（负值已舍去）． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（6分）计算： 【答案】 【分析】先根据负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值、绝对值的定义、零指数幂的运算法则化简原式，再计算即可． 【详解】 ． 15．（7分）先化简，再求值：已知，若a、2、4恰好是等腰的三边长，求的值． 【答案】， 【分析】先对括号内通分相加，再将除法化为乘法约分化简，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，得出的值，代入计算即可． 【详解】解： ， a、2、4恰好是等腰的三边长， 或， 当时，等腰三角形的三边长为2、2、4，不能构成三角形，不符合题意； 当时，等腰三角形的三边长为2、4、4，能构成三角形，符合题意； ， ． 16．（8分）3月14日是国际数学日，学校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：数字猜谜、数独、魔方、24点游戏、数字华容道．学校对参与活动的学生进行了满意度评分调查（满分100分，每个学生只提交1次评分），将评分结果分为A、B、C、D、E五组，整理如表： 组别 A B C D E 成绩x/分 60分以下 人数 20 30 m 60 50 并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题， (1)此次共调查了________人，________； (2)补全条形统计图； (3)本次调查中，中位数落在________组，众数落__________组；（直接填写A、B、C、D、E） (4)结合本次调查数据，请评价本次数学日活动学生的满意度状况． 【答案】(1)200，40 (2)见详解 (3)D，D (4)学生参与活动满意度良好 【分析】（1）根据A组的人数和百分比计算得到样本容量，由此可得； （2）根据C组人数补全图形即可； （3）根据中位数，众数的计算求解； （4）根据中位数、众数作决策即可． 【详解】（1）解：A组有20人，百分比为， ∴（人）， ∴； （2）解：已知，即C组有40人，补全图形如下， （3）解：本次共调查了200人， ∴中位数是第100，101两位同学成绩的平均数， ∴中位数落在D组， ∵D组出现的次数最多， ∴众数落在D组； （4）解：∵中位数，众数均在D组，即学生成绩在， ∴学生参与活动满意度良好． 17．（8分）阅读理解，解决问题： 背景：随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利．某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒公顷农田，甲型机喷洒公顷农田所用时间与乙型机喷洒公顷农田所用时间相等．该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机架，其中甲型无人机万元／架，乙型无人机万元／架． 问题解决： (1)甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ (2)若公司要求这批无人机每小时至少喷洒公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】(1)甲型无人机每小时喷洒公顷，乙型无人机每小时喷洒公顷 (2)采购甲型无人机台，乙型机台时总费用最少，最少费用为万元 【分析】（）设甲型无人机每小时喷洒公顷，则乙型每小时喷洒公顷，根据题意列出方程解答即可求解； （）设甲型无人机台，则乙型无人机台，总费用为万元，根据题意求出的取值范围和与的函数解析式，再根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型无人机每小时喷洒公顷，则乙型每小时喷洒公顷， 由题意得， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型无人机每小时喷洒公顷，乙型无人机每小时喷洒公顷； （2）解：设甲型无人机台，则乙型无人机台，总费用为万元， 由题意得，， 解得， 又由题意得，， ∵， 的值随的增大而减小， 当时，（万元）， 此时乙型无人机（台）， 答：采购甲型无人机台，乙型机台时总费用最少，最少费用为万元． 18．（8分）如图，已知中，，过点作外接圆的切线，与延长线交于点，点在上，且，连接并延长与外接圆交于点． (1)求证：平分； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）令外接圆的圆心为，连接，由圆的切线的性质可得，进而推出，再利用等腰对等角和三角形外角的定义，得到，即可证明结论； （2）连接，过点作于点，由圆周角可得，进而推出，则，在直角三角形中求出，先证明，得出，从而求出，再证明，即可求出的长度． 【详解】（1）证明：令外接圆的圆心为，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：如图，连接，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 由（1）可知，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 19．（12分）综合与实践 【问题背景】 在音频工程中，抛物线形音响能有效汇聚声波，提升传播距离与音质效果．学习小组发现它们的截面轮廓中的曲线部分均可看作抛物线，而且不同抛物线形音响的形状不同． 【初步探究】 学习小组将这些不同抛物线形音响竖直放置于桌面，抽象成如图1所示图形，扩音口A、B在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称；点是音响的最低点，即抛物线的顶点．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）．为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标，利用抛物线表达式（其中为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，则此时的值为__________； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究，提出如下猜想：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系．请你求出和的数量关系，帮小组验证这个猜想； (3)【应用模型】第三小组建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 【答案】(1) (2)这个小组的猜想是正确的，见解析 (3)或 【分析】（1）由题意得，，即抛物线表达式为，将代入即可求出； （2）由题意得，，将代入抛物线表达式得：，得到； （3）由题意得，则，，分两种情况进行讨论，当时，易得点不在轴下方，抛物线在对称轴处有最小值；当时，易得点在轴下方，当时，随的增大而减小，抛物线在处有最小值． 【详解】（1）解：由题意得，，顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）， 则，， 抛物线表达式为（其中为常数，）， ， 将代入，可得， 解得； （2）由题意得，， 将代入抛物线表达式得：， ， ， ， ， 这个小组的猜想是正确的； （3）由题意得，则，， ， 由（2）可知， （i）当时，可得，点不在轴下方， 抛物线在对称轴处有最小值， 即当时，， ， ； （ii）当时，可得，点在轴下方， ， 当时，随的增大而减小， 点在轴下方， 抛物线在处有最小值， 即当时，， ， 解得； 综上所述，或． 20．（12分）综合与探究 【定义】如图1，点是的对角线的交点，过点作，，垂足分别为、．若时，我们称是的中心距比． (1)【概念理解】如图2，当时，求证：是菱形； (2)【性质探究】在图1中，的中心距比与其相邻两边比是否存在某种关系？若有，求出这种关系；若没有，请说明理由； (3)【拓展应用】如图3，在矩形中，其中心距比，为对角线中点，是边上一点，连接，作交边于点，若，，求的值； (4)如图4，，，点是射线上一动点，点是平面内一点．以、、、为顶点、为边的平行四边形的中心距比．点在射线上，连接、，当时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)存在， (3) (4)的长为或16或． 【分析】（1）方法1：当时，则，根据平行四边形的性质，证明，则，从而得出，即可得证；方法2：根据平行四边形对角线互相平分，可得，再结合，得到，即可得证； （2）根据平行四边形对角线互相平分，可得，从而得出，进而推出，即可得解； （3）过点作，，设，，利用勾股定理列方程，求出，，证明四边形是矩形，得到，，，进而推出，设，，根据三角形面积公式列方程，求出的值，即可得解； （4）由（2）可知，当时，平行四边形两相邻边的比为2．分三种情况讨论：①当时，过点作于点，过点作延长线于点；②当时，过点作于点，过点作延长线于点，利用角的正切值求解；③时，连接，过点作，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：方法1： 当时，则， ， ， 在和中， ， ， ． ， 是菱形． 方法2： ， ， 时，， ， 是菱形． （2）解： ， ， ， ． （3）解：如图，过点作，， 矩形，， ，，，， ， 设，， ， 解得：， ，， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， 设，， ，， ， ， 解得：， ． （4）解：由（2）可知，当时，平行四边形两相邻边的比为2． ①如图1，当时，过点作于点，过点作延长线于点， 四边形是平行四边形， ，， ，， 在中， ， 设，， ， 解得：， ，， ， 同理可得，，， ， ， ， ， ， ， ； ②如图2，当时，过点作于点，过点作延长线于点， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， 同理可求，，， ， 由①可知，，， ， ， ， ， ， ； ③如图3，当时，连接，过点作， ， 设，， ， ， ， ， 解得：， ， ， 又， ， ， ， ， ． 综上可知，的长为或16或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年中考二轮信息必刷卷 数学 (考试时间：90分钟试卷满分：100分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 题号 3 4 7 答案 D 0 D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9.-5 10.42 11.2π 12.6 13.6v5 三.解答题（共7小题，满分61分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14.(6分) 【详解】 （月-2a45°+-+-2025 =2-2x1+(2-3)+1 =2-2+2-V5+1 =3-√5.6分 15.(7分) a+1 a-1.2a (a+l(a-可(a+1(a-1(a- 2a (a-1)2 (a+1)(a-12a 4分 =a-1 :a、2、4恰好是等腰ABC的三边长， .a=2或a=4, 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当a=2时，等腰三角形的三边长为2、2、4，不能构成三角形，不符合题意； 当a=4时，等腰三角形的三边长为2、4、4，能构成三角形，符合题意； .a=4, m=4-13 4+15·…7分 16.(8分) 【详解】(1)解：A组有20人，百分比为10%， .20÷10%=200(人)， .m=200-20-30-60-50=40;2分 (2)解：已知m=40,即C组有40人，补全图形如下， 人数个 70 60 60 50 50 40 40 30 …4分 30 20 20 C O (3)解：本次共调查了200人， :.中位数是第100,101两位同学成绩的平均数， .中位数落在D组， :D组出现的次数最多， 众数落在D组；6分 (4)解：中位数，众数均在D组，即学生成绩在80≤x<90, 学生参与活动满意度良好.8分 17.(8分) 【详解】(1)解：设甲型无人机每小时喷洒x公顷，则乙型每小时喷洒(x+2)公顷， 由题意得，060 xx+2 解得x=10 经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意， x+2=12, 答：甲型无人机每小时喷洒10公顷，乙型无人机每小时喷洒12公顷；4分 (2)解：设甲型无人机a台，则乙型无人机(20-a台，总费用为w万元， 2/10 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由题意得，10a+12(20-a≥230， 解得a≤5， 又由题意得，w=4a+5(20-a=-a+100, .-1<0, .w的值随a的增大而减小， :当a=5时，w最小值=-5+100=95（万元)， 此时乙型无人机=20-5=15（台）， 答：采购甲型无人机5台，乙型机15台时总费用最少，最少费用为95万元.8分 18.(8分) 【详解】(1)证明：令ABC外接圆的圆心为O,连接0C, D:CD是⊙0的切线， ∠0CD=90°， ∠0CB+∠BCD=90°， :∠ACB=90°， ∠0CB+LAC0=90°， .∠ACO=∠BCD, :0A=0C, .∠OAC=∠AC0=∠BCD, DE DC, .∠DEC=∠DCE=LBCF+∠BCD, :∠DEC=∠OAC+∠ACF, ,LBCF=∠ACF, CF平分∠ACB;4分 (2)解：如图，连接BF,过点E作EM⊥AC于点M, M B -D..AC=2BC, F .∠ABC=2∠BAC, 3/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAC+∠ABC=90°， ∠BAC=30°， .∠AC0=30°， ∠ACD=120°， ∠D=30°=∠BAC, .AC=CD=23, 在Rt△ABC中，∠BAC=30°， .BC=4C.m30=2x2. 3 由1)可知，∠BCF=∠ACF=4CB=45. ∴△CEM是等腰直角三角形， :EM =CM,CE=2CM, :BC⊥AC,EM⊥AC, EM∥BC, .AEM∽ABC, :AM-EM CM AC BC BC' AM CM 2V52 :AM =3CM, :AC=AM+CM=3CM +CM=3+1CM=23, ..CM= 25=3-5, 3+1 CE=√2CM=3V-√6， :ZCAE ZCFB,ZACE=ZBCF, △ACEm△FCB, .CE-AC BC CF' 32-v6_2W5 2 CF ∴CF=2×25 3√2-√6 =√6+√2.8分 19.(12分) 4/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：由题意得，AB=8cm,顶点C到线段AB的距离为h(单位：cm),扩音口宽度AB为2h (单位：cm), 则B(4,4),C(0,0), :抛物线表达式为y=a(x-m)2+n(其中a,m,n为常数，a>0), ·y=ax2, 将B(4,4)代入y=ax2,可得4=16a, 架得a子4分 (2)由题意得，B(m+h,n+h), 将B(m+h,n+h)代入抛物线表达式y=a(x-m)2+n得：n+h=a+n, n+h=ah2+n, :h≠0， ah=1, 1 a=h' :这个小组的猜想是正确的；…6分 (3)由题意得A(0,8),则B(2h,8),C(h,8-h), ·y=a(x-h)2+8-h, 由(2)可知a=方' 1 (i)当4<h≤8时，可得8-h≥0，点C(h,8-h)不在x轴下方， ·抛物线在对称轴处有最小值y=2, 即当x=h时，y=8-h=2, h=6, (ii)当h>8时，可得8-h<0,点C(h,8-h)在x轴下方， :a>0, ·当0≤x≤8时，y随x的增大而减小， :点C(h,8-h)在x轴下方， ·抛物线在x=8处有最小值y=一2， 即当x=8时，-2=a(8-h)2+8-h, ÷-2=a8-2+8-1 5/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得as3 9 综上所述，a= 3或 321 .12分 20.(12分) 【详解】(1)证明：方法1： 当元=1时，则0M=0N, :ABCD .0A=0C, A D M 在RIAANO和RIACMO中， OA=OC ON=OM' .Rt△ANO≌RtACMO(HL), ·LBAC=LBCA. :BA=BC, ABCD是菱形. 方法2： 口ABCD 0A=0C, .S△A0B=S△cOB, .AB.ON BC.OM .2=1时，0M=ON, :AB=BC, 口ABCD是菱形. A 3分 M 6/10 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：：口ABCD 0A=0C, .S△4OB=S△cOB, 号B.oN-aco, .1=ON_BC .6分 OM AB (3)解：如图，过点O作OM⊥BC,ON⊥CD, A O 0 N:矩形ABCD,BD=10, B ME AD=BC,AB=CD,∠BCD=90°，OB=OD=OC=5, 元=ON_BC4 OM AB 3 ·设BC=4x,CD=AB=3x, BD=BC2+CD2=5x=10, 解得：x=2, :BC=8,CD=AB=6, :0B=OD=0C,OM⊥BC,ON⊥CD, :.CN-LCD-3,CM=IBC-4, 2 :∠0MC=∠MCN=∠0WC=90°， :四边形OMCN是矩形， ∠M0N=90°，0M=CN=3,0N=CM=4, ∠M0N=∠E0F=90°， ∠MOE=LNOF, .△MOE∽△N0F, .NF ON 4 …MEOM3' :设FN=4t,ME=3t, :CF =CN+FN=3+4t,CE CM-ME =4-3t, SACOF=2SACOE 7/10 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3+4×4=2×4-3×3, 2 2 6 解得：t= 17 CE=4-31=4-3x6=50 1717·9分 (4)解：由(2)可知，当2=2时，平行四边形两相邻边的比为2. ①如图1，当AD=2AB时，过点B作BG⊥AD于点G,过点A作AH⊥CD延长线于点H, p E :四边形ABCD是平行四边形， G B 图1 AB=CD=5,AB∥CD, AD=BC=10,∠ADH=∠PAB, 在RtABG中，an∠PAB=BG_4 AG 3' ·设BG=4a,AG=3a, :AB=AG2+BG2=5a=5, 解得：a=1, .BG=4,AG=3, tan∠ADH=AH DH tan∠PAB=4」 3 同理可得，DH=6,AH=8, :CH CD+DH =11, :∠AEB=∠ACD, :tan ZAEB tan ZACD, BG AH EG CH 48 EG11' Eo- 8/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AE=AG+EG=3+1-17 229 ②如图2，当AB=2AD时，过点B作BG⊥AD于点G,过点A作AH⊥CD延长线于点H, :四边形ABCD是平行四边形， H D B 图2 AB=CD=5,AB∥CD, AD=3, F2'∠ADH=∠PAB, ∴.tan∠ADH=tan∠PAB, .AH 4 DH3' 同理可求，AH=2,DH=3 21 313 ∴.CH=CD+DH=5+ 22 由①可知，BG=4,AG=3, :∠AEB=∠ACD, .tan∠AEB=tan∠ACD, BG AH EG CH' 4 2 “EG13, 2 EG=13, .AE=EG+AG=13+3=16; ③如图3，当AC=2AD时，连接CD,过点D作DF⊥AB, 9/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DF 4 .tan∠PAB= AF=3 D B 图3 C :设DF=4a,AF=3a, :.AD=AF2+DF2=5a, :BD=AC =10a, :.BF=BD2-DF2=(10a)2-(4a)2=22a, AB=AF +BF=5, .3a+2W21a=5 解得：a= 2W21-3 15 :BD∥AC, .LBDE=∠CAD, 又：∠AEB=∠ACD, ∴△EDBn△CAD, DE BD AC AD DE 10a 10a5a .DE=20a, 4E=AD+DE=25a=10v21-15 3 综上可知，4E的长为号或16安0-5.2分 3 10/10