2026年中考数学二轮信息必刷卷03（深圳专用）

2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A C A C A C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9． 10． 11．0 12．72 13． 三．解答题（共7小题，满分61分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（6分） 【详解】解：原式........6分 15．（7分） 【详解】解：， 解不等式，得：； 解不等式，得：； 即不等式组的解集为：，其正整数解为．........7分 16．（8分） 【详解】（1）解：依题意，乙款数据共20个， 则， 结合题意：C组8个数据， 故D组频率； 即． ∵乙款数据共20个， ∴中位数是数据从小到大（或者从大到小）排序后，位于中间位置的数， 则乙的中位数是第10、11位数据的平均数，位于C组后半段， 则； 依题意，甲的众数：出现次数最多的是86， 故．........2分 （2）解：乙款更受欢迎．理由如下： 依题意，乙的方差更小，成绩更稳定；或乙的众数更高． 故乙款更受欢迎．........5分 （3）解：对甲款非常满意人数：20人中90分以上有6人， ∴人； 对乙款非常满意人数：20人中90分以上有4人， ∴人； 即， ∴其中对甲、乙两款教育辅助产品非常满意的学生总人数为人........8分 17．（8分） 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：， 解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；........4分 （2）解：设购买A型机器人m台，则B型机器人台，总采购费用为万元， 根据题意得， 解得：， 根据题意可得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取最小值， 此时万元， 答：采购A型机器人3台时，采购费用最低，最低采购费用为960万元．........8分 18．（9分） 【详解】（1）证明：过O作OM⊥BC于M， ∵BD是菱形ABCD的对角线， ∴∠ABD=∠CBD ∵OM⊥BC，OE⊥AB ∴OE=OM ∴BC是⊙O的切线．........3分 （2）解：①如图， ∵G是OF的中点，OF=OH， ∴OG= ∵AB∥CD，OE⊥AB， ∴OF⊥CD ∴∠OGH=90° ∴sin∠GHO=' ∴∠GHO=30° ∴∠GOH=60° ∴∠HOE=120° ∵OG=4， ∴OH=8 由弧长公式得到 的长∶ ；........6分 ②·如图，过A作AN⊥BD于N， ∵四边形ABCD是菱形 ∴DN=NB=，AB∥CD，∠CDB=∠ADB ∴ ∵，，OE=OH=8 ∴OD= ，OB= ，DN= ∵∠CDB=∠ADB，∠AND=∠DGO=90° ∴△DGO∽△AND ∴，即 ∴   ∴．........9分 19．（10分） 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴．........3分 （2）解：假设该拱桥轮廓线是圆弧， 在图1中，设圆心为，设圆的半径为，连接、， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得； ∴， 在图2中，设圆心为设圆的半径为，连接、、， 则， 则劣弧所对圆心角度数为， 即， 则， ∴拱桥的轮廓线不是圆弧，应为抛物线： 如图，以为轴，的垂直平分线为轴建立如下的坐标系， 则点、， 设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得， 解得， 则抛物线的表达式为；........6分 （3）解：如图，设横杆长度和竖杆长度分别为、， 则点， 将点的坐标代入得， 解得或（舍去）， ∴（米） ∴横向限高杆离水面距离为米． （4）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切（此时抛物线与直线只有一个交点）， 交轴于点，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程有两个相等的实数根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，解得， ， ， 射灯射出的光线与地面成角， ， 光线与抛物线之间的最小距离为米．........10分 20．（13分） 【详解】（1）解：根据“勾股四边形”的定义可知矩形和有一个角为直角的任意凸四边形为“勾股四边形”． 故答案为：②③........2分 （2）解：①证明：，，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即四边形一定为“勾股四边形”；........5分 ②解：， ． 在与中， ， ． 又， ． 四边形为“勾股四边形”，且， ． 又， 是等边三角形， ， ．........9分 （3）解：连接，，过点作于点， 和是等边三角形， ，，， ． 即， 在和中， ， ， 四边形是以、为勾股边的勾股四边形，且， ， ， 是直角三角形，且， ， 在中，，，， ， 由勾股定理可得，， ， 由勾股定理可得，， ．........13分 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 考情速递 中考·新动向：紧扣改革方案，优化结构凸显选拔功能 根据《深圳市深化高中阶段学校考试招生制度改革的实施意见》，2026年中考数学总分保持100分，但题型结构迎来重大调整：选择题由10题减至8题，填空题保持5题，解答题分值由55分提升至61分 。这一“减少客观题分值，加大主观题权重”的变化，旨在强化逻辑推理与综合表达能力的考查。结合《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》的要求，试卷将体现“稳基础、重能力、强素养”的命题导向 。如第19题二次函数综合题作为压轴题之一，综合考查了旋转、存在性问题，强调代数推理与几何直观的深度融合；第18题圆的综合题不仅考查经典几何论证，更融入了垂径定理、解直角三角形等知识的综合运用，呼应高考对核心素养的要求 。 中考·新考法：重构知识模块，探索跨点融合与项目式学习试卷题型设计打破单一知识点机械记忆，强化跨模块知识的自然融合。 选择题（1-8题）：侧重基础概念的精准理解与实际应用。如第4题结合位似图形与三角形周长比，考查相似性质；第6题以迎水坡的坡度为背景，考查勾股定理与三角函数的实际应用。 填空题（9-13题）：聚焦综合运用与技巧创新。如第12题将一次函数、反比例函数与三角形面积结合，考查数形结合的灵活性；第13题以“等边三角形内的动点”为背景，融入将军饮马模型，要求学生通过几何作图找到最短路径并求解。 解答题（14-20题）：突出探究过程与应用价值。包括：基础计算与分式化简求值（第14、15题）、统计与概率的实际应用（第16题）、分式方程与不等式组的方案设计（第17题）、几何综合证明与计算（第18题）、二次函数综合探究（第19题）、新定义旋转综合与实践（第20题）。其中第20题“综合与实践”要求学生在图形旋转的动态变化中探究数量关系，考查思维的灵活性与逻辑的严密性。 命题·新情景：回归生活与科技，强化跨学科阅读与建模能力 ① 以深圳地域特色为背景：如题目以“深圳某公司采购新能源车” 为背景，考查分式方程与不等式组的方案设计，体现数学的应用价值。 ② 跨学科融合与传统文化渗透：呼气式酒精测试仪中的反比例函数 问题，考查函数图象的分析能力；以我国古代“六艺”为背景 进行统计调查，弘扬中华优秀传统文化 。 ③ 项目式学习（PBL）初探：结合新课标要求，试卷中可能设置“项目式学习”微专题，要求学生经历“问题提出—数据收集—模型建立—结论验证”的完整探究过程，如第16题结合“学校美育课程选择” 调查，完善统计图表并计算概率。 命题·大预测 ① 项目式学习与函数应用（第17题） 项目式学习是深圳中考近年探索的热点方向 。2026年极有可能以“生活中的最优方案”为背景（如租车方案、商品采购、场地规划），综合考查一次函数、二次函数最值、不等式组整数解等知识。如本卷中“新能源车采购”问题，综合考查了分式方程与不等式。 备考建议：学生需强化从实际问题中提取数学信息、建立函数模型的能力，注意自变量的取值范围必须结合现实意义进行检验，避免“纯数学”失分。② 几何变换与作图操作（第13题） 几何最值问题是新课标明确要求的核心技能。预测2026年将不只考查单一模型，更会考查学生在复杂图形中识别和构造基本模型的能力。如本卷第13题，在等边三角形中考查“将军饮马”问题，需要学生理解轴对称变换的原理。备考建议：复习中要亲自动手操作，理解每种几何变换（平移、对称、旋转）的几何依据，并能结合勾股定理或三角形相似进行推理计算 。 ③ 新定义阅读理解题（第20题） 作为区分度最高的压轴题，新定义题型将继续作为选拔关键 。预测会将“新定义”与“图形变换”结合，如定义“旋转过程中的数量关系”，使其同时满足相似三角形与几何图形的约束。如本卷第20题，以“特殊四边形旋转”为主题，探究线段间的数量关系。 备考建议：克服对新定义文字的恐惧，精读题干，将新规则转化为熟悉的数学模型（全等、相似、勾股定理）。注重数形结合与分类讨论，特别是在动态几何背景下寻找临界位置。 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数”．如果气温为“零上”记作“”，那么气温“”可表示为（    ） A．零上 B．零下 C．上升 D．下降 2．沙头角鱼灯舞是深圳非物质文化遗产．下图是沙头角鱼灯舞中的某款鱼灯，关于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 3．如图是一枚中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年双色铜合金纪念币，该纪念币质地均匀，正面图案为中华人民共和国国徽，背面主景图案为中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念活动标识．若先后两次抛掷该纪念币，那么两次正面向上的概率是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图所示，云梯与水平面的夹角为，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙高为10丈，则云梯梯身长约为（   ） A．丈 B．丈 C．丈 D．丈 6．在物理光学实验中，小明将一束激光从空气射入上、下表面平行的玻璃砖（如图）．光线从空气射到玻璃砖上表面点B并发生了折射，折射光线射到玻璃砖下表面C处，点D在的延长线上，若，，则（   ） A． B． C． D． 7．绿水青山就是金山银山．为了创造良好的生态环境，某村计划在荒坡上植树1600棵，由于青年志愿者支援，实际每天植树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树多少棵．设原计划每天植树棵，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，是边上的一动点（不与端点重合）．将沿直线对折，得到，连接并延长，交线段于点，连接，，则下列结论错误的是（   ） A．的面积为定值 B．的最小值为 C．的最大值为5 D．的最大值为 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．已知是关于x的方程的解，则m的值是______． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-1，2），点B（-3，-1），点C（-2，-2），平移△ABC，使点A落在点D（2，1）处，则点C的对应点F的坐标为______． 11．_______ 12．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．将向下平移个单位长度，，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，则____． 13．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形和正方形．延长交以为直径的半圆于点，连接．若，则的值为______． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（6分）计算：． 15．（7分）解不等式组：，并求出它的正整数解． 16．（8分）某公司研发了甲、乙两款教育辅助产品，为了解其使用效果，对使用这两款产品的学生进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了使用这两款产品的学生各20名，对这两款产品的使用效果进行评分（百分制），并对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，共分为四组：A：．B：．C：．D：）．下面给出了部分信息． 抽取的对甲款产品的所有评分数据： 65，69，74，77，77，79，86，86，86，86，87，88，89，89，95，96，97，97，98，99． 抽取的对乙款产品的评分数据中C组包含的所有数据：83，85，86，88，89，89，89，90． 抽取的对甲、乙两款产品的评分统计表 产品 中位数 众数 方差 甲 86.5 b 92.2 乙 a 89 70.6 抽取的对乙款产品的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ______， ______， ______． (2)若甲、乙两款教育辅助产品的平均数相等，根据以上数据，你认为哪款教育辅助产品更受学生欢迎?请说明理由（写出一条理由即可）． (3)若本次调查有600名学生对甲款教育辅助产品进行了评分，有800名学生对乙款教育辅助产品进行了评分，请估计其中对甲、乙两款教育辅助产品非常满意的学生总人数． 17．（8分）2026马年央视春晚中；宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作；是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍；当购买A型机器人多少台时采购总费用最少？最少采购总费用是多少？ 18．（9分）如图，在菱形中，是对角线上一点，，垂足为，以为半径的分别交于点，交的延长线于点，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若是的中点，，． ①求的长； ②求菱形的面积． 19．（10分）【项目主题】 某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题． 【实验操作】 如图1，第一小组在线段的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点处通过测量获得以下数据（单位：米）： 小组 线段1 线段2 线段3 第一小组 (1)任务：请根据第一小组的数据求的度数． 【建立模型】 如图2，第二小组在轮廓线段上选取点（不与、重合），在河边和处分别测量点的仰角，测量获得以下数据： 小组 测仰角 测仰角 第二小组 (2)任务：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由． 如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式． 【解决问题】 (3)任务：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒型的限高杆（如图中虚线部分），若横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计） (4)任务：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图4所示，光线交汇点在点的正上方，求光线与拱桥之间的距离． 20．（13分）定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． 特例感知： (1)以下四边形中，是勾股四边形的为_________（填序号即可）； ①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为的菱形． 性质探究： (2)如图1，，，，． ①求证：无论取何值，四边形一定为“勾股四边形”， ②若四边形也为“勾股四边形”，且，为勾股边，求的值． 拓展应用： (3)如图2，和是等边三角形，连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 考情速递 中考·新动向：紧扣改革方案，优化结构凸显选拔功能 根据《深圳市深化高中阶段学校考试招生制度改革的实施意见》，2026年中考数学总分保持100分，但题型结构迎来重大调整：选择题由10题减至8题，填空题保持5题，解答题分值由55分提升至61分 。这一“减少客观题分值，加大主观题权重”的变化，旨在强化逻辑推理与综合表达能力的考查。结合《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》的要求，试卷将体现“稳基础、重能力、强素养”的命题导向 。如第19题二次函数综合题作为压轴题之一，综合考查了旋转、存在性问题，强调代数推理与几何直观的深度融合；第18题圆的综合题不仅考查经典几何论证，更融入了垂径定理、解直角三角形等知识的综合运用，呼应高考对核心素养的要求 。 中考·新考法：重构知识模块，探索跨点融合与项目式学习试卷题型设计打破单一知识点机械记忆，强化跨模块知识的自然融合。 选择题（1-8题）：侧重基础概念的精准理解与实际应用。如第4题结合位似图形与三角形周长比，考查相似性质；第6题以迎水坡的坡度为背景，考查勾股定理与三角函数的实际应用。 填空题（9-13题）：聚焦综合运用与技巧创新。如第12题将一次函数、反比例函数与三角形面积结合，考查数形结合的灵活性；第13题以“等边三角形内的动点”为背景，融入将军饮马模型，要求学生通过几何作图找到最短路径并求解。 解答题（14-20题）：突出探究过程与应用价值。包括：基础计算与分式化简求值（第14、15题）、统计与概率的实际应用（第16题）、分式方程与不等式组的方案设计（第17题）、几何综合证明与计算（第18题）、二次函数综合探究（第19题）、新定义旋转综合与实践（第20题）。其中第20题“综合与实践”要求学生在图形旋转的动态变化中探究数量关系，考查思维的灵活性与逻辑的严密性。 命题·新情景：回归生活与科技，强化跨学科阅读与建模能力 ① 以深圳地域特色为背景：如题目以“深圳某公司采购新能源车” 为背景，考查分式方程与不等式组的方案设计，体现数学的应用价值。 ② 跨学科融合与传统文化渗透：呼气式酒精测试仪中的反比例函数 问题，考查函数图象的分析能力；以我国古代“六艺”为背景 进行统计调查，弘扬中华优秀传统文化 。 ③ 项目式学习（PBL）初探：结合新课标要求，试卷中可能设置“项目式学习”微专题，要求学生经历“问题提出—数据收集—模型建立—结论验证”的完整探究过程，如第16题结合“学校美育课程选择” 调查，完善统计图表并计算概率。 命题·大预测 ① 项目式学习与函数应用（第17题） 项目式学习是深圳中考近年探索的热点方向 。2026年极有可能以“生活中的最优方案”为背景（如租车方案、商品采购、场地规划），综合考查一次函数、二次函数最值、不等式组整数解等知识。如本卷中“新能源车采购”问题，综合考查了分式方程与不等式。 备考建议：学生需强化从实际问题中提取数学信息、建立函数模型的能力，注意自变量的取值范围必须结合现实意义进行检验，避免“纯数学”失分。② 几何变换与作图操作（第13题） 几何最值问题是新课标明确要求的核心技能。预测2026年将不只考查单一模型，更会考查学生在复杂图形中识别和构造基本模型的能力。如本卷第13题，在等边三角形中考查“将军饮马”问题，需要学生理解轴对称变换的原理。备考建议：复习中要亲自动手操作，理解每种几何变换（平移、对称、旋转）的几何依据，并能结合勾股定理或三角形相似进行推理计算 。 ③ 新定义阅读理解题（第20题） 作为区分度最高的压轴题，新定义题型将继续作为选拔关键 。预测会将“新定义”与“图形变换”结合，如定义“旋转过程中的数量关系”，使其同时满足相似三角形与几何图形的约束。如本卷第20题，以“特殊四边形旋转”为主题，探究线段间的数量关系。 备考建议：克服对新定义文字的恐惧，精读题干，将新规则转化为熟悉的数学模型（全等、相似、勾股定理）。注重数形结合与分类讨论，特别是在动态几何背景下寻找临界位置。 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数”．如果气温为“零上”记作“”，那么气温“”可表示为（    ） A．零上 B．零下 C．上升 D．下降 【答案】B 【分析】根据：正负数可以表示一对相反意义的量．已知零上记为正，即可得出答案． 【详解】解：∵“零上”记作“”， ∴“”可表示为零下． 2．沙头角鱼灯舞是深圳非物质文化遗产．下图是沙头角鱼灯舞中的某款鱼灯，关于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 【答案】D 【分析】根据鱼灯的形状判断其对应的三视图即可得到答案． 【详解】解：由鱼灯的形状可知，它的主视图、左视图、俯视图都不相同， ∴三种视图都不相同． 3．如图是一枚中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年双色铜合金纪念币，该纪念币质地均匀，正面图案为中华人民共和国国徽，背面主景图案为中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念活动标识．若先后两次抛掷该纪念币，那么两次正面向上的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列举所有可能，即可得两次正面向上的概率． 【详解】解：先后两次抛掷该纪念币，所有可能结果为：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， ∴两次正面向上的概率是． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类项合并法则、完全平方公式、积的乘方、同底数幂的乘法法则逐一判断选项． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项正确； D、，故本选项错误． 5．春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图所示，云梯与水平面的夹角为，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙高为10丈，则云梯梯身长约为（   ） A．丈 B．丈 C．丈 D．丈 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，明确题意，理解正弦的定义是解答本题的关键． 根据正弦的定义即可直接作答． 【详解】解：，高为10丈， ， ， 故选：A． 6．在物理光学实验中，小明将一束激光从空气射入上、下表面平行的玻璃砖（如图）．光线从空气射到玻璃砖上表面点B并发生了折射，折射光线射到玻璃砖下表面C处，点D在的延长线上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行，内错角相等，得到，结合对顶角，从而得到结果． 【详解】解：如图，根据题意可得， ， ， ， ． 7．绿水青山就是金山银山．为了创造良好的生态环境，某村计划在荒坡上植树1600棵，由于青年志愿者支援，实际每天植树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树多少棵．设原计划每天植树棵，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设原计划每天植树棵，可得实际每天植树棵，根据“提前5天完成任务”的时间等量关系列方程即可． 【详解】解：设原计划每天植树棵，则实际每天植树棵， 原计划完成任务的时间为天，实际完成任务的时间为天， 根据结果提前天完成任务，可得：． 8．如图，在矩形中，是边上的一动点（不与端点重合）．将沿直线对折，得到，连接并延长，交线段于点，连接，，则下列结论错误的是（   ） A．的面积为定值 B．的最小值为 C．的最大值为5 D．的最大值为 【答案】C 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定和性质，得到点N的运动轨迹是解题的关键． 根据三角形的面积公式判断选项A；根据折叠得到点在以点为圆心，为半径的圆上运动，即可得到当三点共线时，最小，根据勾股定理判断选项B；当与相切时，的值最大，即最大；先根据得到，即可得到，然后根据勾股定理计算判断选项C；点与点重合时，最大，求出值判断选项D解答即可． 【详解】解：，为定值，故选项A正确； 根据折叠的性质，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动． 当三点共线时，最小，此时， 的最小值为，故选项B正确； ， ∴当最大时，最大．如图， 当与相切时，的值最大，此时点重合， ∵是矩形， ∴，， ∴，， 根据折叠可知，， ∴，， ∴， ∴， 的最大值为， 的最大值为，故选项C错误； 当点与点重合时，最大，最大值为，故选项D正确， 故选：C． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．已知是关于x的方程的解，则m的值是______． 【答案】 【分析】把代入，即可解答． 【详解】解：是关于x的方程的解， ∴可得， 解得． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-1，2），点B（-3，-1），点C（-2，-2），平移△ABC，使点A落在点D（2，1）处，则点C的对应点F的坐标为______． 【答案】 【详解】由点 平移后 可得坐标的变化规律是：右移3个单位，下移1个单位， ∴ 点 的对应点 的坐标 ． 11．_______ 【答案】0 【详解】解：原式. 12．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．将向下平移个单位长度，，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，则____． 【答案】72 【分析】作，根据等腰三角形的性质可求出，，结合轴，点的坐标为，求出，，根据平移的规律可得：坐标变为，点坐标变为，利用反比例函数图像上点的坐标特征列方程求出，进而求出平移后点的坐标，即可求解． 【详解】解：作， ，且， ， 由勾股定理可得：， 轴，点的坐标为， ，， 点、向下平移个单位后，坐标变为，点坐标变为， 平移后点、在反比例函数图象上， ， 解得：， 平移后点的坐标为， ． 13．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形和正方形．延长交以为直径的半圆于点，连接．若，则的值为______． 【答案】 【分析】设直角三角形的长直角边为，短直角边为，得到，连接，根据圆周角定理结合等弧对等弦得到，，进而推出四点共圆，得到，求出，将绕点旋转，得到，推出三点共线，得到，三线合一，得到，进而得到，得到，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为， 由题意，， 连接， ∵为半圆的直径，， ∴，， ∴，， ∴四点共圆， ∴，， ∴， 将绕点旋转，得到，则，，， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（6分）计算：． 【答案】 【详解】解：原式. 15．（7分）解不等式组：，并求出它的正整数解． 【答案】不等式组的解集是，不等式组的正整数解为 【分析】先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再求出两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后从解集中筛选出正整数即可． 【详解】解：， 解不等式，得：； 解不等式，得：； 即不等式组的解集为：，其正整数解为． 16．（8分）某公司研发了甲、乙两款教育辅助产品，为了解其使用效果，对使用这两款产品的学生进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了使用这两款产品的学生各20名，对这两款产品的使用效果进行评分（百分制），并对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，共分为四组：A：．B：．C：．D：）．下面给出了部分信息． 抽取的对甲款产品的所有评分数据： 65，69，74，77，77，79，86，86，86，86，87，88，89，89，95，96，97，97，98，99． 抽取的对乙款产品的评分数据中C组包含的所有数据：83，85，86，88，89，89，89，90． 抽取的对甲、乙两款产品的评分统计表 产品 中位数 众数 方差 甲 86.5 b 92.2 乙 a 89 70.6 抽取的对乙款产品的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ______， ______， ______． (2)若甲、乙两款教育辅助产品的平均数相等，根据以上数据，你认为哪款教育辅助产品更受学生欢迎?请说明理由（写出一条理由即可）． (3)若本次调查有600名学生对甲款教育辅助产品进行了评分，有800名学生对乙款教育辅助产品进行了评分，请估计其中对甲、乙两款教育辅助产品非常满意的学生总人数． 【答案】(1)；86； (2)乙款更受欢迎，见解析 (3)340人 【分析】（1）先理解题意，求出乙款的A组和B组的人数，以及C组有8个数据，再运用D组数据个数除以乘，得，结合中位数的定义以及众数的定义进行分析，得，，即可作答． （2）结合方差的意义或者众数的意义进行分析，即可作答． （3）理解题意，先分别算出对甲款、对乙款非常满意人数，再计算总人数，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，乙款数据共20个， 则， 结合题意：C组8个数据， 故D组频率； 即． ∵乙款数据共20个， ∴中位数是数据从小到大（或者从大到小）排序后，位于中间位置的数， 则乙的中位数是第10、11位数据的平均数，位于C组后半段， 则； 依题意，甲的众数：出现次数最多的是86， 故． （2）解：乙款更受欢迎．理由如下： 依题意，乙的方差更小，成绩更稳定；或乙的众数更高． 故乙款更受欢迎． （3）解：对甲款非常满意人数：20人中90分以上有6人， ∴人； 对乙款非常满意人数：20人中90分以上有4人， ∴人； 即， ∴其中对甲、乙两款教育辅助产品非常满意的学生总人数为人 17．（8分）2026马年央视春晚中；宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作；是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍；当购买A型机器人多少台时采购总费用最少？最少采购总费用是多少？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)采购A型机器人3台时，采购费用最低，最低采购费用为960万元 【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据“买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元”列方程组求解即可； （2）设购买A型机器人m台，则B型机器人台，总采购费用为万元，根据“B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍”列不等式求出，列出的函数关系式，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：， 解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型机器人m台，则B型机器人台，总采购费用为万元， 根据题意得， 解得：， 根据题意可得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取最小值， 此时万元， 答：采购A型机器人3台时，采购费用最低，最低采购费用为960万元． 18．（9分）如图，在菱形中，是对角线上一点，，垂足为，以为半径的分别交于点，交的延长线于点，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若是的中点，，． ①求的长； ②求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；②180 【分析】（1）过点O作OM⊥BC于M，证明OM=OE即可； （2）①先求出∠HOE=120°，再求出OH，代入弧长公式即可；②过A作AN⊥BD，由△DGO∽△AND，求出AN，根据面积求解即可． 【详解】（1）证明：过O作OM⊥BC于M， ∵BD是菱形ABCD的对角线， ∴∠ABD=∠CBD ∵OM⊥BC，OE⊥AB ∴OE=OM ∴BC是⊙O的切线． （2）解：①如图， ∵G是OF的中点，OF=OH， ∴OG= ∵AB∥CD，OE⊥AB， ∴OF⊥CD ∴∠OGH=90° ∴sin∠GHO=' ∴∠GHO=30° ∴∠GOH=60° ∴∠HOE=120° ∵OG=4， ∴OH=8 由弧长公式得到 的长∶ ； ②·如图，过A作AN⊥BD于N， ∵四边形ABCD是菱形 ∴DN=NB=，AB∥CD，∠CDB=∠ADB ∴ ∵，，OE=OH=8 ∴OD= ，OB= ，DN= ∵∠CDB=∠ADB，∠AND=∠DGO=90° ∴△DGO∽△AND ∴，即 ∴   ∴． 19．（10分）【项目主题】 某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题． 【实验操作】 如图1，第一小组在线段的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点处通过测量获得以下数据（单位：米）： 小组 线段1 线段2 线段3 第一小组 (1)任务：请根据第一小组的数据求的度数． 【建立模型】 如图2，第二小组在轮廓线段上选取点（不与、重合），在河边和处分别测量点的仰角，测量获得以下数据： 小组 测仰角 测仰角 第二小组 (2)任务：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由． 如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式． 【解决问题】 (3)任务：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒型的限高杆（如图中虚线部分），若横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计） (4)任务：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图4所示，光线交汇点在点的正上方，求光线与拱桥之间的距离． 【答案】(1) (2)拱桥的轮廓线不是圆弧，应为抛物线，理由见解析； (3)横向限高杆离水面距离为米 (4)光线与抛物线之间的最小距离为米 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质，可得，，由已知可得，可得，由三角形的内角和定理，即可得的度数； （2）假设该拱桥轮廓线是圆弧，设圆心为，设圆的半径为，在图1中，连接、，根据勾股定理可得，在图2中，连接、、，由三角形的内角和定理可得，可得，解，可得，可判断拱桥的轮廓线不是圆弧，是抛物线，以为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法即可得抛物线的解析式； （3）设横杆长度和竖杆长度分别为、，点，将点的坐标代入抛物线的解析式，可得，即可得横向限高杆离水面的距离； （4）作直线的平行线，使它与抛物线相切（此时抛物线与直线只有一个交点），交轴于点，过点，作，垂足为，设直线的解析式为，与抛物线的解析式联立，整理为关于的一元二次方程，由可得，可得直线的解析式，可得点的坐标，可得，结合已知解三角形即可得光线与拱桥之间的距离． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：假设该拱桥轮廓线是圆弧， 在图1中，设圆心为，设圆的半径为，连接、， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得； ∴， 在图2中，设圆心为设圆的半径为，连接、、， 则， 则劣弧所对圆心角度数为， 即， 则， ∴拱桥的轮廓线不是圆弧，应为抛物线： 如图，以为轴，的垂直平分线为轴建立如下的坐标系， 则点、， 设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得， 解得， 则抛物线的表达式为； （3）解：如图，设横杆长度和竖杆长度分别为、， 则点， 将点的坐标代入得， 解得或（舍去）， ∴（米） ∴横向限高杆离水面距离为米． （4）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切（此时抛物线与直线只有一个交点）， 交轴于点，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程有两个相等的实数根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，解得， ， ， 射灯射出的光线与地面成角， ， 光线与抛物线之间的最小距离为米． 20．（13分）定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． 特例感知： (1)以下四边形中，是勾股四边形的为_________（填序号即可）； ①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为的菱形． 性质探究： (2)如图1，，，，． ①求证：无论取何值，四边形一定为“勾股四边形”， ②若四边形也为“勾股四边形”，且，为勾股边，求的值． 拓展应用： (3)如图2，和是等边三角形，连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长． 【答案】(1)②③ (2)①见解析；② (3)4 【分析】（1）根据“勾股四边形”的定义求解即可． （2）①由三角形内角和定理得出，由角的和差关系可知，然后根据勾股定理得出，即可证． ②先证明，由全等三角形的性质得出， 等量代换可得出，再由勾股四边形的定义可知，即可得出，由等边三角形的判定和性质即可求出的值． （3）连接，，过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，由，结合勾股四边形的定义进一步得出是直角三角形，且，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，，由等边三角形的性质得出． 【详解】（1）解：根据“勾股四边形”的定义可知矩形和有一个角为直角的任意凸四边形为“勾股四边形”． 故答案为：②③ （2）解：①证明：，，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即四边形一定为“勾股四边形”； ②解：， ． 在与中， ， ． 又， ． 四边形为“勾股四边形”，且， ． 又， 是等边三角形， ， ． （3）解：连接，，过点作于点， 和是等边三角形， ，，， ． 即， 在和中， ， ， 四边形是以、为勾股边的勾股四边形，且， ， ， 是直角三角形，且， ， 在中，，，， ， 由勾股定理可得，， ， 由勾股定理可得，， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $