2026年中考数学二轮信息必刷卷01（深圳专用）

2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B C D C A C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．b（b﹣1）（b+1）． 10．． 11．6． 12．﹣6． 13．3． 三．解答题（共7小题，满分61分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（5分） 【解答】解：原式＝9+1+22﹣2 ＝10+22 ＝8．（5分） 15．（6分） 【解答】解： ，（3分） a2﹣a﹣6＝0， 即（a﹣3）（a+2）＝0， 即a1＝3，a2＝﹣2， ∵a+2≠0，即a≠﹣2， ∴a2＝﹣2（舍去）， ∴原式．（6分） 16．（8分） 【解答】解：（1）调查的学生人数为80÷40%＝200（人）， ∴选择D的人数为200﹣40﹣80﹣60＝20（人）， 在扇形统计图中，C所对应的圆心角度数为360°108°， 故答案为：108°， 补全条形统计图如下： （3分） （2）1200240（人）， 答：估计选择“A．书法”课程的学生有240人；（5分） （3）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中小明和小华所选的课程不相同的结果有12种， ∴小明和小华所选的课程不相同的概率为．（8分） 17．（8分） 【解答】解：设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆1.5x万元， 由题意得：20， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝1.5×20＝30，（4分） ∴A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元， 设购买m辆A型汽车，则购买（150﹣m）辆B型汽车， 由题意得：30m+20（150﹣m）≤3600， 解得：m≤60， 答：最多可以购买60辆A型汽车．（8分） 18．（11分） 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵FA＝FE， ∴∠FEA＝∠FAE， ∵∠FEA＝∠BEC，∠FAE＝∠BCE， ∴∠BEC＝∠BCE， ∵∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F， ∴∠DCE＝∠ACE， ∴∠BDC＝∠DCE+∠BEC＝∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝90°， ∴CD⊥AB．（5分） （2）解：连接OF，则AB＝2FO， ∵FM⊥AB，垂足为M， ∴∠FMO＝∠ACB＝90°， ∵∠ACF∠FOM，∠ACF＝∠DCF∠ACD， ∴∠FOM∠ACD， ∴∠FOM＝∠ACD， ∵∠ACD＝∠B＝90°﹣∠BCD， ∴∠FOM＝∠B， ∴cos∠FOM＝cosB， ∴BC•OM1＝2， ∵AC＝4， ∴AB6， ∵sinB， ∴CD， ∴CD的长为． （11分） 19．（12分） 【解答】解：（1）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2， ∴A（﹣6，0），C（0，6），B（2，0）． 设抛物线解析式为y＝ax2+bx+6（a≠0），将A，B点的坐标代入得： 题意得， 解得， ∴抛物线解析式为；（3分） （2）存在一点F，使得∠BFC为直角；理由如下： ∵B（2，0），C（0，6）， ∴． 设BC中点为D，则D（1，3），连接DF．如图1， 设点F（﹣2，t），则． 当DF＝DC＝BD时，点B，C，F三点在以D为圆心，BC为直径的圆上， 此时，∠BFC为直角，，则， ∴t2﹣6t+18＝10， 化简得t2﹣6t+8＝0， 解得t1＝2，t2＝4． ∴F的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，4）时，∠BFC为直角．（7分） （3）设点F（﹣2，t）． 则点B逆时针方向旋转90°后的坐标为B1（t﹣2，t+4），点C逆时针方向旋转90°后的坐标为C1（t﹣8，t+2）， 当B1（t﹣2，t+4）在抛物线上时，， 化简得t2+2t﹣8＝0， 解得t1＝2，t2＝﹣4． ∴t1＝2时，F（﹣2，2），t2＝﹣4时，F（﹣2，﹣4）． 经检验，此时点C1不在抛物线上． 当C1（t﹣8，t+2）在抛物线上时，， 化简得t2﹣10t+24＝0， 解得t1＝4，t2＝6． ∴当t1＝4时，F（﹣2，4），当t2＝6时，F（﹣2，6）． 经检验，此时点B1不在抛物线上． 综上，满足题意的点F的坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣4），（﹣2，4），（﹣2，6）．（12分） 20．（11分） 【解答】解：【问题发现】在矩形ABCD中，， ∴， ∵EG⊥AD，CD⊥AD， ∴∠FGA＝∠CDA＝90°， 又∵∠FAG＝∠CAD， ∴△FAG∽△CAD， ∴， ∴， ∴，即， ∴CF＝2GD， 故答案为：CF＝2GD；（3分） 【拓展探究】仍然成立．理由如下： 图1中，∠FAG＝∠CAD，∠FGA＝∠CDA， ∴△AFG∽△ACD， ∴， 图2中，由旋转可得：∠CAF＝∠DAG， ∴△ACF∽△ADG， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴CF＝2GD；（7分） 【解决问题】①如图3，当点E在线段CD上时，连接AC、AH， ∵四边形ABCD，四边形AEFG为正方形， ∴∠CAD＝∠EAH＝45°，， ∴∠CAE＝∠DAH， ∴△ACE∽△ADH， ∴， ∵AD＝CD＝4，DE＝2， ∴CE＝4﹣2＝2， ∴； ②如图4，当点E在线段CD延长线上时，连接AC、AH， ∵四边形ABCD，四边形AEFG为正方形， ∴∠CAD＝∠EAH＝45°，， ∴∠CAE＝∠DAH， ∴△ACE∽△ADH， ∴， ∵AD＝CD＝4，DE＝2， ∴CE＝4+2＝6， ∴； 综上所述，DH的长为或．（11分） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 考情速递 中考·新动向：紧扣改革方案，优化结构凸显选拔功能 根据《深圳市深化高中阶段学校考试招生制度改革的实施意见》，2026年中考数学总分保持100分，但题型结构迎来重大调整：选择题由10题减至8题，填空题保持5题，解答题分值由55分提升至61分 。这一“减少客观题分值，加大主观题权重”的变化，旨在强化逻辑推理与综合表达能力的考查。结合《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》的要求，试卷将体现“稳基础、重能力、强素养”的命题导向 。如第19题二次函数综合题作为压轴题之一，综合考查了旋转、存在性问题，强调代数推理与几何直观的深度融合；第18题圆的综合题不仅考查经典几何论证，更融入了垂径定理、解直角三角形等知识的综合运用，呼应高考对核心素养的要求 。 中考·新考法：重构知识模块，探索跨点融合与项目式学习 试卷题型设计打破单一知识点机械记忆，强化跨模块知识的自然融合。 选择题（1-8题）：侧重基础概念的精准理解与实际应用。如第4题结合位似图形与三角形周长比，考查相似性质；第6题以迎水坡的坡度为背景，考查勾股定理与三角函数的实际应用。 填空题（9-13题）：聚焦综合运用与技巧创新。如第12题将一次函数、反比例函数与三角形面积结合，考查数形结合的灵活性；第13题以“等边三角形内的动点”为背景，融入将军饮马模型，要求学生通过几何作图找到最短路径并求解。 解答题（14-20题）：突出探究过程与应用价值。包括：基础计算与分式化简求值（第14、15题）、统计与概率的实际应用（第16题）、分式方程与不等式组的方案设计（第17题）、几何综合证明与计算（第18题）、二次函数综合探究（第19题）、新定义旋转综合与实践（第20题）。其中第20题“综合与实践”要求学生在图形旋转的动态变化中探究数量关系，考查思维的灵活性与逻辑的严密性。 命题·新情景：回归生活与科技，强化跨学科阅读与建模能力 ① 以深圳地域特色为背景：如题目以“深圳某公司采购新能源车” 为背景，考查分式方程与不等式组的方案设计，体现数学的应用价值。 ② 跨学科融合与传统文化渗透：呼气式酒精测试仪中的反比例函数 问题，考查函数图象的分析能力；以我国古代“六艺”为背景 进行统计调查，弘扬中华优秀传统文化 。 ③ 项目式学习（PBL）初探：结合新课标要求，试卷中可能设置“项目式学习”微专题，要求学生经历“问题提出—数据收集—模型建立—结论验证”的完整探究过程，如第16题结合“学校美育课程选择” 调查，完善统计图表并计算概率。 命题·大预测 ① 项目式学习与函数应用（第17题） 项目式学习是深圳中考近年探索的热点方向 。2026年极有可能以“生活中的最优方案”为背景（如租车方案、商品采购、场地规划），综合考查一次函数、二次函数最值、不等式组整数解等知识。如本卷中“新能源车采购”问题，综合考查了分式方程与不等式。 备考建议：学生需强化从实际问题中提取数学信息、建立函数模型的能力，注意自变量的取值范围必须结合现实意义进行检验，避免“纯数学”失分。 ② 几何变换与作图操作（第13题） 几何最值问题是新课标明确要求的核心技能。预测2026年将不只考查单一模型，更会考查学生在复杂图形中识别和构造基本模型的能力。如本卷第13题，在等边三角形中考查“将军饮马”问题，需要学生理解轴对称变换的原理。备考建议：复习中要亲自动手操作，理解每种几何变换（平移、对称、旋转）的几何依据，并能结合勾股定理或三角形相似进行推理计算 。 ③ 新定义阅读理解题（第20题） 作为区分度最高的压轴题，新定义题型将继续作为选拔关键 。预测会将“新定义”与“图形变换”结合，如定义“旋转过程中的数量关系”，使其同时满足相似三角形与几何图形的约束。如本卷第20题，以“特殊四边形旋转”为主题，探究线段间的数量关系。 备考建议：克服对新定义文字的恐惧，精读题干，将新规则转化为熟悉的数学模型（全等、相似、勾股定理）。注重数形结合与分类讨论，特别是在动态几何背景下寻找临界位置。 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）2026年是农历马年，象征着奔腾向前、活力无限。今天是2026年3月，请问数据“2026”的相反数为（ ） A． B．﹣2026 C．2026 D． 2．（3分）下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．x2+x3＝x5 B．（﹣3xy2）2÷（x2y）＝9y3 C．（mn﹣3）（mn+3）＝mn2﹣9 D．（﹣x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 4．（3分）如图，若△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC的周长等于△DEF周长的，AO＝3，则OD的长度为（　　） A． B．2 C．5 D． 5．（3分）小轩同学在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　） A．（3）处可填DC＝CB B．（2）处可填AD＝AB C．（1）处可填∠A＝90° D．（4）处可填∠B＝∠D 6．（3分）如图所示，某县在河堤加固工程中，某段河堤的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度（即坡面的垂直高度与水平宽度的比）为1:2，堤高BC为4米，则坡面AB的长度是______米。 A．8m B．16m C．4m D．4m 7．（3分）随着人工智能技术的飞速发展，深圳某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．300（1+x）2＝363 B．300（1+x2）＝363 C．300+300（1+x）2＝363 D．300（1+2x）＝363 8．（3分）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（　　） A．呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小 B．当K＝0时，R1的阻值为100 C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）分解因式：b3﹣b＝　 　 ． 10．（3分）一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，现要从这10名学生中选出一人担任组长，则男生当选组长的概率是　 　 ． 11．（3分）已知a、b为实数，且满足0，计算a+b的值为 　 　 ． 12．（3分）如图，直线与反比例函数的图象交于A、C两点，与y轴交于点B，连接OC，OA，若△OCB与△OCA的面积之比为1：2，则k的值为 　 　 ． 13．（3分）如图，等边三角形ABC的边长是6，高AD是，E是AB的中点，P是AD上一动点，连接EP，BP，则EP+BP的最小值是 　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）计算：． 15． （6分）先化简，再求值：，且a满足a2﹣a﹣6＝0． 16．（8分）我国古代曾以“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）教授学生，其中“乐”和“书”主要是用音乐和书画来进行审美教育．某校计划在课后服务中开设美育相关课程，并在全校范围内随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从A．书法B．国画C．合唱D．水彩画这四个课程中选择一个自己最喜爱的课程．将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）在扇形统计图中，C所对应的圆心角度数为　 　 ，请补全条形统计图； （2）该校共有1200名学生，请你估计选择“A．书法”课程的学生有多少人？ （3）小明和小华打算从四个课程中各自选择一个，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华所选的课程不相同的概率． 17.（8分）深圳某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，且用3000万元购进A型汽车的数量比用2400万元购进B型汽车的数量少20辆，该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购买多少辆A型汽车？ 18．（11分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE． （1）求证：CD⊥AB； （2）FM⊥AB，垂足为M，若OM＝1，，求CD的长． 19．（12分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2，点F在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点F，使得∠BFC为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段BC绕着点F逆时针方向旋转90°后得到线段B1C1，当点B1与C1恰有一点落在抛物线上时，求点F的坐标． 20．（11分）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在矩形ABCD中，AD：CD＝1：，点F在对角线AC上，过F点分别作AB和AD的垂线，垂足为E，G，则四边形AEFG为矩形．请问线段CF与DG的数量关系为 　 　 ． 【拓展探究】 如图2，将图1中的矩形AEFG绕点A逆时针旋转，记旋转角为α，当0°＜α＜180°时，连接CF，DG，在旋转的过程中，CF与DG的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形ABCD的边AD＝AB时，点E为直线CD上异于D，C的一点，以AE为边作正方形AEFG，点H为正方形AEFG的中心，连接DH，若AD＝4，DE＝2，直接写出DH的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 考情速递 中考·新动向：紧扣改革方案，优化结构凸显选拔功能 根据《深圳市深化高中阶段学校考试招生制度改革的实施意见》，2026年中考数学总分保持100分，但题型结构迎来重大调整：选择题由10题减至8题，填空题保持5题，解答题分值由55分提升至61分 。这一“减少客观题分值，加大主观题权重”的变化，旨在强化逻辑推理与综合表达能力的考查。结合《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》的要求，试卷将体现“稳基础、重能力、强素养”的命题导向 。如第19题二次函数综合题作为压轴题之一，综合考查了旋转、存在性问题，强调代数推理与几何直观的深度融合；第18题圆的综合题不仅考查经典几何论证，更融入了垂径定理、解直角三角形等知识的综合运用，呼应高考对核心素养的要求 。 中考·新考法：重构知识模块，探索跨点融合与项目式学习 试卷题型设计打破单一知识点机械记忆，强化跨模块知识的自然融合。 选择题（1-8题）：侧重基础概念的精准理解与实际应用。如第4题结合位似图形与三角形周长比，考查相似性质；第6题以迎水坡的坡度为背景，考查勾股定理与三角函数的实际应用。 填空题（9-13题）：聚焦综合运用与技巧创新。如第12题将一次函数、反比例函数与三角形面积结合，考查数形结合的灵活性；第13题以“等边三角形内的动点”为背景，融入将军饮马模型，要求学生通过几何作图找到最短路径并求解。 解答题（14-20题）：突出探究过程与应用价值。包括：基础计算与分式化简求值（第14、15题）、统计与概率的实际应用（第16题）、分式方程与不等式组的方案设计（第17题）、几何综合证明与计算（第18题）、二次函数综合探究（第19题）、新定义旋转综合与实践（第20题）。其中第20题“综合与实践”要求学生在图形旋转的动态变化中探究数量关系，考查思维的灵活性与逻辑的严密性。 命题·新情景：回归生活与科技，强化跨学科阅读与建模能力 ① 以深圳地域特色为背景：如题目以“深圳某公司采购新能源车” 为背景，考查分式方程与不等式组的方案设计，体现数学的应用价值。 ② 跨学科融合与传统文化渗透：呼气式酒精测试仪中的反比例函数 问题，考查函数图象的分析能力；以我国古代“六艺”为背景 进行统计调查，弘扬中华优秀传统文化 。 ③ 项目式学习（PBL）初探：结合新课标要求，试卷中可能设置“项目式学习”微专题，要求学生经历“问题提出—数据收集—模型建立—结论验证”的完整探究过程，如第16题结合“学校美育课程选择” 调查，完善统计图表并计算概率。 命题·大预测 ① 项目式学习与函数应用（第17题） 项目式学习是深圳中考近年探索的热点方向 。2026年极有可能以“生活中的最优方案”为背景（如租车方案、商品采购、场地规划），综合考查一次函数、二次函数最值、不等式组整数解等知识。如本卷中“新能源车采购”问题，综合考查了分式方程与不等式。 备考建议：学生需强化从实际问题中提取数学信息、建立函数模型的能力，注意自变量的取值范围必须结合现实意义进行检验，避免“纯数学”失分。 ② 几何变换与作图操作（第13题） 几何最值问题是新课标明确要求的核心技能。预测2026年将不只考查单一模型，更会考查学生在复杂图形中识别和构造基本模型的能力。如本卷第13题，在等边三角形中考查“将军饮马”问题，需要学生理解轴对称变换的原理。备考建议：复习中要亲自动手操作，理解每种几何变换（平移、对称、旋转）的几何依据，并能结合勾股定理或三角形相似进行推理计算 。 ③ 新定义阅读理解题（第20题） 作为区分度最高的压轴题，新定义题型将继续作为选拔关键 。预测会将“新定义”与“图形变换”结合，如定义“旋转过程中的数量关系”，使其同时满足相似三角形与几何图形的约束。如本卷第20题，以“特殊四边形旋转”为主题，探究线段间的数量关系。 备考建议：克服对新定义文字的恐惧，精读题干，将新规则转化为熟悉的数学模型（全等、相似、勾股定理）。注重数形结合与分类讨论，特别是在动态几何背景下寻找临界位置。 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）2026年是农历马年，象征着奔腾向前、活力无限。今天是2026年3月，请问数据“2026”的相反数为（ ） A． B．﹣2026 C．2026 D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：∵2026与﹣2026只有符号不同， ∴2026的相反数为﹣2026， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 2．（3分）下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．选项中的图形是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； B．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．x2+x3＝x5 B．（﹣3xy2）2÷（x2y）＝9y3 C．（mn﹣3）（mn+3）＝mn2﹣9 D．（﹣x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 【答案】B 【分析】利用平方差公式和完全平方公式，直接计算即可，要注意同类项指带有相同系数的代数项（包括字母和字母指数）． 【详解】解：∵x2和x3的指数不同， ∴不是同类项，不能相加， 故选项A错误； ∵等式左边＝（﹣3xy2）2÷（x2y）＝9x2y4÷（x2y）＝9y3＝等式右边， 故选项B正确； ∵等式左边＝（mn﹣3）（mn+3）＝m2n2﹣9≠等式右边， 故选项C错误； ∵等式左边＝（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2≠等式右边， 故选项D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查合并同类项，完全平方公式，平方差公式，解题的关键是熟记同类项的辨别条件，计算是要注意符号和指数． 4．（3分）如图，若△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC的周长等于△DEF周长的，AO＝3，则OD的长度为（　　） A． B．2 C．5 D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，证明△AOB∽△DOE，根据相似三角形的周长比等于相似比求出，进而求出，计算即可． 【详解】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴△AOB∽△DOE， ∴， ∵△ABC的周长等于△DEF周长的， ∴， ∴， ∵OA＝3， ∴OD＝5， 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 5．（3分）小轩同学在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　） A．（3）处可填DC＝CB B．（2）处可填AD＝AB C．（1）处可填∠A＝90° D．（4）处可填∠B＝∠D 【答案】D 【分析】根据正方形、矩形、菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴（3）处可填DC＝CB是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形， ∴（2）处可填AD＝AB是正确的，故该选项不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴（1）处可填∠A＝90°是正确的，故该选项不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形， ∴∠B＝∠D无法判定两角是不是直角，故该选项不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定和菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的关系是解题的关键． 6．（3分）如图所示，某县在河堤加固工程中，某段河堤的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度（即坡面的垂直高度与水平宽度的比）为1:2，堤高BC为4米，则坡面AB的长度是______米。 A．8m B．16m C．4m D．4m 【答案】C 【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长． 【详解】解：Rt△ABC中，BC＝4m，tanA＝1：2； ∴AC8m， ∴AB4（m）． 故选：C． 【点睛】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键． 7．（3分）随着人工智能技术的飞速发展，深圳某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．300（1+x）2＝363 B．300（1+x2）＝363 C．300+300（1+x）2＝363 D．300（1+2x）＝363 【答案】A 【分析】根据2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，列出方程即可． 【详解】解：由题意得：300（1+x）2＝363． 故选：A． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 8．（3分）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（　　） A．呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小 B．当K＝0时，R1的阻值为100 C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态 【答案】C 【分析】根据函数图象分析即可判断A，B，根据图3公式计算即可判定C，D． 【详解】解：根据图象信息，逐项分析判断如下： A．R随K的增大而减小，则呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小，故正确，不符合题意； B．当K＝0时，R1的阻值为100，故正确，不符合题意； C．当K＝10时，则M＝2200×K×10﹣3＝2200×10×10﹣3＝22mg/100ml，该驾驶员为酒驾状态，故该选项不正确，符合题意； D．由条件可知M＝2200×K×10﹣3＝2200×40×10﹣3＝88mg/100ml，该驾驶员为醉驾状态，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）分解因式：b3﹣b＝b（b﹣1）（b+1）　 ． 【答案】b（b﹣1）（b+1）． 【分析】先提取公因式，再用公式法因式分解即可． 【详解】解：b3﹣b ＝b（b2﹣1） ＝b（b﹣1）（b+1）， 故答案为：b（b﹣1）（b+1）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 10．（3分）一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，现要从这10名学生中选出一人担任组长，则男生当选组长的概率是　　 ． 【答案】 【分析】由一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生， ∴从这10名学生中选出一人担任组长，则男生当选组长的概率是：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 11．（3分）已知a、b为实数，且满足0，计算a+b的值为 　6　 ． 【答案】6 【分析】根据a﹣2＝0，a﹣b+2＝0求得a，b的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵（a﹣2）2≥0，，， ∴a﹣2＝0，a﹣b+2＝0， 解得：a＝2，b＝4， ∴a+b＝2+4＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了非负数的性质，代数式求值，理解“非负数之和为0即为零加零”是解题的关键． 12．（3分）如图，直线与反比例函数的图象交于A、C两点，与y轴交于点B，连接OC，OA，若△OCB与△OCA的面积之比为1：2，则k的值为 　﹣6　 ． 【答案】﹣6． 【分析】根据题意得出点A的横坐标是点C横坐标的3倍，设C（m，）则A（3m，），由反比例函数系数k＝xy得出k＝m（）＝3m（），解方程求得m＝2，进一步即可求得k＝﹣6． 【详解】解：∵△OCB与△OCA的面积之比为1：2， ∴△OCB与△OBA的面积之比为1：3， ∴点A的横坐标是点C横坐标的3倍， 设C（m，）则A（3m，）， ∵反比例函数的图象过A、C两点， ∴k＝m（）＝3m（）， 解得m1＝2，m2＝0（舍去）， ∴k＝m（）＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，根据三角形面积的比得出点A的横坐标是点C横坐标的3倍是解题的关键． 13．（3分）如图，等边三角形ABC的边长是6，高AD是，E是AB的中点，P是AD上一动点，连接EP，BP，则EP+BP的最小值是 　3　 ． 【答案】3． 【分析】连接CE，交AD于点P，连接BP，此时PE+BP的值最小，最小值为CE的长． 【详解】解：连接CE，交AD于点P，连接BP， ∵△ABC是等边三角形， ∴BP＝CP， ∴BP+PE＝CP+PE＝CE，此时PE+BP的值最小， ∵点E是AB的中点， ∴CE垂直平分AB， ∴CE＝AD＝3， ∴BP+EP的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）计算：． 【答案】8． 【分析】利用负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，绝对值的意义和特殊角的三角函数值化简运算即可． 【详解】解：原式＝9+1+22﹣2 ＝10+22 ＝8． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，绝对值的意义和特殊角的三角函数值，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键． 15．（6分）先化简，再求值：，且a满足a2﹣a﹣6＝0． 【答案】，0． 【分析】分式化简时先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再算分式的除法运算，最后把一元二次方程求的解代入分式结果计算即可． 【详解】解： ， a2﹣a﹣6＝0， 即（a﹣3）（a+2）＝0， 即a1＝3，a2＝﹣2， ∵a+2≠0，即a≠﹣2， ∴a2＝﹣2（舍去）， ∴原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算﹣化简求值，掌握分式的运算法则及二次根式的混合运算是解决本题的关键． 16．（8分）我国古代曾以“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）教授学生，其中“乐”和“书”主要是用音乐和书画来进行审美教育．某校计划在课后服务中开设美育相关课程，并在全校范围内随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从A．书法B．国画C．合唱D．水彩画这四个课程中选择一个自己最喜爱的课程．将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）在扇形统计图中，C所对应的圆心角度数为　108°　 ，请补全条形统计图； （2）该校共有1200名学生，请你估计选择“A．书法”课程的学生有多少人？ （3）小明和小华打算从四个课程中各自选择一个，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华所选的课程不相同的概率． 【答案】（1）108°，补全条形统计图如下： （2）估计选择“A．书法”课程的学生有240人； （3）． 【分析】（1）用B的人数除以所占百分比可得本次被调查的学生人数，即可解决问题； （2）用360°乘以选择“A．书法”课程的学生所占的比例即可； （3）列表得出共有16种等可能的结果，其中小明和小华所选的课程不相同的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）调查的学生人数为80÷40%＝200（人）， ∴选择D的人数为200﹣40﹣80﹣60＝20（人）， 在扇形统计图中，C所对应的圆心角度数为360°108°， 故答案为：108°， 补全条形统计图如下： （2）1200240（人）， 答：估计选择“A．书法”课程的学生有240人； （3）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中小明和小华所选的课程不相同的结果有12种， ∴小明和小华所选的课程不相同的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法、概率公式，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 17．（8分）深圳某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，且用3000万元购进A型汽车的数量比用2400万元购进B型汽车的数量少20辆，该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购买多少辆A型汽车？ 【答案】最多可以购买60辆A型汽车． 【分析】设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆1.5x万元，根据“用3000万元购进A型汽车的数量比用2400万元购进B型汽车的数量少20辆”，列出分式方程，解分式方程求出A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元，再设购买m辆A型汽车，则购买（150﹣m）辆B型汽车，根据“用不多于3600万元购进A型和B型汽车”，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆1.5x万元， 由题意得：20， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝1.5×20＝30， ∴A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元， 设购买m辆A型汽车，则购买（150﹣m）辆B型汽车， 由题意得：30m+20（150﹣m）≤3600， 解得：m≤60， 答：最多可以购买60辆A型汽车． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准数量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式． 18．（11分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE． （1）求证：CD⊥AB； （2）FM⊥AB，垂足为M，若OM＝1，，求CD的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）CD的长为． 【分析】（1）由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，由FA＝FE，得∠FEA＝∠FAE，可证明∠BEC＝∠BCE，因为∠DCE＝∠ACE，所以∠BDC＝∠DCE+∠BEC＝∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝90°，则CD⊥AB； （2）连接OF，则AB＝2FO，由FM⊥AB于点M，得∠FMO＝90°，由∠ACF∠FOM，∠ACF＝∠DCF∠ACD，推导出∠FOM＝∠ACD＝∠B，即可由cos∠FOM＝cosB，求得BC•OM＝2，而AC＝4，则AB6，因为sinB，所以CD． 【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵FA＝FE， ∴∠FEA＝∠FAE， ∵∠FEA＝∠BEC，∠FAE＝∠BCE， ∴∠BEC＝∠BCE， ∵∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F， ∴∠DCE＝∠ACE， ∴∠BDC＝∠DCE+∠BEC＝∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝90°， ∴CD⊥AB． （2）解：连接OF，则AB＝2FO， ∵FM⊥AB，垂足为M， ∴∠FMO＝∠ACB＝90°， ∵∠ACF∠FOM，∠ACF＝∠DCF∠ACD， ∴∠FOM∠ACD， ∴∠FOM＝∠ACD， ∵∠ACD＝∠B＝90°﹣∠BCD， ∴∠FOM＝∠B， ∴cos∠FOM＝cosB， ∴BC•OM1＝2， ∵AC＝4， ∴AB6， ∵sinB， ∴CD， ∴CD的长为． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 19．（12分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2，点F在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点F，使得∠BFC为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段BC绕着点F逆时针方向旋转90°后得到线段B1C1，当点B1与C1恰有一点落在抛物线上时，求点F的坐标． 【答案】（1）； （2）存在，F（﹣2，2）或（﹣2，4）； （3）（﹣2，2），（﹣2，﹣4），（﹣2，4），（﹣2，6）． 【分析】（1）由题意得出A（﹣6，0），C（0，6）．结合轴对称的性质得出B（2，0），再利用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得出．设BC中点为D，则D（1，3），连接DF．设点F（﹣2，t），则．当DF＝DC＝BD时，点B，C，F三点在以D为圆心，BC为直径的圆上，由圆周角定理得出此时∠BFC为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解； （3）设点F（﹣2，t）．则点B逆时针方向旋转90°后的坐标为B1（t﹣2，t+4），点C逆时针方向旋转90°后的坐标为C1（t﹣8，t+2），再分两种情况：当B1（t﹣2，t+4）在抛物线上时，当C1（t﹣8，t+2）在抛物线上时，分别求解即可． 【详解】解：（1）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2， ∴A（﹣6，0），C（0，6），B（2，0）． 设抛物线解析式为y＝ax2+bx+6（a≠0），将A，B点的坐标代入得： 题意得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）存在一点F，使得∠BFC为直角；理由如下： ∵B（2，0），C（0，6）， ∴． 设BC中点为D，则D（1，3），连接DF．如图1， 设点F（﹣2，t），则． 当DF＝DC＝BD时，点B，C，F三点在以D为圆心，BC为直径的圆上， 此时，∠BFC为直角，，则， ∴t2﹣6t+18＝10， 化简得t2﹣6t+8＝0， 解得t1＝2，t2＝4． ∴F的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，4）时，∠BFC为直角． （3）设点F（﹣2，t）． 则点B逆时针方向旋转90°后的坐标为B1（t﹣2，t+4），点C逆时针方向旋转90°后的坐标为C1（t﹣8，t+2）， 当B1（t﹣2，t+4）在抛物线上时，， 化简得t2+2t﹣8＝0， 解得t1＝2，t2＝﹣4． ∴t1＝2时，F（﹣2，2），t2＝﹣4时，F（﹣2，﹣4）． 经检验，此时点C1不在抛物线上． 当C1（t﹣8，t+2）在抛物线上时，， 化简得t2﹣10t+24＝0， 解得t1＝4，t2＝6． ∴当t1＝4时，F（﹣2，4），当t2＝6时，F（﹣2，6）． 经检验，此时点B1不在抛物线上． 综上，满足题意的点F的坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣4），（﹣2，4），（﹣2，6）． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形—旋转变换、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 20．（11分）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在矩形ABCD中，AD：CD＝1：，点F在对角线AC上，过F点分别作AB和AD的垂线，垂足为E，G，则四边形AEFG为矩形．请问线段CF与DG的数量关系为 CF＝2GD ． 【拓展探究】 如图2，将图1中的矩形AEFG绕点A逆时针旋转，记旋转角为α，当0°＜α＜180°时，连接CF，DG，在旋转的过程中，CF与DG的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形ABCD的边AD＝AB时，点E为直线CD上异于D，C的一点，以AE为边作正方形AEFG，点H为正方形AEFG的中心，连接DH，若AD＝4，DE＝2，直接写出DH的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】【问题发现】先证△FAG∽△CAD，推出，利用等比的性质可得； 【拓展探究】由旋转的性质可得∴∠CAF＝∠DAG，进而证明△ACF∽△ADG，利用相似三角形对应边成比例即可求解； 【解决问题】分“点E在线段CD上”和“点E在线段CD延长线上”两种情况，证明△ACE∽△ADH，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：【问题发现】在矩形ABCD中，， ∴， ∵EG⊥AD，CD⊥AD， ∴∠FGA＝∠CDA＝90°， 又∵∠FAG＝∠CAD， ∴△FAG∽△CAD， ∴， ∴， ∴，即， ∴CF＝2GD， 故答案为：CF＝2GD； 【拓展探究】仍然成立．理由如下： 图1中，∠FAG＝∠CAD，∠FGA＝∠CDA， ∴△AFG∽△ACD， ∴， 图2中，由旋转可得：∠CAF＝∠DAG， ∴△ACF∽△ADG， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴CF＝2GD； 【解决问题】①如图3，当点E在线段CD上时，连接AC、AH， ∵四边形ABCD，四边形AEFG为正方形， ∴∠CAD＝∠EAH＝45°，， ∴∠CAE＝∠DAH， ∴△ACE∽△ADH， ∴， ∵AD＝CD＝4，DE＝2， ∴CE＝4﹣2＝2， ∴； ②如图4，当点E在线段CD延长线上时，连接AC、AH， ∵四边形ABCD，四边形AEFG为正方形， ∴∠CAD＝∠EAH＝45°，， ∴∠CAE＝∠DAH， ∴△ACE∽△ADH， ∴， ∵AD＝CD＝4，DE＝2， ∴CE＝4+2＝6， ∴； 综上所述，DH的长为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $