2026年中考数学二轮信息必刷卷02（广东省专用）

2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 考情速递 中考·新动向： 本卷在整体结构上延续了广东省中考数学试卷的稳定风格，但在题目呈现方式上体现了“图文结合、情境引导”的明显趋势。例如：第3题通过实物图与四选一的俯视图选项，考查空间想象能力，符合近年来中考对“几何直观”素养的重视。第5题从“生活情境”中抽象出几何模型，体现了“从生活中来，到数学中去”的命题理念，强调数学的应用性。第13、14、15题均配有几何图形，要求学生在图中提取信息、进行计算或推理，突出了“数形结合”的考查方式。 中考·新考法：本卷在设问方式和知识融合上也有所创新，体现为“跨知识点融合”与“多步推理设问”： 第9题将反比例函数、二次函数与一次函数图像结合，考查学生函数图像之间的逻辑关系，是一次典型的“图像推理”题型。第15题需要结合图像、几何关系与函数表达式，体现“分层设问、逐级深入”的考查思路。第23题为综合题，融合了抛物线、直角三角形的判定、面积最值、动点路径最小值等多个知识点，设问方式灵活，体现了“一题多考、能力导向”的命题风格。 中考·新情境：本卷在情境创设上也有亮点，注重数学与生活、科技、文化的融合：第8题以《张邱建算经》中的古算题为背景，考查方程组的建立，体现了“数学文化”的渗透，增强试题的文化底蕴。第19题以“圆的切线作图”为任务，要求学生补全作图并说明依据，既考查作图能力，也考查逻辑推理，具有“探究性”与“操作性”。第20题以“智能手环定价”为背景，设置三个任务，要求学生构建利润函数、求解盈利目标、寻找最优定价，体现了“项目式学习”的雏形，具有强烈的现实应用性。第21题以“仿青蛙机器人”为背景，结合物理运动轨迹，考查抛物线的建模与应用，体现了“跨学科融合”的趋势。 命题·大预测：基于本卷的内容与结构，可以对2026年广东中考数学命题趋势做出以下预测： 1.函数与几何的深度融合仍是核心：如第9、15、21、23题所示，函数图像与几何图形的结合已成为压轴题的“标配”。备考中应加强学生对函数图像与几何图形之间关系的理解，尤其是动点问题、面积最值、路径最小值等题型。 2.情境题将更加多元与现实：从古算题到科技产品，再到机器人运动，情境题的类型将更加丰富。学生应具备从实际情境中抽象数学模型的能力，尤其是利润问题、运动轨迹问题等常见模型。 3.项目式任务型题目可能成为新常态：第20题的“任务驱动”形式值得关注，未来可能会出现更多“分步设问、层层递进”的题目，考查学生的逻辑思维与综合解决问题能力。 4.作图与操作题将继续保留并提升要求：第19题的作图与证明，强调了几何作图与逻辑推理的结合，未来可能出现更多“作图+推理+计算”的复合题型。 5.数据统计与概率题将更加注重应用：第18题以“唐诗诵读”为背景，考查统计图表、平均数、中位数、众数等基本概念，体现了统计与文化的结合。未来概率与统计题将更注重数据解读与实际应用。 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．2026的相反数是（    ） A． B． C．2026 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：2026的相反数是． 故选：B． 2．根据国家统计局的数据，年月中国生产芯片约颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：∵把改写为时，小数点向左移动了位， ∴． 3．某物体如图所示，其俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据俯视图的意义判断即可． 【详解】   的俯视图是  ． 故选B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，正确理解俯视图是解题的关键． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别运用同底数幂乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则，完全平方公式计算各选项，即可得出正确结果． 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故A错误； ∵合并同类项时，系数相加减，字母和字母的指数不变， ∴，故B错误； ∵积的乘方将每个因式分别乘方，幂的乘方底数不变指数相乘， ∴，故C正确； 根据完全平方公式：，故D错误． 5．图2是从图1生活情境中抽象的几何模型，已知，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质求出，的度数，再根据角的和差即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 6．如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由方程组的解为，得，然后解方程组即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴， 解得：， ∴被“”“”遮住的两个数分别是，． 7．不透明的袋子中有2个红色小球和2个黄色小球，小球除颜色外无其他差别．从中随机摸取2个小球，则这2个小球颜色相同的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来是关键． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：用列表法把所有等可能结果表示如下， 红1 红2 黄1 黄2 红1 （红1，红2） （红1，黄1） （红1，黄2） 红2 （红2，红1） （红2，黄1） （红2，黄2） 黄1 （黄1，红1） （黄1，红2） （黄1，黄2） 黄2 （黄2，红1） （黄2，红2） （黄2，黄1） 共有12种等可能结果，其中颜色相同的结果有4种， ∴颜色相同的概率是， 故选：B ． 8．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现在拿斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据5斗酒和斗谷子列方程组即可得到答案； 【详解】解：设清酒斗，醑酒斗， 由题意可得，， 故选：A． 9．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得到，，然后判断一次函数的图象． 【详解】解：∵反比例函数图象在第一，三象限 ∴ ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴， ∵二次函数的图象开口向下，顶点在第一象限 ∴， ∴ ∴ ∴一次函数的图象y随x的增大而减小， ∴一次函数的图象大致是： 10．二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与轴的交点为和点；与轴的交点在与之间（包括端点）．其中正确结论的个数是（） ①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与轴有两个交点，得，可判断①；根据对称轴为,得，根据二次函数图象交x轴于点，得，得，可判断②；根据点，，都在抛物线上，且的对称点为，当时，y随x的增大而增大， ，得，可判断③；根据直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交，和方程无实根，可判断④；根据二次函数的图象交y轴于点，得，由，得，由顶点，得，得, 即得，可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的交点为和点， ∴， ∴①正确； ∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∵对称轴为， ∴， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴②不正确； ∵二次函数对称轴为，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点，，都在抛物线上，的对称点为，且， ∴， ∴③不正确； ∵直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交， ∴方程无实根， ∴④正确； 对，令，则， ∴二次函数的图象交y轴于点， ∴， ∵， ∴ 把代入， 得. ∴， 即． ∴⑤正确． ∴正确的有①④⑤，共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数图象开口方向，二次函数图象与ｘ轴、y轴的交点，对称轴，顶点坐标，二次函数的对称性增减性，从函数图像中获取信息，是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．分解因式：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 12．将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移________个单位长度后，得到的新抛物线经过原点． 【答案】2或4/4或2 【分析】先求出抛物线向下平移1个单位长度后与的交点坐标，然后再求出新抛物线经过原点时平移的长度． 【详解】解：抛物线向下平移1个单位长度后的解析式为， 令，则， 解得，， ∴抛物线与的交点坐标为和， ∴将抛物线向右平移2个单位或4个单位后，新抛物线经过原点． 故答案为：2或4． 【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 13．如图，A、B、C为⊙O上三点，且∠OAB=64°，则∠ACB的度数是____度． 【答案】26 【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠AOB，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=64°， ∴∠AOB=180°-64°-64°=52°， ∴∠ACB=∠AOB=26°． 故答案为26． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的长等于________．（结果保留π） 【答案】． 【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=1，AB=2， ∴∠ABC=30°， ∴∠A=60°， 又∵AC=1， ∴弧CD的长为 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长的计算；含30度角的直角三角形． 15．如图，直线与双曲线，相交于点，，． （1）作轴于点，交双曲线于点，作交双曲线于点，若，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，解决本题的关键是根据一次函数与二次函数的交点的坐标分别满足一次函数与二次函数的解析式，把点的坐标用含的代数式表示出来，根据点的坐标求出相应的线段的长度． 根据点在直线上，设点的坐标为，又因为点在双曲线，可得，根据可得点的坐标为，从而可求，根据轴于点，把点的坐标用含有的式子分别表示出来为，所以可得：，因为，所以可得点的纵坐标为，从而可得点的横坐标为，所以，利用勾股定理可以求出，，从而可得． 【详解】解：点在直线上， 设点的坐标为， 点在双曲线上， ，即， ， 点的坐标为， ，即， 轴于点， 点，的横坐标都为， 把代入， 得：， 点的坐标为， ， ， 点的纵坐标为， 把代入， 得：， 解得：， ， ， ， ，即， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每题7分，共21分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．计算： 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“有括号的先算括号里面的，再算乘方，然后算乘除，最后算加减；同级运算，从左到右依次进行”．根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 17．先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【分析】先计算括号里的，再算除法，最后代入的值即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18．为弘扬中华优秀传统文化，某区准备在全区初中举行唐诗诵读比赛．某校九（1）、（2）两个班各有学生50人，学校要在这两个班中挑选一个班代表学校参加今年的比赛，为了了解这两个班唐诗诵读情况，现对这两个班的学生进行唐诗诵读测试，并各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行分析，过程如下： 收集数据： 九（1）班：65，75，75，90，60，50，75，90，85，65； 九（2）班：90，55，80，70，55，70，95，80，65，70. 整理数据： 九（1）班 1 3 3 1 2 九（2）班 2 1 m 2 n 分析数据： 平均数 中位数 众数 九（1）班 73 x 75 九（2）班 73 70 y 应用数据： (1)表中______， ______， ________， ________； (2)若规定测试成绩在80分（含80分）以上的学生唐诗诵读为优秀，请估计九（2）班50名学生中唐诗诵读为优秀的学生人数； (3)如果选取了一个班级参加区里组织的比赛，你建议选择九（1）班还是九（2）班，并说明理由． 【答案】(1)3，2，75，70 (2)20人 (3)七（1）班，理由见解析 【分析】本题考查了频数分布表、用样本估计总体以及众数、中位数的应用，掌握用样本估计总体及众数、中位数求法是解题的关键． （1）根据抽取的九（2）班的成绩分别得出m、n的值，再根据中位数及众数定义求出x、y值即可； （2）由九（2）班的总人数乘以抽取的10名学生成绩中成绩在80分（含80分）以上人数所占的百分比即可得； （3）根据所抽取人数的成绩的平均数、中位数及众数比较可得． 【详解】（1）解：由题意得：九（2）班抽取的10名学生成绩在的有3个， ∴； 成绩在的有2个， ∴； 将九（1）班抽取的10名学生成绩按从小到大顺序排列：50，60，65，65，75，75，75，85，90， 90； ∴九（1）班抽取的10名学生成绩的中位数是分； 九（2）班抽取的10名学生成绩中出现次数最多的数是70， 故九（2）班抽取的10名学生成绩的众数是分； （2）解：∵九（2）班抽取的10名学生成绩中成绩在80分（含80分）以上的有4人， ∴估计九（2）班50名学生中唐诗诵读为优秀的学生人数为人； （3）解：建议选择九（1）班，理由如下： ∵两个班各抽取的10名学生成绩中，平均数相等，九（1）班成绩的中位数及众数均高于九（2）班， ∴建议选择九（1）班． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每题9分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．请阅读材料，并完成相应的任务： 学习了圆的切线以后，某数学兴趣小组的同学们发现，过圆上一点可以作出圆的一条切线．下面是小明的作图以及证明过程： 已知：如图，及上一点P ． 求作：直线l，使直线l过点P且与相切． 作法：①连接，以点P为圆心，长为半径画弧交于点A；②以点A为圆心，在的延长线上截取；③作直线即为所求直线． 证明：连接．∵， ∴是等边三角形（ ① ）（填推理的依据）． ∴． ∵，∴，∴． ∴，∴， ∴，即． ∵为的半径， ∴为的切线（ ② ）（填推理的依据）． 任务： (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）； (2)补充证明过程中的两个依据； (3)在（1）的条件下，点C为上一动点，连接BC．若PO=2，求△PBC面积的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)①三边相等的三角形是等边三角形；②过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 (3)△PBC面积的最大值为 【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质： （1）根据作法画出图形，即可； （2）连接，可得是等边三角形，从而得到，进而得到，．继而得到，，即可； （3）根据题意可得当点C为延长线与的交点时，的面积最大，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求； （2）解：证明：连接． ∵， ∴是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴，即． ∵为的半径， ∴为的切线（过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线） 故答案为：三边相等的三角形是等边三角形；过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线； （3）解：如图②，当点C为延长线与的交点时，的面积最大， 由（2）可知且， 在中，， ∵， ∴． ∴， ∴面积的最大值为． 20．根据以下信息．按要求完成下列任务． 科技公司新品定价博弈：智能手环的利润密码 项目背景 2025年，星辰科技公司推出了一款革命性健康监测设备——“脉动手环”．这款手环能实时追踪心率、血氧和睡眠质量，定价策略成为市场突围的关键． 项目要求 运用一元二次方程、二次函数等数学知识解决问题，确保过程的准确性与规范性 素材展示 素材1 公司选择在旗舰店进行为期两周的试销测试，初始售价定为70元／件，进价为50元／件，试销首日数据显示，日销量稳定在200件． 素材2 但市场部发现一个有趣现象，每降价1元，日销量就会激增20件． 素材3 为维护品牌价值，并且避免渠道冲突，公司要求售价不得低于67元且不得高于70元． 张先生召集数据分析团队，提出三个核心任务 任务一 构建利润函数 请你建立日利润y（元）与售价（元／件）的函数关系 任务二 达成盈利目标 公司要求单日利润突破4500元以覆盖研发成本．请问是否能实现这一目标？ 任务三 合规区间内的最优解 在合规区间内，如何定价使日利润最大化？ 【答案】任务一：；任务二：不能，见解析；任务三：当售价为67元/件时，日利润最大，最大利润为4420元． 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系建立方程和函数模型求解． 任务一：利用日利润每件利润日销售量建立函数关系式即可； 任务二：由题意得，再解不等式即可； 任务三：根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：任务一：由题意：， 整理，得：； 任务二：不能，理由如下： 由题意得，当， 整理得，， ∵， ∴， ∴该不等式无解，即不存在任何实数，使得利润大于元， 答：每日盈利达不到4500元，故不能实现这一目标；    任务三： ∵ ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值为：； 答：当售价为67元/件时，日利润最大，最大利润为4420元． 21．青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．如图，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)起跳点P与落地点Q的水平距离的长为 【分析】（1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为60，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； 【详解】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为60， ∴顶点坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：由题意得第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 令，则， 解得，（舍去）， ∴起跳点P与落地点Q的水平距离的长为． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题14分，第23题13分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22．综合与实践 如图1，在正方形中，，在上取一点G，使得，以为边作正方形，连接，． 【问题发现】 （1）的值是_______，直线，所夹锐角的度数是________． 【拓展探究】 （2）如图2，正方形绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在旋转过程中，当点G到直线的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2）成立，见解析；（3）或 【分析】（1）连接，连接交于O，延长交于H，通过证明，可得，，即可求解； （2）通过证明，可得，，，，即可求解； （3）分两种情况讨论，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：，； （2）结论仍然成立，理由如下：如图2，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， 而， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴结论仍然成立； （3）当点在右侧，过点G作交延长线于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在左侧，过点于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，证明三角形相似是解题的关键． 23．综合与实践 如图1，抛物线与轴相交于，两点，且，与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)点是抛物线上任意一点，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为______； (3)如图2，点为直线下方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求面积； (4)如图3，点与动点在直线上，点与动点在抛物线的对称轴上，则的最小值为______． 【答案】(1)；顶点坐标 (2)点的坐标为或 (3) (4) 【分析】（1）待定系数法求解析式，二次函数顶点解析式求顶点坐标； （2）分两种情况进行讨论，求出直线解析式，然后联立求交点坐标； （3）过点作，交于点，证明，当的值最大时，的值最大，表示出的最大值，即可求出三角形的面积； （4）令抛物线对称轴与直线交于点，过点作，过点作，在射线上截取，连接，交抛物线对称轴于点，交于点，连接，过点于点，利用角平分线得出线段和最小值的情况，然后利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 将，代入得， 解得 ∴， ∵， ∴顶点坐标； （2）解：①如图所示，此时，，交轴于点， 由得，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 假设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得 ∴， 联立， 解得或， ∴； ②如图所示，此时，， ∴， 假设的解析式为， 将代入得， ， ∴ 联立， 解得或， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）解：如图所示，过点作，交于点， ∴， ∴， ∴， 当的值最大时，的值最大， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴， 假设，则， ∴， 当时，的值最大，最大值为， ∴； （4）解：如图所示，令抛物线对称轴与直线交于点，过点作，过点作，在射线上截取，连接，交抛物线对称轴于点，交于点，连接，过点作于点， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，为等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴，且存在， ∴的最小值为线段的长度， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即的最小值为． 第2页，共27页 第1页，共27页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B C B A B A D B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11． 12．2或4 13．26 14．． 15． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每题7分，共21分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．解： ······（2分） ······（4分） ······（6分） ．······（7分） 17．先化简，再求值：．其中． 解：原式······（2分） ······（4分） ，······（6分） 当时，原式．······（7分） 18．（1）解：由题意得：九（2）班抽取的10名学生成绩在的有3个， ∴；······（1分） 成绩在的有2个， ∴；······（2分） 将九（1）班抽取的10名学生成绩按从小到大顺序排列：50，60，65，65，75，75，75，85，90， 90； ∴九（1）班抽取的10名学生成绩的中位数是分；······（3分） 九（2）班抽取的10名学生成绩中出现次数最多的数是70， 故九（2）班抽取的10名学生成绩的众数是分；······（4分） （2）解：∵九（2）班抽取的10名学生成绩中成绩在80分（含80分）以上的有4人， ∴估计九（2）班50名学生中唐诗诵读为优秀的学生人数为人；······（5分） （3）解：建议选择九（1）班，理由如下： ∵两个班各抽取的10名学生成绩中，平均数相等，九（1）班成绩的中位数及众数均高于九（2）班， ∴建议选择九（1）班．······（7分） 四、解答题（二）（本大题共3小题，每题9分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求； ······（2分） （2）解：证明：连接． ∵， ∴是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）．······（3分） ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴，即． ∵为的半径， ∴为的切线（过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）······（5分） （3）解：如图②，当点C为延长线与的交点时，的面积最大， 由（2）可知且， 在中，， ∵， ∴． ······（7分） ∴， ∴面积的最大值为．······（9分） 20．解：任务一：由题意：，······（1分） 整理，得：；······（2分） 任务二：不能，理由如下：······（3分） 由题意得，当， 整理得，， ∵， ∴， ∴该不等式无解，即不存在任何实数，使得利润大于元，······（5分） 答：每日盈利达不到4500元，故不能实现这一目标；    任务三：······（6分） ∵ ∴当时，随的增大而减小，······（7分） ∴当时，有最大值为：； 答：当售价为67元/件时，日利润最大，最大利润为4420元．······（9分） 21．（1）解：由题意得抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为60， ∴顶点坐标为，······（2分） ∴设抛物线的函数表达式为，······（3分） 把代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为．······（4分） （2）解：由题意得第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 令，则，······（7分） 解得，（舍去）， ∴起跳点P与落地点Q的水平距离的长为．······（9分） 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题14分，第23题13分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22．综合与实践 如图1，在正方形中，，在上取一点G，使得，以为边作正方形，连接，． 【问题发现】 （1）的值是_______，直线，所夹锐角的度数是________． 【拓展探究】 （2）如图2，正方形绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在旋转过程中，当点G到直线的距离为时，请直接写出的长． 解：（1）：，；······（4分） （2）结论仍然成立，理由如下：如图2，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， 而， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴结论仍然成立；······（8分） （3）当点在右侧，过点G作交延长线于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在左侧，过点于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：或．······（13分） 23．（1）解：∵，， ∴， 将，代入得， 解得 ∴， ∵， ∴顶点坐标；······（3分） （2）解：①如图所示，此时，，交轴于点， 由得，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 假设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得 ∴， 联立， 解得或， ∴； ②如图所示，此时，， ∴， 假设的解析式为， 将代入得， ， ∴ 联立， 解得或， ∴； 综上，点的坐标为或；······（7分） （3）解：如图所示，过点作，交于点， ∴， ∴， ∴， 当的值最大时，的值最大， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴， 假设，则， ∴， 当时，的值最大，最大值为， ∴； （4）解：如图所示，令抛物线对称轴与直线交于点，过点作，过点作，在射线上截取，连接，交抛物线对称轴于点，交于点，连接，过点作于点， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，为等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴，且存在，······（10分） ∴的最小值为线段的长度， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即的最小值为．······（14分） 试卷第2页，共10页 试卷第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 考情速递 中考·新动向： 本卷在整体结构上延续了广东省中考数学试卷的稳定风格，但在题目呈现方式上体现了“图文结合、情境引导”的明显趋势。例如：第3题通过实物图与四选一的俯视图选项，考查空间想象能力，符合近年来中考对“几何直观”素养的重视。第5题从“生活情境”中抽象出几何模型，体现了“从生活中来，到数学中去”的命题理念，强调数学的应用性。第13、14、15题均配有几何图形，要求学生在图中提取信息、进行计算或推理，突出了“数形结合”的考查方式。 中考·新考法：本卷在设问方式和知识融合上也有所创新，体现为“跨知识点融合”与“多步推理设问”： 第9题将反比例函数、二次函数与一次函数图像结合，考查学生函数图像之间的逻辑关系，是一次典型的“图像推理”题型。第15题需要结合图像、几何关系与函数表达式，体现“分层设问、逐级深入”的考查思路。第23题为综合题，融合了抛物线、直角三角形的判定、面积最值、动点路径最小值等多个知识点，设问方式灵活，体现了“一题多考、能力导向”的命题风格。 中考·新情境：本卷在情境创设上也有亮点，注重数学与生活、科技、文化的融合：第8题以《张邱建算经》中的古算题为背景，考查方程组的建立，体现了“数学文化”的渗透，增强试题的文化底蕴。第19题以“圆的切线作图”为任务，要求学生补全作图并说明依据，既考查作图能力，也考查逻辑推理，具有“探究性”与“操作性”。第20题以“智能手环定价”为背景，设置三个任务，要求学生构建利润函数、求解盈利目标、寻找最优定价，体现了“项目式学习”的雏形，具有强烈的现实应用性。第21题以“仿青蛙机器人”为背景，结合物理运动轨迹，考查抛物线的建模与应用，体现了“跨学科融合”的趋势。 命题·大预测：基于本卷的内容与结构，可以对2026年广东中考数学命题趋势做出以下预测： 1.函数与几何的深度融合仍是核心：如第9、15、21、23题所示，函数图像与几何图形的结合已成为压轴题的“标配”。备考中应加强学生对函数图像与几何图形之间关系的理解，尤其是动点问题、面积最值、路径最小值等题型。 2.情境题将更加多元与现实：从古算题到科技产品，再到机器人运动，情境题的类型将更加丰富。学生应具备从实际情境中抽象数学模型的能力，尤其是利润问题、运动轨迹问题等常见模型。 3.项目式任务型题目可能成为新常态：第20题的“任务驱动”形式值得关注，未来可能会出现更多“分步设问、层层递进”的题目，考查学生的逻辑思维与综合解决问题能力。 4.作图与操作题将继续保留并提升要求：第19题的作图与证明，强调了几何作图与逻辑推理的结合，未来可能出现更多“作图+推理+计算”的复合题型。 5.数据统计与概率题将更加注重应用：第18题以“唐诗诵读”为背景，考查统计图表、平均数、中位数、众数等基本概念，体现了统计与文化的结合。未来概率与统计题将更注重数据解读与实际应用。 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．2026的相反数是（    ） A． B． C．2026 D． 2．根据国家统计局的数据，年月中国生产芯片约颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 3．某物体如图所示，其俯视图是（    ）   A．   B．   C．   D．   4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．图2是从图1生活情境中抽象的几何模型，已知，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 6．如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．不透明的袋子中有2个红色小球和2个黄色小球，小球除颜色外无其他差别．从中随机摸取2个小球，则这2个小球颜色相同的概率是（   ） A． B． C． D． 8．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现在拿斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 9．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（    ） A．B． C．D． 10．二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与轴的交点为和点；与轴的交点在与之间（包括端点）．其中正确结论的个数是（） ①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．分解因式：________． 12．将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移________个单位长度后，得到的新抛物线经过原点． 13．如图，A、B、C为⊙O上三点，且∠OAB=64°，则∠ACB的度数是____度． 14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的长等于________．（结果保留π） 15．如图，直线与双曲线，相交于点，，． 作轴于点，交双曲线于点，作交双曲线于点，若，则____________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每题7分，共21分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．计算： 17． 先化简，再求值：．其中． 18．为弘扬中华优秀传统文化，某区准备在全区初中举行唐诗诵读比赛．某校九（1）、（2）两个班各有学生50人，学校要在这两个班中挑选一个班代表学校参加今年的比赛，为了了解这两个班唐诗诵读情况，现对这两个班的学生进行唐诗诵读测试，并各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行分析，过程如下： 收集数据： 九（1）班：65，75，75，90，60，50，75，90，85，65； 九（2）班：90，55，80，70，55，70，95，80，65，70. 整理数据： 九（1）班 1 3 3 1 2 九（2）班 2 1 m 2 n 分析数据： 平均数 中位数 众数 九（1）班 73 x 75 九（2）班 73 70 y 应用数据： (1)表中______， ______， ________， ________； (2)若规定测试成绩在80分（含80分）以上的学生唐诗诵读为优秀，请估计九（2）班50名学生中唐诗诵读为优秀的学生人数； (3)如果选取了一个班级参加区里组织的比赛，你建议选择九（1）班还是九（2）班，并说明理由． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每题9分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．请阅读材料，并完成相应的任务： 学习了圆的切线以后，某数学兴趣小组的同学们发现，过圆上一点可以作出圆的一条切线．下面是小明的作图以及证明过程： 已知：如图，及上一点P ． 求作：直线l，使直线l过点P且与相切． 作法：①连接，以点P为圆心，长为半径画弧交于点A；②以点A为圆心，在的延长线上截取；③作直线即为所求直线． 证明：连接．∵， ∴是等边三角形（ ① ）（填推理的依据）． ∴． ∵，∴，∴． ∴，∴， ∴，即． ∵为的半径， ∴为的切线（ ② ）（填推理的依据）． 任务： (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）； (2)补充证明过程中的两个依据； (3)在（1）的条件下，点C为上一动点，连接BC．若PO=2，求△PBC面积的最大值． 20．根据以下信息．按要求完成下列任务． 科技公司新品定价博弈：智能手环的利润密码 项目背景 2025年，星辰科技公司推出了一款革命性健康监测设备——“脉动手环”．这款手环能实时追踪心率、血氧和睡眠质量，定价策略成为市场突围的关键． 项目要求 运用一元二次方程、二次函数等数学知识解决问题，确保过程的准确性与规范性 素材展示 素材1 公司选择在旗舰店进行为期两周的试销测试，初始售价定为70元／件，进价为50元／件，试销首日数据显示，日销量稳定在200件． 素材2 但市场部发现一个有趣现象，每降价1元，日销量就会激增20件． 素材3 为维护品牌价值，并且避免渠道冲突，公司要求售价不得低于67元且不得高于70元． 张先生召集数据分析团队，提出三个核心任务 任务一 构建利润函数 请你建立日利润y（元）与售价（元／件）的函数关系 任务二 达成盈利目标 公司要求单日利润突破4500元以覆盖研发成本．请问是否能实现这一目标？ 任务三 合规区间内的最优解 在合规区间内，如何定价使日利润最大化？ 21．青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．如图，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题14分，第23题13分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22．综合与实践 如图1，在正方形中，，在上取一点G，使得，以为边作正方形，连接，． 【问题发现】 （1）的值是_______，直线，所夹锐角的度数是________． 【拓展探究】 （2）如图2，正方形绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在旋转过程中，当点G到直线的距离为时，请直接写出的长． 23．综合与实践 如图1，抛物线与轴相交于，两点，且，与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)点是抛物线上任意一点，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为______； (3)如图2，点为直线下方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求面积； (4)如图3，点与动点在直线上，点与动点在抛物线的对称轴上，则的最小值为______． 试卷第2页，共9页 试卷第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $